Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
1/12
Organisme(s) : EDF/EP/AMV
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
Document : R4.07.03
Calcul de matrice de masse ajoutée
sur base modale
Résumé :
Ce document présente un aspect du couplage fluide/structure : lorsqu'une structure vibrante se trouve
immergée dans un fluide qu'on suppose au repos, incompressible et non visqueux, elle ressent des forces de
pression dont la résultante est proportionnelle à l'accélération de la structure dans le fluide : le coefficient de
proportionnalité est homogène à une masse : on l'appelle masse ajoutée. On précise ici le moyen d'estimer une
matrice de masse ajoutée pour une (ou des) structure(s) à plusieurs degrés de liberté sur la base modale de la
(des) structure(s) dans le vide.
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
2/12
Table des matières
1 Notations ................................................................................................................................................ 3
2 Introduction ............................................................................................................................................ 3
3 Rappels des équations du problème ..................................................................................................... 4
3.1 Equations dans le fluide .................................................................................................................. 4
3.2 Equations dans les structures ......................................................................................................... 5
3.3 Equations du problème couplé - Mise en évidence de la matrice de masse ajoutée ..................... 6
3.4 Quelques définitions ........................................................................................................................ 7
3.4.1 Définition 1 ............................................................................................................................. 7
3.4.2 Définition 2 ............................................................................................................................. 7
3.4.3 Définition 3 ............................................................................................................................. 7
3.5 Propriétés de la matrice de masse ajoutée..................................................................................... 7
3.5.1 Théorème 1 : la matrice de masse ajoutée est symétrique ................................................... 7
3.5.2 Théorème 2 : la matrice de masse ajoutée est définie positive ............................................. 8
3.5.3 Théorème 3............................................................................................................................ 8
3.5.4 Autres propriétés .................................................................................................................... 9
4 Mise en oeuvre numérique .................................................................................................................... 9
4.1 Résolution de l'équation de Laplace par éléments finis de volume................................................. 9
4.2 Calcul des coefficients de la matrice de masse ajoutée sur base modale.................................... 10
5 Mise en oeuvre dans le Code_Aster .................................................................................................... 11
5.1 Analogie thermique........................................................................................................................ 11
5.2 Mise en oeuvre pratique ................................................................................................................ 12
6 Bibliographie ........................................................................................................................................ 12
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
3/12
1 Notations
p
:
la pression fluctuante dans le fluide,
!
:
contour de la structure indexée par !
"
x
:
s
le champ des déplacements dans la structure
!
!,
f ,s : la masse volumique du fluide, de la structure,
X
:
i!
le mode propre d'ordre i de la structure ! en air
a ,a :
les coordonnées, vitesses, accélérations généralisées
i
i
! " !
relatives au mode i de la structure
a"
! en air
i
"!
:
le tenseur des contraintes dans la structure
:
le vecteur de flux fluide
H
:
la matrice de rigidité du fluide
v
:
le champ des vitesses fluides
n
:
la normale intérieure du fluide.
2 Introduction
De nombreux composants industriels se trouvent au contact de milieux fluides, qui plus est souvent en
écoulement. Ces milieux fluides environnants perturbent les caractéristiques vibratoires des structures,
notamment leurs caractéristiques modales. Cette action du fluide sur la structure se traduit par des
effets de couplage fluide/structure.
On suppose ici le milieu fluide environnant incompressible, parfait et au repos. On va montrer qu'alors,
une structure qui vibre avec une petite amplitude dans ce fluide modifie le champ de pression dans le
fluide au repos, et ressent donc une force de pression, proportionnelle à son accélération. Le
coefficient de proportionnalité est une masse. Elle décrit l'effet inertiel du fluide sur la structure : c'est
pourquoi on nomme cette masse masse ajoutée du fluide sur la structure.
Lorsque plusieurs structures sont en contact d'un même fluide, lorsqu'une des structures se met à
vibrer, non seulement elle ressent l'inertie du fluide, mais elle modifie le champ de pression autour des
interfaces avec le fluide de toutes les autres structures. Les efforts que chacune ressent sont
proportionnels à l'accélération de la structure vibrante : là encore les coefficients de proportionnalité
sont des masses appelées masses ajoutées de couplage.
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
4/12
3
Rappels des équations du problème
3.1
Equations dans le fluide
On suppose que K structures vibrantes sont immergées dans un fluide parfait (non visqueux),
incompressible et au repos. On néglige l'effet de la pesanteur. On peut donc écrire les équations
d'Euler associées au fluide au repos :
n
y ou x 2
!
z
n
x ou x1
`
· conservation de la masse :
f +div( v) =
f
0
éq 3.1-1
t
· conservation de la quantité de mouvement :
v
1
+ (v · )
v +
p
= 0
éq 3.1-2
t
f
Du fait de l'incompressibilité du fluide, l'équation [éq 3.1-1] devient :
div v = 0
éq 3.1-3
Dans le volume du fluide, on néglige la convection induite par le mouvement de faible amplitude de
la structure. L'équation [éq 3.1-2] devient donc :
v
1
+
p
= 0
éq 3.1-4
t
f
v
En dérivant [éq 3.1-3] par rapport au temps et en reportant l'expression de en fonction de la
t
pression dans cette équation, on obtient :
div p = 0
soit :
p = 0 dans
qui est l'équation de Laplace dans un fluide au repos.
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
5/12
A l'interface fluide/structure, on peut écrire que l'accélération normale de la paroi de la structure est
égale à l'accélération normale du fluide (continuité des accélérations normales - condition
d'imperméabilité de la structure). On utilise ici la convention suivante pour la normale : il s'agit de la
normale extérieure à la structure, orientée de la structure vers le fluide.
v
· n = x" · n
t
S!
Avec l'équation [éq 3.1-4], on obtient :
v
p· n = -f
·n = - x" ·n
t
f S!
Soit : p
(
) = - "x ·
n sur
n
f S
!
!
!, interface fluide/structure de la structure indexée par !.
En résumé, le problème fluide consiste à résoudre une équation de Laplace avec condition aux limites
de type von Neumann :
p = 0 dans
p
(
) = -f "xs ·n sur 1, 1 =
n 1
$ !
!=1, ,K
éq 3.1-5
#
p
(
) = 0 sur 2, 2 = -
n 2
1
3.2
Equations dans les structures
Considérons K structures élastiques plongées dans un milieu fluide. L'équation de leur mouvement en
présence de fluide s'écrit :
! indice de structure, ! { ,0 #, K}, M "X + K X = 0 dans ,volume de la structure
!
!
!
!
S
!
!
!, n = -
pn sur !, contour de la structure !
M! est la matrice de masse de la structure, K! sa matrice de rigidité. La condition aux limites sur le
contour des structures traduit la continuité de la contrainte normale à l'interface fluide/structure (le
tenseur des contraintes fluides étant réduit à sa partie non déviatorique, le fluide étant parfait). En
intégrant sur le contour de chaque structure cette contrainte normale, on obtient une force F!
résultante des forces de pression du fluide à l'interface fluide/structure. Cette force est l'intégrale du
champ de pression sur le contour !%de chaque structure :
! indice de structure, ! { ,0 #, K}, F = -
!
pnd
!
Le champ de pression vérifie le problème [éq 3.1-5].
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
6/12
3.3 Equations du problème couplé - Mise en évidence de la matrice de
masse ajoutée
En définitive, le problème couplé fluide/structure s'écrit :
p = 0 dans
! {
p
0, , K
# },
= -
"
x
n sur
S
n
f
·
!
!
!
! {0, , K
# }, M "X
+ K X
0 dans
=
S
! !
! !
!
! {0, , K
# }, F = - pn
d
!
sur !
!
éq 3.3-1
On va montrer désormais que l'effort que ressentent les structures immergées est proportionnel à leur
accélération. Un bon moyen de démontrer cela est de se placer dans la base modale des structures
dans le vide. On peut ainsi décomposer l'accélération sur cette base (qui est en fait la réunion des
bases modales de chacune des structures). Ainsi :
xS (r,t) = a (t
i
) Xi (r)
!
!
!
i=1
En reportant cette expression dans la deuxième équation du système [éq 3.3-1], on est amené à
rechercher le champ de pression sous la forme :
p =
a (t) p
"i"!
i (r)
!
= ,
1 ,K i=1, ,
! #
#
En reportant dans le problème [éq 3.3-1] ces expressions, on a à résoudre dans le fluide autant de
problèmes de Laplace qu'on a choisi de modes pour chacune des structures. Ceci se traduit par :
p
i =
0 dans
!
p
! {1,#, K},i {1,#, }
,
!
i
= -
X
n sur
n
f
i ·
!
!
!
[mi (a ) + k (a ) = (f ) dans
! ] " !
[ !i] !
i!
!
Les "matrices" de masse et de rigidité écrites dans ces bases sont diagonales.
Chacune des composantes de l'effort de pression résultant projeté sur base modale s'écrit :
K
i {1,
,
#
}
, ! {1, , K
# }, ( f
! ) = - a"
p X ·
n N d
i
jk
jk
i
j
!
k =1 j=1
!
On peut alors écrire le vecteur de l'effort généralisé de pression sur une structure immergée sous
forme matricielle :
(f ) = - [m ]"a avec m = p X ·n
i
i jk
jk
i jk
jk i d
!
!
!
!
!
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
7/12
Ici, ! est fixé : la matrice [mi jk
! ] s'appelle matrice de masse ajoutée du fluide sur la structure de
contour !. Lorsqu'on considère la base modale de l'ensemble des K structures, on généralise la
notation de la matrice de masse ajoutée [mi jk
! ] sur base modale dans le vide, ! variant de 1 à K.
Cette matrice est en général non diagonale.
3.4 Quelques
définitions
3.4.1 Définition
1
Lorsque ! = k (même structure) et i = j (même ordre de mode), le coefficient mi i!! est l'auto-masse
ajoutée du mode i de la structure !. Il s'agit de l'inertie supplémentaire due au fluide déplacé par le
mode d'ordre i de la structure, compte tenu des confinements géométriques induits dans le fluide par la
présence des autres structures supposées fixes.
3.4.2 Définition
2
Lorsque ! = k (même structure) et i j (ordres de mode différents), le coefficient mi j!! est la masse
ajoutée de couplage entre les modes d'ordre i et j de la structure !. En air, ces termes de masse
extradiagonaux sont nuls, car les modes sont orthogonaux entre eux. Compte tenu de l'expression
générale du coefficient mi jk
! , les modes i et j peuvent être couplés en masse, car le champ de
pression p j! créé par le mode j de la structure ! n'est pas nécessairement orthogonal au mode d'ordre
i de cette même structure. Il suffit que cette structure soit immergée dans un environnement ne
comportant pas de symétrie géométrique pour que ce coefficient soit non nul. Dans un environnement
symétrique, en revanche, l'orthogonalité du champ de pression avec le mode est observée.
3.4.3 Définition
3
Lorsque ! k (structures différentes) et i j (ordres de mode différents), le coefficient mi jk
! est la
masse ajoutée de couplage entre les modes d'ordre i et j respectivement des structures ! et k. Ce
coefficient traduit l'effort inertiel que fait subir la structure k vibrant sur son mode d'ordre j à la structure
! vibrant sur son mode i.
3.5
Propriétés de la matrice de masse ajoutée
3.5.1 Théorème 1 : la matrice de masse ajoutée est symétrique
Pour simplifier la démonstration, nous allons considérer une unique structure immergée dans un fluide
parfait, incompressible et non visqueux. Nous décomposons le mouvement de la structure sur sa base
modale (tronquée à n modes), mais le résultat peut être tout aussi bien démontré en base "physique"
(i.e. la base des fonctions d'interpolation nodales). Enfin, le résultat se généralise au cas de K
structures immergées dans un même fluide.
On doit démontrer que :
m = p X · n d = m = p X · n d
ij
i j
ji
j i
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
8/12
·
pi (respectivement pj ) représente le champ de pression créé dans le fluide et à l'interface
avec la structure par le mode d'ordre i (respectivement d'ordre j) de la structure,
·
X j (respectivement Xi ) représente la déformée modale du mode d'ordre j (respectivement
d'ordre i).
Or :
p
0 dans
volume fluide
= 0 dans volume fluide
i =
pj
p
et
p
i
j
= -f Xi ·n sur
= -f X j ·n sur
n
n
D'où, en utilisant la formule de Green avec une normale orientée de la structure vers le fluide et
l'harmonicité de pi et de p j :
1
p
m = p X · n d = -
p
j d
ij
i j
i
n
f
1
= -
( p p
d -
p
· p
d
i j
i
j )
f
& '
(
)
(
0
1
= -
( p p
d -
p
· p
d
j i
j i )
f
& '
(
)
(
0
1
p
= -
p
i d = p X ·n d
j
n
j
i
f
= mji
C.Q.F.D.
3.5.2 Théorème 2 : la matrice de masse ajoutée est définie positive
On renvoie à la référence [bib1] pour la démonstration complète.
3.5.3 Théorème
3
Supposons qu'on ait K structures ayant des propriétés d'élasticité linéaire identiques et qui soient
immergées dans un même fluide. En outre, ces structures admettent deux degrés de liberté de
déplacement dans le plan Oxy (cf schéma). Chacune de ces structures admet le même spectre
f
f
1,
, n,
*
* de fréquences propres dans le vide.
Pour toute fréquence propre fn , il existe 2K fréquences propres {1, ,
# 2K}du système couplé
fluide/structure vérifiant i {1,
2
, K},
#
f
i
n
On renvoie à la référence [bib1] pour la démonstration complète.
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
9/12
3.5.4 Autres
propriétés
· les coefficients d'auto-masse ajoutée sont toujours positifs
On suppose toujours qu'on a une seule structure immergée dans un fluide parfait, incompressible et au
repos. La démonstration se généralise sans difficulté à K structures immergées.
On doit démontrer que :
i indice de mode {1, ,
# }
n , m = p X · n d
ii
i
i
0
Or :
1
p
m = p X ·n d = -
p
i d
ii
i i
i
n
f
1
= -
( p p
d -
p
· p
d
i i
i i )
f
& '
(
)
(
0
1
=
( ( p
)2d
i
f
0
· supposons qu'on ait K structures immergées dans un même fluide. On suppose qu'elles ont un
seul degré de liberté de translation suivant Ox. Alors la somme de tous les coefficients de masse
ajoutée de cette matrice donne l'auto-masse ajoutée sur l'ensemble des K structures se déplaçant
toutes d'un même mouvement rectiligne sinusoïdal.
On renvoie à la référence [bib2] pour la démonstration complète.
4
Mise en oeuvre numérique
4.1
Résolution de l'équation de Laplace par éléments finis de volume
Reprenons le problème fluide de Laplace avec condition aux limites de type von Neumann :
p = 0 dans
p
(
) = -f "xs ·n sur 1, 1 =
n 1
$ !
!=1, ,K
#
p
(
) = 0 sur 2, 2 = -
n 2
1
Ecrivons une formulation variationnelle de ce problème :
v p
d =
0
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
10/12
En utilisant la formule de Green avec une normale qu'on suppose orientée de la structure vers le fluide
(donc intérieure au volume fluide) et en posant = 1 2 :
p
v · p d + v d =
0
n
Soit :
v · p d =
v x" d
f
éq 4.1-1
n
1
On considère une partition du volume en un nombre fini d'éléments. Sur cette discrétisation du
domaine, on peut écrire une forme approchée du champ de pression hydrodynamique :
N
p = N (r) p
i
i
i=1
Ni représente les fonctions d'interpolation nodales définies sur les éléments : elles valent 1 au noeud
n°i, et 0 sur tous les autres.
Ensuite, en prenant comme fonctions-tests v successivement les fonctions d'interpolation nodales, on
obtient un système de N équations en reportant dans [éq 4.1-1] :
N
j = 1, , N;
p
#
N (r) · N (r) d =
N x d
i
i
j
f
j "n"
i=1
1
ce qui peut s'écrire sous la forme :
HP = avec vecteur de composantes j = f N jx"n"
d
éq 4.1-2
avec
H matrice de coefficients ij
H = Ni·
N j d
En toute rigueur, ce système est singulier. Il admet une infinité de solutions différant d'une constante. Il
faut donc imposer une pression (condition à la limite de type Dirichlet) en un point du fluide pour lever
l'indétermination sur la solution.
Ces précautions prises, en inversant le système [éq 4.1-2], on obtient le champ de pression dans tout
le volume de fluide, y compris à l'interface fluide/structure, là où il nous intéresse évidemment.
4.2 Calcul des coefficients de la matrice de masse ajoutée sur base
modale
Il faut estimer numériquement la valeur de l'intégrale :
m
= p X · n d
i jk
jk i
!
!
éq 4.2-1
!
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
11/12
à partir d'un champ aux noeuds de pression représenté par un vecteur colonne noté Pjk et d'un champ
aux noeuds de déplacement correspondant à une déformée modale de structure en air et représenté
par le vecteur colonne Xi! . Or, sur l'interface fluide/structure, le champ de pression approché pjk dû à
la discrétisation de l'interface en N éléments de bord peut s'écrire :
N
p = Nm (r) p
jk
jkm
m=1
tandis que le champ de déplacement "modal" s'écrit sur cette même discrétisation :
N
i
X = Nn (r) i
!
X !n
n=1
Ainsi, en reportant ces deux expressions dans l'intégrale [éq 4.2-1], on obtient :
N
N
N
mi jk ( Nm (r) p )[ Nn (r) Xi x ·n + Nn (r) X ·n d
!
jk
!
x
i y
!
y ]
m
n
n
m=1
n=1
n=1
!
N
N
N
N
m
p
( Nm(r)Nn (r)n d) X +
p
( Nm(r)Nn (r)n d) X
i jk
!
jk
x
i x
!
jk
y
i y
m
n
m
! n
m=1 n=1
m=1 n=1
!
!
On suppose dans la démonstration que le problème est bidimensionnel.
Ceci peut se mettre sous la forme d'un produit scalaire, faisant intervenir un produit matrice vecteur :
m
T
T
= P A X + P A X
avec A matrice de coefficients N N n d
i jk
jk
x i x
jk
y i y
x
i j x
!
!
!
!
et A matrice de coefficients N N n d
y
i j y
!
5
Mise en oeuvre dans le Code_Aster
5.1 Analogie
thermique
Pour résoudre le problème de Laplace en pression, on utilise une analogie thermique : il s'agit de
résoudre l'équation de la chaleur en stationnaire avec un matériau de conductivité thermique égale à
l'unité. Ainsi :
p = 0 dans
div
( gradT) = 0 dans T = 0 si
=
1
p
T
(
) = -f "xs · n dans
(
) = n
dans
n
n
T représente la température dans le milieu, elle joue le rôle de la pression dans le milieu fluide. n est
le flux de chaleur normal à la paroi, il joue le rôle du terme - f "xs · n qui est assimilable à la variation
au cours du temps du flux de masse (fluide) à la paroi de la structure. Cette quantité - f "xs · n est en
effet homogène à une masse divisée par une surface et un temps au carré.
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Calcul de matrice de masse ajoutée sur base modale
Date :
02/10/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
R4.07.03-A
Page :
12/12
5.2
Mise en oeuvre pratique
Un nouvel opérateur CALC_MASS_AJOU a été développé pour prendre en compte le couplage inertiel
(masse ajoutée) entre des structures baignées dans un même fluide parfait, incompressible et au
repos. Le fluide est décrit par des caractéristiques thermiques équivalentes (opérateur
DEFI_MATERIAU [U4.23.01]) et la partie du maillage représentant est affectée par des éléments
thermiques (opérateur AFFE_MODELE [U4.22.01]).
L'opérateur utilise cinq mots-clés obligatoires :
· le mot-clé : MODELE_FLUIDE : c'est sur ce modèle qu'on résout le problème de Laplace avec
conditions aux limites de Von Neumann (ou son problème thermique équivalent),
· le mot-clé : MODE_MECA (ou CHAM_NO, ou MODELE_GENE) : ce mot-clé permet de calculer les
conditions aux limites de type flux à la paroi de la structure,
· le mot-clé : MODELE_INTERFACE : c'est sur ce modèle qui comprend tous les éléments
thermiques de bord de l'interface fluide/structure qu'on calcule le produit scalaire mentionné
au paragraphe [§4.2],
· le mot-clé : CHAM_MATER : il s'agit du matériau fluide (décrit par des caractéristiques
thermiques équivalentes),
· le mot-clé : CHARGE : c'est une charge thermique (température imposée en un noeud
quelconque du maillage fluide) qui correspond à la condition à la limite de Dirichlet pour lever
la singularité du problème de Laplace (voir [§4.1]).
On obtient ainsi une matrice de masse ajoutée généralisée. Cette matrice possédant un profil ligne de
ciel mais plein (opérateur NUME_DDL_GENE [U4.55.07]) peut être sommée à la matrice de masse
généralisée de la structure en utilisant l'opérateur COMB_MATR_ASSE [U4.53.01]. Ceci permet de
calculer les modes couplés fluide/structure des structures immergées (modes "mouillés") (opérateur
MODE_ITER_SIMULT ou MODE_ITER_INV [U4.52.02], [U4.52.01]).
6 Bibliographie
[1]
C. CONCA, J. PLANCHARD, B. THOMAS, M. VANNINATHAN : "Problèmes mathématiques
en couplage fluide/structure" _ EYROLLES (1994).
[2]
F. BEAUD, G. ROUSSEAU : "Validation inter-logiciels du calcul de masse ajoutée avec le
Code_Aster et le code CALIFE", HT-32/95/004/A
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide structure
HP-61/95/027/A
Document Outline