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Version
3
Titre :
Calcul des contraintes aux noeuds par lissage local
Date :
23/01/97
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
R3.06.03-B
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document : R3.06.03
Calcul des contraintes aux noeuds par lissage local
Résumé :
On présente une méthode locale de calcul de contraintes aux noeuds à partir des contraintes aux points de
GAUSS. Elle est utilisée dans les options SIGM_ELNO_DEPL et SIEF_ELNO_ELGA de la commande
CALC_ELEM [U4.61.02].
Cette méthode se résume à calculer les contraintes aux sommets d'un élément en multipliant les contraintes
aux points de GAUSS par une matrice de lissage, constante pour chaque type d'élément.
Pour les éléments isoparamétriques de degré 2, les contraintes aux noeuds milieux sont obtenues par
moyennage des valeurs des contraintes aux 2 sommets de l'arête.
Cette méthode de lissage présente deux avantages :
· les contraintes nodales obtenues ont un ordre de précision de plus que par le calcul direct aux noeuds,
· la méthode est peu coûteuse en temps CPU.
Cette méthode a été généralisée :
· aux calculs des déformations (option EPSI_ELNO_DEPL) et des variables internes (option
VARI_ELNO_ELGA) aux noeuds en mécanique,
· au calcul des flux (option FLUX_ELNO_TEMP) aux noeuds en thermique.
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1 Préliminaires
Cette méthode s'appuie sur la constatation [bib1] qu'il existe des points où le calcul des contraintes, à
partir des déplacements dans une formulation primale en déplacements, est plus précis.
Dans le cas d'éléments finis isoparamétriques d'ordre 2 (SEG3 en 1D, QUAD8 et QUAD9 en 2D, HEXA20
en 3D), on montre que les points de GAUSS de la formule de quadrature à 2n points ( n : dimension de
l'espace) sont tels que l'on peut espérer, sans que cela soit formellement démontré, pour le calcul de
un même ordre de précision que pour le calcul du champ de déplacement u .
L'idée de la méthode est de calculer pour chaque élément les contraintes ! aux noeuds à partir de
k aux points de GAUSS, ces dernières étant calculées sur chaque élément par la formule :
NN 0
k
k
k
= DB u = D iB Ui
i=1
où :
D est la matrice d'élasticité,
Bk est la matrice reliant les déformations aux déplacements au point de GAUSS k,
u sont les déplacements nodaux.
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2
Méthode locale de minimisation par moindres carrés
D'une façon générale, on souhaite approximer, au sens des moindres carrés, une fonction (x, y)
par une fonction polynômiale :
! (x, y) = a xi yi
ij
i=0, p
i=0,q
Le problème revient à trouver les coefficients aij qui minimisent la fonctionnelle :
= (
2
-
!) dx dy
Les valeurs de la fonction sont connues ici seulement aux points de Gauss : k = (xk , yk )
Le minimum sera atteint si et seulement si :
i = 0,..., p
=
0
a
j = 0,...,q
ij
Dans le cadre de la méthode des éléments finis en déplacement, la fonction de lissage s'écrit :
n
! (x, y) = N (x, y
i
) !i
i=1
où :
Ni est la fonction de forme associée au noeud i ,
!
i est la valeur de la contrainte au noeud i cherchée,
n le nombre de noeuds retenus pour le lissage.
On doit donc résoudre le système :
= 0 i = ,
1 ..., n
éq 2-1
!i
On peut choisir entre deux méthodes de lissage local : lissage continu ou lissage discret.
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3
Méthodes de lissage local (réf [bib2] et [bib3])
3.1
Lissage local continu
2
2
Ce type de lissage conduit à résoudre le système [éq 2-1] avec = ( - !) =
N
.
e
( - i !i)
e
Ce qui conduit à M e
Fe
! =
avec :
npg
M e = N N dx dy = N
ij
i j
( ) Nj( k) (det J)
e
i
k
k
k
k =1
npg
et
F e = N dx dy =
N
i
i
i ( k
) k (det J)
k
k
e
k =1
où
k sont les points de GAUSS dans l'élément de référence
(det J)
le jacobien de la transformation géométrique entre l'élément de référence et
k
l'élément courant au point k .
k : le poids associé au point k
k : la contrainte au point k
Ni ( k
) : la valeur de la fonction de forme dans l'élément de référence au point k
^
^
^
3
2
^
1
^
4
3
3
2
2
4
4
1
1
calcul direct des contraintes
contraintes lissées
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Remarques :
· Si les espaces d'interpolation de et de ! sont les mêmes, on a évidemment = ! .
Dans la pratique, on retient pour espace de ! un espace plus petit que celui où est défini
par l'élément fini.
· On voit le lien entre l'approximation aux points de GAUSS de où converge donc
mieux et ce procédé de lissage dont la justification est au contraire continue.
· La manière dont est calculé aux points de GAUSS n'intervient pas. La généralisation
aux problèmes non linéaires est donc évidente, bien qu'elle ne puisse relever de la même
justification.
Cette méthode n'est pourtant pas retenue car elle nécessite une résolution de système linéaire pour
chaque calcul de !
.
3.2
Lissage local discret
Dans ce cas, la fonctionnelle est remplacée par la sommation :
npg
npg
n
2
~
2
= ((k )- !(k ) =
(k)- Ni !i (k)
k =1
k =1
i=1
^
^
3
3
^
3
III
4
^
2
4
IV
II
2
4
2
^
1
I
1
1
contraintes aux points de GAUSS
contraintes lissées
~
Le système à résoudre s'écrit là encore :
=
0 soit :
!i
npg
npg
N ( ) N ( ) ! = N ( ) ( ) i
i
k
j
k
j
i
k
k
k =1 j
k =1
soit sous forme matricielle :
M {!noeud} = P{GAUSS}
Les matrices M et P étant alors indépendantes de l'élément courant e .
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Elles peuvent donc être calculées une fois pour toutes sur l'élément de référence.
Remarques :
· Cette méthode est plus économique que la précédente et donne des résultats
comparables [bib2],
· Là encore, la manière donc k est calculée en chaque point de GAUSS est indifférente
(du moment que le nombre de points de GAUSS utilisé pour le calcul de et celui de !
est le même). On pourra donc utiliser cette méthode en non linéaire (option
SIEF_ELNO_ELGA).
4
Application de la méthode au calcul des contraintes aux
noeuds pour différents éléments
Le lissage local adopté dans le Code_Aster est le lissage local discret [§2.2], qui permet d'éviter le
calcul d'intégrales sur l'élément.
Sur tous les éléments de milieu continu 2D et 3D, on a choisi un espace de lissage s'appuyant sur les
fonctions de forme relatives aux sommets de l'élément.
La méthode permet donc d'obtenir les contraintes aux sommets. Dans le cas des éléments d'ordre 2,
on calcule les contraintes aux noeuds milieux en prenant la valeur moyenne des deux sommets
"encadrant" le noeud milieu considéré.
On donne ci-après les matrices de passage permettant de calculer les contraintes aux noeuds
sommets à partir des contraintes aux points de GAUSS. Ces matrices peuvent être carrées ou
rectangulaires. En effet, les matrices de passage M- P
1 sont calculées une fois pour toutes à
l'initialisation de chaque type d'élément fini (dans AFFE_MODELE). Deux types de matrices existent :
· des
matrices
M-1P carrées, qui sont à utiliser lorsque le nombre de points de GAUSS utilisé
pour le calcul des contraintes aux points de GAUSS k est identique au nombre de noeuds
sommets,
· des
matrices
M-1P rectangulaires, qui sont à utiliser lorsque le nombre de points de GAUSS
de k est différent (en général supérieur) au nombre de noeuds sommets.
4.1
Matrices de passage carrées
Ces matrices sont utilisées par tous les éléments pour l'option SIGM_ELNO_DEPL. L'option calcule en
premier les contraintes en un nombre de points de GAUSS égal au nombre de sommets. Puis les
matrices M-1P (données après) sont utilisées pour calculer les contraintes aux noeuds. Ces matrices
sont également utilisées pour l'option SIEF_ELNO_ELGA, dans les éléments pour lesquels le nombre
de points de GAUSS du calcul de SIEF_ELGA (dans STAT_NON_LINE) est égal au nombre de
sommets. Il s'agit des éléments :
· en 2D : QUAD4, TRIA6, QUAD8 sous-intégré,
· en 3D : TETRA4, PENTA6, HEXA8, PYRAM5 et HEXA20 sous-intégré.
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4.1.1 Matrices de passage carrées pour les éléments 2D
4.1.1.1 Triangles
5 -1 -
1
1
1
M- P =
-1
5 -
1
3 -1 -1 5
4.1.1.2 Quadrangles
3
1
3
1
1+
-
1-
-
2
2
2
2
1
3
1
3
-
1+
-
1-
1
2
2
2
2
M- P =
3
1
3
1
1-
-
1+
-
2
2
2
2
1
3
1
3
-
1-
-
1+
2
2
2
2
4.1.2 Matrices de passage carrées pour les éléments 3D
4.1.2.1 Tétraèdres
a
a
a -1
a
a a -
1
a
a
M- P
1
1
=
a - b a -1
a
a
a
a
a
a
a -
1
5 - 5
5 + 3 5
a =
b =
20
20
4.1.2.2 Pentaèdres
-
1 - -1 1 -
-
1 - 1- -1
-
-1 1- 1 -
M-1P =
1 - -1 1 -
-
1 - 1- -1
-
-1 1- 1 -
-
3 +1
= 2
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4.1.2.3 Hexaèdres
a b b c b c c d
5 + 3 3
a =
4
b c c d a b b c
(1+ 3)
c d b c b c a b
b =
4
b c a b c d b c
M- P
1
=
b a c b c b d c
( 3- )1
c =
c b d c b a c b
4
d c c b c b b a
(5-3 3)
c b b a d c c b
d =
4
7
6
VIII
VI
8
5
VII
IV
3
V
II
z
2
III
y
x
I
4
1
Figure 4.1.2.3-a : Numérotation des points de GAUSS
sur l'hexaèdre à 8 noeuds
4.2
Matrices de passage M- P
1 rectangulaires
En non linéaire pour certains types d'éléments (TRIA3, QUAD8 et QUAD9 en 2D, TETRA10, PENTA15 et
HEXA20 en 3D), les contraintes et les variables internes aux points de GAUSS sont calculées sur une
famille de points de GAUSS plus riche (9 points pour les quadrangles, 15 points pour les tétraèdres, 21
points pour les pentaèdres, 27 points pour les hexaèdres).
Le lissage local discret est alors effectué à partir de ces champs et le transport aux noeuds fait
intervenir des matrices différentes des précédentes. Elles ne sont plus carrées, car de dimension
(nb sommets, nb points de GAUSS). Les matrices de passage M- P
1 ne sont pas calculées
explicitement, en particulier M est inversée par Aster.
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Dans le cas particulier du triangle à 3 noeuds, les champs sont supposés constants par élément (un
seul point de GAUSS) et :
1
1
M- P =
1
1
Par exemple, le calcul effectué par l'option SIEF_ELNO_ELGA est alors le suivant :
Si les contraintes ont été calculées (dans STAT_NON_LINE par exemple) sur une famille
possédant un nombre de points de GAUSS supérieur au nombre de sommets (pour les éléments
nb sommets nb pts Gauss
signalés ci-dessus). M- P
1 est alors rectangulaire, et !
-1
k
i =
(M P) .
ik
i=1
k =1
Sinon, si le nombre de points de GAUSS égal au nombre de sommets, (M- P
1 ) est alors carrée.
On calcule !
-
k
i = (M P
1 ) [§4.1].
ik
5
Autres options de calcul utilisant la même méthode
La méthode décrite précédemment est utilisée dans le Code_Aster pour calculer les déformations, les
variables internes et les flux aux noeuds.
La liste des modélisations supportant ces options est donnée ci-dessous, avec les numéros de
routines de termes élémentaires TE correspondants.
Les champs produits sont des cham_elem aux noeuds.
5.1 Phénomène
:
'MECANIQUE'
MODELISATION
SIGM_ELNO_DEPL
EPSI_ELNO_DEPL
SIEF_ELNO_ELGA
VARI_ELNO_ELGA
AXIS
TE0086
TE0087
TE0098
AXIS_SI
TE0086
TE0087
TE0098
C_PLAN
TE0086
TE0087
TE0098
D_PLAN
TE0086
TE0087
TE0098
D_PLAN_SI
TE0086
TE0087
TE0098
AXIS_FOURIER
TE0116
TE0114
3D
TE0023
TE0025
TE0020
3D_SI
TE0023
TE0025
TE0020
AXIS_META
TE0352
TE0087
TE0098
3D_META
TE0357
TE0025
TE0020
AXIS_INCO
TE0448
TE0447
non disp
PLAN_INCO
TE0448
TE0447
non disp
3D_INCO
TE0454
TE0453
non disp
COQUE_AXIS
TE0230
TE0229
non disp
COQUE_C_PLAN
TE0230
TE0229
non disp
COQUE_D_PLAN
TE0230
TE0229
non disp
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5.2 Phénomène
:
'THERMIQUE'
MODELISATION
FLUX_ELNO_TEMP
META_ELNO_TEMP
META_INIT_ELNO
AXIS
TE0069
TE0067
TE0320
PLAN
TE0069
TE0067
TE0320
AXIS_FOURIER
TE0265
non disp
non disp
3D
TE0063
TE0064
TE0321
COQUE
non disp
non disp
non disp
6
Autres méthodes de lissage de contraintes
Il existe deux autres méthodes de lissage, portant seulement sur les contraintes, utilisées par les
estimateurs de Zhu-Zienkiewicz version 1 et 2 [R4.10.01 §3].
Les champs de contraintes aux noeuds produits sont alors des cham_no.
Les options de calcul correspondantes sont accessibles par la commande CALC_ELEM [U4.61.02].
7 Bibliographie
[1]
BARLOW J. - Optimal stress locations in finite element models - International Journal for
Numerical Methods in Engineering Vol.10 p 243 - 251 (1976).
[2]
HINTON E., CAMPBELL JJ. - Local and global smoothing of discontinuous finite element
functions using a least squares method - International Journal for Numerical Methods in
Engineering Vol.8 p 461 - 480 (1974).
[3]
HINTON E., SCOTT F.C., RICKETTS R.E. - Local least squares stress smoothing for
parabolic isoparametric elements - Int. J. for Num. Meth. in Eng. Vol 9 p 235 - 256 (1975)
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