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Loi de comportement des milieux poreux : modèle de Barcelone Date
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.14
Loi de comportement des milieux poreux : modèle
de Barcelone
Résumé :
Le modèle de Barcelone [bib1] décrit le comportement mécanique des sols non saturés couplé au
comportement hydraulique (ce modèle doit donc être utilisé dans un environnement THHM [bib7]). Dans le cas
particulier d'un sol complètement saturé en eau, il se réduit au modèle de Cam Clay modifié, également
implémenté dans le Code_Aster [bib5]. Il est particulièrement adapté à l'étude du comportement des argiles.
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1 Notations
T
désigne le tenseur des contraintes totales en petites perturbations, noté sous la forme du vecteur
suivant :
T
11
T
22
T
33
2 T
12
2 T
23
T
2 31
Le comportement est décrit dans un espace de contraintes à deux variables :
T
= + p I
=
gz et p
-
c
pgz plq ,
avec plq , pgz , pc respectivement pression de liquide, pression de gaz, pression capillaire (ou encore
succion)
On note :
I le tenseur unité d'ordre 2 dont la notation indicielle est
ij
I
4 le tenseur unité d'ordre 4 dont la notation indicielle est
ijkl
1
P = - tr( )
contrainte de confinement
3
s = + PI
déviateur des contraintes
1
I = tr
deuxième invariant des contraintes
2
(s.s)
2
Q = = 3I
contrainte équivalente
eq
2
= 1
( u T
+ u)
déformation totale
2
= + +
partition des déformations (élastique, plastique, thermique)
e
p
th
= -tr + -
v
( ) 3 (T T0)
déformation totale volumique
p
= -
tr
v
( p)
déformation plastique volumique
= 1
~
+ I
déviateur des déformations
v
3
~e ~ ~p
= -
déformation élastique déviatorique
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p
p
1
~
p
= + I
déformation plastique déviatorique
v
3
e
2
=
tr ~ ~
.
déformation élastique équivalente
eq
( e e)
3
p
2
=
tr ~ ~
.
déformation plastique équivalente
eq
( p p)
3
e indice des vides du matériau (rapport du volume des pores sur le volume des grains solides)
e indice des vides initial
0
porosité (rapport du volume des vides sur le volume total (pores plus grains))
e
p
, ,
lq
lq
lq teneur en liquide totale, élastique et plastique
coefficient de gonflement (pente élastique dans un essai de compression hydrostatique)
s coefficient de rigidité élastique dans un essai de variation de succion
1
( + e )
0
k =
0
(1+ e )
k
0
=
0s
s
( p )
c coefficient de compressibilité (pente plastique dans un essai de compression hydrostatique)
*
coefficient de compressibilité en conditions de saturation
s coefficient de compressibilité plastique dans un essai de variation de succion
1
( + )
0
=
e
k
( - )
(1+ e )
k =
0
s
( - )
s
s
M pente de la droite d'état critique
coefficient de correction de la normalité de l'écoulement plastique
P
(
)
cons pc pression de consolidation
P (
)
cr pc pression critique, variable interne du modèle, égale à la moitié de la pression de consolidation
*
cr
P pression critique en conditions de saturation
s
P cohésion (traction hydrostatique limite à succion donnée)
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P pression de confinement de référence généralement égale à la pression atmosphérique
0
a
P
kc pente de la cohésion en fonction de la succion
paramètre contrôlant l'accroissement de ( p )
c avec pc
r paramètre définissant le pic de ( p )
c avec pc
µ coefficient élastique de cisaillement (coefficient de Lamé)
f1 surface de charge dans l'espace (P,Q)
f2 surface de charge en pc
pc0 seuil d'irréversibilité de la succion
multiplicateur plastique
S
lq
saturation en eau, S
=
lq
lq
p
déformation plastique volumique due à un chargement en pression hydrostatique
vp
p
déformation plastique volumique due à un chargement en succion
vs
p
~ déformation plastique déviatorique due à un chargement en pression hydrostatique
p
b coefficient de Biot
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2 Introduction
Les concepts de plasticité utilisés pour les sols saturés sont étendus aux sols non saturés. Le modèle
original de Barcelone est décrit à l'aide des variables , pc , ce qui le distingue des modèles de
mécanique couplés à un comportement thermohydraulique qui sont décrits à l'aide d'une seule
contrainte effective (contrainte de Bishop). On peut remarquer que ce modèle est réécrit dans un cadre
poroplastique avec l'introduction d'une variable poroplastique supplémentaire qui est la teneur en eau
[bib2], permettant de capter les phénomènes d'hystérésis qui apparaissent sur les cycles de séchage-
mouillage. Ce phénomène n'est pas pris en compte dans le modèle original exposé ici.
2.1
Phénoménologie du comportement des sols non saturés
2.1.1 Courbe de rétention d'eau
Outre les principaux aspects mécaniques communs avec les sols saturés [bib3], les milieux poreux
comportant des phases liquides et gazeuses (sols non saturés en eau) ont pour caractéristique
spécifique d'être très sensibles aux phénomènes de capillarité. Ces derniers correspondent à la
localisation de ménisques de liquide (de plus en plus petits au fur et à mesure que le sol se désature)
dans lesquels la pression d'eau est plus faible que la pression d'air (et d'autant plus faible que le
ménisque est petit et donc le sol désaturé). On voit donc apparaître la notion de pression capillaire ou
succion p = ( p - p ) . En séchant, un sol non saturé a une teneur en eau plus faible ce qui
c
gz
lq
lq
correspond à une succion plus élevée. La correspondance entre ces deux grandeurs est la courbe de
rétention d'eau (cf. [Figure 2.1.1-a]). Celle-ci est obtenue par séchage d'un sol initialement saturé (la
succion est alors nulle) et mouillage à partir de l'état sec.
pc
lq
Figure 2.1.1-a : Courbe de rétention d'eau
2.1.2 Extension de la définition des contraintes effectives aux sols non saturés
Le comportement mécanique des sols non saturés est essentiellement observé en laboratoire à l'aide
d'appareils à succion contrôlée (oedomètres et triaxiaux). La modélisation de ce comportement
mécanique a d'abord été tentée en étendant la notion de contrainte effective aux milieux non saturés.
Celle-ci est une fonction de la contrainte totale et de la pression intersticielle : '
= f ( T
, p )
lq . Dans
le cas saturé, on a simplement additivité de la pression et de la contrainte :
T
' = - p I
lq car la
pression de l'eau agit de la même façon dans l'eau et le solide dans toutes les directions.
L'élargissement de cette notion aux milieux non saturés dans les années 1950 (tenant compte des
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pressions des deux phases fluides) a amené la forme suivante de la contrainte effective :
'
= ( T
- p I) + g ( p )
gz
c dont il est resté la contrainte proposée sous la forme :
'
T
d = d ( - pgz ) + bSlq dpc
où S est le degré de saturation en eau et b le coefficient de Biot [bib7].
lq
Dès les années 1960, l'observation expérimentale met en lumière certaines limitations de la notion de
contrainte effective étendue aux sols non saturés. En particulier, l'essai d'effondrement à l'oedomètre
met en défaut la contrainte de Bishop : Cet essai consiste à consolider un échantillon non saturé en
maintenant la succion constante, puis à le remouil er à chargement constant. On observe alors un
effondrement du sol. Si l'on poursuit la consolidation, la courbe correspond à un essai classique en
saturé. Or, si l'on se réfère à la contrainte effective, celle-ci diminue pendant le remouillage (puisque la
succion p = ( p - p ) s'annule) et comme elle est censée contrôler la déformation, il devrait y
c
gz
lq
avoir gonflement ce qui est contradictoire avec l'observation expérimentale. La plupart des
mécaniciens des sols s'accordent maintenant sur l'impossibilité de décrire complètement le
comportement des sols non saturés à l'aide d'une seule contrainte et constatent la nécessité d'utiliser
deux variables indépendantes (contrainte et succion).
3
Description du modèle original de Barcelone
Dans ce modèle, la courbe de rétention d'eau ne présente pas d'hystérésis, et elle n'est pas modifiée
par la déformation mécanique comme c'est le cas dans la présentation faite par Dangla et coll. [bib2]. Il
existe néanmoins un seuil en pression capillaire pc0 au delà duquel des déformations irréversibles
apparaissent. Dans ce paragraphe on distingue une partie mécanique qui traite des déformations
mécaniques induites par un chargement mécanique et une partie hydro-mécanique qui traite de l'effet
de la succion sur la mécanique avant d'écrire les équations du comportement complet.
3.1
Comportement purement mécanique
On fait l'hypothèse que la succion p reste constante pendant la transformation mécanique. Les
c
déformations résultant de la variation de la contrainte sont indicées .
p
On examine le comportement, sous chargement successivement sphérique et déviatorique, ce
comportement étant considéré isotrope.
3.1.1 Chargement sphérique
3.1.1.1 Elasticité
L'état mécanique d'un sol non saturé sous sollicitation hydrostatique est déterminé par des essais
oedométriques à succion contrôlée. Comme pour les sols saturés, le volume v de l'échantillon varie
logarithmiquement avec la charge avec une pente de façon réversible jusqu'à une pression de
consolidation
cons
P
(pc ). On choisira indépendant de p , l'expérience montrant une faible
c
dépendance de la pente élastique vis-à-vis de p .
c
La composante élastique de la déformation volumique varie alors comme :
&
e
P
& =
si P
P
( p )
vp
<
éq 3.1.1.1-1
1
cons
c
+ e0 P
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L'expression précédente est en fait dérivée d'un essai oedométrique à succion constante où l'on
mesure la variation de l'indice des vides en fonction du chargement, d'où la loi élastique suivante :
P = P0
[
exp k0(
p
-
vp
vp )]
éq 3.1.1.1-2
(1+ e0)
avec k =
, où P est la valeur de référence correspondante à e
et e = e , indice des
vp = 0
0
0
0
vides initial.
3.1.1.2 Plasticité
Au delà de la pression de consolidation, le comportement du sol est plastique et la pente (p est
c )
dépendante de la succion (cf. [Figure 3.1.1.2-a]), cette dépendance étant estimée de la façon
semi-empirique suivante : (p = 0 1- exp - +
c )
( )([ r) ( pc) r]
(p )
où r =
c
est une constante reliée au maximum de la rigidité du sol et un paramètre qui
(0)
contrôle l'évolution de la rigidité en fonction de la succion.
(pc ) P&
Le taux de déformation volumique est alors : vp
& =
si P > P ,
1+ e P
cons
0
p
((pc )- ) P&
d'où la composante plastique : &vp =
.
1 + e
P
0
L'expression de P s'écrit donc :
P = P
éq
3.1.1.2-1
0
[
exp k( p
vp )]
(1+ e )
avec k =
0
-
Remarque :
Les deux expressions [éq 3.1.1.1-2] et [éq 3.1.1.2-1] sont similaires à celles du modèle de
Cam-Clay [bib5] avec le paramètre (ou k ) dépendant de la pression capillaire. La
compressibilité du sol diminue avec la succion.
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v
(pc1)
(pc2)
(p = p
c
c1 )
(p > p
c1
c2 )
(p = p
c
c2 )
2
1
ln P
P
P0 P
p
P
p
cons (
1
c )
cons ( c2 )
0
Figure 3.1.1.2-a : Variation du volume spécifique sous chargement oedométrique
3.1.2 Chargement
triaxial
3.1.2.1 Elasticité
La composante élastique de la déformation déviatorique est proportionnelle au chargement :
~e
s
=
éq 3.1.2.1-1
2µ
µ est indépendant de la succion.
3.1.2.2 Plasticité
Dans un essai triaxial de révolution, on introduit la contrainte de cisaillement Q = - (on pourra
1
3
étendre la formulation qui suit au 3D en utilisant la norme au sens de von Mises de la contrainte).
Quand la succion devient nulle (milieu saturé), le modèle est supposé se réduire au modèle Cam_Clay
modifié [bib5] : le seuil de plasticité est alors une ellipse de centre ( * ,0)
cr
P
qui coupe l'axe des
contraintes hydrostatiques en zéro et en une valeur de pression de consolidation *
*
P
= 2P . La
cons
cr
surface de charge associée à une succion p non nulle est également une ellipse de centre
c
P
(P ( p )
s
-
)
0
,
cr
c
(cf. [Figure 3.1.2.2-a]) qui coupe l'axe hydrostatique en P
( p ) = 2P ( p )
2
cons
c
cr
c
et - P , P représentant une cohésion variant linéairement avec la succion : P = k p . La ligne
s
s
s
c
c
représentant les états critiques (variation volumique nulle) conserve la même pente M que celle en
condition saturée mais décalée de s
P . L'équation de la surface de charge dans le diagramme (P,Q)
pour p donnée s'écrit :
c
2
2
Q - M (P + P
éq
3.1.2.2-1
s )(2Pcr - P) = 0
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L'écoulement plastique dans le plan (P,Q) donc à p constante n'est pas associé à la surface de
c
charge. Si c'était le cas, on aurait :
1
~
p
f
p
f
& = &
& = 1
&
vp
P
s
et le rapport suivant :
~ p
&eq
Q
2
=
,
éq
3.1.2.2-2
p
2
&vp
M (2P + s
P - 2 cr
P )
similaire au rapport obtenu dans le modèle de Cam-Clay (avec s
P = 0 ). En fait dans ce modèle, on
introduit un paramètre de correction qui détruit le caractère de normalité, de façon que :
~ p
&eq
Q
2
=
. est donné par les auteurs du modèle [bib1] comme étant :
p
2
&vp
M (2P + s
P - 2 cr
P )
M (M - 9)(M - 3)
1
=
(
éq
3.1.2.2-3
9 6 - M )
1-
(0)
Ce correcteur permet de mieux prendre en compte les résultats expérimentaux, et en particulier de
mieux estimer le coefficient de poussée des terres.
Q
(pc > 0)
M
(pc = 0)
M
P
-P
*
s
cons
P
P (p )
cons c
Figure 3.1.2.2-a : Critère dans l'espace (P,Q)
3.2
Couplage hydro-mécanique ou effet de la succion sur la mécanique
Les variations de succion (à charge constante) entraînent des déformations (celles-ci seront alors
indicées par ) réversibles quand p <
et irréversibles quand la succion dépasse le seuil p .
s
c
pc0
c0
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3.2.1 Partie
réversible
Les essais oedométriques à contrainte constante et à succion contrôlée nous donnent la variation de
l'indice des vides en fonction de la succion [Figure 3.2.1-a] réversible en dessous du seuil en succion :
pc
e - e = - Ln
si
0
p < p
s
,
c
c0
patm
avec s indépendant de l'état de confinement.
e - e
La déformation pouvant s'écrire :
0
- = -
, on a :
v
v0
1+ e0
e
s
p&c
1
p&c
& =
=
vs
éq
3.2.1-1
1+ e p
0
+
0
+
c
patm
k s (pc patm )
L'évolution de la succion s'écrit alors :
1 + e
p = p exp k ( -
, avec k
0
=
éq
3.2.1-2
c
atm
( e e
0s
vs
v0 )
0s
s
e
e0
s
s
Lnpc
Lnp c0
Lnpa
Figure 3.2.1-a : Evolution de la succion
3.2.2 Partie
irréversible
Au delà du seuil pc , des déformations irréversibles apparaissent, la pente dans l'essai oedométrique
0
devenant s . Cette pente peut en réalité dépendre de la contrainte hydrostatique appliquée à
l'échantillon, mais elle est considérée constante dans le modèle original de Barcelone. Comme l'on
peut le constater sur la [Figure 3.2.2], la pression de consolidation augmente avec la succion. La
[Figure 3.2.2 (a)]) montre deux essais de consolidation en condition saturé (p
et non saturé
c = 0)
(p
. Une relation entre *
P
(point 3) valeur de la préconsolidation en saturé et P
(point 2) la
c > 0)
cons
cons
pression de préconsolidation en non saturé est établie en comparant les volumes spécifiques obtenus
sur des chemins suivant les points 1, 2, 3 [Figure 3.2.2(a)] qui décrivent une décharge de P
à *
P
cons
cons
à succion constante suivie d'un remouillage d'une valeur p à 0 à pression constante *
P
, d'où
c
cons
l'équation suivante :
v + v
+ v
= v
1
pression
succion
3
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On fait l'hypothèse que la réduction de la succion 2 3 s'accompagne de déformations réversibles.
dp
La relation élastique est la suivante :
c
dv = -
, où p
est la pression atmosphérique.
s (p + p
atm
c
atm )
On écrit pour le point 1 et 3 l'expression du volume comme suit :
P
v = N(P ) - p ln
0
( c) P0
où P est une pression de référence correspondant à un volume initial N (P ) . On combine cette
0
0
expression et les relations élastiques :
+
N (
P
P
p
p
P
P - p ln cons + ln cons + ln c
atm = N 0 - 0 ln cons
0 )
( c )
s
( ) ( )
*
*
P
P
p
P
0
cons
atm
0
En éliminant les volumes initiaux par la relation élastique :
0
+
v
(P
0 )
= N (0)- N(P0 )
p
p
c
atm
=
ln
s
pc
patm
on détermine alors l'évolution suivante du seuil de consolidation en condition non saturée :
(0)-
P P* (pc)
-
cons
=
cons
P0 P0
Comme P
= 2P ,
cons
cr
On trouve :
(0)-
P 2P* (pc )
-
P = 0 cr
éq
3.2.2-1
cr
2 P0
La [Figure 3.2.2] visualise le chemin 1-2-3 dans le plan (P, p )
c .
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v
N (0 )
g o n fl em en t
N (pc )
pc
3
v
v
3
succion
v
1
S I
2
v pression
2
2
1
v1
(p , S
c
)
L C
effo n d r em en t
(pc = 0, S = 1)
3
P
*
P
LnP
*
P
ref
P
P
cons
cons
cons
cons
(a)
(b)
Figure 3.2.2 : (a) Courbes de compression pour sols saturé et non-saturé
(b) critère dans le diagramme (P, p
c )
La composante totale de la déformation volumique due à l'évolution de la succion est :
s
p&c
& =
si p > p
vs
éq
3.2.2-2
c
atm
1
( + e ) p
0
+
c
patm
d'où la composante plastique qui s'écrit :
p
( -
s
s )
p&c
1
p&c
& =
=
vs
éq
3.3.2-3
1
( + e ) p
0
+
+
c
patm ks pc patm
Remarque :
La variation de succion n'engendre pas de déformations déviatoriques.
3.3
Comportement complet (chargement mécanique et hydrique)
3.3.1 Comportement
réversible
Sous chargement sphérique, l'évolution de la composante élastique volumique totale s'écrit donc :
1 &
e
e
e
P
1
p&c
& = & + & =
+
v
vp
vs
éq 3.3.1-1
k P
k
0
0
+
s ( pc
patm )
Les évolutions des parties hydrostatique et déviatorique de la contrainte s'écrivent donc :
P&
k
p
e
0
&c
= k
,
éq 3.3.1-2
0 & -
v
P
k
p
0
+ p
s ( c
atm )
~e
s& = 2
µ & ,
éq 3.3.1-3
ij
ij
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3.3.2 Seuils d'écoulement
Les deux seuils du domaine réversible sont tels que :
Critère mécanique : f (P, Q, P ( p ), p )
2
2
Q
M P k p P
P p
éq 3.3.2-1
cr
c
c
=
+
+ c c
- cr c
1
(
)( 2 ( )) 0
Critère hydrique : f p p
p
p
éq 3.3.2-2
c
c
= c - c
2 (
,
0 )
0
0
Le domaine tridimensionnel de réversibilité dans l'espace (P,Q, p ) est représenté sur
c
[Figure 3.3.2-a].
Ces deux critères se réduisent dans le plan (P, p ) aux courbes appelées LC (loading collapse) et SI
c
(succion increase) (cf. [Figure 3.3.2-b]).
Q
f1
f1
*
Pcons
f2
pc
SI
LC
f
P
2
Figure 3.3.2-a : Surface de charge dans l'espace (P,Q, p
c )
pc
p
SI
c0
LC
-Ps
Pcons
P
Figure 3.3.2-b : Surface de charge dans l'espace (P, pc )
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3.3.3 Lois d'écoulement
L'écoulement plastique est contrôlé par les deux critères en pression et en succion :
p
f
1
2
&
&
&
v =
= M (2P - 2 cr
P + kc pc )
éq 3.3.3-1
P
~ p
f
f
1
Q
1
& = &
= &
=
3 &s
éq 3.3.3-2
s
Q
s
p
1
p&c
~
ou &
v =
, p
& = 0
éq 3.3.3-3
ks pc + patm
3.3.4 Lois
d'écrouissage
L'évolution des surfaces de charge est contrôlée par les forces d'écrouissage : cr
P et pc0 .
Les lois d'écrouissage de chacune des surfaces sont :
P&
Sur f , cr
p
= k
éq 3.3.4-1
1
&v
c
P r
p&
Sur f ,
c0
p
= k
éq 3.3.4-2
2
s &v
p 0 +
c
patm
3.3.5 Inventaire
des
configurations
de couplage mécanique et hydrique
On examine les différentes configurations de chargement dans l'espace (P, p )
c .
3.3.5.1 Réversibilité
totale
Le chargement représenté par le point M (cf. [Figure 3.3.5.1-a]) se situe à l'intérieur du domaine de
réversibilité : élasticité, et réversibilité hydrique. Cela se traduit par :
f < 0
f = , f& <
p&
).
c <
1
, ou (
0
0
1
1
), et p <
c
pc0 , ou ( p =
c
pc0 ,
0
Les relations exprimant cette réversibilité sont :
P&
k
p
0
&c
= k
0 & -
v
P
k
p
0
+ p
s ( c
atm )
c'est-à-dire :
(
exp k -
0 ( v
v0 ))
P = P0
,
éq 3.3.5.1-1
k / k
0
0s
p +
c
patm
p
atm
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et
s =
µ~
2
éq 3.3.5.1-2
c
p
pc
c
p 0
pc0
M
domaine de réversibilité
P
Slq
Figure 3.3.5.1-a : Domaine de réversibilité dans le plan (P, p - courbe de rétention d'eau
c )
3.3.5.2 Comportement élasto-plastique
Le point M touche le critère de mécanique seul (cf. [Figure 3.3.5.2-a]) :
f = 0 , f& = 0 , et p < p (ou p = p et p&
)
c < 0
1
1
c
c0
c
c0
L'évolution élastique s'écrit donc :
P&
k
p
e
0
&c
= k
,
0 & -
v
P
k
p
0
+ p
s ( c
atm )
c'est-à-dire :
( e e
exp k -
0 ( v
v0 ))
P = P0
éq 3.3.5.2-1
k / k
0
0s
p +
c
patm
p
atm
et
s =
µ~
2
éq
3.3.5.2-2
L'évolution des composantes de la déformation plastique est :
~ p
& =
3
s
p
2
&v = M [2P - 2 cr
P + kc pc ]
L'évolution du seuil mécanique s'écrit :
p
2
cr
P& = k cr
P &vp = k cr
P
M
[2P - 2 cr
P + kc pc ].
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Une spécificité du modèle de Barcelone original est l'hypothèse que l'écrouissage mécanique est
complètement couplé à l'écrouissage hydrique (cf. [Figure 3.3.5.2-a]) d'où la relation :
p&
&
c
k
0
s
cr
P
=
éq 3.3.5.2-3
p 0 +
c
patm
k cr
P
c
p
p
2
c 0
1 M
P
Figure 3.3.5.2-a : Couplage de l'écrouissage mécanique à l' écrouissage hydrique
3.3.5.3 Comportement hydrique engendrant des déformations irréversibles
Le point M atteint le seuil en succion (cf. [Figure 3.3.5.2-a]) :
p = p et p&
c > 0
c
c0
Le comportement mécanique est élastique :
( e e
exp k -
0 ( v
v0 ))
P = P0
, s =
µ &
&
~
2
éq
3.3.5.3-1
k / k
0
0s
p +
c
patm
p
atm
mais comme le seuil mécanique est couplé à celui de la succion, il y a aussi écrouissage mécanique :
&cr
P
k
p&c
=
0
éq
3.3.5.3-2
P
k p 0 + p
cr
s
c
atm
Le taux de déformation plastique s'écrit :
p
1
pc
==
&
&v
k
+
s pc
patm
~ p
& = 0
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c
p
M
p
1
c0
2
P
Figure 3.3.5.3-a : Couplage de l'écrouissage hydrique à l' écrouissage mécanique
3.4
Données du modèle de Barcelone
Le modèle nécessite les paramètres suivants :
1) Les paramètres élastiques fournis sous le mot clé ELAS :
Le coefficient de dilatation thermique , les deux coefficients élastiques E
, fournis en
données à partir desquels est calculé le coefficient de Lamé µ .
2) Sous le mot clé CAM_CLAY :
·
0
P Pression hydrostatique initiale égal à la pression atmosphérique notée PA sous le mot clé
CAM_CLAY
· au lieu de donner l'indice des vides initial e on donne la porosité initiale qui doit être de
0
valeur égale à celle donnée sous le mot clé THM_INIT, notée PORO.
· Les paramètres associés à la surface seuil LC (contraintes isotropes) : *
P , égale à la moitié
cr
de la pression de préconsolidation *
P
noté
cons
PRES_CRIT,
*
, le coefficient de
compressibilité pour un état saturé et le coefficient de compressibilité élastique, notés
LAMBDA et KAPA.
· La pente critique M ,
3) Sous le mot clé BARCELONE :
· r et , les coefficients permettant de calculer (p , notés R et BETA.
c )
· les paramètres liées à une variation de succion : , coefficient de compressibilité lié à une
s
variation de succion dans le domaine plastique, coefficient associé au changement de
s
succion dans le domaine élastique, notés LABDAS et KAPAS.
· k le paramètre qui contrôle l'augmentation de la cohésion avec la succion
c
· le seuil initial de la succion p , noté PC0_INIT
c0
· le coefficient de normalité, noté ALPHAB.
Voici un jeu de valeurs de quelques uns de ces paramètres , issu de [bib1] :
(0) =
;
2
.
0 =
;
02
.
0
r =
;
75
.
0
=
5
.
12
1
-
MPa ; P = 10
.
0
MPa;
0
G
MPa M
k
s =
;
08
.
0
s =
;
008
.
0
= 10
;
= ;
1 c = 6
.
0
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4
Intégration numérique des relations de comportement
4.1
Rappel du problème
L'intégration numérique du modèle est similaire à celle effectuée pour la loi de Cam-Clay [bib5], en
opérant une translation sur l'axe des pressions capillaires.
Ce modèle est obligatoirement couplé au comportement hydraulique, contrairement à Cam-Clay qui
peut être utilisé dans un cadre purement mécanique (on simule alors un comportement drainé).
Le modèle de Barcelone n'est donc utilisable que dans le cadre des comportements THHM implantés
dans le Code_Aster [bib7] et [bib8]. Il sera plus particulièrement employé avec les modélisations
KIT_HHM et KIT_THHM (dans ce dernier cas, il n'y a pas pour l'instant de dépendance des
caractéristiques mécaniques spécifiques au modèle de Barcelone avec la température).
Les variables d'entrée du modèle sont u
ou
et P1, P2, P1 et P2 étant égales dans les
modélisations citées à p
, p
, p et p que ce soit avec les modélisations hydriques
c
gz
c
gz
LIQU_VAPE_GAZ ou LIQU_GAZ.
Les variables de sortie du modèle sont : '
, P , p , P .
cr
c0
s
On emploie les notations suivantes : A- , A , A
respectivement pour la quantité évaluée à l'instant
connu t, à l'instant t + t
et son incrément. Les équations sont discrétisées de manière implicite,
c'est-à-dire exprimées en fonction des variables inconnues à l'instant t + t
.
On notera :
-
-
cr
P la quantité P ( - )
cr pc ,
( -
pc )-
-
P 2P (pc )
-
P- (
)
0
cr
cr pc la quantité
et
2 P0
P ( p ) = P- ( p ) exp k
cr
c
cr
c
( pv)
4.2 Relations
incrémentales
Les règles d'écoulement et la condition de consistance donnent les relations d'écoulement suivantes :
Si le seuil f1 est atteint, l'incrément de déformation plastique volumique s'écrit :
p
1
(2P - 2 cr
P + kc pc )
Q
kc
v =
(2
)
éq 4.2-1
k(
P
Q
P
P
p
P + k
2
c pc )
+
-
cr -
c
cr
P
2
M
2
L'incrément de la norme de la déformation plastique équivalente est alors :
2
p
Q
Q
2
kcQ(2 cr
P -
P)
eqp =
P
Q
p
2
4
2
cr
kP (P + kc pc )
+
-
c
M
M (2P - 2 cr
P + kc pc )
M (2P - 2 cr
P + kc pc )
éq 4.2-2
et le tenseur déviatorique s'écrit :
~ p
3 s
p
=
v
éq
4.2-3
M 2 (2P - 2 cr
P + s
P )
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Si f2 est atteint, l'incrément de déformation plastique volumique est déterminé par :
p + p
p
1
=
Ln( c0
atm )
éq
4.2-4
v
k
p- + p
s
c0
atm
la déformation plastique étant purement volumique ( ~
p
= 0 )
p
sera l'inconnue principale du problème et déterminée en résolvant
v
f ( -
P , -
Q , -
P ( p ), p ,
cr
c
c p
) 0
1
v
= , ou f ( p ,
c p
)
c
= 0
2
0
, l'incrément de déformation plastique
volumique étant obtenu à partir de p
c0.On en déduit alors l'évolution des contraintes et des seuils.
4.3
Calcul des contraintes et des variables internes
La prédiction élastique de la contrainte déviatorique s'écrit :
se = -
s + µ ~
2
éq 4.3-1
On choisit la prédiction élastique e
P de la manière suivante :
-
exp k
e
( 0 v )
P = P
éq 4.3-2
k k
0 / 0 s
p + p
c
atm
p- + p
c
atm
( -
pc )-
P
-
P (pc )
e
e
p
2
-
Si f < 0
f <
0
P = P s = s
= P =
cr
p
,
cr
c =
1
et
0
2
, alors
,
,
,
0
,
0
2
0
P0
Sinon :
e
~ p
s = s - 2µ
éq 4.3-3
e
P = P exp[
p
- k
éq
4.3-4
0 v ]
(p- -
c )
-
2
(
pc )
P
P
-
0
cr
P =
exp k
éq 4.3-5
cr
[ pv]
2
P
0
( p
éq
4.3-6
0 + p
) = ( p-0 + p ) exp k
c
atm
c
atm
[ p
s
v ]
L'inconnue principale est donc
p
.
v
Si f > 0
1
, alors
En remplaçant
p
~
par son expression en fonction de
p
[éq 4.2-3] on obtient :
v
e
s
s =
éq 4.3-7
p
6
µ v
1+ M 2(2P-2 crP +kcpc)
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et :
e
P = P exp[
p
- k
éq 4.3-8
0 v ]
L'inconnue est déterminée en résolvant f (P,Q, P , p )
cr
c = f ( e
P , e
Q , -
P ( p ), p ,
cr
c
c p
)
v
= 0
1
1
,
C'est-à-dire :
p
2
2
µ
2
6
e
v
Q = -M 1
+
+
- 2
,
M 2
(
P k p P
P
2P - 2P + k p
cr
c
c )
(
c
c )(
cr )
ou encore :
p
2
2
6
2
e
µ
Q
= -M 1 +
M
2 (
v
e
2P exp (
p
- k0
-
v )- 2 cr
P ( pc ) exp(
p
k v )+ kc pc )
[ eP exp(
p
- k
éq
4.3-9
0 v )+ kc pc ]
[ eP exp(
p
- k0
-
v )- 2 cr
P ( pc ) exp(
p
- k v )]
Si f > 0
2
, alors : p 0 =
c
pc , l'inconnue est immédiatement donnée par :
p
1
p
+ p
=
Ln( c0
atm )
v
, éq
4.3-10
k
-
s
p c0 + patm
d'où
e
s = s et
e
P = P exp[
p
- k
éq 4.3-11
0 v ]
(p- -
c )
-
2
(
pc )
P
P
-
On a de plus
0
cr
P =
exp k .
éq 4.3-12
cr
[ pv]
2
P
0
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5 Opérateur
tangent
Si l'option est : RIGI_MECA_TANG, option utilisée lors de la prédiction, l'opérateur tangent calculé en
chaque point de Gauss est dit en vitesse :
elp
& = D
ij
ijkl kl
& ,
c'est-à-dire que
elp
D est calculé à partir des équations non discrétisées.
ijkl
Si l'option est : FULL_MECA, option utilisée quand on réactualise la matrice tangente en mettant à jour
les contraintes et les variables internes :
d = A d
ij
ijkl
kl
Dans ce cas, A est calculé à partir des équations discrétisées implicitement.
ijkl
L'opérateur tangent des contraintes généralisées est implémenté dans THHM sous le nom DDE et
partitionné en plusieurs blocs. Les blocs concernés par le modèle sont [DMECDE], [DMECP1] [bib8].
On calcule la contribution du modèle à chacun de ces blocs pour l'opérateur tangent en élasticité,
l'opérateur en vitesse et l'opérateur cohérent.
5.1
Opérateur tangent élastique non linéaire
La relation élastique en vitesse du modèle de Barcelone s'écrit :
k
p
~
0
&c
&
&
2 &
ij = -P ij + sij
& = k Ptr
0
&ij + µ ij +
P
ij
éq
5.1-1
k0s
pc + patm
2
k
p
0
&c
&ij = (k P
0
- µ)tr& ij + µ
2 ij
& +
P
ij éq
5.1-2
3
k0s
pc + patm
Le tenseur des contraintes utilisé dans le modèle de Barcelone (et dans les essais déterminant les
données du modèle) est fonction de la contrainte totale et de la pression de gaz et s'écrit :
T
= + p I
gz
éq 5.1-3
Le tenseur des contraintes de Bishop '
utilisé dans le Code_Aster est tel que : & = & ' +& I avec
T
P
&
= -
-
P
b(p&gz Slq p&c ) éq
5.1-4
D'où l'expression de la contrainte de Bishop en fonction de la contrainte du modèle de Barcelone :
& '
= & + ( b
( - )
1 p& - bS p
gz
lq & c )I
éq
5.1-5
Remarque :
La contrainte de Bishop est généralement considérée comme une contrainte effective
(contrôlée uniquement par la déformation). Ce n'est pas le cas du modèle de Barcelone où il
faut deux contraintes ( ( , p )
c pour décrire le comportement. Par conséquent, dans
'
&
& p
l'opérateur tangent, le terme
ne se résume pas à -
.
p
c
p
c
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'
La partie [DMECDE] de la matrice DDE correspondant à est telle que :
4
2
2
'
k P
µ k P
µ k P
µ 0
0
0
&
11
0 +
0
-
0
-
11
&
3
3
3
'
2
4
2
&
&
22
k P
µ k P
µ k P
µ 0
0
0
0
-
0
+
0
-
22
éq 5.1-6
'
3
3
3
&
&
33
33
2
2
4
' =
k P
µ k P
µ k P
µ 0
0
0
0
-
0
-
0
+
2
2
&
&
12
3
3
3
12
'
0
0
0
2µ
0
0
2
2
&
&
23
23
0
0
0
0
2µ
0
'
2
2
&
&
31
31
0
0
0
0
0
2µ
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
e
D
'
La partie [DMECP1] de la matrice DDE se réduit à
avec (p
qui est tel que :
1 = pc )
p
1
'
11
&
'
&
22
'
&
33
k0
P
k0
P
k0
P
=
- bS
- bS
- bS
0 0 0
lq
lq
lq
{p
& }
1
'
2 k
0 p + p
k
s
c
atm
0 p + p
k
s
c
atm
0 p + p
12
s
c
atm
&
'
2
&
23
'
2
&
31
éq 5.1-7
5.2
Opérateur tangent plastique en vitesse. Option RIGI_MECA_TANG
L'opérateur tangent global est dans ce cas obtenu à partir des résultats connus à l'instant t (l'option
i 1
-
RIGI_MECA_TANG appelée à la première itération d'un nouvel incrément de charge).
Si à t la frontière du domaine de réversibilité est atteinte, on écrit la condition : f& = 0 qui doit être
i 1
-
vérifiée conjointement avec la condition f = 0 . Si à t on est strictement à l'intérieur du domaine,
i 1
-
f < 0 , alors l'opérateur tangent est l'opérateur d'élasticité.
Dans le cas où le critère mécanique est atteint :
f& = 0
1
f1
f1
f1
f& =
& +
cr
P& +
p&
0
1
c =
éq 5.2-1
cr
P
pc
P
P
comme
cr
p
cr
cr
P& =
&v +
p&c , alors :
p
p
v
c
f1
f1 cr
P
p
cr
P
f& =
f
& +
(
&v +
p& )
1
c +
p&
0
1
c =
éq
5.2-2
cr
P
p
p
p
v
c
c
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Titre :
Loi de comportement des milieux poreux : modèle de Barcelone Date
:
31/03/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE Clé
:
R7.01.17-A Page
: 23/44
p&
On a par ailleurs :
e
e
c
&ij = D & kl + 0
ijkl
k P
éq 5.2-3
k0s (pc + p
) ij
atm
c'est-à-dire :
e
e
f
1 f
1
p
1
&c
&ij =
& -
-
+ 0
ijkl
D
kl
ijkl
D
kl
k P
éq
5.2-4
s
kl
3 P
k
0s ( pc + p
) ij
atm
En écrivant le module d'écrouissage plastique :
f
1 P
f
cr 1
H = -
,
p
éq 5.2-5
P
p
P
cr
v
Les équations [éq 5.2-2] et [éq 5.2-5] donnent :
f1
f
f P
&ij - H p + ( 1
1
+
cr ) p&c = 0 éq 5.2-6
ij
pc cr
P pc
f
1
La multiplication de l'équation [éq 5.2-4] par
donne :
ij
f
1
f
1
e
f
1
e
f
1 f
1
1
f
1
p&c
&
éq 5.2-7
ij =
& -
-
+
ijkl
D
kl
ijkl
D
kl
k P
0
ij
ij
ij
ij
s
kl
3 P
ij
k0s (pc + patm )
Les deux équations précédentes permettent de trouver :
f
1
e
f
1
e
f
1 f
f
p
1
1
1
&c
f
f
1
1 cr
P
H
p =
-
-
+
+
+
ijkl
D
&kl
ijkl
D
kl
k P
0
ij
(
) p&
ij
ij
s
kl
3 P
k
p + p
p
P
p
kl
ij
0s ( c
atm )
c
c
cr
c
éq 5.2-8
d'où et d'en déduire l'expression du multiplicateur plastique :
f
1
e
f
1
1
f
f
1
1 cr
P
& +
0
+ (
+
)
ijkl
D
kl
k P ij
p&
ij
ij
k0s (pc + patm )
c
p
c cr
P
p
c
=
éq
5.2-9
f
1
e
f
1 f
1
-
1
+
ijkl
D
kl
H
p
ij
s
kl
3 P
Soit H le module élastoplastique défini comme :
f
1
e
f
1 f
1
H =
-
1
+
ijkl
D
kl
H
p
éq 5.2-10
ij
s
kl
3 P
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R7.01.17-A Page
: 24/44
Le multiplicateur plastique s'écrit :
f
1
e
f
1
1
f
f
1
P
1
D & +
k P
cr
ijkl kl
0 ij
+ (
+
) &
k0
+
ij
ij
s ( p
p
c
atm )
p
p
P
p
c
c
cr
c
=
éq
5.2-11
H
En remplaçant par son expression dans l'équation [éq 5.2-4], on obtient :
e
1 f
1
e
e
f
1 f
1
&
1
ij =
-
.
-
-
ijkl
D
&kl
Dmnop &op
ijkl
D
kl
H
mn
s
kl
3 P
1 f1
1
f
f
1
1
cr
P
e
f
1 f
1
k P
k P
0
+ (
+
)D
-
1
-
0
p
&
H mn
k0s (pc + patm ) mn
ijkl
kl
p
c cr
P
p
c
s
kl
3 P
k
0s ( pc + patm ) ij
c
éq 5.2-12
On en déduit donc l'opérateur élastoplastique
elp
e
p
D
= D - D :
e
1 f
1
e
e
f
1 f
1
&
1
ij =
-
-
-
ijkl
D
ijop
D
Dmnkl
mn
&kl
H
3
op
s
mn
P
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
D p
ijkl
1
f
1 f
1
1
e
f
1
1
f
f
1
1
cr
P
k P
0
-
op
ijop
D
(
k P
0 mn
- (
+
)) -
p&
H
s
3
op
P
mn
k0s (pc + patm )
p
c cr
P
p
c
k0s (pc + patm ) ij
c
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
D pc
ij
éq 5.2-13
avec,
p
1 f1
e
e
f1
1 f
D
=
1
ijkl
ijop
D
Dmnkl
-
mn
H op
smn 3 P
et
p
1
f
1 f
1
1
e
f
1
1
f
f
1
1
cr
P
k P
D c
0
ij = -
-
0
+ (
+
)
op
ijop
D
k P mn
+
H
s
3
op
P
mn
k0s (pc + patm )
p
c cr
P
p
c
k
0s ( pc + p
) ij
atm
éq 5.2-14
Calcul de
p
D :
ijkl
f
1
1
= - M 2 (2P - 2P + k p + s
3 ,
éq
5.2-15
cr
c
c ) ij
ij
3
ij
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qui s'écrit en notation vectorielle :
- 1 2
M (2P - 2Pcr + k p
c
c )
+ 3s11
31
-
2
M (2P - 2Pcr + k p
c
c )
+ 3s22
3
- 1 2
M (2P - 2P
éq
5.2-16
cr + k p
c
c )
+ 3s33
3
3 2s12
3 2s23
3 2s31
d'où l'expression de :
-
2
k M P 2P 2P
k p
6 s
µ
0
( - cr + c c )+
11
-
2
k M P 2P 2P
k p
6 s
µ
0
( - cr + c c )
+
22
µ
e
f
-
2
k M P 2P 2P
k p
6 s
0
( - cr + c c )+
D
éq
5.2-17
ijkl
:
33
µ
kl
6
2s12
6µ 2s
23
6µ 2s31
et
f
e
f
1 1 1f
4
2
2
D
-
= k
-
+
+ µ
ijkl
kl
0M P(2P
2P
k p )
12
Q
éq
5.2-18
s
3 P
cr
c c
ij
kl
Or le module plastique H s'écrit sous la forme :
f
e
f
1 f
1
H =
-
1
+
ijkl
D
kl
H
p
ij
s
kl
3 P
4
H = M (2P - 2P + k p
cr
c c )[k P(2P - 2P
+ k p
cr
c c ) + 2kPcr (P + k p
c c )]
2
0
+12µQ éq 5.2-19
En posant :
2
2
ij
A = -k M P
0
(2P - 2 cr
P + kc pc )ij + 6 s
µ ij , A'ij = -k M P
0
(2P - 2 cr
P + kc pc )ij + 6 s
µ ij ,
éq 5.2-20
avec : tr( )
A = -3
2
k M P(2P - 2P + k p )
0
cr
c
c
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:
R7.01.17-A Page
: 26/44
A A'
A A'
A A'
6 2
A
µ s
6 2
A
µ s
6 2
A
µ s
11
11
11
22
11
33
11 12
11 23
11 31
A' A
A A'
A A'
6 2
A
µ s
6 2
A
µ s
6 2
A
µ s
11
22
22
22
22
33
22 12
22 23
22 31
1 A A'
A A'
A A'
6 2
A
µ s
6 2
A
µ s
6 2
A
µ s
p
D =
33
113
22
33
33
33
33 12
33 23
33 31
H 6 2 A
µ ' s
6 2 A
µ ' s
6 2 A
µ ' s
2
36µ s2
2
36µ s s
2
36µ s s
11 12
22
12
33 12
12
12 23
12 31
6 2 A
µ ' s
6 2 A
µ ' s
6 2 A
µ ' s
2
.
36µ s2
2
36µ s s
11
23
22
23
33
23
23
23 31
6 2 A
µ ' s
6 2 A
µ ' s
6 2 A
µ ' s
2
.
.
36µ s
2
11
31
22
31
33
31
31
SYM
éq. 5.2-21
'
On peut écrire les composantes
D
du morceau [DMECDE] de la matrice
DE qui sont celles de
l'opérateur
elp
e
p
D
= D - D .
'
D'après l'équation [éq 5.2.14]. Les composantes
avec (p
du morceau [DMECP1] de la
1 = pc )
p
1
matrice DDE sont :
*
2
M
2P
( )
0
cr
-
k (2P
c
cr - P) - 2P (P
cr
+ k p )Ln
c c
'
- tr( )
A
P
(( p )
c -
2
0
)
k P
A11
' +
'
A +
0
11
- bS
3Hk
lq
0s ( pc + patm )
H
k0s (pc + patm )
*
2
M
2P
( )
0
cr
-
k (2P
c
cr - P) - 2P (P
cr
+ k p )Ln
c c
'
- tr( )
A
P
(( p )
c -
2
0
)
k P
'
A 22+
'
A
+
0
22
- bS
3Hk
lq
0s ( pc + patm )
H
k0s (pc + patm )
*
2
2P
( )
0
cr
-
'
M k (2P
c
cr - P) - 2P (P
cr
+ k p )Ln
c c
2
P
- tr( )
A
0
(( p )
c - )
k0P
'
A
'
A
bS
3Hk
lq
0s ( pc + patm )
33+
33+
H
k0s(p
p
c
atm ) -
+
*
2
2P
( )
0
cr
-
'
6 2µM k (2P
c
cr - P) - 2P (P
cr
+ k p )Ln
c c
2
- 2 2µtr( )
A
0
P
(( p )
c - )
s
s
Hk0s(pc + patm ) 12 +
12
H
*
2
2P
(0)
cr
-
6 2µM k (2P
c
cr - P) - 2P (P
cr
+ k p )Ln
c c
'
- 2 2µtr( )
A
P (( p )
c -
2
0
)
s
s
Hk0s (pc + patm ) 23 +
23
H
*
- 2 2µtr( )
A
2
2P
( )
0
cr
-
13
s + 6 2µM k (2P
c
cr - P) - 2P (P
cr
+ k p )Ln
c c
'
13
s
Hk0s(pc + patm )
P (( p )
c -
2
0
)
éq 5.2-22
avec '
=
= -( [)
0 1
( - r) exp(- p
)
c ]
p
c
Dans le cas où le critère hydrique est atteint :
p
On part de nouveau de l'équation [éq 5.2.3] avec cette fois p
c
=
&
&
,
ks (pc + patm )
On trouve une relation directe entre & et &, p&c de la forme :
e
p&
p
&
= D & + k P
c
&c
(
+
)
0
éq
5.2-23
ks (p + p
c
atm )
k0s (pc + atm ) I
p
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:
31/03/05
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J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE Clé
:
R7.01.17-A Page
: 27/44
On déduit ensuite la contrainte de Bishop
'
e
k P
k P
&
= D & + (
0
+
0
) - bS
p
I
& éq
5.2-24
k
s (pc + patm ) k0s (pc + patm )
lq
c
'
Les composantes
D
du morceau [DMECDE] de la matrice
DE ne sont rien d'autres que ceux
de la matrice
e
D .
'
Les seules composantes du morceau [DMECP1] de la matrice DDE sont donc ceux de
avec
p
1
(p
:
1 = pc )
'
11
&
'
&
22
'
&
33
k
0P
1
1
k0P
1
1
k0P
1
1
=
(
+
) - bS
(
+
) - bS
(
+
) - bS
0 0 0 p
&
'
lq
lq
lq
2 (p + p
c
atm ) k
k
s
0s
(p + p
c
atm ) k
k
s
0s
(p + p
c
atm )
{ }1
k
k
s
0
12
s
&
'
2
&
23
'
2
&
31
éq 5.2-25
5.3
Opérateur tangent en implicite. Option FULL_MECA
Pour calculer l'opérateur tangent en implicite, on a choisi comme pour le modèle Cam Clay de séparer
en premier lieu le traitement de la partie déviatorique de la partie hydrostatique pour ensuite les
combiner afin de déduire l'opérateur tangent reliant la perturbation de la contrainte totale à la
perturbation de la déformation totale.
5.3.1 Dans le cas où le critère mécanique est atteint
5.3.1.1 Traitement de la partie déviatorique
On considère ici que la variation de chargement est purement déviatorique (P = )
0 .
L'incrément de la contrainte déviatorique s'écrit sous la forme :
s
= µ ~
2
- ~
éq
5.3.1.1-1
ij
(
p
ij
ij )
Autour du point d'équilibre ( - +
), on considère une variation s de la partie déviatorique de la
contrainte :
s = µ ~
2
-~ éq
5.3.1.1-2
kl
(
p
kl
kl )
Calcul de ~ p
:
kl
On sait que :
~ p
=
3
kl
skl
éq
5.3.1.1-3
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R7.01.17-A Page
: 28/44
En dérivant cette équation par rapport à la contrainte déviatorique, on obtient :
~ p
=
3
+ 3
kl
skl
skl
éq
5.3.1.1-4
Calcul de :
On a :
1 f
f
f
cr
P
1 f
f
f
f
cr
P
=
mn + (
+
) p
c =
s
mn +
P
+ (
+
) p
c
H p mn
p
c cr
P
p
c
H
p s
mn
P
p
c cr
P
p
c
= 1 [ s
3
2
2
mn s
mn + M (2P - 2 cr
P + kc pc ) P
- M [kc (2 cr
P - P)+ (
2 P + kc pc )P'cr ] p
c ]
H p
éq 5.3.1.1-5
Si on ne considère que l'évolution de la partie déviatorique de (P = )
0 , alors :
( H
2
p ) = H p + H p = [
3 smnsmn + 3smnsmn ]- 2M
P
cr
P +
M 2k
2
2
c Ppc - 2M kc cr
P pc - M [kc (2 cr
P - P)+ 2P'cr (P + kc ( pc + pc ))]pc
éq. 5.3.1.1-6
P
avec
cr
P'cr =
p
c
Or :
P
P = kP .
cr
cr
v
Comme
p
2
= M
(2P - 2P + k p ), on a :
v
cr
c
c
p
2
2
2
v = M (2P - 2 cr
P + kc pc ) - 2M cr
P + kcM p
c
éq.
5.3.1.1-7
D'où :
1
M 2 (2P
2
2
- 2 cr
P + kc pc ) =
+ 2M
cr
P - kcM pc
éq
5.3.1.1-8
cr
kP
Par ailleurs,
H = 2kM 4P P + k p 2P - 2P + k p
p
cr (
c
c )(
cr
c
c )
et
H = 2kM 4 P + k p (2P - 4P + k p
) P + 2kP M 4k 3P - 2P + 2k p p
p
(
c
c )
cr
c
c
cr
cr
c (
cr
c
c )
c
éq 5.3.1.1-9
En injectant cette dernière équation dans l'équation [éq 5.3.1.1-6], on obtient :
H
4
2
2
p + [2 kM
(P + kc pc )(2P - 4 cr
P + kc pc ) + 2M
P
+ 2M kc p
c ] P =
-[
cr
2
4
2
cr
kP M kc 3
( P + 2kc pc - 2 cr
P ) + M [kc (2 cr
P - (P + P
)+ 2P'cr ( pc + p
c )]+ 2P'cr P]pc +
[
3 smn s
mn + 3smnsmn ]
éq 5.3.1.1-10
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Titre :
Loi de comportement des milieux poreux : modèle de Barcelone Date
:
31/03/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE Clé
:
R7.01.17-A Page
: 29/44
En utilisant la relation [éq 5.3.1.1-8], il vient alors :
[3s s
+ 3s s
mn
mn
mn
mn ]
Zpc
=
-
éq
5.3.1.1-11
(H + )
A
(H + )
A
p
p
2
M (2P 2P
k p )
avec
A = [
k 4
M (P + k p
c c )(2P - 4Pcr + k p )
c c +
2
M P +
2
M kcpc ]
- cr + c c
1
2
+ M
2kPcr
2
2 kkc M (P + kc pc )(2P - 4P
+ k p )
cr
c c
Z = M
+ 2
2
kk P M
3
( P - 2P + k p )
1
c cr
cr
c c
+
2
2
kM
cr
P
2
( 2
2
2
M kcP + kc M
p
c )
2
- M kc P
+
+ M kc (2 cr
P - P)+ 2 2
M P' (
cr P + kc ( pc + pc ))
1
+
2
2
kM
c
P r
On obtient alors immédiatement la variation de la partie déviatorique de la déformation plastique :
p
= 9
~
(
+
+ 9
kl
smn smnskl smn smnskl )
smn smn skl
H p + A
H p
3
2
3
2
+
3
éq
5.3.1.1-12
M (
Z
2P - 2 cr
P + kc pc ) P
skl -
M kc (2 cr
P - P) p
cskl -
pcskl
H p
H p
H p + A
- 6 M 2(P + kc pc )P'cr p
cskl
H p
s s'écrit alors :
ij
18
~
µ
18µ
sij = 2µij -
([ sklsijskl + sklsijskl)]-
skl s
klsij
(H p + A)
H p
6µ
2
6µ
2
6µ
-
éq
5.3.1.1-13
M (
Z
2P - 2 cr
P + kc pc ) P
sij +
M kc (2 cr
P - P) p
csij +
sijpc
H p
H p
(H p + A)
12µ
+
M 2 (P + kc pc )P'cr p
csij
H p
c'est-à-dire :
6µ
2
18µ
18µ
ijkl + ijkl
M (2P - 2 cr
P + kc pc )P +
(sklsij + sklsij)+
smnsmnijkl
H
p
H p + A
H p
s
kl =
6µ
2
12µ
-
2
- 2 -
2
+
'
ijkl
kcM ( cr
P
P) pc
M (P kc pc )P cr pc
H
p
H p
6
~
µ Z
2µij +
sijpc
H p + A
éq 5.3.1.1-14
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ou en écriture tensorielle :
d
6µ
2
18µ
6µ
I 1+
M (2P - 2
2
+
+
-
-
4
cr
P
kc pc ) P
s : s
M kc (2 cr
P
P) pc
H
p
H p
H p
s =
18µ
12µ
éq 5.3.1.1-15
+
(s + s
) s -
M 2 (P + k
c pc )P'cr
p
c
(H
p + A)
H p
6
Z
~
µ
2µ +
spc
(H p + A)
qu'on peut encore écrire en symétrisant le tenseur (s + s
) s :
d
6µ
2
6µ
2
18µ
12µ
I 1+
M (2P - 2
2
+
-
- +
-
+
4
cr
P
kc pc ) P
kcM (2 cr
P
P) pc
s : s
M (P kc pc )P'cr pc
H
p
H p
H p
H p
s =
18µ
+
(H
p + A)
6
Z
~
µ
2µ +
spc
(H p + A)
éq 5.3.1.1-16
1
avec : = [
T
((s + s
) s) + (s (s + s
)) ]
2
Calcul de , en posant :
=
+
ij
T
sij
sij
T s
T s
T s
2T s
2T s
2T s
11 11
11 22
11 33
11 12
11 23
11 31
T s
T s
T s
2T s
2T s
2T s
22 11
22 22
22 33
22 12
22 23
22 31
T
T s
T s
T s
2T s
2T s
2T s
s = 33 11
33 22
33 33
33 12
33 23
33 31
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
12 11
12 22
12 33
12 12
12 23
12 31
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
23 11
23 22
23 33
23 12
23 23
23 31
2T s
2T s
2T s
T s
2T s
2T s
31 11
31 22
31 33
31 12
31 23
31 31
1
= [
T
T
( s) + T
( s) ]
2
Soit :
d
C =
1
I
+ 3
2
kc
4
M (2P - Pcr + k p
c c )P + 9
2
s s - 3
:
2
M (2Pcr - P pc - 6
)
2
M (P + k p
c c )
P'cr p
2µ
H
H
H
H
c
p
p
p
p
+
9
(H p + )
A
on pose :
9
c = ( s
: s)
H p
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3
d =
M 2 (2P - 2P + k p
cr
c c ) P
H p
- 3
g =
M 2k 2P - P p
c (
cr
) c
H p
6
h = -
M 2 (P + k p P' p
c
c )
cr
c
H p
La matrice symétrique C de dimensions (6,6) est trop grande pour être présentée entière, on la
décompose en 4 parties C , C , C et C :
1
2
3
4
C
C
1
2
C =
C
C
3
4
avec
1
9
9
9
+ c + d + g + h +
11
s 11
T
( 11
T s22 + 22
T
11
s )
( 11
T 33
s + 33
T 11
s )
2µ
(H p + )
A
2(H p + )
A
2(H p + )
A
9
1
9
9
1
C =
( 22
T
11
s + 11
T s22)
+ c + d + g + h +
22
T s22
( 22
T
33
s + 33
T s22)
2(H p + )
A
2µ
(H p + )
A
2(H p + )
A
9
9
1
9
( 33
T 11
s + 11
T 33
s )
( 22
T
33
s + 33
T s22)
+ c + d + g + h +
33
T
33
s
2(H p + )
A
2(H p + )
A
2µ
(H p + )
A
éq 5.3.1.1-17
9 2
9 2
9 2
( 11
T 12
s + s T )
(
11 12
11
T 23
s + s T )
(
11 23
11
T 13
s + s T )
11 13
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
éq 5.3.1.1-18
C2 = 9
2
( 22
T 12
s +
9
2
s T )
(
22 12
22
T
23
s +
9
2
s T )
(
22 23
22
T 13
s + s T )
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
22 13
A
9 2
( 33
T 12
s +
9
2
s T )
(
33 12
33
T
23
s +
9
2
s T )
(
33 23
33
T 13
s + s T )
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
33 13
A
C =
3
C2
éq 5.3.1.1-19
1
18
9
9
+ c + d + g + h +
12
s
12
T
( 12
T s23 + 23
T 12
s )
( 12
T s23 + 23
T
12
s )
2µ
(H p + )
A
(H p + )
A
(H p + )
A
9
1
18
9
C4 =
( 23
T
12
s + 12
T s23)
+ c + d + g + h +
23
T s23
( 23
T
13
s + 13
T s23)
(H p + )
A
2µ
(H p + )
A
(H p + )
A
9
9
1
18
( 13
T 12
s + 12
T 13
s )
( 13
T s23 + 23
T 13
s )
+ c + d + g + h +
13
T 13
s
(H p + )
A
(H p + )
A
2µ
(H p + )
A
éq 5.3.1.1-20
Calcul du taux de variation de volume :
p
= M 2(2P - 2P + k p ),
v
cr
c
c
p
= M
2 (2P - 2P + k p ) - 2M 2 P + M 2k p éq 5.3.1.1-21
v
cr
c
c
cr
c
c
= B + Dpc
B
3
BZ
=
(s + s
). s + (D -
) pc
(H + A)
(H + A)
p
p
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2
M (2P - 2Pcr + k p )
avec :
2
B = M (2P - 2P
cr + k p )
2
c
c
- M
c
c .
1
2
+ M
2kPcr
2
k M
c
et
2
2
D = k M
c
- M
.
1
2
+ M
2kPcr
On a donc :
p
3B
BZ
v =
(s + s
). s - (
- D
) pc éq
5.3.1.1-22
(H p + A)
(H p + A)
et finalement :
B
= (C -
(s + s) ) s -
ij
ijkl
kl
ij
kl
(H + A)
p
éq
5.3.1.1-23
BZ
D
ij
3Z
(-
+ +
+
s
) p
ij
ij
ij
c
(
3 H + A)
3
k
3
( p + p ) (H + A)
p
0s
c
atm
p
5.3.1.2 Traitement de la partie hydrostatique
On considère maintenant que la variation de chargement est purement sphérique ( s = 0 ).
L'incrément de P s'écrit sous la forme :
e
-
exp(k0v )
P = P
-
1
éq
5.3.1.2-1
k
k
pc + p
0 / 0s
atm
-
p c + p
atm
La dérivation de cette équation donne :
P = k P
0
(
p
k0
P
v - v )-
pc éq 5.3.1.2-2
k0s pc + patm
Calcul de
p
:
v
On sait que :
p
= M 2
2P - 2P + k p
éq 5.3.1.2-3
v
(
cr
c
c )
En différenciant cette équation, on obtient :
p
2
v = M ( (2P - 2 cr
P + kc pc )+ (
2 P -
2 cr
P + kcpc )
éq 5.3.1.2-4
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: 33/44
On connaît l'expression de :
M 2 (2P - 2
2
cr
P + kc pc )P + 3ss - M [kc (2 cr
P - P) + 2(P + kc pc )P'cr ]pc
b
=
=
H p
H p
éq 5.3.1.2-5
en posant
b = M 2 (2P - 2
2
cr
P + kc pc )P + 3ss - M [kc (2 cr
P - P) + 2(P + kc pc )P'cr ]pc
En différenciant , il vient :
2
= M ([ P
2 - P
2
k p P
2 P
2 P
k p
P k P
2
(
P) p
k 2
( P
P
) p
P
(
2
k p P
) ' p
(
2 P
k p
P
) '
p
cr + c c )
+(
- cr + c c) - c cr -
c - c
cr -
c -
+ c c cr c -
+ c c cr c]
Hp
4
3
kM
2
b2 PP
P
2
P
k p
P
P
2 2
PP
4
P
4 k p
Pk
3
p k2p2
cr
- cr + c c+ cr( - cr - cr c c + c c + c c )
-
2
2
Hp +k P P3 P
2
k
2 p p
c cr(
- cr + c c)
c
éq 5.3.1.2-6
On cherche l'expression de P en fonction de :
cr
On a :
p
P = kP
éq
5.3.1.2-7
cr
cr
v
On peut écrire :
cr
P = M 2(2P - 2
2
cr
P + kc pc )+ M (
2 P -
2 cr
P + kcpc ) éq
5.3.1.2-8
cr
kP
1+ 2M 2
cr
kP
2
2
2
cr
P
= M (2P - 2 cr
P + kc pc )+ 2M P + M
kcpc
cr
kP
M 2(2P - 2 +
2 2
2
cr
P
kc pc ) cr
kP
M
cr
kP
M kc cr
kP
cr
P =
+
P +
pc
2
2
2
1 + 2 cr
kP
M
1+ 2 cr
kP
M
1+ 2 cr
kP
M
éq 5.3.1.2-9
On pose
M 2kP 2P 2P
k p
2M 2
k
2
c M
cr
kP
cr
kP
cr (
- cr + c c )
c =
[
, a =
, d =
1+ 2M 2kP
[1+2M 2
[1+2M2 cr
kP ]
cr
kP ]
cr ]
On a alors :
cr
P = aP + c + dpc
éq 5.3.1.2-10
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En remplaçant l'expression de P dans [éq 5.3.1.1-6], on trouve :
cr
(2P - 2
2
cr
P + kc pc + 2P + kcpc - 2aP - 2akcpc - 2P cr
' pc )P - 2c(P + kcpc
) M
=
.
+ (k
c (P + P - 2 cr
P ) - 2d (P + kcpc) - 2P cr
' (P + kc ( pc + pc)))pc
H
p
2kM 4b
-
[
2kM 4b
cr
P (4P - 2 cr
P + 3kc pc )+ a(2P - 4 cr
P + kc pc )(P + kc pc)]P -
[c(2P - 4 cr
P + kc pc )(P + kc pc )]
H 2
2
p
H p
2kM 4b
-
[kc cr
P (3P - 2 cr
P + 2kc pc )+ d (2P - 4 cr
P + kc pc )(P + kc pc)]pc
H 2p
éq 5.3.1.2-11
En regroupant les termes en et ceux en P , on trouve :
f
h
= P + pc éq 5.3.1.2-12
e
e
avec,
2
M
f =
[2P - 2P + k (p + 1(- 2a)p ) + 2P - 2aP - 2P'
cr
c
c
c
cr pc ]
H p
4
2kM b
-
(4P - 2P + 3k p P + a 2P - 4PP - 4P k p + 3Pk p + k p
2
[
cr
c c ) cr
( 2
2 2
cr
cr c c
c c
c c )]
H p
M 2
h =
[- 2dP - 2dkcpc + kcP - 2kc cr
P + kcP - 2P'cr (P + kc ( pc + pc ))]
H p
2kM 4b
-
[d(2P - 4 cr
P + kc pc )(P + kc pc ) + kc cr
P (3P - 2 cr
P + 2kc pc )]
H 2p
2
4
2cM (P + k p )
c c
2bckM
e = 1 +
+
2P - 4PP - 4P k p + 3Pk p + k p
2
( 2
2 2
cr
cr c c
c c
c
c )
H p
H p
L'expression de
p
devient donc :
v
p
v = XP + Ypc éq 5.3.1.2-13
avec,
2
X =
f
f
M (2 - 2a - 2c
+ (2P - 2P
k p
cr +
))
c
c
e
e
2
Y =
h
h
M ((2P - 2P
k p
c
d k
cr +
c
c )
- (2
+ 2 - )
c )
e
e
d'où l'expression de P en fonction de et p
:
v
c
1
P 1
( + k PX ) = k P( - Y
+
)
0
0
V
p
éq
5.3.1.2-14
k ( p + p
)
c
0s
c
atm
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Calcul de la variation de déformation déviatorique :
~
~ p
f
h
ij = =
3 s = 3 Psij + 3 pcsij
éq 5.3.1.2-15
e
e
On a donc finalement :
= ij
F P + Kijpc
éq 5.3.1.2-16
ij
avec
3 f
1 + k PX
0
d
F =
s -
1 ,
e
k
3 P
0
éq
5.3.1.2-17
h
3
k PY
k P
0
0
d
K =
s - (
+
1
)
e
3
k
3
( p + p )
0s
c
atm
5.3.1.3 Opérateur
tangent
L'opérateur tangent relie la variation de contrainte totale à la variation de la déformation et de la
succion. Etant donné que l'incrément de la déformation totale sous chargement déviatorique s'écrit :
B
1
ij + H ijpc = C
( ijkl -
(s + s)kl ij ) Dklmn mn ,
éq 5.3.1.3-1
(H p + A)
avec :
2 / 3 -1/ 3 -1/ 3 0 0 0
-1/ 3 2 / 3 -1/ 3 0 0 0
1
-1/ 3 -1/ 3 2 / 3 0 0 0
D =
éq
5.3.1.3-2
0
0
0
1 0 0
0
0
0
0 1 0
0
0
0
0 0 1
la projection dans l'espace déviatorique,
et que sous chargement sphérique on a :
2
ij - K ijpc = ij
F Dkl kl éq
5.3.1.3-3
avec :
-1/
3
-1/
3
2
-1/
3
D =
éq
5.3.1.3-4
0
0
0
la projection hydrostatique, on a alors :
ij = ijkl
A kl + Bijpc éq
5.3.1.3-5
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avec :
-1
B
1
2
ijkl
A
= (Cijmn -
(s + s)
)
mn ij Dmnkl +
ij
F Dkl éq
5.3.1.3-6
(H p + )
A
1
-
B
B = (C
-
(s + s
) )
1
2
D
+ F D (H - K )
ij
ijmn
éq
5.3.1.3-7
(H + )
mn ij
mnkl
ij
kl
kl
kl
p
A
La contrainte de Bishop s'écrit donc :
' = A + B - bS p
ij
ijkl
kl
( ij
lq )
c
5.3.2 Opérateur tangent au point critique
Comme pour le modèle CAM_CLAY on écrit un opérateur tangent spécifique au point critique. Comme
pour le cas général, on fait un traitement de la partie déviatorique et un autre pour la partie
hydrostatique.
5.3.2.1 Traitement de la partie déviatorique
D'après l'équation [éq 4.3.3] on trouve :
~
e
p
e
f
s = s - 2
µ = s - 2µ
= se - 6
µ s éq
5.3.2.1-1
s
Les expressions du multiplicateur plastique et de sa dérivation s'écrivent de la façon suivante :
Qe
e
e
=
-
Q
Q Q
1 / 6µ
et =
-
éq
5.3.2.1-2
Q
2
6
Q
µ
6
Q
µ
avec,
e
e
3
3
e
s s
s s
Q =
et Q =
e
2 Q
2 Q
d'où l'expression de :
1 3 sese
Qess
=
-
éq
5.3.2.1-3
e
3
6µ 2 Q Q
Q
Rappelons de même l'expression de s :
s = µ ~
2
-
3 s -
3 s
ij
( ij
ij
ij )
En remplaçant et par leurs expressions, on peut écrire :
e
e
e
e
3 s
~
s
3 Q
1 Q
kl
kl
s = 2µ -
s +
s s s -
-1 s éq
5.3.2.1-4
ij
ij
e
ij
3
kl
kl ij
ij
2
Q Q
2 Q
Q
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e
e
e
1 Q
1
3 Q
3 s .s
kl
ij
s
+
- -
s .s = 2µ
-
~ éq 5.3.2.1-5
kl
ijkl
ijkl
ijkl
3
kl
ij
ijkl
e
kl
Q
2 Q
2 Q Q
ou en écriture tensorielle :
e
e
e
Q
d
d
1
3 Q
s
s
s
I + I 1
d
- -
s s
=
I -
éq
5.3.2.1-6
4
4
µ
3
2
3
4
~
Q
2 Q
2
e
Q Q
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
1 4
4 2
4
4
4 3
G
H
Comme s ne dépend pas de , on peut confondre ~ avec .
v
En utilisant le tenseur de projection dans l'espace des contraintes déviatoriques 1
D [éq 5.3.1.3-2] , on
peut écrire :
1
1
-
D .G.
=
H
.
éq
5.3.2.1-7
2µ
5.3.2.2 Traitement de la partie hydrostatique
En écriture tensorielle, on a d'après l'équation [éq 5.3.1.2-2] la relation suivante :
k
d
P
0
d
I P = k P
éq
5.3.2.2-1
0
-
I p
v
c
k
p
0
+ p
s
c
atm
sachant qu'au point critique,
p
.
v = 0
Comme P ne dépend pas de ~ alors on peut confondre avec .
v
k
d
P
0
d
I P = k P
éq 5.3.2.2-2
0
-
I pc
k
p
0
+ p
s
c
atm
En utilisant le tenseur de projection dans l'espace des contraintes hydrostatiques
2
D [éq 5.3.1.3-3], on
peut écrire :
2
k
d
P
0
d
I D = k P
0
-
I pc
k
p
0
+ p
s
c
atm
d'où
d
2
d
I D
I
=
+
p
éq 5.3.2.2-3
k P
k
p
0
0
+ p
s ( c
) c
atm
5.3.2.3 Opérateur
tangent
En combinant les contributions des deux parties déviatorique et hydrostatique, on trouve l'écriture de
l'opérateur tangent qui relie la variation de la contrainte totale à la variation de la déformation totale au
point critique :
1
-1
d
2
d
D G
. .H
I D
I
=
+
.
+
p
2µ
k P
k
p
0
0
+ p
s ( c
) c
atm
= A - B p
éq
5.3.2.3-1
ij
ijkl
kl
ij
c
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avec
1
1
1
-
d
2
-
D .G.H
I D
A
éq
5.3.2.3-2
ijkl =
+
2
µ
k P
0
et
d
I
B = -
éq 5.3.2.3-3
ij
k
p
0
+ p
s ( c
atm )
Comme il faut déduire la variation de la contrainte de Bishop, on trouve :
d
I
B = -
- bS
éq 5.3.2.3-4
ij
k
p
0
+ p
s ( c
)
lq
atm
5.3.3 Dans le cas où le critère hydrique est atteint
La variation de la déformation élastique s'écrit sous la forme :
e
e
1
~
e
= - éq
5.3.3-1
kl
kl
v
kl
3
soit :
s
P
p
e
kl
c
=
-
-
éq
5.3.3-2
kl
kl
2µ
k
3 P
k
3
p
0
0
+ p
s ( c
) kl
atm
Dans ce cas la déformation déviatorique plastique est nulle donc la déformation plastique a
l'expression suivante:
p
1
p
= - éq
5.3.3-3
kl
v
kl
3
soit :
p
p
c
= -
éq
5.3.3-4
kl
k
3
p 0 + p
s ( c
) kl
atm
En combinant chacune des composantes élastique et plastique on trouve :
s
1
1
1
e
p
P
kl
= + =
-
-
+
p
éq 5.3.3-5
kl
kl
kl
kl
2µ
k
3 P
3 k
p
0
0
+ p
k p 0 + p
s ( c
atm )
s ( c
atm )
c kl
En utilisant les matrices de projection dans l'espace des contraintes déviatoriques et hydrostatiques on
aboutit à l'expression suivante :
D1
D
2
1
1
1
ijkl
ij
kl
=
-
-
+
p
éq 5.3.3-6
kl
ij
2µ
k
3 P
3 k
p
0
0
+ p
k p 0 + p
s ( c
atm )
s ( c
atm )
c kl
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donc on peut écrire :
-1
1
1
2
1
2
-
ijkl
D
ij
D kl
1
1
1
ijkl
D
ij
D kl
éq 5.3.3-7
ij =
-
kl +
+
-
p
2µ
k
3 P
3 k
+
+
0
0s( c
p
atm
p
) ks( cp0 atm
p
)
kl
c
2
µ
k
3 P
0
D1
D2
on pose A
= ijkl
ijkl
- ij kl
2µ
k
3 P
0
2
2µ
1
2µ
1
2µ
+
- +
- +
0 0 0
3 9k P
3 9k P
3 9k P
0
0
0
1
2µ
2
2µ
1
2µ
- +
+
- +
0 0 0
k P
k P
k P
1 3 9
3
9
3 9
0
0
0
ou A
µ
µ
µ
ijkl =
- 1 + 2
- 1 + 2
2 + 2
0 0 0
2µ
éq 5.3.3-8
3 9k P
3 9k P
3
9k P
0
0
0
0
0
0
1 0 0
0
0
0
0 1 0
0
0
0
0 0 1
et en déduisant la contrainte de Bishop, on trouve :
1
1
1
' = A-1 +
+
A-1 - bS
p éq 5.3.3-9
ij
ijkl
kl
3 k
p
0
+ p
k p 0 + p
s ( c
atm )
s ( c
atm )
ijkl
kl
lq
c
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6
Résumé du modèle de Barcelone
Modélisations THHM :
KIT_HHM et KIT_THHM (dans ce dernier cas, il n'y a pas de dépendance des caractéristiques
mécaniques avec la température).
Variables d'entrée :
'-
, +
p , +
p , -
P , -
p ,
c
gz
cr
c0
, p
c et p
gz
Variables de sortie :
·
'
, plus opérateurs tangents ( nécessaires à l'opérateur STAT_NON_LINE ).
· Variables internes +
P , plus nouvelles variables +
p : seuil en succion et +
P : pression de
cr
c0
s
cohésion, et indicateurs d'écrouissage mécanique I1 et hydrique I2 .
Prédiction élastique :
exp
e
-
(k
0
v )
P = P
~
, se = -
s + 2µ
k0 / ks0
p +
c
patm
p-
c + p
atm
·
f < 0 et f < 0 ( p <
) : comportement réversible
1
2
c
pc0
e
P = P , s = e p
s , = 0
-
-
, cr
P = cr
P , p
p
c0 =
c0
·
f > 0
f >
1
ou
0
2
plastification et écrouissage mécanique et hydrique
e
P = P exp[
p
- k
,
0 v ]
e
s
s =
p
6
µ v
1 + M 2(2P - 2P + k p
cr
c
c )
P = P- exp k
cr
cr
[ pv],
p 0 + p
= p 0 + p
exp k
c
atm
( c
atm )
[ p
s
v ]
p
Q
2
L'unique inconnue est
p
f =
~ p
v
=
v déterminée par
0 (on a alors :
)
1
M 2 (2P +
-
s
P
2 cr
P )
ou f = 0
~
p
=
2
(et
0 )
Remarque :
La contrainte issue des données du modèle de Barcelone est
d
= +
tot
pgz1 , ce sera
donc la variable utilisée dans la routine décrivant le comportement, la contrainte de sortie
fournie à STAT_NON_LINE étant la contrainte de Bishop : '=
-
tot
p .
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Opérateurs tangents :
L'opérateur tangent des contraintes généralisées est implémenté dans THHM sous le nom DDE et
'&
& '
partitionné en plusieurs blocs. Les composantes concernées par le modèle sont
et
des
p
&c
& '
'
'
&
&
p
&
p
c
&
blocs [DMECDE] et [DMECP1] correspondant à :
& ,
c
.
&
'
'
p
& p
& p
& p&
p
c
&c
7
Mise en oeuvre du modèle
7.1 Données
matériau
L'utilisation du modèle de Barcelone nécessite d'enrichir les données du modèle de Cam-clay par des
données supplémentaires propres aux sols non saturés. Ceci se concrétise par l'adoption simultanée
des deux mots-clé Cam-clay et Barcelone sous la commande DEFI_MATERIAU.
7.2
Initialisation du calcul
Il est nécessaire que l'état initial du matériau soit plastiquement admissible (la contrainte et la pression
capillaire sont donc telles que le point de chargement initial soit à l'intérieur de la surface de charge). Il
faut donc d'une part que la succion soit inférieure au seuil hydrique, et d'autre part que la contrainte
soit à l'intérieur de l'ellipse définie dans le plan de succion initiale. En particulier, si le chargement
mécanique initial est purement hydrostatique, il doit être compris entre les bornes représentées par la
cohésion ( - k p ) et la pression de consolidation ( 2P ). La contrainte utilisée pour décrire le
c
c
cr
comportement (contrainte totale plus pression de gaz) est différente de la contrainte à initialiser en
ETAT_INIT (contrainte de Bishop ' ). La relation entre les deux types de contrainte est :
&
'= & + [(b - )1 p&gzI - bSlq p&c ]
7.3
Variables internes en sortie
Le modèle produit cinq variables internes :
V
: pression critique
1 = Pcr
V2 = I1 : indicateur d'irréversibilité mécanique
V = p : seuil d'irréversibilité hydrique
3
c0
V4 = I2 : indicateur d'irréversibilité hydrique
V
: pression de cohésion
5 = PS
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:
R7.01.17-A Page
: 42/44
8
Perspectives de développement du modèle
Un des phénomènes non étudié dans le modèle original de Barcelone est la non réversibilité de la
courbe de pression capillaire [Figure 8-a] et sa dépendance à l'état de contrainte. Ceci est traité par
Dangla et coll. [bib2] en intégrant le modèle de Barcelone dans un cadre poroplastique avec
l'introduction de la teneur en eau comme variable poroplastique supplémentaire, dont l'évolution est
directement reliée non seulement à la variation de pression capillaire par l'intermédiaire de la courbe
de drainage-imbibition, mais aussi à l'évolution mécanique du milieu. Il faut distinguer là deux aspects
distincts mais néanmoins couplés du phénomène. La non réversibilité de la courbe drainage-imbibition
est un phénomène purement hydraulique et donc indépendant de la loi mécanique adoptée dans une
modélisation THHM, mais cette courbe dépend de l'indice des vides donc de l'état mécanique du
milieu. La partition de la teneur en eau en partie élastique et plastique et des considérations
thermodynamiques [bib2] permet de déduire l'évolution à la fois de la teneur en eau (et donc du degré
de saturation) et de la contrainte en fonction de la déformation et de la pression capillaire. Par
exemple, l'évolution dans le domaine de réversibilité est donnée par :
e
d = -N( e
, p )dp + b( e
, p )dtr( e
)
lq
c
c
c
dP = b( e
, p )dp + K( e
, p )dtr( e
)
c
c
c
pc
Courbe de drainage
Domaine de réversibilité
Courbe d'imbibition
e
p
lq
lq lq
Figure 8-a
Où (N,b) sont les coefficients de Biot généralisés [bib6]. Enrichir le modèle de Barcelone dans ce
sens implique donc deux développements séparés :
1) L'introduction d'une courbe de drainage-imbibition dans les développements THHM.
2) La complétude du modèle de Barcelone par le calcul du degré de saturation en plus de la
contrainte.
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: 43/44
9 Bibliographie
[1]
E.E. ALONSO, A. GENS, A. JOSA : A constitutive model for partially saturated soils.
Géotechnique 40. No 3, 405 430., 1990.
[2]
P. DANGLA, L. MALINSKY, O. COUSSY, : Plasticity and imbibition drainage curves for
unsaturated soils : a unified approach. (1997). International Symposium on Numerical Models
in Geomechanics. Pietruszczak & Pande (eds) Balkema, Rotterdam.
[3]
P. DELAGE : Le comportement des sols non-saturés. (2000). ENPC. Cours dispensé à la
DER, Clamart.
[4]
N. TARDIEU, I. VAUTIER, E. LORENTZ
: Algorithme non linéaire quasi-statique.
Documentation de Référence Aster [R5.03.01].
[5]
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE : Loi de comportement Cam_Clay, Doc [R7.01.14],
Code_Aster (2002).
[6]
T. LASSABATERE : Couplages hydromécaniques en milieu poreux non saturé avec
changement de phase : application au rtrait de dessication. Thèse de doctorat de l'ENPC,
Paris (1994).
[7]
C. CHAVANT : Modèles de comportement THHM, Doc [R7.01.11], Code_Aster (2001).
[8]
C. CHAVANT
: Modélisations Thermo-Hydro-Mécaniques THHM. Généralités et
alogorithmes, Doc [R7.01.10], Code_Aster (2001).
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: 44/44
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