Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

Critères de stabilité structurale

Date
:

15/12/03
Auteur(s) :
N. GREFFET, J.M. PROIX, L. SALMONA Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R7.05 : Instabilités
Document : R7.05.01




Critères de stabilité structurale



Résumé :

Ce document présente les différents critères de stabilité, au sens flambage de structure, disponibles dans le
Code_Aster. On peut les classer suivant deux catégories :

· critère d'Euler sur problème linéarisé,
· critères non linéaires.

Ces critères permettent de détecter la perte d'unicité en solution du problème quasistatique.
Ils sont directement transposables au cadre de la dynamique, mais comme ils ne tiennent pas compte ni de la
matrice de masse ni de celle d'amortissement, on ne peut parler de critère de stabilité dynamique au sens
classique (par exemple, d'amortissement devenant négatif ou nul).

Le choix de critères non linéaires répond aux exigences de :

· polyvalence (méthode générale pour toute relation de comportement et pouvant accepter tout
tenseur de déformation disponible dans le code),
· minimisation du coût CPU et de l'encombrement mémoire supplémentaire.

Le critère présenté est une généralisation du critère d'Euler, basé sur l'analyse de la matrice de raideur globale
réactualisée. Il est appelé au sein de l'opérateur STAT_NON_LINE, pour pouvoir être évalué à chaque pas de la
résolution incrémentale quasi-statique non linéaire.
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Etude de la stabilité d'une structure.......................................................................................................3

2.1 Notion générale de flambage...........................................................................................................3
2.2 Ecriture du problème mécanique.....................................................................................................5
2.3 Etude de stabilité du système..........................................................................................................6
2.3.1 Ecriture du problème non linéaire géométrique élastique......................................................7
2.3.2 Etude de stabilité en non linéaire géométrique ....................................................................10
2.3.2.1 Condition de stabilité d'un équilibre élastique non linéaire ......................................11
2.3.2.2 Cas des petits déplacements : charge d'Euler.........................................................11
2.3.2.3 Cas des forces imposées dépendant de la géométrie.............................................12
2.3.2.4 Vibrations sous précontrainte...................................................................................13
2.3.2.5 Traitement du comportement élastoplastique (flambement plastique)....................13

3 Implantation dans le code....................................................................................................................15
3.1 Critère d'Euler................................................................................................................................15
3.2 Critère non linéaire ........................................................................................................................16
3.2.1 Impact sur l'opérateur STAT_NON_LINE...............................................................................16
3.2.1.1 Algorithme de STAT_NON_LINE ...............................................................................16
3.2.1.2 Impact sur la structure de donnée résultat de STAT_NON_LINE..............................17
3.2.2 Particularités liées au tenseur de déformation .....................................................................18
3.2.2.1 En déformations linéarisées : PETIT et PETIT_REAC..............................................19
3.2.2.2 En grands déplacements : GREEN, GREEN_GR et SIMO_MIEHE................................19
3.2.2.3 Cas des modélisations mixtes..................................................................................20
3.2.3 Amélioration des performances du critère............................................................................20
3.3 Généralisation à la dynamique ......................................................................................................21
3.4 Syntaxe d'appel du critère .............................................................................................................21
3.5 Validation des développements.....................................................................................................22
4 Conclusions .........................................................................................................................................22
5 Bibliographie ........................................................................................................................................23

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1 Introduction

Le Code_Aster permet la recherche des modes de flambement linéaire, qualifiée de méthode d'Euler.
Il suffit de résoudre un problème généralisé aux valeurs propres (grâce aux opérateur MODE_ITER_INV
ou MODE_ITER_SIMULT et le mot clé TYPE_RESU='MODE_FLAMB'). Les deux matrices arguments du
problème généralisé sont la matrice de rigidité et la matrice de rigidité géométrique, issues d'un calcul
préalable élastique linéaire (opérateur MECA_STATIQUE).

Dans tous les cas où l'on ne peut négliger les non linéarités, qu'elles soient géométriques ou
comportementales, l'approche Euler n'est plus valide.
Nous proposons donc un critère ad hoc, que l'on peut considérer comme une généralisation du critère
d'Euler sur configuration réactualisée. Ce critère se construit sur la matrice de raideur tangente
assemblée, qui est calculée dans l'algorithme de type Newton pour résoudre les problèmes quasi-
statiques non linéaires (opérateur STAT_NON_LINE).
Ce critère, en non linéaire, permet de traiter rigoureusement les relations de comportement élastiques
non linéaires. En revanche, les lois qui présentent un aspect dissipatif ne sont traitées rigoureusement
que si le chargement, en tout point de la structure, suit une évolution monotone (cela correspond à
l'hypothèse de Hill [bib4]).


2
Etude de la stabilité d'une structure

2.1
Notion générale de flambage

Le flambage est un phénomène d'instabilité [bib6]. Son apparition peut être observée en particulier sur
des éléments élancés de faible raideur de flexion. Au-delà d'un certain niveau de chargement, la
structure subit un important changement de configuration (qui peut se manifester par l'apparition
soudaine d'ondulations, par exemple).
On distingue deux types de flambage : le flambage par bifurcation et le flambage par point limite
([bib1], [bib7], [bib8]). Pour décrire le comportement de ces deux types de flambage, on considère une
structure dont le paramètre µ est caractéristique du chargement et dont le paramètre est
caractéristique du déplacement.

A'

stable
µ
instable
B
µcr
A
B'
instable
stable
O

Figure 2.1-a : Flambage par bifurcation
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Entre le point O et le point A, la structure admet une seule famille de courbe (µ,), il peut, par exemple
s'agir de l'élasticité linéaire classique ou de l'élastoplasticité, où si le problème est bien posé (cf.
2.2]), on a le résultat cla
ssique d'existence et d'unicité de la solution.
Par contre, au-delà du point A, plusieurs familles de courbes sont solution du problème d'équilibre.
Cette perte d'unicité s'accompagne d'une instabilité de la branche initiale (dite fondamentale). La
branche secondaire peut être stable (courbe AB) ou instable (courbe AB'). La charge au-delà de
laquelle il y a bifurcation s'appelle la charge critique µcr.
Le flambage par bifurcation se caractérise par le fait que le mode (ou direction de flambement), qui
initie la branche secondaire, n'engendre pas de travail supplémentaire dans le chargement appliqué :
le mode de flambement lui étant orthogonal.
Un exemple de flambement par bifurcation avec instabilité de la branche secondaire se trouve dans le
cas d'une coque cylindrique circulaire sous compression axiale [bib10]. Des exemples de flambement
par bifurcation avec stabilité de la branche secondaire se trouvent dans des poutres élastiques en
compression axiale, des anneaux circulaires en compression radiale et des plaques rectangulaires en
compression longitudinale.

µ
A
stable
instable
O

Figure 2.1-b : Flambage par point limite

µ
A
µcr
A'
stable
instable
stable
O

Figure 2.1-c : Flambage par point limite avec claquage
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Sur les figures [Figure 2.1-b] et [Figure 2.1-c], qui illustrent le flambage par point limite, la structure
n'admet qu'une seule famille (µ, ) de solution des équations d'équilibre. Au point A, il y a perte de
stabilité de la solution avec perte totale de rigidité dans le cas de la figure [Figure 2.1-b] et avec un
phénomène de claquage dans le cas de la figure [Figure 2.1-c] (la solution redevient stable après une
discontinuité de déplacement ; cas d'une calotte sphérique sous pression externe). Le point A est alors
appelé point limite.

Le problème revient donc dans tous les cas à chercher la charge à partir de laquelle la branche
fondamentale d'équilibre devient instable ou de stabilité incertaine. Cela mobilise généralement les
grands déplacements.
On peut enfin avoir le cas de la ruine par écoulement plastique qui s'apparente au point limite
[Figure 2.1-b].

2.2
Ecriture du problème mécanique

Ce chapitre a pour objectif d'introduire le formalisme général de calcul de structure adapté au
problème mécanique non linéaire que nous souhaitons aborder.
Pour commencer, nous allons donc brièvement rappeler la mise en équation d'un problème type de
calcul de structure. Pour simplifier, nous nous plaçons, tout du moins au début, dans le cadre des
petites perturbations.



fd
S1
Fd
Ud
S
S2
Figure 2.2-a : Représentation d'un problème de calcul de structure

La structure S est soumise à des efforts volumiques imposés fd , des efforts surfaciques d
F sur le
bord
S2 et des déplacements imposés Ud sur le reste du bord de S , noté
S1.
Les inconnues du problème de référence sur le solide sont le champ de déplacement u et le champ
de contrainte de Cauchy . La solution ( u, ) du problème structure où les effets thermiques sont
négligés se définit comme :

Trouver (u ) 1
,
H (
2
S L ( S ) qui vérifie :

· Equations de liaisons :
u
= Ud











éq 2.2-1
S1
· Relation de comportement :
= f () avec qui est le tenseur de déformation


éq 2.2-2
1
= (
T
u + u ) en hypothèse de petites perturbations éq

2.2-3
2
Si on suppose un comportement élastique linéaire :
=
C









éq 2.2-4
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· Equations d'équilibre :


2
d u
= + fd avec =

d t 2



éq 2.2-5

n
= F

d
S2


2.3
Etude de stabilité du système

L'objet de ce chapitre est de présenter les méthodes permettant de déterminer la stabilité de l'équilibre
quasi-statique non linéaire d'une structure. Pour commencer, nous nous intéressons uniquement à la
détection d'instabilité, ou plus exactement à la perte d'unicité de la solution [bib6]. Parmi les travaux de
synthèse récents, on peut citer [bib9] ou [bib7] et [bib8] qui présentent des papiers très complets sur
l'analyse de stabilité non linéaire des structures.
Le calcul de la solution post-critique ne sera pas abordé.

Pour faire l'analyse de stabilité, nous introduisons une configuration initiale de référence S0 , une
configuration actuelle S et une configuration perturbée S1 :

S1
u1


S
S0
u0

u
Figure 2.3-a : Définition des différentes configurations
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Soit u le champ de déplacement des points de la structure. Le comportement est supposé, pour le
moment, linéaire élastique isotrope. La structure soumise aux déplacements et efforts imposés va se
déformer et devenir la structure repérée par la configuration actuelle S . Nous cherchons à
déterminer un état d'équilibre caractérisé par le champ de déplacement entre la configuration initiale
S0 et la configuration courante S , ainsi qu'un champ de contrainte de Cauchy, noté , ou de
Piola-Kirchhoff II, noté :
F = u + I :
tenseur gradient

transforma

la

de

tion

-1


= det F F
0
avec
det F =



éq

2.3-1
:
tenseur
Piola

de

- Kirchhoff I

0 -1
T
-
=
F F


Dans cette expression, on voit apparaître le rapport entre la masse volumique initiale 0 et la masse
volumique courante .
L'étape suivante est la prédiction de la stabilité de cet équilibre.

Dans ce but, nous allons chercher un critère permettant de déterminer s'il existe un seul champ de
déplacement équilibrant les efforts appliqués. Nous supposerons que les efforts augmentent
progressivement et nous allons chercher à trouver à partir de quel moment il existe deux configurations
S et S1 qui respectent les équations du problème : nous cherchons un point de bifurcation,
c'est-à-dire une perte d'unicité de la solution. Cet instant sera qualifié d'instant de flambage.

2.3.1 Ecriture du problème non linéaire géométrique élastique

La solution u, du problème structure sans effets thermiques vérifie ([bib1], [bib7], [bib2]) :

· Equations de liaisons :
u
= U








éq 2.3.1-1
d
S10
· Relation de comportement élastique :

= , () avec
tenseur

le

est

qui


de

formation éq

2.3.1-2
comporteme

un

suppose

on

Si
liné

élastique

nt
aire :
=
C







éq 2.3.1-3
· Equations d'équilibre :

2
d u
= + f

avec


d
=

dt2




éq 2.3.1-4
F n0
=

Fd
S 20
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Le tenseur de déformation associé est celui de Green-Lagrange (référencé à la configuration initiale) :

(
1
u) = (FT F - I)avec

F = u + I
2
(
1
u)
L
= (u)+
Q
(u,u)



éq 2.3.1-5
2

1
L
(u) = (u + Tu)
linéaire

partie
:
Avec
:
2

Q
(u,u) = T u u
quadratiqu

partie
:
e

Nous pouvons maintenant écrire le Principe des Puissances Virtuelles en élasticité non linéaire
géométrique et en quasi-statique :

Pint - Pext = ,
0 *
u CA

0
int
P
= Tr(
)
L
1 Q


d =
L
*
Q
*
Tr u
u,u C u
u,u
d



( )+
( ) ( ( )+ (
)





S 0
S0
:
Avec

2


ext
*
*
P
=
d
F u dS +
fd u

d




S 0
S0
éq 2.3.1-6

En vue d'obtenir une formulation discrétisée, on peut réécrire le tenseur de déformation :


L 1 NL

(u) = B + B (u) u



2

éq

2.3.1-7

=
C (u)avec



tenseur

le

est

qui
Piola

de

- Kirchhoff II


La puissance des efforts internes devient :

int
P
= Tr
T
L
NL
*
B
B
u u d




éq 2.3.1-8

[ [ + ( )] ]
S 0

En tenant compte de la relation de comportement [éq 2.3.1-3] :


int
L 1 NL
T
P
= Tr
L
NL
*
B
B
u
C B
B
u u u d

éq 2.3.1-9


+
( ) [ +

( )]


S 0


2




Après discrétisation par les éléments finis, on peut mettre cette équation sous forme matricielle :

*
u [
L
K





éq 2.3.1-10
0 + K (u)
Q
+ K (u)]
ext
u = P
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La matrice
L
K est symétrique et on a les expressions suivantes :


T
K
B CB
0 =
L
L

d

S0

1
L

NL
T
T
L
L
NL

K (u) =
B
u CB
B CB
u d


éq 2.3.1-11


( )
+
( )


S 0 2


1
Q
K (u) =
NL
B (u)T
NL
CB (u)
d


2 S0

On obtient directement de ce qui précède l'écriture sous forme matricielle de l'équilibre :

[
L
K






éq 2.3.1-12
0 + K (u)
Q
+ K (u)]
ext
u = F

Soit encore, de manière équivalente :

Fint =
T
ext
F avec Fint = [ L
B + NL
B
(u)]
d

éq 2.3.1-13
S0

Nous pouvons tout aussi bien formuler le Principe des Puissances Virtuelles à partir de l'état de
contrainte de Cauchy et du tenseur de déformation d'Almansi (donc sur la configuration courante). On
obtient alors :


(( *
Tr
u )d =
*
*
d
F u dS +
fd u
d


éq 2.3.1-14


S



S
S

Que l'on peut aussi mettre sous la forme, après discrétisation :

T
int
ext
B d F
=
= F







éq 2.3.1-15
S

Soit encore, en supposant la relation de comportement élastique :

Ku = ext
F avec K
= T
B CB
d



éq 2.3.1-16
S

Les intégrales de ces équations sont calculées sur le volume courant S qui dépend, bien entendu,
du champ de déplacement solution u . De même, l'opérateur B doit être calculé sur la configuration
actuelle S et non sur la configuration initiale S0 , comme c'était le cas précédemment.
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2.3.2 Etude de stabilité en non linéaire géométrique

On va chercher s'il existe un deuxième champ de déplacement cinématiquement admissible qui vérifie
les équations d'équilibre : on cherche donc à savoir si on aura bifurcation.
Ce deuxième champ sera écrit comme la somme d'une perturbation ajoutée à la première solution,
soit : u + u1, avec qui est un réel très petit et que l'on va faire tendre vers 0. Le champ u1 est
choisi cinématiquement admissible à 0.

Le Principe des Puissances Virtuelles sera ensuite écrit pour ce nouveau champ.
Le champ de déformation se met sous la forme :
(


L
1
u + u = u + u
Q
+ u,u
Q
+ u ,u
Q
+
u ,u éq

2.3.2-1
1 )
( ) ( 1) ( ( 1) ( )
2
1

( 1 1)

2

2
Les déformations virtuelles sont données par :


L
= ( *
u
Q
+ u,u
Q
+
u ,u = u
Q
+
u ,u

éq 2.3.2-2
1
) ( *)
( *
1
) ( *)
( *
1
)

De même, si nous choisissons S0 comme configuration de référence, les contraintes deviennent :



L
1
= + C u
Q
+ u,u
Q
+ u ,u +
C Q
u ,u éq 2.3.2-3
1
( 1 )
( ( 1) ( )
2
1

( 1 1)

2

2

Nous pouvons maintenant exprimer le Principe des Puissances Virtuelles pour le champ de
déplacement perturbé. Prenons comme hypothèses que les forces imposées ne dépendent pas du
déplacement et que la configuration initiale est choisie comme référence.

int
int
P
P
1
=



Q
*

*
L
1 Q
Q


+ Tr( (u ,u d
Tr u C u
u,u
u ,u
d
o
1
) +
1


( ) ( 1 )+ ( (
1 ) +
(
)

+ ()

S0
S0


2



ext
ext
P
P
1
=

int
ext
P
P
1
- 1 = 0
éq 2.3.2-4

Pour suffisamment petit, il suffira que le terme proportionnel à dans l'expression [éq 2.3.2-4] soit
nul pour que le Principe des Puissances Virtuelles soit vérifié pour le champ u + u1. Dans ce cas, il
n'y aura donc plus unicité de la solution, ce qui traduira la perte de stabilité du système.
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Lorsque les efforts imposés ne dépendent pas de la configuration géométrique, l'étude de stabilité
s'énonce donc comme :

Connaissant l'état actuel, i.e. le champ de déplacement u cinématiquement admissible et le champ
de contrainte , s'il existe un champ de déplacement u1 cinématiquement admissible à 0 et tel que,
pour tout déplacement *
u cinématiquement admissible à 0, on ait :

Tr

( Q
(u , *
1 u )
d
S0
+
Tr

[ L( *u) L
C
(u ) Q
+ (u, *
L
L
Q
Q
Q
1
u )
C
(u )+ ( *
1
u )
C
(u,u )+ (u, *
1
u )
C
(u,u1) ]
d
S0
= 0
éq 2.3.2-5
Alors le problème considéré est instable.

On peut exprimer cette condition de bifurcation sous forme matricielle en introduisant, de plus, la
matrice de raideur géométrique K() qui en discrétise le premier terme :

T
u
* CA 0 ,u* K u
T 1 = 0

éq 2.3.2-6
Avec K
= K0 + K L
T
(u)+ KQ(u)+ K()
raideur

la

est

qui
tangente


Si l'on écrit la condition de bifurcation sur la configuration courante S , alors on a :

*
u

CA0,

*
u T [K + K()]u = 0





éq 2.3.2-7
1

La contrainte à considérer est alors la contrainte de Cauchy et toutes les intégrales sont évaluées sur
le domaine courant S .

2.3.2.1 Condition de stabilité d'un équilibre élastique non linéaire

Il vient immédiatement, que s'il existe un état tel que la matrice tangente K T définie ci-dessus soit
singulière, nous aurons bien exhibé un champ de déplacement u1 non nul qui démontre la perte
d'unicité de la solution du problème mécanique. Ce champ de déplacement est le mode de flambage.
On peut remarquer que la condition de bifurcation est bien vérifiée, quels que soient la norme et le
signe de u1 : en ce sens, on parle donc de mode de flambage, comme d'une direction, car on s'est
limité dans [éq 2.3.2-4] au premier ordre en .

2.3.2.2 Cas des petits déplacements : charge d'Euler

Lorsque les déplacements peuvent être qualifiés de petits avant flambage, on peut confondre la
configuration initiale avec la géométrie courante. Les matrices
L
K et Q
K peuvent alors être
négligées. De plus, la contrainte peut être confondue avec la contrainte usuelle ; les équations
de flambage s'écrivent alors :
[K + K u =
éq
2.3.2.2-1
0
( )]
0
1
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Il convient de remarquer que la matrice K() est proportionnelle à et donc au chargement
appliqué à la structure. Si on multiplie la contrainte par , on obtient :
[K + K
u =
éq
2.3.2.2-2
0
( )]
0
1
Cette équation fait immédiatement penser à un problème généralisé aux valeurs propres, du même
type que dans le cas de la recherche des modes de vibration, qui s'écrit :
[
2
K - M v =
éq
2.3.2.2-3
0
] 0
1
La matrice K() est remplacée par la matrice de masse M , et l'on voit apparaître la pulsation propre
, alors que v1 est le mode de vibration associé.

Si l'on souhaite étudier le flambement sous d'un chargement dont seule une partie est pilotée (partie
variable du chargement), par un principe de superposition, la contribution, constante, du chargement
non pilotée doit être additionnée au terme K 0 et seule la contrainte générée par le chargement
pilotée sera dans le terme en . Formellement, on pose donc le problème suivant :

[K0 + K(cte)+ K(var )]u1 = 0

géné

contrainte
:
rée par

chargement

le

piloté

non

éq
2.3.2.2-4
cte
:
Avec
gén

contrainte
:
érée par

chargement

le

piloté

var

Les deux champs de contraintes sont obtenus par résolution de deux problèmes linéaires, l'un pour le
chargement non piloté, l'autre pour la partie pilotée du chargement total. La documentation [U2.08.04]
[bib17].

2.3.2.3 Cas des forces imposées dépendant de la géométrie

Exemple des pressions suiveuses :
Lorsque les forces extérieures dépendent de la configuration, cela entraîne que le travail des forces
extérieures intervient dans la condition de stabilité. Prenons l'exemple d'une pression appliquée sur la
structure. Cette pression sera supposée constante pendant le flambement : autrement dit, la valeur de
pression ne change pas pendant le déplacement.
Cette hypothèse correspond à deux types de problèmes réels. Le premier type est celui où le volume
du fluide imposant la pression sur la structure est très grand devant les variations de volume
engendrées par le déplacement du solide. Les problèmes de réservoirs sous pression internes où les
déplacements de parois sont non négligeables par rapport aux dimensions de la structure elle-même
ne rentrent donc pas dans ce cadre.
Le deuxième cas correspond à l'existence d'une source de fluide qui permet de maintenir la pression à
une valeur constante. Il n'est alors plus nécessaire de se soucier de l'amplitude du déplacement du
solide.
La valeur de pression étant prise fixe, la variation de la normale au cours du temps sont à prendre en
compte. Cette variation est due au champ de déplacement qui modifie la surface de la structure. De
même, si on raisonne en termes de résultante et donc d'intégrale, l'élément de surface peut aussi
changer d'aire. Par conséquent, la résultante des forces de pression va varier et il convient d'en tenir
compte.
Nous voyons rapidement que la puissance des efforts, exprimée sur la configuration actuelle, associés
à une pression est donnée par l'équation suivante (voir par exemple [bib11]) :
ext
P
n
1
*
n
u
éq
2.3.2.3-1
pression =

dS

p
+
1




dS
SP

dS

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Titre :

Critères de stabilité structurale

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:

15/12/03
Auteur(s) :
N. GREFFET, J.M. PROIX, L. SALMONA Clé
:
R7.05.01-A Page
: 13/24


Dans cette équation, nous remarquons que la puissance des efforts extérieurs est modifiée dans le
déplacement u1. Nous aurons alors :
ext
P
P
n u
éq
2.3.2.3-2
1
= ext + p 1 *dS

1
SP
Finalement, la matrice K T est enrichie d'un terme supplémentaire, fonction de la pression :
L
K = K + K u + K u + K + K

éq
2.3.2.3-3
T
0
( )
Q ( )
( ) (p)
Si on écrit les opérateurs sur la géométrie actuelle, on aboutit à :
K = K + K()+ K(p
éq
2.3.2.3-4
T
)
Lorsque nous serons en présence de forces suiveuses de pression, les mêmes méthodes que celles
présentées précédemment pourront s'appliquer pour calculer les charges de flambage : il suffira de
compléter la matrice K T avec le nouveau terme K(p). On peut montrer que la matrice K(p) est
symétrique si les forces de pression ne travaillent pas sur le « bord » du modèle.

2.3.2.4 Vibrations sous précontrainte

La même méthodologie peut aussi s'appliquer à l'étude des vibrations de la structure dans la
configurationcourante S . Cette structure est précontrainte et déformée. Il suffit d'écrire le Principe
des Puissances Virtuelles non linéaire géométrique [éq 2.3.1-6] en tenant compte des effets d'inertie et
en y injectant l'hypothèse que les déplacements sont des fonctions périodiques du type :
u
= v

éq
2.3.2.4-1
1 (t )
sin
1
(t)
Il en découle :
[K +KL(u)+KQ(u)+K()+K(p) 2
- M v = éq 2.3.2.4-2
0
] 0
1

Intéressons nous à cette équation.
Tout d'abord, nous remarquons que lorsque nous avons un état critique alors la fréquence propre de
vibration de la structure correspondant au mode de flambage est nulle.
De plus, nous observons que les fréquences propres de la structure chargée sont différentes de celles
de la structure initiale pour deux raisons :
La pulsation propre est modifiée par la précontrainte p : c'est l'effet principal qui est utilisé, par
exemple, pour accorder un violon. La tension de la corde joue sur la hauteur de la note
correspondante, donc sur sa fréquence propre.
Un deuxième effet est la variation de la fréquence par modification de la géométrie : la matrice de
raideur géométrique de départ K 0 est remplacée par la matrice de raideur sur la géométrie actuelle :
L
Q
K 0 + K + K . Ce qui a pour effet de modifier les équations vibratoires.

2.3.2.5 Traitement du comportement élastoplastique (flambement plastique)

Loin de toute exhaustivité, nous ne présenterons ici que les approches les plus simples, en vue de leur
implantation aisée dans le code.
Lorsque la structure fonctionne dans un régime élastoplastique, le flambement est affecté par la perte
de résistance due à la plasticité [bib2]. La modification vient de la relation de comportement pendant le
déplacement supplémentaire u1.
La contrainte devient, sous forme incrémentale :
=

+ C [ L

+
+



2.3.2.5-1
T
(u)
Q (u,u)]
2
C
Q u ,u
1
T
( 1 1)
2
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:

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: 14/24


Dans cette expression, la matrice de comportement est la matrice tangente CT . Le choix de cette
matrice n'est pas immédiat : en effet, la matrice dépend de u1 et n'est donc pas connue tant que le
mode est inconnu. On peut, par exemple, décharger pendant le flambement si le mode se développe
dans un sens et charger s'il se développe dans le sens opposé. Il est donc nécessaire de faire une
hypothèse pour le comportement pendant le flambage plastique. Pour commencer, nous allons
appliquer l'hypothèse de Hill [bib4] qui part du principe que la structure continue à charger
plastiquement pendant le flambage.
Considérons une loi élastoplastique de type Von Mises. Nous définissons les trois modules : E qui est
le module d'Young, ET le module tangent, et ES le module sécant. Ces modules sont rappelés sur la
figure suivante :



ET
ES
E

Figure 2.3.2.5-a : Représentation des divers modules sur une courbe de traction 1D

Puis nous proposons trois méthodologies possibles.
L'hypothèse du module tangent consiste simplement à remplacer le module d'Young par le module
tangent dans la relation de comportement. On obtient alors :
E
C =
C
2.3.2.5-2
T
ET
Cette méthode est très rudimentaire, mais elle est toujours pessimiste, ce qui peut constituer un
avantage, si l'on se place du point de vue du dimensionnement.

La méthode utilisée habituellement consiste à employer la matrice tangente du calcul incrémental
(opérateur STAT_NON_LINE [bib14]). Nous avons donc l'équation suivante dans le cas de la plasticité
de Von Mises [bib15] :






T
D
D
A
AC






CT = CI -

T
D
D




AA

h +

D




VM



2.3.2.5-3
D
vecteur
:
déviateur

contrainte

des

s



T

Avec
D
D
D


A
intervenan

matrice
:
Mises

Von
de

norme

la

dans
t



=

A




VM



E E

T
h
par

définie

plastique

pente
:
: h=



E- ET
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Cette méthode n'est parfaitement rigoureuse qu'en élasticité non linéaire ou si l'on respecte
l'hypothèse de Hill : elle ne permet pas de prédire les bifurcations dans les trajets de chargement. Dès
que la relation de comportement est dissipative, les charges critiques calculées ne seront exactes que
si l'on peut vérifier que le chargement est monotone, en tout point de la structure (Hill [bib4]).

La méthode la plus réaliste consiste à utiliser la théorie finie de la déformation uniquement pour
calculer la charge de flambement plastique. La matrice de comportement tangente est donnée par
l'équation ci-dessous :

1
-
1
1
T
D
D


C
2.3.2.5-4
T =
A[
]

A


1
-
1
1
-
+ C +
-
A
E
E
D



E
E
T
S
S


VM


Comparé à la méthode basée sur la matrice de raideur tangente [éq 2.3.2.5-3], ce critère nécessite la
construction et l'assemblage d'une matrice globale spécifique. Cette opération coûteuse vient alourdir
la résolution incrémentale.
Pour des considérations de généralité et de minimisation du coût de développement et du coût de
calcul (CPU et mémoire), nous choisissons donc le critère basé sur le module tangent [éq 2.3.2.5-3].



3
Implantation dans le code

En toute rigueur, afin de s'assurer l'analyse de stabilité d'un calcul quasi-statique non linéaire, il faut
utiliser le critère de stabilité ad hoc à chaque pas du calcul incrémental. Tout critère de stabilité non
linéaire doit donc être intrinsèquement le moins coûteux possible en temps CPU et en place mémoire.
Algorithmiquement parlant, il paraît judicieux d'implanter l'appel au critère à l'intérieur même de la
routine correspondant à l'opérateur STAT_NON_LINE [bib14]. En effet, le principe d'appel à chaque pas
s'accommode mal d'un fonctionnement totalement externalisé de la méthode incrémentale de
résolution du problème mécanique non linéaire.


3.1 Critère
d'Euler

Ce critère (cf. [§2.3.2.2]) ne nécessite que la résolution d'un problème statique linéaire, puis la
construction et l'assemblage de la matrice de raideur géométrique. Celle-ci et la matrice de raideur
assemblée sont alors à passer comme argument d'un solveur [bib12] pour le problème aux valeurs
propres [éq 2.3.2.2-2].
En sortie on récupère donc les modes de flambement et les charges critiques correspondantes. Pour
plus de détails, l'utilisateur pourra utilement consulter le document [U2.08.04] [bib17].
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3.2
Critère non linéaire

3.2.1 Impact sur l'opérateur STAT_NON_LINE

Commençons par rappeler brièvement le fonctionnement de la méthode incrémentale de résolution
des problèmes de structure non linéaires [bib14].

3.2.1.1 Algorithme
de
STAT_NON_LINE

On utilisera l'indice i (comme "instant") pour noter le numéro d'un incrément de charge et l'exposant n
(comme "Newton") pour noter le numéro de l'itération de Newton en cours. L'algorithme utilisé dans
l'opérateur STAT_NON_LINE peut alors s'écrire schématiquement de la façon suivante :

(u , et connus
0
0 )
0

Boucle sur des instants t (ou incréments de charge) : chargement L = L t
i
( i )
i

·
(u ,
connus
i

1
-
i 1
- )
· Prédiction : calcul de
0
u et
0

i
i
· Boucle sur des itérations de Newton : calcul d'une suite ( n
n
u ,
i
i )
·
( n n
u , et ( n
n
u , connus
i
i )
i
i )
· Calcul des matrices et vecteurs associés aux charges suiveuses
· Expression de la relation de comportement
·
calcul des contraintes n
et des variables internes n
à partir des valeurs
i
i
1
-
et à l'équilibre précédent ( t ) et de l'incrément de déplacement
1
-
i 1
-
n
u
u
u depuis cet équilibre
i =
n
i
-
i 1
-
·
calcul des "forces nodales" :

n
T
n
Q + B
i
i
·
calcul éventuel de la matrice de raideur tangente :
n
K = K( n
u )
i
i
· Calcul de la direction de recherche
n 1
+
(u ,
n 1
+
) par résolution d'un système
i
i
linéaire
· Itérations de recherche linéaire :
· Actualisation des variables et de leurs incréments :

n+1
n
n+1
u
=u + u
u =u + u
i
i
i


n+1
n
n+1

et
i
i
i

n+1
n
n+1
= +


= +
i
i
i

n+1
n
n+1
i
i
i
· Test de convergence
· Archivage des résultats à l'instant t
i

u = u
u
1 +
i
i-
i
= 1 +
i
i-
i
i

i

On remarque qu'il y a trois niveaux de boucles imbriqués : une boucle extérieure sur les pas de temps,
une boucle d'itérations (qualifiées de globales) de Newton et des sous-boucles éventuelles pour la
recherche linéaire (si elle est demandée par l'utilisateur) et certaines relations de comportement
nécessitant des itérations (dites internes), par exemple pour l'élasto-plasticité en contraintes planes.

Si l'on choisit le critère basé sur la matrice tangente assemblée [éq 2.3.2.5-3], il faut disposer de cette
matrice réactualisée à chaque pas où l'on veut faire l'analyse de stabilité.
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C'est le cas lorsque l'on utilise une méthode de type Newton, et non pas une méthode de type Newton
modifiée.

On aboutit alors à l'algorithme suivant :

(u , et connus
0
0 )
0

Boucle sur des instants t (ou incréments de charge) : chargement L = L t
i
( i )
i

·
(u ,
connus
i

1
-
i 1
- )
· Prédiction : calcul de
0
u et
0

i
i
· Boucle sur des itérations de Newton : calcul d'une suite ( n
n
u ,
i
i )
·
( n n
u , et ( n
n
u , connus
i
i )
i
i )
· Calcul des matrices et vecteurs associés aux charges suiveuses
· Expression de la relation de comportement
·
calcul des contraintes n
et des variables internes n
à partir des valeurs
i
i
1
-
et à l'équilibre précédent ( t ) et de l'incrément de déplacement
1
-
i 1
-
n
u
u
u depuis cet équilibre
i =
n
i
-
i 1
-
·
calcul des "forces nodales" :

n
T
n
Q + B
i
i
·
calcul éventuel de la matrice de raideur tangente :
n
K = K( n
u )
i
i
· Calcul de la direction de recherche
n 1
+
(u ,
n 1
+
) par résolution d'un système
i
i
linéaire
· Itérations de recherche linéaire :
· Actualisation des variables et de leurs incréments :

n+1
n
n+1
u
=u + u
u =u + u
i
i
i


n+1
n
n+1

et
i
i
i

n+1
n
n+1
= +


= +
i
i
i

n+1
n
n+1
i
i
i
· Test de convergence
· Archivage des résultats à l'instant t
i

u = u
u
1 +
i
i-
i
= 1 +
i
i-
i
i

i

·
Critère de stabilité, fonction de la raideur tangente réactualisée :
n
K = K( n
u )
i
i

Le critère est calculé à la fin du pas, juste après l'archivage. Il a donc comme arguments les quantités
convergées au pas courant. De plus, ce choix de position d'appel permet de tenir compte correctement
des chargements suiveurs, puisque leur calcul se fait lors des itérations de Newton. Le critère ne
saurait donc être appelé avant la fin de ces itérations.

3.2.1.2 Impact sur la structure de donnée résultat de STAT_NON_LINE

L'appel du critère de stabilité non linéaire va induire la résolution d'un problème aux valeurs propres.
Le résultat de ce calcul sera donc un ensemble de couples charge critique / mode de flambage.
Les charges critique sont des scalaires et les modes associés sont des champs de déplacement, qui
viendront enrichir la structure de donnée résultat de STAT_NON_LINE.
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3.2.2 Particularités liées au tenseur de déformation

Dans le code, il convient de distinguer deux grandes familles de description des déformations.

D'une part le tenseur linéarisé correspond au cas des petites perturbations (argument PETIT du mot
clé DEFORMATION), mais aussi au cas des petites perturbations réactualisées (lagrangien réactualisé à
chaque pas du calcul incrémental : argument PETIT_REAC du mot clé DEFORMATION).

Le tenseur de déformation s'écrit alors (comme [éq 2.2-3]) :
1
= (u
T
+ u) éq
3.2.2-1
2
L'utilisation de PETIT_REAC implique une résolution de l'équilibre de la structure sur sa géométrie
actuelle avec un tenseur de déformations linéarisé. On calcule donc l'incrément de déformation par
rapport à la position X , au déplacement u et à l'incrément de déplacement u de la façon suivante :

1 u
u

=
i

éq
3.2.2-2
ij
+
j


2 (X + u)
X u
j
( + )
i

D'autre part, le code offre des tenseurs de déformation de type Green-Lagrange (GREEN ou
GREEN_GR) pour le traitement des grands déplacements (et des rotations finies pour certains éléments
de structure) mais sous hypothèse de petites déformations. Le tenseur utilisé est le tenseur classique
suivant [éq 2.3.1-5] :
1
(u ) =
u
+ u + u u
ij
( i,j j,i k,i k, j ) éq
3.2.2-3
2
Le mot-clé GREEN correspond à des modélisations en 3D alors que le mot-clé GREEN_GR s'applique à
des modélisations poutre ou coque.

Enfin, le cadre de modélisation en grandes transformations le plus complet accessible dans le
Code_Aster est issu de la théorie de Simo et correspond au mot-clé SIMO_MIEHE. Il prend en compte
les grandes rotations et les grandes déformations puisque la loi de comportement est écrite en
grandes déformations. Pour plus de précisions sur les différences fondamentales entre les différents
types de déformations, la documentation [bib16] de Code_Aster présente en détail la modélisation
SIMO_MIEHE.

Le Code_Aster ne permet pas les calculs en configuration eulerienne : comme avec le tenseur
d'Almansi, par exemple. Tous les tenseurs de déformation disponibles sont de type lagrangien.

La différence fondamentale, quant à l'écriture du critère, se situe entre les déformations linéarisées
(PETIT et PETIT_REAC) et les déformations GREEN, GREEN_GR et SIMO_MIEHE.
En effet, le Code_Aster a besoin pour faire sa recherche d'équilibre de la matrice tangente. Celle-ci
s'écrit d'après l'équation ([§2.2.2.1] de la documentation sur STAT_NON_LINE [bib14]) :

T


Q
T
K
éq
3.2.2-4
T = Q
:
+
:
u

u

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T
T

Q
Or, Q :
correspond au terme classique de la rigidité matérielle et
: correspond au terme
u

u

de rigidité géométrique qui n'est présent qu'en grands déplacements. Ainsi lorsqu'on veut appliquer un
critère de flambement du type (formellement assimilable à [éq 2.3.2.2-2]) : (K + K()) = 0 .
Ce critère n'est valable qu'en petites déformations puisque le terme de rigidité géométrique est
considéré comme négligeable dans la matrice tangente.
On peut donc, avec raison, faire une recherche classique des valeurs propres et vecteurs propres de
type flambement d'Euler.

Par contre en grandes transformations, l'évaluation de ce critère par la même méthode est
problématique pour deux raisons. D'une part, dans la matrice tangente, le terme de rigidité
géométrique est déjà calculé et, d'autre part, la matrice K( ) qu'il faudrait éventuellement ajouter est
obtenue sous Code_Aster en petites déformations. Pour ces raisons, il est nécessaire d'évaluer de
manière différente le critère selon le type de tenseur de déformation demandé par l'utilisateur.

Si l'on faisait le choix d'une description eulerienne, le développement d'un critère du type Euler
réactualisé serait facilité au niveau du calcul du terme K( ) , quel que soit le tenseur de déformation.

3.2.2.1 En déformations linéarisées : PETIT et PETIT_REAC

Comme nous l'avons dit précédemment, ce cas de figure ne pose pas de problème majeur. Il suffit de
calculer la matrice de rigidité géométrique et de faire une recherche classique de modes et de valeurs
propres, de type Euler [éq 2.3.2.2-2] :

(K + K()) = 0
éq
3.2.2.1-1

K est la matrice tangente réactualisée à la fin du pas de temps.
Dans ce cas, on peut donc effectivement parler de critère de type Euler réactualisé.
Comme on est en petites déformations, la matrice des rigidités géométriques est proportionnelle au
chargement. Donc, lorsque l'on obtient le coefficient critique , il suffit de le multiplier par la charge
réelle au pas de temps actuel pour obtenir la charge critique de flambage. Le cas =1 correspond
donc à la perte de stabilité.

3.2.2.2 En grands déplacements : GREEN, GREEN_GR et SIMO_MIEHE

La méthode classique ne s'applique plus dans ce cas-là. En effet, le Code_Aster calcule comme
matrice tangente la matrice de rigidité matérielle plus la matrice de rigidité géométrique (et
éventuellement, la contribution due aux pressions suiveuses).
Une des manières de vérifier alors le flambement est de faire une recherche des valeurs propres de la
matrice tangente seule. Si une des valeurs propres est négative, c'est que la matrice est devenue
singulière et qu'une instabilité est survenue entre le moment où toutes ses valeurs propres étaient
positives et le moment où l'une d'elle est devenue négative.
Le problème à traiter est donc légèrement différent puisque dans le cas des petites déformations
(PETIT et PETIT_REAC), on a le système suivant à résoudre [éq 3.2.2.1-1] : , (K + K()) = 0 alors
que dans le cas GREEN, GREEN_GR et SIMO_MIEHE il faut résoudre :

(K + I) = 0 éq
3.2.2.2-1

Avec I qui est la matrice identité et est, cette fois, de dimension physique équivalente à K , alors
que dans le cas des petites déformations, la valeur propre est adimensionnelle (d'où son
interprétation directe en tant que coefficient multiplicateur du chargement).
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L'un des défauts inhérents à cette méthode par rapport à la recherche plus classique expliquée plus
haut [§ 2.3.2] est que l'on ne peut avoir de prévisions de flambage que lorsqu'on s'approche « près »
de la charge critique, voire lorsqu'on la dépasse. Loin de cette charge, la première valeur propre
trouvée n'a pas réellement de signification physique puisque des non linéarités peuvent apparaître
entre le pas courant et la charge critique calculée. Le rapport coefficient critique sur charge à l'instant i
est donc différent de celui à l'instant i+1 alors qu'en petites déformations ce rapport reste constant.
De plus, pour tous les pas de temps, toutes les valeurs propres et vecteurs propres hormis la plus
basse n'ont aucune signification physique puisque, pour un couple vecteur propre valeur propre
(V , , on a :
i
i )
(K u
( ) + K())V = V éq
3.2.2.2-2
i
i
i
Ceci n'a de sens clair qu'à partir du moment où
, auquel cas on retrouve la charge critique et
i 0
le vecteur propre critique associé.
Toujours comparé au critère d'Euler (réactualisé [éq 3.2.2.1-1] ou non [éq 2.3.2.2-2]), on remarque que
la valeur propre du problème [éq 3.2.2.2-1] : (K + I) = 0 n'est pas adimensionnée. Il en découle
une plus grande difficulté d'interprétation quant à savoir si la valeur est « petite » ou non. Autrement
dit, quand peut-on dire que l'on est proche d'une bifurcation ?
Pour définir un intervalle pertinent et d'usage général, afin de borner le voisinage d'une instabilité, il
serait intéressant d'adimensionner les valeurs propres.

3.2.2.3 Cas des modélisations mixtes

Comme le Code_Aster permet d'affecter plusieurs types de déformations à la même structure, il faut
considérer le cas où l'on utilise plusieurs types de tenseurs de déformation dans le même calcul.
La différenciation des différentes matrices élémentaires n'étant d'aucune utilité, il convient de se
résoudre à trancher au niveau global entre une méthode ou l'autre. On a choisi d'extraire les valeurs et
vecteurs propres de la matrice tangente sans rajouter de matrices de raideurs géométriques. Tout se
passe comme si la structure était en déformation de type Green-Lagrange du point de vue du critère.
En effet, considérons un solide quelconque composé de deux parties I et II. Sur la partie I, le tenseur
de déformation qui a été adopté est le tenseur linéarisé PETIT et sur la partie II celui de
Green-Lagrange. La matrice tangente issue de l'assemblage des deux sous-matrices devient :

K
*
0
I



*
*
*
éq
3.2.2.3-1
0
* K
K
II +
(
II )



Les termes étoilés représentent les noeuds communs aux deux parties et sont donc une combinaison
linéaire des valeurs des deux matrices. Dans cette configuration, il apparaît qu'aucune des solutions
n'est satisfaisante mais que la moins pénalisante est de faire une recherche de «
type
Green-Lagrange » [§ 3.2.2.2] c'est-à-dire d'utiliser (K + I) = 0 [éq 3.2.2.2-1].

Cette solution n'étant pas exacte mais néanmoins la seule capable d'être réalisé simplement, il est
prévu d'ajouter un message d'alarme informant l'utilisateur que les résultats obtenus ne sont pas
garantis dus à la juxtaposition de plusieurs types de tenseurs de déformations.

3.2.3 Amélioration des performances du critère

Durant la résolution incrémentale d'un problème quasi-statique non linéaire, dans l'idéal et si l'on
admet que la discrétisation en temps est suffisamment fine, il faudrait faire une analyse de stabilité à
chaque pas de calcul. A chaque pas, cela induit la résolution d'un problème aux valeurs propres,
certes limité à la recherche de quelques modes. L'analyse de stabilité apporte donc un surcoût CPU
important, à un calcul non linéaire pouvant déjà être long.
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Date
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L'idée est de ne faire appel à la résolution d'un problème aux valeurs propres que quand c'est
réellement nécessaire, donc quand la configuration courante est « proche » d'une instabilité. Si l'on
peut définir ce voisinage par un intervalle prédéfini, alors on peut faire appel à un test de Sturm [bib12].
Ce test permet de savoir si il existe au moins une valeur propre sur l'intervalle de recherche. Dans
l'affirmative, on pourra alors effectuer la recherche modale. Dans le cas contraire, on continue la
résolution incrémentale quasi-statique, sans résoudre de problème aux valeurs propres.
Le coût d'un test de Sturm est notablement inférieur au coût de recherche des charges critiques.
L'intervalle de recherche pour le test de Sturm peut, soit être donné par l'utilisateur, soit avoir une
valeur par défaut dans le code.
Dans le cas d'un critère d'Euler réactualisé (cas des petites déformations [§ 3.2.2.1]), où le problème à
résoudre s'écrit : (K + K()) = 0 [éq 3.2.2.1-1], l'intervalle de recherche doit être centré sur la
valeur propre = 1 (qui correspond à la valeur -1 pour l'algorithme de MODE_ITER_SIMULT, car il
résout en fait un problème du type : K = µK() )).
Les bornes de l'intervalle sont les bornes du coefficient multiplicateur du chargement, donc des
quantités adimensionnelles, qui sont fonction des coefficients de sécurité et de l'évaluation des
incertitudes pour le problème donné. Le test de Sturm est mis en oeuvre dans ce cadre.
Dans le cas spécifique adapté aux tenseur de Green-Lagrange [§ 3.2.2.2], où l'on résout :
(K + I) = 0 [éq 3.2.2.2-1], l'intervalle est centré sur 0. De plus, les bornes de l'intervalle de test
sont, contrairement au cas précédent, non adimensionnées [§ 3.2.2.2]. Il est donc plus difficile
d'identifier des valeurs pertinentes et générales (pour le cas des valeurs par défauts). Le test de Sturm
n'est pas implanté actuellement pour ce cas.

3.3
Généralisation à la dynamique

Nous n'aborderons pas ici le cadre des critères d'instabilité dynamique (amortissement négatif...). Il
s'agit juste de signaler que le critère non linéaire présenté ici peut tout à fait s'appliquer directement en
dynamique non linéaire. Il détectera alors tout flambage potentiel de la structure, au sens de la
singularité de la matrice globale de raideur tangente réactualisée.
Afin d'être exhaustif en termes d'analyse de stabilité sur une étude dynamique non linéaire, l'utilisateur
devrait utiliser deux critères :

· un critère de flambage (critère sur la raideur),
· un critère dynamique (critère sur l'amortissement ou sur le problème linéarisé quadratique
global [bib13], par exemple).

Pour l'instant, le critère n'est pas disponible dans DYNA_NON_LINE.

3.4
Syntaxe d'appel du critère

Dans l'opérateur STAT_NON_LINE, l'appel au critère se fait de la manière suivante :

CRIT_FLAMB = _F(
CHAR_CRIT = ( -1.1 , 0. ) ,
NB_FREQ
=
3
.
)
,

Le mot clé CHAR_CRIT définit le domaine sur lequel on va faire le test de Sturm, en petites
déformations linéarisées. Si on trouve au moins une valeur propre sur l'intervalle, alors, on mène la
résolution du problème aux valeurs propres correspondant, sinon, on ne fait rien et le calcul
incrémental peut continuer.
Si l'on utilise les modélisations GREEN, GREEN_GR ou SIMO_MIEHE, la résolution modale a forcément
lieu, et on recherche les valeurs propres les plus petites.
Le mot clé NB_FREQ permet de spécifier le nombre de modes que l'on recherche (valeur par défaut :
3). Il peut être utile de rechercher plus d'un mode, principalement pour pouvoir détecter les cas
« pathologiques » tels que modes multiples ou très proches.

Le mode de flambage correspondant à la plus petite valeur propre (en valeur absolue) est stocké dans
la structure de donnée RESULTAT (valeurs propres nommé CHAR_CRIT, champs de déplacement
nommé MODE_FLAMB, que l'on peut visualiser via IMPR_RESU).
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3.5
Validation des développements

Les cas tests de validation sont : SSNL126 et SSLL105D.
Plus précisément, les cas tests SSNL126 traitent le cas d'une poutre encastrée à une extrémité et
soumise à une compression à l'autre extrémité. La modélisation est tridimensionnelle, avec relation de
comportement élastoplastique à écrouissage isotrope linéaire. Deux représentations cinématiques sont
présentées :

· modélisation a : déformations linéarisées,
· modélisation b : déformations de Green-lagrange.

Le cas test SSLL105D se base sur un problème de poutre en L, dont on étudie le flambement
élastique. Les éléments finis sont de type poutre.



4 Conclusions

Le Code_Aster offre deux critères de stabilité, au sens du flambage, pour les calculs de structure.

D'une part, dans les cas où une approche linéarisée suffit, on peut appliquer un critère de type Euler
([bib12] et [bib17]), par appel à un opérateur de résolution du problème aux valeurs propres généralisé
(par exemple MODE_ITER_SIMULT avec le mot clé TYPE_RESU='MODE_FLAMB').

D'autre part, pour tous les cas où il est indispensable de tenir compte des non linéarités, qu'elles soient
dues à la relation de comportement ou aux grandes transformations, l'utilisateur peut employer un
critère adapté, de type Euler généralisé. L'appel de ce critère se fait au cours de la résolution
incrémentale du problème quasi-statique (opérateur STAT_NON_LINE [bib14]).
A chaque pas de temps, le critère est basé sur la résolution d'un problème aux valeurs propres [bib12]
sur les matrices de raideurs globales actualisées.
Ce critère, qui se décline sous deux formes différentes, suivant le tenseur de déformation choisi, se
base sur une linéarisation autour du pas de calcul courant. Il accepte tout type de tenseur de
déformation, ainsi que tout type de relation de comportement pour laquelle on est capable de
construire la matrice de raideur globale, à chaque instant. De plus, le critère choisi est parfaitement
rigoureux dans le cas des relations de comportement élastiques non linéaires, et dans le cas de
l'élastoplasticité associée à l'hypothèse de Hill [§ 2.3.2.5].


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5 Bibliographie

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LMT-Cachan, 1997.
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N. GREFFET : "Simulation couplée fluide-structure appliquée aux problèmes d'instabilité non
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Mécanique des structures", Cours IPSI, 1998.
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A. LEGER : "Bifurcation, flambage, stabilité en mécanique des structures", Note EDF-DER
HI-74/98/024/0.
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analysis by finite element method", Computer & Structures, Vol. 58, n°1, 203-220, 1996.
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J.C. WOHLEVER, T.J. HEALEY : "A group theoretic approach to the global bifurcation
analysis of an axially compressed cylindrical shell", Comp. Meth. In Applied Mech. And
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[11]
E. LORENTZ : "Efforts extérieurs de pression en grands déplacements", Manuel de référence
du Code_Aster [R3.03.04].
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O. BOITEAU : "Algorithme de résolution pour le problème généralisé", Manuel de référence
du Code_Aster [R5.01.01].
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N. TARDIEU, I. VAUTIER, E. LORENTZ : "Algorithme non linéaire quasi-statique (opérateur
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J.M. PROIX, E. LORENTZ, P. MIALON : "Intégration des relations élasto-plastiques", Manuel
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V. CANO, E. LORENTZ : "Modèle de Rousselier en grandes déformations", Manuel de
référence du Code_Aster [R5.03.06].
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N. GREFFET : "Notice de calcul au flambage", Manuel d'utilisation du Code_Aster [U2.08.04].

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