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Loi de comportement ENDO_ISOT_BETON
Date :
26/05/05
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P. BADEL Clé
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Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.14
Loi de comportement ENDO_ISOT_BETON
Résumé :
Cette documentation présente l'écriture théorique et l'intégration numérique de la loi de comportement
ENDO_ISOT_BETON qui décrit un mécanisme d'endommagement local asymétrique des bétons, avec effet de
restauration de rigidité. Outre le modèle local, la formulation non locale à déformation régularisée est également
supportée pour contrôler les phénomènes de localisation.
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Table
des
matières
1 Introduction Domaine d'application ....................................................................................................3
2 Loi de comportement locale...................................................................................................................3
2.1 Ecriture théorique ............................................................................................................................3
2.2 Prise en compte du retrait et de la température ..............................................................................6
2.3 Identification des paramètres ..........................................................................................................6
2.3.1 Paramètres élastiques............................................................................................................6
2.3.2 Paramètres d'endommagement .............................................................................................6
2.3.2.1 Utilisation sans dépendance au confinement ............................................................6
2.3.2.2 Utilisation avec dépendance au confinement ............................................................6
2.3.2.3 Passage des valeurs « utilisateur » aux valeurs « modèle ».....................................7
2.4 Intégration numérique......................................................................................................................7
2.4.1 Evaluation de l'endommagement ...........................................................................................7
2.4.2 Calcul de la matrice tangente.................................................................................................8
2.4.2.1 Matrice tangente à endommagement constant .........................................................8
2.4.2.2 Terme de la matrice tangente dû à l'évolution de l'endommagement .......................9
2.4.3 Cas du matériau complètement endommagé ......................................................................10
2.5 Description des variables internes.................................................................................................10
3 Formulation avec déformation régularisée ..........................................................................................11
3.1 Formulation....................................................................................................................................11
3.2 Intégration de la loi de comportement ...........................................................................................11
3.3 Variables internes ..........................................................................................................................11
4 Pilotage par prédiction élastique..........................................................................................................12
5 Bibliographie ........................................................................................................................................12
Annexe 1
Démonstration du repère propre de contrainte........................................................13
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1
Introduction Domaine d'application
La loi de comportement ENDO_ISOT_BETON vise à modéliser le plus simplement possible un
comportement de béton élastique fragile. Elle peut être vue comme une extension de la loi
ENDO_FRAGILE [R5.03.18] (avec laquelle elle garde une proximité de formulation certaine) pour des
applications de Génie Civil.
Comme pour la loi ENDO_FRAGILE, le matériau est isotrope. La rigidité peut décroître, la perte de
rigidité mesurée par un scalaire évoluant de 0 (matériau sain) à 1 (matériau totalement endommagé).
En revanche, contrairement à ENDO_FRAGILE, la perte de rigidité distingue la traction de la
compression, pour privilégier l'endommagement en traction. De plus cette perte de rigidité peut
disparaître par retour en compression, il s'agit du phénomène de restauration de rigidité à la
refermeture. Il faut aussi noter que cette loi d'endommagement vise à décrire la rupture du béton en
traction ; elle n'est donc pas du tout adapté à la description du comportement non linéaire du béton en
compression. Elle suppose donc que le béton reste dans un état de compression modéré.
La loi ENDO_ISOT_BETON présente de l'adoucissement, ce qui entraîne généralement une perte
d'ellipticité des équations du problème et par suite une localisation des déformations, d'où une
dépendance pathologique au maillage. Pour pallier cette déficience du modèle, une formulation non
locale doit être adoptée : pour la loi ENDO_ISOT_BETON, la modélisation GRAD_EPSI [R5.04.02],
basée sur la régularisation de la déformation est utilisable. Dans cette formulation, il faut noter que
seules les relations de comportement sont altérées par rapport à une modélisation locale classique ;
par conséquent, les contraintes conservent leur sens habituel.
Enfin, que l'on active ou non la formulation non locale, le caractère adoucissant du comportement
entraîne également l'apparition d'instabilités, physiques ou parasites, qui se traduisent par des
snap-backs sur la réponse globale et rendent le pilotage du chargement indispensable en statique. Le
pilotage de type PRED_ELAS [R5.03.80] apparaît alors comme le mode de contrôle du chargement le
plus adapté.
2
Loi de comportement locale
2.1 Ecriture
théorique
Si l'on cherche à tenir compte de l'effet de refermeture, il faut porter une grande attention à la
continuité des contraintes en fonction des déformations (ce qui est une condition indispensable pour
une loi de comportement dans un logiciel de calcul par éléments finis), Cf [bib1]. En effet, si l'on
modélise cet effet de façon trop simpliste, la loi de comportement a de grande chance de présenter
une réponse discontinue.
Pour tenir compte de la refermeture (i.e. la transition entre traction et compression), il faut commencer
par décrire finement ce que l'on appelle traction et compression, sachant qu'en traction (resp.
compression) la fissure sera considérée « ouverte » (resp. « fermée »). Une solution naturelle est de
se placer dans un repère propre de déformation. Dans un tel repère, l'énergie libre élastique s'écrit (
et µ désignant les coefficients de Lamé) :
( ) =
( )2
tr
+ µ 2
éq 2.1-1
i
2
i
On peut alors définir :
· une traction ou compression volumique, suivant le signe de tr ,
· une traction ou compression dans chaque direction propre, suivant le signe de i .
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Suivant le principe assez raisonnable suivant - dans un cas de traction (« fissure ouverte »), on corrige
l'énergie élastique d'un facteur d'endommagement ; dans un cas de compression (« fissure fermée »),
on garde l'expression de l'énergie élastique -, l'énergie libre endommageable s'écrit :
(
2
1
2
1
, d ) = (
tr )
- d
d
H (-
tr )+
H (
tr )
+
µ H
H
éq 2.1-2
i
(- i ) -
+
( i )
2
1+ d
1
i
+ d
On remarque que l'énergie libre est continue à chaque changement de régime. Elle est même
continûment dérivable par rapport aux déformations, puisqu'elle est somme de fonctions dérivables (la
fonction x 2 H(x) est dérivable) et la continuité des dérivées partielles aux points tr = 0 et = 0
i
est
immédiate. On explicite alors les contraintes (en sachant qu'elles seront partout des fonctions
continues des déformations). Comme en élasticité, le repère propre des contraintes coïncide avec le
repère propre des déformations, résultat démontré en annexe.
On écrit les contraintes dans le repère propre :
1 d
1 d
tr
H
tr
H
tr
2µ H
H
éq
2.1-3
ii =
( )
-
(-
)+
( )
+
ii
(- ii ) -
+
( ii )
1+ d
1+ d
Sous cette forme, la continuité des contraintes vis-à-vis des déformations est claire. La figure ci-contre
montre la contrainte
,1
1 dans le plan (
2 ) à endommagement constant (cas 2D, déformation
plane). L'effet de la refermeture ainsi que la continuité des contraintes sont bien visibles.
Figure 2-a : illustration de la continuité
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La force thermodynamique F d associée à la variable interne d'endommagement s'écrit :
1
d
+
F = -
=
2
tr
tr
éq
2.1-4
2
( ) H( )+ µ 2H
i
( i )
d
(1+ d
)
2
i
Il reste à définir l'évolution de l'endommagement. Le schéma retenu est celui des modèles standards
généralisés. Il faut se définir un critère, que l'on prend sous la forme :
f (Fd ) Fd
=
(,d) - k éq
2.1-5
où k définit le seuil d'endommagement. Afin de prendre en compte, au niveau de l'évolution de
l'endommagement, l'effet de confinement, le seuil k dépend de l'état de déformation, sous la forme :
k = k + k
H -
éq
2.1-6
0
(
tr
1
) (
tr )
On s'astreint à rester dans le domaine :
f (Fd ) 0 éq 2.1-7
L'évolution de la variable d'endommagement est alors déterminée par les conditions de Kuhn-Tucker :
d& = 0 pour f < 0
éq 2.1-8
d& 0 pour f = 0
Remarque :
D'un point de vue formel, les matériaux standards généralisés sont caractérisés par un
potentiel de dissipation fonction positivement homogène de degré 1, transformée de
Legendre-Fenchel de la fonction indicatrice du domaine de réversibilité, qui vaut donc ici :
( &d) = sup Fd &d = k &d + I
éq
2.1-9
IR+
d
d
(&d)
F / f (F )0
On notera la présence d'une fonction indicatrice portant sur &
d , qui assure que l'endommagement est
croissant.
Il reste encore à prendre en compte le fait que l'endommagement est majoré par 1. D'un point de vue
intuitif, cela semble facile. Pour garder une écriture intégralement compatible avec le formalisme
standard généralisé, il suffit d'introduire une fonction indicatrice du domaine admissible dans
l'expression de l'énergie libre :
2
1
(
d
,d )
= (tr) H(- tr) + - H(t
r ) +
2
1 + d
éq
2.1-10
µ2
1 d
H(- + -
i )
H(i ) + I
d
i
]-; ]
1 ( )
1 +
i
d
L'introduction de cette fonction indicatrice empêche l'endommagement de dépasser 1, en effet, pour
d = 1, F d = -
= - , et l'endommagement n'évolue plus.
d
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2.2
Prise en compte du retrait et de la température
La loi de comportement prend en compte un éventuel retrait de dessication, un éventuel retrait
endogène et une éventuelle déformation thermique. La déformation dont il est question dans ce
document étant alors la « déformation élastique » ~
th
rd
re
= - - - .
En revanche, les paramètres matériaux dont il sera question au prochain paragraphe sont considérés
comme des constantes (en particulier, ils ne peuvent pas dépendre de la température, dans l'état de
développement actuel)
2.3
Identification des paramètres
Les paramètres de la loi de comportement sont au nombre de 4 ou 5 (voir paragraphes suivants). Ils
sont classiquement fournis dans l'opérateur DEFI_MATERIAU.
2.3.1 Paramètres
élastiques
Ce sont les plus simples : il s'agit des deux paramètres classiques, module d'Young et coefficient de
Poisson, fournis sous le mot-clé ELAS ou ELAS_FO de DEFI_MATERIAU.
2.3.2 Paramètres
d'endommagement
Suivant que l'utilisateur veut utiliser la dépendance du seuil avec le confinement ou pas, il faut fournir 2
ou 3 paramètres pour contrôler la loi d'endommagement.
2.3.2.1 Utilisation sans dépendance au confinement
Dans ce cas, on considère que le paramètre k est nul. Il est à noter que l'état de compression du
1
béton doit rester modéré pour que la loi reste valable (contrainte en compression de l'ordre de
quelques fois la contrainte au pic de traction, en valeur absolue).
L'utilisateur doit renseigner, sous le mot-clé BETON_ECRO_LINE de DEFI_MATERIAU, les valeurs de :
· SYT : limite de la contrainte en traction simple,
· D_SIGM_EPSI : pente de la courbe post-pic en traction.
2.3.2.2 Utilisation avec dépendance au confinement
Dans ce cas, la dépendance au confinement permet au béton de garder un comportement réaliste en
compression jusqu'à l'ordre de grandeur d'apparition de la non linéarité en compression, donnée par
SYC, Cf. ci-dessous (classiquement, une contrainte en compression de l'ordre de dix fois la contrainte
au pic de traction, en valeur absolue)
L'utilisateur doit renseigner, sous le mot-clé BETON_ECRO_LINE de DEFI_MATERIAU, les valeurs de :
· SYT : limite de la contrainte en traction simple,
· SYC : limite de la contrainte en compression simple,
· D_SIGM_EPSI : pente de la courbe post-pic en traction.
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2.3.2.3 Passage des valeurs « utilisateur » aux valeurs « modèle »
Pour information, on obtient les valeurs de , k et éventuellement k (si l'utilisateur a renseigné
0
1
SYC) par les formules suivantes :
E
= -
D _ SIGM _ EPSI
2 1 +
1+ -
2 2
k
SYT
0 = (
)
2E
1+
(1+ ) 2
E
k = SYC
-
1
(1+ )(1-
2 ) k0 (1-
2 )(SYC)
2.4 Intégration
numérique
Deux points sont à régler avant d'implanter le modèle : le premier concerne l'évaluation de
l'endommagement ; le second consiste à calculer la matrice tangente, calcul rendu un peu plus délicat
que d'habitude par le passage dans un repère propre de déformation.
On se place ici dans le cadre de l'intégration implicite des lois de comportement. La dépendance du
critère en fonction du confinement [éq 2.1-6] est prise en compte sous forme explicite, i.e. le seuil k
est entièrement déterminé par l'état de déformation du pas précédent, ceci pour simplifier l'intégration
du modèle.
2.4.1 Evaluation de l'endommagement
Comme on va le voir, une simple équation scalaire permet d'obtenir l'endommagement, ce qui permet
d'éviter un recours aux méthodes itératives.
On note d - l'endommagement au pas précédent et d + l'évaluation de l'endommagement au pas
courant à l'itération courante qui sera l'endommagement au pas courant lorsque la convergence sera
atteinte. Le plus simple pour évaluer l'endommagement de l'itération courante est de supposer que l'on
atteint le critère à l'instant courant, ce qui se traduit par :
1
2
2
f (Fd ) = 0
+
µ
éq
2.4.1-1
2
(tr ) H(tr )+
H
i ( i) k
(
=
1+ d
) 2
i
ce qui donne :
1
1
2
d test =
+
(tr) H(tr) +
2
µ H
1 éq
2.4.1-2
i
( i) -
k
2
i
3 cas se présentent :
·
d test d - : cela veut dire qu'à l'instant courant, le critère n'est pas atteint, on en conclut que
d +
d -
=
,
·
d - d test 1 : le critère est donc atteint, la condition de cohérence implique d + = d test ,
·
d test 1 : le matériau est alors ruiné en ce point, d'où d + = 1.
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2.4.2 Calcul de la matrice tangente
La matrice tangente est la somme de deux termes, le premier exprimant la relation
contrainte/déformation à endommagement constant, le deuxième étant issu de la condition f = 0 . En
effet, on peut écrire :
ij ij
ij d
=
+
éq
2.4.2-1
d
kl
kl
te
=
d c
kl f =0
Si l'utilisateur demande le calcul avec matrice tangente (Cf. documentation de STAT_NON_LINE,
[U4.51.03]), la loi de comportement fournit l'expression donnée par [éq 2.4.2-1]. En revanche, si
l'utilisateur demande le calcul avec la matrice de décharge, le loi de comportement fournit la matrice
sécante, c'est-à-dire le premier terme du membre de droite de [éq 2.4.2-1].
2.4.2.1 Matrice tangente à endommagement constant
Comme nous l'avons souligné précédemment, le calcul de la matrice tangente est un peu délicate du
fait de l'écriture du modèle dans le repère propre de déformation. Ainsi, on connaît facilement la
matrice tangente à endommagement constant dans le repère propre de déformation, or ce que l'on
cherche est cette même matrice tangente dans le repère global.
Dans le cas où l'endommagement n'évolue pas, dans le repère propre de déformation, la matrice
recherchée exprime une simple relation d'élasticité dégradée :
~
1 d
1 d
i
-
~
= H(-tr)+
H (tr )
+
2µ H
H
éq
2.4.2.1-1
ij
(- j) -
+
( j)
1
d
1
d
j
te
+
+
d =c
Il faut maintenant exprimer le passage du repère global au repère propre de déformations, au moins
dans le cas où les valeurs propres de déformation sont différentes. La matrice tangente n'étant
nécessaire qu'aux algorithmes de résolution numérique (schéma de Newton), on se permettra, lors du
calcul de la matrice tangente (et uniquement dans ce cas) de perturber numériquement d'éventuelles
valeurs propres identiques (afin de les rendre distinctes). On remarquera en particulier que cela
permet, à endommagement nul, de retrouver la matrice de rigidité élastique.
On note avec un tilde les tenseurs dans le repère propre de déformation (qui, on le rappelle, est aussi
le repère propre de contraintes). Par définition, en notant U le vecteur propre associé à la i-ème
i
valeur propre, la matrice changement de base Q = (U U U , on a :
1
2
3 )
~ T
= Q Q
= Q Q ~ + Q Q ~ + Q Q ~
ij
im
jm
m
im
jm
m
im
jm
m
Dans le cas où les valeurs propres de déformation sont distinctes, l'évolution des vecteurs propres et
valeurs propres est donnée par (Cf. précédemment [§2]) :
~&jk
U& U =
pour j k éq
2.4.2.1-2
j
k
~ - ~
j
k
&~ = &~ pour j k éq
2.4.2.1-3
i
ii
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On en déduit aisément Q :
~
~
Q =
jk
U
Q éq
2.4.2.1-4
ij
~
~ ( k ) =
jk
i
~
~ ik
k j
j -
k
k j
j -
k
En utilisant ensuite (la dernière expression ne servant qu'à obtenir une matrice clairement symétrique)
:
=
1
~
Q Q =
Q Q + Q Q
ij
ki
lj kl
( ki lj li kj) kl
2
On obtient donc :
~
m
= Q Q
~ + Q Q ~ + Q Q ~
ij
im
jm
~
n
im
jm
m
im
jm
m
,
m n
n
m
~
1
Q Q Q Q
m
in
km
ln
jm
= Q Q Q Q
+
ln
~
im
jm
kn
~
kl
~
~
m
kl
-
, , ,
2 ,
m n k l
n
k l
m
n
nm
1
Q Q Q Qln
1
Q Q Q Q
1
Q Q Q Q
im
jn
km
in
lm
kn
jm
im
jn
lm
kn
+
~ +
~ +
~
~
~
m
kl
~
~
m
kl
~
~
m
kl
2
-
-
-
,
2 ,
2 ,
k l
m
n
k l
m
n
k l
m
n
nm
nm
nm
éq 2.4.2.1-5
La matrice tangente à endommagement constant s'écrit donc :
~
1
Q Q
Q Q
Q Q
Q Q
ij
m
( km ln + lm kn )( in jm + jn im )
A
Q Q Q Q
~
ijkl =
= im jm kn ln ~
+
~
~
2
kl
m,n
n
m
te
m,n
n -
d =c
m
nm
éq 2.4.2.1-6
2.4.2.2 Terme de la matrice tangente dû à l'évolution de l'endommagement
L'expression à évaluer s'écrit :
ij d
éq
2.4.2.2-1
d kl f =0
On écrit l'équation [éq 2.4.1-1] sous la forme :
1 +
W = k
éq
2.4.2.2-2
2 [ ( )]
(1+d)
avec : W() = (tr)2 H(tr) + µ 2 H .
i
( i)
2
i
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En différentiant cette expression, il vient :
- 2 (1+ )W
d
el
éq
2.4.2.2-3
3
( ) + 1+
= 0
(1+ d)
(1+ d)2
W
avec : el
=
On utilise ensuite l'égalité suivante :
1 el
=
+
éq
2.4.2.2-4
d (1+ d)2
On conclut :
ij
1
=
+
el el
ij
éq
2.4.2.2-5
kl
2 1 + d W
kl
f =0
( ) ()
2.4.3 Cas du matériau complètement endommagé
Dans le cas du matériau complètement endommagé, d = 1 , la rigidité du point matériel peut
s'annuler. Cela ne pose nullement problème pour la contrainte ; en revanche, cela peut entraîner des
pivots nuls dans la matrice de rigidité. Pour pallier cette difficulté, on se permet de définir une rigidité
minimale, pour la matrice tangente ou la matrice de décharge. Cette rigidité minimale n'affecte pas la
valeur de l'endommagement (qui peut atteindre 1) ou la contrainte (qui peut atteindre 0).
Pour préserver un conditionnement raisonnable de la matrice de rigidité, la rigidité minimale est prise à
5
10- de la rigidité initale. Un indicateur précise le comportement pendant le pas de temps courant :
·
= 0 : pas d'évolution de l'endommagement au cours du pas,
· = 1 : évolution de l'endommagement au cours du pas,
·
= 2 : endommagement saturé d = 1.
2.5
Description des variables internes
Le modèle possède deux variables internes :
· VI(1) : endommagement d ,
· VI(2) : indicateur .
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3
Formulation avec déformation régularisée
3.1 Formulation
L'approche à déformation régularisée [R5.04.02] permet elle aussi de contrôler les phénomènes de
localisation et apparaît à ce titre comme une alternative à la formulation avec gradient
d'endommagement. Mais à la différence de cette dernière, cette formulation présente l'avantage de
recourir aux algorithmes standard pour les problèmes non linéaires. En effet, la seule différence par
rapport à la loi de comportement locale réside dans la donnée de deux déformations au lieu d'une, la
déformation locale qui intervient dans la relation contrainte déformation et la déformation
régularisée qui pilote l'évolution de l'endommagement. Celle-ci se déduit de la déformation locale
par résolution du système d'équations aux dérivées partielles suivant :
- 2
b
L = 0
structure
la
dans
éq
3.1-1
n = 0
sur
normale
de
bord
le
n
où la longueur caractéristique L est à nouveau renseignée sous le mot-clé
b
LONG_CARA de
DEFI_MATERIAU. Finalement, la relation de comportement s'écrit de la manière suivante, l'équation
(2-3) reste identique, tandis que l'équation [éq 2.1-5] prend en compte la déformation régularisée :
1 d
1 d
tr
H
tr
H
tr
2µ H
H
éq
3.1-2
ii =
( )
-
(-
)+
( )
+
ii
(- ii ) -
+
( ii )
1+ d
1+ d
f (F d ) = F d (,d )- k
éq 3.1-3
3.2
Intégration de la loi de comportement
Un des avantages avancés pour la formulation non locale à déformation régularisée est le peu de
modifications qu'elle entraîne dans la construction de la loi de comportement. En effet, l'intégration des
variables internes est totalement pilotée par la déformation régularisée .
La méthode d'intégration est exactement celle décrite dans le paragraphe [§2.4.1], à condition de
remplacer la déformation par la déformation régularisée dans les équations.
Pour le calcul de la matrice tangente, les expressions sont les mêmes que celles données au
paragraphe [§2.4.2], certaines expressions de la déformation sont à remplacer par la déformation
régularisée (quand la déformation relève du critère), tandis que d'autres ne changent pas (quand la
déformation relève de la relation contrainte déformation).
3.3 Variables
internes
Il s'agit des mêmes variables internes que pour la loi locale :
· VI(1) endommagement d ,
· VI(2) indicateur .
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Loi de comportement ENDO_ISOT_BETON
Date :
26/05/05
Auteur(s) :
P. BADEL Clé
:
R7.01.04-B Page
: 12/14
4
Pilotage par prédiction élastique
Le pilotage de type PRED_ELAS contrôle l'intensité du chargement pour satisfaire une certaine
équation liée à la valeur de la fonction seuil el
f lors de l'essai élastique. Par conséquent, seuls les
points où l'endommagement n'est pas saturé seront pris en compte. L'algorithme qui prend en charge
ce mode de pilotage, cf. [R5.03.80], requiert la résolution en chacun de ces points de Gauss de
l'équation scalaire suivante dans laquelle
est une donnée et l'inconnue :
~el
f () =
éq 4-1
~
La fonction el
f fournit la valeur de la fonction seuil lors d'un essai élastique lorsque le champ de
déplacement se décompose de la manière suivante en fonction du paramètre scalaire :
u = u + u
éq 4-2
0
1
où u et u sont donnés. Grâce à la linéarité en petites déformations des opérateurs déformation
0
1
(calcul des déformations à partir des déplacements) et déformation régularisée, on obtient également
les décompositions suivantes :
= 0 + 1
et
= 0 + 1
éq
4-3
La fonction el
f présentant la bonne propriété d'être convexe, l'équation [éq 4-1] présente zéro, une ou
deux solutions, qui sont recherchées comme suit :
· Détermination du nombre de solutions par étude aux bornes ± et éventuellement (si la
valeur aux deux bornes est à chaque fois positive) détermination si el
f présente un minimum
négatif ;
· Détermination d'un encadrement de chaque solution à partir de l'étude précédente
· Détermination de la solution (pour une fonction convexe connaissant l'encadrement, cette
recherche est simple et rapide)
5 Bibliographie
[1]
P.B. BADEL : Contributions à la simulation numérique de structures en béton armé. Thèse de
l'Université Paris VI, 2001.
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Annexe 1 Démonstration du repère propre de contrainte
Le terme en trace dans l'énergie ne pose pas de problème : il est invariant par tout changement de repère.
2
1 d
Reste le terme en H -
+ - H
i
( i)
(i) .
1 + d
i
Notation : on écrit avec un indice (par exemple ) la i-ème valeur propre d'un tenseur qui s'écrit (en explicitant
i
ses deux indices) .
kl
· Si les valeurs propres de la déformation sont toutes distinctes, on montre alors que & =
i
&ii , avec
&kl les composantes de & dans le repère fixe coïncidant avec le repère propre de déformation à
l'instant considéré (dans ce repère on a donc = ).
kl
k
kl
En effet, écrivons les déformations sous la forme :
= U U
i
i i
i
En différentiant cette expression, il vient :
& = & U U
U
U
U
U
i
i
i
+ &
i
i
i + i
i & i
i
En utilisant le fait que les vecteurs propres sont orthonormés :
U U = U& U + U U& = 0
i
j
ij
i
j
i
j
on obtient les variations des valeurs propres et des vecteurs propres :
& =
jk
=
i
&ii et &
&
U U
j
k
pour j
k
-
j
k
Ceci n'est évidemment valable que si les valeurs propres sont distinctes (comme on peut le voir
clairement sur l'expression des variations des vecteurs propres). Cela vient du fait que les
vecteurs propres ne sont pas des fonctions continues des éléments de la matrice.
· Dans le cas où deux valeurs propres de déformations sont égales (et en dehors du cas très
particulier où elles sont également nulles), elles sont soit positives, soit négatives. Prenons le cas
où elles sont positives (l'autre cas se prête à une démonstration en tout point similaire). L'énergie
3
concernant ces deux valeurs propres s'écrit alors : 2
(les deux valeurs propres égales sont
i
i=2
considérées avoir les indices 2 et 3). En différentiant cette expression, on obtient :
23
3
d
d en notant la valeur propre commune.
i
i = 2
i
i=2
i=2
Par invariance de la trace d'une matrice, ici la restriction de la déformation au plan propre
considéré, on obtient :
3
3
d
d , quelle que soit l'évolution qu'a subi le repère propre à ce moment.
i =
ii
i=2
i=2
Pour la valeur propre restante (distincte des deux autres et d'indice 1 avec les notations choisies),
on a : d = d .
1
11
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En rassemblant ces expressions, on obtient :
d 3 2
H
d H
d
H
H d
i
( i )
3
3
= ( 2
2
1
( )
+
2
1
i
( i )
= ii ( ii )
ii
i=1
i=2
i=1
En conclusion, que les valeurs propres soient distinctes ou non, on obtient :
d
2 H( ) = 2
H
ii
( ii)d
i
i
ii avec les notations adoptées.
i
i
Ce raisonnement se généralise facilement au cas de trois valeurs propres égales.
La différentielle de l'énergie à endommagement constant s'écrit alors :
1 d
d(,d)
=
- + -
+
d =cte
(tr )d(tr ) H( tr )
H(tr )
1 + d
1 d
2µ
d H - + -
ii
ii
( ii)
H( ii )
1 + d
i
Sur cette expression, on observe bien que le repère propre de déformation est aussi repère
propre de contrainte.
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