Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Paramètres modaux et norme des vecteurs propres
Date :
10/09/97
Auteur(s) :
B. QUINNEZ J.R. LEVESQUE
Clé :
R5.01.03-A
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R5.01 : Analyse modale
Document R5.01.03 :

Paramètres modaux et norme des vecteurs propres
Résumé :
Dans ce document, on décrit :
· les différentes possibilités dans le Code_Aster pour normer les modes propres,
· les paramètres modaux importants associés aux modes propres.
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Fascicule R5.01 : Analyse modale
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Table des matières
1 Définition du problème aux valeurs propres .......................................................................................... 3
1.1 Généralités ...................................................................................................................................... 3
1.2 Problème généralisé........................................................................................................................ 3
1.3 Problème quadratique ..................................................................................................................... 4
2 Norme des modes propres du problème généralisé.............................................................................. 5
2.1 Composantes d'un mode propre ..................................................................................................... 5
2.2 Norme euclidienne........................................................................................................................... 5
2.3 Norme "plus grande composante à 1"............................................................................................. 6
2.4 Norme masse ou rigidité généralisée unitaire ................................................................................. 6
3 Norme des modes propres du problème quadratique ........................................................................... 7
3.1 Normes euclidienne et "plus grande composante à 1".................................................................... 7
3.2 Norme masse ou rigidité généralisée unitaire ................................................................................. 7
4 Paramètres modaux associés pour le problème généralisé.................................................................. 8
4.1 Grandeurs généralisées .................................................................................................................. 8
4.1.1 Définition ................................................................................................................................ 8
4.1.2 Utilisation................................................................................................................................ 9
4.2 Masses modales effectives et masses modales effectives unitaires .............................................. 9
4.2.1 Masses modales effectives .................................................................................................... 9
4.2.2 Propriété............................................................................................................................... 10
4.2.3 Masses modales effectives unitaires ................................................................................... 10
4.2.4 Utilisation.............................................................................................................................. 10
4.2.5 Directions privilégiées dans le Code_Aster.......................................................................... 10
4.3 Facteurs de participation ............................................................................................................... 11
4.3.1 Définition .............................................................................................................................. 11
4.3.2 Propriété............................................................................................................................... 11
4.3.3 Utilisation.............................................................................................................................. 11
4.4 Vecteur déplacement unitaire........................................................................................................ 11
5 Paramètres modaux associés pour le problème quadratique ............................................................. 12
6 Bibliographie ........................................................................................................................................ 12
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1
Définition du problème aux valeurs propres
1.1 Généralités
Soit le problème aux valeurs propres suivant :
Trouver
(,) C × Cn / (2 B + C+ A) = 0
éq 1.1-1
A, C, B sont des matrices réelles symétriques positives d'ordre n .
On distingue deux cas :
· problème quadratique : C 0 ,
· problème généralisé : C = 0 .
est appelé valeur propre et vecteur propre. Dans la suite, on parlera de mode propre pour et
on introduira la notion de fréquence propre.
Pour résoudre ce problème, plusieurs méthodes sont disponibles dans le Code_Aster et on renvoie le
lecteur aux documents [R5.01.01] et [R5.01.02].
1.2 Problème
généralisé
Le problème généralisé peut s'écrire sous la forme :
Trouver
(,) × n / (- 2 B + A) = 0
éq 1.2-1
On introduit deux autres grandeurs qui permettent de caractériser le mode propre :
= = (
2 f )
éq 1.2-2

: pulsation propre associée au mode propre ,
f : fréquence propre associée au mode propre .
On montre également que les modes propres sont A et B orthogonaux, c'est-à-dire :
iT A j
iT
i
=

ij
A

éq 1.2-3
iT B j
iT
i
= ij
B


où (i j
,
) sont deux modes propres.
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1.3 Problème
quadratique
Le problème quadratique [éq 1.1-1] peut se mettre sous une autre forme de taille double (on parle de
réduction linéaire [R5.01.02]) :
Trouver
(
0 B - B 0
, ) C × Cn /
+

= 0
éq 1.3-1
B

C
0
A
! 0 B !
- B 0
On pose dans la suite : B =
A
B

C
= 0 A.




Comme les matrices A, C, B sont réelles, les valeurs et modes propres sont imaginaires conjugués
deux à deux.
On introduit trois autres grandeurs qui permettent de caractériser le mode propre :

(
2 f )
= a + i b = -
+ i = -
+ i (
2 f )
éq 1.3-2
1 - 2
1 - 2

: pulsation propre associée au mode propre ,
f : fréquence propre associée au mode propre ,
: amortissement réduit.
0 B
- B 0
On montre également que les modes propres sont
orthogonaux, c'est-à-dire :
B

C et



0
A
(
iT
j
iT
j
iT
i
iT
i
i + j ) B + C = ij (2 i B + C )

éq 1.3-3
-
iT
j
iT
j
2
iT
i
iT
i
i j B +
A = ij


(-i B + A )
où (
i
j
i , j ) sont les valeurs propres associées respectivement aux modes propres ( , ) .
Remarque :
les modes propres ne sont donc pas A, B ou C orthogonaux.
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2
Norme des modes propres du problème généralisé
On suppose avoir calculé un couple (, ) solution du problème [éq 1.2-1] : est la valeur propre
associée au mode propre . On considère pour l'instant seulement le cas du problème généralisé.
Dans le Code_Aster, la commande NORM_MODE [U4.06.02] permet d'imposer un type de normalisation
pour l'ensemble des modes.
2.1
Composantes d'un mode propre
Soit un mode propre de composantes (j )
.
j= n
1,
Parmi ces composantes, on distingue :
· les composantes ou degrés de liberté appelés "physiques" (ce sont par exemple les degrés
de liberté de déplacement (DX,DY,DZ), les degrés de liberté de rotation (DRX,DRY,DRZ), le
potentiel caractérisant un fluide irrotationnel (PHI), ...),
· les composantes de Lagrange (les paramètres de Lagrange sont des inconnues
supplémentaires qui sont rajoutées au problème "physique" initial afin que les conditions aux
limites soient vérifiées [R3.03.01]).
Dans le Code_Aster, on dispose de trois familles de normes :
· norme
euclidienne,
· norme : "plus grande composante à 1" parmi un groupe de degrés de liberté défini,
· norme masse ou rigidité généralisée unitaire.
On les décrit successivement.
Auparavant, on définit L une famille d'indices qui contient m termes :
L = {l , k = ,1m avec 1 l }
n et 1 m n
k
k
.
2.2 Norme
euclidienne
1/2
m
2
On définit la norme suivante :
= (
2
lk )
k 1
=

1

1

On obtient alors le vecteur normé "
: " =

"j =
j j = ,1
n .
2

2

Dans le Code_Aster , deux normes de cette famille sont disponibles :
· NORME='EUCL' : L correspond à l'ensemble des indices qui caractérisent un degré de
liberté physique,
· NORME='EUCL_TRAN' : L correspond à l'ensemble des indices qui caractérisent un degré
de liberté physique de déplacement en translation (DX,DY,DZ).
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2.3
Norme "plus grande composante à 1"
On définit la norme suivante :
= max

l
k = ,m
k
1
1

1

On obtient alors le vecteur normé "
: " =

"j =
j j = ,1
n .




Dans le Code_Aster , cinq normes de cette famille sont disponibles :
· NORME='SANS_CMP=LAGR' : L correspond à l'ensemble des indices qui caractérisent un
degré de liberté physique,
· NORME='TRAN' : L correspond à l'ensemble des indices qui caractérisent un degré de
liberté physique de déplacement en translation (DX,DY,DZ),
· NORME='TRAN_ROTA' : L correspond à l'ensemble des indices qui caractérisent un degré
de liberté physique de déplacement en translation et en rotation (DX,DY,DZ,DRX,DRY,DRZ),
· NORME='AVEC_CMP' ou 'SANS_CMP' : L est construit soit en prenant tous les indices qui
correspondent à des types de composantes stipulés par l'utilisateur (par exemple le type
déplacement suivant l'axe x : 'DX') (NORME='AVEC_CMP'), soit en prenant le complémentaire
de tous les indices qui correspondent à des types de composantes stipulés par l'utilisateur
(NORME='SANS_CMP'),
· NORME='NOEUD_CMP': L correspond à un seul indice qui caractérise une composante d'un
noeud du maillage. Le nom du noeud et de la composante sont spécifiés par l'utilisateur
(mots-clé NOM_CMP et NOEUD de la commande NORM_MODE [U4.64.02]).
Par défaut les modes sont normés avec la norme 'SANS_CMP=LAGR'.
2.4
Norme masse ou rigidité généralisée unitaire
1/2
Soit une matrice définie positive d'ordre n . On définit la norme suivante :
= (T
E
E )
1

1

On obtient alors le vecteur normé "
: " =

"j =
j j = ,1
n

.
E

E

Dans le Code_Aster , deux normes de cette famille sont disponibles :
· NORME='MASSE_GENE': E = B . Dans un problème classique de vibration, B est la matrice
de masse.
· NORME='RIGI_GENE' : E = A . Dans un problème classique de vibration, A est la matrice
de rigidité.
Remarque :
Pour un mode de corps rigide, on a :
=
E
A = 0
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3
Norme des modes propres du problème quadratique
3.1
Normes euclidienne et "plus grande composante à 1"
Pour le problème quadratique, on dispose des mêmes normes que pour le problème généralisé. Les
modes propres étant complexes, on travaille avec le produit hermitien. Les différentes normes
"classiques" deviennent :
1/2
m

· norme hermitienne :
= (l
2
l
où est le conjugué de ,
k
k )

lk
lk
k 1
=

/
1 2
· norme "plus grande composante à 1" :
= max l =

max
l
l
(la valeur
k ,
1 m
k
k ,
1 (


k
k )
=
= m


absolue dans le domaine réel devient le module dans le domaine complexe).
3.2
Norme masse ou rigidité généralisée unitaire
En ce qui concerne la norme "masse ou rigidité généralisée", dénomination par analogie avec le
problème généralisé, on utilise comme matrice associée à la norme, celle qui intervient dans l'écriture
du problème quadratique mis sous la forme réduite [éq 1.3-1].
On a alors :
· norme masse généralisée :
T
T
!
T
T 0
B
! =
B
=

= 2 TB + T
,
,
C ,
B
( )
( )




B C


^
= 1
!#B ,
· norme rigidité généralisée :
T
T
!
T
T - B
0
! =
A
=

= -2 TB
+ T
,
,
A
,
A
( )
( )





0
A


"
1
=


.
!A
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4
Paramètres modaux associés pour le problème généralisé
On se place dans le cas d'un problème généralisé classique de vibration. On a :
·
A = K est la matrice de rigidité,
·
B = M est la matrice de masse.
Soit un couple (, ) solution du problème :
(-2 M +K) = 0
éq 4-1
Dans la suite, on définit successivement les grandeurs suivantes :
· grandeurs
généralisées,
· masse modale effective et masse modale effective unitaire,
· facteur de participation.
Pour connaître les noms des paramètres associés aux modes propres et comment y accéder dans la
structure de données RESULTAT mode_meca, on renvoie le lecteur au document [U5.01.23].
4.1 Grandeurs
généralisées
4.1.1 Définition
On définit deux grandeurs généralisées :
· Masse généralisée du mode : m
T
= M ,
· Rigidité généralisée du mode : k
T
= K .
Ces quantités dépendent de la normalisation de . Ces grandeurs sont accessibles dans le concept
RESULTAT de type mode_meca [U5.01.23] sous les noms MASS_GENE, RIGI_GENE.
Remarque 1 :
On a la relation suivante entre la pulsation (ou la fréquence) du mode et la masse et rigidité
généralisées du mode :

T
K
k
= = (
2 f ) =
= .
T
M m
Remarque 2 :
Du point de vue physique, la masse généralisée (qui est une valeur positive) peut s'interpréter
comme la masse en mouvement :

m
T
2
= M = est la densité de la structure.
L'énergie cinétique de la structure vibrant selon le mode est égale alors à :
1
1
E =
2
m
2
T
c
=
M .
2
2
L'énergie potentielle de déformation associée au mode est égale à :
1
1
E =
k
T
p
=
K .
2
2
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4.1.2 Utilisation
Lors d'un calcul par recombinaison modale [R5.06.01], on cherche une solution de l'équation de la
dynamique :
Mx$ + Cx$ + Kx = f (t),
sous la forme x =
i
i (t ) où i est le mode propre réel associé à la valeur propre i ,
i= m
1,
solution du problème généralisé (en général on a m n ( n est le nombre de degré de liberté) car on
ne prend en compte qu'une partie de la base modale) :
(-M 2
i
i + K) = 0
Le vecteur généralisé = (i )
est solution de :
i= m
1,
~
~
~
M $ ~
+ C $ + K = f (problème d'ordre m) avec :
~
M = ( ~M
iT
j
iT
j
ij ) = (
M )
~
C = (~Cij ) = ( C )
~
.
K = (~K
iT
j
iT
ij ) = (
K )
~
f = ( ~fi ) = ( f )
Les modes de vibration du problème généralisé sont K et M orthogonaux [R5.01.01]. Les matrices
~
~
M et K sont alors diagonales et sont constituées des rigidités et masses généralisées de chaque
~
mode. La matrice C est habituellement pleine si on ne fait pas d'hypothèses supplémentaires sur C
[R5.05.04].
4.2
Masses modales effectives et masses modales effectives unitaires
4.2.1 Masses modales effectives
Soit U d un vecteur unitaire dans la direction d . En chaque noeud du vecteur Ud ayant les
composantes de déplacement (DX,DY,DZ) on a :
(DX = x , DY = y , DZ = z
d
d
d ) où (x , y , z
d
d
d ) sont les cosinus directeurs de la direction d (on a

donc : x2 + y 2 + z2
d
d
d = 1 ).
Par exemple, si d est la direction x , le vecteur U d a toutes ses composantes DX égales à 1 et ses
autres composantes égales à 0.
On définit les masses modales effectives dans la direction d par :
( T

2
M Ud )
m d, = (
.
T
M )
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4.2.2 Propriété
Enoncé :
La somme des masses modales effectives dans une direction d est égale à la masse totale mtotale
de la structure. Cela s'écrit :
( iT

2
M Ud )
m
=
n est le nombre total de modes associés au
,
=1, (
=
iT
i
i d
i
n
M )
m
totale
i=1 n
,
problème [éq 4-1]
4.2.3 Masses modales effectives unitaires
En utilisant la propriété précédente, on définit les masses modales effectives unitaires :
2
T
M U
~
1
(
d )
m,d =
,
m
T
totale
( M )
et on a :
~
m

= 1
i
.
,d
i= ,
1 n
Les masses modales ~
m,d et m d, sont indépendantes de la normalisation du mode de vibration.
4.2.4 Utilisation
Relation "empirique" :
Lors d'une étude "sollicitation sismique d'une structure dans une direction d " par une méthode de
recombinaison modale, on doit conserver les modes de vibration qui ont une masse effective unitaire
importante et on considère qu'on a une bonne représentation modale si pour l'ensemble des modes
conservés on a :
~
m 0 9
i
, .
,d
i= ,
1 n
Cette relation empirique est énoncée dans le RCC_G (Règles de conception et de construction
applicables au Génie Civil).
4.2.5 Directions privilégiées dans le Code_Aster
Dans le Code_Aster, on dispose de trois directions qui sont celles du repère de définition du maillage :
·
d = direction X,
·
d = direction Y,
·
d = direction Z.
Les masses modales effectives et les masses modales effectives unitaires sont accessibles dans le
concept RESULTAT de type mode_meca [U5.01.23] sous les noms MASS_EFFE_DX, MASS_EFFE_DY,
MASS_EFFE_DZ, MASS_EFFE_UN_DX, MASS_EFFE_UN_DY, MASS_EFFE_UN_DZ.
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4.3
Facteurs de participation
4.3.1 Définition
On définit d'autres paramètres appelés facteur de participation :
( T
M Ud )
p d, = (
.
T
M )
Ce paramètre dépend de la normalisation du mode de vibration .
Comme pour les masses effectives, on dispose de trois directions d qui sont celles du repère de
définition du maillage.
Les facteurs de participation sont accessibles dans le concept RESULTAT de type mode_meca
[U5.01.23] sous les noms FACT_PARTICI_DX, FACT_PARTICI_DY, FACT_PARTICI_DZ.
4.3.2 Propriété
Enoncé :
Les facteurs de participation associés à une direction d vérifient la relation suivante :
( iT
2
iT
M U
2
d )
M U
2
m
=

M
,
n est
=1, (
d
iT
i
=


iT
i
iT
i
i

=
d
i
n
M )
(
)
M
(p ) m
totale
i=1 n
,

i=1 n
,
le nombre total de modes associés au problème [éq 4-1].
Ce résultat s'obtient facilement en exprimant le facteur de participation en fonction de la masse modale
effective et en utilisant le résultat énoncé au [§ 4.2.3].
4.3.3 Utilisation
Ces paramètres sont utilisés en particulier pour calculer la réponse d'une structure soumise à un
séisme par méthode spectrale. On renvoie le lecteur au document [R4.05.03].
4.4
Vecteur déplacement unitaire
Dans ce qui précède, on a considéré un vecteur de déplacement unitaire Ud qui ne concerne que les
degrés de liberté de translation (DX,DY,DZ). Cette notion peut être étendue aux rotations en
considérant la définition suivante. On définit une matrice U de dimension (n × )
6 . Si tous les noeuds
du maillage supportent 3 degrés de liberté de translation et 3 autres de rotation, la matrice U est
formée de l'empilement des matrices uktr (6 × )
6 suivantes (l'indice k correspond au noeud de
d
numéro k ) :
1 0 0
0
(z

k - zc )
- (yk - yc )


0 1 0 - (zk - zc )
0
(xk - xc)


k
0 0 1
(yk - yc) -(xk - xc)
0
utr =

0 0 0
1
0
0



0 0 0
0
1
0


0 0 0
0
0
1


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où (x , y , z
k
k
k ) sont les coordonnées du noeud et (x , y , z
c
c
c ) sont les coordonnées du centre
instantané de rotation.
On peut donc définir des masses modales effectives, des facteurs de participation associés à des
degrés de liberté de rotation.
Pour l'instant, le calcul de ces paramètres n'est pas disponible dans le Code_Aster.
5
Paramètres modaux associés pour le problème quadratique
On écrit le problème quadratique sous la forme : (2M + C + K) = 0 .
Pour le problème quadratique, on ne calcule que trois paramètres qui correspondent aux grandeurs
généralisées suivantes :
· masse généralisée (quantité réelle) :
m
T
= M ,
· rigidité généralisée (quantité réelle) :
k
T
= K ,
· amortissement généralisé (quantité réelle) :
c
T
= C .
Attention, si on norme le mode propre avec la norme "masse généralisée", on n'a pas dans le cas
quadratique : m = 1 . On peut faire la même remarque concernant la rigidité généralisée.
En utilisant les relations d'orthogonalité et le fait que les éléments propres apparaissent par paires
conjuguées, on peut écrire les relations suivantes :
TC
c
2
2 (2 f )
=
= 2
(
Re ) = -
= -
,
TM m
1- 2

1- 2

T
2
K
k
2


2

(2 f )
=
= =
=
.
TM m
2
2

1-
1 -
6 Bibliographie
[1]
J.R. LEVESQUE, L. VIVAN, Fe WAECKEL : Réponse sismique par méthode spectrale
[R4.05.03].
[2]
D. SELIGMANN, B. QUINNEZ : Algorithmes de résolution pour le problème généralisé
[R5.01.01].
[3]
D. SELIGMANN, R. MICHEL : Algorithmes de résolution pour le problème quadratique
[R5.01.02].
[4] Opérateur
NORM_MODE [U4.06.02].
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