Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.20

Relation de comportement élastique
non linéaire en grands déplacements

Résumé :
On se propose de décrire ici une relation de comportement élastique non linéaire qui coïncide avec la loi
élastoplastique de Hencky-Von Mises (écrouissage isotrope) dans le cas d'un chargement qui induit une
évolution radiale et monotone des contraintes en tout point de la structure. Ce modèle est choisi dans la
commande STAT_NON_LINE par l'intermédiaire du mot-clé RELATION: 'ELAS_VMIS_LINE' ou
'ELAS_VMIS_TRAC' sous le mot-clé facteur COMP_ELAS.
On étend ensuite cette relation de comportement à des grands déplacements et des grandes rotations, dans la
mesure où elle dérive d'un potentiel (loi hyperélastique) ; cette fonctionnalité est choisie par l'intermédiaire du
mot-clé DEFORMATION: 'GREEN'. Elle est disponible pour tous les éléments isoparamétriques 2D et 3D.
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
2/8
Table des matières
1 Relation de comportement élastique non linéaire : ELAS_VMIS_LINE et ELAS_VMIS_TRAC ............. 3
1.1 Objectif ............................................................................................................................................ 3
1.2 Relation de comportement .............................................................................................................. 3
1.3 Résolution de l'équation en p ........................................................................................................ 4
1.4 Calcul de la relation de comportement et rigidité tangente ............................................................. 5
1.5 Prise en compte de déformations d'origine thermique .................................................................... 5
1.6 Traitement particulier des contraintes planes.................................................................................. 6
2 Elasticité en grandes transformations.................................................................................................... 7
2.1 Objectif ............................................................................................................................................ 7
2.2 Travail virtuel des efforts extérieurs : hypothèse des charges mortes ............................................ 7
2.3 Travail virtuel des efforts intérieurs ................................................................................................. 8
2.4 Formulation variationnelle ............................................................................................................... 8
3 Bibliographie .......................................................................................................................................... 8
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
3/8
1 Relation de comportement élastique non linéaire :
ELAS_VMIS_LINE et ELAS_VMIS_TRAC
1.1 Objectif
Dans le cadre de l'approche globale en mécanique de la rupture, on ne sait donner un sens au taux de
restitution d'énergie que pour des relations de comportement hyperélastiques, c'est-à-dire qui dérivent
d'un potentiel, l'énergie libre. Afin de pouvoir néanmoins traiter des problèmes élasto-plastiques, on
propose une relation de comportement élastique non linéaire qui conduit à des résultats identiques à
ceux obtenus par la relation de comportement plastique de Hencky-Von Mises (écrouissage isotrope)
dans le cas d'une évolution de chargement radiale et monotone en tout point. La définition des
caractéristiques du matériau (mot-clé DEFI_MATERIAU) est identique à celle du comportement
plastique isotrope. Pour de plus amples informations sur le modèle, on pourra se reporter à [bib1]. Pour
illustrer les points communs et les différences entre les modèles plastique et élastique, on présente
ci-dessous une courbe de traction puis compression obtenue pour un barreau unidimensionnel.


Etat final
Etat final
f max

f max

Elasto-plasticité
Elasticité non linéaire
1.2
Relation de comportement
Après intégration en temps de la relation de comportement de Hencky-Von Mises, formulée en
vitesses de déformations et de contraintes dans [R5.03.02] dont on adopte les notations, l'expression
des contraintes en fonction des déformations est :
= K(tr )Id+
~

G( eq
)
éq 1.2­ 1

y

- si
eq




G = 2µ et
p = 0

y


- si
eq
>



R(p)
R(p)

2
G =
et
p tel que : p +
=
eq
éq 1.2­ 2


eq

µ
3
3
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
4/8
De manière similaire à la plasticité, la fonction d'écrouissage R(p) est déduite des données fournies
par un essai de traction simple (écrouissage linéaire avec le mot-clé ELAS_VMIS_LINE ou bien défini
par des points avec le mot-clé ELAS_VMIS_TRAC, cf. [R5.03.02]).
Quant à la variable p , elle mérite quelques instants d'attention. Dans le modèle plastique, sa
signification est claire. Il s'agit de la déformation plastique cumulée, toujours croissante ; c'est une
variable interne du modèle. Par contre, dans le cas élastique, elle n'a plus le statut de variable interne,
puisqu'il n'y a pas de dissipation. En outre, elle décroît lors de décharges. En fait, sa valeur coïncide
avec celle obtenue en plasticité tant que l'évolution du chargement est radiale et monotone.
Outre la relation de comportement proprement dite, il est nécessaire de connaître la valeur de l'énergie
libre pour un état donné pour les calculs de taux de restitution d'énergie. Sans démonstration, ce
potentiel dont dérive la relation de comportement vaut :
y
1
2

- si
2
eq
() = K(tr ) +


eq
2
3
2
éq 1.2-3
y
1
R p
2
( (eq)
p
-
eq
si eq >
() = K(tr )
( )
+
+
R(s)
2
2
6

µ
µ
ds
0
1.3
Résolution de l'équation en p
On a pu constater dans le paragraphe précédent que l'expression des contraintes nécessite la
résolution d'une équation portant sur la variable p . Dans la mesure où la fonction d'écrouissage R est
croissante, cette équation peut s'écrire en rassemblant les termes où apparaissent p dans le premier
membre (qui est alors croissant avec p ) :
( )
p + R p

2 eq
2
( )
eq
p + R p =
x

3
3
p
Plus précisément, le premier membre est linéaire par morceaux en p . Pour résoudre l'équation, il
suffit alors de parcourir séquentiellement chacun des intervalles jusqu'à trouver celui dans lequel se
situe la solution. Une équation affine fournit alors la valeur de p .
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
5/8
1.4
Calcul de la relation de comportement et rigidité tangente
Le calcul des contraintes et de la rigidité tangente, c'est-à-dire la variation des contraintes par rapport
aux déformations, est effectué suivant l'algorithme présenté ci-dessous. En adoptant la convention du
Code_Aster, les contraintes et les déformations sont rangées dans un vecteur à six composantes,
tandis que la rigidité tangente est une matrice 6x6.
xx

xx

1





yy

yy

1
zz

zz

{



1
} =

{ }
=

{ }
1 =
2 xy
2 xy

0
2

xz
2

0



xz


2 yz

2 yz

0
Relation de comportement :
{ }
= K(tr ) { } + G {}
~
1
Rigidité tangente :
d{ }
= K = K1 + K
d{}
[ ]
[ 2]
3K - G
·
[K ]
{ }
1 { }
1
+ G [I ]
d
1 =
3

y
[

0]
si eq


·
[K2]= 3 2µ R'(p)
y



G ~ ~
si
2
'
eq >

2
R
2
eq
(p)
-
{ } { }
+ µ
3


µ
1.5
Prise en compte de déformations d'origine thermique
De manière identique à la plasticité, on scinde la déformation totale en une partie mécanique qui vérifie
la relation de comportement précédente [éq 1.2-1], [éq 1.2-2] et une partie thermique, fonction de la
température. Notons en outre que les différentes caractéristiques du matériau peuvent aussi dépendre
de la température.
= m + th

= K(tr m)
+ G (
~
Id
eq )
éq 1.5­ 1
avec th =


(T - Tréf ) Id
: coefficient de dilatation thermique
Tréf : température de référence
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
6/8
Il reste à compléter le potentiel énergie libre [éq 1.2-3] pour y inclure la température. Plusieurs choix
sont possibles, dépendant de la manière dont on souhaite définir l'entropie (dérivée de l'énergie libre
par rapport à la température). Dans notre cas, le potentiel adopté est :
y
1
th 2

si
2
eq
(,T) = K Tr
2
2
( ( - ) +
µ
eq
3
2
y
1
R p
th 2
( eq ) p eq
si eq >
(,T) = K Tr
R
2
2
( ( - )
( )
( )
+
+
(s)
µ

ds
0
1.6
Traitement particulier des contraintes planes
Usuellement, on cherche à déterminer les contraintes connaissant les déformations et la température.
Cependant, ce n'est plus tout à fait le cas sous l'hypothèse des contraintes planes dans la mesure où
trois des composantes du tenseur des déformations sont dorénavant inconnues, les grandeurs duales
étant fixées :
xz , yz et zz inconnues
xz = yz = zz = 0
Il faut donc commencer par déterminer ces composantes inconnues. La méthode adoptée est exposée
dans [bib1] et [R5.03.02]. On peut cependant rappeler ici que les composantes xz et yz ne posent pas
de problème, étant donnée la forme de la relation de comportement [éq 1.2-1] :
xz = yz = 0
Par contre la détermination de la composante zz nécessite la résolution (numérique) d'une équation
scalaire non linéaire.
Enfin, une dernière mise en garde s'impose. A la différence des déformations planes, les solutions que
l'on obtient sous l'hypothèse des contraintes planes ne sont généralement pas exactes dans la mesure
où elles ne vérifient pas les conditions de compatibilité géométrique (intégrabilité du champ de
déformations). Ce ne sont que des solutions approchées.
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
7/8
2
Elasticité en grandes transformations
2.1 Objectif
Dorénavant, on se propose de prendre en compte de grands déplacements et de grandes rotations,
fonctionnalité accessible par le mot-clé DEFORMATION: 'GREEN' dans la commande
STAT_NON_LINE. Précisons dès maintenant que l'on se restreint à des éléments finis
isoparamétriques (D_PLAN, C_PLAN, AXIS et 3D) pour lesquels la discrétisation du problème continu
ne pose pas de difficultés particulières, cf. [R3.01.00].
Dans ce but, on admet que le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhof, S , dérive du potentiel
de Hencky-Von Mises exprimé à l'aide de la déformation de Green-Lagrange E :

S =
(E)
E
Rappelons également les définitions de E et S . On peut également trouver des informations
complémentaires dans [bib1].
1
F = Id + Gra (
d u) E = (TFF - I )
d
2
S = Det(F) F-1
T
F-1
Une telle relation de comportement, dite hyperélastique, permet en toute rigueur de prendre en compte
de grandes déformations et de grandes rotations. Toutefois, nous nous limitons à de petites
déformations, et ce pour deux raisons. Tout d'abord, la relation de comportement adoptée ne présente
pas les bonnes propriétés (polyconvexité) pour assurer l'existence de solutions et ne contrôle pas non
plus les compressions importantes. Ensuite, le comportement plastique diffère notablement d'un
comportement hyperélastique dès que les déformations deviennent appréciables. C'est pour ces
raisons que nous avons choisi de conserver l'hypothèse de petites déformations, échappant ainsi à la
polémique des grandes déformations.
2.2 Travail virtuel des efforts extérieurs : hypothèse des charges
mortes
Pour traiter le problème de calcul de structures hyperélastiques, on cherche à écrire l'équilibre sous
forme variationnelle sur la configuration initiale. En particulier, il faut exprimer le travail virtuel des
efforts extérieurs sur cette même configuration initiale ce qui nécessite l'hypothèse supplémentaire de
charges mortes : on suppose que le chargement ne dépend pas de la transformation géométrique.
Typiquement, une force imposée est une charge morte tandis que la pression est un chargement
suiveur puisqu'il dépend de l'orientation de la face d'application, donc de la transformation. Sous cette
hypothèse, le travail virtuel des efforts extérieurs s'écrit comme une forme linéaire :
W . v = F v d +
Td v dS
ext
o i i o i i o
o
F o
F : chargement volumique
Td : chargement surfacique s'exerçant sur le bord F o
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Relation de comportement élastique non linéaire
Date :
22/06/95
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.20-A
Page :
8/8
2.3
Travail virtuel des efforts intérieurs
Nous ne donnerons pas ici de démonstration des expressions présentées. Pour cela, on pourra se
reporter à [bib1] et [R7.02.03]. Là encore, nous choisissons la configuration initiale comme
configuration de référence, pour exprimer le travail des efforts intérieurs :
SW . v = - F S
v

d
int
ik kl i l, o
o
v
avec : v
i
i l, = Xl
Dans l'optique d'une résolution par une méthode de Newton, il importe d'exprimer également la
variation seconde du travail virtuel des efforts intérieurs, à savoir :
2Wint . u . v = - u S
i,k kl v d
i l,
o
rigidité géométrique
o
2
- u F
F
i q, ip
jk


v
d
rigidité élastique
!
E
j l,
o
pq Ekl
o
2.4 Formulation
variationnelle
Nous avons maintenant à notre disposition tous les ingrédients pour écrire la formulation variationnelle
du problème :
W
v + SW
int .
ext . v = 0
v Cinématiquement admissible
3 Bibliographie
[1]
LORENTZ E. : Une relation de comportement hyperélastique non linéaire. Note interne EDF
DER, HI-74/95/011/0, 1995.
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/95/033/A

Document Outline