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Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.09




Loi de comportement ENDO_ORTH_BETON





Résumé :

Cette documentation présente l'écriture théorique et l'intégration numérique de la loi de comportement
ENDO_ORTH_BETON développée par [bib1], qui décrit l'anisotropie induite par l'endommagement dans le béton,
ainsi que les effets unilatéraux (comportement différent en traction et en compression). La validation du modèle
par rapport à des résultats expérimentaux est aussi proposée dans ce document.
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................4
1.1 Caractéristiques de l'endommagement du béton............................................................................4
1.2 Objectifs de la loi ENDO_ORTH_BETON............................................................................................4
2 Expression de l'énergie libre..................................................................................................................6
2.1 Prise en compte de la refermeture des fissures..............................................................................6
2.2 Introduction des variables d'endommagement................................................................................6
2.3 Bornes de l'endommagement..........................................................................................................7
2.4 Introduction d'une énergie bloquée .................................................................................................8
2.5 Expression finale de l'énergie libre, des contraintes et des forces thermodynamiques associées
aux variables d'endommagement....................................................................................................9
3 Loi d'évolution des variables d'endommagement................................................................................11
3.1 Loi d'évolution................................................................................................................................11
3.2 Fonction seuil dépendant de la déformation..................................................................................13
4 Etude des paramètres..........................................................................................................................15
4.1 Influence du paramètre ...............................................................................................................15
4.1.1 Essais uniaxiaux...................................................................................................................16
4.1.2 Mise en garde.......................................................................................................................17
4.1.3 Identification du paramètre ................................................................................................18
4.2 Influence des paramètres B et d ..................................................................................................19
4.2.1 Essai de traction simple........................................................................................................19
4.2.2 Essai de compression simple...............................................................................................20
4.2.2.1 Mise en garde...........................................................................................................20
4.2.2.2 Combinaison de l'énergie bloquée et du seuil dépendant des déformations ..........21
4.2.3 Identification des paramètres ...............................................................................................22
4.3 Influence des paramètres de la fonction seuil ...............................................................................23
4.3.1 Traction simple : influence du paramètre k0 .........................................................................23
4.3.2 Compression : influence des paramètres k1 et k2 ................................................................24
4.3.2.1 Rôle du paramètre k1 ...............................................................................................24
4.3.2.2 Rôle du paramètre k2 ...............................................................................................24
4.3.3 Identification des paramètres ...............................................................................................26
4.4 Bilan sur l'étude des paramètres ...................................................................................................27
5 Implantation numérique .......................................................................................................................27
5.1 Evaluation de l'endommagement ..................................................................................................27
5.2 Calcul de la matrice tangente ........................................................................................................28
5.2.1 Terme à endommagement constant ....................................................................................29
5.2.2 Terme lié à l'évolution de l'endommagement.......................................................................30
6 Validation .............................................................................................................................................32
6.1 Identification des paramètres.........................................................................................................32
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6.2 Traction simple ..............................................................................................................................32
6.3 Compression simple......................................................................................................................33
6.3.1 Hognestad et al. [1955] ........................................................................................................33
6.3.2 Ramtani [1990].....................................................................................................................34
6.4 Traction simple suivie d'une compression simple .........................................................................35
6.5 Essais biaxiaux..............................................................................................................................36
6.5.1 Réponse contrainte-déformation..........................................................................................36
6.5.2 Enveloppe du domaine de rupture.......................................................................................37
Annexe 1 .................................................................................................................................................39
Annexe 2 .................................................................................................................................................42
7 Bibliographie........................................................................................................................................45

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1 Introduction

1.1
Caractéristiques de l'endommagement du béton

Le béton est un matériau complexe, formé de granulats et d'une pâte assurant la cohésion entre ces
granulats, et au sein duquel préexistent des microfissures formées lors des différentes étapes de
fabrication. Le béton est généralement considéré comme un matériau initialement isotrope, les
microfissures n'ayant pas d'orientation privilégiée. Cette isotropie est conservée si le chargement
appliqué reste dans le domaine élastique. A partir d'un certain niveau de chargement, les microfissures
vont se développer dans des directions particulières, ce qui induit l'apparition de l'anisotropie dans la
phase non-linéaire. Les fissures se développent préférentiellement orthogonalement aux directions de
plus grande traction ou de plus petite compression. Le processus d'endommagement se traduit donc
par une perte de rigidité engendrée par la décohésion de la matière. La rigidité peut être retrouvée
lorsque les fissures sont fermées (effet unilatéral). Il s'ajoute à cela une autre forte dissymétrie du
comportement entre la traction et la compression : les contraintes supportées en compression sont
10 fois (voire plus) supérieures aux contraintes supportées en traction. Signalons enfin d'autres
phénomènes comme la formation de déformations irréversibles (causées par exemple par le blocage
des lèvres de fissures par frottement ou la présence de matière dégradée entre ces lèvres) ou des
phénomènes de dissipation d'énergie par frottement des lèvres de fissures.

1.2
Objectifs de la loi ENDO_ORTH_BETON

Malgré l'existence de différents modèles d'endommagement anisotrope pour le béton, les modèles
isotropes sont toujours exclusivement utilisés dans les bureaux d'étude pour rendre compte du
comportement des structures en béton. Ceci est dû, pour les modèles anisotropes, à la complexité de
leur mise en oeuvre numérique, à la difficulté d'identifier leurs paramètres parfois nombreux, à la non
concordance des objectifs du modèle et de l'étude industrielle, à la difficulté à coupler le modèle avec
d'autres phénomènes physiques (fluage, plasticité), et dans la plupart des cas aux temps de calculs
importants nécessités par les modèles anisotropes. L'utilisation des modèles anisotropes n'est
d'ailleurs pas nécessaire dans les cas où les modèles isotropes décrivent le même comportement de
la structure. Il existe cependant des cas où les modèles anisotropes peuvent s'avérer intéressants, dès
lors qu'ils prédisent un comportement différent des modèles isotropes.
L'objectif est de disposer d'un modèle anisotrope simple (faible nombre de paramètres),
numériquement robuste, et respectant les règles de la thermodynamique (dissipation positive). Il est
évident qu'un certain nombre de phénomènes observés expérimentalement ne pourront pas être pris
en compte. Un cahier des charges a donc été défini préalablement au développement du modèle afin
d'en définir le cadre.

Deux catégories d'exigences peuvent être distinguées, l'objectif étant d'obtenir un résultat raisonnable
quel que soit le chargement. L'une concerne la cohérence physique de la prédiction du modèle ( 1) à
4) ), et l'autre concerne la robustesse numérique ( 5) et 6) ). Le cadre de notre modèle est composé
des points suivants :

1) Prise en compte de l'anisotropie grâce l'introduction d'un tenseur symétrique d'ordre 2
représentant les effets de l'endommagement. Il est donc plus exact de parler de modèle
orthotrope dans la mesure où l'utilisation d'un tel tenseur ne permet de définir que trois
directions propres de l'endommagement. Un tenseur d'ordre supérieur (4 voire 8) est
nécessaire pour rendre compte de l'anisotropie complète.
2) Annulation de la contrainte à la ruine. Cela nous amène à définir une énergie libre, fonction
des déformations, plutôt qu'une enthalpie libre, fonction des contraintes, car il semble plus
facile d'obtenir une contrainte nulle à partir de déformations finies plutôt que l'inverse.
3) Valeurs propres de l'endommagement croissantes et bornées. Ce point rend compte du
caractère irréversible du processus d'endommagement (croissance des valeurs propres) dont
la ruine constitue la limite (valeurs propres bornées). Il permet de plus d'atteindre la ruine
dans plusieurs directions.
4) Prise en compte du comportement unilatéral du béton : refermeture des fissures en
compression, dissymétrie des seuils d'endommagement entre traction et compression.
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5) Continuité de la réponse contrainte/déformation, particulièrement au passage ouvert-fermé
des fissures. Outre qu'une discontinuité serait physiquement douteuse, elle entraînerait des
problèmes de convergence de l'algorithme numérique.
6) Respect du cadre des matériaux standards généralisés. Cela permet d'assurer la cohérence
thermodynamique du modèle (dissipation positive) et cela fournit des propriétés
mathématiques agréables pour la résolution numérique (existence et unicité de la solution du
problème du calcul des contraintes et de l'endommagement final à incrément de déformation
fixé, dit « problème local de projection » par analogie avec la plasticité).

Remarque :

Le cadre des matériaux standards généralisés (CSMG) tel qu'on l'entend ici n'est pas strictement
celui défini par Halphen et Nguyen [bib11]. En effet, le CSMG strict assure l'existence et l'unicité
de la solution du problème globale si l'énergie est convexe par rapport à toutes les variables
simultanément. Ceci ne peut pas être vérifié dans le cas des lois de comportement adoucissantes.
Le CSMG « dégradé » que nous définissons assure seulement l'existence et l'unicité de la
solution du problème local de projection (calcul de l'évolution de l'endommagement à déformation
fixée). Pour respecter le CSMG, on doit vérifier la convexité de l'énergie libre, d'une part par
rapport à la déformation, et d'autre part par rapport aux variables internes :

· La convexité par rapport à la déformation est nécessaire pour assurer la stabilité du
problème élastique.
· La convexité par rapport à toutes les variables internes simultanément est
nécessaire pour avoir les bonnes propriétés mathématiques pour le problème local de
projection. Dans le cas où l'on utilise plusieurs variables internes, les convexités séparées
par rapport à chacune de ces variables ne sont pas suffisantes.

· La convexité globale par rapport à la déformation et aux variables internes simultanément
n'est pas requise puisque l'incrément de déformation est fixé pour la projection locale
permettant de calculer l'évolution des variables internes. Il semble d'ailleurs impossible
d'obtenir cette convexité globale dans le cas de lois de comportement adoucissantes.


Le cadre que l'on a défini omet un certain nombre de phénomènes physiques associés à
l'endommagement du béton :

· apparition de déformations irréversibles
· dilatation volumique du matériau en compression
· comportement hystérétique pour des cycles charge-décharge, engendré par le frottement
entre les lèvres de fissures.

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2
Expression de l'énergie libre

2.1
Prise en compte de la refermeture des fissures

Si l'on cherche à tenir compte de l'effet de refermeture, il faut porter une grande attention à la
continuité des contraintes en fonction des déformations (ce qui est une condition indispensable pour
une loi de comportement dans un logiciel de calcul par éléments finis), Cf [bib2]. En effet, si l'on
modélise cet effet de façon trop simpliste, la loi de comportement a de grande chance de présenter
une réponse discontinue. Une solution est de décrire finement ce que l'on appelle traction et
compression, sachant qu'en traction (resp. compression) la fissure sera considérée « ouverte »
(resp. « fermée »). Une solution naturelle est de se placer dans un repère propre de déformation. Dans
un tel repère, l'énergie libre élastique s'écrit ( et µ désignant les coefficients de Lamé) :
()

= (tr)2 + µ 2
i éq
2.1-1
2
i
On peut alors définir :

· une traction ou compression volumique, suivant le signe de tr ,
· une traction ou compression dans chaque direction propre, suivant le signe de i .

L'énergie libre élastique peut alors s'écrire :

(

) = ([tr)2+ + (tr)2- ]+ µ[tr( 2
+ )+ tr( 2
)]
éq
2.1-2
2
-

avec les définitions suivantes pour les parties positive et négative :

(tr ) = H(tr )tr
2
2
2
2
+
; (tr ) = H (- tr )tr
-
; tr ( ) =
+
H(i )i ; tr( )=
-
H(-i )i
i
i
H est la fonction de Heaviside.

Remarque :

Une étude plus détaillée des propriétés des parties positive et négative d'un tenseur est faite en
annexe 1.



2.2
Introduction des variables d'endommagement

Compte tenu de la complexité des mécanismes d'endommagement, et après avoir constaté qu'il était
difficile de décrire le comportement du béton en n'utilisant qu'une seule variable d'endommagement,
nous avons choisi d'introduire deux variables d'endommagement :

· Un tenseur D d'ordre 2 relatif à l'endommagement créé en traction
· Un scalaire d relatif à l'endommagement créé en compression
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Remarque :

Le choix d'un tenseur d'ordre 2 pour modéliser l'endommagement de traction est relativement
classique et intuitif. Il permet de décrire l'orientation privilégiée des fissures orthogonalement à la
direction de plus grande traction. La question de l'endommagement créé en compression
(orthotrope ou isotrope ?) est beaucoup moins claire.
Supposons pour simplifier que les fissures ne peuvent être générées que dans les plans
orthogonaux à e
r , er ou er . Dans le cas d'une traction simple dans la direction er , les fissures
1
2
3
1
sont créées dans le plan orthogonal à er , ce qui entraîne une perte de rigidité dans la direction
1
er . Si l'on exerce ensuite une traction simple dans la direction er , on ne « voit » pas la fissure car
1
2
le chargement est parallèle au plan de la fissure et la rigidité n'est pas affectée.
L'endommagement est donc clairement anisotrope en traction. Dans le cas d'une compression
simple dans la direction e
r , on crée des fissures dans les plans orthogonaux à er et er . Si l'on
1
2
3
charge ensuite en compression dans la direction er , on « voit » les fissures orthogonales à er . La
2
3
rigidité dans la direction er est donc plus faible que la rigidité normale non dégradée, mais elle est
2
plus forte que la rigidité dans la direction er car la compression dans la direction er est sensible à
1
1
toutes les fissures, c'est-à-dire orthogonales à er et à er . Par conséquent, l'endommagement en
2
3
compression semble moins anisotrope qu'en traction, sans être toutefois complètement isotrope.
En l'absence d'argument physique clair sur le caractère isotrope ou anisotrope de
l'endommagement en compression, nous avons choisi de le prendre isotrope pour des raisons de

simplicité.


On pose B = I - D représentant l'intégrité du matériau en traction. On introduit l'endommagement de
traction dans les termes « positifs » de l'énergie libre [éq 2.1-2] et l'endommagement de compression
dans les termes négatifs. L'énergie libre est à présent définie comme suit :

(

,,d ) = ([trB)2 +
2
2
1
2
2
2
+
(1- d) (tr)-]
+ µ
tr (( + B)+ )+ (1- d ) tr(- )

éq 2.2-1
2
4


Remarque :

La convexité de l'énergie libre vis-à-vis, de la déformation d'une part, et des variables
d'endommagement simultanément d'autre part, est bien respectée. On se référera à [bib2] et
[bib1] pour une démonstration.


2.3
Bornes de l'endommagement

La ruine, ou création d'une fissure traversant complètement l'élément de matière considéré, impose
une borne supérieure à l'endommagement. Cette borne est imposée sur chaque valeur propre de
l'endommagement de traction ( D
où les D désignent les valeurs propres de D ), ce qui
i
[ ]1
,
0
i
permet d'atteindre la ruine dans 3 directions orthogonales. Une fonction indicatrice convexe par rapport
à l'endommagement, I]
I
- ] pour D ou
pour B , est donc utilisée pour contrôler chacune des
1
,
[0,[
valeurs propres de l'endommagement (cf. [bib2]). De même, on utilise une indicatrice sur la valeur de
l'endommagement scalaire de compression. On obtient l'expression de l'énergie libre suivante :

(

1

,B, d ) =
([trB)2+ + (1- d)2(tr)2-]+ µ tr (

(B+B)2+)+(1-d)2tr( 2-)
2
4


éq 2.3-1
+ I[0,[[min(Bi )]+ I]- ]1,[d]
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Remarque :

Il résulte de cette expression qu'une fois que l'endommagement vaut 1 dans une direction propre,
cette direction propre est désormais bloquée et l'endommagement ne peut plus évoluer que dans
le plan perpendiculaire à cette direction. La démonstration de ce point se trouve en annexe 2.


2.4
Introduction d'une énergie bloquée

Nous proposons d'introduire une énergie bloquée afin de mieux contrôler l'évolution de
l'endommagement en fonction du chargement, sous la forme utilisée par [bib4]. L'idée consiste à
introduire un terme supplémentaire dans l'énergie ne dépendant que de l'endommagement, et pas de
l'état de déformation. Il en résulte alors un terme supplémentaire dans la dérivation des forces
thermodynamiques qui contrôlent l'évolution de l'endommagement (cf. section [§3]). Ce terme
supplémentaire n'implique en revanche aucune modification de l'expression de la contrainte.

L'énergie s'écrit de la manière suivante :

(

2
2
2
1

,B, d ) =
([trB) +
+
(1- d) (tr)-]+ µ tr (

(B+B)2+)+(1-d)2tr( 2-)
2
4


éq 2.4-1
+ I[0,[[min(B )]+ I]- ]1,[d]
bloquée
i
+
(B,d)


bloquée

(B,d) est une fonction convexe de l'endommagement. On choisit de prendre cette
énergie supplémentaire nulle lorsque le matériau est sain. Elle doit de plus être exprimée au moyen
d'invariants du tenseur d'endommagement. On désire enfin que le terme supplémentaire dans
l'expression des forces thermodynamiques dépende de l'endommagement, ce qui permet d'éliminer le
choix d'un terme linéaire en endommagement pour l'énergie bloquée

(B,d).

Nous avons opté pour l'expression suivante :

bloquée

(


B, d )
B
=
tr ((I - B)2 )
d
2
+
d
2
2


éq
2.4-2
B
=
tr( 2
D )
d
2
+
d
2
2

B et d sont des paramètres du modèle.
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Remarque :

On peut se poser la question de la signification physique de cette énergie supplémentaire.
L'évolution de l'endommagement donne en effet lieu dans l'énergie à l'apparition d'une énergie
« bloquée » par le système, et cette énergie n'est pas nulle lorsque le matériau est ruiné. Par
conséquent, si l'on fait le bilan énergétique de la création d'une fissure, une partie seulement de
l'énergie consommée correspond à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur, alors qu'une
autre partie reste bloquée.
On peut trouver une origine physique de cette énergie bloquée dans le cas de la compression.
En effet, si on relâche la contrainte macroscopique, les fissures ouvertes par la compression ne
se referment pas complètement, comme le prouve l'existence d'une déformation résiduelle
macroscopique. Il y a donc vraisemblablement des déformations et des contraintes résiduelles
locales qui stockent de l'énergie (cf. [Figure 2.4-a]), par analogie avec la plasticité. (On rappelle
que la loi
ENDO_ORTH_BETON ne décrit pas les déformations irréversibles.).


Figure 2.4-a
En dehors des considérations physiques, l'intérêt de cette énergie bloquée, équivalente à une
énergie d'écrouissage, est que le modèle reste bien dans le cadre des matériaux standards
généralisés. L'avantage, par rapport à une énergie d'écrouissage, est que cette énergie va avoir
un effet différent sur les deux variables d'endommagement (nous expliquerons ce point dans la
section suivante).



2.5 Expression finale de l'énergie libre, des contraintes et des forces
thermodynamiques associées aux variables d'endommagement

L'expression finale de l'énergie libre s'écrit :

(

2
2
2
1

,B, d ) =
([trB) +
+
(1- d) (tr)-]+ µ tr (

(B+B)2+)+(1-d)2tr( 2-)
2
4


éq 2.5-1
+ I[0,[[min(B )]+ I]- ]1,[d]
bloquée
i
+
(B,d)

L'expression des contraintes se déduit de l'énergie par dérivation par rapport aux déformations:


(,B,d )
=
= ([trB) B +
2
+
(1- d) (tr)-I]


éq 2.5-2

+
1
µ
(B + B) B +
2
+
B (B + B)+ )+ 2 (1- d )


-
2

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La continuité de la contrainte résulte de la continuité des valeurs propres d'une matrice vis-à-vis de
cette matrice (cf. théorème d'Ostrowski dans [bib4]).

Remarque :

Un défaut apparaît cependant au passage « ouvert-fermé ». Les domaines d'activation et de
désactivation des termes d'ouverture et de fermeture des fissures ne coïncident pas. Ceci est dû
au fait que l'ouverture et la fermeture ne sont pas associées à la séparation en parties positive et
négative des mêmes grandeurs (ouverture : endommagement combiné à la déformation,
fermeture : déformation seule). Ceci n'affecte cependant pas la propriété de continuité. Il apparaît
de plus que ce défaut est limité à une zone proche de l'origine des déformations, où il n'engendre
pas d'aberration physique, et qu'il n'a aucune incidence en dehors de cet intervalle (cf. [bib2]). Le
formalisme proposé dans [bib3], permettant d'assurer la continuité de la contrainte tout en prenant
en compte l'effet de refermeture des fissures, présente le même défaut.


On déduit par ailleurs de l'énergie libre l'expression des forces thermodynamiques associées aux
endommagements :

B

µ
F (,B) = -
= - (trB) -
+
([B + B) +
+
(B + B)+ ]+ B (I - B) éq 2.5-3
B

2



F d (, d ) = -
= (1- d ) (tr)2 + 2µ
2
-
(1- d)tr(-)- d éq
2.5-4
d
d


Chaque force thermodynamique est constituée des deux parties :

· Une partie dépendant de la déformation et de l'endommagement, qui est dérivée de la partie
élastique de l'énergie.
· Une partie ne dépendant que de l'endommagement, qui est dérivée de l'énergie bloquée. Ce
terme va jouer le rôle d'un écrouissage, et permet de contrôler la réponse
contrainte-déformation. On voit que les termes dérivant de l'énergie bloquée dans chacune
des forces thermodynamiques sont indépendants l'un de l'autre, ce qui permet de contrôler
plus facilement l'évolution de chacune des variables d'endommagement.


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3
Loi d'évolution des variables d'endommagement

3.1 Loi
d'évolution

Pour que le modèle ENDO_ORTH_BETON entre dans le cadre des matériaux standards généralisés, on
doit se doter d'un potentiel de dissipation. Pour des raisons de simplicité, on définit plutôt le domaine
de réversibilité, comme pour la loi ENDO_ISOT_BETON (cf. doc. [R7.01.04]).

Remarque :

D'un point de vue formel, les matériaux standards généralisés sont caractérisés par un potentiel
de dissipation fonction positivement homogène de degré 1, transformée de Legendre-Fenchel de
la fonction indicatrice du domaine de réversibilité. On peut donc choisir de définir, soit un potentiel
de dissipation, soit un domaine de réversibilité.


La première idée est de définir deux critères d'évolution correspondant à chacune des variables
internes. Cette solution est tout à fait envisageable dans la mesure où les forces thermodynamiques
sont dissociées l'une de l'autre. Il s'avère cependant que cette solution possède deux inconvénients :

· Le premier est d'ordre « physique ». Considérons un échantillon soumis à une compression
uniaxiale. On peut imaginer que le critère de compression seul est atteint et que le critère de
traction n'est pas activé. Seul l'endommagement de compression évolue alors. Si l'on soumet
cet échantillon, après décharge, à une traction dans une direction orthogonale à l'axe de
compression précédent, le matériau se comporte d'après le modèle comme un matériau sain,
malgré la création, en réalité, de microfissures parallèlement à l'axe de compression, donc
perpendiculairement à l'axe de traction.
· Le second inconvénient est d'ordre pratique. Il est en effet plus facile de traiter numériquement
un seul critère, faisant intervenir un seul multiplicateur de Lagrange (cf. [Figure 3.1-a]), plutôt
que deux critères séparés, faisant intervenir deux multiplicateurs de Lagrange et pouvant créer
des zones où la direction d'écoulement n'est pas définie a priori (cf. [Figure 3.1-b]).


Figure 3.1-a
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Figure 3.1-b

On décide donc d'introduire un unique critère couplant l'évolution des deux variables
d'endommagement :

g(
2
2
B
F , F d )=
B
F
+
d
-
(1-)( +
F ) - K() 0 éq
3.1-1

K () est un seuil dépendant de l'état de déformation (ce point sera commenté dans la section
[§3.2]).

L'évolution des variables d'endommagement est alors déterminée par les conditions de Kuhn-Tucker :

d& = 0

pour g < 0

&B = 0 &D = 0


éq
3.1-2
d& 0

pour g = 0

B& 0 D& 0
i
i

Remarque :

Le critère fait intervenir seulement la partie positive
d
F+ de d
F et négative B
-
F de B
F afin
d'imposer la croissance de l'endommagement. Cette condition est assurée dans le potentiel de
dissipation par l'introduction des fonctions indicatrices I

I - B&
+ (d& ) et
( (équivalente à
i )
IR
IR
I + (D& ).
i )
IR

Remarque :

Le critère elliptique est convexe dans l'espace des forces thermodynamiques, ce qui assure la
convexité du potentiel de dissipation.

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Dans le cadre des matériaux standards généralisés, l'évolution des variables internes suit la loi
d'écoulement associée au critère via le principe de normalité :

B
g

-
B& = &
=
F
&

éq
3.1-3
B
2
F
B
-
F
+ (1- )( d
F+ )2

g

(1-) d
F
d
+
& = &
= &

éq
3.1-4
d
2
F

B
-
F
+ (1- )( d
F+ )2

On peut intégrer le dénominateur commun dans le multiplicateur de Lagrange pour avoir une relation
plus simple :

g

B
B& = &
= & F éq
3.1-5
B
-
F

g

d& = &
= & (1- ) d
F éq
3.1-6
d
+
F


Ce système fait intervenir un unique multiplicateur plastique & .

Les équations d'évolution assurent la positivité du potentiel de dissipation :

2
B
d

2
B
d

F : B& + F d& = & F
+
-
(1-)

( +F ) 0


éq
3.1-7




3.2
Fonction seuil dépendant de la déformation

Afin de mieux contrôler la dissymétrie du comportement entre la traction et la compression (rapport 10
des limites de rupture), nous avons introduit une fonction seuil dépendant de l'état de déformation
dans le critère [éq 3.1-1]. Le rôle de cette fonction seuil est de repousser la limite d'élasticité en
compression. On souhaite de plus que la contrainte de rupture en traction simple ne puisse être
dépassée lors d'un essai biaxial (cf. [bib1] pour une étude détaillée de la fonction seuil).
La fonction que nous proposons est la suivante :


K ()
tr
= k -
0
1
k (tr)
( )
-
- arctan -

éq
3.2-1

k2

Cette fonction seuil introduit 3 paramètres pour le modèle.
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Remarque :

Cette fonction n'a pas été optimisée pour le cas des chargements de compression triaxiale. On
rappelle à ce titre que la loi
ENDO_ORTH_BETON a été conçue pour décrire de manière plus fine
l'endommagement de traction, la description de l'endommagement de compression restant
isotrope. Une autre loi de comportement doit donc être utilisée pour des applications faisant
intervenir des chargements de forte compression triaxiale.


Lorsque la trace des déformations est positive, le seuil reste constant : K () = k . Le seuil augmente
0
lorsqu'on passe en compression, ce qui permet de repousser la limite d'élasticité, et par conséquent la
limite de rupture. On note que la fonction « arctan » a été introduite pour mieux représenté l'enveloppe
de rupture dans le cas des essais biaxiaux (une étude détaillée se trouve dans [bib1]).
La [Figure 3.2-a] nous montre la comparaison entre la limite d'élasticité fournit par un seuil constant et
celle obtenue avec un seuil dépendant de la trace des déformations dans le cas d'essais biaxiaux en
contrainte plane.


Figure 3.2-a : Enveloppe du domaine d'élasticité pour des chargements biaxiaux
en contrainte plane.


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4
Etude des paramètres

En plus de paramètres élastiques classiques E (module d'Young) et (coefficient de Poisson), le
modèle fait intervenir 6 paramètres supplémentaires :


Code_Aster
Fonction Dimension*
Identification**

ALPHA
Paramètre de couplage
Sans
1
k0
K0
Partie constante du seuil
MPa
2
k1
K1
Paramètre du seuil
MPa
3
k2
K2
Paramètre du seuil
Sans
3
B
ECROB
Energie bloquée relative à la traction
MJ/m3=MPa 2
d
ECROD
Energie bloquée relative à la
MJ/m3=MPa 3
compression

* On multiplie les paramètres en MégaPascals (MPa) par 106 si on travaille en Pascals (Pa).
** Les paramètres doivent être calibrés dans l'ordre suivant :

· 1 on fixe le paramètre
· 2 identification de k0 et B sur un essai de traction simple
· 3 identification de k1, k2 et d sur un essai de compression simple et un essai biaxial
( = avec =-0,2 pour vérifier que la contrainte de rupture en traction n'est pas
1
2
dépassée)

Etudions à présent un peu plus en détail l'influence des différents paramètres sur la réponse du
modèle.


4.1
Influence du paramètre

Le rôle du paramètre est de contrôler le rapport d'influence des deux forces thermodynamiques
associées dans le critère d'évolution. Un paramètre proche de 1 privilégie l'évolution de
l'endommagement de traction et un paramètre proche de 0 privilégie l'évolution de
l'endommagement de compression. Nous avons décidé de prendre un paramètre constant pour des
raisons de simplicité.

Si on endommage en compression simple dans la direction 1, on crée des fissures dans les plans
orthogonaux à er et er . Si l'on fait ensuite une traction dans la direction 2 ou 3, on « voit » ces
2
3
fissures. Pour obtenir cet effet dans le modèle, il faut qu'une compression génère non seulement un
endommagement de compression, mais aussi de traction. Si on commence en revanche par une
traction dans la direction 1, les fissures dans le plan perpendiculaire à er seront peu ouvertes
1
(déformation faible à la rupture), donc on peut penser qu'on ne les « verra » pas si l'on fait ensuite une
compression dans la direction 2 ou 3. On en conclut qu'il faut prendre 0 et 1 pour avoir un
couplage, et proche de 1 pour favoriser l'évolution de l'endommagement de traction lors des
compressions. Il y aura aussi une petite évolution de l'endommagement de compression lors des
tractions, dépourvue de sens physique, mais cela ne sera pas gênant si cet endommagement reste
faible.
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4.1.1 Essais
uniaxiaux

On se propose ici d'observer l'influence du paramètre dans le cas de la traction simple et de la
compression simple. Les autres paramètres du modèle sont pris constants pour notre série de tests :
E = 28800 MPa, = 0.2, k0 = 3.10-4 MPa, k1 = 10 MPa, k2 = 2.10-4, B = 0 MJ/m3, d = 0 .06 MJ/m3.




Le paramètre a une influence
relativement faible sur le pic de contrainte
en traction pour la gamme de valeurs
considérées comme on peut l'observer sur
la [Figure 4.1.1-a]. On reste en effet dans
le cas où la force thermodynamique
associée à l'endommagement de traction
est prépondérante dans le critère (ce ne
serait pas le cas si l'on prenait proche
de 0)

Figure 4.1.1-a : Influence du paramètre a
en traction simple


Pour la compression, on observe une différence importante de pic de contrainte (cf. [Figure 4.1.1-b]).
Plus est proche de 1, plus la contrainte seuil est élevée. Ce phénomène est accentué quand on
prend un seuil dépendant des déformations comme c'est le cas sur la [Figure 4.1.1-b].

Remarque :

Le fait que la contrainte seuil soit plus sensible en compression qu'en traction provient du fait que
l'on prend une valeur de
proche de 1, privilégiant l'endommagement de traction. L'effet serait
inversé si l'on prenait
proche de 0.

Le paramètre influe aussi sur la vitesse relative d'évolution de endommagements via la loi de
normalité de l'écoulement. Plus est proche de 1, plus l'endommagement latéral de traction Dyy
augmente rapidement par rapport à l'endommagement de compression d comme on le voit sur la
[Figure 4.1.1-c].
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Figure 4.1.1-b : Influence du paramètre sur une compression simple


Figure 4.1.1-c : Evolution de l'endommagement de traction par rapport
à l'endommagement de compression pour une compression simple


4.1.2 Mise en garde

Dans un essai de compression simple, des fissures se créent orthogonalement aux directions de
déformation positive, et influence le comportement ultérieur en traction. Nous avons introduit le
couplage afin de représenter ce phénomène. On voit cependant sur l'essai de compression simple que
l'endommagement latéral de traction n'atteint pas la ruine (
lim
D
< 1 ) lorsque l'endommagement de
yy
compression d tend vers 1. Ceci représente une limitation du modèle.

Il est cependant possible d'atteindre la ruine pour une valeur de plus proche de 1.
L'endommagement de traction va alors évoluer plus vite que l'endommagement de compression
(cf. [Figure 4.1.2-a]). Malheureusement la réponse contrainte-déformation fait alors apparaître un
snap-back (cf.[Figure 4.1.2-b]), dépourvu de sens physique, si bien qu'il faut exclure ces valeurs de .
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Figure 4.1.2-a : Effet d'un paramètre très proche de 1 sur la réponse
contrainte-déformation en compression simple


Figure 4.1.2-b : Effet d'un paramètre très proche de 1 sur l'évolution relative
des endommagements de traction et de compression en compression simple


4.1.3 Identification du paramètre

Il existe une valeur critique de paramètre au delà de laquelle on tombe sur les inconvénients
énoncés dans la section [§4.1.2]. Cette valeur critique dépend des autres paramètres mais nous
n'avons pas de formule empirique permettant de la trouver. On préférera donc utiliser une valeur de
autour de 0.9 qui fait évoluer l'endommagement de compression plus rapidement que
l'endommagement de traction dans l'essai de compression simple, si bien qu'on ne peut alors pas
observer la ruine en traction dans les directions perpendiculaires à celle de la compression.
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4.2
Influence des paramètres B et d

L'introduction d'une énergie bloquée dépendant des variables d'endommagement permet de contrôler
la vitesse d'évolution de l'endommagement, et de ce fait permet de contrôler la forme de la courbe
contrainte-déformation.

4.2.1 Essai de traction simple

Dans l'essai de traction simple, seule la partie de l'énergie bloquée relative à l'endommagement de
traction a une véritable influence. La courbe contrainte-déformation est représentée sur la
[Figure 4.2.1-a] pour différentes valeurs de B. On voit que plus B est grand, plus la contrainte de
rupture est grande, et plus le pic est large. Ceci est dû au fait que l'énergie bloquée ralentit l'évolution
de l'endommagement, comme le montre la [Figure 4.2.1-b].

Figure 4.2.1-a : Influence de l'énergie bloquée sur un essai de traction simple

Figure 4.2.1-b : Influence de l'énergie bloquée sur la vitesse d'évolution de l'endommagement
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4.2.2 Essai de compression simple

Dans l'essai de compression simple, seule la partie de l'énergie bloquée relative à l'endommagement
de compression a une véritable influence. Le paramètre d est cependant moins facile à calibrer du fait
que le seuil du critère dépend de l'état de déformation. Nous allons immédiatement expliquer ce point
dans la mise en garde suivante.

Remarque :

Théoriquement, la mise en garde que nous allons exposer est aussi valable en traction. Dans la
pratique, nous n'y sommes pas confrontés car on privilégie toujours l'endommagement de traction
en prenant un paramètre de couplage
proche de 1, et on ne prend pas une valeur de d trop
grande (le comportement du béton en traction est quasi-fragile).


4.2.2.1 Mise en garde

L'introduction de l'énergie bloquée doit permettre de ralentir l'évolution de l'endommagement de
compression, et de ce fait doit permettre d'arrondir la forme du pic dans un essai de compression
simple. Une mise en garde doit cependant être formulée concernant l'utilisation de cette énergie
bloquée. La force thermodynamique qui pilote l'évolution de l'endommagement de compression est la
somme de deux termes : l'un correspondant à la dérivation de l'énergie élastique, dépendant de la
déformation et de l'endommagement, positif, et l'autre correspondant à la dérivation de l'énergie
bloquée, ne dépendant que de l'endommagement, négatif. Or, lorsque l'endommagement augmente, il
se peut que le terme correspondant à l'énergie bloquée soit trop grand en valeur absolue par rapport à
celui correspondant à l'énergie élastique, ce qui peut empêcher l'évolution de l'endommagement.



Ce problème apparaît lorsqu'on considère un seuil constant dans le critère. La [Figure 4.2.2.1-a] nous
montre dans ce cas l'influence de l'introduction de l'énergie bloquée sur la courbe contrainte-
déformation dans un essai de compression simple. On observe que l'introduction de cette énergie, en
ralentissant l'évolution de l'endommagement de compression, permet bien dans un premier temps
d'augmenter la hauteur du pic de contrainte ainsi que la largeur du pic. On remarque cependant
qu'apparaît un snap-back sur les deux courbes où l'on a ajouté une énergie bloquée. Ceci est dû au
fait que l'on ralentit l'évolution de l'endommagement de compression mais qu'on n'agit pas sur
l'endommagement de traction. Ceci est illustré sur la [Figure 4.2.2.1-b], qui montre un stabilisation de
l'endommagement de compression conjugué à une augmentation rapide de l'endommagement de
traction.
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Figure 4.2.2.1-a : Influence de l'énergie bloquée dans un essai de compression simple


Figure 4.2.2.1-b : Evolution de l'endommagement latéral de traction
en fonction de l'endommagement de compression


4.2.2.2 Combinaison de l'énergie bloquée et du seuil dépendant des déformations

Lorsqu'on utilise un seuil dépendant de l'état de déformation, la force associée à l'énergie élastique
reste plus importante que celle associée à l'énergie bloquée car, pour un même état
d'endommagement, le critère est atteint pour des niveaux de déformation plus importants. On voit dans
ce cas l'influence de l'introduction d'une énergie bloquée sur la réponse du modèle en compression.
Cela permet bien de contrôler la forme du pic (cf. [Figure 4.2.2.2-a]), c'est-à-dire la contrainte de
rupture ainsi que la déformation à la rupture. On voit par ailleurs sur la [Figure 4.2.2.2-b] que plus le
paramètre associé à l'énergie bloquée est grand, plus l'endommagement latéral de traction évolue par
rapport à l'endommagement de compression. Il est cependant évident que si l'on prend un paramètre
d trop grand, on retrouve les problèmes énoncés auparavant.
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Figure 4.2.2.2-a : Influence de l'énergie bloquée dans un essai de compression simple


Figure 4.2.2.2-b : Evolution de l'endommagement latéral de traction
en fonction de l'endommagement de compression


4.2.3 Identification des paramètres

Le paramètre B est identifié sur l'essai de traction simple. Il permet de régler la hauteur et la largeur du
pic pour cet essai. Il doit être réglé en même temps que le paramètre k0 du seuil.
Le paramètre d est identifié sur l'essai de compression simple. Il permet de régler la hauteur et la
largeur du pic pour cet essai. Il doit être réglé en même temps que les paramètres k1 et k2 du seuil.

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4.3
Influence des paramètres de la fonction seuil

La fonction seuil que l'on utilise fait intervenir trois paramètres :


K ()
tr
= k -
0
1
k (tr)
( )
-
- arctan -

éq
4.3-1

k2

Dans le cas d'une traction simple, seul le paramètre k0 intervient. Dès lors que la trace des
déformations devient négative, comme c'est le cas en compression simple, les trois paramètres
interviennent. Le paramètre k0 doit donc être calibré préalablement sur un essai de traction simple. Les
paramètres k1 et k2 seront ensuite calibrés sur un essai de compression simple et un essai biaxial,
avec k0 fixé.


4.3.1 Traction simple : influence du paramètre k0

Si l'on prend une énergie bloquée ne dépendant pas de l'endommagement de traction (B=0), la valeur
de la contrainte de rupture est totalement déterminée par la valeur de k0 , , et les paramètres
élastiques :

k E
2
0

=

éq
4.3.1-1
rupture
4

+ 2(1- ) (1+)2

Figure 4.3.1-a : Dépendance de la contrainte de rupture en traction
vis-à-vis du paramètre k0 (E=32000 MPa, =0.2, =0.87)

De manière évidente, plus k0 est grand, plus la contrainte de rupture en traction est grande comme le
montre la [Figure 4.3.1-a].

Il n'existe pas malheureusement d'expression analytique de la contrainte de rupture lorsqu'on B0. La
dépendance de la réponse vis-à-vis du paramètre B est étudiée au paragraphe [§4.2.1]. Les
paramètres k0 et B doivent être calibrés simultanément.

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4.3.2 Compression : influence des paramètres k1 et k2

Le rôle de la fonction seuil, qui dépendant de la trace négative de la déformation, est d'augmenter la
limite de rupture en compression, afin de mieux contrôler la dissymétrie du comportement du béton
entre la traction et la compression.

De plus, nous avons fait le choix de prendre une fonction seuil permettant de décrire l'enveloppe de
rupture du béton dans le cas de chargements biaxiaux. Ce choix a été fait pour deux raisons :
Nous disposons pour ces essais de résultats expérimentaux (cf. [bib5]). Ces essais concernent certes
bien sûr seulement les bétons utilisés par [bib5], mais présentent des particularités communes qu'on
peut semble-t-il généraliser.
Cela permet d'élargir la gamme d'utilisation du modèle. Les tests uniaxiaux sont en effet insuffisants
pour assurer la pertinence du modèle dans le cas de calculs en 3D.

Remarque :

Le modèle ne doit pas être utilisé dans le cas des fortes compressions triaxiales, l'énergie libre et
la fonction seuil n'ayant pas été établies pour traiter ce cas. On rappelle que l'objectif principal du
modèle est de décrire l'endommagement de traction dans le béton.


4.3.2.1 Rôle du paramètre k1

Le paramètre k1 est le paramètre qui permet d'augmenter la limite de rupture en compression. La
[Figure 4.3.2.1-a].

Figure 4.3.2.1-a : Dépendance de la réponse en compression simple vis-à-vis de k1
(E=32000MPa, =0.2, k0=3.10-4MPa, k2= 6.10-4, d=6.10-2MJ/m3)

4.3.2.2 Rôle du paramètre k2

Pour comprendre le rôle du paramètre k2 , revenons sur le cheminement qui nous a amenés à choisir
la fonction seuil [éq 3.2-1].

La première fonction seuil ayant été testée est la fonction linéaire :

K () = k - k

éq
4.3.2.2-1
0
1(tr )-

Cette fonction permet bien d'augmenter la contrainte de rupture en compression simple, mais elle pose
problème lorsqu'on s'intéresse à des essais biaxiaux. La [Figure 4.3.2.2-a] nous montre l'enveloppe du
domaine élastique pour des essais biaxiaux.
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Remarque :

L'enveloppe du domaine d'élasticité est différente de l'enveloppe de rupture (pour la quelle nous
disposons de résultats expérimentaux). Nous étudions l'enveloppe du domaine d'élasticité car elle
peut être calculée analytiquement, au contraire de l'enveloppe de rupture, et car c'est à partir de
celle-ci que nous avons choisi notre fonction seuil. L'utilisateur devra cependant bien calibrer ses
paramètres sur l'enveloppe de rupture.


Figure 4.3.2.2-a : Enveloppe du domaine d'élasticité pour des essais biaxiaux
avec une fonction seuil linéaire

La variation linéaire du seuil avec la déformation ne semble pas adaptée puisqu'on voit apparaître un
gonflement dans la zone ( > ,
0 < 0 qui donne des contraintes limites en traction trop
1
2
)
importantes.

Nous avons donc modifié la fonction seuil :


K ()
tr
= k -
0
1
k (tr)
( )
-
- arctan -

éq
4.3.2.2-2

k2

Le fait que la fonction arctan présente un palier permet de retrouver un seuil linéaire lorsque la trace
des déformations augmente en valeur absolue. Le fait qu'elle soit nulle à l'origine permet de ralentir
l'augmentation du seuil près de cette origine.

On peut voir sur la [Figure 4.3.2.2-b] l'effet de l'introduction de la nouvelle fonction seuil par rapport à la
fonction linéaire sur le domaine d'élasticité pour une même valeur du paramètre k1. Cette nouvelle
fonction seuil permet d'éviter le phénomène de gonflement observé avec la fonction linéaire lorsqu'on
augmente la valeur du paramètre k2 (le cas k2=0 correspond à la fonction linéaire). L'autre effet du
paramètre k2 est de diminuer la contrainte d'initiation de l'endommagement, ce qui implique une
diminution de la contrainte de rupture (effet inverse de k1) comme le montre la [Figure 4.3.2.2-c].
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Auteur(s) :
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R7.01.09-A Page
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Figure 4.3.2.2-b : Domaine d'élasticité avec la fonction seuil à deux paramètres

Figure 4.3.2.2-c : Dépendance de la réponse en compression simple vis-à-vis de k2
(E=32000MPa, =0.2, k0=3.10-4MPa, k1= 10.5 MPa, d=6.10-2MJ/m3)


4.3.3 Identification des paramètres

Les paramètres d, k1 et k2 sont identifiés simultanément. Les paramètres k1 et d permettent de régler
la contrainte de rupture en compression simple et le paramètre k2 permet d'éviter le « gonflement » de
l'enveloppe du domaine élastique (et donc de l'enveloppe de rupture) pour les essais biaxiaux. Plus on
prend k1 grand, plus il faut prendre k2 grand.

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4.4
Bilan sur l'étude des paramètres

Malgré la relative simplicité du modèle, et le nombre faible de paramètres à identifier (6), le nombre de
données expérimentales dont dispose l'ingénieur est souvent, voire toujours, inférieur au nombre de
paramètres à identifier. Ceci implique que le caractère arbitraire du choix de certains paramètres.
Voici, en résumé l'ordre dans lequel les paramètres doivent être choisis :

· Pour le paramètre , une valeur entre 0,85 et 0,9 est préconisée.
· Les paramètres k0 et B doivent être identifiés simultanément sur un essai de traction simple
(pas de formule analytique dans le cas B0).
· Les paramètres d, k1 et k2 doivent être identifiés simultanément. Le plus simple est de fixer le
paramètre k2 à 6.10-4 (valeur pour laquelle il est probable qu'on n'observe pas de gonflement
de l'enveloppe de rupture (cf. [§4.3.2.2]) pour des essais biaxiaux), et de calibrer d et k1 sur un
essai de compression simple. On vérifie ensuite si l'enveloppe de rupture est correcte, on
modifie k2 si besoin et on recommence pour d et k1.

Des exemples de jeux de paramètres se trouvent dans la section 6 (validation sur des essais
expérimentaux). On trouvera de plus dans le document [V6.04.176], les cas-test permettant d'identifier
les paramètres.



5 Implantation
numérique

Pour l'intégration de la loi de comportement dans le Code_Aster, nous nous sommes placés dans le
cadre de l'intégration implicite des lois de comportement.


5.1
Evaluation de l'endommagement

On note -
la déformation et -
B et -
d les variables d'endommagement à la fin du pas de temps
précédent (après convergence). On souhaite déterminer l'évolution de l'endommagement lorsqu'on
applique un incrément de déformation
. La déformation finale = - +
est donc fixée.
On évalue le critère d'endommagement :

2
f (,B-
2
, d - )= FB +
-
(1-)(F d+ ) - K()
éq
5.1-1

Si f 0 , les variables d'endommagement n'évoluent pas et on peut passer à l'itération suivante pour
l'équilibre mécanique.

Si f > 0 , les variables d'endommagement évoluent, en respectant à la fois le critère et l'écoulement
normal. On cherche donc (B, d,
) solution du système :
- B +
B
-
F ( -
B + B) 0


R(B, d, ) = - d + (1- ) d+
F ( -
d + d )


0
éq
5.1-2


f (
-
,B +
-
B, d + d )
=


0


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Ce système est non linéaire et nécessite l'utilisation d'une méthode itérative. Nous avons choisi
d'utiliser une méthode de Newton-Raphson. L'indice n représente les itérations de Newton. Soit
n
R (
n
n
n
B , d
,
) le résidu du système à l'itération n, la linéarisation du système s'écrit :

n +1
n
B
- B
n+1
R (
n+1
n+1
n+1
n
n
n
n
n
n
n
n
B , d ,
)= R (B ,d , )+(R (B ,d , )

:
n +
d
1 - n
d

n +1
n

-


éq 5.1-3

- n
B + n
B n
F


-


n
R = - n
d + n
(1- ) d n
F

f ( -
,B + n
-
B , d + n
d )






B
B
n F
F
-
B


- I +
:
0
F
B
-


F
B

n

F d
n
F d
d
et R
=
0
-1+ (1- )
+

(1-)

F
.
d
+

F d


B
F
B
F
1 F d
F d
-
( - )



+
:
0


2
B
F
+
2
2
2
1 F d
B
B
F
1
d
d
F
-
( - )

+
+
-
( - )



+



On résout ensuite le système linéarisé Rn+1( B
n+1, n+1
d
, n+1
)= 0 . On obtient
( n 1+ n 1+ n 1
B , d ,
+

). Cette procédure est réitérée jusqu'à ce que le résidu soit inférieur à un
paramètre de convergence.


5.2
Calcul de la matrice tangente

La matrice tangente est le tenseur M d'ordre 4 défini par :


ij
= M
M =

éq
5.2-1
ij
ijkl
kl
ijkl


kl

Cette matrice n'est pas calculée sur le problème continu mais sur le problème incrémental. On cherche
donc les effets d'une variation de l'incrément de déformation entre deux pas de temps successifs sur la
variation de contrainte finale, compte tenu du fait que les variables internes peuvent aussi évoluer. On
a au premier ordre:




ij (,B,d)
ij
ij
=

+
B
ij

+
d
kl

éq
5.2-2


B
kl


d
kl
kl


B,d
,d
,B

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soit :




B




d
,B, =


+
+

ij (
d )
ij
ij
mn
ij

kl éq 5.2-3


kl
B

mn


kl
d




kl

B,d
,d
,B


A

La notation
employée ici signifie qu'on dérive A par rapport à B pour C et D constants.
B
C,D

On décompose ainsi la matrice tangente en deux parties, l'une à endommagement constant, et l'autre
traduisant l'évolution des variables internes :

cst
evol
M = M + M
éq
5.2-4






B




d


avec
cst
ij
M
=
et
evol
ij
mn
ij
M
=
+

ijkl



ijkl
B





d





kl B,d
mn
kl
,d
,B
kl


5.2.1 Terme à endommagement constant

La matrice
cst
M
est la dérivée de la contrainte par rapport à la déformation à endommagement
constant :

cst
M
= H trB B B + f (d)H - tr
ijkl
(
) ij kl
(
) ij kl
µ A
+ip
+
(B + B + B + B B
mk nl
mk
nl
ml nk
ml
nk ) pj
4 A
mn
µ
A

éq
5.2.1-1
+ pj
+ B
B + B + B + B
ip
( mk nl mk nl ml nk ml nk )
4
A
mn

-ij
+ 2µf (d) kl




A

A = B + B
, H est la fonction de Heaviside et les dérivées
- et
+ sont définies en


A

annexe 1.
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5.2.2 Terme lié à l'évolution de l'endommagement

La matrice
evol
M
se calcule en différentiant le critère et la loi de normalité. Cette dérivation se fait sur
le problème incrémental et non sur le problème continu.
On différentie tout d'abord le critère :

B
B
d
d
B
B
F F


f (
2
d
d
+ - F F
F , F )= F
+
F
K
K
-
(1- )( + )2 - ( )
:
-
(1 )
0
+
-
=
diff
2
B
F
+
F d
-
( - )( + )
0
1
2
éq 5.2.2-1

On différentie ensuite la loi d'écoulement du problème incrémental, discrétisée de manière implicite :

B = B
F-


(1- )F dB = B
F
d

+
-
d
= (1- )F d
+

éq 5.2.2-2
(1- )F dB + 1
B B
F
B
F
+
( - )Fd =
d
+
d

+
-
-
diff

On cherche la relation entre B, d et . On peut exprimer les variations des forces
thermodynamiques en fonction des variations des déformations et des variables d'endommagement :

B
FB FB
FB

F =
- :
:
: B
-
B

+

F



B
éq
5.2.2-3
d
F d F d
F d

F =
+
:

d
+
d
F


d


Le système d'équations défini par [éq 5.2.2-1], [éq 5.2.2-2] et [éq 5.2.2-3] aboutit aux expressions
suivantes :

B
= -1 : :


éq
5.2.2-4
-1

d = -
+ : : :





avec



d
B
B
B
B
B
F

B

F


F

F


F

F


1
+
-
B
=
-

F

-
:
:
+ d

- :
- 1- F +
ijkl
-



(
) d
d
d
d
+ (
B
B
ik
jl
il
jk )
F

F

2
+
(1-)




d
F
F
B
F
B

kl

ijkl
F


d
ij

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B
d
B
B

F

F

B




2
2

-
+
B
F
F
F
K
=
-

F
-

:
:
+ 1- F
- F
+ 1- F
ijkl
-
(
)
d
d
B
+
-
(
)
d
d
d
B
( d+ )
(



1- )






d
F
F F
F
+
kl
F


d




ij
+ (1- )
d
d
B
B
F

F

F

F


+
B

- d

- :
d
ij

B

F


F


kl

ijkl


B
B




2
2

B
F
F
F
K
= F
-

:
:
+ 1- F
- F
+ 1- F

ij
-
(
)
d
d
B
+
-
(
)
B
( d+ )
F




ij


B
B




B
F
F
= F
-
:
:

ij
-
B

F

B

ij


= (1- )

d
F d
F+

d



-1

1
1
tel que -
= +

ijkl
klmn
( im jn in jm)
2


B

d
On obtient donc les expressions de
et de
.







De plus, d'après la définition de la contrainte et des forces thermodynamiques, qui dérivent d'une
même énergie, on a :
B


F

d



=
F
et
=
éq
5.2.2-5
B








d

,d
B
,B
d

ce qui nous permet de calculer la partie de la matrice tangente relative à l'évolution de
l'endommagement :



B






evol
ij
d
mn
ij
M
=
+

éq
5.2.2-6
ijkl
B





d





mn
kl
,d
,B
kl

Remarque :

Il est à noter que la matrice tangente n'est pas symétrique. Ceci est dû au fait que le seuil
d'endommagement dépend de la déformation. Dans le cas d'un seuil constant, la matrice est bien
symétrique, puisque le modèle est alors bien standard généralisé et on utilise un schéma
d'intégration implicite.


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6 Validation

La première étape de la validation du modèle est la comparaison de la prédiction avec différents
résultats expérimentaux pour des tests simples. Compte tenu des hypothèses simplificatrices qui ont
été faites pour notre modélisation, nous ne pourrons bien entendu pas reproduire toutes les
expériences, notamment les expériences de compression triaxiale. On se concentre ici sur les essais
de traction simple, de compression simple, ainsi que sur des essais biaxiaux.

6.1
Identification des paramètres

L'identification des paramètres doit se faire en trois phases successives :

· On doit choisir une valeur pour la constante de couplage . Elle doit être prise de telle sorte
que l'endommagement scalaire de compression reste négligeable dans un essai de traction.
On décide de la prendre égale à 0,87 pour tous les tests de la présente section afin d'éviter le
phénomène de snap-back en compression (cf. [§4.1.2]).
· La seconde phase est l'identification des paramètres k0 et B. Ces paramètres peuvent être
identifiés directement sur l'essai de traction simple car les autres paramètres du modèle
n'interviennent pas dans cet essai.
· La troisième phase est l'identification des paramètres d , k1 et k2 sur les essais de
compression simple et les tests biaxiaux.

En toute rigueur, l'identification des paramètres de notre modèle pour un matériau nécessite de
disposer des courbes expérimentales en traction simple, en compression simple et sous chargement
biaxial. Malheureusement, tous ces résultats ne sont généralement pas disponibles simultanément
pour un matériau. Nous devrons donc faire un certain nombre d'hypothèses pour calibrer nos
paramètres. Par exemple, nous choisirons le paramètre k2 pour tous les essais de telle manière que
les contraintes de traction dans les essais biaxiaux ne dépassent pas la contrainte de rupture en
traction. De plus, nous ne disposons pas pour les essais de compression de la contrainte de rupture en
traction pour les matériaux étudiés. Nous prendrons donc de manière arbitraire des paramètres k0 et B
égaux à ceux que nous avons calculés pour l'essai de traction simple.

6.2 Traction
simple

Les expériences visant à observer le comportement du béton sous chargement de traction sont
extrêmement difficiles à réaliser, ce qui explique le relativement faible nombre de résultats de tests en
traction simple. La difficulté réside dans le fait que l'endommagement se concentre dans des bandes
de localisation correspondant à des fissures, ce qui a pour effet de rendre inhomogène le spécimen
étudié. Dès lors que de fortes hétérogénéités apparaissent, il devient impossible de déduire une
courbe contrainte-déformation à partir de la courbe force-déplacement, et donc d'établir une loi de
comportement pour le matériau. L'appareil de mesure PIED ([bib6], [bib7]) permet de mesurer un
champ de contrainte et de déformation relativement homogène en limitant la localisation. C'est
pourquoi nous utilisons les résultats obtenus par [bib6] pour tester notre modèle.
Dans le cas de la traction simple, seuls 3 des 6 paramètres du modèle vont jouer un rôle :

· Le paramètre de couplage .
· La constante de seuil k0.
· La constante d'énergie bloquée associée à l'endommagement de traction B.
· Les paramètres k1 et k2 n'ont aucune influence sur cet essai et l'influence du paramètre d est
négligeable.
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Le paramètre k0 régit la hauteur du pic de contrainte et le paramètre B contrôle sa largeur ainsi que la
pente post-pic. Plus B est grand, moins l'endommagement évolue rapidement, ce qui fait apparaître la
non-linéarité avant le pic et augmente la déformation au pic et sa largeur. La [Figure 6.2-a] montre la
réponse du modèle, comparées aux données expérimentales de [bib6]. Le calcul est effectué sur un
seul élément pour ne pas rencontrer de phénomène de localisation. Les paramètres sont les suivants :


k0 (Mpa)
B ( kJ/m3)
0.87 3.10-4 7


Figure 6.2-a : Essai de traction simple, comparaison avec les données expérimentales
de Bazant et Pijaudier-Cabot [1989]


6.3 Compression
simple

Le fait que les données expérimentales soient plus nombreuses que pour les essais de traction tient au
fait qu'elles sont plus faciles à réaliser. Le phénomène de localisation y est beaucoup moins important
que pour un chargement de traction, du moins lorsque l'endommagement reste relativement faible. On
utilise les résultats de Hognestad et al. [bib8] et l'essai de Ramtani [bib9] pour valider notre modèle sur
des essais de compression simple. Malgré le fait que les résultats de [bib8] sont relativement anciens,
nous les utilisons car l'expérience a été menée pour plusieurs bétons différents. Nous utilisons aussi
les résultats de [bib9] pour montrer que le modèle reste valable pour des expériences plus récentes.

Comme nous l'avons dit au paragraphe [§6.1], nous ne disposons pas de la contrainte de rupture en
traction pour ces différents essais, c'est pourquoi nous utilisons les mêmes paramètres que ceux
obtenus dans le paragraphe [§6.2] : = 0.87, k0 = 3.10-4 Mpa, B = 7 kJ/m3.


6.3.1 Hognestad et al. [1955]

La [Figure 6.3.1-a] nous montre la comparaison entre les résultats expérimentaux de [bib8] et la
prédiction de notre modèle dans le cas de trois matériaux dont la contrainte maximale en valeur
absolue est notée fc :
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Nous avons utilisé les paramètres suivants :

Contrainte ultime fc
20.7 Mpa
32.1 Mpa
42.8 Mpa
E
17000 27000 36000

0.2 0.2 0.2
d (kJ/m3)
60 60 60
k1 (Mpa)
4.8 10. 18
k2
7.10-4 7.10-4 7.10-4

Figure 6.3.1-a : Essais de compression simple de Hognestad et al. [1955]

6.3.2 Ramtani
[1990]

L'essai de [bib9] est un essai de compression cyclique. Il met en évidence la création de déformations
irréversibles et le phénomène d'hystérésis. Nous ne décrivons pas ces phénomènes. Nous nous
contentons donc pour notre part de calculer la réponse sous chargement monotone. Les paramètres
utilisés sont les suivants :

E

d (kJ/m3)
k1 (Mpa)
K2
33700 0.2
60
20.5 7.10-4

Figure 6.3.2-a : Essais de compression simple de Ramtani [1990]
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6.4
Traction simple suivie d'une compression simple

On propose ici de comparer notre modèle aux résultats expérimentaux de [bib9] sur un essai de
traction simple suivi d'une compression simple, afin de mettre en évidence la restauration de la rigidité
engendrée par la refermeture des fissures.

Les paramètres utilisés sont les suivants :

E


k0 (Mpa) B (kJ/m3) d (kJ/m3)
k1 (Mpa)
k2
16400 0.2 0.87
7.
10-5 0.3
40
5.5
6.10-4

Les résultats expérimentaux montrent l'apparition de déformations irréversibles dans la phase de
traction simple (cf. [Figure 6.4-a]). Ces déformations irréversibles ne sont pas décrites par notre
modèle, c'est pourquoi la perte de rigidité engendrée par l'endommagement semble surestimée. Ce
problème ne semble pas avoir d'incidence lorsque les fissures se ferment. On observe en effet sur la
[Figure 6.4-b] une bonne correspondance du modèle avec les résultats expérimentaux dans la phase
de compression. Il semble ainsi que la restauration de la rigidité obtenue grâce au modèle soit très
proche de celle obtenue expérimentalement.

Figure 6.4-a : Phase de traction simple dans l'essai de Ramtani [1990]

Figure 6.4-b : Essais de traction suivi d'une compression simple (Ramtani [1990])
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6.5 Essais
biaxiaux

Ce paragraphe est consacré à l'étude des essais biaxiaux de [bib5]. On cherche d'une part à observer
la réponse contrainte-déformation dans le cas d'un chargement uniaxial et de deux chargements
biaxiaux en contrainte plane, et d'autre part à décrire l'enveloppe du domaine de rupture dans l'espace
des contraintes dans le cas de chargements biaxiaux en contraintes planes.

Remarque :

Les expériences de [bib5] sont relativement anciennes. Ces essais biaxiaux nécessitent
d'effectuer un grand nombre d'essais, c'est pourquoi on trouve peu de résultats plus récents sur
ce genre d'essais. Nous les utilisons car ils représentent toujours une référence pour les
modélisateurs.


La contrainte maximale en valeur absolue de la compression uniaxiale, notée p dans [bib5] vaut 4650
psi (32.1 Mpa). Nous normalisons notre réponse par cette contrainte de rupture. Les paramètres que
nous utilisons sont les suivants :

E


k0 (Mpa)
B (kJ/m3)
d (kJ/m3)
K1 (Mpa)
K2
32000 0.2 0.87 3.10-4 1
60 10.5 6

6.5.1 Réponse
contrainte-déformation

On trace dans un premier temps la réponse contrainte-déformation dans le cas d'un chargement
uniaxial et de deux chargements biaxiaux en contrainte plane :

= avec = (0, 0.52, 1) et
2
1
= 0
3
.

Le modèle nous permet d'obtenir les réponses représentées [Figure 6.5.1-b] que l'on compare aux
résultats de [bib5] représentés [Figure 6.5.1-a]. Comme on l'a vu au paragraphe précédent, il est
possible de décrire correctement le comportement en compression uniaxial dans la direction de
compression. On voit cependant pour cet essai que la déformation latérale prédite par le modèle
diminue lorsque l'endommagement se produit alors qu'elle augmente en réalité. Ceci est dû au fait que
l'on n'a pas pris en compte l'existence de déformations irréversibles dépendantes de
l'endommagement, qui semblent être à l'origine de la dilatation volumique en compression. Ce
phénomène est encore plus important dans le cas des essais de bicompression. On observe en effet
avec le modèle que le seuil de rupture en bicompression est supérieur à celui en compression simple
(moins que les résultats expérimentaux), mais que les déformations à la rupture sont moins
importantes dans le cas de bicompression que pour la compression, ce qui ne correspond pas aux
résultats expérimentaux.

Figure 6.5.1-a : Essai biaxiaux de Kupfer et al. [1969]
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Figure 6.5.1-b : Réponse du modèle pour les essais biaxiaux


6.5.2 Enveloppe du domaine de rupture

On s'intéresse à présent à l'enveloppe du domaine de rupture pour des essais biaxiaux en contrainte
plane. Les résultats expérimentaux obtenus par [bib5] pour différents bétons sont représentés sur la
[Figure 6.5.2-a]. On observe une relative similitude de la forme de l'enveloppe de rupture normalisée
pour les différents matériaux.
Nous avons repris les paramètres utilisés au paragraphe [§6.5.1] et nous avons comparé la prédiction
de notre modèle pour l'enveloppe de rupture des essais biaxiaux avec les résultats expérimentaux
(cf. [Figure 6.5.2-b]).


Figure 6.5.2-a : Enveloppe de rupture pour des essais biaxiaux
en contraintes planes Kupfer et al. [1969]
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Figure 6.5.2-b : Prédiction du modèle pour l'enveloppe de rupture
d'essais biaxiaux en contraintes planes

On observe une correspondance relativement satisfaisante de la prédiction par rapport aux résultats
expérimentaux. L'écart le plus important se situe dans la zone de bicompression. Ce problème n'est
pas étonnant dans la mesure où nous avons pris le parti de n'utiliser que deux paramètres pour le
seuil, qui contrôlent l'allure de l'enveloppe de rupture ainsi que la réponse du modèle en compression.
Une étude plus approfondie de la fonction seuil permettrait probablement de mieux approcher les
résultats expérimentaux, au prix de l'introduction de nouveaux paramètres.

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Annexe 1

A1.1 Définition de la décomposition spectrale et des parties positives et
négatives d'un tenseur

Soit X un tenseur d'ordre 2 symétrique. Pour ne pas alourdir les notations, on notera également X ,
~
abusivement, la matrice de ce tenseur dans la base fixe de l'observateur. Soit de plus X la matrice (diagonale)
de ce tenseur dans sa base propre :

~
X
0
0
1

~
X =
~
0
X
0







éq A1.1-1
2


~
0
0
X

3

En notant U le vecteur propre associé à la ième valeur propre, et Q = (U ,U ,U la matrice de passage entre
1
2
3 )
i
la base fixe et la base propre de X , on a la relation :
~ T
X = Q X
. Q
.









éq A1.1-2

Les parties positive et négative du tenseur X sont définies par :
H ( ~ ~
X X
0
0
1 )

~

1

T
~
~ ~
X = P : X = Q X
.
Q
.
X =
0
H X X
0
+
(
éq
A1.1-3
2 )

+
+
+
avec
2


0
0
H ( ~ ~
X X
2 )



3

H (- ~ ~
X X
0
0
1 )

~

1

T
~
~ ~
X = P : X = Q X
.
Q
.
X =
0
H
X X
0
-
(-
éq A1.1-4
2 )

-
-
-
avec
2


0
0
H (- ~ ~
X X
2 )



3
H est la fonction de Heaviside.


A1.2 Calcul des dérivées

Pour le calcul de la matrice tangente, ainsi que pour le calcul de l'évolution de l'endommagement, nous avons
besoin d'évaluer la dérivée des parties positive et négative d'un tenseur par rapport à ce dernier. Il suffit pour
cela d'imaginer que le tenseur X dépend du temps et de calculer les tenseurs M
M
+ et
- définis par :
X& = M : X
X& = M :
-
-
&
+
+
& et
X






éq A1.2-1

La différentiation de l'équation [éq A1.1-2] nous donne :
~
T
~
T
~
T
X = Q X&
&
.
Q
.
+ Q& X
.
Q
.
+ Q X
.
Q
. &
+
+
+
+





éq A1.2-2
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Hypothèse :
Il faut établir l'expression de Q
& . La démonstration qui va suivre n'est valable que si les valeurs propres de X
sont distinctes. Dans la mesure où le calcul de M
M
+ et
- ne sera utilisé que dans des algorithmes de
résolution numérique, nous nous permettrons de perturber numériquement d'éventuelles valeurs propres
identiques afin de les rendre distinctes et de pouvoir utiliser les résultats ci-dessous.

Pour calculer Q
& , on a besoin d'exprimer la dérivée des vecteurs propres U& . Pour cela, selon la démarche de
i
[bib11], on différentie l'expression de X :

X = ~
~
~
X U U X =
X&
&
~
U
U
X U&
U
X U
U& éq
A1.2-3
i
i
i


+

+

i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
De plus, on a les relations suivantes entre les vecteurs propres et leur dérivées :

U U
.
= , U& .U +U .U& = 0




éq A1.2-4
i
j
ij
i
j
i
j

En contractant l'équation [éq A1.2-3] à gauche et à droite par les vecteurs propres, et en utilisant les relations
[éq A1.2-4], on obtient les relations suivantes :
~
U . &
~
XU
.
X = X&
&







éq A1.2-5
i
i
( )ii i

~
~
~
~
~
U . &XU
.
&
=
. & +
& .
=
-
& .
pour
éq A1.2-6
j
k
(X) X U U X U U
jk
k
j
k
j
j
k
(X X
j
k )U U
j k
j
k

(~X&)
Dans ces expressions, il n'y a pas de sommation sur les indices, les
désignent les composantes de X
&
jk
(~X&) =U .X&U. , et les X&~
jk
j
k )
dans la base fixe coïncidant avec la base propre de X à l'instant considéré
i
désignent les dérivées des valeurs propres de X (pas les valeurs propres de la dérivée X
& .

On déduit de la relation [éq A1.2-6] l'expression de U& :
j
(~X&)
U& =
U& U
.
U
.
~
~ U



éq A1.2-7
j
( j k ) =
k

jk
k
k j
k j (X - X
j
k )
Ceci nous permet d'exprimer Q
& :
(~X&)
&Q = (U& ,U& ,U&
&



éq A1.2-8
1
2
3 ) Q
=
jk
~
~ Q
ij
ik
k j (X - X
j
k )
(~X&)
Les
, composantes de X
& dans la base fixe coïncidant avec la base propre de X à l'instant considéré,
jk
~
peuvent s'exprimer en fonction des composantes de X
& dans la base fixe. Ainsi, X& désignant la matrice des
(~X&) , on a :
jk
~
X& QT
=
X
. & Q
.








éq A1.2-9
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On déduit de l'expression [éq A1.2-8] l'expression de Q
& :
Q Q X&
Q& =
~
~
Q





éq A1.2-10
ij
mj nk mn ik
k j m,n (X - X
j
k )
On a enfin les relations évidentes entre les valeurs propres de X+ et X :
~
~ ~
~
~
X = H X X X&
~
= H X X&
+
éq
A1.2-11
i
( i) i
+i
( i) i

On déduit des relations [éq A1.2-5], [éq A1.2-9] et [éq A1.2-11], la relation suivante :

~
~ ~
~ ~
X&
~
= H X X& = H X X& = H X Q Q X&
+

éq
A1.2-12
i
( i) i ( i)( )ii ( i) ji ki jk

Les relations [éq A1.2-10], [éq A1.2-11] et [éq A1.2-12] nous permettent d'exprimer la relation [éq A1.2-2] :


~
Q Q
~ ~
km
ln
X&
Q Q Q Q H X
X&
~
~ H X X Q Q
Q Q
X&
+
éq A1.2-13
ij

=
im jm km lm ( m )
+
kl
( m) m(
+
in
jm
im
jn )
k ,l m

kl
k ,l
m,n X
-

X


m
n
mn



Comme X est un tenseur symétrique, on a :
1
1
X = (
T
X + X ) X& = (
T
X& + X& )
éq
A1.2-14
2
2

Ceci nous permet de récrire l'équation [éq A1.2-13] :
~
X&
Q Q Q Q H X
X&
+ij

=
im jm km lm ( m)

kl
k ,l m


~ ~

éq
A1.2-15
+ 1
H X X
m
m
&
2
(Q Q + Q Q
~
~
Q Q
Q Q
X
km
ln
kn
lm )
( ) (
+
in
jm
im
jn )
kl
k ,l
m,n
X -

X


m
n
mn



On en déduit l'expression des composantes de M+ :
~
1

~ ~
H X X

M
=
Q Q Q Q H X +
Q Q +
m
m
Q Q
~
~
Q Q + Q Q
+


ijkl
im jm km lm ( m) ( km ln kn lm) ( ) ( in jm im jn)
m
2 m,n
X - X
m
n

mn
éq
A1.2-16

Par analogie, on en déduit aisément l'expression des composantes de M- :
~
1

~ ~
H - X X

M
=
Q Q Q Q H - X +
Q Q +
m
m
Q Q
~
~
Q Q + Q Q
-

ijkl
im jm km lm ( m) ( km ln kn lm) (
) ( in jm im jn)
m
2 m,n
X - X
m
n

mn
éq A1.2-17
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Annexe 2

On souhaite montrer que lorsqu'une valeur propre de l'endommagement atteint 1 dans une direction, alors cette
direction est bloquée et l'endommagement ne peut plus évoluer que dans le plan orthogonal à cette direction.


On se place dans la base propre de l'endommagement :
~
D = D e e éq A2-1
i i
i
i
~
e désigne le vecteur propre associé à la valeur propre D .
i
i

L'énergie adoptée est la somme d'une énergie élastique et d'une fonction indicatrice des valeurs propres de
l'endommagement:
(,D)
el
= (,D)
~
+ I - 1, [max(D




éq A2-2
i )]
]
]

Le critère d'évolution de l'endommagement s'écrit :
f ( D
F )= tr (( D
F )2
k
+ ) -
0





éq A2-3

L'évolution de la variable interne suit la loi d'écoulement suivante obéissant au principe de normalité :

D
f
D& = &
=
F+
&
, .
0




éq A2-4
D
D
F
F : D
F
+
+

La dérivée D
& est ainsi colinéaire à D
F+ .


La force thermodynamique dérive de l'énergie libre [éq A2-2] :
~

el

I]- ](max
1
(Di)
FD = -
= -
-




éq A2-5
D

D

D


Hypothèse :
~
On suppose que l'endommagement vaut 1 dans la direction 1 : D = 1 et qu'il est différent de 1 dans les autres
1
directions. La démonstration serait semblable dans le cas où l'endommagement vaut 1 dans deux directions
orthogonales.

La dérivée de la fonction indicatrice par rapport à l'endommagement s'écrit :
I(
(~
max Di )
I (~
~
~
D
I D
D
D
1 )
( 1)

=
=
1
11
~




éq A2-6
D

D

D
D
D

1
11


~
I (~
D
~
D


D
~
1 )
Or on a :
~
= + car D = 1;
11

= ;
1 =1 car (D)
D&
&
=
(voir Annexe 1).
D
1
i
1
1 j
D
D
11
1
1
ij
11
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Ceci nous permet d'écrire la dérivée de l'indicatrice par rapport à l'endommagement :

T 0 0
I (~
Di )



-
= 0 0 0 avec T = -


éq A2-7
D


0 0 0

La dérivée de la partie élastique de l'énergie est à valeurs finies. On l'écrit sous la forme d'une matrice 3x3
symétrique :
a
a
a
11
12
13
el



-
=a
a
a







éq A2-8
12
22
23
D

a
a
a
13
23
33

Ceci nous permet d'écrire l'expression de la force thermodynamique :
T + a
a
a
11
12
13


D
F = a
a
a







éq A2-9
12
22
23


a
a
a
13
23
33

On cherche à présent à calculer la partie positive de la force thermodynamique. Pour cela, on doit calculer les
valeurs propres de D
F et les vecteurs propres associés. Pour effectuer commodément ce calcul, nous
considérons le terme T comme très grand négatif (tendant vers - ) mais non strictement infini.

On a alors T >> a pour tous les indices i,j. On peut donc écrire la matrice D
F sous la forme :
ij

1
O(1/T ) O(1/T )
D

F T O(1/T ) O(1/T ) O(1/T )


éq
A2-10
O(1/T ) O(1/T ) O(1/T )

Soit une valeur propre de D
F et U le vecteur propre associé, alors les composantes de U sont solutions
du système suivant :



U + O 1/ T U + O 1/ T U = U
(i )
1
(
) 2
(
) 3
1
T


D
F .U = U
(1/T )U + O 1/T U + O 1/T U = U
(ii ) éq A2-11
1
(
) 2
(
) 3
2
T


O(1/T )U + O 1/T U + O 1/T U = U
(iii )
1
(
) 2
(
) 3
3


T
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Parmi les vecteurs propres, il en existe au moins un pour lequel la composante U1 est non nulle, car les
vecteurs propres forment une base de R3. Considérons ce vecteur propre. Alors les équations du système
[éq A2-11] imposent :

(i)
= T
(i) et (ii)
U = 0
2







éq A2-12
(i) et (iii)
U = 0
3

On en déduit que T est une valeur propre de D
F et que le vecteur e1 en est le vecteur propre associé.

De plus, la base propre d'une matrice symétrique étant orthogonale, les deux autres vecteurs propres de D
F
sont dans le plan défini par e2 et e3.

Ainsi la composante U1 de ces vecteurs propres est nulle. Dans ces conditions, l'équation (i) ne fournit, dans la
limite T - , que l'identité 0=0, et les équations (ii) se réduisent, après la multiplication par T , à :

a U + a U = U

22 2
23
3
2






éq A2-13
a U + a U = U

23
2
33
3
3

Donc les vecteurs propres de D
F distincts de e1 et les valeurs propres associées sont les vecteurs propres et

a
a
a
11
12
13
a
a
22
23


les valeurs propres de la projection a
=
de la matrice a = a
a
a
dans le plan (e
2D


a
a
12
22
23
2, e3).
23
33




a
a
a
13
23
33
Il résulte de ce qui précède que la partie positive de D
F vaut :
0 0
0
D


F = 0
+







éq A2-14


0
(a2D)
+

Comme D
& est colinéaire à D
F+ , ceci implique que seules les composantes D22, D23, D33 peuvent encore
évoluer, les composantes D11, D12, D13 étant désormais fixées.




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7 Bibliographie

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V. GODARD : Modélisation de l'endommagement anisotrope du béton avec prise en compte
de l'effet unilatéral : Application à la simulation numérique des enceintes de confinement.
Thèse de l'Université Paris VI, 2005.
[2]
P.B. BADEL : Contributions à la simulation numérique de structures en béton armé. Thèse de
l'Université Paris VI, 2001.
[3]
R. DESMORAT : Dissymétrie du comportement élastique anisotrope couplée ou non à
l'endommagement. C. R. Acad. Sci., t.328, Série Iib, 445-450, 2000.
[4]
J.J. MARIGO : Endommagement : Localisation et Stabilité. Ecole d'été d'analyse numérique,
EDF/CEA/INRIA, Juillet 2002.
[5]
H. KUPFER, H.K. HILSDORF, H. RUSCH : Behaviour of concrete under biaxial stresses, ACI
Journal, Title n°66-52, 656-666, August 1969.
[6]
Z.P. BAZANT, G. PIJAUDIER-CABOT :Measurement of characteristic length of non local
continuum, ASCE J. of Engng. Mech., 115, 755-767, 1989.
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J. MAZARS, Y. BERTHAUD : Une technique expérimentale appliquée au béton pour créer un
endommagement diffus et mettre en écidence son caractère unilatéral, C. R. Acad . Sci.,
t. 308, Série II , 579-584, 1989.
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E. HOGNESTAD, N.W. HANSON, D. McHENRY : Concrete stress distribution in ultimate
strength design, J. Am. Concr. Inst. 66, 656-666, 1955.
[9]
S. RAMTANI
:Contribution à la modélisation du comportement multiaxial du béton
endommagé avec description du caractère unilatéral, Thèse de doctorat de l'Université Pierre
et Marie Curie (Paris VI), 1990.
[10]
J.B. LEBLOND : A constitutive inequality for hyperelastic materials in finite strain, Eur.
J. Mech. A/Solids, Vol. 11(4), 447-466, 1992.
[11]
B. HALPHEN, Q. S. NGUYEN : Sur les matériaux standards généralisés, Journal de
Mécanique, Vol. 14 (1), 39-63, 1975.
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