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Version
3
Titre :
Modélisation linéaire des éléments de milieu continu en thermique
Date :
30/08/95
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES
Clé :
R3.06.02-A
Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document : R3.06.02

Modélisation linéaire des éléments de milieu
continu en thermique

Résumé :
On décrit l'expression des termes élémentaires intervenant dans la modélisation linéaire de l'équation de la
chaleur et dans les post-traitements. On donne l'expression mathématique de l'intégrale à évaluer, et pour
chaque élément on fournit le nombre de points d'intégration utilisés.
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Table des matières
1 Les options de modélisation linéaire...................................................................................................... 3
2 Expression des termes élémentaires pour les différentes options de calcul ......................................... 4
2.1 Notations générales......................................................................................................................... 4
2.2 Termes élémentaires apportant une contribution............................................................................ 4
2.2.1 Rigidité thermique .................................................................................................................. 4
2.2.2 Masse thermique.................................................................................................................... 5
2.2.3 Rigidité due aux conditions aux limites d'échange................................................................. 5
2.2.4 Rigidité due aux conditions d'échange entre parois............................................................... 6
2.3 Termes élémentaires apportant une contribution au second membre............................................ 6
2.3.1 Discrétisation en temps.......................................................................................................... 6
2.3.2 Terme de source volumique................................................................................................... 7
2.3.3 Terme d'échange convectif .................................................................................................... 7
2.3.4 Terme de flux normal imposé ................................................................................................ 7
2.3.5 Terme d'échange entre parois ............................................................................................... 7
3 Bibliographie .......................................................................................................................................... 8
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1
Les options de modélisation linéaire
Dans ce document, on ne considère que la modélisation linéaire du phénomène physique d'évolution
de la température dans un milieu continu. Tous les coefficients intervenant dans l'équation de la
chaleur seront des constantes ou bien des fonctions pouvant dépendre du temps ou de l'espace. Les
conditions aux limites ne pourront être que des fonctions linéaires de la température.
Par défaut le matériau est supposé isotrope, la loi de Fourier reliant le flux de chaleur au gradient de
température fait intervenir un coefficient scalaire la conductivité thermique :
q = - T
Dans le cas général, milieu quelconque, cette relation s'exprime avec un tenseur de conductivité
thermique. La matrice associée étant définie positive, il est toujours possible de se ramener à une
matrice diagonale dans le repère associée aux directions propres. Le traitement de l'anisotropie
thermique (voir [bib 1] s'effectue donc dans le Code_Aster en fournissant les valeurs de la conductivité
thermique pour chaque direction principale et le repère propre. L'évaluation des termes élémentaires
s'effectue alors en récupérant les différents coefficients et en changeant de repère. Deux types
d'anisotropie sont traitées dans le Code_Aster , il s'agit :
· de l'anisotropie cartésienne où les directions privilégiées restent fixes dans un repère
cartésien, la donnée des trois angles nautiques , et permet de passer du repère
global au repère principal d'anisotropie,
· de l'anisotropie cylindrique où les directions privilégiées restent fixes dans un repère
cylindrique, la donnée des deux angles nautiques et définissant la direction de l'axe et
des trois coordonnées d'un point de cet axe permet de passer du repère global au repère
principal d'anisotropie.
La formulation variationnelle de l'équation linéaire de la chaleur (cf [R5.02.01]) conduit à l'évaluation
d'un certain nombre d'expressions sous forme d'intégrales qui constituent finalement un système
matriciel. La matrice et le second membre sont construits à partir de différentes briques : les options de
calcul qui regroupent une ou plusieurs intégrales. Les options décrites ici sont communes à l'ensemble
des éléments finis isoparamétriques. Leur évaluation dépend du type d'élément : degré des fonctions
de forme, nombre et famille de points d'intégration utilisés.
On pourra se reporter aux documents [U1.23.01], [U1.23.02] et [U1.24.02] concernant les différentes
modélisations (type de maille supportant les éléments finis).
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2
Expression des termes élémentaires pour les différentes
options de calcul

2.1 Notations
générales
Nous désignons par :

un ouvert de ¤3 ou de ¤2 de frontière ,
t
la variable représentant le temps,
t
le pas de temps utilisé,
r
la variable d'espace,
T
la température (inconnue du problème),
Tn
la température à l'instant précédent (connue),
T*
la fonction test,

la masse volumique,
C
la chaleur massique à pression constante,
p
c = C
la capacité calorifique à pression constante par unité de volume,
p
p

le paramètre de la -méthode pour l'analyse thermique transitoire.
2.2
Termes élémentaires apportant une contribution
2.2.1 Rigidité
thermique
Terme faisant intervenir les gradients de températures et le coefficient de conduction dans le cas
des milieux isotropes (dénomination utilisée par analogie au terme de rigidité intervenant dans
l'équation de la modélisation du phénomène mécanique de l'élasticité). Le coefficient peut dépendre
du temps.
· expression mathématique :
( ) .
*
t
T T

d

,

lorsque le milieu est anisotrope, l'évaluation du flux (t) T est effectuée dans le repère
principal d'anisotropie après un premier changement de repère (le tenseur de conductivité
thermique y est diagonal) puis par un changement repère inverse, on revient dans le repère
global,
· dénomination de l'option dans les catalogues : RIGI_THER,
· nombre de points d'intégration utilisés : (première famille de points d'intégration
cf. [R3.01.01]).
maille support
nombre de noeuds
nombre de points
triangle
3
1
6
3
quadrangle
4
4
8 ou 9
9
tétraèdre
4
4
10
15
pentaèdre
6
6
15
21
hexaèdre
8
8
20
27
27
27
Tableau 2.2.1-1
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2.2.2 Masse
thermique
Terme faisant intervenir le coefficient de capacité calorifique à pression constante c = C
p
p
(dénomination utilisée par analogie au terme de masse intervenant dans l'équation de la modélisation
des équations de la dynamique). Le coefficient Cp peut dépendre du temps.
·
1

expression mathématique : ( ) . *
t
C t T T
d
p
· dénomination de l'option dans les catalogues : MASS_THER
· nombre de points d'intégration utilisés : (deuxième famille de points d'intégration)
maille support
nombre de noeuds
nombre de points
triangle
3
3
6
6
quadrangle
4
4
8 ou 9
9
tétraèdre
4
4
10
15
pentaèdre
6
6
15
21
hexaèdre
8
8
20
27
27
27
Tableau 2.2.2-1
2.2.3 Rigidité due aux conditions aux limites d'échange
Terme faisant intervenir le coefficient d'échange h ayant pour origine une condition aux limites modélisant
les échanges convectifs avec le bord du domaine. Le coefficient h peut dépendre du temps et de l'espace.
· expression mathématique : h(r,t) T.T* d

· dénomination de l'option dans les catalogues : RIGI_THER_COEF_R ou RIGI_THER_COEF_F
· nombre de points d'intégration utilisés :
maille support
nombre de noeuds
nombre de points
segment
2
4
3
4
triangle
3
3
6
4
quadrangle
4
4
8 ou 9
9
Tableau 2.2.3-1
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2.2.4 Rigidité due aux conditions d'échange entre parois
Terme dû à la condition aux limites de type Neumann mettant en jeu deux sous parties de la frontière
en vis à vis et faisant intervenir un unique coefficient d'échange h . Ce type de condition aux limites
crée de nouvelles relations entre les degrés de liberté de la frontière.
Dans ce cas, on utilise un élément fini particulier dont la maille support est obtenue en associant deux
mailles de bord ou de face identiques, les fonctions de forme utilisées et les points d'intégration sont
ceux de la maille de départ.
En tridimensionnel, les mailles support des éléments de face sont du type TRIA3-TRIA3, QUAD4-
QUAD4, TRIA6-TRIA6, QUAD8-QUAD8 ou QUAD9-QUAD9.
En bidimensionnel, elles sont du type SEG2-SEG2 ou SEG3-SEG3.
On pourra se reporter à [U4.25.02 § 3.1.3] pour la description de l'algorithme de recherche de mailles
en vis à vis.
· expression mathématique :
( ( , + ) ( 2 - )). *
h r t
t
T
T
T d


1
et
( ( , + ) ( 1 - )). *
h r t
t
T
T
T d


2


1
2
1
2
où 1 et 2 sont deux sous parties de la frontière en vis à vis.
· dénomination de l'option dans les catalogues : RIGI_THER_PARO_R ou RIGI_THER_PARO_F
· nombre de points d'intégration utilisés : cf [Tableau 2.2.3-1].
2.3
Termes élémentaires apportant une contribution au second membre
2.3.1 Discrétisation en temps
Terme dû :
· à la discrétisation de la dérivée en temps faisant intervenir une partie du terme de masse avec
le coefficient de capacité calorifique Cp ,
· à
la
-méthode faisant intervenir une partie de la rigidité dans le second membre avec le
coefficient de conduction ,
· expression mathématique dans le cas des milieux isotropes :
1
n

. *
-
1
n
*


( -) .


t
C T T
d
T
T
d
p

lorsque le milieu est anisotrope, l'évaluation du flux (t) T est effectuée dans le repère
principal d'anisotropie après un premier changement de repère (le tenseur de conductivité
thermique y est diagonal) puis par un changement repère inverse, on revient dans le repère
global,
· dénomination de l'option dans les catalogues : CHAR_THER_EVOL,
· nombre de points d'intégration utilisés : cf [Tableau 2.2.2-1].
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2.3.2 Terme de source volumique
Terme dû à la source volumique de chaleur.
· expression mathématique :
( s(r,t + t) + (1- ) s(r,t)). *


T d


,

· dénomination de l'option dans les catalogues : CHAR_THER_SOUR_R ou
CHAR_THER_SOUR_F,
· nombre de points d'intégration utilisés : cf [Tableau 2.2.1-1].
2.3.3 Terme d'échange convectif
Terme dû à la condition aux limites d'échange convectif faisant intervenir le coefficient d'échange h et
la température du milieu "extérieur" Tex .
· expression mathématique :
( h(r,t
t) T (r,t
t
) (1
) h(r,t)(T (r,t) T n
+
+
+ -
-
) ). *


T d


ex
ex


· dénomination de l'option dans les catalogues : CHAR_THER_R ou CHAR_THER_F,
· nombre de points d'intégration utilisés : cf [Tableau 2.2.3-1].
2.3.4 Terme de flux normal imposé
Terme dû à la condition aux limites de flux imposé selon la normale à la frontière, faisant intervenir une
fonction pouvant dépendre des variables r et t .
· expression mathématique :
( f (r,t + t) + (1- ) f (r,t)). *


T d


,

· dénomination de l'option dans les catalogues : CHAR_THER_FLUN_R ou
CHAR_THER_FLUN_F,
· nombre de points d'intégration utilisés : cf [Tableau 2.2.3-1].
2.3.5 Terme d'échange entre parois
Terme dû à la condition aux limites de type Neumann mettant en jeu deux sous parties de la frontière
en vis à vis et faisant intervenir un unique coefficient d'échange h .
· expression mathématique :
( ( , ) ( - ) ( n
n
1
-
)). *
h r t
T
T
T d


n
n
2
1
1
et
( ( , ) (1- ) (
-
)). *
h r t
T
T
T d


1
2
2

1

2

où 1 et 2 sont deux sous parties de la frontière en vis à vis
· dénomination de l'option dans les catalogues : CHAR_THER_PARO_R ou
CHAR_THER_PARO_F,
· nombre de points d'intégration utilisés : cf [Tableau 2.2.3-1].
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3 Bibliographie
[1]
N.RICHARD : Développement de l'anisotropie thermique dans le logiciel Aster. Note
EDF/DER HM-18/94/0011 du 05/07/1994.
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