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8.2
Titre :
Opérateurs AFFE_CHAR_THER et THER_F
Date :
22/02/06
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X. DESROCHES Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel d'Utilisation
Fascicule U4.4- : Modélisation
Document : U4.44.02
Opérateurs AFFE_CHAR_THER et
AFFE_CHAR_THER_F
1 But
Affecter des chargements et des conditions aux limites thermiques sur un modèle.
Pour l'opérateur AFFE_CHAR_THER, les valeurs affectées ne dépendent d'aucun paramètre et sont
définies par des valeurs réelles.
Pour l'opérateur AFFE_CHAR_THER_F, les valeurs sont fonction d'un ou deux paramètres à choisir
dans l'ensemble (INST, X, Y, Z) ou de la température TEMP en thermique non linéaire.
Ces fonctions doivent préalablement être définies par l'appel à un des opérateurs :
·
DEFI_CONSTANTE [U4.31.01]
·
DEFI_FONCTION [U4.31.02]
·
DEFI_NAPPE [U4.31.03]
·
CALC_FONC_INTERP [U4.32.01]
Le concept produit est de type char_ther.
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Opérateurs AFFE_CHAR_THER et THER_F
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2 Syntaxe
générale
ch [char_ther] = AFFE_CHAR_THER
( MODELE
= mo,
[modele]
| TEMP_IMPO =
(voir mot-clé TEMP_IMPO
[§
4.4]
)
|
FLUX_REP =
(voir mot-clé FLUX_REP
[§ 4.5] )
| RAYONNEMENT
=
(voir mot-clé RAYONNEMENT
[§ 4.7] )
|
ECHANGE =
(voir mot-clé ECHANGE
[§ 4.8] )
|
SOURCE =
(voir mot-clé SOURCE
[§ 4.9] )
| GRAD_TEMP_INIT
=
(voir mot-clé GRAD_TEMP_INIT [§ 4.10])
| LIAISON_DDL
=
(voir mot-clé LIAISON_DDL
[§ 4.11])
|
LIAISON_GROUP = (voir mot-clé LIAISON_GROUP
[§ 4.12])
|
LIAISON_MAIL =
(voir mot-clé LIAISON_MAIL [§
4.13])
|
ECHANGE_PAROI = (voir mot-clé ECHANGE_PAROI
[§ 4.14])
|
LIAISON_UNIF =
(voir mot-clé LIAISON_UNIF [§
4.15])
|
LIAISON_CHAMNO= (voir mot-clé LIAISON_CHAMNO [§ 4.16])
|
CONVECTION=
(voir mot-clé CONVECTION
[§ 4.17])
)
ch [char_ther] = AFFE_CHAR_THER_F
( MODELE
= mo,
[modele]
| TEMP_IMPO =
(voir mot-clé TEMP_IMPO
[§
4.4]
)
|
FLUX_REP =
(voir mot-clé FLUX_REP
[§ 4.5] )
|
FLUX_NL =
(voir mot-clé FLUX_NL
[§ 4.6] )
| RAYONNEMENT
=
(voir mot-clé RAYONNEMENT
[§ 4.7] )
|
ECHANGE =
(voir mot-clé ECHANGE
[§ 4.8] )
|
SOURCE =
(voir mot-clé SOURCE
[§ 4.9] )
|
GRAD_TEMP_INIT= (voir mot-clé GRAD_TEMP_INIT [§ 4.10])
| LIAISON_DDL
=
(voir mot-clé LIAISON_DDL
[§ 4.11])
|
LIAISON_GROUP = (voir mot-clé LIAISON_GROUP
[§ 4.12])
|
ECHANGE_PAROI = (voir mot-clé ECHANGE_PAROI
[§ 4.14])
|
LIAISON_UNIF =
(voir mot-clé LIAISON_UNIF [§
4.15])
|
CONVECTION =
(voir mot-clé CONVECTION
[§ 4.17])
)
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3 Généralités
Messages d'erreur possibles liés à la commande AFFE_CHAR_THER
Il arrive parfois qu'une commande de calcul thermique (THER_LINEAIRE, THER_NON_LINE, ...)
s'arrête en erreur fatale lors du calcul des seconds membres élémentaires dus aux chargements
définis dans les commandes AFFE_CHAR_THER_xx.
Lorsque le code s'arrête pendant ces calculs élémentaires, une information importante du message
d'erreur est le nom de l'option de calcul demandée par le code.
Le nom de cette option est en général inconnu de l'utilisateur et il lui est donc difficile de comprendre
le message.
Dans le tableau ci-dessous, on donne en vis-à-vis des noms des options de calcul, le nom de la
commande et du mot clé facteur qui permettent d'activer cette option.
Option de calcul élémentaire
Commande
Mot clé facteur
CHAR_THER_FLUNL AFFE_CHAR_THER_F
FLUX_NL
CHAR_THER_FLUN_F AFFE_CHAR_THER_F
FLUX_REP
CHAR_THER_FLUN_R AFFE_CHAR_THER
FLUX_REP
CHAR_THER_FLUTNL AFFE_CHAR_THER
CONVECTION
CHAR_THER_FLUTNL AFFE_CHAR_THER_F
CONVECTION
CHAR_THER_FLUX_F AFFE_CHAR_THER_F
FLUX_REP
CHAR_THER_FLUX_R AFFE_CHAR_THER
FLUX_REP
CHAR_THER_GRAI_F AFFE_CHAR_THER_F
GRAD_TEMP_INIT
CHAR_THER_GRAI_R AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
CHAR_THER_PARO_F AFFE_CHAR_THER_F
ECHANGE_PAROI
CHAR_THER_PARO_R AFFE_CHAR_THER
ECHANGE_PAROI
CHAR_THER_SOUR_F AFFE_CHAR_THER_F
SOURCE
CHAR_THER_SOUR_R AFFE_CHAR_THER
SOURCE
CHAR_THER_TEXT_F AFFE_CHAR_THER_F
ECHANGE
CHAR_THER_TEXT_R AFFE_CHAR_THER
ECHANGE
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4 Opérandes
4.1
Généralités sur les opérandes
4.1.1 Les deux formes d'opérandes sous un mot clé facteur
Les opérandes sous un mot clé facteur sont de deux formes :
·
les opérandes spécifiant les entités topologiques où sont affectés les chargements (mots-clés
GROUP_NO et GROUP_MA, etc ...). Les arguments de ces opérandes sont identiques pour les deux
opérateurs.
·
le ou les opérandes spécifiant les valeurs affectées (TEMP, COEF_H, etc ...). La signification de
ces opérandes est la même pour les deux opérateurs mais les arguments de ces opérandes sont
tous du type réel pour l'opérateur AFFE_CHAR_THER et du type fonction (créé par l'un des
opérateurs DEFI_FONCTION, DEFI_NAPPE, DEFI_CONSTANTE ou CALC_FONC_INTERP) pour
l'opérateur AFFE_CHAR_THER _F.
Nous ne distinguerons donc pas dans ce document, sauf mention expresse du contraire, les deux
opérateurs AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F.
4.1.2 Entités topologiques d'affectation des chargements
De façon générale, les entités topologiques sur lesquelles des valeurs doivent être affectées sont
définies :
·
par des noeuds et dans ce cas :
-
soit par l'opérande GROUP_NO permettant d'introduire une liste de groupe de noeuds,
-
soit par l'opérande NOEUD permettant d'introduire une liste de noeuds.
·
par maille et dans ce cas :
- soit
par
GROUP_MA permettant d'introduire une liste de groupes de mailles,
- soit
par
MAILLE permettant d'introduire une liste de mailles.
Règle :
Pour définir le domaine d'affectation le plus simplement possible, on utilise la règle de
surcharge c'est la dernière affectation qui prime.
4.2 Opérande
MODELE
MODELE
= mo,
Concept produit par l'opérateur AFFE_MODELE [U4.41.01] où sont définis les types d'éléments
finis affectés sur le maillage.
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4.3 Mot-clé
TEMP_IMPO
4.3.1 But
Mot clé facteur utilisable pour imposer, sur des noeuds ou des groupes de noeuds, une température.
Suivant le nom de l'opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_THER) ou
par l'intermédiaire d'un concept de type fonction (AFFE_CHAR_THER_F).
4.3.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
TEMP_IMPO = _F( |
TOUT =
'OUI',
|
NOEUD =
lno,
[l_noeud]
| GROUP_NO
=
lgno,
[l_gr_noeud]
| MAILLE
= lma, [l_maille]
| GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
/ TEMP = t,
[R]
/ |
TEMP = t,
[R]
| TEMP_INF
= tinf,
[R]
| TEMP_SUP
= tsup,
[R]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
TEMP_IMPO = _F( |
TOUT =
'OUI',
|
NOEUD =
lno,
[l_noeud]
| GROUP_NO
=
lgno,
[l_gr_noeud]
| MAILLE
= lma, [l_maille]
| GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
/
TEMP =
tf,
[fonction]
/ | TEMP = tf,
[fonction]
| TEMP_INF
=
tinf,
[fonction]
| TEMP_SUP
=
tsupf,
[fonction]
/
EVOL_THER
=
evth,
[evol_ther]
DDL
=
'TEMP',
)
4.3.3 Opérandes
/ TEMP
=
Valeur de la température imposée sur le(s) noeud(s) spécifié(s).
/ Pour les éléments de coque thermique uniquement (Modélisation : 'COQUE') :
| TEMP
Température sur le feuillet moyen imposée sur le(s) noeud(s) spécifié(s).
| TEMP_INF
Température imposée sur la paroi inférieure de la coque.
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| TEMP_SUP
Température imposée sur la paroi supérieure de la coque : cf. "Notice d'utilisation du modèle
de coque mince thermique" dans fascicule [U2].
Ces options permettent de représenter une variation parabolique de la température dans
l'épaisseur.
Remarque :
La coque est orientée par la connectivité des noeuds de la maille associée (cf. [U3.01.00]).
Soit n le vecteur normal orientant la coque :
n
Paroi supérieure
Paroi inférieure
/ EVOL_THER
=
(pour AFFE_CHAR_THER_F uniquement)
Permet d'affecter sur des noeuds une température imposée donnée via une structure de données
evol_ther préalablement calculée. En chaque noeud, on extrait de l'evol_ther une fonction
TEMP = f (INST) et on affecte cette fonction comme température imposée.
Cette possibilité n'existe actuellement que pour le degré de liberté 'TEMP'.
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4.4 Mot
clé
FLUX_REP
4.4.1 But
Mot clé facteur utilisable pour appliquer des flux normaux, à une face d'élément volumique ou de
coque thermique définie par une ou plusieurs mailles ou des groupes de mailles de type triangle ou
quadrangle. Ce mot clé permet également d'appliquer un flux normal à une arête (en 2D PLAN ou
AXIS ou AXIS_FOURIER) sur des mailles de type segment.
Suivant le nom de l'opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_THER) ou
par l'intermédiaire d'un concept de type fonction (AFFE_CHAR_THER_F).
4.4.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
FLUX_REP = _F
(
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE
= lma, [l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
/ FLUN = fl,
[R]
/ |
FLUN_INF
= flin,
[R]
|
FLUN_SUP
= flsup,
[R]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
FLUX_REP = _F
(
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE
= lma, [l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
/ FLUN
=
flf, [fonction]
/
|
FLUN_INF
= flinf,
[fonction]
|
FLUN_SUP
= flsupf, [fonction]
/
|
FLUX_X
= flx, [fonction]
|
FLUX_Y
= fly, [fonction]
|
FLUX_Z
= flz, [fonction]
)
4.4.3 Opérandes
/
FLUN : fl flux imposé normal à la maille.
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6,
3D, 3D_DIAG
QUAD4, QUAD8, QUAD9
SEG2, SEG3
PLAN, AXIS, AXIS_FOURIER,
PLAN_DIAG, AXIS_DIAG
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Plus précisément la condition aux limites appliquée est : (grad T .n) = fl
où est la conductivité thermique et n est la normale orientée dans le sens de la numérotation des
noeuds de la maille. La convention d'orientation est celle utilisée dans AFFE_CHAR_MECA [U4.44.01].
/ |
FLUN_INF = flin
|
FLUN_SUP = flsup
Flux normal imposé sur les parois inférieure et supérieure d'une coque thermique.
Ces chargements s'appliquent aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6
COQUE
n étant la normale orientant la surface [U4.44.01], la condition aux limites appliquée est :
(grad T .n) = flin où flin est le flux normal imposé sur la paroi inférieure de la coque,
(grad T .n) = flsup où flsup est le flux normal imposé sur la paroi supérieure de la coque.
n
Paroi supérieure
Paroi inférieure
/
|
FLUX_X = flx
|
FLUX_Y = fly
|
FLUX_Z = flz
Flux vectoriel dans le repère global (uniquement pour AFFE_CHAR_THER_F) que l'on projette sur
la normale à l'élément (pour la définition de la normale [U4.44.01]).
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations :
Maille Modélisation
SEG2, SEG3
PLAN
PLAN_DIAG
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4.5 Mot-clé
FLUX_NL
4.5.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour appliquer des flux normaux fonctions de la température, à une face
d'élément volumique définie par une ou plusieurs mailles ou des groupes de mailles de type triangle
ou quadrangle. Ce mot clé permet également d'appliquer un flux normal à une arête (en 2D PLAN ou
AXIS) sur des mailles de type segment. On peut ainsi modéliser une condition de rayonnement du
type loi de STEPHAN. Ce type de flux n'est utilisé que par les commandes THER_NON_LINE
[U4.54.02] et THER_NON_LINE_MO [U4.54.03].
Les valeurs sont fournies par un concept de type fonction.
4.5.2 Syntaxe
·
Pour AFFE_CHAR_THER_F
FLUX_NL = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE
= lma, [l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
FLUN =
fl, [fonction]
)
4.5.3 Opérandes
FLUN : flux imposé normal à la maille.
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6,
3D, 3D_DIAG
QUAD4, QUAD8, QUAD9
SEG2, SEG3
PLAN, AXIS
PLAN_DIAG, AXIS_DIAG
Plus précisément la condition aux limites appliquée est :
(grad T .n) = fl
où est la normale orientée dans le sens de la numérotation des noeuds de la maille. Orientation
utilisée dans AFFE_CHAR_MECA document [U4.44.01].
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4.6 Mot-clé
RAYONNEMENT
4.6.1 But
Mot-clé permettant de définir le flux rayonné à l'infini suivant la formule :
par la donnée de l'émissivité , la constante de Boltzmann
et la température à l'infini
exprimée
en Celsius. La température T sera elle aussi exprimée en Celsius, il faut donc veiller, par cohérence, à
n'utiliser que des degrés Celsius pour toute l'étude.
4.6.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
RAYONNEMENT = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE =
lma,
[l_maille]
|
GROUP_MA =
lgma,
[l_gr_maille]
SIGMA
=
sigma,
[R8]
EPSILON
=
epsilon,
[R8]
TEMP_EXT=
tex, [R8]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
RAYONNEMENT = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE =
lma,
[l_maille]
|
GROUP_MA =
lgma,
[l_gr_maille]
SIGMA
=
sigma,
[fonction]
EPSILON
=
epsilon,
[fonction]
TEMP_EXT=
tex, [fonction]
)
4.6.3 Opérandes
SIGMA =
sigma
EPSILON =
epsilon
TEMP_EXT
= tex
Ce chargement s'applique aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6,
3D, 3D_DIAG
QUAD4, QUAD8, QUAD9
SEG2, SEG3
PLAN, AXIS
PLAN_DIAG, AXIS_DIAG
sigma :
constante de Boltzmann, = 5.67 108 en unités SI (W/m2.K4) (attention à cette
valeur si les unités de maillage changent),
epsilon : émissivité,
tex :
température à l'infini en degrés Celsius.
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4.7 Mot-clé
ECHANGE
4.7.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour appliquer des conditions d'échange avec une température extérieure
à une face d'éléments volumiques ou de coques, définie par une ou plusieurs mailles ou des groupes
de mailles de type triangle ou quadrangle. Ce mot clé permet également d'appliquer des conditions
d'échange à une arête (en 2D PLAN ou AXIS ou AXIS_FOURIER) sur des mailles de type segment.
Suivant le nom de l'opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_THER) ou
par l'intermédiaire d'un concept de type fonction (AFFE_CHAR_THER_F).
4.7.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
ECHANGE = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE
= lma, [l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
/ COEF_H
= h,
[R]
TEMP_EXT
= tex, [R]
/ |
COEF_H_INF = hin, [R]
TEMP_EXT_INF
=
texin,
[R]
|
COEF_H_SUP = hsup,
[R]
TEMP_EXT_SUP = texsup,
[R]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
ECHANGE = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE
= lma, [l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
/ COEF_H =
hf, [fonction]
TEMP_EXT
= texf,
[fonction]
/ |
COEF_H_INF = hinf,
[fonction]
TEMP_EXT_INF = texinf,
[fonction]
|
COEF_H_SUP = hsupf,
[fonction]
TEMP_EXT_SUP = texsupf,
[fonction]
)
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4.7.3 Opérandes
/ COEF_H = h,
TEMP_EXT = tex,
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6,
3D, 3D_DIAG
QUAD4, QUAD8, QUAD9
SEG2, SEG3
PLAN, PLAN_DIAG
AXIS, AXIS_FOURIER,
AXIS_DIAG
Plus précisément la condition aux limites appliquée est :
où n est la normale orientée dans le sens de la numérotation des noeuds sommets (orientation
utilisée dans AFFE_CHAR_MECA [U4.44.01]).
/ |
COEF_H_INF =
hin,
TEMP_EXT_INF
= texin,
|
COEF_H_SUP =
hsup,
TEMP_EXT_SUP
= texsup,
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6
COQUE
n étant la normale orientant la surface [U3.01.00], la condition aux limites appliquée est :
où hin
coefficient d'échange sur la paroi inférieure de la coque,
et texin
température extérieure, coté paroi inférieure.
où hsup
coefficient d'échange sur la paroi supérieure de la coque,
et texsup
température extérieure, coté paroi extérieure.
n
Paroi supérieure
Paroi inférieure
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4.8 Mot-clé
SOURCE
4.8.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour appliquer des sources volumiques (2D ou 3D) à un domaine défini
par une ou plusieurs mailles ou des groupes de mailles de type volumique.
Suivant le nom de l'opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_THER) ou
par l'intermédiaire d'un concept de type fonction (AFFE_CHAR_THER_F).
4.8.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
SOURCE=_F
(
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE =
lma,
[l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
SOUR =
s,
[R]
/
SOUR_CALCULEE
=
chs, [cham_elem_sour_R]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
SOURCE=_F
(
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE =
lma,
[l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
SOUR = sf,
[fonction]
)
4.8.3 Opérandes
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
HEXA8, HEXA20, HEXA27
3D, 3D_DIAG
PYRA5, PYRA13,
PENTA6, PENTA15
TETRA4, TETRA10
TRIA3, TRIA6,
PLAN, PLAN_DIAG,
QUAD4, QUAD8, QUAD9
AXIS, AXIS_FOURIER
AXIS_DIAG
/
SOUR = s,
Valeur de la source supposée constante sur l'élément.
/
SOUR_CALCULEE = chs,
Nom du cham_elem_sour_R contenant sur chaque élément les valeurs de la source
discrétisée aux points de Gauss (1ère famille).
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8.2
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Opérateurs AFFE_CHAR_THER et THER_F
Date :
22/02/06
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
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4.9 Mot-clé
GRAD_TEMP_INIT
4.9.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour appliquer à un élément 3D ou 2D (PLAN, AXIS) un gradient de
température supposé uniforme dans l'élément. Ce gradient de température "initial" est utilisable par
exemple pour résoudre les problèmes élémentaires déterminant les correcteurs de thermique linéaire
stationnaire dans la cellule de base (2D, 3D), en homogénéisation périodique.
Les coefficients de conductibilité homogénéisée sont obtenus en calculant par l'opérateur POST_ELEM
[U4.81.22] mot-clé ENER_POT l'énergie dissipée thermiquement à l'équilibre en thermique linéaire à
partir des correcteurs.
A cause de l'analogie thermique, cette démarche peut être exploitée pour obtenir les correcteurs en
élasticité antiplane dans la cellule de base 2D, aussi bien qu'en conduction électrique.
L'affectation peut se faire sur une ou plusieurs mailles, un ou plusieurs groupes de mailles ou sur tous
les éléments du modèle.
4.9.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/
|
MAILLE
= lma, [l_maille]
|
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
| FLUX_X
=
flx, [R]
| FLUX_Y
=
fly, [R]
| FLUX_Z
=
flz, [R]
)
4.9.3 Opérandes
Ce chargement s'applique aux types de mailles et aux modélisations suivantes :
Maille Modélisation
TRIA3, TRIA6,
PLAN, AXIS,
QUAD4, QUAD8, QUAD9
PLAN_DIAG, AXIS_DIAG
HEXA8, HEXA20,
HEXA27
PENTA6, PENTA15,
3D, 3D_DIAG
TETRA4, TETRA10
PYRA5, PYRA13
|
FLUX_X = flx (flxf)
|
FLUX_Y = fly (flyf)
|
FLUX_Z = flz (flzf) (en 3D seulement)
Composantes du gradient de température
dans le repère global.
Le second membre élémentaire calculé est :
où
est le tenseur des
conductivités thermiques.
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Les gradients peuvent être fonction de la géométrie et/ou du temps.
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
GRAD_TEMP_INIT = _F (
/ TOUT =
'OUI',
/ MAILLE =
lma,
[l_maille]
/
GROUP_MA
= lgma,
[l_gr_maille]
| FLUX_X
=
flxf,
[fonction]
| FLUX_Y
=
flyf,
[fonction]
| FLUX_Z
=
flzf,
[fonction]
)
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4.10 Mot-clé
LIAISON_DDL
4.10.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour définir une relation linéaire entre des degrés de liberté de deux ou
plusieurs noeuds.
Suivant le nom de l'opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_THER) ou
par l'intermédiaire d'un concept fonction (AFFE_CHAR_THER_F).
4.10.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
LIAISON_DDL = _F (
/ NOEUD =
lno,
[l_noeud]
/
GROUP_NO
= lgno,
[l_gr_noeud]
DDL
=
| 'TEMP', [DEFAUT]
|
'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
COEF_MULT
=
i
,
[l_R]
COEF_IMPO
=
,
[R]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
LIAISON_DDL = _F (
/ NOEUD =
lno,
[l_noeud]
/
GROUP_NO
= lgno,
[l_gr_noeud]
DDL
=
| 'TEMP', [DEFAUT]
| 'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
COEF_MULT
=
i
,
[l_R]
COEF_IMPO
=
f
,
[fonction]
)
4.10.3 Opérandes
La liste des noeuds Ni (i = 1, r) définie par GROUP_NO ou NOEUD est ordonnée de façon naturelle :
·
dans l'ordre de la liste de groupe de noeuds, et pour chaque groupe de noeuds, dans l'ordre
de définition du groupe par GROUP_NO.
·
dans l'ordre de la liste de noeuds pour NOEUD.
L'argument de DDL doit être une liste de degrés de liberté Ti (i = 1, r) de r textes pris parmi :
'TEMP'
'TEMP_SUP'
'TEMP_INF'
Si le mot clé DDL est omis, par défaut la relation linéaire portera sur les degrés de liberté 'TEMP'.
L'argument de COEF_MULT doit être une liste (i = 1, r) de coefficients (de type réel pour
i
AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F).
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L'argument de COEF_IMPO est un coefficient pour AFFE_CHAR_THER, une fonction de l'espace
pour AFFE_CHAR_THER_F.
La condition cinématique suivante est appliquée :
Remarques :
Les composantes 'TEMP_SUP' et 'TEMP_INF' ne peuvent intervenir que dans des
combinaisons affectées uniquement à des noeuds qui appartiennent à des éléments de coque
(modélisation 'COQUE').
Dans le cas d'une relation linéaire entre les degrés de liberté d'un même noeud, on répétera
derrière le mot clé NOEUD le nom du noeud autant de fois qu'il y a de degrés de liberté dans la
relation. Exemple : pour imposer Tsup = Tinf sur le noeud N1, on écrira :
LIAISON_DDL = _F ( NOEUD = (N1,N1),
DDL
=
('TEMP_SUP',
'TEMP_INF'),
COEF_MULT
=
(1.,-1.),
COEF_IMPO
=
0.,
)
Il est important de noter qu'à une occurrence du mot clé facteur LIAISON_DDL correspond une et
une seule relation linéaire.
Si on veut imposer la même relation entre 2 groupes de noeuds GRN01 et GRN02 (même
température noeud à noeud par exemple) on ne peut pas écrire :
LIAISON_DDL = _F ( GROUP_NO = (GRN01,
GRN02),
DDL
=
('TEMP',
'TEMP'),
COEF_MULT
=
(1.,-1.),
COEF_IMPO
=
0.,
)
Cette écriture n'a de sens que si GRN01 et GRN02 ne contiennent chacun qu'un seul noeud. Il
faudra dans le cas ci-dessus expliciter chaque relation linéaire, noeud par noeud.
Le mot-clé LIAISON_GROUP permet par contre de condenser l'écriture des relations
linéaires entre 2 groupes de noeuds en vis-à-vis.
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4.11 Mot-clé
LIAISON_GROUP
4.11.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour définir des relations linéaires entre des couples de noeuds, ces couples
de noeuds étant obtenus en mettant en vis-à-vis deux listes de mailles ou de noeuds.
Suivant le nom de l'opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_THER) ou
par l'intermédiaire d'un concept fonction (AFFE_CHAR_THER_F).
4.11.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
LIAISON_GROUP=_F
(
/
/
MAILLE_1 = lma1, [l_maille]
/
GROUP_MA_1 =
lgma1,
[l_gr_maille]
/ MAILLE_2 = lma2, [l_maille]
/
GROUP_MA_2 =
lgma2,
[l_gr_maille]
/
/
NOEUD_1 = lno1,
[l_noeud]
/
GROUP_NO_1 =
lgno1,
[l_gr_noeud]
/ NOEUD_2 = lno2,
[l_noeud]
/
GROUP_NO_2 =
lgno2,
[l_gr_noeud]
/
SANS_NOEUD =
lno, [l_noeud]
/
SANS_GROUP_NO
=
lgno,
[l_gr_noeud]
DDL_1 = | 'TEMP', [DEFAUT]
| 'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
DDL_2 = | 'TEMP', [DEFAUT]
| 'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
COEF_MULT_1 = 1i , [l_R]
COEF_MULT_2 = 2i , [l_R]
COEF_IMPO
=
,
[R]
|
CENTRE
=
lr
,
[l_R]
|
ANGL_NAUT
=
lr
,
[l_R]
|
TRAN =
lr
,
[l_R]
SOMMET
=
'OUI',
)
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·
pour AFFE_CHAR_THER_F
LIAISON_GROUP=_F
(
/
/
MAILLE_1 = lma1, [l_maille]
/
GROUP_MA_1 =
lgma1,
[l_gr_maille]
/ MAILLE_2 = lma2, [l_maille]
/
GROUP_MA_2 =
lgma2,
[l_gr_maille]
/
/
NOEUD_1 = lno1,
[l_noeud]
/
GROUP_NO_1 =
lgno1,
[l_gr_noeud]
/ NOEUD_2 = lno2,
[l_noeud]
/
GROUP_NO_2 =
lgno2,
[l_gr_noeud]
/
SANS_NOEUD =
lno, [l_noeud]
/
SANS_GROUP_NO
=
lgno,
[l_gr_noeud]
DDL_1 = | 'TEMP', [DEFAUT]
|
'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
DDL_2 = | 'TEMP', [DEFAUT]
| 'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
COEF_MULT_1 = 1i , [l_R]
COEF_MULT_2 = 2i , [l_R]
COEF_IMPO
= f
,
[fonction]
|
CENTRE
=
lr
,
[l_R]
|
ANGL_NAUT
=
lr
,
[l_R]
|
TRAN =
lr
,
[l_R]
SOMMET
=
'OUI'
)
4.11.3 Opérandes
T
O
1
2
Figure 4.11.3-a : Transformation géométrique
d'une frontière en une autre
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Condition cinématique "générale" :
/ / MAILLE_1
=
/
GROUP_MA_1
=
Ces opérandes définissent
par l'intermédiaire des mailles qui le composent.
/ MAILLE_2
=
/
GROUP_MA_2
=
Ces opérandes définissent 2 par l'intermédiaire des mailles qui le composent.
/ / NOEUD_1
=
/
GROUP_NO_1
=
Ces opérandes définissent
par l'intermédiaire des noeuds qui le composent.
/ NOEUD_2
=
/
GROUP_NO_2
=
Ces opérandes définissent 2 par l'intermédiaire des noeuds qui le composent.
/ SANS_GROUP_NO
=:
/
SANS_NOEUD
=
Ces opérandes permettent de supprimer de la liste des couples de noeuds en vis-à-vis tous
les couples dont au moins un des noeuds appartient à la liste de noeuds décrite par ces
opérandes.
Cela permet d'éviter l'accumulation de relations linéaires sur un même noeud au cours de
différentes itérations sur le mot clé facteur LIAISON_GROUP ce qui conduit la plupart du
temps à une matrice singulière.
COEF_MULT_1 (resp. COEF_MULT_2)
Liste de réels exactement dimensionnée au nombre de degrés de liberté déclarés dans
DDL_1 (resp. DDL_2) correspondant aux coefficients multiplicateurs de la relation linéaire.
COEF_IMPO : coefficient de blocage de la relation linéaire :
: réel
pour
AFFE_CHAR_THER
f
: fonction
pour
AFFE_CHAR_THER_F
CENTRE
:
coordonnées du centre de rotation
ANGL_NAUT
: angles nautiques en degrés définissant la rotation (voir AFFE_CARA_ELEM
[U4.42.01] mot clé ORIENTATION)
TRAN : composantes du vecteur translation
Ces opérandes permettent de définir une transformation virtuelle (rotation et/ou translation)
approximative de 1 en 2 afin d'assurer la bijectivité de la fonction vis-à-vis.
DDL_1
(resp. DDL_2) :
Liste de textes pris parmi :
'TEMP', 'TEMP_INF', 'TEMP_SUP'
'TEMP_INF' et 'TEMP_SUP' ne peuvent être utilisés que pour des éléments de coque
thermique (modélisation : 'COQUE').
Par défaut, le degré de liberté considéré pour tous les noeuds des relations linéaires est
'TEMP'.
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SOMMET = 'OUI'
Lorsque les mailles de bord sont quadratiques, l'utilisation de SOMMET : 'OUI' force
l'algorithme d'appariement à associer les noeuds sommets à d'autres noeuds sommets. Dans
le cas de maillages fins, cela permet dans certains cas d'éviter les problèmes de conflits de
vis-à-vis.
4.11.4 Utilisation de LIAISON_GROUP
·
LIAISON_GROUP ne génère des relations linéaires qu'entre 2 noeuds (un sur 1 , un sur 2 )
Pour générer des relations linéaires sur plus de 2 noeuds, utiliser le mot clé LIAISON_DDL.
·
détermination des couples de noeuds en vis-à-vis :
dans un premier temps, on établit les deux listes de noeuds à mettre en vis-à-vis (ie à
apparier), pour chaque occurrence du mot-clé facteur LIAISON_GROUP :
·
pour les mots-clés GROUP_NO_1 et GROUP_NO_2, ce sont les noeuds constituant les
groupes de noeuds,
·
pour les mots-clés GROUP_MA_1 et GROUP_MA_2, ce sont les noeuds des mailles
constituant les groupes de mailles.
Les redondances étant éliminées, les deux listes de noeuds obtenues doivent avoir la même
longueur.
La détermination des couples de noeuds en vis-à-vis se fait en plusieurs étapes :
·
pour chaque noeud N1 de la première liste, on cherche le noeud image N2 = f(N1) de la
deuxième liste. Si f n'est pas injective (un noeud N2 est l'image de deux noeuds distincts
N1 et N1'), le message d'erreur suivant est émis :
<F> <AFFE_CHAR_THER> <PACOAP> CONFLIT DANS LES VIS-A-VIS
DES
NOEUDS
LE NOEUD N2 EST LE VIS-A-VIS DES NOEUDS N1 ET N1'
·
pour chaque noeud N2 de la deuxième liste, on cherche le noeud image N1 = g(N2) de la
première liste. Si g n'est pas injective (un noeud N1 est l'image de deux noeuds distincts
N2 et N2'), le message d'erreur suivant est émis :
<F> <AFFE_CHAR_MECA> <PACOAP> CONFLIT DANS LES VIS-A-VIS
DES
NOEUDS
LE NOEUD N1 EST LE VIS-A-VIS DES NOEUDS N2 ET N2'
·
on vérifie que g = f1, c'est-à-dire que les couples obtenus par les étapes a) et b) sont les
mêmes (on veut avoir une bijection f entre les deux listes de noeuds). Si f n'est pas
surjective, le message d'erreur suivant est émis :
<F> <AFFE_CHAR_MECA> <PACOAP> CONFLIT DANS LES VIS-A-VIS GENERES
SUCCESSIVEMENT A PARTIR DES LISTES LIST1 ET LIST2
LE NOEUD DE LA PREMIERE LISTE N1 N'EST L'IMAGE D'AUCUN NOEUD PAR
LA
CORRESPONDANCE
INVERSE
Pour un noeud N donné, on appelle noeud image f(N) le noeud de l'autre liste de noeuds qui
réalise le minimum de la distance avec N. Pour faciliter l'appariement, notamment dans le cas
de géométries particulières (où les frontières 1 et 2 pourraient "presque" se déduire l'une de
l'autre par la composition d'une translation et d'une rotation), on offre la possibilité de faire
une transformation géométrique virtuelle du premier groupe de noeuds (translation et rotation
(cf. [Figure 4.11.3-a]) avant de calculer les distances (mots-clés TRAN, CENTRE et
ANGL_NAUT).
Pour chaque occurrence du mot-clé facteur LIAISON_GROUP, on construit ainsi la liste des
nouveaux couples en vis-à-vis. Lorsqu'on a balayé toutes les occurrences, on supprime de la
liste les couples en double.
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Remarque :
Dans les couples de noeuds en vis-à-vis, l'ordre des noeuds est important. Si pour la
première occurrence de LIAISON_GROUP, un noeud N appartenait au premier groupe de
noeuds et un noeud M au deuxième groupe de noeuds, et que pour la seconde occurrence
de LIAISON_GROUP, c'est l'inverse, on obtiendra à l'issue de l'appariement les couples (N,
M) et (M, N). Ils ne seront pas éliminés lors de la détection des redondances ; par contre, la
matrice obtenue sera singulière. Ainsi, on conseille de garder la même logique lors de la
description des bords en vis-à-vis.
4.12 Mot-clé
LIAISON_MAIL
4.12.1 But
Mot-clé facteur permettant de "recoller thermiquement" deux bords d'une structure. Ces bords peuvent
être maillés différemment (maillages incompatibles) mais doivent se déduire l'un de l'autre par rotation
et/ou translation.
4.12.2 Syntaxe
·
dans AFFE_CHAR_THER seulement
LIAISON_MAIL
=_F
(
| GROUP_MA_MAIT
=
lgma_mait,
|
MAILLE_MAIT =
lma_mait,
| GROUP_MA_ESCL
=
lgma_escl,
|
MAILLE_ESCL =
lma_escl,
| GROUP_NO_ESCL
=
lgno_escl,
|
NOEUD_ESCL =
lno_escl,
| TRAN =
(tx, ty, [tz]),
[l_R]
|
CENTRE =
(xc, yc, [zc]),
[l_R]
ANGL_NAUT = (alpha, [beta, gamma]), [l_R]
)
La face 1 est appelée face "maître", la face 2 face "esclave".
4.12.3 Opérandes
4.12.3.1 GROUP_MA_ESCL / MAILLE_ESCL / GROUP_NO_ESCL / NOEUD_ESCL
Ces mots-clés permettent de définir l'ensemble des noeuds de la face esclave. On prend tous les
noeuds spécifiés par les mots clés GROUP_NO_ESCL et NOEUD_ESCL plus éventuellement les noeuds
portés par les mailles spécifiées par les mots clés GROUP_MA_ESCL et MAILLE_ESCL.
4.12.3.2 GROUP_MA_MAIT / MAILLE_MAIT
Ces mots-clés permettent de définir l'ensemble des mailles où l'on cherchera les vis-à-vis des noeuds
de la face esclave.
Il ne faut pas donner les mailles de surface (en 3D) composant la face maître, mais les mailles
volumiques adjacentes à la face maître. Les mailles spécifiées sont des candidates pour la recherche
des vis-à-vis. On peut en donner trop.
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4.12.3.3 CENTRE / ANGL_NAUT / TRAN
Ces opérandes permettent de définir la transformation géométrique (rotation et/ou translation)
permettant de passer de la face esclave à la face maître. La commande effectue d'abord la rotation
puis la translation.
Attention : la transformation est dans le sens esclave-maître.
Cette condition aux limites s'applique aux modélisations planes ('PLAN' ou 'AXIS') ou volumiques
('3D').
4.13 Mot-clé
ECHANGE_PAROI
4.13.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour appliquer des conditions d'échange thermique entre 2 parois définies
chacune par une ou plusieurs mailles ou un ou plusieurs groupes de mailles.
4.13.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER
ECHANGE_PAROI=_F
(
/
GROUP_MA_1
=
lgma,
[l_gr_maille]
/
MAILLE_1
= lma, [l_maille]
/ GROUP_MA_2
=
lgma,
[l_gr_maille]
/
MAILLE_2
= lma, [l_maille]
COEF_H
=
h,
[R]
| TRAN
=
lr,
[l_R]
| ANGL_NAUT
=
lr,
[l_R]
| CENTRE
=
lr,
[l_R]
)
·
pour AFFE_CHAR_THER_F
ECHANGE_PAROI=_F
(
/
GROUP_MA_1
=
lgma,
[l_gr_maille]
/
MAILLE_1
= lma, [l_maille]
/ GROUP_MA_2
=
lgma,
[l_gr_maille]
/
MAILLE_2
= lma, [l_maille]
COEF_H
=
hf,
[fonction]
| TRAN
=
lr
,
[l_R]
| ANGL_NAUT
=
lr
,
[l_R]
| CENTRE
=
lr
,
[l_R]
)
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4.13.3 Opérandes
/ GROUP_MA_1
/
MAILLE_1
/ GROUP_MA_2
/
MAILLE_2
T
n2
n1
O
1
2
Figure 4.13.3-a
Ces opérandes permettent de définir les 2 listes de mailles représentant pour la liste
indicée _1 la paroi 1 pour la liste indicée _2 la paroi 2.
Les parois sont en correspondance et doivent comporter le même nombre de mailles et
de noeuds.
La condition limite appliquée entre ces 2 parois est :
f représentant la bijection qui met en vis-à-vis un noeud de 1 et un noeud de 2.
/ COEF_H
=
Coefficient d'échange constant entre les 2 parois :
réel pour l'opérateur AFFE_CHAR_THER, fonction pour l'opérateur AFFE_CHAR_THER_F.
|
TRAN = composantes du vecteur translation
| ANGL_NAUT
= angles nautiques définissant la rotation
| CENTRE
= coordonnées du centre de rotation
Ces opérandes permettent de définir une transformation virtuelle (rotation et/ou translation)
approximative de 1 en 2 afin d'assurer la bijectivité de la fonction en vis-à-vis.
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TRAN
: caractérise une translation T
en 2D on a donc
:
TRAN = (tx, ty)
en 3D on a
:
TRAN = (tx, ty, tz)
ANGL_NAUT
:
angle nautique permettant de définir une rotation
en 2D
:
1 angle
en 3D
:
3 angles (cf. [U4.42.01])
CENTRE
:
centre de rotation
en 2D
:
(ox, oy)
en 3D
:
(ox, oy, oz)
4.13.4 Utilisation de ECHANGE_PAROI
L'utilisateur donne deux listes de mailles dont seront issus les couples de noeuds appariés. Ces listes
sont d'abord triées par type de maille : les noeuds appariés proviendront de mailles de type identique.
Pour chaque maille de la première liste, on détermine la maille la plus proche dans la deuxième liste
en calculant toutes les distances des noeuds pris deux à deux (on parcourt toutes les permutations
possibles). La distance minimum obtenue définit à la fois la maille en vis-à-vis et les couples de
noeuds appariés pour les deux mailles concernées. Comme dans LIAISON_GROUP [§4.11], il est
possible d'effectuer une transformation géométrique virtuelle (rotation et/ou translation) avant de
calculer les distances.
4.13.5 Mailles et modélisations supportant ce chargement :
Maille de bord
Modélisation
Maille de couplage générée
SEG2, SEG3
PLAN, PLAN_DIAG
SEG22, SEG33
AXIS, AXIS_DIAG
TRIA3, TRIA6,
3D, 3D_DIAG
TRIA33, TRIA66,
QUAD4, QUAD8, QUAD9
QUAD44, QUAD88, QUAD99
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Fascicule U4.4- : Modélisation
HT-62/06/004/A
Code_Aster ®
Version
8.2
Titre :
Opérateurs AFFE_CHAR_THER et THER_F
Date :
22/02/06
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
U4.44.02-I1 Page
: 26/28
4.14 Mot-clé
LIAISON_UNIF
4.14.1 But
Mot-clé facteur permettant d'imposer une même valeur (inconnue) aux températures d'un ensemble
de noeuds.
Ces noeuds sont définis par les groupes de mailles, les mailles, les groupes de noeuds ou la liste de
noeuds auxquels ils appartiennent.
4.14.2 Syntaxe
·
pour AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F
LIAISON_UNIF
=_F
(
/ MAILLE
= lma
,
[l_maille]
/
GROUP_MA
=
lgma,
[l_gr_maille]
/
NOEUD
=
lno, [l_noeud]
/
GROUP_NO
=
lgno,
[l_gr_noeud]
DDL = | 'TEMP'
,
[DEFAUT]
| 'TEMP_INF',
| 'TEMP_SUP',
)
4.14.3 Opérandes
/ MAILLE
/
GROUP_MA
/
NOEUD
/
GROUP_NO
Ces opérandes permettent de définir une liste de noeuds
dont on a éliminé les
redondances (pour MAILLE et GROUP_MA, il s'agit des connectivités des mailles).
DDL
Cet opérande permet de définir une liste de degrés de liberté
de textes pris
parmi : 'TEMP', 'TEMP_INF', 'TEMP_SUP'.
Les
conditions 'cinématiques' résultantes sont :
Remarque :
Les composantes 'TEMP_SUP', 'TEMP_INF' ne peuvent intervenir que pour des noeuds
d'éléments de coque.
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4.15 Mot-clé
LIAISON_CHAMNO
4.15.1 But
Mot-clé facteur utilisable pour définir une relation linéaire entre toutes les températures présentes
dans un concept CHAM_NO.
4.15.2 Syntaxe
LIAISON_CHAMNO = _F (
CHAM_NO = chamno,
[cham_no]
COEF_IMPO = ,
[R]
NUME_LAGR
=
/
'NORMAL',
[DEFAUT]
/
'APRES'
,
)
4.15.3 Opérandes
CHAM_NO =
Nom du chamno qui sert à définir la relation linéaire. Les températures reliées sont toutes celles
présentes dans le chamno. Les coefficients à appliquer aux températures sont les valeurs de ces
températures dans le chamno.
Exemple :
Supposons que l'on ait un chamno portant sur 3 noeuds de nom N01, N02 et N03.
Supposons que les valeurs des températures en ces 3 noeuds dans le chamno soient
respectivement 2., 5.4 et 9.1. La relation linéaire que l'on va imposer est 2.*Temp(N01) +
5.4*Temp(N02) + 9.1*Temp(N03) =
COEF_IMPO =
C'est la valeur du coefficient réel au second membre de la relation linéaire.
NUME_LAGR =
Si 'NORMAL', les 2 multiplicateurs de Lagrange associés à la relation seront tels que le premier sera
situé avant tous les termes impliqués dans la relation et le second après, dans la matrice assemblée.
Si 'APRES', les 2 multiplicateurs de Lagrange associés à la relation seront situé après tous les
termes impliqués dans la relation, dans la matrice assemblée.
Ce choix présente l'avantage d'avoir une matrice assemblée dont l'encombrement est plus faible mais
a le désavantage de pouvoir faire apparaître une singularité dans la matrice.
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4.16 Mot-clé
CONVECTION
4.16.1 But
Mot-clé utilisable pour prendre en compte le terme de transport de chaleur par convection dont
l'expression est
, apparaissant dans l'expression de la dérivée particulaire
.
Dans le cas d'un milieu liquide, V désigne la vitesse imposée de la particule fluide au point courant.
Dans le cas d'un milieu solide mobile, V désigne la vitesse du solide. Dans tous les cas, on suppose
que le champ de vitesse est connu a priori. Le cas d'un solide mobile est assez fréquent en pratique. Il
concerne en particulier les applications de soudage ou de traitement de surface qui mettent en jeu une
source de chaleur se déplaçant dans une direction et à une vitesse données.
Le problème thermique est alors étudié dans un référentiel lié à la source (cf. THER_NON_LINE_MO
[U4.54.03]).
4.16.2 Syntaxe
CONVECTION = _F (
VITESSE
=
v
[cham_no_depl_R])
4.16.3 Opérande
Pour AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F,
VITESSE =
Nom du champ de vitesse à l'instant où l'on réalise le calcul.
Ce champ est un concept cham_no de type cham_no_depl_R. Il doit avoir été défini sur tout le
modèle pour lequel on réalise le calcul.
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