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Version
6.3
Titre :
Modélisation non locale à gradient de déformation
Date
:
30/01/03
Auteur(s) :
V. GODARD Clé
:
R5.04.02-A Page
: 1/8
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R5.04 : Modélisations non locales
Document : R5.04.02
Modélisation non locale à gradient de déformation
Résumé
Ce document présente un modèle de délocalisation des lois de comportement par régularisation de la
déformation. Il introduit une variable nodale supplémentaire : la déformation régularisée, liée à la déformation
locale par une équation de régularisation de type moindre carré avec pénalisation du gradient que l'on résout
simultanément avec l'équation d'équilibre classique. Les déformations régularisées sont utilisées pour le calcul
de l'évolution des variables internes (et pas pour le calcul des contraintes !). Cette méthode permet d'éviter
certains problèmes liés au traitement numérique des problèmes locaux comme la dépendance au maillage.
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1
Nature de la formulation
En présence d'endommagement (adoucissement), les lois de comportement locales conduisent à un
problème mal posé qui se traduit numériquement par une localisation des déformations dans une
bande d'épaisseur une maille : à la limite, on casse sans dissiper d'énergie.
Il existe plusieurs extensions aux modèles locaux qui permettent de pallier ce problème de localisation
(relaxation de l'énergie potentielle, enrichissement de la cinématique, théories à gradient, modèles non
locaux). Le présent document traite d'un modèle non local à gradient de déformations, modélisation
*_GRAD_EPSI, dérivant du modèle à gradient de déformation équivalente proposé par Peerlings et al.
(1995). On introduit des interactions entre le point matériel et son voisinage spatial en régularisant les
déformations grâce à un opérateur de délocalisation. Les déformations régularisées sont alors utilisées
pour évaluer l'évolution de la variable interne.
Il est à noter cependant que les contraintes sont calculées à partir des déformations locales car
l'utilisation des déformations régularisées dans le calcul des contraintes reviendrait à « trop
régulariser » le problème, ce qui remettrait en cause l'existence même de solutions. On s'en convainc
aisément grâce à l'exemple suivant :
Considérons un barreau composé de 2 matériaux différents qui ont des modules d'Young différents. On
exerce sur ce barreau une traction simple. Les 2 éléments étant montés en série, la contrainte est égale
dans les deux éléments :
= 1 1
E = 2 2
E =
E2
E1
A l'interface entre les deux éléments, la discontinuité de module d'Young impose donc une
discontinuité de la déformation. Considérons à présent non plus la déformation locale mais une
déformation délocalisée. Les opérateurs de délocalisation classiques ont pour effet de rendre continue
la déformation dans la structure, ce qui engendre alors obligatoirement une discontinuité de contrainte
à l'interface à cause de la différence de module d'Young, et ceci va à l'encontre de l'équation
d'équilibre.
La régularisation des déformations nous amène à introduire une longueur caractéristique définie par
l'opérateur DEFI_MATERIAU sous le mot-clé facteur NON LOCAL qui conditionne la largeur des bandes
de localisation. Les échelles ne sont donc plus définies par le traitement numérique du problème mais
par un paramètre matériau.
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2
Limites des modèles locaux
On se propose dans un premier temps d'illustrer le phénomène de localisation dans le cas simple d'un
barreau soumis à une traction uniaxiale.
On considère donc un assemblage d'éléments identiques montés en série soumis à une traction
comme représenté sur la [Figure 2-a].
, U
i-1 i
i+1
Figure 2-a : Assemblage d'éléments identiques montés en série
soumis à un essai de traction
Chaque élément obéit à la même loi de comportement de type élastique endommageable avec
adoucissement [Figure 2-b]. L'état du matériau est décrit par deux variables que sont la déformation
et l'endommagement caractérisé par la variable scalaire d . Cette variable vaut 0 lorsque le matériau
est sain et croît jusqu'à 1 lorsqu'il est complètement endommagé.
Nous n'entrerons pas ici dans le détail des équations régissant un tel comportement du matériau.
Précisons simplement que ces équations permettent de décrire complètement le comportement du
matériau. Elles nous donnent en effet accès aux contraintes et à l'endommagement en fonction du taux
de déformation, voir par exemple [R5.03.18].
pic
E0 pic
Figure 2-b : Loi de comportement du matériau en traction simple uniaxiale
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Les éléments du barreau étudié sont montés en série, ce qui implique, à cause de l'équation
d'équilibre de la structure, l'égalité de la contrainte dans tous les éléments :
i =
On peut dès lors étudier la réponse globale de l'assemblage à un essai de traction simple. Cette
réponse se décompose en deux phases. Dans une première phase, le comportement de tous les
éléments est élastique et l'endommagement reste nul. La réponse de la structure existe donc et est
unique. La déformation est identique pour tous les éléments et vaut :
i =
0
E
Cette phase perdure tant que le pic de contrainte n'est pas atteint. Les micro-hétérogénéités du
matériau impliquent de légères fluctuations du domaine d'élasticité entre les différents éléments, ce qui
va entraîner l'endommagement d'un élément de l'assemblage avant les autres. La deuxième phase
commence lorsqu'un des éléments que l'on note A s'endommage. La contrainte dans l'ensemble de la
structure a atteint son maximum. En poursuivant la traction, la contrainte supportée par la structure va
diminuer. L'élément A ayant passé le pic, il se trouve dans la phase adoucissante du comportement du
matériau, ce qui signifie qu'il va continuer à s'endommager lors de la traction. Les autres éléments n'ont
pas atteint le seuil critique, ils vont donc simplement subir une décharge élastique lors de la
décroissance de la contrainte. Cette phase se termine lorsque l'élément A est complètement
endommagé. Finalement, l'endommagement ainsi que la déformation se sont donc concentrés dans un
seul élément.
On comprend alors aisément les conséquences numériques de la localisation. Le phénomène décrit
précédemment sur un échantillon simple va se produire quelle que soit la structure maillée par éléments
finis. Pour des raisons de stabilité, la solution localisée tend à être sélectionnée. L'endommagement et
la déformation vont se concentrer dans une bande d'épaisseur un élément et tout raffinement du
maillage va alors modifier la réponse globale de la structure. On comprend alors bien qu'il est
impossible de décrire l'échelle des bandes de localisation, la longueur de la bande endommagée
provenant du maillage et non d'un principe physique. De plus, on obtient un résultat physiquement
inadmissible d'un point de vue énergétique. En effet, l'énergie dissipée lors de l'endommagement va
dépendre du raffinement du maillage, et on peut même imaginer la rupture totale d'une structure sans
dépense d'énergie si l'on considère un maillage extrêmement fin.
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3
Formulation à déformations régularisées
3.1 Principe
On considère l'état du matériau défini localement par la déformation et des variables internes . La
donnée du potentiel d'énergie libre (, ) permet de définir la contrainte .
De manière général, la loi de comportement est donnée par l'expression de la contrainte et la loi
d'évolution des variables internes :
(,)
& = g(&,,)
Le principe de la méthode de délocalisation des déformations est d'utiliser les déformations
régularisées dans la loi dévolution des variables internes :
(,)
& = g(&, ,)
On comprend ainsi la généralité de la méthode qui n'impose pas de revenir sur l'intégration de la loi de
comportement. C'est en effet la même que pour le modèle local mais en remplaçant par . Il faut
néanmoins bien distinguer le calcul des variables internes, qui fait intervenir des déformations
régularisées, de celui des contraintes, qui ne fait intervenir que les déformations locales.
3.2
Choix de l'opérateur de délocalisation
Le choix de l'opérateur de régularisation est purement arbitraire et ne s'appuie sur aucun raisonnement
physique. On a cependant intérêt à choisir un opérateur qui s'intègre facilement et directement dans
STAT_NON_LINE par la méthode des éléments finis. Ainsi, l'utilisation d'une formulation intégrale, où
le couplage entre les éléments finis au niveau de l'intégration des lois de comportement a pour effet
d'agrandir considérablement la largeur de bande de la matrice tangente et d'augmenter ainsi le
nombre d'opérations à effectuer, n'est pas judicieuse. L'opérateur de régularisation retenu, proposé
par Peerlings et al. (1995), emploie une délocalisation par moindres carrés avec pénalisation du
gradient :
1
1
R() = min
(
2
2
- ) + (L ) d
c
2
2
Le terme en gradient introduit l'interaction entre le point matériel et son voisinage et permet de limiter
la forte concentration de gradient de déformations. Minimiser une telle intégrale revient à résoudre
l'équation différentielle suivante :
- L2
c =
On voit apparaître un intérêt majeur du choix de cet opérateur de régularisation. L'équation différentielle
peut s'intégrer classiquement par la méthode des éléments finis, et ce sans introduire de nouvelles non
linéarités. Il suffit pour cela d'introduire de nouvelles variables nodales représentant les déformations
généralisées.
Il existe en outre une matrice tangente de largeur de bande raisonnable (par rapport à une formulation
intégrale) mais il est à noter que la matrice tangente n'est pas symétrique, comme on le verra plus loin
en explicitant la matrice tangente.
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3.3 Formulation
variationnelle
Dans le modèle, deux équations gouvernent le processus de déformation, d'une part l'équation
d'équilibre classique et d'autre part l'équation différentielle caractérisant la régularisation des
déformations. La formulation intégrale de notre problème est la suivante :
v Vad
(v)C: d = v.T d + f dV
V ad
: espace des déplacements admissibles
T : forces imposées sur le bord
e [
H1( )]6
(e + e
.L2
)
d = e
d
c
Les conditions limites pour les déformations généralisées sont les conditions naturelles découlant de
l'équation de régularisation . Elles sont de type Neumann :
.n = 0
On n'impose en effet aucune condition particulière sur le bord dans l'équation de régularisation.
4 Discrétisation
4.1 Equations
discrétisées
L'équation d'équilibre discrétisée entre les forces extérieures et intérieures est de la forme classique
(cf [R5.03.01]) :
T
Fint + D = ext
F
avec F
T
int = BT d et Fext = N T d
(
T
D : cf T
B de [R5.03.01])
où N sont les fonctions de formes associées au champ de déplacement et B les dérivées des
fonctions de formes.
L'équation différentielle sur les déformations régularisées se discrétise de la même façon :
K
F
=
~ ~
2 ~
avec K
= (NT
~
N + L BT B
~T
c
)d et F = N d
~
~
où N sont les fonctions de formes associées au champ de déformations généralisées et B les
dérivées des fonctions de formes. Il est à noter ici que les fonctions de formes associées aux
déformations généralisées sont différentes des fonctions de formes associées aux déplacements.
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Les résidus nodaux associées à ces deux équations sont les suivantes :
F u = Fint + DT - Fext
F = K - F
La matrice tangente associée à la résolution de ce système par la méthode de Newton est la suivante :
F u F u
u
K =
F
F
u
Les différents blocs de la matrice tangente sont les suivants :
Fu
T
=
B
Bd
u
i-1
Fu
T
=
~
B
N
d
i-1
F
= (~ ~ 2~ ~
NT N + L BT B
c
)
d
i-1
F
= - ~
NT
Bd
u i-1
Il est à noter que la matrice tangente est non-symétrique.
4.2
Choix des éléments finis
L'introduction de nouvelles variables nodales impose d'utiliser de nouveaux éléments compatibles
avec la nouvelle formulation. On se trouve en présence de deux inconnues nodales : les déplacements
et les déformations régularisées. La déformation étant la dérivée spatiale d'un déplacement, si l'on
utilise des fonctions de forme P2 pour le déplacement, il est préférable d'utiliser des fonctions de forme
P1 pour les déformations régularisées pour des raisons d'homogénéité. Les éléments quadratiques,
TRIA6 et QUAD8 pour le 2D, TETRA10, PENTA15 et HEXA20 pour le 3D, ont été développés. Les
composantes du déplacement sont affectées à tous les noeuds de l'élément alors que les composantes
des déformations régularisées ne sont affectées qu'aux noeuds sommets. Pour plus de clarté,
l'élément TRIA6 est représenté ci-dessous :
3
6
5
Variables nodales
(u,)
1
(u )
4
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4.3 Modélisations
disponibles
Ces différents éléments sont utilisés dans trois types de modélisations :
Calcul 2D en déformations planes :
D_PLAN_GRAD_EPSI (cf [U3.13.06])
Calcul 2D en contraintes planes :
C_PLAN_GRAD_EPSI (cf [U3.13.06])
Calcul 3D :
3D_GRAD_EPSI (cf [U3.14.11])
Le mode axisymétrique n'est pas encore disponible.
5
Interface avec les lois de comportement
L'utilisation de cette méthode de délocalisation nécessite le calcul des termes suivants au niveau de la
loi de comportement :
(, )
,
,
,
Les deux derniers termes sont nécessaires seulement pour le calcul de la matrice tangente.
6 Bibliographie
[1]
BADEL P. : Contribution à la simulation numérique pour les structures en béton armé. Thèse
de doctorat de l'université Paris 6 (2001).
[2]
LORENTZ E. : Lois de comportement à gradients de variables internes : construction,
formulation variationnelle et mise en oeuvre numérique. Thèse de doctorat de l'université
Paris 6 (1999).
[3]
PEERLINGS R.H.J., DE BORST R., BREKELMANS W.A.M., DE VREE J.H.P.
:
Computational modelling of gradient-enhanced damage for fracture and fatigue problems.
Computational Plasticity, Part 1, Pineridge Press, pp.975-986 (1995).
[4]
PEERLINGS R.H.J : Enhanced damage modelling for fracture and fatigue. PhD Thesis
Eindhoven University of Technology , Faculty of Mechanical Engineering (1999).
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