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Version
7.1
Titre :
Relation de comportement UMLV pour le fluage propre du béton Date
:
04/05/04
Auteur(s) :
Y. LE PAPE Clé
:
R7.01.06-A Page
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Organisme(s) : EDF-R&D/MMC
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document R7.01.06
Relation de comportement UMLV pour le fluage
propre du béton
Résumé :
Ce document présente le modèle de fluage propre UMLV, qui est une façon de modéliser le fluage propre du
béton.
On y détaille également l'écriture et le traitement numérique du modèle.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Hypothèses ............................................................................................................................................3
3 Description du modèle [bib1] .................................................................................................................4
3.1 Description de la partie sphérique...................................................................................................4
3.2 Description de la partie déviatorique ...............................................................................................5
4 Discrétisation des équations constitutives du modèle...........................................................................6
4.1 Discrétisation des équations constitutives du fluage sphérique......................................................6
4.2 Discrétisation des équations constitutives du fluage déviatorique................................................10
5 Matrice tangente ..................................................................................................................................12
6 Description des variables internes.......................................................................................................14
7 Notations..............................................................................................................................................14
8 Bibliographie ........................................................................................................................................15
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1 Introduction
Dans le cadre des études du comportement à long terme de structures en béton, une part
prépondérante des déformations mesurées sur structure concerne les déformations différées qui
apparaissent dans le béton au cours de sa vie. Elles comportent les retraits au jeune âge, le retrait de
dessiccation, le fluage propre et le fluage de dessiccation.
Le modèle présenté ici est dédié à la modélisation de la déformation différée associée au fluage
propre. Le fluage propre est, en complément du fluage de dessiccation, la part de fluage du béton
qu'on observerait lors d'un essai sans échange d'eau avec l'extérieur. Expérimentalement le béton en
fluage propre présente un comportement visqueux vieillissant. La déformation de fluage observée est
proportionnelle à la contrainte de chargement, dépend de la température et de l'hygrométrie.
Les modèles de fluage des bétons existants (ex. : modèle de Granger voir [bib4] et [R7.01.01]) ont
été développés dans l'optique de prédire les déformations longitudinales de fluage sous des
contraintes uniaxiales. La généralisation de ces modèles, afin de prendre en compte un état de
contraintes multiaxiales, se fait alors par l'intermédiaire d'un coefficient de Poisson de fluage arbitraire,
constant et égal, ou proche, du coefficient de Poisson élastique. Or, la détermination a posteriori du
coefficient de Poisson de fluage effectif montre sa dépendance vis-à-vis du chemin de chargement.
Par ailleurs, le béton de certains ouvrages du Parc EDF, telles les enceintes de confinement de
réacteur nucléaire, est soumis à un état de contraintes biaxiales. Ce constat a conduit à la mise au
point de la loi de déformations de fluage propre UMLV (Université de Marne-la-Vallée, partenaire dans
le développement de ce modèle) pour laquelle le coefficient de Poisson de fluage est une
conséquence directe du calcul des déformations principales.
Dans Code_Aster, le modèle est utilisé sous le nom de BETON_UMLV_FP.
2 Hypothèses
Hypothèse 1 (H.P.P.)
Le loi est écrite dans le cadre des petites perturbations.
Hypothèse 2 (partition des déformations)
En petites déformations, le tenseur des déformations totales est décomposé en plusieurs termes
relatifs aux processus considérés. S'agissant de la description des différents mécanismes de
déformations différées des béton, on admet que la déformation totale s'écrive :
e
fp
fd
re
rd
th
= {
+ {
+ {
+ {
+ {
+ {
éq
2-1
n
déformatio
fluage
de
fluage
retrait
de
retrait
n
déformatio
élastique
propre
on
dessiccati
endogène
on
dessiccati
thermique
Dans le cadre de cette documentation, on se limitera à la description du fluage propre. A des fins de
simplification d'écriture, l'exposant f désignera la déformation de fluage propre de sorte que [éq 2-1] se
réduise à :
e
f
= +
éq 2-2
N.B. :
Dans la suite le terme « fluage » désignera exclusivement le fluage propre.
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Hypothèse 3 (décomposition des composantes de fluage)
De façon générale, le fluage propre peut être modélisé en combinant le comportement élastique du
solide et le comportement visqueux du fluide. Pour la loi présentée, le fluage est décrit comme la
combinaison du comportement élastique des hydrates et des granulats et du comportement visqueux
de l'eau.
Dans le cas de la loi UMLV, on effectue l'hypothèse que le fluage puisse être décomposé en un
processus découplant une partie sphérique et une partie déviatorique. Le tenseur des déformations
totales de fluage s'écrit alors :
f
fs
fd
=
1
1 +
avec fs
f
= tr
éq
2-3
{
{
3
partie
partie
sphérique
ue
déviatoriq
Le tenseur des contraintes peut être développé suivant une forme similaire :
s
d
= 1 +
éq 2-4
{
{
partie
partie
sphérique
ue
déviatoriq
La loi de fluage UMLV suppose un découplage total entre les composantes sphériques et
déviatoriques : les déformations induites par les contraintes sphériques sont purement sphériques et
les déformations induites par les contraintes déviatoriques sont purement déviatoriques. Pour tenir
compte de l'effet de l'humidité interne, les contraintes sont multipliées par l'humidité relative interne :
s
= h f ( s
)
d
= h f ( d
)
et
éq 2-5
Ou h désigne l'humidité relative interne.
La condition [éq 2-5] permet de vérifier a posteriori que les déformations de fluage propre sont
proportionnelles à l'humidité relative.
3
Description du modèle [bib1]
3.1
Description de la partie sphérique
Les contraintes sphériques sont à l'origine de la migration de l'eau adsorbée aux interfaces entre les
hydrates au niveau de la macro-porosité et absorbée au sein de la micro-porosité dans la porosité
capillaire. La diffusion de l'eau interlamellaire des pores d'hydrates vers la porosité capillaire
s'effectue de façon irréversible. La déformation sphérique totale de fluage s'écrit donc comme la
somme d'une partie réversible et d'une partie irréversible :
fs
fs
fs
=
+
{
r
éq
3.1-1
{
i
partie
partie
réversible
le
irréversib
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Le processus de déformation sphérique du fluage est gouverné par le système d'équations couplées
suivant (équations [éq 3.1-2] et [éq 3.1-3]) :
fs
& = 1 [
s
s
fs
h - kr r ]
fs
- i
éq
3.1-2
s
&
r
où s
kr désigne la rigidité apparente associée au squelette formé par des blocs d'hydrates à l'échelle
mésoscopique ;
et s
r la viscosité apparente associée au mécanisme de diffusion au sein de la porosité capillaire.
fs
= 1
&
i
[ sk fs -
r
( sk + s
r
i
k ) fs
i ]- [
s
h
- s
fs
kr r ] +
éq
3.1-3
si
où
s
ki désigne la rigidité apparente associée intrinsèquement aux hydrates à l'échelle
microscopique ;
et s
i la viscosité apparente associée au mécanisme de diffusion interfoliaire.
+
+
1
Dans [éq 3.1-3], les crochets
désignent l'opérateur de Mac Cauley : x
= (x + x )
2
Figure 3.1-a : Modèle phénoménologique associé à la partie sphérique du fluage propre
3.2
Description de la partie déviatorique
Les contraintes déviatoriques sont à l'origine d'un mécanisme de glissement (ou mécanisme de quasi
dislocation) des feuillets de CSH dans la nano-porosité. Sous contrainte déviatorique, le fluage
s'effectue à volume constant. Par ailleurs, la loi de fluage UMLV suppose l'isotropie du fluage
déviatorique. Phénoménologiquement, le mécanisme de glissement comporte une contribution
réversible viscoélastique de l'eau fortement adsorbée aux feuillets de CSH et une contribution
irréversible visqueuse de l'eau libre :
fd
fd
fd
=
+
éq
3.2-1
{
{
r
{
i
contribution
n
déformatio
on
contributi
eau
ue
déviatoriq
eau
absobée
totale
libre
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La jème composante principale de la déformation déviatorique totale est régie par les équations
[éq 3.2-2] et [éq 3.2-3] :
d
d , j
d
d , j
d , j
& + k = h éq
3.2-2
r
r
r
r
où d
kr désigne la rigidité associée à la capacité de l'eau adsorbée à transmettre des charges (load
bearing water) ;
et d
r la viscosité associée à l'eau adsorbée par les feuillets d'hydrates.
d d , j
d j
i
& =
i
h
,
éq 3.2-3
où d
i désigne la viscosité de l'eau libre.
Figure 3.2-a : Modèle phénoménologique associé à la partie déviatorique du fluage propre
4
Discrétisation des équations constitutives du modèle
4.1
Discrétisation des équations constitutives du fluage sphérique
On effectue une linéarisation au premier ordre du produit des contraintes et de l'humidité :
t - tn
t() h t() n n
h +
(n nh +n nh )
éq
4.1-1
t
n
Après discrétisation des contraintes et de l'humidité relative par des fonctions affines, la déformation
sphérique de fluage propre est discrétisée par l'équation suivante :
fs
= s
a + s
b s
+ s
c s
f
s
s
s
n
n
n
n
n n 1
+
(tr )=3a +b tr +c
n
n
n tr
éq 4.1-2
n
n 1
+
où s
et s
n
n 1
+ sont les contraintes sphériques au début et à la fin du pas de temps courant.
Il faut distinguer deux cas de figures selon que la déformation irréversible doit être prise en compte ou
pas.
1er cas : la déformation de fluage sphérique irréversible n'est pas prise en compte, l'équation
[éq 4.1-2] peut se mettre sous la forme (chaîne de Kelvin simple) :
s
fs
& (t) + k s fs
(t) = h(t) s
(t)
r r
r r
r
éq
4.1-3
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Après discrétisation, l'équation précédente peut se mettre sous la forme :
fs
s
s
s
s
s
r,n = ar,n + r
b ,n n + cr,n n 1
+
éq
4.1-4
Avec :
t
s
a
= exp
1
r,n
-
n
- fs
d
r,n
r
1
2
t
2
t
s
s
s
s
s -
r
r
n
r
r
n
b =
1 h
h
exp
1 h
h
éq
4.1-5
r,n
d -
+
+
n
n+1
-
+
-
-
n
n+1
s
k
t
t
t
t
r
n
n
r
n
n
1 s
t
s
- t
s
c
=
exp
h
h
r,n
r
-
n
- r
n
n
n
d
s
k
t
t
r
n
r
n
La déformation irréversible, quant à elle, ne varie pas :
s
a
= 0
fs
i,n
= 0
s
b
éq 4.1-6
i,n
= 0
i,n
s
c = 0
i,n
2nd cas : la déformation de fluage sphérique irréversible doit être prise en compte.
A l'aide de la linéarisation [éq 4.1-1], ], le système d'équations couplées s'écrit :
1
t - t
fs
& t() + fs
2 & t() =
h
h
h
k
t
( )
r
i
s
+
n
n
n
( +
n
n
n
n ) -
s
fs
r
r
t
r
n
+
éq 4.1-7
1
t - t
fs
& t() = -
-
s
fs
2k
t
( ) + s fs
k
t
(
)
h +
n
h
h
i
r
r
i
i
n
n
( +
n
n
n
n )
s
t
i
n
Ce système peut se mettre sous la forme :
&
&
fs
fs t()
fs
s
fs
s
s
s
s
t
( ) a
t
( ) a
t
( ) b
c t t
& t() = r
A :
t
( ) b
t t c
fs
=
fs
+ +
r
( - n )
=
+
+
+
r
rr
r
ri i
r
r ( - n )
& t()
& t() a t() a t() b c t t
i
fs
= s fs
+ s s
+ s + s
i
ir
r
ii i
i
i ( - n )
éq 4.1-8
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A , b et c sont définis comme suit :
s
s
s
k
k
k
4
2
s
s
- r -
r
i
s
s
s
a
a
A = rr
ir
s
s =
r
i
i
a
a
s
s
k
k
ir
ii
i
2
- i
s
s
i
i
1
2
s
+
s
s
b
b = r
h
éq
4.1-9
s =
r
i
n
n
b
1
i
-
s
i
1
2
s
+
s
s
c h + h
c = rs =
n
n
n
n r
i
c
t
1
i
n
-
s
i
Le système d'équations précédent peut être découplé et résolu dans l'espace des vecteurs propres.
Le système d'équations s'écrit en effet :
*
*
*
*
*
*
& (t) = (t) + b + c
éq
4.1-10
k
k
k
k
k (t - t n )
&
avec
& = 1
P
* =
-1
&
&2
Ainsi, dans l'espace des vecteurs propres, le modèle de fluage devient équivalent à une double chaîne
de Kelvin. Il est nécessaire de connaître la solution de l'équation homogène (sans second membre),
ainsi qu'une solution particulière afin de résoudre l'équation différentielle précédente. La solution
homogène de chacune des deux équations est la suivante :
*
t
k
t() = µ e
éq
4.1-11
k
k
où µ est un paramètre dépendant de la condition initiale. Une solution particulière est obtenue par la
k
méthode de variation de la constante ( µ = µ (t) ). On obtient alors les solutions suivantes :
k
k
*
1
*
*
1
t() =
t
µ e k -
b
c t t
éq
4.1-12
k
k
+
k
k -
-
n
k
k
Les déformations de fluage sphériques réversible et irréversible sont alors égales à :
h +
h
fs
(t ) = n
n
n+1
n +
1tn 1
2tn 1
x µ e
µ e
r
n+1
(
+
+
+
1
1
2
)
s
k
r
éq
4.1-13
h +
h
fs
(t ) = n
n
n+1
n +
1tn 1
2tn 1
µ e
x µ e
i
n+1
(
+
+
+
s
1
2
2
)
ki
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Après simplification, on obtient alors les expressions suivantes pour les valeurs de µ :
k
1
h +
h
h +
h
µ =
(
)
(
)
1
fs
x
t
- n
n
n+1
n
-
fs t
- n
n
n+1
n
2
r
n+1
i
n+1
(x x -1 1
1
2
) t
e n
s
s
k
k
r
i
1
h +
h
h +
h
fs
n
n
n+1
n
fs
n
n
n+1
n
µ =
(
)
(
)
2
(
t
x
t
x x -1 2
1
2
)
-
-
+
-
r
n+1
1
i
n+1
tn
s
s
e
k
k
r
i
éq 4.1-14
L'équation [éq 4.1-2] peut donc se mettre sous la forme, après discrétisation :
fs
= s
a
+ s
b
s
+ s
c
s
r,n
r,n
r,n
n
i,n
n+1
éq
4.1-15
fs
s
s
s
s
s
= a + b + c
i,n
i,n
i,n
n
i,n n+1
Avec :
s
x x
1
e
tn -
2
e
tn
1 tn
2 tn
1
2
fs
e
-
e
a
=
fs
r,n
-
1
- x
r,n
1
max(i,k )
x x -1
1
2
x x -1
1
2
kn
h
s
- x x
1
e
tn +
2
e
tn
h
1 tn
2 tn
n
1
2
n
e
-
e
b
=
r,n
+
1 +
x
1
éq
4.1-16
k sr
x x -1
s
1
2
ki
x x -1
1
2
h
s
- x x
1
e
tn +
2
e
tn
h
1 tn
2 tn
n
1
2
n
e
-
e
c =
r,n
+
1 +
x
1
s
s
kr
x x -1
1
2
ki
x x -1
1
2
1
s
e
tn -
2
e
tn
fs
x x
2
e
tn -
1
e
tn
a
= x
fs
i,n
2
-
r,n
1 2
-
1 max(i,k )
x x -1
1
2
x x -1
1
2
kn
h
2
s
n
e
tn -
1
e
tn h - x x
2
e
tn +
1
e
tn
b =
x
n
i,n
2
+
1 2
+
1
éq
4.1-17
k sr
x x -1
s
1
2
ki
x x -1
1
2
h
2
s
n
e
tn -
1
e
tn h - x x
2
e
tn +
1
e
tn
c =
x
n
i,n
2
+
1 2
+
1
s
s
kr
x x -1
1
2
ki
x x -1
1
2
Dans les équations [éq 4.1-16] et [éq 4.1-17] les paramètres , , x et x sont fonction des
1
2
1
2
paramètres intrinsèques du matériau. A chaque pas de calcul, il est nécessaire de sauvegarder deux
variables internes fs
, la dernière déformation sphérique réversible obtenue et max( fs
, c'est-à-dire
i,k )
r,n
kn
fs
, la plus grande déformation sphérique réversible obtenue dans l'histoire de l'élément. Le choix de
i,n
retenir les expressions [éq 4.1-5] et [éq 4.1-6] (pas de déformation irréversibles), ou les expressions
[éq 4.1-16] et [éq 4.1-17] (existence de déformations irréversibles) pour déterminer l'incrément de
déformation sphérique totale est effectuée a posteriori en fonction du signe de
fs
dans [éq 4.1-15].
i,n
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1
3
1
2
4
1
1
2
4
3
3
4
2
Illustration des réponses numériques obtenues en utilisant les expressions discrétisées [éq 4.1-3] à
[éq 4.1-17] pour quatre histoires de chargement : 1 échelon de contrainte unitaire à humidité
constante (100%), 2 échelon de contrainte unitaire à humidité linéairement décroissante de 100% à
50%, 3 échelon de contrainte unitaire pendant la moitié de la durée du calcul suivi d'une recouvrance
à la moitié de la contrainte initiale sur la seconde partie du calcul ; l'humidité est supposée constante
(100%), 4 le chargement mécanique est identique à 3 ; humidité décroît linéairement de 100% à 50%.
Figure 4.1-a
Pour réaliser les simulations de la [Figure 4.1-a] les paramètres suivants ont été retenus :
k s = ,
2 0e + 5 [MPa] ; s
= ,
4 0e +10 [MPa.s] ; k s = ,
1 0e + 4 [MPa] ; s
= ,
1 0e +11 [MPa.s]. Le
r
r
i
i
calcul comporte 200 intervalles de 5000 [s].
4.2
Discrétisation des équations constitutives du fluage déviatorique
Après discrétisation des contraintes et de l'humidité relative par des fonctions affines, le tenseur
déviateur des déformations de fluage propre est discrétisé par l'équation suivante :
fd
d
d
d
d
d
= a + n
b + n
c
éq
4.2-1
n
n
n
n 1
+
où d
et d
sont les tenseurs des contraintes déviatoriques au début et à la fin du pas de temps
n
n 1
+
courant.
Les étapes effectuées sont :
·
On calcule les paramètres par rapport à la déformation de fluage propre déviatorique
réversible, dont le modèle est :
d
fd
& (t) + kd fd
(t) = h(t) d
(t)
r
r
éq
4.2-2
r
r
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Titre :
Relation de comportement UMLV pour le fluage propre du béton Date
:
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Y. LE PAPE Clé
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Après discrétisation, l'équation précédente peut se mettre sous la forme :
fd
d
d
d
d
d
= a
+ r
b ,n + r
c ,n
éq
4.2-3
r,n
r,n
n
n 1
+
Avec :
d
t
a
=
exp -
n -
1 f ,d
r,n
d
,
r
r n
d
1
d
2
d
t d
2
d
-
r
r
n
r
r
tn
b
=
r,n
-
+
1 h +
n
n
h +1
exp -
+
-
1 h -
n
n
h +1 éq 4.2-4
d
d
k
t
t
t
t
r
n
n
r
n
n
d
d
1
d
t
-
c
=
r
exp -
n h - r
tn
r,n
n
n
h
d
d
k
t
t
r
n
r
n
Remarque :
L'équation [éq 4.2-4] (partie réversible du fluage déviatorique) est analogue à l'équation
[éq 4.1-5] (partie réversible du fluage en l'absence de déformations irréversibles). Elles
correspondent à la discrétisation d'une unique chaîne de Kelvin.
On calcule les paramètres par rapport à la déformation de fluage propre déviatorique, dont le modèle
est :
d
f ,d
& (t) = h(t) d (t)
i
éq
4.2-5
i
Après discrétisation, l'équation précédente peut se mettre sous la forme :
f ,d
d
d
d
d
d
= a + ib,n + ic,n
éq
4.2-6
i,n 1
+
i,n
n
n 1
+
Avec :
d
a
=
0
i,n
d
t h
b
=
n
n+1
r,n
éq
4.2-7
d
2 i
d
t h
c
=
n
n
r,n
d
2 i
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1
1
3
2
2
4
1
1
3
2
3
4
2
4
Illustration des réponses numériques obtenues en utilisant les expressions discrétisées [éq 4.2-1] à
[éq 4.2-7] pour quatre histoires de chargement : 1 échelon de contrainte unitaire à humidité constante
(100%), 2 échelon de contrainte unitaire à humidité linéairement décroissante de 100% à 50%, 3
échelon de contrainte unitaire pendant la moitié de la durée du calcul suivi d'une recouvrance à la
moitié de la contrainte initiale sur la seconde partie du calcul ; l'humidité est supposée constante
(100%), 4 le chargement mécanique est identique à 3 ; humidité varie linéairement décroissante de
100% à 50%.
Figure 4.2-a
Pour réaliser les simulations de la [Figure 4.2-a], les paramètres suivants ont été retenus :
k d = ,
5 0e + 4 [MPa] ; d
= ,
1 0e +10 [MPa.s] ; d
= ,
1 0e +11 [MPa.s]. Le calcul comporte 1000
r
r
i
intervalles de 1000 [s].
5 Matrice
tangente
En introduisant le module de cisaillement élastique µ , le déviateur des contraintes à l'instant n + 1
s'écrit en fonction du déviateur des déformations élastiques :
d
ed
d
d
f ,d
= 2µ
= + 2µ
- 2µ
éq
5-1
n 1
+
n 1
+
n
n
n
En substituant la partie déviatorique de la déformation de fluage propre par l'expression [éq 4.2-1], il
découle la relation suivante :
d
(1+2 d
µc )
d
= (1- 2 d
b
µ )+ 2
d
µ
- 2
d
µa 1 éq
5-2
n 1
+
n
n
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Expression qui induit par dérivation par rapport à d
:
n 1
+
dn 1+ (1+2µ dc)= 2 1µ éq 5-3
dn 1+
En effectuant une démarche similaire pour la partie sphérique et en introduisant le module de rigidité à
la dilatation K , il suit les trois relations suivantes :
e
tr
= 3K tr
= tr + 3K tr(
)- 3K tr( f
) éq
5-4
n+1
n+1
n
n
n
tr
(
s
1+ 3Kc )= tr (
s
1- 3Kb )+ 3K tr( )
s
- Ka éq
5-5
n+1
n
n
(tr
)
+
éq 5-6
(
n 1
s
1+ 3
= 3
tr
)( Kc ) K
n 1
+
La matrice tangente s'écrit finalement :
d
d
d
1 (tr )
1 (tr ) (tr )
=
+
1 =
+
éq
5-7
3
d
(tr )
1
3
C'est-à-dire :
2µ
1
=
K
1- 11 +
11
éq
5-8
1+ 2µ d
c
3
1+ 3 s
Kc
4
1 4
2 3
4
1 4
2 3
Après linéarisation, la matrice tangente se développe comme suit :
2
1
1
+ - - 0 0 0
11
3
3
3
11
1
2
1
22 - + - 0 0 0 22
3
3
3
33
=
1
1
2
33
éq
5-9
2
0 0 0
12 -
-
+
2
3
3
3
12
2
0
0
0
0
0
13
213
2
0
0
0
0
0
23
2 23
0
0
0
0
0
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6
Description des variables internes
Le tableau suivant donne la correspondance entre le numéro des variables internes accessibles par
Code_Aster et leur description :
Numéro de la variable
Description
1
Déformation sphérique réversible
2
Déformation sphérique irréversible
3
Déformation déviatorique réversible, composante 11
4
Déformation déviatorique irréversible, composante 11
5
Déformation déviatorique réversible, composante 22
6
Déformation déviatorique irréversible, composante 22
7
Déformation déviatorique réversible, composante 33
8
Déformation déviatorique irréversible, composante 33
9 -
10 -
11 -
12
Déformation déviatorique réversible, composante 12
13
Déformation déviatorique irréversible, composante 12
14
Déformation déviatorique réversible, composante 13
15
Déformation déviatorique irréversible, composante 13
16
Déformation déviatorique réversible, composante 23
17
Déformation déviatorique irréversible, composante 23
18 -
19 -
20 -
7 Notations
tenseur des déformations totales
f
tenseur des déformations de fluage propre
e
tenseur des déformations élastiques
fs
1 partie sphérique du tenseur des déformations de fluage propre
fs
1 partie sphérique réversible du tenseur des déformations de fluage propre
r
fs
1 partie sphérique irréversible du tenseur des déformations de fluage propre
i
fd
partie déviatorique du tenseur des déformations de fluage propre
fd
partie déviatorique réversible du tenseur des déformations de fluage propre (contribution de l'eau
r
absorbée)
fd
partie déviatorique irréversible du tenseur des déformations de fluage propre (contribution de
i
l'eau libre)
tenseur des contraintes totales
s
1 partie sphérique du tenseur des contraintes
d
partie déviatorique du tenseur des contraintes
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h humidité relative interne
K module élastique de rigidité à la dilatation
s
kr rigidité apparente associée au squelette formé par des blocs d'hydrates à l'échelle mésoscopique
s
ki rigidité apparente associée intrinsèquement aux hydrates à l'échelle microscopique
d
kr rigidité associée à la capacité de l'eau adsorbée à transmettre des charges (load bearing water)
µ module de cisaillement élastique
s
i viscosité apparente associée au mécanisme de diffusion interlamellaire
s
r viscosité apparente associée au mécanisme de diffusion au sein de la porosité capillaire
d
i viscosité de l'eau libre.
d
r viscosité associée à l'eau adsorbée par les feuillets d'hydrates
x, x, x désignent respectivement un scalaire, un vecteur et un tenseur d'ordre 2.
n
x , n
x
+ ,
1
n
x désignent respectivement la valeur de la quantité x au temps tn , au temps tn 1
+ et la
variation de x pendant l'intervalle [t ;
]
n tn 1
+ .
8 Bibliographie
[1]
BENBOUDJEMA F. : Modélisation des déformations différées du béton sous sollicitations
biaxiales. Application aux bâtiments réacteurs de centrales nucléaires, Mémoire de D.E.A.
Matériaux Avancés Ingénierie des Structures et des Enveloppes, 38 p. (+ annexes) (1999).
[2]
BENBOUDJEMA F., MEFTAH F., HEINFLING G., LE PAPE Y. : Etude numérique et
analytique de la partie sphérique du modèle de fluage propre UMLV pour le béton, note
technique HT-25/02/040/A, 56 p (2002).
[3]
BENBOUDJEMA F., MEFTAH F., TORRENTI J.M., LE PAPE Y. : Algorithme du modèle de
fluage propre et de dessiccation UMLV couplé à un modèle élastique, note technique
HT-25/02/050/A, 68 p (2002).
[4]
GRANGER L. : Comportement différée du béton dans les enceintes de centrale nucléaire :
analyse et modélisation, Thèse de Doctorat de l'ENPC (1995).
[5]
RAZAKANAIVO A. : Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton,
Documentation Code_Aster [R7.01.01], 16 p (2001).
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: 16/16
Page laissée intentionnellement blanche
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