Code_Aster ®
Version
6.4
Titre :
Notice de calcul au flambage
Date
:
20/12/02
Auteur(s) :
N. GREFFET Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel d'Utilisation
Fascicule U2.08 : Fonctions avancées et contrôle des calculs
Document : U2.08.04
Notice de calcul au flambage
Résumé :
L'objectif de cette documentation est de présenter un guide méthodologique pour une analyse de flambage non
linéaire d'une structure. On y aborde principalement deux fonctionnalités du Code_Aster :
· l'analyse de flambement linéaire, dite d'Euler, au travers de MODE_ITER_SIMULT, (option
TYPE_RESU : `MODE_FLAMB'),
· le calcul de l'évolution quasi-statique (opérateur STAT_NON_LINE) de la structure qui présente des
non linéarités géométriques et comportementales, dont on cherche un point limite, voire la réponse
post-critique.
La première étape est, généralement, un calcul de flambage d'Euler, qui permettra de connaître les modes de
flambement et les charges critiques correspondantes. Du point de vue du concepteur, la connaissance du
premier mode et de sa charge critique est souvent suffisante, afin de se définir une marge de fonctionnement
par rapport au chargement imposé : le coefficient multiplicateur entre le chargement imposé et la charge critique
la plus faible donne la marge de sécurité.
Remarques
· La connaissance du premier mode de flambement peut aussi servir d'indication pour optimiser la
gestion du calcul incrémental non linéaire mené par la suite. En effet, à l'approche de la charge
critique, on peut alors décider de modifier le pilotage ou de réduire le pas de temps, voire
d'augmenter le nombre d'itérations de vérification de l'équilibre dans la méthode de résidu, à
chaque pas de charge.
· L'allure du mode de flambement d'Euler peut aussi servir pour imposer un défaut géométrique
initial sur la structure, afin de s'assurer, entre autre, que le calcul non linéaire incrémental
bifurquera bien sur ce mode.
L'analyse d'Euler étant par définition linéaire, elle ne permet pas de prendre en compte des relations de
comportement inélastiques ou du contact. Il est alors nécessaire de faire un calcul non linéaire, qui en
quasi-statique s'appuiera sur la commande STAT_NON_LINE du Code_Aster. C'est la méthode classique
incrémentale par résidu en équilibre. Les points particuliers de son utilisation seront abordés par la suite.
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1
Analyse de flambement d'Euler
Le calcul des modes de flambement au sens d'Euler [bib5] peut se faire par l'opérateur de résolution
de problèmes aux valeurs propres MODE_ITER_SIMULT (ou bien MODE_ITER_INV). Dans le cadre du
flambage, on a la syntaxe typique suivante :
MODP1 = MODE_ITER_SIMULT ( MATR_A = RAMEP1 ,
MATR_B = RAGEP1 ,
TYPE_RESU = 'MODE_FLAMB' ,
CALC_FREQ = _F( OPTION = 'BANDE' ,
CHAR_CRIT = ( -2.4 ,-2.2 , ) ,
DIM_SOUS_ESPACE = 80 ,
NMAX_ITER_SOREN = 80 , ) , )
L'argument du mot clé MATR_A doit être la matrice de rigidité dite matérielle, alors que le mot clé
MATR_B attend la matrice de rigidité géométrique. Si on avait employé l'opérateur MODE_ITER_INV,
les arguments des mots clés MATR_A et MATR_B seraient les mêmes.
Pour rappel, les modes de flambement sont les modes propres du problème aux valeurs propres
suivant :
(K + µKg ) x = 0 Kx = K
g x
K :
matérielle
rigidité
de
matrice
Avec
K :
géométriqu
rigidité
de
matrice
e
g
:
valeur propre
( = µ
- avec µ :
coefficien multiplica
t
teur
chargement
du
)
La rigidité matérielle (ou élastique) se calcule avec l'option `RIGI_MECA' de CALC_MATR_ELEM.
La rigidité géométrique se calcule à partir du champ de contrainte solution du problème linéaire (option
`RIGI_GEOM' de CALC_MATR_ELEM). Il faut donc avoir effectué un calcul linéaire statique
préalablement à l'utilisation de MODE_ITER_SIMULT pour le flambement.
Si le chargement est composé d'une partie fixe (non pilotée) et d'une partie variable, le coefficient
multiplicateur du chargement ne doit, bien sûr, porter que sur la partie variable. La contribution de
l'autre partie du chargement se retrouve dans le premier membre. Notons fc le chargement fixe et
fv le chargement piloté (proportionnel à µ ). Le problème aux valeurs propres devient :
(K +Kg(fc + µfv) x = 0 (K +Kg(fc) x = Kg(fv) x
K :
matérielle
rigidité
de
matrice
K g ( fc ) :
géométriqu
rigidité
de
matrice
pour
e
chargement
le
piloté
non
Avec
Kg(fv) :
géométriqu
rigidité
de
matrice
pour
e
chargement
le
variable
:
valeur propre
( = -µ)
Dans ce cas, il faut donc résoudre deux problèmes élastiques linéaires préalables, pour pouvoir
calculer les deux matrices de rigidité géométriques différentes.
Afin d'être exhaustif, la présentation portera sur une structure soumise à des déplacements imposés
ainsi que des efforts, qui seront la combinaison d'un chargement fixe et d'un chargement variable que
l'on pilotera avec un coefficient croissant pouvant conduire au flambage.
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1.1
Etape 1 : Calcul(s) linéaire(s) préalable(s)
On va se servir de MECA_STATIQUE. La structure, maillée en éléments de type coque (éléments de
type coques volumiques [bib3]), est soumise à des conditions aux limites de Dirichlet (CONDLIM) et de
Neumann. Ces dernières se décomposent en :
· PESA : champ de pesanteur,
· PRESPH : champ de pression imposé non piloté,
· PRESPS1 : champ de pression imposé variable.
Pour l'analyse de flambage, il faut séparer les efforts constants de ceux qui sont variables (pilotés par
un coefficient). On va donc faire deux calculs statiques linéaires. Le premier sera le cas de la structure
soumise aux déplacements imposés et aux efforts constants, le second verra la structure soumise aux
déplacements imposés et aux efforts variables.
Chargement piloté :
RESC11P1 = MECA_STATIQUE ( MODELE = MODELE ,
CHAM_MATER = CHMAT ,
CARA_ELEM = CARAELEM ,
EXCIT = ( _F( CHARGE = CONDLIM , ) ,
_F( CHARGE = PRESPS1 , ) , ) ,
OPTION = 'SIEF_ELGA_DEPL' ,
PLAN = 'MOY' , )
Chargement non piloté :
RESC12P1 = MECA_STATIQUE ( MODELE = MODELE ,
CHAM_MATER = CHMAT ,
CARA_ELEM = CARAELEM,
EXCIT = ( _F( CHARGE=CONDLIM , ) ,
_F( CHARGE = PESA , ) ,
_F( CHARGE = PRESPH , ) , ) ,
OPTION = 'SIEF_ELGA_DEPL' ,
PLAN = 'MOY' , )
On va utiliser le champ de contrainte pour calculer les matrices de rigidité géométrique associées, pour
les deux chargements :
SIGC11P1 = CREA_CHAMP ( TYPE_CHAM = 'ELGA_SIEF_R' ,
OPERATION = 'EXTR' ,
RESULTAT = RESC11P1 ,
NOM_CHAM = 'SIEF_ELGA_DEPL' ,
TYPE_MAXI = 'MINI' ,
TYPE_RESU = 'VALE' , )
#
REGC11P1 = CALC_MATR_ELEM ( OPTION = 'RIGI_GEOM' ,
MODELE = MODELE ,
CARA_ELEM = CARAELEM ,
SIEF_ELGA = SIGC11P1 , )
REGC11P1 est donc la matrice de raideur géométrique associée au cas de chargement variable
(PRESPS1).
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On calcule, de même, la matrice de raideur géométrique pour le chargement constant (PESA et
PRESPH), à partir de RESC12P1 :
SIGC12P1 = CREA_CHAMP ( TYPE_CHAM = 'ELGA_SIEF_R' ,
OPERATION = 'EXTR' ,
RESULTAT = RESC12P1 ,
NOM_CHAM = 'SIEF_ELGA_DEPL' ,
TYPE_MAXI = 'MINI' ,
TYPE_RESU = 'VALE' , )
#
REGC12P1 = CALC_MATR_ELEM ( OPTION = 'RIGI_GEOM' ,
MODELE = MODELE ,
CARA_ELEM = CARAELEM ,
SIEF_ELGA = SIGC12P1 , )
Il reste à calculer la matrice de rigidité matérielle pour le chargement total :
REMEP1 = CALC_MATR_ELEM ( OPTION = 'RIGI_MECA' ,
MODELE = MODELE ,
CHAM_MATER = CHMAT ,
CARA_ELEM = CARAELEM ,
CHARGE = ( CONDLIM , PESA ,
PRESPH , PRESPS1 , ) , )
Toutes les matrices élémentaires sont calculées, l'étape suivante est donc leur assemblage :
NUP1 = NUME_DDL ( MATR_RIGI = REMEP1 , )
#
RAMC1P1 = ASSE_MATRICE ( MATR_ELEM = REMEP1 ,
NUME_DDL = NUP1 , )
#
RAGEP1 = ASSE_MATRICE ( MATR_ELEM = REGC11P1 ,
NUME_DDL = NUP1 , )
#
RAGC12P1 = ASSE_MATRICE ( MATR_ELEM = REGC12P1 ,
NUME_DDL = NUP1 , )
On somme ensuite les matrices de rigidité matérielle (RAMC1P1) et géométrique (RAGC12P1)
correspondant au cas de chargement constant :
RAMEP1 = COMB_MATR_ASSE ( COMB_R = ( _F( MATR_ASSE = RAMC1P1 ,
COEF_R = 1.0 , ) ,
_F( MATR_ASSE = RAGC12P1 ,
COEF_R = 1.0 , ) , ) , )
Les deux matrices nécessaires au calcul des modes de flambement sont donc construites.
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1.2
Etape 2 : Calcul des modes d'Euler
Il peut être utile de faire des tests de STURM (opérateur IMPR_STURM) sur l'intervalle de recherche sur
lequel on veut trouver les cas de flambement. Ainsi, cela permettra d'optimiser la taille de l'intervalle et
de contrôler le bon déroulement du calcul modal ultérieur puisqu'on connaîtra d'avance le nombre de
modes existants. La syntaxe est :
IMPR_STURM ( MATR_A = RAMEP1 ,
MATR_B = RAGEP1 ,
TYPE_RESU = 'MODE_FLAMB' ,
CHAR_CRIT_MIN = -2.4 ,
CHAR_CRIT_MAX = -2.2 , )
Une fois l'intervalle de recherche de charge critique de flambage choisi, on peut alors mettre en oeuvre
MODE_ITER_SIMULT comme suit :
MODP1 = MODE_ITER_SIMULT ( MATR_A = RAMEP1 ,
MATR_B = RAGEP1 ,
TYPE_RESU = 'MODE_FLAMB' ,
CALC_FREQ = _F( OPTION = 'BANDE' ,
CHAR_CRIT = ( -2.4 ,-2.2 , ) ,
DIM_SOUS_ESPACE = 80 ,
NMAX_ITER_SOREN = 80 , ) , )
Remarque
Si l'algorithme ne converge pas ou si le nombre de modes n'est pas celui prédit par
IMPR_STURM, il peut être utile d'augmenter les valeurs de DIM_SOUS_ESPACE et
NMAX_ITER_SOREN.
On norme les modes [bib6], uniquement en se servant des degrés de liberté de translation :
MODP1 = NORM_MODE ( reuse = MODP1
MODE = MODP1 ,
NORME = 'TRAN' , )
Les modes peuvent ensuite être post-traités.
Remarques
·
Il est indispensable de vérifier que la raideur géométrique du modèle choisi est bien une
option disponible dans Code_Aster (par exemple, ce n'est pas le cas des DKT).
·
Une discrétisation plus fine conduit normalement à une baisse des charges critiques.
·
La discrétisation doit être apte à capter les modes de flambement, sachant que ces
modes peuvent engendrer des déformations localisées (plis). Le calcul préalable des
modes dynamiques peut constituer une première indication sur la qualité du maillage,
bien que ces modes puissent être très différents des modes de flambement.
·
Les charges critiques des différents modes sont proportionnelles au module d'Young E.
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2
Etude non linéaire quasistatique de la structure
Cette étape se justifie si la structure présente de fortes non linéarités, dont l'analyse d'Euler ne peut
tenir compte. L'opérateur de résolution des problèmes non linéaires en quasi-statique se nomme
STAT_NON_LINE [bib7].
Ces non linéarités peuvent être liées au matériau qui peut avoir un comportement élastoplastique
[bib8], comme dans l'exemple qui va suivre. La prise en compte du contact, voire du frottement, est
une autre source de non linéarités. On peut aussi citer le cas des chargements suiveurs, comme la
pression ([bib1] et [bib2] pour les éléments de type coques volumiques), qui nécessitent une approche
non linéaire.
Pour l'étude d'une structure potentiellement instable ou susceptible de connaître un point limite, qui
risque donc de rencontrer une bifurcation en solution au cours de l'évolution du chargement, il est
souvent utile de pouvoir choisir une branche de solution particulière (souvent la solution physique
quand elle est définie a priori sans ambiguïtés). Pour cela, l'utilisateur peut avoir à introduire un défaut
initial qui va « forcer » la structure à bifurquer sur la branche de solution particulière.
Plusieurs méthodes existent pour définir ce défaut.
· L'une des plus adaptée est de prédéformer légèrement la structure suivant l'allure du mode
d'Euler de flambement correspondant à la branche que l'on veut suivre. L'amplitude de cette
prédéformation doit être faible, par exemple moins de 1/10ème de l'épaisseur pour une
structure mince. L'idéal étant de trouver le défaut minimal qui est compatible avec une
performance satisfaisante de l'algorithme de résidu en équilibre. En effet, un défaut trop faible
peut entraîner une difficulté de convergence du résidu, principalement dans le cas d'un
pilotage en effort.
· Le défaut géométrique peut aussi être défini par mesures expérimentales de la pièce réelle
dont la géométrie ne saurait être parfaite.
· Le défaut peut aussi prendre la forme d'une perturbation du chargement (défaut d'alignement,
rajout d'un chargement localisé, ...) ou des caractéristiques mécaniques du matériau
(affaiblissement local du module d'Young, par exemple). Il peut néanmoins être alors plus
difficile d'adapter le défaut au mode de flambage désiré, surtout si la structure présente des
modes relativement voisins.
Remarque
Dans certains cas, même sur le problème non perturbé, le chargement est tel qu'il provoque la
bifurcation désirée.
Un des autres points particuliers, liés à l'instabilité, est le choix de la technique de pilotage de
l'algorithme STAT_NON_LINE. En effet, le pilotage classique en effort n'est plus adapté car il ne peut
capter une branche instable de solution. De même, à l'approche d'un point limite, la convergence avec
le pilotage en effort deviendra de plus en plus difficile, la matrice de rigidité tangente devenant
singulière. Il est alors nécessaire de réduire l'incrément de charge et d'augmenter le nombre maximal
d'itération pour continuer le calcul.
Il existe des techniques de pilotage [bib9] permettant de contourner ces difficultés numériques. Parmi
les méthodes proposées par le Code_Aster, celle dite par longueur d'arc [bib12] (option
TYPE='LONG_ARC' du mot clé PILOTAGE dans STAT_NON_LINE), qui est la plus adaptée pour les
instabilités de type flambage, dans le cas de snap-backs éventuels « doux » [bib13]. Pour les cas de
snap-backs plus brutaux, Crisfield propose une variante [bib13], non disponible dans la version 6 du
Code_Aster.
D'autres méthodes existent, comme celle de Riks [bib14] (non disponible non plus), qui traite aussi le
cas dynamique.
Si l'on ne veut qu'obtenir le point limite, y compris avec une bonne précision, un pilotage en
chargement peut suffire, à condition de bien gérer les paramètres de pas d'incrément de charge
(SUBD_PAS et SUBD_PAS_MINI du mot clé INCREMENT) et de nombre d'itérations maximal autorisé
(ITER_GLOB_MAXI de CONVERGENCE). Il peut aussi être utile, à l'approche du point limite, de ne plus
employer la matrice tangente réactualisée pour le solveur, puisqu'elle est quasi-singulière. On peut
alors se contenter de ne pas réactualiser cette matrice à chaque calcul (paramètres REAC_INCR et
REAC_ITER) ou, dans le pire des cas, adopter la matrice élastique de base
(PREDICTION='ELASTIQUE' et MATRICE='ELASTIQUE' du mot clé NEWTON).
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Voici un exemple d'utilisation de STAT_NON_LINE pour un calcul élastoplastique en grands
déplacements ([bib4] pour les éléments employés, qui sont de type coques volumiques), avec pilotage
en efforts :
RESU = STAT_NON_LINE ( MODELE = MODELE ,
CHAM_MATER = CHMAT ,
CARA_ELEM = CARAELEM ,
EXCIT = ( _F( CHARGE = CONDLIM ,
TYPE_CHARGE = 'FIXE_CSTE' , ) ,
_F( CHARGE = PESA ,
TYPE_CHARGE = 'FIXE_CSTE' , ) ,
_F( CHARGE = PRESPH ,
FONC_MULT = FONCMUL2 ,
TYPE_CHARGE = 'SUIV' , ) ,
_F( CHARGE = PRESPS1 ,
FONC_MULT = FONCMUL ,
TYPE_CHARGE = 'SUIV' , ) , ) ,
COMP_INCR = ( _F( RELATION = 'VMIS_ISOT_TRAC' ,
COQUE_NCOU = 1 ,
DEFORMATION = 'GREEN_GR' ,
GROUP_MA = ( 'VIROLE' , 'TOIT' ,
'ANNEAUX' , 'SGOU') ,
) , ) ,
COMP_ELAS = _F( RELATION = 'ELAS' ,
COQUE_NCOU = 1 ,
DEFORMATION = 'GREEN_GR' ,
GROUP_MA = 'LTIGE' , ) ,
INCREMENT = _F( LIST_INST = L_INST1 ,
NUME_INST_FIN = 14 ,
SUBD_PAS = 4 ,
SUBD_PAS_MINI = 1.E-9 , ) ,
NEWTON = _F( REAC_INCR = 1 ,
PREDICTION = 'TANGENTE' ,
MATRICE = 'TANGENTE' ,
REAC_ITER = 1 , ) ,
CONVERGENCE = _F( RESI_GLOB_RELA = 1.E-06 ,
ITER_GLOB_MAXI = 40 ,
ARRET = 'OUI' , ) ,
SOLVEUR = _F( METHODE = 'MULT_FRONT' ,
RENUM = 'METIS' , ) , )
Remarques
·
On utilise la matrice tangente réactualisée à chaque calcul, en autorisant le sous-
découpage du pas de charge.
·
Les pressions imposées sont des efforts suiveurs (TYPE_CHARGE='SUIV').
·
Dans le cas d'une modélisation en éléments massifs, le tenseur de déformation
recommandé en grands déplacements est `SIMO_MIEHE'.
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Si on veut remplacer le pilotage en effort par une méthode par longueur d'arc, il suffit d'écrire :
RESU = STAT_NON_LINE ( MODELE = MODELE ,
CHAM_MATER = CHMAT ,
CARA_ELEM = CARAELEM ,
EXCIT = ( _F( CHARGE = CONDLIM ,
TYPE_CHARGE = 'FIXE_CSTE' , ) ,
_F( CHARGE = PESA ,
TYPE_CHARGE = 'FIXE_CSTE' , ) ,
_F( CHARGE = PRESPH ,
FONC_MULT = FONCMUL2 ,
TYPE_CHARGE = 'SUIV' , ) ,
_F( CHARGE = PRESPS1 ,
TYPE_CHARGE = 'FIXE_PILO' , ) , ) ,
COMP_INCR = ( _F( RELATION = 'VMIS_ISOT_TRAC' ,
COQUE_NCOU = 1 ,
DEFORMATION = 'GREEN_GR' ,
GROUP_MA = ( 'VIROLE' , 'TOIT' ,
'ANNEAUX' , 'SGOU') ,
) , ) ,
COMP_ELAS = _F( RELATION = 'ELAS' ,
COQUE_NCOU = 1 ,
DEFORMATION = 'GREEN_GR' ,
GROUP_MA = 'LTIGE' , ) ,
INCREMENT = _F( LIST_INST = L_INST1 ,
NUME_INST_FIN = 14 ,
SUBD_PAS = 4 ,
SUBD_PAS_MINI = 1.E-9 , ) ,
NEWTON = _F( REAC_INCR = 1 ,
PREDICTION = 'TANGENTE' ,
MATRICE = 'TANGENTE' ,
REAC_ITER = 1 , ) ,
CONVERGENCE = _F( RESI_GLOB_RELA = 1.E-06 ,
ITER_GLOB_MAXI = 40 ,
ARRET = 'OUI' , ) ,
PILOTAGE = _F( GROUP_NO = 'G' ,
TYPE = 'LONG_ARC' ,
NOM_CMP = ( 'DY' , ) ,
COEF_MULT = 7. ) , )
Remarques
·
Dans la version 6 du Code_Aster, on ne peut pas piloter de forces suiveuses.
·
Pour le pilotage par longueur d'arc, il est, en général, recommandé que GROUP_NO
contienne toute la structure.
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Pour finir, citons deux articles de Crisfield qui donnent une bonne vision générale des problèmes et
méthodes liés aux calculs non linéaires pouvant présenter divers types d'instabilités ([bib15] et [bib11]).
Quelques cas-tests du Code_Aster traitant du flambage :
Modes d'Euler :
· sdls504
· sdls505
· ssll103
· ssll105
· ssll403
· ssll404
· ssls110
Modes d'Euler et calcul non linéaire :
· ssnl123
Calcul non linéaire :
· ssnl502
· ssnp305 : calcul jusqu'à un snap-through
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3 Bibliographie
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P. MASSIN, M. AL MIKDAD : Code_Aster, documentation de référence, [R3.03.07], 2000
[3]
P. MASSIN, A. LAULUSA : Code_Aster, documentation de référence, [R3.07.04], 2000
[4]
P. MASSIN, M. AL MIKDAD : Code_Aster, documentation de référence, [R3.07.05], 2000
[5]
O. BOITEAU : Code_Aster, documentation de référence, [R5.01.01], 2001
[6]
B. QUINNEZ, J.R. LEVESQUE : Code_Aster, documentation de référence, [R5.01.03], 1997
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N. TARDIEU, I. VAUTIER : Code_Aster, documentation de référence, [R5.03.01], 2001
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J.M. PROIX, E. LORENTZ : Code_Aster, documentation de référence, [R5.03.02], 2001
[9]
E. LORENTZ : Code_Aster, documentation de référence, [R5.03.80], 2001
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C. ROSE : Code_Aster, documentation de référence, [R6.02.02], 2001
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non-linear finite element method, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 27, 19-40,
1997
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M.A. CRISFIELD : A fast incremental iterative solution procedure that handles snap through,
Computers & Structures, Vol. 13, 55-62, 1981
[13]
H.-B. HELLWEG & M.A. CRISFIELD : A new arc-length method for handling sharp snap-
backs, Computers & Structures, Vol. 66, 705-709, 1998
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thin-walled shell structures, Comp. Meth. In Applied Mech. And Engrg., Vol. 1367, 59-92,
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J. SHI & M.A. CRISFIELD : Combining arc-length and line searches in path-following, Comm.
Numer. Meth. Engrg, Vol. 11, 793-803, 1995
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