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7.4
Titre :
Modélisation des câbles de précontrainte
Date :
05/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE, A. ASSIRE Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.02
Modélisation des câbles de précontrainte
Résumé
Pour améliorer la résistance de certaines structures de Génie Civil, on utilise du béton précontraint : pour cela,
le béton est comprimé à l'aide de câbles de précontrainte en acier. Dans Code_Aster, il est possible de faire
des calculs de telles structures : les câbles de précontrainte sont modélisés par des éléments de barre à deux
noeuds, qui sont ensuite liés cinématiquement aux éléments de volume ou de plaque qui constituent la partie
béton de la structure. Pour réaliser ce calcul, il existe trois commande spécifiques à ces câbles de
précontrainte, DEFI_CABLE_BP qui permet de définir géométriquement le câble et les conditions de mise en
tension, AFFE_CHAR_MECA, opérande RELA_CINE_BP, qui permet de transformer les informations calculées par
DEFI_CABLE_BP en chargement pour la structure, et CALC_PRECONT qui permet l'application de la
précontrainte sur la structure.
Les spécificités principales de la modélisation sont les suivantes :
· le profil de tension le long d'un câble est calculé selon le règlement BPEL 91 [bib1] et tient compte du
recul d'ancrage, de la perte par frottement rectiligne et curviligne, de la relaxation des câbles, du fluage
et du retrait du béton et la liaison câble/béton est supposé parfaite, à l'image des gaines injectées par
un coulis
· il est possible de définir une zone d'ancrage (au lieu d'un point d'ancrage) afin d'atténuer les
singularités de contraintes dues à l'application de la tension sur un seul noeud du câble (effet de la
modélisation),
· le comportement des câbles est élastoplastique, la dilatation thermique pouvant être prise en compte.
· grâce à l'opérateur CALC_PRECONT, on peut simuler le phasage de la mise en tension des câbles et la
mise en tension peut se faire en plusieurs pas de temps en cas d'apparition de non-linéarités. Enfin, la
tension finale dans le câble est strictement égale à la tension prescrite par le BPEL.
· les câbles étant modélisés par des éléments finis, leur rigidité reste active tout au long des analyses.
L'opérateur DEFI_CABLE_BP est compatible avec tous les types d'éléments finis mécaniques volumiques et les
éléments de plaque DKT pour la description du milieu béton traversé par les câbles de précontrainte. Par
contre, l'opérateur CALC_PRECONT n`est pas compatible avec les éléments de plaque.
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Table
des
matières
1 Préliminaires ..........................................................................................................................................3
2 L'opérateur DEFI_CABLE_BP................................................................................................................4
2.1 Evaluation des caractéristiques du tracé des câbles ......................................................................4
2.2 Détermination du profil de tension dans le câble d'après BPEL 91 ................................................6
2.2.1 Formule générale ...................................................................................................................6
2.2.2 Perte de tension par frottement et recul d'ancrage................................................................7
2.2.3 Déformations différées de l'acier............................................................................................8
2.2.4 Perte de tension par déformations instantanées du béton ....................................................8
2.3 Détermination des relations cinématiques entre acier et béton ......................................................8
2.3.1 Définition des noeuds voisins .................................................................................................9
2.3.2 Calcul des coefficients des relations cinématiques................................................................9
2.3.2.1 Cas où le béton est modélisé par des éléments finis massifs .................................10
2.3.2.2 Cas où le béton est modélisé par des éléments finis de plaque .............................10
2.3.2.3 Cas où le noeud du câble se projette sur un noeud du maillage béton....................12
2.4 Traitement des zones d'extrémité du câble...................................................................................12
2.5 Remarque : calcul de la tension du câble en tant que chargement mécanique ...........................13
3 La macro-commande CALC_PRECONT.................................................................................................14
3.1 Pourquoi une macro-commande pour la mise en tension ?..........................................................14
3.1.1 Etape 1 : calcul des forces nodales équivalentes ................................................................15
3.1.2 Etape 2 : application de la précontrainte au béton...............................................................15
3.1.3 Etape 3 : basculement des efforts extérieurs en efforts intérieurs.......................................16
4 Procédure de modélisation ..................................................................................................................16
4.1 Les différentes étapes : cas standard ...........................................................................................16
4.2 Cas particulier : DKT......................................................................................................................16
4.3 Précautions d'usage et remarques................................................................................................17
5 Bibliographie ........................................................................................................................................18
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1 Préliminaires
Certaines structures de génie civil sont constituées non seulement de béton et d'armatures passives
en acier, mais également de câbles de précontraintes. L'analyse de ces structures par la méthode des
EF nécessite alors d'intégrer non seulement les caractéristiques géométriques et matérielles de ces
câbles mais également leur tension initiale.
L'opérateur DEFI_CABLE_BP est conçu d'après les prescriptions du règlement BPEL 91 qui permet de
définir la tension de façon forfaitaire. Les mécanismes pris en compte par cet opérateur sont les
suivants :
· la mise en tension d'un câble par une ou deux extrémités,
· la perte de tension due aux frottements développés le long des trajets rectilignes et
curvilignes,
· la perte de tension due au recul d'ancrage,
· la perte de tension due à la relaxation du câble.
Les câbles sont modélisés par des éléments barres à deux noeuds, ce qui implique d'adopter un tracé
approché dans le cas des tracés en courbe. Ceci peut être fait au plus près de la réalité sans
restriction majeure (les noeuds de câbles doivent se trouver à l'intérieur du volume des éléments de
béton) au regard du maillage des éléments du béton. La partie béton de la structure peut être
modélisée grâce à tous type d'éléments volumiques 2D et 3D ou avec les éléments plaques DKT.
L'opérateur DEFI_CABLE_BP a la possibilité de créer des conditions cinématiques entre les noeuds
d'éléments barres et les éléments 2D ou 3D qui ne coïncident pas dans l'espace. Ceci a l'avantage de
simplifier la création du maillage et de laisser libre choix à l'utilisateur en terme de disposition des
éléments et de leur nombre. De ce fait, la liaison câble de précontrainte / béton est de type parfait,
sans possibilité de glissement relatif. L'opérateur permet également de définir un cône de diffusion des
contraintes autour des ancrages afin d'y limiter les concentrations de contraintes très supérieures à la
réalité et qui sont dues à la modélisation.
La deuxième fonction principale de l'opérateur DEFI_CABLE_BP est d'évaluer le profil de la tension le
long des câbles de précontrainte en considérant les aspects technologiques de leur mise en oeuvre.
Lors de la mise en place des câbles, la précontrainte est obtenue grâce aux vérins hydrauliques
placés à une ou deux extrémités des câbles. Le profil de tension le long d'un câble est affecté par le
frottement (rectiligne et/ou curviligne), par la déformation du béton environnant, par le recul des
ancrages aux extrémités des câbles et par la relaxation des aciers.
Cette tension peut ensuite être prise en compte comme un état de contrainte initial lors de la résolution
du problème EF complet. Le problème, c'est que dans ce cas, sous l'effet de la tension du câble,
l'ensemble béton et câble se comprime entraînant une diminution de la tension du câble. Pour éviter
ce problème et avoir exactement la tension prescrite par le BPEL dans la structure en équilibre, la
tension doit être appliquée par le biais de la macro-commande CALC_PRECONT. En plus grâce à cette
méthode, il est possible d'imposer le chargement en plusieurs pas de temps, ce qui peut être
intéressant dans le cas où le comportement du béton devient non-linéaire dès la phase de mise en
tension des câbles.
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2 L'opérateur
DEFI_CABLE_BP
2.1
Evaluation des caractéristiques du tracé des câbles
Nous présentons ici la méthode utilisée pour obtenir une interpolation géométrique des câbles,
laquelle est indispensable pour calculer l'abscisse curviligne et l'angle utilisés dans les formules de
perte de précontrainte.
On commence par construire une interpolation de la trajectoire du câble (en fait une interpolation des
deux projections de la trajectoire dans les deux plans Oxy et Oxz), puis à partir de ces interpolations,
on estime l'abscisse curviligne, et la déviation angulaire cumulée, selon les formules :
x
s(x) = 1+ y2 (x) + z2(x)dx éq 2.1-1
0
x
y 2 (x) + z 2 (x) + [y (x)z(x) - y(x)z (x)]2
(x) =
dx
éq
2.1-2
2
2
1
( )
( )
0
+ y x + z x
Afin de conserver la topologie du câble (et en particulier l'ordonnancement des noeuds qui le
composent) l'opérateur DEFI_CABLE_BP travaille à partir de mailles et de groupes de mailles, (plutôt
que de noeuds et groupes de noeuds), afin de pouvoir calculer les grandeurs en suivant
l'enchaînement des noeuds le long du câble.
L'interpolation utilisée pour le calcul de la précontrainte dans le béton sera une interpolation Spline
cubique effectuée en parallèle sur les trois coordonnées spatiales en fonction de l'abscisse curviligne.
Les coordonnées des noeuds du câble sont les coordonnées "réelles", c'est-à-dire les coordonnées
définies par le maillage du câble.
Tous les calculs présentés dans le cadre de l'opérateur DEFI_CABLE_BP sont définis à partir de la
géométrie réelle des structures et des positions réelles des noeuds. Les calculs de tension aux noeuds
seront effectués de noeuds en noeuds, dans l'ordre donné par la topologie du maillage, à partir des
formules citées ci-dessus [éq 2.1-1] et [éq 2.1-2].
Le calcul de la déviation angulaire cumulée et de l'abscisse curviligne nécessite le calcul précis des
dérivées de la trajectoire du câble définies dans l'opérateur de façon discrète par la position des
noeuds du maillage de câble. Les polynômes de Lagrange présentent des instabilités, en particulier
pour des maillages irréguliers. De plus, un nombre de points de discrétisation important conduira à des
polynômes de degrés élevés. Par ailleurs une petite incertitude sur les coefficients d'interpolation aura
pour conséquence une erreur importante sur les résultats, en terme de dérivées. En choisissant une
interpolation polynomiale de faible degré, on obtiendra des dérivées secondes nulles ou non continues
(selon le degré).
L'intérêt d'une interpolation cubique de type Spline est d'obtenir des dérives secondes continues et
des coûts de calculs d'ordre n, si n est le nombre de points de la fonction tabulée à interpoler, avec
des polynômes de faible degré. Le principe de cette méthode d'interpolation est décrit exclusivement
dans le cas d'une fonction de la forme xf(x).
On suppose qu'on effectue une interpolation de la fonction tabulée, à partir des valeurs de la fonction
aux points de discrétisation x1, x2, ..., xn, et de sa dérivée seconde. On peut ainsi construire un
polynôme d'ordre 3, sur chacun des intervalles xi, xi+1, dont l'expression polynomiale est la suivante :
x +1 - x
x - x
y
j
=
y
j
+
y +1 + Cy + Dy
x
+1
+1 - x
j
x +1 - x
j
j
j
j
j
j
j
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avec :
3
1
x +1 - x x +1 - x
2
C
j
j
=
-
(x +
1 - x
j
j )
6
x +1 - x
x +1 - x
j
j
j
j
3
1
x - x x - x
2
D
j
j
=
-
(x +1 - x
j
j )
6
x +1 - x
x +1 - x
j
j
j
j
On peut vérifier aisément que :
y(x
j ) = y
et
y
j
(x j ) = y j
y(x
j+1) = y
et
y
j+1
(x j+1) = y j+1
Il faut ensuite estimer les valeurs de la dérivée seconde aux points d'interpolation. En écrivant l'égalité
des interpolations sur les intervalles [xi-1,xi], et [xi,xi+1] de la dérivée d'ordre un, au point xi, on obtient
l'expression suivante :
x - x
x
-1
+1 - x
x
-1
+1 - x
y +1 - y
y - y
j
j
y
j
j
-1
-1
+
y
j
j
+
y
j
j
j
j
+1
=
-
j
j
j
6
3
6
x +1 - x
x - x
j
j
j
j-1
On obtient ainsi (n-2) équations reliant les valeurs des dérivées secondes aux points de discrétisation
x1, x2, ..., xn. En écrivant les conditions aux limites en x1 et xn sur les valeurs des dérivées secondes,
on obtient un système (n,n) dont on peut déterminer de façon unique la valeur de toutes les dérivées,
et obtenir ainsi la fonction d'interpolation. Deux solutions se présentent alors pour l'établissement des
conditions aux limites :
· fixer la valeur de la dérivée seconde de façon arbitraire aux points x1, et xn, à zéro par
exemple,
· attribuer les valeurs réelles de la dérivée seconde en ces points, si cette donnée est
accessible.
On obtient un système d'équations ayant pour inconnues les n dérivées secondes de la fonction
tabulée à interpoler. Ce système linéaire a la particularité d'être tri-diagonal, ce qui signifie que la
résolution est de l'ordre de O(n). En pratique l'interpolation se décompose en deux étapes :
· la première consiste à calculer les valeurs estimées de la dérivée seconde aux points,
opération qui est effectuée une seule fois,
· la seconde consiste à calculer, pour une valeur donnée de x, la valeur de la fonction
interpolée, opération qui peut être répétée autant de fois qu'on le désire.
Des tests effectués sur la fonction sinus, sur trois périodes, montrent que les résultats sont fortement
dépendants du nombre de points, ainsi que de la distribution des points de la courbe à interpoler,
(résultat attendu), mais que même dans des situations délicates (peu de points et courbe très
irrégulière) l'interpolation ne diverge pas. Autrement dit, même si la corrélation concernant la
trajectoire du câble n'est pas très bonne (interpolation avec très peu de points) l'interpolation sera
approximativement située dans une fourchette proche de la trajectoire réelle. Ce cas ne se présentera
pas en pratique, mais permet de vérifier la stabilité de la méthode d'interpolation.
Pour le problème que nous considérons ici, on ne peut pas toujours écrire la trajectoire du câble sous
la forme [y(x)], [z(x)], dans les cas où cette courbe n'est pas bijective, en particulier lorsque la
projection de la trajectoire dans l'un des deux plans Oxy ou Oxz est cyclique ou fermée (cas d'une
structure circulaire en béton).
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En prenant une variable intermédiaire du type u =
x
, paramètre toujours croissant et
d'accroissement identique en valeur absolue à celui de la variable x, on peut se ramener à des
expressions [y(u)] fonctions bijectives de la variable u. L'interpolation cubique Spline décrite ci-dessus
est alors applicable à la fonction y(u) (ainsi qu'à la fonction z(u)). En pratique, cela conduit cependant
à des problèmes de raccords de tangente (points anguleux) aux points où la variable x change de
sens de variation, et à des irrégularités ponctuelles.
On décrit la trajectoire du câble comme une courbe paramétrique. Connaissant un ensemble de points
de la courbe, le paramètre le plus facilement accessible est alors l'abscisse curviligne. On écrit la
trajectoire du câble sous la forme [x(p),y(p)], dans le plan Oxy, (resp. [x(p),y(p),z(p)] dans un espace à
trois dimensions).
La corde cumulée "p" discrétisée aux points tabulés de la fonction qu'on interpole P1, P2, ..., Pn se
calcule de la façon suivante :
p(1) = 0 au point P1,
p(k) = p(k-1) + distance(Pk-1Pk) au point Pk
On dispose ainsi de deux courbes définies par un ensemble de couple [x(i),p(i)] et [y(i),p(i)] auxquelles
on peut appliquer directement l'interpolation Spline cubique présentée auparavant, et qui permet de
s'affranchir des difficultés rencontrées précédemment. L'interpolation est faite pour les deux
coordonnées, (ou trois coordonnées, en dimension 3), de façon indépendante l'une de l'autre.
2.2
Détermination du profil de tension dans le câble d'après BPEL 91
2.2.1 Formule
générale
L'opérateur DEFI_CABLE_BP permet de calculer la tension F(s) le long de l'abscisse curviligne s du
câble. Celle-ci est déterminée à partir des règles du BPEL 91 [bib1].
Globalement, on aboutit à la formulation suivante :
~
~
5
F(s)
~
F(s) = F(s) - x flu × F0 + xret × F0 + r( j) ×
×
µ
1000
- 0 × F(s) éq
2.2.1-1
100
Sa × y
où s désigne l'abscisse curviligne le long du câble. Les paramètres introduits dans cette expression
sont :
·
F0 tension initiale,
·
x flu taux forfaitaire de perte de tension par fluage du béton, par rapport à la tension initiale,
·
xret taux forfaitaire de perte de tension par retrait du béton, par rapport à la tension initiale,
·
relaxation de l'acier à 1000 heures, exprimée en %,
1000
·
Sa aire de la section droite du câble,
·
y contrainte limite élastique de l'acier,
·
µ coefficient adimensionnel de relaxation de l'acier précontraint.
0
~
Dans cette formule, F0 désigne la tension initiale aux ancrages (avant recul), F(s) représente la
tension après la prise en compte des pertes par frottement et par recul d'ancrage, x
F
flu × 0
représente la perte de tension par fluage du béton, x
F
ret × 0 la perte de tension par retrait du béton,
~
5
F s
~
r( j)
( )
×
×
-
0 × F ( s) les pertes par relaxation des aciers
100
1000 S
a ×
µ
y
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Remarque :
L'introduction dans ces éléments de pertes de tension est facultative. Ainsi, si l'on envisage
de faire un calcul de fluage et/ou de retrait du béton en utilisant une loi appropriée avec
STAT_NON_LINE, il ne faut pas introduire ces éléments dans les pertes calculées par
DEFI_CABLE_BP.
L'évaluation des pertes nécessite la connaissance de l'abscisse curviligne s et de la déviation
angulaire cumulée calculée à partir des dérivées première et seconde de la trajectoire du câble. Le
calcul précis de ces dérivées nécessite une interpolation entre les points de passage du câble. Cette
interpolation est réalisée à l'aide de Splines, meilleurs que les polynômes de Lagrange qui présentent
des instabilités, en particulier pour des maillages irréguliers (cf. paragraphe précédent).
Dans ce qui suit chacun des mécanismes intervenant dans le calcul de la tension est détaillé.
2.2.2 Perte de tension par frottement et recul d'ancrage
Nous commençons par calculer la tension le long du câble en tenant compte des pertes par contact
entre le câble et le béton : F ( ) = 0exp - -
c s
F
( f
s)
où désigne la déviation angulaire cumulée et les paramètres introduits sont :
·
f coefficient de frottement du câble sur le béton en partie courbe, en rad1,
·
coefficient de frottement par unité de longueur, en m-1,
·
F tension appliquée à une ou aux deux extrémités du câble.
0
Pour prendre en compte le recul d'ancrage, on fait le raisonnement suivant :
la tension le long du câble est affectée par le recul d'ancrage sur une distance d que l'on calcule en
résolvant un problème à deux inconnues : la fonction F *(s) qui représente la force après recul de
l'ancrage et le scalaire d :
Tension (F)
1 d
sans recul d'ancrage
=
[F(s) - F*(s) ds,
E S
]
a
a 0
F(s)
(- - )
vaut F e f
s
avec recul d'ancrage
0
est la valeur du recul de l'ancrage
(c'est une donnée)
Abscisse (s)
d
F *(s) , la force après recul de l'ancrage, est déterminée à partir de la formule [bib1] :
[F(s).F*(s)]= [F(d)]2 ,
La longueur d sera déterminée de façon itérative grâce à l'intégrale précédente. D'autres auteurs
utilisent des relations différentes telles que :
[F(s) F(d)] [F(d) F*
-
=
-
(s)]
Pour le calcul de d , trois cas particuliers peuvent se présenter :
1) Cette perte par recul de l'ancrage est localisée dans la zone de l'ancrage. Si le câble est
courbe, et la longueur du câble suffisamment courte, il peut arriver que d soit plus grand que
la longueur du câble. Dans ce cas, la perte de précontrainte due au recul de l'ancrage
s'applique partout. Il faut calculer la surface comprise entre les deux courbes F(s) et
F *(s) , qui doit être égale à E S , et qui permet ainsi de calculer F *(s) .
a
a
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2) Dans le cas où une tension est appliquée à chacune des deux extrémités du câble, appelons
F (s) la répartition de tension initiale calculée comme si la tension n'était appliquée qu'au
1
premier ancrage, et F (s) la répartition de tension initiale calculée comme si la tension
2
n'était appliquée qu'au deuxième ancrage. La valeur qui doit être retenue en tout point du
câble comme tension initiale est F (s) = Max(F (s), F (s) .
1
2
)
3) Enfin, dans le cas où d est plus grand que la longueur du câble, et lorsqu'une tension est
appliquée à chacune des deux extrémités du câble (superposition des deux cas précédents),
on doit appliquer la procédure suivante :
- calcul
de
F (s) tension initiale calculée comme si la tension n'était appliquée qu'au
1
premier ancrage et en tenant compte du recul d'ancrage (comme dans le cas
particulier 1),
- calcul
de
F (s) tension initiale calculée comme si la tension n'était appliquée qu'au
2
deuxième ancrage et en tenant compte du recul d'ancrage (comme dans le cas
particulier 1),
- calcul
de
F(s) = Min(F (s), F (s)
1
2
).
2.2.3 Déformations différées de l'acier
La perte par relaxation de l'acier, pour un temps infini, s'exprime de la façon suivante :
~
5
F(s)
~
r( j)×
×
- µ × F(s)
100
1000
0
S ×
a
y
(
la relaxation à 1000 heure en % ; µ le coefficient de relaxation de l'acier précontraint et
1000
0
y la
valeur garantie de la charge maximale à la rupture du câble).
Cette relation exprime la perte par relaxation des câbles pour un temps infini. Le BPEL 91 propose la
j
formule suivante : r( j) =
où j indique l'âge de l'ouvrage en jours et r 0 un rayon
j + 9 r0
.
m
m
caractéristique obtenu en faisant le rapport de la section de la structure en béton, en m², par le
périmètre de la section (en mètres) de béton.
2.2.4 Perte de tension par déformations instantanées du béton
Les pertes instantanées ne sont pas prises en compte dans la formule [éq 2.2.1-1] utilisée dans le
Code_Aster. Ce que le BPEL appelle perte de tension instantanée est en fait la perte de tension
induite dans des câbles déjà posés par la pose d'un nouveau groupe de câbles. Pour modéliser ce
phénomène, il faut représenter le phasage de mise en précontrainte dans le calcul Aster, c'est-à-dire
ne pas tendre l'ensemble des câbles au même moment mais de façon successive en enchaînant les
CALC_PRECONT (voir test SSNV164).
2.3
Détermination des relations cinématiques entre acier et béton
Puisque les noeuds du maillage de câble ne coïncident pas forcément avec les noeuds du maillage de
béton, il est nécessaire de définir des relations cinématiques modélisant l'adhésion parfaite entre les
câbles et le béton.
Les paragraphes suivants décrivent dans l'ordre les considérations géométriques spatiales permettant
de définir la notion de voisinage entre les noeuds d'éléments de câble et de béton, puis la méthode de
calcul des coefficients des relations cinématiques.
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2.3.1 Définition des noeuds voisins
Le calcul des coefficients des relations cinématiques nécessite de déterminer les noeuds "voisins" de
chacun des noeuds du maillage du câble. Le schéma qui suit symbolise un noeud câble et une maille
béton :
1
Noeuds
voisins
Noeud câble
Elément
béton
2
4
Noeuds béton
3
La maille définie par les noeuds 1, 2, 3, 4 contient le noeud câble. Les noeuds voisins sont donc les
sommets 1, 2, 3, 4. Si le noeud câble est situé à l'intérieur d'un élément à p noeuds P1, P2, ..., Pn, alors
les noeuds P1, P2, ..., Pn sont appelés "noeuds voisins" du noeud câble.
On traite de la même façon, les éléments de plaque sans excentrement, et les éléments massifs. Le
calcul de l'excentrement de chaque noeud du maillage câble est nécessaire pour le calcul des
coefficients des relations cinématiques.
Dans le cas d'éléments de plaque, lorsque le noeud câble est caractérisé par un excentrement non nul,
on définit les noeuds voisins comme l'ensemble des noeuds sommet de l'élément qui contient la
projection du noeud câble dans le plan tangent au maillage béton. Dans le cas où le noeud câble (ou
bien sa projection dans le plan tangent au maillage béton) appartient à une frontière d'un élément, ce
sont les sommets de cette frontière qui forment l'ensemble des noeuds voisins.
2.3.2 Calcul des coefficients des relations cinématiques
Dans l'ensemble des descriptions qui suivent les grandeurs sont systématiquement exprimées dans le
repère global du maillage. Les liaisons cinématiques s'expriment donc en fonction des degrés de
liberté exprimés dans cette base. Les normales et vecteurs rotation sont exprimés dans le repère
global, sauf mention contraire explicite.
Dans la modélisation éléments finis de la structure câble-béton, le déplacement d'un point matériel de
la structure béton peut s'exprimer facilement à l'aide des fonctions de forme de l'élément ou de la
maille béton dont les sommets forment les noeuds voisins, en fonction des déplacements des noeuds
voisins de la discrétisation « béton ». De même, une grandeur ou un déplacement d'un point du câble,
(ou de sa projection sur le plan tangent du maillage béton) est identique à la valeur de cette grandeur
au point matériel de la structure béton qui occupe cette même position (liaison parfaite entre le béton
et l'acier), et s'exprime donc en fonction de la valeur de cette même grandeur aux sommets de
l'élément, à l'aide des fonctions de forme.
Si (x,y,z) sont les coordonnées du noeud câble, ou celles de sa projection, et N1, N2,..., Nn les fonctions
de formes associées aux noeuds béton P1, P2, ..., Pn sommets d'un élément du maillage béton (ou
sommets d'une frontière d'un élément du maillage béton), et (xi,yi,zi) les coordonnées du noeud i, alors
l'interpolation d'une variable u sur l'élément s'écrit :
u(x, y, z)
n
n
= N x, y, z u. x , y , z
N x, y, z u
.
i (
) ( i i i)= i(
) i
i=1
i=1
u pouvant être une coordonnée, ou toute autre donnée nodale.
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Les liaisons cinématiques permettent d'exprimer l'identité de déplacement entre le noeud du maillage
câble, et le point matériel béton qui occupe la même position. Ceci correspond à l'hypothèse d'un
liaison parfaite entre le béton et le câble.
2.3.2.1 Cas où le béton est modélisé par des éléments finis massifs
En reprenant les notations précédentes et en considérant
c
c
c
dx dy
,
,dz les déplacements du noeud
câble, et dxb ,dyb ,dzb
j
j
j les déplacements des noeuds j (j = 1,n) de la structure béton voisins du noeud
du câble nous obtenons les relations suivantes :
n
c
c
c
c
b
dx = N (x , y , z )dx
i
i
i=1
n
c
dy =
c
c
c
b
N (x , y , z )dy
i
i
i=1
n
c
c
c
c
b
dz = N (x , y , z )dz
i
i
i=1
n étant le nombre de noeuds de l'élément béton voisins du noeud du câble, ou celui d'une de ses
frontières. Pour chaque noeud du câble on obtient 3 relations cinématiques entre les déplacements
des noeuds des deux maillages câble et béton.
2.3.2.2 Cas où le béton est modélisé par des éléments finis de plaque
Pb
P
3
c
n
P
P2
P1
Soit c
P la position initiale d'un point de câble dans la géométrie non déformée et soit c
P
0
la position
de ce même point après déformation. Appelons p
P la projection de c
P sur la surface du feuillet
0
0
moyen de la coque de béton non déformée et p
P la projection de c
P sur la surface du feuillet moyen
de la coque de béton déformée. Soit n la normale au plan moyen de la coque de béton en p
P et
0
0
n celle en p
P .
p
x c
x c
x
0
0
0 -
b
x
0
n
n
0 x 0 x
p
P est donné par : p
y
.
.
0 =
c
y0 - c
y0 - b
y0 n
n
O
0y 0y
p c c
b
z0 z0 z0 - z0 n
n
0 z 0z
p
x c
x c
x - b
x n
n
x
x
p
P est donné par : p
y = c
y - c
y - b
y .n
. n
y y
p c c
b
z z z - z n
n
z z
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Le point
p
P appartient à une maille de plaque de béton dont les noeuds sont notés Pb , Pb et Pb .
O
1
2
3
On définit l'excentrement du câble par rapport à la coque de béton comme la distance
p
c
e = P P et
0
0
on fait l'hypothèse que cet excentrement ne varie pas quand la structure se déforme
:
p
c
p
c
e = P P
0
0
= P P
On introduit les déplacements des points du câble et de sa projection :
n
p
p
p
p
b
dx = N (x , y , z )dx
i
0
0
0
i
c
dx
i=1
n
c
c
p
p
P P
P P
( ,
,
)
0
=
p
dy =
p
p
p
b
N x y z dy
0
= c
dy
i
0
0
0
i
c
i=1
dz
n
p
p
p
p
b
dz = N (x , y , z )dz
i
0
0
0
i
i=1
On introduit le vecteur « rotation » de la plaque au point p
P et les degrés de liberté de rotation des
n
b
p
p
p
b
drx = N (x , y , z )drx
i
0
0
0
i
i=1
n
noeuds de la plaque : =
b
dry =
p
p
p
b
N (x , y , z )dry
i
0
0
0
i
i=1
n
b
p
p
p
b
drz = N (x , y , z )drz
i
0
0
0
i
i=1
r
Par définition de , on a : nv - nv = nv
0
0
On peut alors écrire :
P pPc
0
0 = en0
P pPc = en
En soustrayant ces deux équations, en tenant compte de la définition de on trouve :
c
dx -
p
dx = e (
p
. dry n
.
.
0 -
p
drz n
z
0 y )
c
dy -
p
dy = e (
p
. drz n
.
.
0 -
p
drx n
x
0z )
c
p
p
p
dz - dz = e (.drx n
.
dry n
.
0 y -
0 x )
En injectant dans cette dernière équation les fonctions de forme, on a finalement :
c
n
n
n
dx - N x , y , z dx
e.
N x , y , z dry
n
.
N x , y , z drz
n
.
i ( p
p
p ) b
i
= i( p p p ) b
i
0 z -
i ( p
p
p ) b
i
0 y
i=1
i=1
i=1
c
n
n
n
dy - N x , y , z dy
e.
N x , y , z drz
n
.
N x , y , z drx
n
.
i ( p
p
p ) b
i
= i( p p p ) b
i
0 x -
i ( p
p
p )
b
i
0 z
i=1
i=1
i=1
c
n
n
n
dz - N x , y , z dz
e.
N x , y , z drx
n
.
N x , y , z dry
n
.
i ( p
p
p ) b
i
= i( p p p ) b
i
0 y -
i ( p
p
p )
b
i
0 x
i=1
i=1
i=1
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2.3.2.3 Cas où le noeud du câble se projette sur un noeud du maillage béton
La distance entre la projection
p
P du noeud câble c
P et un noeud béton b
P est donnée par :
0
0
i
xc - xb
xc - xb
i
i
d = P P Pb
r
r
0
= yc - yb -
yc - yb.n .n
i
i
i
0 0
zc - zb zc - zb
i
i
S'il arrive que cette distance soit nulle (en pratique inférieure à 10-5), c'est que le noeud câble se
projette au sommet d'une maille de béton, et alors les relations cinématiques se simplifient :
c
dx -
p
dx
e. dry n
.
drz n
.
i =
( pi 0z - pi 0y)
c
dy -
p
dy
e. drz n
.
drx n
.
i =
( pi 0x - pi 0z)
c
p
p
p
dz - dz
e. drx n
.
dry n
.
i =
( i 0y - i 0x)
Ces relations sont les relations générales dans lesquelles : N ( p
x , p
y , p
z )
si j i .
j
= 0
2.4
Traitement des zones d'extrémité du câble
La modélisation d'un câble de précontrainte telle qu'elle est faite dans Code_Aster consiste à
représenter l'ensemble câble, gaine de passage, et toutes les pièces d'ancrage, uniquement grâce à
une suite d'éléments de barre. Le lien entre les éléments de câbles et le milieu béton est assuré par
des conditions cinématiques sur les DDLs de chacun des noeuds du câble, et ceux des éléments
béton traversés.
Lorsque l'on applique la mise en tension du câble, on observe que les réactions engendrées aux
extrémités des câbles sur le béton créent des niveaux de contraintes très supérieurs à la réalité, et
provoquent l'endommagement du béton. A titre d'exemple, dans certaines études, on a pu observer
des contraintes de compression de plus de 200 MPa, ce qui dépasse largement la valeur
expérimentale observée (40 MPa). Dans la réalité, ce phénomène n'est pas observé grâce à la mise
en place d'un cône de diffusion de contrainte (voir dessin ci-dessous) qui répartit la force de
précontrainte sur une grande surface du béton. Dans le cas du modèle EF cette surface n'existe pas,
puisque la force est directement reprise par un noeud.
A
Situation réelle
Modèle EF sans cône
Cette façon de modélisation a plusieurs inconvénients :
· la concentration de cet effort écrase le béton,
· la discrétisation spatiale du modèle change les résultats.
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Pour remédier à ce problème, le mot-clé CONE de l'opérateur DEFI_CABLE_BP permet de répartir
cette force de précontrainte non plus sur un noeud, mais sur tous les noeuds contenus dans un volume
(tous les noeuds de ce volume sont liés entre eux pour former un solide rigide) délimité par un cylindre
de rayon R et de longueur L, représentant l'équivalent de la zone d'influence du cône
d'épanouissement d'un ancrage (voir figure ci-dessous).
rayon
longueur
L'identification et la création des relations cinématiques entre les noeuds du béton et du câble se font
de façon automatique par la commande DEFI_CABLE_BP, où les nouvelles données R et L seront à
fournir par l'utilisateur.
2.5 Remarque : calcul de la tension du câble en tant que chargement
mécanique
Nous avons fait le choix de laisser les éléments de câble dans le modèle mécanique support du calcul
par éléments finis (linéaire ou non). De ce fait, il n'y a pas de calcul de force équivalente à reporter aux
noeuds du maillage. On se contente simplement de dire que les câbles de précontrainte ont un état de
contrainte initiale non nul. Cet état de contrainte est celui déduit de la tension telle que calculée par
DEFI_CABLE_BP.
Pour des raisons de simplicité, l'objet informatique créé par l'opérateur DEFI_CABLE_BP est une table
mémorisant des valeurs aux noeuds du câble. Considérons alors deux éléments connexes du câble :
e1 de sommets N1 et N2, et
e2 de sommet N2 et N3.
Nous supposons que l et S sont la longueur et la section d'un élément e1 et que l et S sont la
1
1
2
2
longueur et la section de l'élément e2.
N2
e1
e2
N3
N1
DEFI_CABLE_BP calculera au noeud N2 une tension T
définie par :
N2
T(s)ds T(s)ds
1 e
e
TN =
2
1
+ 2
2
l
l
1
2
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Inversement, pour le calcul élément fini, l'opérateur STAT_NON_LINE considérera que la contrainte
T + T
N
N
initiale dans l'élément e1 est e1
1
2
=
0
2S1
Remarque :
On considérera toujours que la loi de comportement du câble est de type incrémentale.
3 La
macro-commande
CALC_PRECONT
3.1
Pourquoi une macro-commande pour la mise en tension ?
Il est possible de transformer la tension dans les câbles calculées par DEFI_CABLE_BP en un
chargement directement pris en compte par STAT_NON_LINE grâce à la commande
AFFE_CHAR_MECA opérande RELA_CINE_BP(SIGM_BPEL='OUI'). Dans ce cas, la tension est prise
en compte comme un état de contrainte initial lors de la résolution du problème EF complet.
Initialement
f0
f0
A l'équilibre
f
f
La résolution du problème permet d'atteindre un état d'équilibre entre le câble de précontrainte et le
reste de la structure après déformation instantanée. En effet, sous l'action de la tension du câble,
l'ensemble câble(s) et béton va se comprimer par rapport à la position initiale (câble en tension,
maillage non déformé). La longueur du câble va donc diminuer, et la tension initiale va également, par
voie de conséquence, diminuer. On obtient donc un état final avec une tension dans le câble différente
de la tension calculée initialement. Il est alors indispensable d'augmenter proportionnellement la
tension appliquée in situ au niveau des ancrages pour tenir compte de cette perte.
L'utilisation de la macro-commande CALC_PRECONT permet d'éviter cette phase de correction, en
obtenant l'état d'équilibre de la structure avec une tension dans les câbles égale à la tension
réglementaire. Par ailleurs du fait de la méthode adoptée, elle permet en plus d'appliquer la tension en
plusieurs pas de temps, ce qui peut être intéressant en cas de plastification ou d'endommagement du
béton. Elle permet en outre de tendre les câbles de façon non simultanée et donc de manière plus
proche de la réalité des chantiers.
Pour bénéficier de ces avantages, le chargement est appliqué sous forme d'un chargement extérieur
et non comme un état initial, ce qui permet le chargement progressif de la structure. Par ailleurs, pour
éviter la perte de tension dans le câble, l'idée est de ne pas faire agir la rigidité des câbles pendant la
phase de mise en tension (cf. [bib3]).
Les différentes étapes réalisées par la macro-commande sont détaillées ici.
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3.1.1 Etape 1 : calcul des forces nodales équivalentes
Cette étape consiste à transformer les tensions internes du câbles calculées par DEFI_CABLE_BP en
un chargement extérieur. Pour cela, on réalise un premier STAT_NON_LINE uniquement sur les câbles
que l'on souhaite mettre en précontrainte, avec le chargement suivant :
· câble encastré
· la tension donnée par DEFI_CABLE_BP
t
t
t
Figure 3.1.1-a : Chargement à l'étape 1
On calcule les efforts nodaux sur le câble. On récupère ces efforts grâce à CREA_CHAMP. Et on
construit le vecteur chargement associé F.
3.1.2 Etape 2 : application de la précontrainte au béton
L'étape suivante consiste à appliquer la précontrainte à la structure en béton, sans faire participer la
rigidité du câble. Pour cela, on suppose pour ce calcul que le module d'Young de l'acier est nul. On
peut choisir d'appliquer le chargement de précontrainte en un seul pas de temps ou en plusieurs pas
de temps si le béton s'endommage.
Le chargement est donc le suivant :
· blocage des mouvements de corps rigides pour le béton,
· les efforts nodaux issus du premier calcul sur le câble,
· les liaisons cinématiques entre le câble et le béton.
F
Ecable = 0
Figure 3.1.2-a : Chargement à l'étape 2
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3.1.3 Etape 3 : basculement des efforts extérieurs en efforts intérieurs
Avant de poursuivre le calcul de façon traditionnelle, il est nécessaire de retransformer les efforts
extérieurs qui ont permis de déformer la structure en béton en efforts intérieurs. Cette opération se fait
sans modification sur les déplacements et les contraintes de l'ensemble de la structure, puisque
l'équilibre a été atteint à l'étape 2 : il s'agit d'un simple artifice pour pouvoir poursuivre le calcul. Le
chargement est donc le suivant :
· blocage des mouvements de corps rigides pour le béton,
· les liaisons cinématiques entre le câble et le béton,
· tension dans les câbles.
t
t
t
Figure 3.1.3-a : Chargement à l'étape 3
4
Procédure de modélisation
4.1
Les différentes étapes : cas standard
Pour parvenir à modéliser une structure en béton précontraint la procédure à suivre est la suivante :
· modéliser les éléments de béton (DKT, 2D ou 3D),
· modéliser les câbles de précontrainte par des éléments barres à deux noeuds (BARRE),
· attribuer aux éléments barres les caractéristiques mécaniques des câbles de précontrainte,
· grâce à l'opérateur DEFI_CABLE_BP calculer les données cinématiques (relations
cinématiques entre les noeuds du câble et ceux des éléments de béton) et statiques (profil de
tension le long des câbles),
· définir les données cinématiques comme chargement mécanique,
· faire appel à l'opérateur CALC_PRECONT,
· résoudre le problème avec l'opérateur STAT_NON_LINE en intégrant uniquement les
données cinématiques et les chargements autre que la précontrainte.
Pour plus d'informations pratiques, se reporter au document [U2.03.06].
4.2
Cas particulier : DKT
Pour le moment, la macro-commande CALC_PRECONT ne fonctionne pas si les éléments béton sont
de type DKT. Dans ce cas, il convient d'adopter la procédure suivante :
· modéliser les éléments de béton (DKT),
· modéliser les câbles de précontrainte par des éléments barres à deux noeuds (BARRE),
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· attribuer aux éléments barres les caractéristiques mécaniques des câbles de précontrainte,
· grâce à l'opérateur DEFI_CABLE_BP calculer les données cinématiques (relations
cinématiques entre les noeuds du câble et ceux des éléments de béton) et statiques (profil de
tension le long des câbles),
· appliquer ces données cinématiques et statiques comme un chargement mécanique,
· résoudre problème avec l'opérateur STAT_NON_LINE en intégrant tous les chargements.
A l'issue de ce calcul il faut déterminer les coefficients de correction à appliquer aux tensions initiales
appliquées aux câbles (au niveau de la déclaration de l'opérateur DEFI_CABLE_BP) permettant de
compenser la perte par déformation instantanée de la structure.
Une fois le fichier de commande modifié par ces coefficients de correction, la modélisation des câbles
de précontrainte est accomplie.
Attention, dans le cas d'enchaînement de STAT_NON_LINE, il convient à partir du deuxième appel, de
n'inclure dans le chargement que les relations cinématiques et pas la tension dans les câbles, sous
peine d'ajouter cette tension, à chaque calcul.
4.3
Précautions d'usage et remarques
Il est recommandé de limiter le recours à un grand nombre de relations cinématiques sous peine
d'alourdir le temps de calcul. Toutefois, quand un noeud des éléments de barre constituant les câbles
coïncide topologiquement avec un noeud béton, il n'y a pas d'ajout de relation cinématique.
Si on effectue un premier STAT_NON_LINE avant de mettre en tension dans les câbles, il est
préférable de désactiver les câbles, soit en ne les prenant pas en compte dans le modèle, soit en leur
affectant une tension constamment nulle (loi de comportement SANS), et en incluant dans le
chargement les relations cinématiques liant le câble au béton.
Dans le cas où on effectue un phasage de la mise en précontrainte, il faut penser à inclure les
relations cinématiques dans le chargement pour les câbles déjà tendus aux étapes précédentes.
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5 Bibliographie
[1]
Règles BPEL 91, Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions
en béton précontraint suivant la méthode des états limites. CSTB, ISBN 2-86891-214-1.
[2]
P. MASSIN : « Eléments de plaque DKR, DST, DKQ, DSQ et Q4Eg » Manuel de Référence
Aster [R3.07.03].
[3]
S. GHAVAMIAN, E. LORENTZ : Amélioration des fonctionnalités de la prise en compte de la
précontrainte dans Code_Aster, CR AMA 2002-01
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