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Calcul des coefficients d'intensité de contraintes


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02/05/05
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E. GALENNE Clé
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Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
Document : R7.02.05





Calcul des coefficients d'intensité de contraintes
en thermoélasticité linéaire plane





Résumé :

On présente la méthode de calcul des coefficients d'intensité de contraintes KI et KII et en thermoélasticité
linéaire plane. La formulation considère le taux de restitution d'énergie comme une forme bilinéaire symétrique
du champ de déplacement u et utilise les expressions explicites des champs de déplacements singuliers
connues en élasticité linéaire plane.



Mots-clés :

Mécanique de la rupture, coefficient d'intensité de contraintes, thermoélasticité.

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Table
des
matières

1 Expressions des facteurs d'intensité de contraintes KI et KII en thermoélasticité linéaire 2D ..............3
1.1 Présentation.....................................................................................................................................3
1.2 Formule d'IRWIN et taux de restitution d'énergie G ........................................................................5
1.3 Découplage des modes de rupture I et II ........................................................................................6
2 Implantation de KI, KII en thermoélasticité linéaire 2D dans Aster........................................................8
2.1 Types d'éléments et de chargements..............................................................................................8
2.2 Environnement nécessaire pour le calcul de K , K .........................................................................8

I
II
2.3 Forme bilinéaire symétrique g(. , .)..................................................................................................8
2.3.1 Terme classique élémentaire .................................................................................................8
2.3.2 Terme force volumique.........................................................................................................11
2.3.3 Terme thermique ..................................................................................................................12
2.3.4 Terme force surfacique ........................................................................................................12

2.4 Champs de déplacements singuliers et leurs dérivées.................................................................12
2.5 Post-traitement des résultats de K et K .......................................................................................12

I
II
3 Bibliographie ........................................................................................................................................14

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1
Expressions des facteurs d'intensité de contraintes KI et KII
en thermoélasticité linéaire 2D


1.1 Présentation



x2





r





0


x1

Soient les axes de coordonnées cartésiennes Ox1 dans le prolongement de la fissure et Ox2
perpendiculaire à la fissure. Le problème est plan. Nous exprimerons les composantes cartésiennes
des déplacements et des contraintes en fonction des coordonnées polaires r et .

En élasticité linéaire, le système des équations de l'équilibre, sans force volumique, et les conditions
aux limites homogènes sur la fissure, les contraintes nulles à l'infini, admettent une solution non triviale
1
-
de la forme u = r g ( )
2
i
i
. Les contraintes sont infinies au fond de la fissure comme r
[bib3].

Pour un problème quelconque en élasticité linéaire plane (déformations planes ou contraintes planes),
le champ de déplacement u peut se décomposer en une partie singulière et une partie régulière. La
partie singulière, appelée également singularité, est celle explicitée ci-dessus, elle contient les
coefficients de contraintes. En élasticité linéaire, les modes de rupture I et II sont séparés :

u = u + K uI + K uII
R
I
S
II
S

avec :


1+ r 1/2


uI

=
cos
k
S1
- cos

E 2
(2)(
)



1+ r 1/2


uI
=
sin
k
S2
- cos

E 2
(2)(
)


1+ r 1/2


uII

=
sin
k
S1
+ cos + 2

E 2
(2)(
)



1+ r 1/2


uII
= -
cos
k
S2
+ cos - 2

E 2
(2)(
)
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avec :

k = 3 - 4
en déformations planes D_PLAN
k = (3 - ) / (1+ )
en contraintes planes C_PLAN

et :

E module d'YOUNG
coefficient de POISSON


La répartition des contraintes singulières au voisinage de la fissure est donnée par les formules :

s

= K I + K II
11
I
11
II
11

s

= K I + K II
12
I
12
II
12
s

= K I + K II
22
I
22
II
22

avec :


1




3
I

11 = (
cos
1 sin
sin


2 r)1/2

2 -



2 2


1



3
I

12 = (
cos
sin
cos



2 r)1/2

2

2

2

1



3
I

22 =
cos
sin
sin


(
1

2 r)1/2

2 +



2

2


1



3
II

11 = - (
sin
2 cos
cos

2 r)1/2

2 +



2

2



1



3
II

12 = (
cos
1 sin
sin



2 r)1/2

2 -



2

2

1



3
II

22 =
sin
cos
cos

(


2 r)1/2

2

2

2
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1.2
Formule d'IRWIN et taux de restitution d'énergie G

En élasticité linéaire plane, les facteurs d'intensité de contraintes sont reliés au taux de restitution
d'énergie G par la formule d'IRWIN :

2
1-
G =
( 2 2
K I + KII )
déformatio

en
(DP)

planes

ns
E

1
G =
( 2 2
K I + KII )
contrainte

en
(CP)

planes

s
E

La démonstration de ces formules peut être faite à partir de l'expression du taux de restitution
d'énergie G implantée dans le Code_Aster et connue sous le nom de la méthode thêta [bib5].
Rappelons que G est défini par l'opposé de la dérivée de l'énergie potentielle par rapport à l'évolution
du fond de fissure.


F

F
f
u



Dans la méthode Lagrangienne de dérivation de l'énergie potentielle, on considère des transformations
M M
+ ( M ) du domaine de référence 0 en un domaine qui correspondent à des
propagations de la fissure. A ces familles de configuration de référence ainsi définies
correspondent des familles de configurations déformées dont la fissure s'est propagée. L'énergie
potentielle définie sur est ramenée sur 0 .
On considère les forces surfaciques F et volumiques f appliquées respectivement à F et 0 . On
note ((u)) la densité d'énergie libre, u le champ de déplacement, T le champ de température et
le champ de vecteurs décrivant la direction du transport en = 0, alors l'expression générale du
taux de restitution d'énergie G [bib5] est :
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G =
[(u) : (u)- ((u) div ]d


Terme classique



-
(T )d


Terme
thermique

la

à



T
+
([f )u + f u div ]d
Terme
volumiques

forces
aux



f sur








+
(F )


u + F
u div - n
d Terme
surfacique

forces
aux




s F sur






F
F


n
-
( n)(u )d
Terme
déplacemen
aux



sur

imposés

ts



u
u

En élasticité linéaire, G peut être considéré comme une forme bilinéaire symétrique du champ de
déplacement u . La densité d'énergie élastique ((u)) s'écrit :

(
1
1
(u)) =
(u) : : (u) =
B(u, u)
2
2


en notant :

le tenseur d'élasticité
B la forme bilinéaire symétrique définie par : B(u, v) = (u) : : (v)

et la forme bilinéaire g( , ) associée à G est définie par :

1
B
B

g(u, v) =
(v ) +
( u
) - B

(u , v) div d
2 u

v




1
+ ([f ) v + (f ) u + (f v + f u) div ] d
u
v
u
v

2

en se limitant aux termes classique et dû aux forces volumiques f .

On a G = g(u, u) si u est solution du problème élastique.

1.3
Découplage des modes de rupture I et II

Dans la méthode implantée dans le Code_Aster, pour découpler les modes de rupture I et II et
calculer les coefficients KI et KII , on utilise la forme bilinéaire symétrique g( , ) et la
décomposition du champ de déplacement u en parties régulière et singulière [bib7].

g
(
I
I
II
I
I
I
I
II
I
u, uS ) = g(u + K u + K
R
I
S
II uS , uS ) = g(u R , uS ) + K g
I
(uS,uS)+ K g
II
(uS ,uS)


g

(
II
I
II
II
II
I
II
II
II
u, uS ) = g(u + K u + K
R
I
S
II uS , uS ) = g(u R , uS ) + K g
I
(uS,uS )+ K g
II
(uS ,uS )
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On démontre en thermoélasticité linéaire plane que uI
II
S et uS sont orthogonaux pour le produit
scalaire défini par la forme bilinéaire g( , ) , que les termes faisant intervenir la partie régulière
s'annulent et finalement :

g(
I
I
I
u, uS ) = K g
I
(uS,uS)
g(
II
II
II
u, uS ) = K g
II
(uS ,uS )

De plus, en écrivant le taux de restitution d'énergie sous la forme :

G
g(u, u)
g(u + K I
u + K
II
u , u + K
I
u + K
II
=
=
R
I
S
II
S
R
I
S
II uS )

et comme :

g( I
II
II
I
uS , uS ) = g(uS , uS ) = 0
g( R I
R
II
u , uS ) = g(u , uS ) = 0

on retrouve la formule d'IRWIN :

g( , ) = K2 g( I
I
2
II
II
u u
u , uS ) + K g
I
S
II
(uS , uS )

avec :

1
2
-
g( I I
uS ,uS ) = g( II II
uS ,uS ) =

en D_PLAN
E

1
g( I I
uS ,uS ) = g( II II
uS ,uS ) =

en C_PLAN
E

Finalement :


=
E
K I
g(
I
u u
, S )


1- 2



=
E
K II
g(
II
u u
, S )
en D_PLAN


1- 2



K
=
I
E g(
I
u u
, S )


K
=
II
E g(
II
u u
, S )
en C_PLAN


L'implantation du calcul des coefficients d'intensité de contraintes en thermoélasticité linéaire plane
dans le Code_Aster est réalisée à partir de l'expression du taux de restitution d'énergie G en élasticité
linéaire 2D, écrite sous forme bilinéaire symétrique, en introduisant les expressions connues des
déplacements singuliers, et en utilisant la méthode thêta.
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2
Implantation de KI, KII en thermoélasticité linéaire 2D dans
Aster


2.1
Types d'éléments et de chargements

Pour calculer les coefficients d'intensité de contraintes KI et KII en élasticité linéaire 2D, il faut
utiliser l'option CALC_K_G de la commande CALC_G_THETA. Cette option est disponible pour tout
chargement thermo-mécanique s'appliquant sur un modèle de milieu continu bidimensionnel affecté à
des triangles à 3 ou 6 noeuds, des quadrangles à 4, 8 ou 9 noeuds, et les segments à 2 ou 3 noeuds.
Elle est valable pour une modélisation 'C_PLAN' ou 'D_PLAN'.

Remarque :

On ne tient pas compte du terme dû aux déplacements imposés sur u , il ne faut donc pas
imposer de conditions de DIRICHLET sur les lèvres de la fissure.


2.2
Environnement nécessaire pour le calcul de KI, KII

La commande CALC_G_THETA permet de récupérer le modèle du problème, les caractéristiques du
matériau, le champ de déplacements et le champ thêta. Pour le calcul des coefficients d'intensité de
contraintes, il est nécessaire d'ajouter le mot-clé FOND_FISS, qui permet de récupérer un concept de
type fond_fiss où sont définis le noeud de fond de fissure et la normale à la fissure.

Lorsque que la fissure est disposée le long d'un axe de symétrie, on peut également préciser la
symétrie du chargement par le mot-clé SYME_CHAR. Par défaut on suppose qu'il n'y a pas de symétrie.
Si on affecte la valeur 'SYME' au mot clé SYME_CHAR, cela signifie que seul le mode I de rupture agit
(ouverture des lèvres de la fissure) et on affecte automatiquement la valeur nulle à KII . Si on affecte
la valeur 'ANTI', alors seul le mode II est actif (glissement d'une lèvre par rapport à l'autre) et KI est
nul.

Insistons sur la nécessité d'affecter à tous les éléments (y compris ceux de bords) les valeurs du
modules d'YOUNG E et du coefficient de POISSON , car elles sont utilisées dans le calcul des
déplacements singuliers. Ces valeurs doivent être homogènes sur tout le support du champ thêta.

2.3
Forme bilinéaire symétrique g(. , .)

Remarque :

La routine GBILIN calcule le taux de restitution d'énergie G sous la forme bilinéaire
symétrique g
(u, v) en thermo-élasticité linéaire plane (déformations ou contraintes planes)
pour les éléments isoparamétriques 2D.


2.3.1 Terme classique élémentaire

TCLA = (u) : (u ) - ((u)) div

La densité d'énergie élastique ((u)) s'écrit en thermo-élasticité linéaire :
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en D_PLAN :

1- E
E
((u))
(
)
=
(2 +2
xx
yy )
(
+

2 1+ )(1-
2 )
(1+)(1-
2 ) xx yy
E
+
2 -
1+ xy
th


en C_PLAN :
E
E
E
((u)) =
(
2 + 2 +
+
2 -
-2) ( xx
yy ) ( -2) xx yy ( +) xy th
2 1
1
1

avec th = Densité d'énergie due à la thermique :

= 3
th
K (T -
T f ) tr

où :

3
=
E
K
1-
2

=
thermique

dilatation


= tenseur
déformatio

de

ns
T
= températur
référence

de

e
ref

et de façon générale, on peut écrire :

2 ((u)) = C ( 2
2
+
xx
yy ) + 2 C
+ 4
2




C - 2
1
2 xx yy
3

xy
th

avec :


(1- )E

C =
= + µ
C =
E
1 (1+ )(1- )
2
2
1
(1 2
- )



E

E
C =
=
C =

2
(

1+ )(1- 2 )
en
D_PLAN


;


en
.
2
C_PLAN
1
2


-

E

E
C =
= µ
C =
3

(
3
2 1+ )
(
2 1+ )

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Donc, en notant ((u)) = ( ,
u u) , on a 2 (u, v) = S1- S1TH avec :

u


v
u


v

u


v
u


v

1
x
x
y
y
x
y
y
x
S
=
1
C


+





+ C2

+









x



x

y

y





x
y

y


x




u

u


v

v

x
y
x
y
+
3
C
+


+





y

x

y

x





1
S TH = 3K ( u
T - réf
T )tr (v)+ ( v
T - réf
T )tr (u))

Tu est la température associée au champ de déplacement u par la relation :

= ((u) - th)

th = (T -
T f )
ij
ij

et vérifient les équations d'équilibre.

De la même façon, le terme (u) : (u ) peut s'écrire :

(u) : (u
) = S2 - S2TH

avec :

u u
u


x
x
x
x
y
uy uy
u
x
y
y
S2 = C1
+
+






+


x
x x
y x



y x y
y y
u u



x
y
u
x
y
y
uy u
u
x
x
x
y
+ C2
+
+






+


x
x y
y y



y x x
y x
u
u




x
y
u
u
u
x
x
x
y
y
u
x
y
y
+ C3
+


+
+
+




y
x x y
y y
x x
y

x


u u
u v
Les termes
x
x
x
x

deviennent dans la forme bilinéaire symétrique
et les termes du
x x
x x
u u
1 u v
v u
type
x
y
x
y
x
y

+


deviennent
.
y x
2 y x
y x
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TH
v
v
x
x
y
y
v
v
x
y
y
S TH =
1
2
3K (T - T
u
réf )


+
+
+
x
2
x x
y y
y x
x y
TH
u
u
x
x
y
y
u
u
x
y
y
+
13K(T -T
v
réf )


+
+
+
x
2
x x
y y
y x
x y
TH1 =
1
en


D_PLAN


1 - 2
TH1 =

en C_PLAN

1 -


et finalement le terme classique s'écrit :

1
TCLA = (S2 - S2TH) - (S1- S TH
1
) div
2

2.3.2 Terme force volumique

TFOR = (f ) u + f u div

En toute rigueur, l'expression bilinéaire symétrique de TFOR s'écrit en (u, v) :

1
TFOR(u, v) =
([fu ) v +(fv )u+(fu v +fv u)div]
2

fu sont les forces volumiques associées au champ de déplacement u pour le problème élastique.

mais comme les expressions que nous sommes amenés à calculer sont du type TFOR(u, u) et
TFOR(
S
u, u ) , où u et uS sont respectivement le champ de déplacement et le champ singulier, et
que :

f
S
div
= 0 sur
us
=
( (u )

On se limite à écrire :

S
TFOR(
CS
5
.
0
u, v) = CS (
[ f .
u ) v + f . v div
u
]


=
v = u
avec



CS = 1
v = u
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Finalement :

f
f

TFOR(u, v) = CS v
x
x

+
+ f
x
div
x x
y y
x



f
f

+ v
y
y

+
+ f
y
div
x x
y y
y


La même remarque est valable pour le terme classique thermique, le terme supplémentaire dû à la
thermique et les termes dus aux forces surfaciques.

2.3.3 Terme
thermique

On fait l'hypothèse que les caractéristiques du matériau (E
,
, ) ne dépendent pas de la
température.


1
T
T
TTHE = -
(T ) =
3 K tr
+



T
2
x x y y

2.3.4 Terme force surfacique

En 2D, pour les éléments isoparamétriques de bord, on a introduit les chargements de type pression-
cisaillement et force répartie de type réel.

Le terme force surfacique s'écrit de la même façon que le terme volumique à partir de :



TSUR = (F ) u + F u div - n



.
n

2.4
Champs de déplacements singuliers et leurs dérivées

Les champs singuliers uI
II
S et uS , associés respectivement aux modes I et II , sont connus
explicitement ainsi que leurs dérivées. Ils sont écrits en fonction des coordonnées polaires dans le
repère lié à la fissure. La connaissance des coordonnées du noeud de fond de fissure et de sa
normale permet de les calculer dans le repère global 0xy .

L'introduction successive de ces champs uI
II
S et uS permet, comme indiqué dans le [§1], le calcul
élémentaire des coefficients d'intensité de contraintes KI et KII .

2.5
Post-traitement des résultats de KI et KII

Connaissant les valeurs des coefficients d'intensité de contraintes KI et KII pour une fissure
donnée, les formules de AMESTOY - BUI et DANG-VAN, permettent le calcul de l'angle de
propagation de la fissure selon 3 critères ( KI maximal, KII et G maximal) [bib6].


Soit m un domaine identique à sauf que la fissure est prolongée dans la direction d'angle m
d'un segment de droite de longueur .
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u

m
f
F
F
m


o
m


Soient K (
)
m
I ,
, K (
)
m
II ,
, G(, )
m les facteurs d'intensité de contraintes et le taux de restitution

d'énergie de m soumis au même chargement que .

On pose :

K*( )
m
= lim K
I
I (,
)
m
0
K* ( )
m
= lim K
II
II (,
)
m
0
G*( )
m
= lim G(, )
m
0

Les critères cités par AMESTOY - BUI et DANG-VAN [bib6] sont :

·
choisir m
*
o tel que K (m
I
o ) soit maximum,
·
choisir m
*
o tel que K (m
II
o ) soit nul,
·
choisir m
*
o tel que G (mo ) soit maximum.

Ces critères donnent des résultats très voisins [bib8].

Les résultats sont donnés sous forme d'un tableau de 4 coefficients K11, K21 , K12 , K22 permettant
de calculer K*
*
I et KII dans tous les cas de chargement :

K*
K
K
11
12 K
I
I

=


K*
K
K
21
22 K
II
II
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Calcul des coefficients d'intensité de contraintes


Date :
02/05/05
Auteur(s) :
E. GALENNE Clé
:
R7.02.05-B Page
: 14/14


Angle m (°)
K11
K21
K12
K22
0
1
0
0
1
10
0,9886
0,0864
-- 0,2597
0,9764
20
0,9552
0,1680
-- 0,5068
0,9071
30
0,9018
0,2403
-- 0,7298
0,7972
40
0,8314
0,2995
-- 0,9189
0,6540
50
0,7479
0,3431
-- 1,0665
0,4872
60
0,6559
0,3696
-- 1,1681
0,3077
70
0,5598
0,3788
-- 1,2220
0,1266
80
0,4640
0,3718
-- 1,2293
-- 0,0453
90
0,3722
0,3507
-- 1,1936
-- 0,1988

K (- )
m = K ( )
m , K (- )
m = -K ( )
m , K (- )
m = -K ( )
m , K (- )
m = K ( )
m
11
11
21
21
12
12
22
22


La recherche de l'angle mo dans CALC_G_THETA est faite de 10 degrés en 10 degrés. L'angle de
propagation n'est calculé et imprimé (dans le fichier MESSAGE) que si INFO vaut 2.




3 Bibliographie

[1]
H.D. BUI, J.M. PROIX
: "Loi de conservation en thermo-élasticité linéaire"
- C.R.
Acad.Sc.Paris, t.298, Série II, n° 8, 1984.
[2]
H.D. BUI : "Associated path independent J-Integrals for separating mixed modes" - J. Mech.
Phys. Solids, Vol. 31, N° 6, pp. 439-448, 1983.
[3]
H.D. BUI : "Mécanique de la rupture fragile" - Masson, 1977.
[4]
P;. DESTUYNDER, M. DJAOUA : "Sur une interprétation de l'intégrale de Rice en théorie de
la rupture fragile, Mathematics Methods in the Applied Sciences" - Vol. 3, pp. 70-87, 1981.
[5]
P. MIALON : "Calcul de la dérivée d'une grandeur par rapport à un fond de fissure par la
méthode théta" - E.D.F. Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches, Série C, n° 3,
1988, pp. 1-28.
[6]
M. AMESTOY, H.D. BUI, Ky DANG-VAN : "Déviation infinistésimale d'une fissure dans une
direction arbitraire" - C.R. Acad. Sc. Paris, t.289 (24 septembre 1979), Série B-99.
[7]
E. VISSE : "Calcul des facteurs d'intensité de contraintes en élasticité linéaire plane" - Note
interne EDF-DER-MMN, HI-75505D du 05/07/94.
[8]
P.MIALON : "Etude du taux de restitution de l'énergie dans une direction marquant un angle
avec une fissure", note interne E.D.F. HI/4740-07 - 1984.
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HT-66/05/002/A

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