Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
1/12
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
Document : R5.02.01
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Résumé :
On présente l'algorithme de thermique transitoire linéaire implanté au sein de la commande THER_LINEAIRE
[U4.33.01] . Les différentes options de calcul nécessaires ont été présentées dans les éléments de structure
plans, axisymétriques et tridimensionnels [U1.22.01], [U1.23.01] et [U1.24.01].
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
2/12
Table des matières
1 Expression de l'équation de la chaleur en thermique linéaire................................................................ 3
1.1 Equation de la chaleur..................................................................................................................... 3
1.2 Loi de FOURIER.............................................................................................................................. 3
1.3 Equation de la chaleur dans le cas du modèle de thermique linéaire ............................................. 3
2 Conditions aux limites, chargement et condition initiale ........................................................................ 4
2.1 Températures imposées ................................................................................................................. 4
2.2 Relations linéaires ........................................................................................................................... 4
2.3 Flux normal imposé ......................................................................................................................... 4
2.4 Echange .......................................................................................................................................... 5
2.5 Echange paroi ................................................................................................................................. 5
2.6 Source volumique............................................................................................................................ 5
2.7 Condition initiale .............................................................................................................................. 5
3 Formulation variationnelle du problème................................................................................................. 6
4 Formulation variationnelle du problème avec condition d'échange entre deux parois .......................... 6
5 Discrétisation en temps de l'équation différentielle................................................................................ 7
5.1.1 Précision de la méthode......................................................................................................... 7
5.1.2 Stabilité de la méthode........................................................................................................... 8
5.1.3 Application à l'équation de la chaleur ..................................................................................... 9
6 Discrétisation spatiale .......................................................................................................................... 10
7 Implémentation dans le Code_Aster.................................................................................................... 11
7.1 Equations introduites ..................................................................................................................... 11
7.2 Principales options thermiques calculées dans le Code_Aster..................................................... 12
7.2.1 Conditions aux limites et chargements ................................................................................ 12
7.2.2 Calcul des matrices élémentaires et terme transitoire ......................................................... 12
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
3/12
1
Expression de l'équation de la chaleur en thermique linéaire
1.1
Equation de la chaleur
On se place dans un ouvert de ¤3 de frontière régulière .
En tout point de , l'équation de la chaleur peut s'écrire :
T(r,t)
- div( (
q r,t)) + s(r,t) = C
p t
avec :
q
vecteur flux de chaleur (dirigé suivant les températures décroissantes),
s
chaleur par unité de volume dissipée par les sources internes,
C
chaleur volumique à pression constante,
p
T
température,
r
variable d'espace,
t
variable temps.
Cette équation traduit le phénomène d'évolution de la température (uniquement à travers le
phénomène de diffusion, la convection ayant été négligée) en tout point de l'ouvert et à tout instant. Elle
admet en principe une infinité de solutions, mais la donnée des conditions initiales et de la variation des
conditions aux limites au cours du temps détermine parfaitement l'évolution du phénomène.
1.2
Loi de FOURIER
En conduction thermique, la loi de FOURIER fournit une équation reliant le flux de chaleur au gradient
de la température (vecteur normal à la surface isotherme). Cette loi fait apparaître, dans sa forme la
plus générale, un tenseur de conductivité. Dans le cas d'un matériau isotrope, ce tenseur se réduit à un
simple coefficient , le coefficient de conductivité thermique.
q(r,t) = - T(r,t)
Pour les éléments de thermique anisotrope on se reportera à Implantation des éléments 2D et 2D-
Axisymétrique en mécanique et en thermique [R3.06.02].
1.3
Equation de la chaleur dans le cas du modèle de thermique linéaire
En combinant les deux équations ci-dessus, on obtient :
T(r,t)
- div(- T(r,t)) + s(r,t) = Cp t
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
4/12
2
Conditions aux limites, chargement et condition initiale
On décrit ici uniquement les conditions aux limites thermiques conduisant à des équations linéaires en
température, ce qui exclut les conditions de type rayonnement.
2.1 Températures
imposées
Les conditions de type Dirichlet, sont traitées habituellement par dualisation dans le Code_Aster
(cf [R3.03.01]), mais elles peuvent aussi être éliminées dans certains cas (charges cinématiques).
T(r,t) = T (r,t)
1
sur
1
où T r t
1( , ) est une fonction de la variable d'espace et/ou du temps.
2.2 Relations
linéaires
Ce sont des conditions de type Dirichlet, permettant de définir une relation linéaire entre les valeurs de
la température :
· entre deux ou plusieurs noeuds : avec une équation de la forme
n
i iT(r,t) = (t)
i=1
· entre des couples de noeuds : avec une équation de la forme
1
n
2
n
1i iT (r,t) + 2i iT (r,t) = (t)
/
/
i 1
12
=
i 1
21
=
où 12 et 21 sont deux sous-parties de la frontière dont on lie deux à deux les valeurs de la
température. Ce type de condition aux limites permet de définir des conditions de périodicité.
2.3
Flux normal imposé
Ce sont des conditions de type Neumann, définissant le flux entrant dans le domaine.
- q (r,t).n = f (r,t)
sur 2
où f (r,t) est une fonction de la variable d'espace et/ou de temps et n désigne la normale à la
frontière 2 .
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
5/12
2.4 Echange
Ce sont des conditions de type Neumann modélisant les transferts convectifs sur les bords du
domaine.
- q (r,t).n = h (r,t) (T (r,t)
ext
- T(r,t))
sur 3
où T
r t
ext ( , ) est une fonction de la variable d'espace et/ou de temps représentant la température du
milieu extérieur, et h (r,t) est une fonction de la variable d'espace et/ou de temps représentant le
coefficient d'échange convectif sur la frontière 3.
2.5 Echange
paroi
Ce sont des conditions de type Neumann mettant en jeu deux sous parties de la frontière en vis à vis.
Ce type de condition aux limites modélise une résistance thermique d'interface.
T
1
= h (r,t) (T (r,t) - T (r,t)) sur
n
n
2
1
12
1 normale extérieure à 12
1
T
2
= h (r,t) (T (r,t) - T (r,t)) sur
n
n
1
2
21
2 normale extérieure à 21
2
( n = -n
1
2 en général)
2.6 Source
volumique
C'est le terme s(r,t) fonction de la variable d'espace et/ou de temps.
2.7 Condition
initiale
C'est l'expression du champ de température à l'instant initial t = 0 :
T(r, )
0 = T (r)
0
où T r
0 ( ) est une fonction de la variable d'espace.
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
6/12
3
Formulation variationnelle du problème
Nous nous bornerons ici à présenter le problème avec uniquement les conditions aux limites de
température imposée [§2.1], de flux normal imposé [§2.3] ou d'échange [§2.4]. Les conditions aux
limites d'échange paroi [§2.5] sont traitées au [§4] et celles avec relations linéaires [§2.2] se ramènent
sans difficultés à celle du [§2.1].
Soit un ouvert de ¤3, de frontière = 1 2 3 .
La formulation faible de l'équation de la chaleur est :
T
T
C
.v d + T
. v
d -
.
=
.
v d
s v d
p
t
n
où v est une fonction suffisamment régulière s'annulant uniformément sur 1 . Avec les conditions aux
limites suivantes :
T
= T (r,t)
sur
1
1
T
= q(r,t)
sur
n
2
T
= h(r,t) (T (r,t) - T)
sur
n
ext
3
La formulation variationnelle du problème est :
T
C
.v d +
T
. v
d + hT.v d = s .v d + q.v d + hT .v d
p
t
ext
3
2
3
4
Formulation variationnelle du problème avec condition
d'échange entre deux parois
On considère le problème "simplifié" où n'apparaît plus de terme source et où les conditions aux limites
sont uniquement du type température imposée et échange paroi.
Soit un ouvert de ¤3, de frontière = 1 12 21 .
Les conditions aux limites sont dans ce cas :
T
= T (r,t
1
)
sur 1
T
1
= h (r,t) (T (r,t
2
) - T (r,t))
sur
n
1
12
1
T
2
= h (r,t) (T (r,t
1
) - T (r,t
))
sur
n
2
21
2
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
7/12
En substituant dans la formulation faible de l'équation de la chaleur, on obtient :
T
C
.v d
p
+
T
. v
d
t
+
h (T/
- T ).v d
/
12 + h (T/ - T ).v d
/
0
12
21
21
21 =
12
12
21
où v s'annule uniformément sur 1 .
Ce type de conditions aux limites fait apparaître des termes nouveaux mettant en relation des degrés
de liberté situés sur les deux frontières en relation.
5
Discrétisation en temps de l'équation différentielle
Une façon classique de discrétiser une équation différentielle du premier ordre consiste à utiliser une
-méthode. Considérons l'équation différentielle suivante :
y(t) =
(t, y(t))
t y( ) = y
0
0
La -méthode consiste à discrétiser l'équation par un schéma aux différences finies
1 (y - y ) = (t ,y ) + 1
n 1
+
n
n 1
+
n 1
( - ) (t , y )
t
+
n
n
où yn+1 est une approximation de y(tn )
+1 , yn étant supposée connue
et est le paramètre de la méthode, [
0 ]
1
, .
Remarque :
si = 0 le schéma est dit explicite,
si 0 le schéma est dit implicite.
5.1.1 Précision de la méthode
Supposons y suffisamment régulière (au moins 3 fois différentiable), par un développement de Taylor
au point tn on obtient :
t2
y(t
) y(t )
t
y'(t )
y''(t ) O( t2
n 1
n
n
n
)
+ -
=
+
+
2
et
(t , y(t ))
1
1
+ (
n+
n+
1- ) (t , y(t ))
n
n
= y'(t )
1 + (
n+
1-) y'(t )
n
=
y'(t
)
n+1 + ( y' (t
)
1 - y' (t ))
n+
n
=
y'(t )
2
n +
t
y''(t ) + O( t
)
n
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
8/12
La solution vérifie donc approximativement :
1 (
2
y(tn 1) - y(t
+
n ))
1
= (t , y(t )) + 1
n 1
+
n 1
( - ) (t , y(t
+
n
n )) + (
-) t y''(t ) + O
n
(t )
t
2
1
1
Le schéma est d'ordre 1 en temps si , et d'ordre 2 si = (schéma de Crank-Nicolson).
2
2
5.1.2 Stabilité de la méthode
Considérons l'équation différentielle suivante :
y' = - y
t 0 R
y( )0 = y
0
En utilisant la -méthode dans cette équation différentielle on obtient :
1- 1
( -) t
y
y
1
0 n N
n+ =
-1
1+ t
n
Soit encore :
1- 1
( -)x
y
rn ( t
)y
avec r( x
n+1 =
0
) =
1+ x
La solution approchée yn doit être bornée (la solution exacte du problème initial l'étant), ce qui impose
la condition suivante :
r( t
) 1
En étudiant les variations de la fonction r(x) , on constate facilement que :
· si
12 la condition est vérifiée quel que soit t , le schéma est inconditionnellement
stable;
2
· si
< 12 la condition est vérifiée que si t
, le schéma est conditionnellement
1
( - 2)
stable.
Dans la commande THER_LINEAIRE [U4.33.01], le paramètre est une donnée pouvant être fournie
par l'utilisateur, la valeur par défaut est fixée à 0.57. Cette valeur a la réputation au Département MMN
d'être préférable à la valeur de Crank-Nicolson (0,5) et "optimale" pour les interpolations quadratiques,
mais nous n'avons pas retrouvé trace des justifications.
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
9/12
5.1.3 Application à l'équation de la chaleur
Utilisons la -méthode dans la formulation variationnelle de l'équation de la chaleur, où l'on a posé :
T + = T(r,t + t
) T- = T(r,t) h+ = h(r,t + t
)
h- = h(r,t)
f + = f (r,t + t
) f - = f (r,t) T+ = T (r,t + t
) T- = T (r,t
ext
ext
ext
ext
)
s+ = s(r,t + t
)
s- = s(r,t)
T +
1 = T (r, t
1
+ t
)
T -
1 = T (r, t )
1
Introduisons les espaces de fonctions suivants :
V =
1()
/ =
+
( , )
t+
{v H
v
T r t
1
1
}
V =
1()
/ =
-
( , )
t-
{v H
v
T r t
1
1
}
V
1
0 = {v H () v/ = 0
1
}
Le champ T -
V
+
t- étant supposé connu, on cherche T
Vt+ :
T + - T -
C
v d
+
-
p
+
( T
. v + (1-) T
. v
) d
t
-
( f + + (1-) f - ) v d2
-
( h+ T +
-
-
+
+
-
-
ext + (1- ) h Text - h T
- (1-) h T ) v d3
2
3
=
( s+ + (1-) s- ) v d
v V
0
En posant :
(hT ) = h+T + + (1-) h-T -
ext
ext
ext
f = f + + (1-) f -
on obtient finalement :
Cp T+ v d + T+
. v
d + h+ T+ v d
t
3
3
Cp
=
T - v d - (1-)
-
T . v d + f v d
t
2
2
+ ((hT
- -
+
-
ext) -(1-) h T ) v d3 + ( s +(1-) s ) v d
3
v V
0
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
10/12
6 Discrétisation
spatiale
Soit Ph un découpage de l'espace , désignons par N le nombre de noeuds du maillage, pi la
fonction de forme associé au noeud i . On désigne par J l'ensemble des noeuds appartenant à la
frontière 1 .
Soient :
V h =
=
( )
;
=
+
( , )
1
t+
{ v
v p x
v
T x t
j J
i
i
j
j
}
i= ,
1 N
V h =
=
( )
;
=
-
( , )
1
t-
{ v
v p x
v
T x t
j J
i
i
j
j
}
i= ,
1 N
V h
0 = { v = v p (x)
;
v = 0
j J
i
i
j
}
i= ,
1 N
Posons :
C
K T
p
=
T p p d
+ T p . p
d + h+ T p d
ij i
t i i j
h
i
i
j
h
i
i
h
3
h
h
h
3
C
L
p
=
T - p d - (1-) T
- . p
d +
f p d
j
t
j
h
j
h
j
h
2
h
h
h
2
+ ((hT
) - (1-) h-T - ) p d 3 +
( s+ + (1-) s- ) p d
ext
j
h
j
h
h
3
h
En dualisant les conditions aux limites en température imposée ([R3.03.01]), on fait apparaître
l'opérateur B défini par :
0 si j J
(Bv) j = v
si
j J
j
On obtient finalement le système suivant :
N
K T
t
ij i
+ ( B) = L
j
j
j
i=1
(B T) = T (x ,t)
j
1
J
j
j
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
11/12
7
Implémentation dans le Code_Aster
7.1 Equations
introduites
La commande THER_LINEAIRE [U4.33.01] permet de traiter l'équation dans le cas transitoire telle
qu'elle est décrite ci-dessus, mais elle permet aussi de résoudre le problème stationnaire qui se réduit
à l'équation suivante :
- div( T) = s
dans
et les conditions aux limites suivantes :
T
= T (r,t
1
s )
sur
1
T
= q(r,t )
sur
n
s
2
T
= h(r,t) (T (r,t ) - T)
sur
n
ext
s
3
ts étant l'instant pris pour évaluer les conditions aux limites de l'équation.
Dans le cas transitoire, il est nécessaire de fournir un état initial, cet état initial (champ de température)
peut être choisi parmi les suivants :
· un champ qui peut être uniforme ou quelconque créé par la commande AFFE_CHAM_NO,
· un champ résultat d'un problème stationnaire décrit par les équations ci-dessus, l'instant de
calcul est pris au premier instant défini dans la liste de réels décrivant la discrétisation
temporelle définie par l'utilisateur,
· un champ extrait du résultat d'un problème transitoire.
La discrétisation en temps (valeur de t ) doit être fournie sous la forme d'une ou plusieurs listes
d'instants. Ces listes sont créées par l'utilisateur par la commande DEFI_LIST_REEL [U4.21.04].
Un transitoire thermique peut être calculé en effectuant plusieurs appels à la commande
THER_LINEAIRE [U4.33.01] en enrichissant le même concept de type evol_ther en fournissant à
partir du deuxième appel l'instant initial de reprise du calcul (pour obtenir T - ) et éventuellement
l'instant final.
Les champs de températures issus d'un calcul contiennent à la fois la valeur aux noeuds du maillage et
aux noeuds de Lagrange. Lors d'une reprise du calcul, il est possible de faire varier le type des
conditions aux limites, le champ utilisé pour initier le nouveau calcul en interne est alors réduit aux
seuls noeuds du maillage. Le concept résultat de type evol_ther contiendra alors des champs aux
noeuds s'appuyant sur des numérotations différentes. Les opérateurs du Code_Aster interpolent
ensuite uniquement aux noeuds du maillage lorsque la numérotation diffère.
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Algorithme de thermique linéaire transitoire
Date :
04/05/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE
Clé :
R5.02.01-A
Page :
12/12
7.2
Principales options thermiques calculées dans le Code_Aster
7.2.1 Conditions aux limites et chargements
TEMP_IMPO
DDLI_R
T +* d
1 +
v d
DDLI_F
1
1
1
DDLI_R
*T d
1
DDLI_F
1
1
FLUX_REP
CHAR_THER_FLUN_R
qv d
CHAR_THER_FLUN_F
2
2
ECHANGE
CHAR_THER_COEF_R
h+ T+ v d
CHAR_THER_COEF_F
3
3
CHAR_THER_TEXT_R
((hT ) - ( -) h- T - ) v d
1
CHAR_THER_TEXT_F
ext
3
3
ECHANGE_PAROI
RIGI_THER_PARO_R
h+ T+
T +
/ -
v d
(
) 1
RIGI_THER_PARO_F
/
12
21
12
12
CHAR_THER_PARO_R
(1- ) - ( - - - )
h T
T
v d
CHAR_THER_PARO_F
/
/
21
12
1
12
12
SOURCE
CHAR_THER_SOUR_R
(s+ (
) s-
+ -
) v d
1
CHAR_THER_SOUR_F
7.2.2 Calcul des matrices élémentaires et terme transitoire
RIGI_THER
+ .
T
v d
MASS_THER
Cp T v d
+
t
CHAR_THER_EVOL
Cp T- v d - (1-) T-
. v
d
t
Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
HI-75/95/020/A
Document Outline