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Version
5.0
Titre :
Couplage fluide-structure pour les structures tubulaires et les coques
Date :
23/09/02
Auteur(s) :
T. KESTENS, M. LAINET Clé
:
R4.07.04-B Page
: 1/34
Organisme(s) : EDF/MFTT, CS SI
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
Document : R4.07.04
Couplage fluide-structure pour les structures
tubulaires et les coques coaxiales
Résumé :
Ce document décrit les différents modèles de couplage fluide-structure disponibles à partir de l'opérateur
CALC_FLUI_STRU. Ces modèles permettent de simuler les forces de couplage fluide-élastique dans les
configurations suivantes :
· faisceaux de tubes sous écoulement transverse (essentiellement, les tubes de Générateur de Vapeur),
· passage tige de commande / plaque de logement (exclusivement pour les grappes de commande ),
· coques cylindriques coaxiales sous écoulement annulaire (par exemple, l'espace cuve / enveloppe de
coeur),
· faisceaux de tubes sous écoulement axial (par exemple, les assemblages combustibles).
Pour chaque configuration, le modèle de forces fluide-élastiques est d'abord présenté. La résolution du
problème modal est ensuite décrite. Les méthodes de résolution employées intégrent les spécificités des
différents modèles de forces fluide-élastiques.
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Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
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1 Présentation
générale
1.1 Rappels
Les forces fluides dynamiques s'exerçant sur une structure en mouvement peuvent être classées en
deux catégories :
· les forces indépendantes du mouvement de la structure, du moins dans la gamme des petits
déplacements ; ce sont principalement des forces aléatoires générées par la turbulence ou la
nature diphasique de l'écoulement,
· les forces fluides dépendantes du mouvement de la structure, dites «forces
fluide-élastiques», responsables du couplage fluide-structure.
Dans ce document, on s'intéresse aux quatre modèles de forces fluide-élastiques intégrés dans
l'opérateur CALC_FLUI_STRU. Les aspects informatiques liés à l'intégration de ces modèles ont fait
l'objet de notes de spécifications [bib1], [bib2].
1.2 Modélisation
La dépendance des forces fluide-élastiques vis-à-vis du mouvement de la structure se traduit, dans la
gamme des faibles amplitudes, par une matrice de transfert entre la force fluide-élastique et le
vecteur déplacement. La projection de l'équation du mouvement du système couplé fluide-structure
sur la base modale de la structure seule s'écrit, dans le domaine de Laplace :
[{M 2
ii ]s + [Cii ]s + [K ii ] - [Bij (U , s)]}(q) = (Qt ) éq
1.2-1
[Mii],[Cii]et[Kii]
où
désignent respectivement les matrices diagonales de masse,
d'amortissement et de raideur structurelles en air ;
(q) désigne le vecteur des déplacements généralisés en air ;
(Qt ) désigne le vecteur des excitations aléatoires généralisées (forces indépendantes du
mouvement) ;
[Bij(U,s)]
et
représente la matrice de transfert des forces fluide-élastiques, projetée sur la base
modale de la structure seule. Cette matrice dépend en particulier de U , vitesse caractéristique
de l'écoulement, ainsi que de la fréquence du mouvement par l'intermédiaire de la variable de
Laplace s .
A priori, [Bij (U, s)] est une matrice quelconque dont les termes extradiagonaux, s'ils ne sont pas nuls,
introduisent un couplage entre modes. D'autre part, les termes de [Bij (U, s)]évoluent de manière non
linéaire avec la fréquence complexe s .
A chaque modèle de force fluide-élastique est associée une matrice de transfert spécifique.
Dans tous les cas, la formulation du problème modal sous écoulement peut être caractérisée
par la relation [éq 1.2-1].
Pour les différents types de configurations pouvant être simulées à l'aide de l'opérateur
CALC_FLUI_STRU, les représentations des matrices de transfert des forces fluide-élastiques sont
explicitées dans la suite de ce document.
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2
Excitation fluide-élastique agissant sur les faisceaux de
tubes sous écoulement transverse (essentiellement pour
les tubes de GV)
L'intégration de ce modèle d'excitation fluide-élastique dans le Code_Aster a été abordée dans la note
de spécifications [bib1]. La note de principe du logiciel FLUSTRU [bib3] constitue la documentation
théorique de référence. Les principaux principaux de la modélisation sont rappelés ci-après.
2.1
Description de la configuration étudiée
On considère un faisceau de tubes excité par un écoulement externe transverse. Physiquement, les
écoulements externes transverses ont tendance à déstabiliser le système mécanique lorsque la
vitesse de l'écoulement augmente.
Un cas industriel à traiter en pratique est celui des vibrations des tubes de générateurs de vapeur. Sur
ce composant, les écoulements transverses sont observés dans la zone d'entrée du faisceau de
tubes (écoulement monophasique liquide), et dans la partie cintrée du tube en U (écoulement
diphasique) [Figure 2.1-a].
Sortie vapeur
Séparateurs
Zone excitée
par
Eau alimentaire
écoulement
diphasique
Retour d'eau
Zone excitée
Faisceau de tubes
par
écoulement
Plaque entretoise
monophasique
Plaque tubulaire
Entrée fluide primaire
Sortie fluide primaire
Figure 2.1-a : Schéma de générateur de vapeur
Du point de vue du couplage fluide-élastique, l'étude du comportement dynamique des différents
tubes d'un faisceau soumis à un écoulement transverse est ramenée à l'étude d'un tube équivalent ;
la définition du tube équivalent dépend de l'environnement du tube à traiter.
Lorsque le tube considéré possède des caractéristiques vibratoires sensiblement différentes de celles
de ses voisins, ce tube peut être assimilé à un seul tube, vibrant au milieu d'un faisceau de tubes
rigides.
Dans le cas contraire, le problème est plus complexe car on doit considérer un système mécanique
avec couplage entre tubes du faisceau et comportant donc un grand nombre de degrés de liberté.
Pour traiter ce genre de configuration, un modèle a été développé au Département TTA, "le modèle
global" [bib7] ; ce modèle permet la définition d'un système équivalent à un degré de liberté, qui
représente le système couplé complet.
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L'approche retenue pour conduire les calculs peut être résumée de la façon suivante [Figure 2.1-b] :
· Compte tenu de la nature filaire des structures à étudier, le calcul du couplage
fluide-élastique dans le faisceau de tubes est réalisé en décrivant le tube par son abscisse
curviligne.
· Dans le calcul, l'environnement fluide du tube est caractérisé, à la fois par les propriétés
physiques du fluide circulant à l'intérieur du tube (fluide primaire), et par celles du fluide
circulant à l'extérieur du tube (fluide secondaire excitateur). Ces propriétés physiques, telle
que la masse volumique, peuvent varier le long du tube, en fonction de l'abscisse curviligne.
· La vitesse d'écoulement prise en compte pour le calcul de couplage fluide-élastique est la
composante, normale au tube dans le plan du tube, de la vitesse du fluide secondaire. Cette
vitesse peut varier le long du tube.
· Afin de pouvoir prendre en compte les divers types possibles d'excitation, plusieurs zones
d'excitation peuvent être définies le long de la structure. Dans le cas du générateur de
vapeur, par exemple, on a intérêt à distinguer, d'une part les zones où l'excitation est exercée
par un fluide à l'état monophasique, qui se situent en pied de tube, et d'autre part, la zone où
l'excitation est diphasique à fort taux de vide, localisée dans la partie cintrée du tube.
· Le calcul de couplage est réalisé à partir des caractéristiques mécaniques de la structure en
"fluide au repos". Les forces fluide-élastiques de couplage sont estimées à partir de
corrélations adimensionnelles qui sont obtenues sur des expériences analytiques en
similitude. Sur chaque zone d'excitation, on peut ainsi appliquer les corrélations adéquates ;
les zones d'excitation doivent être disjointes.
S u p p o rts
Z o n e 2
Z o n e 3
Z o n e 1
0
a x e d e la fib re n e u tre d u tu b e
X
(a b s c is s e c u rv ilig n e )
Figure 2.1-b : Représentation de la configuration à étudier
Pour cette configuration de couplage fluide-élastique, les notations suivantes seront utilisées :
L
Longueur totale du tube
Lk
Longueur de la zone k
d
Diamètre extérieur du tube
e
di
Diamètre intérieur du tube
i
Déformée modale du mode i
(x
e
)
Masse volumique du fluide externe à l'abscisse curviligne x
(x
i
)
Masse volumique du fluide interne à l'abscisse curviligne x
t
Masse volumique du tube (structure seule)
(x
eq
)
Masse volumique équivalente à l'abscisse curviligne x
U
Vitesse du fluide externe spécifiée par l'utilisateur dans l'opérateur
DEFI_FLUI_STRU
V (x)
Vitesse du fluide externe à l'abscisse curviligne x
Vk (x)
Vitesse du fluide externe à l'abscisse curviligne x (zone d'excitation
k ) défi i
l
d it d U t d'
fil d
it
é ifié
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k ) définie par le produit de U et d'un profil de vitesse spécifiée par
l'utilisateur dans l'opérateur DEFI_FLUI_STRU
U
V x
k
Vitesse moyenne du fluide externe calculée à partir de k ( ) pour la
zone d'excitation
U
Moyenne des vitesses U k sur toutes les zones d'excitation
2.2
Etapes du calcul
· La première étape du calcul consiste à calculer les caractéristiques de la structure en "fluide au
repos". On procède en considérant une masse équivalente du tube ; cette masse équivalente
regroupe, d'une part la masse du tube seul, et d'autre part les masses ajoutées par les fluides
interne et externe.
Une masse volumique équivalente est ainsi définie le long du tube en fonction de l'abscisse
curviligne x par l'expression :
1
(x)
2
2
2
2
=
+
-
+
eq
(
éq
2.2-1
2
2
i
i
t
e
i
e
eq
d e - di )[ (x).d
(.d d ) (x).d ]
avec
.C . 2
2
2 m d
d
e
eq =
éq 2.2-2
Dans l'équation [éq 2.2-1], le terme
(x). 2
e d eq représente la masse ajoutée par le fluide externe.
Ce terme dépend, par l'intermédiaire du paramètre Cm , de l'arrangement du faisceau de tubes
(pas carré ou triangulaire), et du confinement du faisceau (pas réduit). Pour les calculs de
couplage fluide-élastique des faisceaux de tubes soumis à un écoulement transverse, on utilise
couramment, pour estimer le coefficient Cm , des expressions analytiques déterminées à partir de
résultats expérimentaux. L'ensemble des données nécessaires à l'estimation du coefficient Cm
est recueilli par l'opérateur DEFI_FLUI_STRU.
· Connaissant la masse volumique équivalente du tube, les matrices élémentaires de masse et de
raideur en eau au repos sont ensuite calculées au moyen du profil de masse volumique
équivalente, par l'opérateur CALC_MATR_ELEM ; on utilise les options MASS_FLUI_STRU et
RIGI_FLUI_STRU. L'opérateur MODE_ITER_SIMULT permet, après assemblage des matrices
élémentaires, de calculer directement les modes en eau au repos de la structure étudiée.
· Les forces fluide-élastiques de couplage sont calculées par l'opérateur CALC_FLUI_STRU à partir
des corrélations adimensionnelles établies sur des maquettes analytiques en similitude. Ces
forces de couplage, [Bij (U, s)], dépendantes du mouvement de la structure sont ensuite prises
en compte dans l'équation générale du mouvement [éq 1.2-1] pour calculer les caractéristiques du
système couplé écoulement-structure pour une vitesse donnée d'écoulement.
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2.3
Expression de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques
Dans le cas des faisceaux de tubes excités par un écoulement transverse, les forces fluide-élastiques
de couplage sont des forces réparties le long de la structure. Elles sont caractérisées par des
coefficients adimensionnels linéiques d'amortissement et de raideur ajoutés, dénommés
respectivement Cd et Ck . L'expression des coefficients de la matrice de transfert des forces fluide-
élastiques projetée sur la base modale de la structure en "fluide au repos" est alors la suivante :
1
2
e (x)V (x)de Cd (x, sr ) (x)dxs
B
2
ij (U,s)
L
i
=
ij
éq
2.3-1
1
2
2
+
e(x)V (x)Ck(x,sr)i (x)dx
L
2
La dépendance des coefficients Cd et Ck vis-à-vis du mouvement de la structure et de la vitesse de
l'écoulement du fluide est traduite par leur évolution en fonction de la fréquence réduite complexe sr ,
définie par :
sD
sr =
éq 2.3-2
U
L'expression [éq 2.3-1] montre que l'on retient une matrice de transfert diagonale. Cela implique que :
· les différents modes propres de la structure sont assez éloignés les uns des autres pour que
l'on puisse supposer qu'il n'y a pas couplage entre modes.
· les déformées modales de la structure en "fluide au repos" ne sont pas perturbées par la mise
en écoulement du fluide.
Ces deux hypothèses ont pu être vérifiées expérimentalement sur les faisceaux de tubes soumis à un
écoulement transverse.
En pratique, compte tenu des différentes zones d'excitation prises en compte le long de la structure,
les coefficients diagonaux de la matrice d'efforts fluide-élastiques projetée sur base modale s'écrivent
:
1
sd U
e
2
e(x) k
V (x)deCdk
i (x)dxs
L
k 2
UU
Bii (U,s) =
k
éq
2.3-3
k
1
2
sd U
e
2
+
e(x) k
V (x)Ckk
i (x)
dx
L
k 2
UUk
où Cdk et Ckk désignent respectivement les coefficients de couplage adimensionnels,
UU
d'amortissement et de raideur, retenus pour la zone d'excitation k . La vitesse fluide
k
U
intervenant dans la fréquence réduite complexe en argument des coefficients de couplage correspond
à la vitesse moyenne sur la zone d'excitation k , après renormalisation du profil Vk (x), de sorte que
sa moyenne sur toutes les zones d'excitation vaille U .
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2.4
Résolution du problème modal sous écoulement
Dans la configuration "Faisceau de tubes soumis à un écoulement transverse", le problème est résolu
sur la base modale caractérisant la structure en "fluide au repos".
D'une manière générale, les caractéristiques du système couplé écoulement-structure sont obtenues
en recherchant les solutions de l'équation :
[{Mii] 2s +[Cii]s +[Kii]-[Bii(U,s)]}(q)= (0)
éq
2.4-1
[Mii],[Cii]et[Kii]
où
désignent respectivement les matrices diagonales de masse,
d'amortissement et de raideur caractéristiques de la structure en "fluide au repos" ;
(q) désigne le vecteur des déplacements généralisés en "fluide au repos".
Comme la matrice d'efforts fluide-élastiques retenue est diagonale, et que les déformées modales
sont supposées ne pas être modifiées sous écoulement, le problème de couplage fluide-élastique se
ramène à la résolution de N problèmes scalaires, N désignant le nombre de modes pris en compte
dans la base modale.
Pour chaque mode i et chaque vitesse d'écoulement U , le problème à résoudre s'écrit :
sd U
2
1
Miis
+
Cii -
e(x) k
V (x)
e
2
deCdk
i (x)
dx s
Lk 2
UU
k
k
éq
2.4-2
1
sd U
+
Kii -
e(x) 2k
V (x)
e
2
Ckk
i (x)
dx
= 0
Lk 2
UU
k
k
On notera que l'équation [éq 2.4-2] est non-linéaire en s ; ses solutions sont obtenues à l'aide d'une
méthode itérative de type Broyden.
Pour chaque mode i , on obtient une solution si de l'équation [éq 2.4-2]. On déduit ensuite de si ,
pour ce mode, la pulsation i et l'amortissement i du système couplé écoulement-structure, en
utilisant la relation :
s
2
i =
- ii + Ji - 2
1
J = -
i
avec
1 éq
2.4-3
Le système couplé devient dynamiquement instable lorsque l'un des coefficients d'amortissement i
devient négatif ou s'annule.
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3 Excitation fluide-élastique agissant sur la tige de
commande au niveau de la plaque de logement
(exclusivement pour les grappes de commande)
Les forces fluide-élastiques agissant sur ce type de configuration ont été identifiées sur la maquette
GRAPPE2 du département TTA. Les aspects théoriques de l'identification de ces sources sont
développés en référence [bib4]. L'intégration du modèle GRAPPE2 dans le Code_Aster est abordée
dans la note de spécifications [bib2].
3.1
Description de la configuration étudiée
La maquette GRAPPE2 représente la tige de commande, la partie supérieure du guide de grappe, et
la manchette thermique d'un réacteur de type 900 ou 1300 Mwe [Figure 3.1-a].
Manchette
thermique
Tube enveloppe
Ame
centrale
Plaque de
logement
Figure 3.1-a : Schéma de principe de la maquette GRAPPE 2
Cette maquette est essentiellement constituée d'un tube cylindrique creux de faible épaisseur, fixé sur
une âme centrale cylindrique pleine. Le tube creux est entièrement immergé dans de l'eau à
température ambiante. Une plaque, représentant la plaque de logement, permet de reproduire le
confinement annulaire. L'écoulement à travers la plaque peut être ascendant ou descendant. La tige
de commande peut être centrée ou excentrée (50% du jeu moyen) au niveau de la plaque de
logement.
Quatre configurations expérimentales sont donc possibles, en fonction du sens de l'écoulement et du
centrage ou pas de la tige de commande. Les coefficients de forces fluide-élastiques ont été identifiés
pour chacune de ces configurations et sont disponibles dans le Code_Aster.
La maquette GRAPPE2 a été dimensionnée en similitude géométrique, hydraulique et de fréquence
réduite par rapport à la configuration réacteur. La seule donnée du diamètre de la tige de commande
permet donc, en particulier, de déduire l'ensemble des autres grandeurs géométriques.
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3.2
Etapes du calcul
· La première étape du calcul consiste à calculer la base modale de la structure en eau au repos,
les effets de masse ajoutée induits localement au niveau du confinement de la plaque de
logement étant négligés. Cette étape est réalisée par l'opérateur MODE_ITER_SIMULT.
Pour ce faire, une masse volumique équivalente homogène est affectée à l'ensemble de la
structure, afin de prendre en compte la masse apparente ajoutée par le fluide, à l'exception de
celle induite par les effets de confinement au niveau de l'espace annulaire. Cette masse
volumique équivalente est définie par :
R2
eq =
f + tube
éq
3.2-1
S
où :
désigne un coefficient adimensionnel de confinement dépendant de la configuration
étudiée ; = 1 est la valeur utilisée pour les calculs de grappes de commande. Elle
correspond à un cylindre vibrant dans un domaine fluide illimité.
R
désigne le rayon extérieur du tube,
S
désigne l'aire de la section droite du tube,
tube désigne la masse volumique du matériau constituant le tube vibrant.
· La seconde étape est la prise en compte du couplage avec l'écoulement fluide. Elle est réalisée à
l'aide de l'opérateur CALC_FLUI_STRU.
3.3
Représentation de l'excitation fluide-élastique
Soit x la direction de la fibre neutre du tube. L'excitation fluide-élastique identifiée sur la maquette
GRAPPE2 est représentée par une force et un moment résultants, appliqués en un même point
d'abscisse x o , correspondant à la zone centrale du passage de la tige de commande à travers la
plaque de logement. L'excitation est ainsi définie, dans la base physique, par la relation :
f^c (x, s) = c
F (s) (x - x0 )- Mc (s) '(x - x0 )
éq
3.3-1
où ' désigne la dérivée par rapport à x de la distribution de Dirac .
La force résultante, c
F , agit ainsi sous l'effet des déplacements transverses de la tige de commande ;
et le moment résultant, Mc , agit sous l'effet de la rotation de cette dernière.
On note X (s
T
) le vecteur des déplacements transverses et (
s) le vecteur des rotations associées,
définis par :
0
XT (s)
= uy (x , s
0
) éq 3.3-2
uz (x , s
0
)
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0
(
s) uy
=
(x ,s)
0
éq 3.3-3
x
uz (x ,s)
0
x
Les relations suivantes sont utilisées pour calculer les forces et les moments fluide-élastiques
résultants à partir des masses ajoutées
1
Cm ,Cm2 , des amortissements ajoutés Cd1(Vr ),Cd2 (Vr )et
des raideurs ajoutées Ck1(Vr ),Ck2 (Vr ), coefficients adimensionnels identifiés sur la maquette
GRAPPE2:
1
2
2
1
1
2
c
F (s) = - D L Cm s
1
+ DUL Cd
f
p
f
p
1(Vr )s +
U L Ck
f
p
1(Vr )XT (s) éq
3.3-4
2
2
2
1
2
3
2
1
3
1
2
3
Mc(s) = - D L Cm s
2
+ DUL Cd
f
p
f
p
2 (Vr )s +
U L
f
p Ck2 (Vr ) (
s) éq 3.3-5
2
2
2
Afin de simplifier l'écriture des équations, on note par la suite :
c
F (s) = H1(s)XT (s) et Mc(s) = H2 (s) (
s)
U
La vitesse réduite adimensionnelleVr est ici définie à l'aide de la relation Vr =
, où s désigne la
sD
variable de Laplace.
Les expressions [éq 3.3-4] et [éq 3.3-5] font intervenir l'épaisseur Lp de la plaque de logement. Cette
épaisseur se déduit de la valeur du diamètre de la tige de commande, D , du fait de la similitude
géométrique avec la configuration réacteur. L'effort fluide-élastique f^c (x, s) est ainsi complètement
caractérisé par la donnée des grandeurs suivantes :
f
Masse volumique du fluide,
U
Vitesse de l'écoulement moyen dans l'espace annulaire entre tige de commande et
plaque de logement,
D
Diamètre de la tige de commande,
1
Cm
Coefficient de masse ajoutée associé au mouvement de translation,
Cd
1(Vr )
Coefficient d'amortissement ajouté associé au mouvement de translation,
Ck
1(Vr )
Coefficient de raideur ajoutée associé au mouvement de translation,
Cm2
Coefficient de masse ajoutée associé au mouvement de rotation,
Cd
2 (Vr )
Coefficient d'amortissement ajouté associé au mouvement de rotation,
Ck
2 (Vr )
Coefficient de raideur ajoutée associé au mouvement de rotation.
Les coefficients adimensionnels de masse ajoutée,
1
Cm et
2
Cm , permettent la prise en compte des
effets inertiels induits par le confinement local de la tige de commande au niveau de la plaque de
logement. Ces effets sont estimés comme suit.
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Soit H l'épaisseur de l'écoulement annulaire au niveau du confinement, déduite de D par similitude
géométrique par rapport à la configuration réacteur ; désigne le coefficient adimensionnel de
confinement introduit par la relation [éq 3.2-1]. On obtient alors [bib 4] :
1
3
2
2
2
D
D
D D
D L Cm =
-
L =
- L
2 f
p
1
f
8
f
H
4
p
f
4 2
p
H
3
1
2
D D
D D
L
2
3
p
f D Lp Cm2 = f
-
(x - x )
2
2 dx
=
-
2
4 2
f
L
o
H
p
4 2H
3
On en déduit les valeurs de
1
Cm et Cm2 par :
D
Cm1 =
- éq
3.3-6
2 2H
Cm1 D
Cm2 =
=
-
éq 3.3-7
3
6 2H
Les coefficients Cd1, 1
Ck ,Cd2 et Ck2 sont directement déduits de la mesure et exprimés sous forme
de corrélations adimensionnelles.
3.4 Projection sur base modale et expression des termes de la matrice
de transfert d'effort fluide-élastique
Décomposition du mouvement sur base modale
On note j (x) la déformée modale du jème mode de la structure. La décomposition du vecteur des
déplacements dans la base modale s'exprime sous la forme :
DX (x)
N
N
j
(ux, s) = j(x)qj(s)= DY (x)
j
q j (s) éq
3.4-1
j =1
j =1
DZ j (x)
Où DX j , DY j et DZ j correspondent aux trois composantes de translation caractérisant les
déformées modales calculées à l'aide du Code_Aster.
Calcul de l'excitation généralisée associée au mode i
L'excitation généralisée Q (s
i
) associée au mode i est définie par la relation :
i (
L
s) = f^
Q
c (x, s)
. i (x)dx
éq 3.4-2
0
où L désigne la longueur de la structure sur laquelle on veut imposer les excitations GRAPPE2.
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5.0
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Couplage fluide-structure pour les structures tubulaires et les coques
Date :
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T. KESTENS, M. LAINET Clé
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Les fonctions de transfert H1(s) et H2 (s) étant définies à partir des relations [éq 3.3-4] et [éq 3.3-5],
on en déduit, compte tenu des expressions [éq 3.3-1], [éq 3.3-4] et [éq 3.3-5] :
0
0
Qi (s)
N
L
=
H (s)DYj(xo)qj(s)(x - xo) . i
DY (x)dx
0
1
j =1
DZ j (xo )
DZi (x)
éq
3.4-3
0
0
N
- L
H (s)DY'
'
j (xo )q j (s) (x - xo )
.
i
DY (x)dx
0
2
j =1
'
DZ x
DZ x
j ( o )
i ( )
D'où, après intégration :
Qi (s)
N
= {H1(s)[ i
DY (xo ).DY j (xo )+ DZi (xo ).DZ j (xo )]
j =1
+ H
'
'
'
'
2 (s)[
i
DY (xo ).DY j (xo )+ DZi (xo ).DZi (xo )]} q j (s) éq
3.4-4
N
= ij
B (s)q j (s)
j =1
Remarque :
'
'
i
DY (xo ) = DRZi (xo ) et DZi (xo ) = -
i
DRY (xo )
3.5
Résolution du problème modal sous écoulement
Le problème modal est résolu en supposant, en première approximation, que les termes diagonaux de
la matrice de transfert des efforts fluide-élastiques [B(s)] sont prépondérants par rapport aux termes
extradiagonaux.
La matrice [B(s)] étant ainsi réduite à sa diagonale, les déformées modales ne sont pas perturbées
par la prise en compte du couplage fluide-élastique ; les seuls paramètres modifiés sont les
fréquences propres et les amortissements réduits modaux.
Le problème modal sous écoulement se décompose alors en N problèmes scalaires indépendants,
résolus par une méthode de type Broyden :
(M + aj
ii
M ii ) 2
s + (C + aj
ii
C ii (s))s + (K + aj
ii
K ii (s))= 0 éq
3.5-1
où
aj
M ii
désigne la masse généralisée ajoutée par le fluide,
aj
C ii (s) désigne l'amortissement généralisé ajouté par le fluide,
aj
K ii (s) désigne la raideur généralisée ajoutée par le fluide.
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aj
M
aj
aj
ii , C ii (s) et K ii (s) sont calculées à l'aide des relations :
aj
1
2
2
2
2
2
2
'
'
M ii = + f D Lp Cm1{DY1 (xo )+ DZi (xo )}
+ Lp Cm2 DY i (xo )+ DZ i (xo )
éq 3.5-2
2
aj
1
2
2
2
2
2
'
'
C ii (s)
= - f DULp Cd1(Vr ){DY1 (xo )+ DZi (xo )}+ Lp Cd2(Vr )DY i (xo )+ DZ i (xo )
2
éq 3.5-3
aj
1
2
2
2
2
2
2
'
'
K ii (s)
= - fU Lp Ck1(Vr ){DY1 (xo )+ DZi (xo )}+ Lp Ck2(Vr )DY i (xo )+ DZ i (xo )
2
éq 3.5-4
aj
U
C
aj
ii et K ii dépendent implicitement de s par l'intermédiaire de la vitesse réduite Vr =
.
sD
Les trois grandeurs nécessaires pour dimensionner ces termes sont donc uniquement D
f ,
et
U ,Lp étant déduites de D grâce à la propriété de similitude géométrique.
Comme cela a été indiqué précédemment, les coefficients adimensionnels
Cd1(Vr ), Ck1(Vr ),Cd2 (Vr ) et Ck2 (Vr ) sont issus des corrélations empiriques identifiées
expérimentalement sur la maquette GRAPPE2.
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4 Excitation fluide-élastique agissant sur deux coques
cylindriques coaxiales sous écoulement annulaire
(exemple : espace cuve / enveloppe de coeur)
L'intégration de ce modèle d'excitation fluide-élastique dans le Code_Aster a été abordée dans la note
de spécifications [bib2]. La note de principe du modèle MOCCA_COQUE [bib5] constitue la
documentation théorique de référence.
4.1
Description de la configuration étudiée
La configuration matérielle étudiée est composée de deux coques cylindriques coaxiales, séparées
par un espace annulaire dans lequel s'écoule un fluide monophasique incompressible visqueux
[Figure 4.1-a]. L'écoulement se fait dans la direction de l'axe de révolution des cylindres ; pour fixer les
notations, on suppose dans la suite du document qu'il s'agit de l'axe x .
On note :
L
la longueur commune des deux coques cylindriques,
R
1 ( ,x t
, )
le rayon intérieur de l'espace annulaire,
R
2 ( ,x t
, )
le rayon extérieur de l'espace annulaire,
R ,x,
1
t + R ,x,
2
t
R( ,x t,)
le rayon moyen R( ,x,t)
(
)
(
)
=
,
2
H ( ,x t,)
le jeu annulaire (H ( ,x t,) = R2 ( ,x t,)- R1( ,x t,) ,
e
r ,e ,e
x
les vecteurs de la base de coordonnées cylindriques.
R1
R2
Coque externe
L
Coque interne
Figure 4.1-a : Schéma de principe coques coaxiales
4.2
Etapes de calcul
· La première étape de calcul consiste à déterminer la base modale en air de la structure. Cette
opération est réalisée par l'opérateur MODE_ITER_SIMULT. Ce calcul est nécessaire car la
décomposition de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques [B(s)] est exprimée dans
cette base.
· La seconde étape concerne la prise en compte des forces fluide-élastiques. Elle intervient dans
l'opérateur CALC_FLUI_STRU. Cette étape se décompose en huit sous-tâches :
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4.2.1 Pré-traitements
1°/ Détermination des grandeurs géométriques caractéristiques, à partir de la topologie du
maillage : longueur commune des deux coques, rayon moyen, jeu annulaire moyen.
2°/ Caractérisation des déformées modales en air : détermination des ordres de coque, des
plans principaux, des nombres d'onde et des coefficients de déformées de poutre associées
à chacun des modes de la structure, tant pour la coque interne que pour la coque externe.
4.2.2 Résolution du problème modal en eau au repos
3°/ Calcul de la matrice de masse ajoutée par le fluide [Maj ] dans la base modale de la
structure en air
4°/ Calcul des caractéristiques modales de la structure en eau au repos en résolvant :
[({Mi]+ [Maj]) 2s +[Ki]}(q)= 0
On obtient les nouvelles caractéristiques de la structure en eau au repos
e
e
e
Mi ,Ki , fi
(masse et raideur généralisées, fréquence propre du mode i) ainsi que les déformées
modales
e
i , exprimées dans la base en air.
5°/ Calcul des déformées en eau au repos dans la base physique, par changement de base :
[ ei]=[ ai][ e
.i ]
4.2.3 Résolution du problème modal sous écoulement
Pour chaque vitesse d'écoulement :
6°/ Calcul de [B(s)] dans la base modale en air.
Ce calcul est réalisé en résolvant le problème fluide instationnaire suivant la méthode
précisée au paragraphe § 4.3.1.
7°/ Calcul des forces fluide-élastiques induits par les effets d'amortissement et de raideur
ajoutés, dans la base modale en eau au repos.
[B (s)] t
e
= [ e
2
i ][
{B(s)]-[Maj]s }[ e
i ]
8°/ Résolution du problème modal en négligeant les termes extradiagonaux de cette dernière
matrice, par la méthode de Broyden (boucle sur les sous-tâches 6° et 7°).
e 2
M s
i
+ e
C s
i
+
e
Ki -
e
Bii (s) = 0
Les caractéristiques modales de la structure :
ec
ec
ec
Mi , fi
, i (masse généralisée,
fréquence propre et amortissement du mode i, sous écoulement) sont déterminées. Les
déformées modales sont supposées être identiques à celles en eau au repos.
Fin de boucle sur les vitesses d'écoulement
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Remarques :
· Le calcul des termes de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques nécessite la
résolution du problème fluide instationnaire (sous-tâche 6°). Cette résolution n'est
elle-même possible que si l'on a préalablement déterminé certaines grandeurs
géométriques caractéristiques de la configuration, ainsi que les coefficients des formes
analytiques des déformées modales des structures (pré-traitements 1° et 2°).
· Si l'utilisateur choisit de réaliser la première étape (calcul de la base modale par
l'opérateur MODE_ITER_SIMULT) en prenant directement en compte les effets de masse
ajoutée, ceux-ci ne doivent plus être pris en compte par l'opérateur CALC_FLUI_STRU.
Pour cela, le mot-clé MASS_AJOU de la commande DEFI_FLUI_STRU doit être
renseigné par 'NON'. Les sous-tâches 3° à 7° deviennent alors :
3° Calcul des effets de masse ajoutée par le fluide, dans la base modale de la
/
structure en eau, afin de pouvoir retrancher ces effets de l'effort fluide-élastique
global, puisque les termes de masse ajoutée sont déjà pris en compte.
4° Sous-tâche supprimée.
/
5° Sous-tâche supprimée.
/
Pour chaque vitesse d'écoulement
6° Calcul de la matrice [B(s)] dans la base modale en eau.
/
7° Calcul des forces fluide-élastiques induites par les effets d'amortissement et de
/
raideur ajoutés dans la base modale en eau :
[ eB(s)]=[B(s)]-[Maj] 2s
Les sous-tâches 1°, 2° et 8° ne sont pas modifiées.
4.3
Résolution du problème fluide instationnaire
4.3.1 Hypothèses
simplificatrices
Quelques hypothèses sur la nature de l'écoulement permettent de simplifier les équations de Navier-
Stokes instationnaires, à la base du problème fluide-structure.
H1
On suppose que l'écoulement est la superposition d'un écoulement moyen stationnaire, obtenu
lorsque les structures sont fixes, et d'un écoulement instationnaire induit par le mouvement des
parois.
H2
On suppose que les vibrations de structure sont de faible amplitude vis à vis de l'épaisseur de
l'écoulement annulaire moyen.
H3
On suppose que les perturbations de vitesse induites par les mouvements vibratoires sont, en
moyenne sur un rayon, essentiellement dirigées dans les directions et x : on suppose ainsi
que le mouvement vibratoire induit un mouvement hélicoïdal de fluide autour des structures
plutôt qu'un mouvement radial par rapport à ces dernières. Ces perturbations de vitesse
définissent l'ordre 1.
H4
On suppose enfin que le champ de vitesse et de pression est uniforme, à l'ordre 1, dans la
direction radiale.
Ces hypothèses simplificatrices permettent de résoudre analytiquement le problème fluide. La matrice
de transfert des forces fluide-élastiques [B(s)] est déduite de l'écoulement instationnaire issu de cette
résolution.
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4.3.2 Analyse en perturbations
Moyennant les hypothèses énoncées précédemment, l'analyse en perturbations du problème fluide
conduit à rechercher l'écoulement instationnaire sous la forme :
U = 0
r
+ 0 +
2
ordre
éq
4.3.2-1
U = + u~
0
( , x,t) +
2
ordre
éq
4.3.2-2
U
~
x = U (x) + u x ( , x, t ) +
2
ordre
éq
4.3.2-3
P = P(x)+ p~( , x,t)+
2
ordre éq
4.3.2-4
avec :
R = R + r~ (, x,t
1
1
1
)
éq
4.3.2-5
R = R + r~ (, x,t
2
2
2
)
éq
4.3.2-6
~
~
~
~
r
~
~
+
On définit les variables h et R comme :
~
~
h = r
2
r 1
2 - r 1et R =
.
2
En limitant le développement des équations de Navier-Stokes au premier ordre, on obtient deux
systèmes d'équations caractérisant la partie stationnaire et la partie perturbée de l'écoulement, le
second système étant un système linéaire.
La résolution du problème fluide stationnaire conduit ainsi à :
P
1
U (x) = U constante et
2
= - C U éq
4.3.2-7
x
H
f
Dans l'équation [éq 4.3.2-7], désigne la masse volumique du fluide et C f la partie stationnaire du
coefficient de frottement à la paroi. Le fluide étant supposé incompressible, sa masse volumique n'est
pas décomposée en partie stationnaire et partie fluctuante. C f est déduit de la loi de Nikuradzé
caractérisant les écoulements en conduite :
2 U
H
C
x
f = C fo ( e
R , ) m(R ,e )
e
R
avec e
R =
éq
4.3.2-8
où m désigne la valeur d'un exposant, désigne la viscosité cinématique du fluide et la rugosité des
parois.
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Il en découle :
C
,
f
= C fo (R
e
e , )
m(R
)
Re
~
~
~
2HU
Hu~
~
2
C
x
f
= C f (Re )- C f (Re )
avec Re =
R =
et e
~
= (m +
u
2 )C
x
f
+
2
ordre
U
Le système différentiel linéaire d'ordre 1 caractérisant la partie instationnaire de l'écoulement induite
par les mouvements de parois s'écrit dans le domaine de Laplace :
~
~
u~
~
x
1 u
U
h
s ~ U R
s ~
+
= -
+
h -
+
R
x
R
H x U R x U
u~
U
1
p~
U
+ s + C
~
f
u +
= 0
éq
4.3.2-9
x
H
R
~
~
2
u
U
1 p
U ~
U
x + s + C (m
~
f
+ 2)
u x +
= C h
f
x
H
x
H
Trois conditions aux limites d'entrée-sortie permettent de résoudre ce système. La première de ces
conditions est obtenue en supposant que l'écoulement est suffisamment régulier en amont de l'espace
annulaire, pour que la composante tangentielle de la vitesse d'entrée puisse être négligée :
u = 0 en x = 0 éq
4.3.2-10
Les deux autres sont obtenues en appliquant l'équation de conservation de l'énergie cinétique, sous
sa forme quasi-stationnaire, entre l'infini amont et l'entrée de l'espace annulaire, puis entre la sortie de
l'espace annulaire et l'infini aval. On obtient alors respectivement, à l'ordre des perturbations :
R2
1
~
~
~
2
p + U u x (1 + C
0
0
d
en
e)
+
C U
U rdr = x =
d e
2
R
1
éq
4.3.2-11
R2
1
~
~
~
2
p + U u x (1 - C
0
d
en
s)
-
C U
U rdr = x = L
d s
2
R1
Dans ces expressions, Cd et C représentent les parties stationnaires des coefficients de pertes
e
ds
de charge singulières d'entrée et de sortie. Ils prennent en compte la dissipation d'énergie induite,
lorsque les parois sont fixes, par d'éventuelles brusques évolutions de la géométrie à l'entrée ou la
sortie de l'espace annulaire. Dans la plupart des cas, ces coefficients peuvent être estimés simplement
à l'aide de données de la littérature (Idel'cik par exemple). Lorsque la configuration géométrique
d'entrée ou de sortie est très particulière, ces coefficients peuvent également être déterminés à l'aide
d'un code de mécanique des fluides bidimensionnel adapté à l'étude des problèmes à parois fixes, de
type N3S.
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~
~
Cd et C sont les parties instationnaires des coefficients de pertes de charge singulières. Ces
e
ds
coefficients prennent en compte les perturbations des lignes de décollement induites par les
mouvements de structure. Ils peuvent être modélisés grâce à une approche quasi-stationnaire de
même nature que celle introduite pour l'estimation du coefficient de frottement de paroi.
Le système [éq 4.3.2-9] est résolu analytiquement, à l'aide des conditions limites [éq 4.3.2-10] et
~
~
[éq 4.3.2-11], en explicitant les fonctions h et R caractérisant le second membre.
Les perturbations r~
~
1( , x, s) et r2 ( , x, s) définissant le mouvement des parois, les parties
perturbées du jeu annulaire et du rayon moyen sont alors définies, dans le domaine de Laplace, par :
~
h ( , x s) = r~
,
2 ( , x s) - r~
,
1( , x, s) éq
4.3.2-12
~
~
~
, ,
, ,
R(
+
, x, s) 1r( x s) 2r( x s)
=
éq
4.3.2-13
2
4.3.3 Décomposition sur base modale
Soit N le nombre de modes vibratoires de la structure dans la bande de fréquence étudiée. La
décomposition sur base modale du mouvement des parois s'exprime de la manière suivante :
N
r
~1(, x,s)= [
cos k
*
i
1 ( - i
1 )] r
. i1 (x)
. i (s) éq
4.3.3-1
i 1
=
N
r
~2(, x,s)= [
cos k
*
2i ( - 2i )] r
. 2i (x)
. i (s)
éq
4.3.3-2
i 1
=
où
k i1 et k2i représentent les ordres de coque du ième mode pour les mouvements respectifs
des coques interne et externe,
i1 et 2i permettent de caractériser les plans principaux de ces modes,
r *
*
i
1 (x) et r2i (x) sont déduits des déformées de poutre des structures interne et externe
associées au mode considéré,
et
(s
i
) représente le déplacement généralisé.
Remarque :
Les fonctions r *
*
i
1 (x) et r2i (x) sont représentées, dans le cadre de la résolution analytique,
sous forme de combinaisons linéaires de sinus, cosinus, sinus hyperbolique et cosinus
hyperbolique :
*
r
1
1
1
1
i
1 (x)
i
i
i
i
= A i1 cos
x + B i1 sin
x + C ch
i
1
x + D sh
i
1
x éq
4.3.3-3
L
L
L
L
*
r
2
2
2
2
2i (x)
i
i
i
i
= A2i cos
x + B2i
sin
x + C ch
2i
x + D sh
2i
x éq 4.3.3-4
L
L
L
L
avec i1 et 2i nombres d'onde du ième mode pour les mouvements des coques interne et
externe respectivement.
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Les solutions du problème fluide ~, ~
~
p u
u
x et sont recherchées sous la forme de décompositions
sur base modale déduites de celles de ~
~
r et r
1
2 explicitées par les relations [éq 4.3.3-1] et
[éq 4.3.3-2]. On obtient ainsi, dans le domaine de Laplace :
N * ,
*
,
p~( , x, s)
p i1 (x s)
=
[
cos k1
-
+ 2
1
cos 2
-
i (
i )] p i(x s) [k i ( 2i )] i(s)
éq 4.3.3-5
2
2
i 1
k
k
=
i
1
2i
N
u~
*
*
x ( , x, s) = (u i
1 (x, s)
[
cos k i1 ( - i1 )]+ u2i (x, s)
[
cos k2i ( -2i )])i (s)
éq
4.3.3-6
i =1
N * ,
*
,
u~
, ,
=
1
sin 1
-
+ 2
1
sin 2
-
( x s)
v i (x s)
[k i( i)] v i(x s) [k i( 2i)] i(s)
éq
4.3.3-7
k
k
i =1
i
1
2i
4.3.4 Expression des termes de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques
L'effort fluide-élastique surfacique, F , est la résultante du champ de pression et des contraintes
visqueuses et turbulentes exercées par l'écoulement sur les parois de la structure en mouvement.
F = - P n + t
+ t
x x
éq
4.3.4-1
L'effort fluide-élastique généralisé associé au ième mode vibratoire de la structure, Q (s
i
), s'écrit ainsi :
Qi (s) = F.Xi i
ds
éq
4.3.4-2
Si
Où Si désigne la surface des parois de la structure mouillées par l'écoulement, et le vecteur Xi
représente le ième vecteur déformée modale dans cette expression. La représentation du champ de
vitesses et de pression et la représentation sous forme d'une loi de paroi des contraintes visqueuses
et turbulentes exercées sur la structure en mouvement permettent d'exprimer l'effort fluide-élastique
généralisé Q (s
i
) de la façon suivante :
Qi (
N
s) = Bij (s) j (s)
éq
4.3.4-3
j =1
avec Bij (s) = B ij
1 (s) + B2ij (s)
(s
ij
1
B
) et B2 (s
ij
) désignent respectivement les contributions des coques intérieure et extérieure.
Ces contributions sont définies par :
R1
*
1
*
*
B ij
1 (s) =
-
cos[k i1
,
,
.
2
( i1 - 1j)] k ki11j Lp i1 (x s)+ CfUv i1 (x s)
r1j (x)dx
k
0
2
i
1
- R1
*
1
*
*
cos
,
,
.
2
[k2i( 2i - 1j)] k k2i1j Lp2i (x s)+ CfUv2i (x s)
r1j (x)dx
k
0
2
2i
éq 4.3.4-4
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Couplage fluide-structure pour les structures tubulaires et les coques
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et
R2
*
1
*
*
B2ij (s) = -
[
cos k i1
,
,
.
2
( i1 - 2j)] k ki12j Lp i1 (x s)+ CfUv i1 (x s)
r2 j (x)dx
k
0
2
i
1
- R2
*
1
*
*
cos
,
,
.
2
[k2i( 2i - 2j)] k k2i2j Lp2i (x s)+ CfUv2i (x s)
r2 j (x)dx
k
0
2
2i
éq 4.3.4-5
4.4
Résolution du problème modal sous écoulement
Comme on l'a expliqué au paragraphe [§ 4.2], on résout préalablement le problème modal en eau au
repos, afin de prendre en compte le couplage inertiel entre modes. On estime ainsi la matrice de
masse ajoutée par le fluide, en calculant [B(s)] pour une vitesse moyenne de l'écoulement nulle. Les
caractéristiques modales du système sous écoulement sont ensuite obtenues en perturbant les
caractéristiques en eau au repos. On ne tient plus compte que de l'amortissement et de la raideur
ajoutés : les termes de masse ajoutée précédemment calculés sont retranchés de la matrice [B(s)].
Le couplage entre modes est alors négligé ; en conséquence, les déformées modales demeurent
inchangées par rapport à celles en eau au repos. Les seuls paramètres perturbés par la mise en
écoulement du fluide sont la fréquence et l'amortissement modal réduit. Ces paramètres sont calculés
en résolvant N équations non linéaires mode par mode, par mise en oeuvre d'une méthode de type
Broyden.
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5
Ecoulement axial (exemple : assemblages combustibles)
L'intégration de ce modèle d'excitation fluide-élastique dans le Code_Aster a été abordée dans la note
de spécifications [bib2]. La note de principe du modèle MEFISTEAU [bib6] constitue la documentation
théorique de référence.
5.1
Description de la configuration étudiée
On considère un faisceau de K cylindres circulaires mobiles en flexion et soumis à un écoulement
incompressible de fluide visqueux, limité par une enceinte rigide cylindrique de section circulaire ou
rectangulaire [Figure 5.1-a].
L
X
Enceinte circulaire
Z
Y
Enceinte rectangulaire
Figure 5.1-a : Faisceau sous écoulement axial
Les cylindres sont tous parallèles, dirigés suivant l'axe de l'enceinte. Ils ont une longueur commune,
notée L . Pour simplifier les notations, on suppose par la suite que x est l'axe directeur. L'écoulement
stationnaire est axial et supposé uniforme dans chaque section. La masse volumique du fluide pouvant
être variable suivant l'axe x (gradients thermiques), la vitesse de l'écoulement stationnaire dépend
aussi de la variable x .
5.2
Etapes de calcul
· La première étape concerne la détermination de la base modale en air du faisceau. Cette
opération est réalisée par l'opérateur MODE_ITER_SIMULT. Cette étape est indispensable car les
forces fluide-élastiques sont projetées sur cette base.
· La deuxième étape concerne la prise en compte des forces fluide-élastiques par l'opérateur
CALC_FLUI_STRU. Cette étape se décompose en 7 sous-tâches :
5.2.1 Pré-traitements
1°/ Au moyen de la topologie du maillage, déduction des coordonnées des centres des cylindres
du faisceau puis vérification de la bonne disposition des cylindres les uns par rapport aux
autres (on vérifie notamment qu'il n'y a pas chevauchement entre deux cylindres) et par
rapport à l'enceinte rigide.
2°/ Détermination de la longueur d'excitation du fluide, commune à tous les cylindres, ainsi que
d'une discrétisation associée suivant l'axe directeur.
3°/ Constitution des tableaux donnant les déformées modales en air de chaque cylindre du
faisceau, pour chacun des modes pris en compte pour le couplage fluide-structure. On
interpole pour cela les déformées aux points de la discrétisation déterminée auparavant.
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5.2.2 Résolution du problème modal sous écoulement
4°/ Résolution du problème fluide perturbé. La détermination du potentiel des vitesses
perturbées nécessite l'inversion de systèmes linéaires d'ordres élevés appelant la mise en
oeuvre de la méthode de Crout.
Pour chaque vitesse d'écoulement
5°/ Calcul des matrices de masse, d'amortissement et de raideur ajoutés donnant la matrice de
transfert des forces fluide-élastiques dans la base modale en air :
[B
2
ij (s)] = -[Ma ]s - [Ca ]s - [K a ]
[Ma] pleine symétrique ; [Ca]et[Ka] a priori pleines et non symétriques.
6°/ Résolution du problème modal sous écoulement ; on résout le problème complet aux
vecteurs et aux propres
{[Mij] 2s +[Cij]s+[Kij]-[Bij(s)]}.(q)= (0)
On ne néglige pas les termes extradiagonaux de [B (s
ij
)]. Après reformulation, la résolution est
effectuée à l'aide de l'algorithme QR : obtention des masses, fréquences et amortissements
modaux réduits sous écoulement
ec
ec
ec
Mi , fi
, i , déformées modales complexes ec
i exprimées
dans la base en air ; de ces dernières, on ne retient que la partie réelle après minimisation de la
partie imaginaire (calcul d'un critère sur la partie imaginaire).
7°/ Restitution des déformées sous écoulement dans la base physique.
[ ec
i ]= [i][ ec
i ]
[i] est la matrice dont les colonnes sont les déformées modales en air, exprimées en base
physique.
Fin de boucle sur les vitesses d'écoulement
Remarques :
· La connaissance des coordonnées des centres des cylindres (pré-traitement 1°) est
nécessaire à la résolution du problème fluide perturbé (sous-tâche 4°). Cette résolution
conduit à l'estimation des termes de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques
(sous-tâche 5°), qui font intervenir les perturbations de pression et de vitesse.
· La détermination d'une longueur commune d'excitation et la création d'une discrétisation
associée (pré-traitement 2°) permettent de définir un domaine d'intégration sur les structures
pour la projection des forces fluide-élastiques sur la base modale. L'interpolation des
déformées modales aux mêmes points est donc requise (pré-traitement 3°).
· Le comportement dynamique du faisceau sous écoulement peut également être étudié à
l'aide d'une représentation simplifiée du faisceau (avec des tubes équivalents). Les étapes de
calcul pour la prise en compte du couplage fluide-structure sont alors identiques à celles
décrites précédemment, les seules différences apparaissant dans les pré-traitements. Cette
deuxième approche est décrite plus précisément dans la note [bib2]. Dans l'étape 1° des
pré-traitements, les coordonnées des centres des cylindres du faisceau sont alors spécifiées
directement par l'utilisateur, qui établit également la correspondance entre les cylindres du
faisceau et les poutres de la représentation simplifiée donnée par le maillage. Dans l'étape 3°
des pré-traitements, cette correspondance permet d'affecter aux cylindres du faisceau, aux
points de discrétisation déterminés dans l'étape 2°, les déformées modales des poutres de la
représentation simplifiée.
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5.3
Résolution du problème fluide instationnaire
5.3.1 Hypothèse
simplificatrice
H1
Le champ des vitesses fluides instationnaires est déterminé analytiquement en supposant
~
que l'écoulement perturbé est potentiel dans tout le domaine fluide, et que l'écoulement
stationnaire est uniforme transversalement, mais fonction de la position axiale x :
~
u = U + u~ = U ( x) x + (
)
éq
5.3.1-1
Un tel champ de vitesses admet un glissement sur les parois des cylindres qui permettra de
calculer la contrainte visqueuse par une loi de frottement.
H2
~
Le mouvement des cylindres ne génère des perturbations de vitesse ~
u = (
) que
radialement et orthoradialement (hypothèse des corps élancés) : ~
~
~
u = u y
y
+ u z
z
H3
Le champ de pression est décomposé en parties stationnaire et perturbée selon P = P + p~
Le champ de pression stationnaire ne dépend que de x et son gradient vaut :
P
d (x)
U
d
C
= -U
(x)- fl
2
U U + g.x
éq
5.3.1-2
dx
dx
DH
où
DH désigne le diamètre hydraulique du faisceau,
C fl désigne le coefficient de frottement local pour la vitesse stationnaire U . Il dépend du
nombre de Reynolds, calculé à l'aide de la vitesse stationnaire U , du diamètre hydraulique du
faisceau et de la rugosité des parois. Ce coefficient est déduit de la loi de Nikuradzé
caractérisant les écoulements en conduite ;
g désigne le champ de pesanteur. Son action sur le champ de pression stationnaire dépend de
l'inclinaison du faisceau (g.x) .
5.3.2 Détermination du potentiel des vitesses perturbées
~
On recherche une solution analytique pour (r,, x,t) sous la forme d'une superposition de
singularités élémentaires qui s'écrivent :
N tronc
{C (x,t).r-n.co (sn
-n
k ) + Dnk (x,t).rk .si (
n n
nk
k
k )} éq
5.3.2-1
n =1
au centre de chaque cylindre k et :
Ntronc{ nA(x,t) n.or.cos(no)+ nB(x,t) n.or.sin(no)}
éq
5.3.2-2
n=1
au centre de l'enceinte rigide quand celle-ci est circulaire où :
N
N
3 ,
tronc
désigne l'ordre de troncature de la série de Laurent ( tronc = )
k
r
, k
désignent les coordonnées polaires dans un plan perpendiculaire à l'axe x ,
centrées au centre du cylindre k,
o
r
, o
désignent les coordonnées polaires dans un plan perpendiculaire à l'axe x ,
centrées au centre de l'enceinte rigide circulaire.
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Les coefficients Cnk (x, t),Dnk (x, t), An (x, t) et Bn (x,t)des expressions [éq 5.3.2-1] et [éq 5.3.2-2]
sont déterminés en appliquant la condition aux limites de non pénétration :
· sur le contour de chaque cylindre mobile k , cette condition s'écrit :
~
Dy
Dz
k ,
( kr = R )
k
k =
(x,t)cos( )
k
k +
(x,t)sin(k )
k
r
Dt
Dt
où
yk (x,t)et zk (x,t) désignent les composantes du déplacement de la fibre neutre du cylindre k
à l'abscisse x dans le repère (y, )
z ,
rk et k désignent les coordonnées polaires dans le repère (y, )
z dont l'origine est prise au
centre du cylindre k ,
Rk désigne le rayon du cylindre k ,
D
+ U (x)
.
Dt
t
x
· sur le contour d'une enceinte rigide circulaire, elle s'écrit :
~
o,
( or = o
R ) = 0
où Ro désigne le rayon de l'enceinte.
o
r
Dans le cas d'une enceinte rigide rectangulaire, cette condition est prise en compte par une méthode
dérivée de la méthode des « images » [bib6] ; le problème fluide confiné par l'enceinte rectangulaire
est rendu équivalent au problème en milieu infini en créant des images des cylindres mobiles du
faisceau par rapport aux côtés de l'enceinte. Cette méthode conduit à introduire de nouvelles
singularités de la forme [éq 5.3.2-1], placées au centre des cylindres «images», dans l'expression de
~
. Elle n'ajoute cependant pas d'inconnue au problème puisque les coefficients pour ces nouvelles
singularités sont dérivés de ceux des cylindres mobiles du faisceau par le jeu des images.
Finalement, le potentiel des vitesses perturbées s'écrit :
~
(r, , x,t) K
=
Dy
Dz
f (r, )
k
k
(x,t)+ g (r, ) k
k
(x,t)
éq
5.3.2-3
Dt
Dt
k =1
Où K désigne le nombre de cylindres mobiles du faisceau. Les fonctions f (r,) et g (r
k
k
,) sont
des combinaisons linéaires de r-n .
(
cos n ),r-n.
(
sin n ), rn .
(
cos n ) et rn.
(
sin n ) dont les
coefficients sont déterminés par les conditions aux limites précédentes. Cela nécessite la résolution de
systèmes linéaires d'ordres élevés et à matrices pleines. Les inversions sont réalisées en mettant en
oeuvre la méthode de Crout.
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5.3.3 Modélisation des forces fluides
On retient d'abord les forces dues aux perturbations de pression ~
p , reliées au potentiel des vitesses
perturbées par :
~
~
D
p = -
éq
5.3.3-1
Dt
La résultante du champ de pression perturbée autour de chaque cylindre mobile est une force linéique
2
D y
2
D z
f ~
k
k
p agissant suivant y et z . Cette force dépend linéairement des
et
, engendrant ainsi
2
Dt
2
Dt
des termes de masse, d'amortissement et de raideur ajoutés.
On prend ensuite en compte les forces liées à la viscosité du fluide.
Dans une approche quasi-statique, on considère l'action du champ de vitesse fluide (U + u~) autour
d'un cylindre à l'instant t : dans le repère lié au cylindre, l'écoulement, de vitesse U à l'ordre 0,
présente une incidence par rapport au cylindre qui est fonction des perturbations de vitesse et du
mouvement du cylindre lui-même. Il en résulte une force de traînée et une force de portance. On
montre que les composantes suivant y et z de la force linéique résultante fv s'écrivent, pour le
cylindre l :
(
y
D y
l
f )
= -
l
~
~
y
R U C fl
- u ly -
l
R U C p
l - u ly
éq
5.3.3-2
t
l
Dt
(
z
Dz
l
f )
~
~
= -
z
R U C fl
l - l
uy - R U Cp
l - l
uz
l
éq
5.3.3-3
t
l
Dt
où
Cp désigne la pente à incidence nulle du coefficient de portance autour d'un cylindre très
faiblement incliné ( Cp = 0,08).
~
uy et ~uz désignent les moyennes des perturbations de vitesse suivant les axes y et z autour
Dy
Dz
des cylindres, qui dépendent linéairement des
k et
k (cf. [éq 5.3.2-3]).
Dt
Dt
Ces forces engendrent des termes d'amortissement et de raideur ajoutés.
On prend enfin en compte l'action du champ de pression stationnaire sur les structures mobiles
déformées. On montre que la force linéique résultante f pl sur le cylindre l a pour composantes, à
l'ordre 1 :
(
l
2
l
f p)
y
= R
P
éq
5.3.3-4
y
l x x
(
l
2
l
f p)
z
= R
P
éq
5.3.3-5
z
l x x
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Ces forces n'engendrent que des termes de raideur ajoutée et aucun couplage entre cylindres.
Les expressions [éq 5.3.3-1], [éq 5.3.3-2] et [éq 5.3.3-3] mettent en évidence la nécessité de résoudre
le problème fluide perturbé avant d'estimer les forces fluide-élastiques.
5.3.4 Expression des termes de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques
Récapitulatif des forces linéiques
Pour chaque cylindre l , les forces fluide-élastiques s'écrivent suivant y et z :
f = f l~p + f l + f l
l
p
éq
5.3.4-1
et sont combinaisons linéaires des :
y
2
2
2
2
2
2
k
yk yk yk zk zk zk zk
,
,
,
,
,
,
,
(k = ,
1 K)
t
t2
tx
x2
t
t2
t x
x2
Décomposition du mouvement sur base modale
Le mouvement du faisceau de cylindres est décomposé suivant N modes de vibration en air. On note
kj (1 k K et 1 j N) les déformées suivant y et z du cylindre k correspondant au jème mode
du faisceau. Les composantes du déplacement de la fibre neutre du cylindre k à l'abscisse x
peuvent alors s'écrire :
yk (t)
N
= q j(t) k
j (x)y
.
éq
5.3.4-2
j =1
zk (t)
N
= q j(t) k
j (x)z. éq 5.3.4-3
j =1
où (q) = (q j )
est le vecteur des déplacements généralisés.
j = ,
1 N
Projection des forces sur base modale
· On note (t
i
F ) la projection des forces fluide-élastiques suivant le ième mode du faisceau.
i
F (
K
L
t) = fk (x,t) k
. i (x)dx éq
5.3.4-4
0
k =1
(t
i
F ) est une combinaison linéaire des (q j ,q& j ,q& j )
j = ,
1 N
· On note F(t) le vecteur des forces fluide-élastiques modales : F(t) = ( i
F (t) i= ,1N qui s'écrit :
F(t) = -[Ma ](q&(t) - [Ca ](q&(t) - [Ka ](q(t) éq
5.3.4-5
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Où
[Ma] désigne la matrice des termes de masse ajoutée par le fluide,
[Ca] désigne la matrice des termes d'amortissement ajouté par le fluide,
[Ka] désigne la matrice des termes de raideur ajoutée par le fluide.
Ces matrices sont carrées réelles d'ordre N et leurs termes sont indépendants du mouvement
des structures. La matrice [Ma ] est symétrique ; les matrices [Ca ] et [Ka ] ne le sont pas
nécessairement.
· La projection des équations du mouvement sur base modale fournit :
[(Mii]+ [Ma])(q&(t) + [(Cii]+ [Ca])(q&(t) + [(Kii]+ [Ka])(q(t) = (0) éq 5.3.4-6
[Mii],[Cii]et[Kii]
où
désignent les matrices de masses, d'amortissements et de raideurs de
structure en air ; ces matrices sont d'ordre N et diagonales.
Dans le domaine de Laplace, la relation [éq 5.3.4-6] devient :
[(Mii]+ [Ma]) 2s+ [(Cii]+ [Ca])s + [(Kii]+ [Ka])(q(s) = (0) éq 5.3.4-7
· On introduit ensuite la matrice de transfert des forces fluide-élastiques [B(s)] définie par :
[B(s)]= -[M 2
a ]s - [Ca ]s - [K a ]
éq
5.3.4-8
Et l'on retrouve la relation [éq 1.2-1] du paragraphe [§ 1.2] :
[(Mii] 2s +[Cii]s +[Kii]-[B(s)])(q(s) = (0)
5.4
Résolution du problème modal sous écoulement
Le problème modal sous écoulement est formulé par la relation [éq 5.3.4-7] du paragraphe précédent.
Ce problème est résolu après réécriture sous la forme d'un problème standard aux vecteurs et aux
valeurs propres du type [A](X) = (X) .
La nouvelle formulation est la suivante :
[ ]
0
[Id ]
q
q
= s
éq 5.4-1
-1
-1
sq
sq
- ([Mii]+ [Ma]) [(Kii]+ [Ka]) - ([Mii]+ [Ma]) [(Cii]+ [Ca])
Remarques :
1) On double la dimension du problème par rapport à celle du problème initial.
2) Les propriétés des matrices [Mii ] et [Ma ] permettent l'inversion.
La résolution de ce problème se fait au moyen de l'algorithme QR. Les modules mis en oeuvre par
l'opérateur CALC_FLUI_STRU sont les mêmes que ceux utilisés par MODE_ITER_SIMULT.
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Le problème aux éléments propres que l'on résout est un problème complexe. On obtient donc un
nombre pair de valeurs propres complexes conjuguées deux à deux. On ne conserve que celles dont
la partie imaginaire est positive ou nulle.
Les vecteurs propres sont complexes, définis à une constante complexe multiplicative près. Comme
l'on ne prend en compte que des modes réels, il s'agit en premier lieu de déterminer, pour chaque
vecteur propre, la constante qui minimise la partie imaginaire du vecteur par rapport à sa partie réelle,
au sens de la norme euclidienne. Les vecteurs propres sont alors redéfinis par rapport à cette norme.
Compte tenu de la normalisation utilisée, il est alors possible de ne conserver dans le concept
mode_meca que la partie réelle des vecteurs propres. On restitue cependant, dans le fichier MESSAGE,
des indicateurs sur les rapports entre partie imaginaire et partie réelle des vecteurs propres ainsi
normés, afin que l'utilisateur puisse juger du biais introduit par la non prise en compte de la partie
imaginaire des vecteurs normés.
5.5
Prise en compte de la présence des grilles du faisceau de tubes
La modélisation décrite précédemment, des forces induites par un écoulement axial sur un faisceau de
cylindres, ne prend pas en compte la présence des grilles du faisceau (par exemple, les grilles de
mélange et de maintien des assemblages combustibles). Une comparaison de ce modèle avec des
essais effectués sur la maquette CHAISE (dans la configuration d'un faisceau de neuf tubes flexibles
comportant une grille) est présentée dans une note de synthèse [bib8] : on constate que le couplage
fluide-élastique entre la grille et l'écoulement axial n'est pas négligeable et qu'il engendre un
accroissement de l'amortissement modal réduit des tubes. L'objet de ce paragraphe est la description
des effets supplémentaires dus aux grilles et de leur prise en compte dans le modèle MEFISTEAU.
5.5.1 Description de la configuration des grilles
On restreint ici l'étude à deux types de grilles :
· les grilles de maintien qui se situent aux extrémités du faisceau,
· les grilles de mélange qui sont réparties entre les grilles de maintien.
Les grilles sont toutes positionnées perpendiculairement au faisceau de cylindres et se présentent
sous la forme d'un réseau prismatique à base carrée de côté d g et de hauteur hg (suivant l'axe x des
cylindres). Les grilles d'un même type sont caractérisées par des dimensions identiques.
5.5.2 Etapes de calcul supplémentaires
· La première étape supplémentaire concerne la spécification du type de configuration des grilles
par l'opérateur DEFI_FLUI_STRU, puis la vérification de la bonne disposition des grilles les unes
par rapport aux autres, et par rapport aux extrémités du faisceau.
· La deuxième étape concerne la résolution du problème modal sous écoulement. Dans la boucle
sur les vitesses d'écoulement, la matrice de transfert des forces fluide-élastiques dans la base
modale en air est complétée par le calcul d'une matrice d'amortissement ajouté et d'une matrice
de raideur ajoutée, liées aux grilles.
5.5.3 Modélisation des forces fluides exercées sur les grilles
Calcul du saut de pression
Tout d'abord, la présence de grilles perturbe le champ de pression stationnaire P(x) ; on considère
chaque grille comme une singularité entraînant un saut de pression, dont l'expression se met sous la
forme :
1
P(x ) = (x )U 2(x )K (x )
g
g
g
g
g
g
g
éq 5.5.3-1
2
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Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
HI-86/02/008/A
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Version
5.0
Titre :
Couplage fluide-structure pour les structures tubulaires et les coques
Date :
23/09/02
Auteur(s) :
T. KESTENS, M. LAINET Clé
:
R4.07.04-B Page
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où
Kg désigne le coefficient de perte de charge due à la grille,
Ug désigne la vitesse stationnaire de l'écoulement au niveau de la grille,
g désigne la masse volumique de l'écoulement au niveau de la grille,
xg désigne la position axiale du milieu de la grille le long du faisceau.
La masse volumique (
)
g xg est calculée par interpolation linéaire du profil de masse volumique
(x) de l'écoulement en l'absence de grille. La vitesse stationnaire U ( )
g xg est calculée en
application de la conservation du débit massique, qui se traduit par l'équation suivante :
g (xg U
) g (xg ) Fg
A =oUo F
A
où
U
o et o désignent respectivement le profil de masse volumique et de vitesse stationnaire de
l'écoulement en pied de faisceau,
F
A désigne la section fluide du faisceau en l'absence de grille,
Fg
A désigne la section fluide du faisceau au niveau de la grille : Fg
A = F
A - g
A avec g
A la
section solide de la grille.
On en déduit l'expression :
1
1
Ug (xg )=
oUo
g
A g (xg )
1
-
F
A
Le coefficient de perte de charge K g est calculé à partir de l'expression de la force hydrodynamique
totale qui s'applique sur la grille, et nous obtenons :
2
1
A
Kg =
g
A C (x )
g dg
g + 1 -
h P C (x )
éq 5.5.3-2
F
A
g m fl g
F
A
Le 1er terme (en g
A Cdg ) provient de l'effort de traînée ;C ( )
dg xg est le coefficient de traînée de la
grille. Le 2ème terme (en m
P C fl ) est un terme correcteur de l'effort de frottement appliqué sur le
faisceau seul à l'altitude de la grille ( Pm est le périmètre mouillé du faisceau en l'absence de grille).
En introduisant l'expression [éq 5.5.3-2] dans la relation [éq 5.5.3-1], on obtient donc l'expression du
saut de pression P ( x )
g pour chaque grille d'altitude xg . Ce saut de pression est pris en compte au
niveau du calcul du champ de pression stationnaire P ( x) , de la manière suivante :
P(x
)
+1 =P ( x )- P
(x )
i
i
g x
[
x ,x ]
g
i 1
+
i
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Calcul des forces fluides ponctuelles exercées sur chaque grille
Suivant la même approche quasi-statique que celle effectuée au paragraphe [§5.3.3], on montre que
l'action du champ de vitesse fluide (U + u~) autour d'une grille implique une force de traînée et une
force de portance, en fonction de l'incidence de l'écoulement par rapport à la grille. Les composantes y
et z de la force ponctuelle résultante f g s'écrivent donc, pour chaque cellule élémentaire k d'une
grille :
(
A
1
y
Dy
~
fg )
g
k
k
k
k
= - g U
~
g
C
u
C
u
y
2
dg
- y +
pg
- y
K
t
Dt
(
A
1
z
Dz
~
fg )
g
k
k
k
k
= - g U
~
g
C
u
C
u
z
2
dg
- z +
pg
- z
K
t
Dt
où
Cpg désigne la pente à incidence nulle du coefficient de portance autour d'une grille très
faiblement inclinée.
Ag désigne la section solide de la cellule élémentaire k de la grille (qui en comprend K ).
K
Ces forces vont donc engendrer des termes supplémentaires d'amortissement et de raideur ajoutés,
que l'on obtient après décomposition modale du mouvement et projection de ces forces sur la base
modale.
5.6
Prise en compte de l'amortissement en fluide au repos
Jusqu'à présent, l'amortissement apporté à un faisceau de tubes par la présence d'un fluide au repos
n'a pas été pris en compte dans la modélisation. On propose donc ici un modèle d'amortissement en
fluide au repos, dont l'annexe 1 de la note de synthèse des essais CHAISE [bib8] constitue la
documentation de référence.
5.6.1 Modélisation de la force fluide au repos exercé sur un faisceau de tubes
La méthode de calcul de l'amortissement en fluide au repos qui est mise en oeuvre ici, est une
généralisation de la méthode de CHEN [bib9].
Il s'agit de calculer la force résultante sur chaque tube des contraintes dues au cisaillement dans la
couche limite. C'est un problème non linéaire car le coefficient d'amortissement fluide dépend de la
fréquence On introduit donc les simplifications suivantes :
· le problème est écrit à l'aide des fréquences en eau au repos calculées sans prendre en
compte l'amortissement fluide,
· on néglige le couplage entre modes.
r
La force linéique f k
i s'exerçant sur le tube k soumis à un mouvement harmonique du faisceau
suivant le mode i à la fréquence fi est donnée par la relation suivante :
r k
r k r
f = U U k R C
i
i
i
k
Dki
éq 5.6.1-1
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r
où U ki désigne la vitesse de glissement entre le tube k et le fluide au repos, de part et d'autre de
la couche limite, définie par :
r
r
U k U k
=
q& (t)
i
im i
éq 5.6.1-2
avec q (t) sin(
=
f t)
i
2 i et
r
U kim dépend des moyennes ~uy et ~uz des perturbations de vitesse autour des cylindres,
calculées préalablement par le modèle.
CDki désigne le coefficient de traînée d'un cylindre de rayon Rk , soumis à un écoulement
r k
r
harmonique d'amplitude à l'infini U
= U k 2 f
i
im
i , et est défini par :
max
3
f 2R 3
i
k
CDki = r
éq
5.6.1-3
k
2
U
2
f (2R )
i
i
k
max
où désigne la viscosité cinématique du fluide.
La relation obtenue en remplaçant [éq 5.6.1-2] et [éq 5.6.1-3] dans l'équation [5.6.1-1] est linéarisée
par un développement en série de Fourier (du terme q& (t)q (t)
i
& i
) dont on ne retient que le premier
terme ; il vient :
r
r
f k
2 (2R )U k f q& (t)
i
k
im
i i
Projection sur base modale
Par projection sur base modale et en négligeant le couplage entre modes, on obtient la force
généralisée s'exerçant sur le faisceau de tube suivant le mode i :
K L
K
L
r r
r
r
i
F (t) = k k
fi .i (z dz
)
2(2 k
R ) fi
k
k
Uim.i (z dz
) q&i (t)
k =1 0
k =1
0
F (t)
i
est donc proportionnelle à q& (t)
i
et le vecteur de force modale associé F(t) = ( i
F (t))i= ,1N se
met sous la forme :
F(t)=- [Ca ](q&(t))
où [Ca ] désigne la matrice d'amortissement ajouté par le fluide au repos.
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6 Bibliographie
[1]
N. GAY, T. FRIOU : Résorption du logiciel FLUSTRU dans ASTER. HT32/93/002/B
[2]
L. PEROTIN, M. LAINET : Intégration de différents modèles d'excitations fluide-élastiques
dans le Code_Aster ® : spécifications. HT-32/96/014/A
[3]
S. GRANGER, N. GAY : Logiciel FLUSTRU Version 3. Note de principe. HT32/93/013/B
[4]
S. GRANGER : Compléments théoriques pour l'interprétation des essais GRAPPE2 sous
écoulement. HT32/92/025/A
[5]
L. PEROTIN : Note de principe du modèle MOCCA_COQUE. HT32/95/021/A
[6]
F. BEAUD : Note de principe du modèle MEFISTEAU. HT-32/96/005/A
[7]
S. GRANGER : "A Global Model For Flow-Induced Vibration Of Tube Bundles In Cross-Flow"
ASME Journal of Pressure Vessel Technology, 1991, Vol. 113, pp. 446-458.
[8]
J-L. SAGE, F. BEAUD, P. MANDOU : Synthèse des essais CHAISE en écoulement axial et
interprétation avec le modèle MEFISTEAU. HT-32/99/003/A
[9]
R.D. BLEVINS : « Flow-Induced Vibrations », Krieger Publishing Company, 1994, pp308-310.
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