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Réponse sismique par méthode spectrale


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J.R. LEVESQUE, L. VIVAN, D. SELIGMANN, Y. PONS Clé : R4.05.03-B Page
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Organisme(s) : EDF/AMA, CS SI, EDF/TESE
















Manuel de Référence
Fascicule R4.05 : Analyse sismique
Document : R4.05.03





Réponse sismique par méthode spectrale




Résumé :

L'étude de la réponse d'une structure sous l'effet de mouvements imposés de type sismique, avec un
mouvement imposé unique (mono appui) ou multiple (multi appuis) est possible en analyse transitoire (time
history). On se reportera à la note [R4.05.01].

Pour des études de dimensionnement, on peut ne s'intéresser qu'à une estimation des efforts maximaux induits
par les sollicitations, pour évaluer la marge de sécurité avec des règlements de construction, sans recourir à
une analyse transitoire.

La méthode spectrale s'appuie sur la notion de spectre d'oscillateur d'un accélérogramme de séisme. On
détaille la méthode d'élaboration de ce spectre de réponse disponible dans l'opérateur CALC_FONCTION
[U4.32.04].

On montre comment ce spectre d'oscillateur peut être utilisé pour évaluer un majorant de la réponse en
déplacement relatif d'un oscillateur simple. Cette approche se justifie si on ne désire pas connaître l'histoire des
déplacements et des efforts, en se limitant à l'analyse des effets inertiels.

La méthode spectrale utilise des notions générales de la méthode de recombinaison modale [R5.06.01].

On décrit les différentes règles de combinaison utilisables pour obtenir un majorant réaliste mais conservatif de
la réponse maximale de la structure. Ces méthodes sont disponibles dans l'opérateur COMB_SISM_MODAL
[U4.84.01].
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Table
des
matières

1 Notion de spectre d'oscillateur...............................................................................................................4
1.1 Mouvement imposé défini par un accélérogramme A (t) ................................................................4
1.2 Spectre d'oscillateur d'un accélérogramme ....................................................................................5
1.2.1 Spectre d'oscillateur en déplacement relatif ..........................................................................5
1.2.2 Spectre d'oscillateur en pseudo vitesse relative ....................................................................6
1.2.3 Spectre d'oscillateur en pseudo accélération absolue...........................................................7
1.3 Détermination du spectre d'oscillateur ............................................................................................7
1.4 Représentation et utilisation des spectres d'oscillateurs.................................................................8
1.4.1 Représentation tri logarithmique ............................................................................................8
1.4.2 Utilisation des spectres d'oscillateurs.....................................................................................8

1.5 Spectres d'oscillateurs utilisés pour des études..............................................................................9
1.5.1 Spectre de sol de conception et vérification des bâtiments ...................................................9
1.5.2 Spectre de plancher de vérification des équipements .........................................................10
2 Réponse sismique par recombinaison modale ...................................................................................10
2.1 Rappels de la formulation..............................................................................................................10
2.1.1 Mouvement imposé unique : mono appui ............................................................................11
2.1.2 Mouvement imposé multiple : multi appuis ..........................................................................12
2.1.3 Résumé ................................................................................................................................13
2.2 Réponse en base modale..............................................................................................................13
2.2.1 Réponse temporelle d'un oscillateur modal .........................................................................13
2.2.2 Facteur de participation modal en mono appui ....................................................................14
2.2.3 Facteur de participation modal en multi appuis....................................................................14

3 Réponse sismique par méthode spectrale ..........................................................................................15
3.1 Réponse spectrale d'un oscillateur modal en mono appui............................................................15
3.2 Réponse spectrale d'un oscillateur modal en multi appuis ...........................................................16
3.3 Généralisation à d'autres grandeurs .............................................................................................16

4 Règles de combinaison des réponses modales..................................................................................17
4.1 Direction du séisme et réponse directionnelle...............................................................................17
4.2 Choix des modes propres à combiner...........................................................................................17

4.2.1 Expression de l'énergie de déformation modale ..................................................................17
4.2.2 Expression de l'énergie cinétique modale............................................................................18
4.2.3 Conclusion............................................................................................................................19
4.3 Correction statique par pseudo-mode ...........................................................................................19
4.3.1 Mono appui...........................................................................................................................19
4.3.2 Multi appuis ..........................................................................................................................20
4.4 Généralités sur les règles de combinaison ...................................................................................20
4.4.1 Combinaison arithmétique....................................................................................................20
4.4.2 Combinaison en valeur absolue...........................................................................................21
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4.4.3 Combinaison quadratique simple.........................................................................................21
4.5 Etablissement de la réponse directionnelle en mono appui .........................................................21
4.5.1 Réponse combinée des oscillateurs modaux ......................................................................21
4.5.1.1 Somme des valeurs absolues .................................................................................22
4.5.1.2 Combinaison quadratique simple (CQS).................................................................22
4.5.1.3 Combinaison quadratique complète (CQC) ............................................................22
4.5.1.4 Combinaison de ROSENBLUETH...........................................................................23
4.5.1.5 Combinaison avec règle des 10% ...........................................................................23

4.5.2 Contribution de la correction statique des modes négligés .................................................23
4.6 Etablissement de la réponse directionnelle en multi appuis .........................................................23
4.6.1 Calcul de la réponse globale................................................................................................23
4.6.2 Calcul séparé des composantes primaire et secondaire de la réponse..............................24
4.6.3 Réponse combinée des oscillateurs modaux ......................................................................24
4.6.4 Contribution du pseudo mode..............................................................................................24
4.6.5 Contribution des mouvements d'entraînement ....................................................................24
4.6.6 Combinaison des réponses directionnelles d'appuis...........................................................25
4.7 Combinaison des réponses directionnelles ..................................................................................25
4.7.1 Combinaison quadratique ....................................................................................................25
4.7.2 Combinaison de NEWMARK ...............................................................................................25

4.8 Avertissement sur les combinaisons.............................................................................................26
4.9 Pratiques réglementaires ..............................................................................................................26

4.9.1 Partition des composantes primaires et secondaires de la réponse ...................................26
4.9.2 Méthode du spectre enveloppe............................................................................................27
5 Bibliographie........................................................................................................................................28
Annexe 1
Réponse transitoire d'un oscillateur simple amorti..................................................29
Annexe 2
Mouvement imposé d'un système à un d.d.l. en translation ...................................31
Annexe 3
Mouvement imposé non périodique d'un système à un d.d.l. .................................33
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1
Notion de spectre d'oscillateur

La méthode spectrale pour l'étude de la réponse d'une structure sous l'effet de mouvements imposés
de type sismique s'appuie sur la notion de spectre d'oscillateur d'un accélérogramme de séisme.

1.1
Mouvement imposé défini par un accélérogramme A (t)

Pour un mouvement imposé s de type sismique, on peut traiter la problème en déplacement absolu
X ou en déplacement relatif x tel que : X = x + s . Les équations générales du mouvement d'un
oscillateur simple s'écrivent alors :


Mouvement absolu
Mouvement relatif

X


s
x


x
m &+ x
c& + kx = - s
m
k
& + & +
= & +

X
m
X
c
kX
s
c
ks
&
m
c




On retient la formulation à partir du mouvement relatif pour deux raisons principales :

·
l'analyse sismique des structures utilise les contraintes induites par les effets inertiels du
séisme, contraintes calculées à partir des déformations de la structures qui s'expriment à
partir des déplacements relatifs ;

·
la caractérisation du signal d'excitation peut se réduire dans ce cas à l'accélérogramme du
séisme s=
& (
A t), grandeur fournie directement par les sismographes. Les signaux de
déplacement s et de vitesse &s ne sont en général pas disponibles dans les bases de
données géotechniques.

Pour la détermination de la réponse d'un oscillateur simple à un mouvement imposé et les notations
conventionnelles on se reportera à l'annexe 2 [R4.05.03 Annexe 2].

L'équation réduite est dans ce cas, si le séisme est défini par un accélérogramme (
A t) , accélération
absolue appliquée à la base :

x+
& 2 x

éq
1.1-1
0 &+
2 x = -s
0
& = - (
A t)

La solution de ce problème est l'intégrale de DUHAMEL présentée à l'annexe A [éq A3.3-1] :

t
x(t) 1
=
(
A )
- t
0 (
)
e
sin (t
- )d f
= ( ,
A ,

-

éq
1.1-2
0 )
0
0
0
=
1-

0
( 2
0
)
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1.2
Spectre d'oscillateur d'un accélérogramme

La notion de spectre d'oscillateur a été introduite initialement pour comparer entre eux les effets de
différents accélérogrammes. Le spectre de FOURIER d'un signal (
A t) renseigne sur son contenu
fréquentiel. La réponse d'un système mécanique à un mouvement imposé à la base dépend largement
des caractéristiques dynamiques de ce système : fréquences propres et amortissement réduit (, .
0 )
L'annexe A détaille cet aspect.

Si l'on souhaite connaître la valeur maximale de la réponse d'un oscillateur simple aux paramètres
( ,A, , on doit évaluer l'intégrale de DUHAMEL qui fournit la réponse de l'oscillateur [éq 1.1-2] à
0 )
une excitation imposée à la base.

Accélérogramme
0.7
0.6
0.4
0.2
0.0
­0.2
Accélération absolue
­0.4
­0.6
­0.7
0
3
6
9
12
15
18
Temps

Figure 1.2-a : Accélérogramme

1.2.1 Spectre d'oscillateur en déplacement relatif

A partir de l'intégrale de DUHAMEL, on peut définir le spectre d'oscillateur d'un accélérogramme
(
A t)comme la fonction des valeurs maximales du déplacement relatif x(t) f
= ( ,
A , pour chaque
0 )
valeur de (, en rappelant que '
=
1-
.
0
( 2
0
)
0 )

Srox( ,
A , = x t
0 )
( )max

t
x(t) 1
=
(
A ) - t
0 (
)
e
sin (t
- )d f
= ( ,
A ,

-
0 )
0
0
0

On constate, sur la figure [Figure 1.2.1-a] qu'au delà d'une certaine fréquence (35 Hz ici), dite
fréquence de coupure du spectre, il n'y a pas d'amplification dynamique significative : le déplacement
relatif est nul.
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Spectre d'oscillateur (Déplacement relatif)
­1
0.1
10
Amortissements croissants
de 0.01 à 0.20
10 ­2
Amortissements
10­3
1%
5 %
Déplacement relatif
10%
20%
10 ­4
10 ­5
1e­05
10 0
10 1
Fréquence

Figure 1.2.1-a : Spectre d'oscillateur en déplacement relatif

1.2.2 Spectre d'oscillateur en pseudo vitesse relative

Pour des structures avec amortissement réduit faible < 2
.
0 =
%
20 , pour lesquelles il est
acceptable d'assimiler 0 et 0 on utilise couramment le spectre de pseudo vitesse défini par :

Srox&( ,
A , = Srox ,
A , = x t

0 )
0
(
0 )
0
( ) max

La pseudo vitesse est la valeur de la vitesse qui donne une valeur de l'énergie cinétique de la masse
de l'oscillateur égale à celle de l'énergie de déformation maximale du ressort :

1
1
1
1
E = m x& t 2
( ) = m Srox& A
2
,,
= m 2
. x t 2
( )
= k x t 2
( )
= E
c
( )
[
(
0 )]
0
p
max
max

2
2
2
2
Spectre d'oscillateur (Pseudo vitesse relative)
0.5
Amortissements croissants
de 0.01 à 0.20
i
ve
­1
10
Amortissements
sse relat
e
1%
5 %
10%
20%
Pseudo vit 10­2
0.004
10 0
10 1
Fréquence

Figure 1.2.2-a : Spectre d'oscillateur en pseudo vitesse relative
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1.2.3 Spectre d'oscillateur en pseudo accélération absolue

De même pour un amortissement réduit faible on peut définir le spectre de pseudo accélération défini
par :
Srox(& ,
A , = Srox ,
A , = x t

0 )
2
0
(
0 )
2
0
( )max

Spectre d'oscillateur (Pseudo accélération absolue)
4
Amortissements croissants
de 0.01 à 0.20
10 0
Amortissements
1%
5 %
10%
20%
Pseudo accélération absolue
­1
10
0.1
1
100
10
Fréquence

Figure 1.2.3-a : Spectre d'oscillateur en pseudo accélération absolue

L'intérêt de ce spectre de pseudo accélération réside dans le fait que S r ox(
& ,
A , est une bonne
0 )
approximation du maximum d'accélération absolue X&(t). En effet, à l'instant où le déplacement relatif
est maximal, la vitesse relative s'annule et l'équation réduite s'écrit x& + 0 + 2
x
= -s ce qui nous
0
max
&
montre que

2
2
X&
= x&+ s&
= x
= Srox ,
A , = S r ox& ,
A ,
0
max
0
(
0 )
(
0 )
max
max

Pour cette raison, ce spectre d'oscillateur est appelé spectre de pseudo accélération absolue.

L'asymptote de ce spectre à haute fréquence (accélération à période nulle) correspond à la réponse
d'un oscillateur de haute fréquence propre, c'est-à-dire très rigide. Dans ce cas, la masse tend à suivre
intégralement le mouvement imposé de la base. Cette asymptote correspond donc à l'accélération
maximale
(
A t)
du mouvement imposé (sol ou point d'accrochage de l'oscillateur). Elle est
max
atteinte en pratique à partir de la fréquence de coupure du spectre. Pour cette raison, on dit qu'un
accélérogramme est calé, par exemple, sur 0.15 g, quand son amplitude maximale et son spectre
d'oscillateur de pseudo accélération absolue à période nulle sont égaux à 0.15 g.

1.3
Détermination du spectre d'oscillateur

La détermination du spectre d'oscillateur d'un accélérogramme (
A t) est disponible dans l'opérateur
CALC_FONCTION [U6.62.04] avec le mot clé SPEC_OSCI : il est obtenu par intégration numérique de
l'équation de DUHAMEL par la méthode de NIGAM [R5.05.01]. Cette commande fournit le spectre de
pseudo accélération absolue et, sur demande, le spectre de pseudo vitesse ou le spectre de
déplacement relatif.
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1.4
Représentation et utilisation des spectres d'oscillateurs

1.4.1 Représentation tri logarithmique

Les spectres de réponse d'oscillateur sont couramment représentés par des graphiques tri
logarithmiques qui permettent de lire sur un seul graphique les trois grandeurs : le déplacement relatif,
la pseudo vitesse relative, la pseudo accélération absolue.

Cette représentation est obtenu en traçant le spectre de pseudo vitesse relative Srox& en
coordonnées log-log telles que log Srox& = f (log ) sur lequel on reporte deux graduations
0
complémentaires à ± 45° si l'échelle des graduations logarithmiques est la même sur les deux axes :

·
une graduation logarithmique à +45° pour mesurer les déplacements relatifs
log Srox = log( Srox& = log Srox& + log
0
)
0
·
une graduation logarithmique à pour mesurer les accélérations absolues
Srox
log Srox = log
&
&
= log Srox& - log 0



0


10
Vitesse m/s 10
103
1
Déplacement m
f = 3 Hz
Ý
x f= 1
= 3 Hz
m / s
1
x& = 1 m / s
x = Ý
x = 1 = 0.05305
A
x&
1
c 1
­1
c

6
0 2
é
x =
=
= 05305
.
0

10
rat

6
io
Ý
n
x = Ý
x = 6 = 18.849
ms­2
x& = x = 6 =
849
.
18
10­1
10
10­2
1
10
Fréquence Hz
­3
1
10
3 Hz

Figure 1.4.1-a : Représentation tri logarithmique

1.4.2 Utilisation des spectres d'oscillateurs

Pour évaluer la réponse maximale d'un oscillateur modal (
,
à un accélérogramme (
A t), on
i
i )
utilise le spectre de pseudo accélération absolue.
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Il est représenté dans le Code_Aster, par une nappe constituée de plusieurs fonctions
Srox& = f ( freq) à = cte
n
.

On utilise une interpolation linéaire sur l'amortissement réduit pour < <
car l'amplification
n
i
n 1
+
x
1
dynamique à la résonance pour = (soit = 1) est égale à m =
[éq A2.2-3].
0
s

2
0
i

La variation du module de la réponse au voisinage de la résonance justifie également une interpolation
logarithmique pour < <
. Le spectre d'oscillateur doit être représenté avec une
m
i
m 1
+
discrétisation en fréquence suffisamment fine pour limiter les effets de l'interpolation.

1.5
Spectres d'oscillateurs utilisés pour des études

Pour les études d'installations industrielles, telles que les centrales nucléaires, l'analyse sismique
conduit à établir plusieurs modèles :

·
un modèle du génie civil de conception des bâtiments pour déterminer :
-
les sollicitations accidentelles pour le calcul des ossatures de ces bâtiments ;
-
les mouvements imposés aux points d'accrochage des équipements (cuve de réacteur,
appuis des réseaux de tuyauteries, armoires électriques, ..) à différents niveaux des
bâtiments ;
·
des modèles d'étude de vérification de chaque équipement soumis aux mouvements imposés
amplifiés par le comportement dynamique des bâtiments.

1.5.1 Spectre de sol de conception et vérification des bâtiments

A ce stade, les équipements ne sont connus que comme des surcharges inertielles et l'on peut
admettre qu'ils n'apportent aucune rigidité au bâtiment. Les structures sont dans ce cas soumises à un
spectre de sol.

Le contenu fréquentiel d'un spectre d'oscillateur reflète celui de l'accélérogramme utilisé et est donc
"marqué" par les propriétés du sol au lieu d'enregistrement. Pour élaborer le spectre de sol au stade
du projet, il est donc recommandé d'établir les spectres d'oscillateurs pour plusieurs accélérogrammes
et de construire un spectre enveloppe qui lisse les anti résonances.

Spectre d'oscillateur d'un accélérogramme et le spectre de sol associé
10 0
1
Représentation
tri logarithmique
10 ­1
Amortissement 1%
10­2
Pseudo_vitesse_relative
0.001
10 ­3
1
10­1
10 0
10
10 2
Fréquence

Figure 1.5.1-a : Spectre de sol pour un projet
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Remarque :

Dans de nombreux cas on ne connaît pas le mouvement de rotation imposé par le séisme,
puisque les accélérogrammes de séismes connus sont issus d'enregistrements de sismo-
graphes, capteurs à un degré de liberté de translation.


1.5.2 Spectre de plancher de vérification des équipements

L'étude du comportement dynamique des équipements soumis aux mouvements imposés par la
structure support aux points d'appuis est possible à partir des accélérogrammes de réponse en ces
points, résultats de l'analyse transitoire du comportement du bâtiment : ces accélérogrammes, dits de
plancher, permettent de construire des spectres de planchers.

Pour une vérification de l'équipement, on peut se limiter à une analyse spectrale à partir des spectres
de plancher et des déplacements différentiels imposés aux appuis.

Les spectres de plancher sont représentatifs de l'amplification dynamique apportée par la structure
support : un lissage du spectre peut être utile pour prendre en considération l'incertitude sur la position
des fréquences propres du bâtiment, mais on veillera à conserver des marges réalistes, puisque le
spectre de sol est déjà un majorant de la sollicitation sismique. Le spectre d'oscillateur doit être
représenté avec une discrétisation en fréquence suffisamment fine pour "capter" les résonances de la
structure.

Remarque :

Des techniques de détermination directe des spectres de planchers, à partir du spectre de sol et
des modes de la structures ont été mises au point [bib1], mais ne sont pas disponibles
actuellement dans le Code_Aster.



2
Réponse sismique par recombinaison modale

2.1
Rappels de la formulation

La méthode spectrale d'analyse sismique s'appuie sur la formulation de la réponse dynamique
transitoire par recombinaison modale présentée dans les documents "Méthodes de RITZ en
dynamique linéaire et non linéaire" [R5.06.01] et "Analyse sismique par méthode directe ou
recombinaison modale" [R4.05.01].

Résumons les principes de la démarche détaillée dans la note [R4.05.01] pour une structure
représentée sous forme discrétisée par le système matriciel :

MU& + CU& + KU = F(t)
éq
2.1-1

Notations en mouvement absolu

U représente toutes les composantes du mouvement (ddl de structure et ddl soumis à un
X
mouvement imposé) : on les sépare sous la forme U = s . Les opérateurs décrivant la
k
k xs
c
cxs
m
mxs
structure deviennent : K =
C =
M =

k
k
c
c
m
m
sx
ss
sx
ss
sx
ss

Le problème en mouvement relatif de la structure par rapport aux appuis avec la décomposition
Mouvement absolu = Mouvement relatif + Mouvement d'entraînement conduit à introduire le
changement de variable U = u + E .
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Notations en mouvement relatif

u représente toutes les composantes du mouvement (ddl de structure et ddl soumis à un
x
mouvement imposé) qui s'écrit, avec la partition précédente, u = 0 . La partition des
composantes d'entraînement donne, en exprimant l'entraînement des ddl de structure comme une

es
combinaison liéaire des mouvements imposés aux appuis, E = s

Hypothèse

On suppose qu'aucune force d'excitation n'est appliquée sur les d.d.l. de structure ce qui réduit le
0
second membre F(t) , avec la même partition à F = r

Le passage du mouvement absolu au mouvement relatif peut s'écrire en introduisant l'opérateur de
passage :

X
x es
x
I e
U =
u E



avec

s = + = 0 + s =

s
= 0 I



Le système [éq. 2.1-1] prend alors la forme générale :

x&
x&
x
0
T

+ T C
+ T K
= T
M



éq
2.1-2
s&

s&

s

r

2.1.1 Mouvement imposé unique : mono appui

Le mouvement d'entraînement correspond alors à un mouvement de corps solide : le vecteur
d'entraînement en tout point de la structure peut s'exprimer comme une combinaison linéaire R s
des composantes de déplacement imposé au centre de gravité de la fondation, où les R est la
matrice des modes de corps rigide de la structure réduits aux ddl de structure, ce qui conduit à :

X

x


R s
U = s = 0
+ s
I

=
R
0


I



Les propriétés des modes de corps rigide Cf. [R4.05.01] conduisent à :

k 0
c 0

m
m + m
R

T K =
T C =
T M
xs
= T

0 0
0 0




m + m
m
R
sx
R


ce qui permet bien de découpler le système [éq 2.1-2]

m x&+c x&+k x = - m (
+ m-

m
1
R
xs ) s
& éq
2.1.1-1

Dans ce cas la transformation met bien en évidence l'effet inertiel du chargement sismique.
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Titre :

Réponse sismique par méthode spectrale


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J.R. LEVESQUE, L. VIVAN, D. SELIGMANN, Y. PONS Clé : R4.05.03-B Page
: 12/34


2.1.2 Mouvement imposé multiple : multi appuis

Cette situation correspond à un nombre discret de points de liaison de la structure à des appuis
soumis à des déplacements imposés différents. Dans ce cas, la diagonalisation du terme de rigigité
est acquise en imposant :

k
k 0
xs
S


=
d' ou k + k
= 0
soit = - k -1 k
éq 2.1.2-1
k
k
I
r
S
xs
S
xs
sx
ss


La matrice S regroupe 6. nappuis modes statiques pour les modèles de structures et 3 fois le nombre
d'appuis pour les modèles de milieux continus. Chaque mode statique
1
S = -
-
k
k
j
xs est un mode
j
d'attache, correspondant à un déplacement imposé unitaire sur une composante d'appui, les autres
composantes étant nulles, et produit par l'opérateur MODE_STATIQUE [U4.52.14].

Le changement de repère peut alors s'exprimer par :



X
X

x
S s
U = s = 0
+ s
x
I
S
= 0 I
s 1
s 2

m
m

S + m
T M =
xs

TS m+ msx
mS




Concernant les termes d'amortissement, le découplage n'est acquis que si l'amortissement est
proportionnel à la rigidité, hypothèse couramment admise, mais n'était pas nécessaire avec les modes
rigides.

Ceci permet bien de découpler le système [éq 2.1-2]

mx& + cx& + kx = m
- (
m m
1
-
+
S
xs )s&
éq
2.1.2-2

Cette formulation doit être interprétée comme la décomposition du mouvement de la structure en un
mouvement d'entraînement correspondant à une déformée statique instantanée (déplacement
différentiel des appuis) et un mouvement relatif correspondant aux effets inertiels autour de cette
nouvelle déformée statique.

Cette interprétation est conforme au classement des sollicitations définies par les règles de
construction (ASME, RCC-M) :

·
les contraintes induites par le mouvement relatif sont, comme pour les sollicitations statiques,
des contraintes primaires (effets d'inertie),
·
les contraintes induites par les déplacements différentiels des appuis qui sont elles classées
en contraintes secondaires.
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2.1.3 Résumé

Les équations [éq 2.1.1-1] et [éq 2.1.2-2] conduisent à la forme générale

mz& + cz& + kz -
= m( + m- m
1
X
xs )s& = -
s
O
m &
éq
2.1.3-1

Les termes mxs correspondent aux termes de couplage de la matrice de masse avec les degrés de
liberté d'appui : cette fraction de la masse totale est très faible et il est justifié de la négliger. Rappelons
que ce terme est effectivement nul pour les modèles de structures dont la matrice de masse est
diagonale : modèles masse - ressort, modèles avec éléments de type "lumped mass".

Dans ce cas, on obtient les formules simplifiées :

·
mono appui : O =

R
R sont les six modes de corps solide
·
multi appuis : O =

S
S sont les 6 n appuis modes d'attache

Le second membre - m O est construit par l'opérateur CALC_CHAR_SEISME [U4.63.01].

2.2
Réponse en base modale

2.2.1 Réponse temporelle d'un oscillateur modal

Si la structure étudiée est représentée par son spectre de modes propres réels à basse fréquence
en base encastrée, solution de (
2
K -
M
) = 0 ou de (
2
k - m ) = 0 on peut introduire une
nouvelle transformation x = q et le système d'équations [éq 2.1.3-1] s'écrit, en utilisant la matrice
de facteurs de participation modaux P

T c
2
T mO
q& +
q

éq
2.2.1-1
T
& + q = -
s
T
& = -Ps&
m
m
Hypothèse :

Pour des études industrielles relevant de l'analyse sismique par méthode spectrale, on se limite
au cas de l'amortissement proportionnel, dit de RAYLEIGH, pour lequel on peut diagonaliser le

T c
terme
=
2 . L'amortissement est alors représenté par un amortissement modal
T m
i ,
éventuellement différent pour chaque mode propre [R4.05.01].

Chaque mode propre, caractérisé par les paramètres ( ,
i
i ) est assimilé à un oscillateur simple
dont le comportement est représenté dans le cas général par

q& + q& + 2
2
q = - Ps éq
2.2.1-2
i
i
i
i
i
i
( )&i

Rappelons que les &&s sont des accélérations d'entrainement.
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2.2.2 Facteur de participation modal en mono appui

Lorsque le mouvement d'entraînement est unique, [éq 2.2.1-2] devient

q& + q& + 2
2
q = - p s
éq
2.2.2-1
i
i
i
i
i
i
i &
avec
T
T
mO m
i
i
p
R
=
=
éq
2.2.2-2
i
T
m
µ
i
i
i
où µi est la masse modale généralisée, qui dépend de la normalisation du mode propre. Énonçons
quelques propriétés des facteurs de participation modale pi dans le cas des modes rigides de
translation, mais extensibles aux modes de rotation.

·
Un mode RX , que nous noterons X , pour rappeler que les composantes dans la direction
X sont unitaires, appartient à l'espace de dimension N degrés de liberté dont les N
modes propres constituent une base dans laquelle =
X
i i .
i
A partir des propriétés d'orthogonalité des modes propres T m = µ
i
i
i ij , on identifie les
coefficients i aux facteurs de participation modale piX dans la direction X et

= p
X
iX
i
éq
2.2.2-3
i
·
De plus T m
X
X =
T
m masse totale de la structure ce qui conduit à :

2
p µ
T
T
2
2


m
=
p p

m
p µ et m
p µ ou
éq 2.2.2-4
X
X

=
iX
jX
j
i

=
iX
i
T
iX i iX i =1
ij
ij
ij
ij
mT

Le paramètre modal pi dépend de la norme du mode propre et est accessible, pour chaque mode
X
propre dans le concept résultat de type mode_meca [U5.01.23] sous le nom FACT_PARTICI_DX ; de
même p2iX i
µ , indépendant de la norme, est accessible sous le nom de MASS_EFFE_UN_DX.

2.2.3 Facteur de participation modal en multi appuis

Pour un mouvement imposé multiple, [éq 2.2.1-2] devient :

q& + q& + 2
2
q = -
p s
éq
2.2.3-1
i
i
i
i
i
i
ij &j
j
avec
T
T
mO m
i
i
S j
p =
=
éq
2.2.3-2
ij
T
m
µ
i
i
i

où µi est la masse modale généralisée, qui dépend de la normalisation du mode propre et les pij
peuvent être considérés comme des facteurs de participation relatifs au mode i et à une direction j
de mouvement imposé d'un appui.
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Comme précédemment, on peut établir [bib4] les deux propriétés


= p et T m = p2 µ
S j
ij
i
S j
S j
ij
i
éq
2.2.3-3
i
i

On ne fait, à ce stade, aucune hypothèse de dépendance entre les différents termes pij . Rappelons
que les composantes &sj expriment l'accélération d'entrainement appliquée à une direction d'appui j .
Les facteurs de participation pij ne sont pas construits indépendamment et n'apparaissent que
comme variables intermédiaires dans la commande COMB_SISM_MODAL [U4.84.01].


3
Réponse sismique par méthode spectrale

La méthode spectrale est une technique approchée d'évaluation du maximum de la réponse de la
structure à partir des maximums de réponse de chaque oscillateur modal lus sur le spectre
d'oscillateur de l'excitation.

3.1
Réponse spectrale d'un oscillateur modal en mono appui

La réponse maximale en déplacement relatif d'un oscillateur modal ( ,
i
i ) pour une direction X est
déterminée en lisant sur un spectre d'oscillateur de pseudo accélération absolue Cf. [§1.4.2] la valeur
de la pseudo accélération absolue a
= Sro x& ( A
2
iX
X
,i, i
) et en divisant par i d'où :

Sro x&X ( A,i, i
) a
q
iX
iX max =
=
2
2 éq
3.1-1
i

i


La contribution de cet oscillateur au déplacement relatif de la structure pour la composante xk
dépend du facteur de participation et de la composante k
i dans l'espace physique :

a
xk
k
= p q
k
= p
iX
iX max
i
iX
iX max
i
iX
i
2

éq
3.1-2

et la contribution à la pseudo accélération absolue &xk est de même &xk
k
max =
p a
iX
i
iX
iX .
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3.2
Réponse spectrale d'un oscillateur modal en multi appuis

On procède de la même manière pour déterminer, à partir de la valeur lue &S jX sur le spectre
d'oscillateur de pseudo accélération absolue associé à &sj , la contribution de l'appui j dans la
direction X :
Sro s&j ( A, i
, i
) S&
q
jX
iX max j =
=
2
2
éq
3.2-1
i

i

L'expression de la contribution de cet oscillateur au déplacement relatif de la structure pour la
composante xk dans l'espace physique et pour un mouvement imposé j devient :

S&
xk
k
= p
q
k
= p
jX
iX max j
i
ijX
iX max j
i
ijX
i
2 éq
3.2-2

3.3
Généralisation à d'autres grandeurs

Remarque :

La méthode d'analyse spectrale est strictement limitée aux grandeurs dépendant linéairement des
déplacements en élasticité linéaire : déformations, contraintes, efforts généralisés, forces nodales,
réactions d'appuis.
Notamment elle ne peut s'appliquer à des grandeurs équivalentes de déformation ou de
contraintes (VON MISES).


Pour chaque grandeur Rk , composante d'un champ par éléments il est possible de calculer la
composante modale r k
i associées au mode propre i ce qui conduit à

a
Rk
= rk p q
= rk p
iX
iX max
i
iX
iX max
i
iX
i
2

éq
3.3-1
ou
S&
Rk
= rk p
q
= rk p
jX
iX max j
i
ijX
iX max j
i
ijX
i
2 éq
3.3-2

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4
Règles de combinaison des réponses modales

Pour évaluer un majorant de la réponse R de la structure, on doit maintenant combiner les réponses
modales Rkimax définies précédemment. Plusieurs niveaux de combinaison sont nécessaires :

·
combinaison des modes propres retenus,
·
correction statique par pseudo mode,
·
effet des excitations différentes appliquées à des groupes d'appuis,
·
combinaison suivant les directions d'excitation séisme.

4.1
Direction du séisme et réponse directionnelle

Différentes considérations conduisent à étudier le comportement sismique séparément suivant chaque
direction de l'espace :

·
pour l'étude d'un bâtiment sur un sol, l'accélérogramme du mouvement imposé verticalement
est différent de celui décrivant le mouvement horizontal, lui même différent suivant deux
directions orthogonales de l'espace ;
·
pour l'étude d'un équipement, les spectres de plancher diffèrent significativement suivant les
trois directions de l'espace, puisqu'ils intègrent les participations de différents modes du
bâtiment (flexion de planchers, flexion ou torsion de l'ossature, ..).

Ceci conduit à établir une réponse modale directionnelle RX à partir de spectres d'oscillateur
différents et de facteurs de participation modale établi dans chaque direction X représentant une des
directions du repère GLOBAL de définition du maillage ( X , Y ou Z ) ou une direction particulière
définie explicitement par l'utilisateur.

4.2
Choix des modes propres à combiner

Pour représenter correctement les modes de déformation susceptibles d'être excités par le
mouvement imposé, il faudrait connaître tous les modes propres de fréquence inférieure à la
fréquence de coupure du spectre, au delà de laquelle il n'y a pas d'amplification dynamique
significative. Cette condition peut s'avérer difficile à remplir pour les structures complexes ayant un
grand nombres de modes propres.

La taille de la base modale nécessaire doit donc être évaluée pour s'assurer qu'aucun mode ayant une
contribution importante dans les efforts internes et les contraintes n'a pas été omis dans chaque
direction étudiée.

4.2.1 Expression de l'énergie de déformation modale

1
L'énergie de déformation associée à chaque mode propre U
T
i =
xi
k x
max
i
2
max peut être exprimée
pour une direction particulière

2
2
1
a
1
a
1 a2
U
= p iX
T
k = p
iX
2
iX
µ =
p2
iX
i
µ
2
i
i
iX
2
i
i
2
iX
i
éq
4.2.1-1
2

2

2
i

i
i


Cette expression correspond à une excitation mono appui et peut s'étendre au cas du multi appuis.

Le classement des modes avec des énergies de déformation décroissantes permet de ne pas retenir
systématiquement, pour une étude globale de la structure, des modes qui ne produisent pas de
déformations significatives. Par contre, pour l'étude de l'effet des sollicitations dans une zone
particulière de la structure, il sera nécessaire d'utiliser les modes "locaux" qui peuvent être détectés
par une analyse de la répartition de l'énergie de déformation sur des groupes de maille.

Notons que l'on ne dispose pas d'une estimation de l'énergie de déformation totale pour quantifier
l'erreur commise en ignorant certains modes.
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4.2.2 Expression de l'énergie cinétique modale

1
L'énergie cinétique associée à chaque mode propre s'écrit V
T
i =
ximax m xi
qui donne
2 &
& max

1
a 2
1 a2
V
= p
iX
T
iX
m =
p2
iX
iX
i
i
µ
2
iX
i
éq
4.2.2-1
2
i
2 i

L'expression [éq 4.2.2-1] fait intervenir la masse modale effective p2iX i
µ définie au [§2.2] ce qui
permet d'énoncer le critère de cumul des masses modales effectives unitaires [éq 2.2.2-4]

Critère de cumul des masses modales effectives

La qualité d'une base modale, du point de vue de la représentation des propriétés inertielles de la
structure, est évaluée en cumulant, pour cette direction, les masses modales effectives unitaires
des modes disponibles. Un seuil d'admissibilité de 95% de la masse totale est couramment admis.
Le même critère peut s'appliquer partiellement dans le cas d'une excitation multi appuis avec n

T
n
modes en comparant
m
et
p2
µ
S j
S j
ij
i .
i

Estimation de l'erreur commise avec une base modale incomplète

Le critère de cumul des masses modales effectives ne peut pas toujours être satisfait. En effet on se
limite en général à une base modale de n modes propres avec n modes << N ddl. Pour des
fondations rigides, le spectre des fréquences propres nécessaires dépasse couramment la fréquence
de coupure du spectre d'oscillateur.

A partir de l'expression [éq 4.2.2-1] on peut écrire l'énergie cinétique totale sous la forme

n
N
V = V + V
X
iX
iX
1
1


qui permet d'exprimer l'erreur absolue à partir de [éq 3.1-1]

N
N
2
2
a
a
N
( +
2
iX
2
n 1) X
2
V = V =
p µ

p
X
iX
µ
2
iX
i
2
iX
i



n 1
+
n 1
+
i
i
n 1
+

en notant a
= Sro x
(
)
1
& ( A
n
X
X
, m
in,
+
n
+1) la valeur lue sur le spectre de pseudo accélération
absolue pour
n
n+1 et l'amortissement modal le plus faible min susceptible de donner
l'amplitude majorante. Si la fréquence maximale de la base fn dépasse la fréquence de coupure alors
a
= a
= (
A t)
(n+ )
1 X
nX
max . Ceci donne un majorant de l'erreur absolue

1 a2
N
2
(
1)
1 a
n



n+ X
(n+1) X
V
2
2
µ
µ
2
p
=
m -
2
p

X
iX
i
T
iX
i

éq
4.2.2-2
2

2
i
n+1
i

1

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4.2.3 Conclusion

Les grandeurs permettant de choisir les modes nécessaires à chaque analyse sont disponibles dans
le Code_Aster (opérateur POST_ELEM avec les options MASS_INER, ENER_POT et ENER_CIN et
paramètres modaux FACT_PARTICI_DX et MASS_EFFE_UN_DX dans le concept résultat de type
mode_meca [U5.01.23]).

Aucun critère d'admissibilité automatique n'est programmé actuellement et les grandeurs
n
T m et p2 µ
Sj
Sj
ij
i ,nécessaires à la vérification du critère pour une excitation multi appuis, ne
1
sont pas imprimées.

4.3
Correction statique par pseudo-mode

4.3.1 Mono
appui

L'évaluation d'un majorant de la réponse à une excitation sismique nécessite, comme le suggère
l'analyse précédente, une correction par un terme représentant la contribution statique des modes
propres négligés.

Si l'on soumet la structure à une accélération uniforme quasi-statique dans la direction X , la réponse
aX est solution de k = m I
aX
X
, sans amplification dynamique. Le champ de déplacement
aX des noeuds de la structure soumise à une accélération uniforme dans chaque direction est
produit par l'opérateur MODE_STATIQUE [U4.52.14] avec le mot clé PSEUDO_MODE.

En décomposant cette déformée sur la base des modes propres on obtient cf. [§2.2.2]

N
N
N p
k
= m p d'où = k-1 m p
iX
=

aX
iX
i
aX
iX
i

2 i
1
1
1
i

Ceci permet d'introduire un pseudo-mode cX , pour chaque direction, en soustrayant au mode quasi
statique a X les contributions statiques des modes utilisés i

n p

=
iX
-

cX
aX


éq
4.3.1-1
1 2
i
i

n


L'expression [éq 4.3.1-1] est homologue du terme m -
p µ
2
T
iX
i de l'[éq 4.2.2-2] et le pseudo

1

mode permet de compléter la base incomplète de modes propres pour introduire une correction des
effets statiques des modes négligés. La contribution du pseudo mode est la valeur lue sur le spectre
de pseudo accélération absolue a
= Sro x
(
)
& ( A
n
X
X
, m
in, n
),
+
+
pour
n

1
1
n
+1 et
l'amortissement modal le plus faible min .

La correction à apporter aux déplacements relatifs et aux grandeurs qui s'en déduisent (efforts
généralisés, contraintes, réactions d'appuis) en excitation mono appui est alors k
k
x
= a

cX
cX
(n+ )
1 X
conformément aux conditions d'estimation de l'erreur Cf. [§ 4.2.2].
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Pour l'évaluation de la correction d'accélération absolue on obtient :

k
n


k
x& = -

cX
X
piX i a(n+ )1X




1


4.3.2 Multi
appuis

En excitation multi appuis, la formulation du pseudo mode et de sa contribution reprennent le principe
précèdent.
Le champ de déplacement
k 1
-
=
m
des noeuds de la structure soumise à une accélération
ajX
SjX
unitaire de l'appui j dans la direction X est produit par l'opérateur MODE_STATIQUE [U4.52.14] avec le
mot clé PSEUDO_MODE.
La correction à apporter aux déplacements relatifs et aux grandeurs qui s'en déduisent s'écrit alors
pour l'appui j dans la direction X :
n P
x
ijX
i
cjX = cjX a(n+ )
1 jX avec
=
-
cjX
ajX


2
1
i
Pour l'accélération absolue, la correction s'écrit :
n


&
=
-

cjX
x
SjX
i ijX
P
a(n+ )1 jX




1


4.4
Généralités sur les règles de combinaison

Les règles de combinaison ou de cumul des différentes composantes, modales ou directionnelles,
sont multiples et plus ou moins complexes à mettre en oeuvre.

On présente les méthodes "naturelles" du point de vue de leur aptitude à fournir un majorant réaliste
des sollicitations induites dans une structure représentée par une base de modes propres réels issus
d'un modèle en élasticité linéaire, majorant estimé sans analyse transitoire pour une grandeur de
composante Gk , que l'on nommera Gkmax . Pour la suite le suffixe max désigne l'estimation de la
valeur maximale atteinte au cours de l'excitation sismique, en ignorant l'instant où elle a été atteinte) et
l'indice r s'applique à des modes propres, des pseudo modes, des directions d'appuis, ...

Remarque :

Quelle que soit la méthode de combinaison utilisée, la valeur d'une composante obtenue par
combinaison ne peut servir de donnée pour calculer une nouvelle grandeur : par exemple le calcul
d'un majorant d'un déplacement différentiel entre deux points doit être calculé mode par mode,
puis combiné.


4.4.1 Combinaison
arithmétique

Gk
= Gk
max
r max
r
Elle n'est pas utilisable puisque la méthode spectrale fait abstraction des instants où les valeurs
maximales sont atteintes dans deux directions ou pour deux modes différents. Aucune relation de
phase, et donc de signe, n'existe entre les contributions à combiner. Elles n'est donc disponible que
dans le cas des déplacements différentiels en multi appui.
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4.4.2 Combinaison en valeur absolue

Gk
= Gk
max
r max
r
De façon évidente, elle peut fournir une borne supérieure, puisqu'elle suppose que toutes les
contributions atteignent leur maximum au même instant avec le même signe. Trop pénalisante, elle est
disponible, mais inutilisable industriellement.

4.4.3 Combinaison quadratique simple

Cette méthode est aussi connue sous la dénomination SRSS (Square Root of Sum of Squares).

2
Gkmax = (Gkrmax)
r
Hypothèse :

L'hypothèse qui justifie cette méthode de combinaison peut s'énoncer :
le maximum probable de l'énergie stockée dans la structure est la somme des maximums
probables de l'énergie stockée sur chacun des modes et sur chacune des composantes
directionnelles du séisme, c'est-à-dire que vis à vis de l'énergie, les modes propres et les
composantes du séisme sont découplés. Elles est analogue à la règle d'addition des variables
aléatoires gaussiennes et à moyenne nulle.


La validité de cette hypothèse, qui sera discutée pour chaque cas particulier d'utilisation de cette
méthode de combinaison, n'est pas établie et diverses propositions ont été présentées pour obtenir
une meilleure approximation dans les cas où elle est mise en défaut cf. [§3.4.1.2] suivants.

Par ailleurs, on pourra se reporter à [bib3] pour une critique de cette approche, notamment de son
aptitude à estimer un maximum probable des déformations et des contraintes, mais l'approche
alternative qu'elle évoque n'a fait l'objet d'aucun développement dans le Code_Aster.

4.5
Etablissement de la réponse directionnelle en mono appui

La réponse directionnelle, définie précédemment, est obtenue par combinaison quadratique simple de
deux termes que nous allons discuter :
R = R2 + R2
X
m
c

Rm réponse combinée des oscillateurs modaux
Rc contribution de la correction statique des modes négligés (pseudo mode)

Les hypothèses justifiant la méthode de combinaison quadratique simple, à ce niveau, ne semblent
pas devoir être remises en cause [bib1]. Pour simplifier les notations on note Rm au lieu de RmX , ...

4.5.1 Réponse combinée des oscillateurs modaux

La réponse de la structure Rm , dans une direction de séisme, est obtenue par une des combinaisons
possibles des contributions de chacun des modes propres pris en considération pour cette direction.
Le nombre de méthodes possibles prouve simplement la difficulté de dégager une justification
suffisante pour garantir un estimation conservative et réaliste. Si la combinaison quadratique simple
(SRSS ou CQS) est évoquée par tous, on retiendra de [bib1] qu'elle est souvent mise en défaut et on
lui préférera la combinaison quadratique complète (CQC). Les autres méthodes sont disponibles pour
des comparaisons éventuelles.
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4.5.1.1 Somme des valeurs absolues

Cette combinaison correspond à une hypothèse de dépendance complète des oscillateurs associés à
chaque mode propre et conduit à un surévaluation systématique de la réponse :

n
R =
R
m
i
i

4.5.1.2 Combinaison quadratique simple (CQS)

En considérant que la contribution de chaque oscillateur modal est une variable aléatoire
indépendante, une estimation de la réponse maximale, pour la composante de déplacement xkmax ,
peut être obtenue par combinaison quadratique simple des contributions de chaque mode d'où, pour
une excitation mono appui :

n
2
n


2
xk
= xk
k

max
i max



=
( p q
i
i i max )
éq
4.5.1.2-1
i
i

D'une manière générale, pour toute grandeur Ri associée à un oscillateur modal ( , )
i
i .

n
R = R2
m
i
i

Elle constitue une bonne approximation de la réalité quand le spectre d'oscillateur définissant le
séisme est à large bande de fréquences et où les modes propres de la structure sont bien séparés les
uns des autres et se situent à l'intérieur ou au voisinage de cette bande. Elle est notamment mise en
défaut dans le cas où des modes propres sont à des fréquences voisines ou pour des modes éloignés
du pic d'excitation. [bib2]. Les autres méthodes de combinaison des réponses modales tentent de
corriger ce point.

4.5.1.3 Combinaison quadratique complète (CQC)

La combinaison quadratique complète (établie par DER KIUREGHIAN [bib5]) apporte une correction à
la règle précédente en introduisant des coefficients de corrélation dépendant des amortissements et
des distances entre modes propres voisins :

R = R R
m
i i
i
i
1 2
1
2
i
i
1
2
avec le coefficient de corrélation :

8
( + )
i j i
j
i i
j
j
i
j
ij =

2
(
- 2 2
) +
4 2
(
+ 2) + 4 2
(
+ 2
)

2 2
i
j
i j i
j
i
j
i
j
i
j

ou en introduisant le rapport de pulsation ou de fréquences entre deux modes = /
j
i


8

( + )

i j
i
j
ij = 1
( - 2 2
) +
4 1
( + 2 ) +
4 2 2
(
+ 2
i j
i
j )
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et pour constant
8 2 1
( + )
ij =

1
( - 2 2
) + 4 2 1
( + 2 ) + 8 2 2

4.5.1.4 Combinaison de ROSENBLUETH

Cette règle (proposée par E. ROSENBLUETH et J. ELORDY [bib6]) introduit une corrélation entre
modes, différente de celle de la méthode CQC. Les réponses des oscillateurs sont combinées par
double somme (Double Sum Combination) :

Rm = R R
1
i 2i 1i 2i
1
i
2
i


Elle nécessite une donnée supplémentaire, la durée s de la phase "forte" du séisme. Le coefficient de
corrélation est alors :


-1

' -'
2
2


i
j
= 1+

où '
1 2' et '

ij



' + '
i
i
i
i
i

=
-
=
+ s
i
i
j
j
i



4.5.1.5 Combinaison avec règle des 10%

Les modes voisins (dont les fréquences différent de moins de 10%) sont d'abord combinés par
sommation des valeurs absolues. Les valeurs résultant de cette première combinaison sont ensuite
combinées quadratiquement (combinaison quadratique simple). Cette méthode a été proposée par le
règlement américain U.S. Nuclear Regulatory Commission (Regulatory Guide 1.92 - Février 1976)
pour atténuer le conservatisme de la méthode de somme des valeurs absolues. Elle reste en défaut
pour des structures avec un spectre de fréquences propres dense et ne devrait plus être utilisée.

4.5.2 Contribution de la correction statique des modes négligés

La contribution du pseudo mode Cf. [§4.3.1] peut être combinée quadratiquement car l'indépendance
avec les contributions des modes de vibration n'est pas contestée.

4.6
Etablissement de la réponse directionnelle en multi appuis

4.6.1 Calcul de la réponse globale

Dans ce cas, on retient comme ordre des combinaisons une démarche analogue à celle retenue pour
l'excitation mono appui sans que cela soit complètement justifié.

On établit les réponses directionnelles pour chaque mouvement &sj appliqué : on notera RjX le
résultat de cette combinaison. Pour obtenir cette réponse directionnelle il faudra donc une nouvelle
étape de combinaison en tenant compte de la dépendance ou de l'indépendance des &sj .

Le schéma de traitement devient :

·
pour chaque mouvement imposé &sj calcul des réponses directionnelles
R
= R2 + R2 + R2
jX
mj
cj
ej

Rmj réponse combinée des oscillateurs modaux
Rcj contribution de la correction statique des modes négligés (pseudo mode)
Rej contribution du mouvement d'entraînement de l'appui j

·
combinaison des réponses R jX
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4.6.2 Calcul séparé des composantes primaire et secondaire de la réponse

Chaque composante fait l'objet d'un traitement séparé similaire. Cette démarche est adaptée aux post
traitement RCC-M en vigueur pour l'analyse sismique des tuyauteries [§ 4.9] :

composante primaire RIX (réponse inertielle) :

·
pour chaque mouvement imposé &sj calcul des réponses directionnelles
R
= R2 + R2
I j X
mj
cj

Rmj réponse combinée des oscillateurs modaux
Rcj contribution de la correction statique des modes négligés (pseudo mode)

·
combinaison des réponses RI j X

composante secondaire RII (réponse quasi statique) :

·
combinaison des réponses Rej

4.6.3 Réponse combinée des oscillateurs modaux

La réponse de la structure Rmj , dans une direction de séisme, est obtenue par une des combinaisons
possibles des contributions de chacun des modes propres pris en considération pour cette direction.
Le critère de choix de la méthode de combinaison des contributions des modes est le même que pour
une excitation mono appui et on utilisera préférentiellement la méthode CQC.

4.6.4 Contribution du pseudo mode

Le terme correctif par pseudo mode Cf. [§4.3.2] peut être combiné quadratiquement.

4.6.5 Contribution des mouvements d'entraînement

Le mouvement d'entraînement de la structure n'étant pas uniforme, on peut rajouter un terme au calcul
de la réponse directionnelle. Ceci n'est pas nécessaire si l'on choisit de considérer cette contribution
statique comme un cas de charge spécifique induisant des contraintes secondaires. Ce terme est
défini à partir du déplacement relatif maximal qui ne peut être connu à partir des seuls spectres de
pseudo accélération absolue des appuis.

Rej = j
S
j max

Sj
mode statique pour l'appui j
jmax déplacement relatif maximal de l'appui j par rapport à un appui de référence
(pour lequel j max = 0 )

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4.6.6 Combinaison des réponses directionnelles d'appuis

Cette étape est obligatoire, mais le choix de la méthode de combinaison des réponses directionnelles
reste très ouvert. En effet l'hypothèse d'indépendance des &s j dépend fortement des modes propres
de la structure support de l'équipement étudié. Une analyse du système étudié est nécessaire pour
regrouper les appuis par groupes : par exemples pour une tuyauterie reliant deux bâtiments, le groupe
des appuis du bâtiment 1, celui du bâtiment 2 et enfin celui des appuis intermédiaires.

Pour chaque groupe on pourra choisir une des trois méthodes :

Combinaiso quadratiqu

n
e :
R =
2
X
RjX
Combinaiso linéaire

n
:
R =
X
RjX
Combinaiso
valeur

en

n
:
absolue

R =
X
RjX

La règle de combinaison peut être la même pour tous les appuis ou différentiée suivant les appuis ou
groupes d'appuis définis par une occurrence du mot clé facteur COMB_MULT_APPUI. Dans ce cas la
réponse totale est obtenue par :


2
2
R =
R2 +
R +
R



X
q X
l
a
q
l

a


q appuis combinés quadratiquement, l appuis combinés linéairement, a appuis combinés en
valeur absolue.

4.7
Combinaison des réponses directionnelles

Deux règles de combinaison des réponses directionnelles sont disponibles.

4.7.1 Combinaison
quadratique

Cette combinaison correspond à l'hypothèse d'indépendance stricte des réponses dans chaque
direction cf. [§ 3.3.3]. Rappelons que cette règle de combinaison n'a aucune signification géométrique,
bien que les trois directions d'analyse soient orthogonales.

R = R2 + R2 + R2
X
Y
Z

Les hypothèses justifiant la méthode de combinaison quadratique simple, à ce niveau, ne semblent
pas devoir être remises en cause [bib3], mais cette méthode n'est pas la plus utilisée.

4.7.2 Combinaison de NEWMARK

Cette règle de combinaison empirique est la plus couramment utilisée et conduit en général à des
estimations légèrement plus fortes que la précédente. Elle suppose que lorsque l'une des réponses
directionnelles est maximale, les autre sont au plus égales aux 4/10 de leurs contributions maximales
respectives. Pour chacune des directions i ( X , Y, Z) , on calcule les 8 valeurs :

R = ± R ± 0 4
, R ± 0 4
, R
l
X
Y
Z

Ce qui conduit, par permutation circulaire, à 24 valeurs et R = Max (Rl )
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4.8
Avertissement sur les combinaisons

Plusieurs remarques s'imposent pour mettre en garde l'utilisateur sur la façon d'utiliser les méthodes
de combinaison et les grandeurs combinées dans une note d'étude.

Remarque 1 :

Si l'on souhaite utiliser des combinaisons arithmétiques (direction) et des combinaisons
quadratiques (modes) les cumuls quadratiques doivent toujours s'effectuer en dernier.


Remarque 2 :

Toute combinaison quadratique ne s'applique qu'aux grandeurs pour lesquelles en valeurs
instantanées le cumul a le sens d'une somme : combinaison des composantes de déplacement,
ou effort généralisé ou de contrainte de chaque mode propre.
La combinaison quadratique modale ou directionnelle ne peut donc s'appliquer à des intensités de
contrainte (contraintes principales, de Von Mises, de Tresca).


Remarque 3 :

Les résultats d'une combinaison, quel que soit la règle de cumul, ne doit pas servir de données
pour calculer d'autres grandeurs : par exemple un déplacement différentiel entre deux points (ou
une déformation) ne peut être calculé qu'à partir des déplacements différentiels modaux que l'on
combine ensuite.
A fortiori les efforts généralisés et les contraintes ne peuvent être calculés que mode par mode
avant toute combinaison et non à partir de forces d'inerties déduites des champs d'accélération
obtenus par combinaison des accélérations modales.



4.9 Pratiques
réglementaires

4.9.1 Partition des composantes primaires et secondaires de la réponse

Les différents supports d'une ligne de tuyauterie peuvent être animés de mouvements différents. Un
même tronçon de tuyauterie peut se repartir sur des bâtiments différents, des niveaux ou des
équipements différents. Il subit donc une excitation multiple. Ceci se traduit par deux types de
chargement [§ 2.1.2] :

·
une excitation dont le contenu fréquentiel varie d'un support à l'autre et qui constitue un
chargement primaire selon la classification RCC-M,
·
des Déplacements Différentiels Sismiques (DDS) induisant un état de contrainte par
déplacements imposés aux appuis et classé comme secondaire.

Les moments généralisés résultants de ces 2 chargements interviennent séparément dans les
inéquations de dimensionnement RCC-M et à plusieurs niveaux. Ainsi, pour les tuyauteries de niveaux
2 et 3, les DDS non pris en compte avec le chargement sismique inertiel dans l'inéquation 10, sont
cumulés avec les cas de déplacements d'ancrage d'origine thermique dans l'inéquation 7.
En vue d'un post traitement RCC-M approfondie, Il est donc nécessaire de disposer des composantes
primaire et secondaire de la réponse sismique.
D'une manière plus générale, la méthode de combinaison des réponses d'appuis peut différer suivant
que l'on traite le cas des composantes inertielles ou différentielles. De plus le nombre d'appui
concerné par ces deux sommations peut ne pas être égal. On est souvent amener à imposer des
mouvements différentiels d'ensemble même pour des appuis associés à des spectres utilisateurs
différents. D'autre part, des DDS formulés en rotation sont parfois à considérer. Ils ne peuvent être
associés à un chargement inertiel (limité aux translations).
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Code_Aster propose donc deux traitements :

·
Détermination de la réponse globale :
Les contributions inertielle et statique d'entraînement sont cumulées lors du calcul des
réponses directionnelles d'appui [§4.6].
· Partition des composantes primaires et secondaires de la réponse globale :
Les deux contributions précèdentes ne sont plus cumulées lors du calcul des réponses
directionnelles et font l'objet de 2 traitements indépendants :
­ La composante inertielle s'obtient en supprimant le terme d'entraînement Re j dans le
calcul de la réponse globale [§ 4.6].
­ La composante statique est déterminée en combinant les termes d'entraînement
définis sous le mot clef DEPL_MULT_APPUI. Les méthodes de combinaison de ces
cas de charge DDS sont renseignées dans le mot clé COMB_DEPL_APPUI.

4.9.2 Méthode du spectre enveloppe

Même si les tuyauteries sont soumises à une excitation sismique multiple, la pratique courante est de
se ramener au calcul d'une structure mono-supportée tout en conservant les cas de charge DDS.
Cette démarche simplifiée implique de définir un spectre unique par direction pour tous les supports de
la tuyauterie. Pour chaque direction, on adopte alors un spectre « enveloppe » des différents spectres
aux supports. Les spectres retenus pour les directions horizontales X et Y sont identiques.
Dans la quasi totalité des cas, cette méthode est génératrice de « marge de dimensionnement ».

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5 Bibliographie

[1]
"Génie Parasismique" Ouvrage collectif - Presses de l'E.N.P.C. (1985)
[2]
"État de l'art en matière de calcul dynamique des structures" Jacques BETBEDER-MATIBET
in Génie Parasismique (1985)
[3]
"Le problème de la superposition des modes propres en vibration. Utilisation des modes
propres de déformation des éléments." Vincent GUILLOT in Génie Parasismique (1985)
[4]
"Calcul des structures soumises à des excitations multiples" Jean
RIGAUDEAU -
Pierre SOLLOGOUB in Génie Parasismique (1985)
[5]
"A response spectrum method for random vibrations" DER KIUREGHIAN in Report
UCB/EERC - 80/15 Berkeley (1980)
[6]
"Response of linear systems to certain transient disturbances" ROSENBLUETH, ELORDY in
Proceedings, Fourth World conference on earthquake engineering-Santiago of Chile (1969)
[7]
"Short communication : a remplacement for the SRSS method in seismic analysis" DER
KIUREGHIAN, WILSON, BAYO in "Earthquake engineering and structural dynamics", vol 9
(1980)
[8]
Analyse sismique transitoire [R4.05.01] - J.R. LEVESQUE, Françoise WAECKEL
[9] Opérateur
COMB_SISM_MODAL [U4.84.01] indice E1
[10] Opérateur
CALC_FONCTION [U4.32.04] indice F1
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Annexe 1 Réponse transitoire d'un oscillateur simple amorti

A1.1 Vibration forcée d'un système à un d.d.l. en translation

Pour un oscillateur simple de rigidité k , de masse m et d'amortissement visqueux c , l'équation du mouvement
est de la forme :

k
c
mX& + cX& + kX = 0
m
F x
X


pour laquelle les notations traditionnelles sont :

k
la pulsation propre du système non amorti :
0 = m
l'amortissement critique :
c critique = 2 m0
l' amortissementréduit :
c
c
=
=
(exprimé en pourcentage de l' amortissement critique)
c critique 2 m 0


la pulsation propre du système amorti :
' =
2
0
0
(1- )
F
la déflexion statique pour une force F :

0
0
st = k

la fréquence réduite :
= 0
équation réduite du mouvement :
X& + 2 X& + 2
0
0 X = 0

La réponse globale à une excitation harmonique de la forme F(t) = F cos( t
0
) est la somme :

·
d'une réponse libre X t
l ( ) solution générale oscillatoire amortie où X l0 et
0
sont déterminées
par les conditions initiales

X (t) = X
- t
e
0 co (
s t
l
l0
0 + 0
)

·
d'une réponse forcée X
t
f ( ) solution particulière permanente X (t) = X
cos( t
f
f0
-)

F

c

X
0
=
= arctg
f0
2




éq A1.1-1
k - m 2 2 + (c)2

k - m
(
)

qui s'écrit sous forme réduite :

X
k X
f0
f0
1

2
=
=
= arctg





éq A1.1-2
F
st
0
(
2
2
2
1 - 2 ) + (
2 )
1-
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Réponse harmonique d'un système à 1 ddl : module
30
Module du
28
déplacement
x relatif / x statique 24
fonction de la
fréquence réduite
20
16
Amortissements
20 %
12
10 %
05 %
Amplitude relative
02 %
8
01 %
4
0
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Fréquence réduite
Réponse harmonique d'un système à 1 ddl : phase
180
Phase du
déplacement
160

x relatif / x statique 140
120
100
Amortissements
20 %
Phase 80
10 %
05 %
60
02 %
01 %
40
20
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Fréquence réduite

Figure A1.1-a : Réponse d'un oscillateur en force imposée (module et phase)


La réponse à une excitation harmonique de la forme F t = F
j t
( )
0 e
s'écrit avec une réponse forcée solution
( j t-)
particulière permanente X (t) = X
f
f0 e

F

c

X
0
=
= arctg
f0
2




éq A1.1-3
k - m 2 2 + (c)2

k - m
(
)
qui s'écrit sous forme réduite :
k X f0
1
2
=
H
2
( j ) = arctg



éq A1.1-4
F
2
0
1- + j 2
1-
H( j) est la réponse harmonique complexe d'un oscillateur simple

1
H( j) = (

2
1- 2 ) + (
2 )2
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Annexe 2 Mouvement imposé d'un système à un d.d.l. en
translation

A2.1 Mouvement absolu d'un système à un d.d.l.

Pour un oscillateur simple de rigidité k , de masse m et d'amortissement visqueux c , l'équation du mouvement
absolu est de la forme :

mX& + (
c X& - s&) + k( X - s) = 0
k
c
s
mX& + cX& + kX = ks + cs&
m
X& + 2 X
2
2



0 & +
X =
s + 2
s
0
0
0 &
F x
X


La réponse forcée à un mouvement imposé harmonique de la forme s(t) = s cos( t
0
) est de la forme
X (t) = X
cos( t
m
m0
- -
1
2 ) somme de deux termes de réponse, solutions particulières permanentes :

·
terme induit par l'excitation en déplacement X
cos( t
d0
- d
)

k s

c

X
0
=
= arctg
d0
d
2

k - m2 2 + (c)2

k -m
(
)

·
terme induit par l'excitation en vitesse X
cos( t
vo
- v
)

c s

c

X
0
=
= arctg
v0
v
2
(k - m2 )2 + (c)2

k -m

ce qui conduit à une réponse forcée totale

k 2 + c 2
X (t) = X cos( t - - )
( )
s
[
cos t
m
m
- -
1
2
0
1
2
(k - m 2 )2 + (c)2 ]
(
)

d'où la forme réduite de l'amplitude absolue :

2
X
1 + 2
2
1
m
(
)
=
= arctg



= arctg

s
2
1
2
2
0
[ 1(- 2 2
) + (2 ) ]
1-
2


Si le mouvement imposé à la base est exprimé sous forme complexe s t =
(s j t
( ) Re 0 e ) , l'amplitude relative
ou transmissibilité peut s'écrire à partir de la réponse harmonique complexe d'un oscillateur simple H( j)

X m =
2
1 + (2) H( j)





éq A2.1-1
s0
Manuel de Référence
Fascicule R4.05 : Analyse sismique
HT-66/02/004/A

Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

Réponse sismique par méthode spectrale


Date :
06/09/02
Auteur(s) :
J.R. LEVESQUE, L. VIVAN, D. SELIGMANN, Y. PONS Clé : R4.05.03-B Page
: 32/34


A2.2 Mouvement relatif d'un système à un d.d.l.

Le problème de la réponse à un mouvement imposé peut être traité en déplacement relatif de la masse par
rapport à la base en posant x = X - s .

L'équation du mouvement relatif pour un mouvement imposé harmonique de la forme s(t) = s cos( t
0
) est
alors de la forme m x& + c x& + k x = -m s& ou sous forme réduite :

&
x + 2
&x + 2 x = -&s = 2


s
(
cos t
0
0
0
) éq A2.2-1

La réponse forcée relative est alors, pour une solution permanente x
( t
m0 cos - ) ,

m 2 s

c

x
0
=
= arctg
m0
2




éq A2.2-2
(k - m 2 2
) + (c)2

k - m

qui s'écrit sous forme réduite :
x
2
m0

=






éq A2.2-3
s0
( - 2 2
) + ( )2
1
2


Réponse harmonique d'un système à 1 ddl : module relatif
24
21
Module déplacement
x relatif / x statique
18
fonction de
la fréquence réduite
15
12
Amortissements
20 %
9
10 %
5 %
2 %
6
1 %
Amplitude relative
3
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Fréquence réduite

Figure A2.2-a : Réponse d'un oscillateur en mouvement imposé (module du déplacement relatif)

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Annexe 3 Mouvement imposé non périodique d'un système à un
d.d.l.

Le problème traité précédemment se limitait à un mouvement imposé périodique. Pour une excitation non
périodique, d'amplitude variable avec le temps, s'exerçant pendant une durée finie.

A3.1 Réponse impulsionnelle

La forme la plus simple est la force impulsionnelle unitaire, qui appliquée à une masse au repos avant
l'application de l'impulsion (x = x = pour t < ou t = -
& 0
0
0 ) peut s'écrire

~
t+ t

f = lim F dt = F.dt = 1 = m &X (t = )
0 - m &X (t = -

0 ) = m &X0
t
t
0
1
Les conditions initiales sont alors notées X (t = )
0 = X = 0 et X& (t = )
0 = X
0
&0 =
m

L'équation générale de la réponse en vibration libre d'un système à un d.d.l.


X& + x

X t
- t
0
( ) = e
X cost
0
0 0
+
sin t
l
0
0
0

0



devient alors la réponse impulsionnelle g(t) d'un système à un d.d.l.

- t
0
e
X (t) = g(t) =
sin t
l






éq A3.1-1
m
0
0

~
F
Pour une impulsion non unitaire F = F. t
la vitesse initiale est &X0 = et la réponse devient
m
~
F - t
e
0
~
X (t) =
sin t = F g(t
l
)
m
0




éq A3.1-2
0

Si la force impulsionnelle est appliquée à un instant quelconque la réponse est

~
X t = F g(t
l ( )
- )

A3.2 Réponse en vibration forcée quelconque

La force d'excitation F(t) peut être décomposée en une série d'impulsions d'amplitude variable F( )
appliquées à l'instant pendant un temps . Si 0 la réponse à un instant t est obtenue par
t
X (t) =
F( ) g(t -

) d
0

et en remplaçant par l'expression de la réponse impulsionnelle [éq A.3-2] on obtient l'équation de convolution
pour une système au repos à l'instant 0 de la forme
1
t
X (t) =
F( ) -0(t - )
e

sin 0(t - ) d


éq A3.2-1
m 0 0
connue sous le nom d'Intégrale de DUHAMEL
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A3.3 Réponse en mouvement imposé quelconque

Pour une analyse en mouvement relatif représentée par [éq An2-2]

&
x + 2
2
2
0
&x + x = -
0
&s = s0
(
cos t)

l'intégrale de DUHAMEL devient

1 t
x(t) =
s(
& ) -0(t -)
e

sin 0(t - ) d


éq
A3.3-1
0 0

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