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Modèle de Rousselier en grandes déformations


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Auteur(s) :
V. CANO, E. LORENTZ Clé
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Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.06




Modèle de Rousselier en grandes déformations




Résumé

On présente ici le modèle de Rousselier qui permet de décrire les premiers stades de la croissance plastique
des cavités dans un acier. La relation de comportement est élastoplastique avec écrouissage isotrope, permet
les changements de volume plastique et est écrite en grandes déformations. Pour décrire les grandes
déformations, on utilise la théorie proposée par Simo et Miehe. La formulation originelle de Simo et Miehe est
modifiée afin, d'une part, de faciliter l'intégration numérique de la loi de comportement et, d'autre part, de
replacer la théorie de Simo et Mihe dans le cadre variationnel des matériaux standard généralisés.
Ce modèle est disponible dans la commande STAT_NON_LINE par l'intermédiaire du mot-clé RELATION :
'ROUSSELIER' ou 'ROUSSELIER_FO' sous le mot-clé facteur COMP_INCR et avec le mot-clé
DEFORMATION : 'SIMO_MIEHE'.
Ce modèle est implanté pour les modélisations tridimensionnelles (3D), axisymétrique (Axis) et en déformations
planes (D_PLAN).

On présente l'écriture et le traitement numérique de ce modèle.
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Notations................................................................................................................................................ 4
3 Théorie de Simo et Miehe...................................................................................................................... 5
3.1 Introduction...................................................................................................................................... 5
3.2 Généralités sur les grandes déformations ...................................................................................... 5
3.2.1 Cinématique ........................................................................................................................... 5
3.2.2 Contraintes............................................................................................................................. 6
3.2.3 Objectivité .............................................................................................................................. 6
3.3 Formulation de Simo et Miehe ........................................................................................................ 7
3.3.1 Formulation originelle............................................................................................................. 8
3.3.2 Formulation modifiée ............................................................................................................. 9
3.3.3 Conséquences de l'approximation......................................................................................... 9
4 Modèle de Rousselier .......................................................................................................................... 11
4.1 Equations du modèle .................................................................................................................... 11
4.2 Traitement des points singuliers ................................................................................................... 12
4.3 Expression de la porosité.............................................................................................................. 13
4.4 Relation `ROUSSELIER` ............................................................................................................... 14
4.5 Contraintes et variables internes .................................................................................................. 14
5 Formulation numérique........................................................................................................................ 15
5.1 Expression du modèle discrétisé .................................................................................................. 15
5.2 Résolution du système non linéaire .............................................................................................. 17
5.2.1 Examen des points singuliers .............................................................................................. 17
5.2.2 Solution régulière ................................................................................................................. 18
5.3 Déroulement du calcul .................................................................................................................. 19
5.4 Résolution ..................................................................................................................................... 19
5.4.1 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où la fonction S est strictement positive à
l'origine................................................................................................................................. 19
5.4.2 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où la fonction S est négative ou nulle à l'origine21
5.4.3 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où la fonction S est strictement négative à
l'origine et xs non solution .................................................................................................... 22
5.5 Intégration de la porosité............................................................................................................... 23
5.6 Expression de la matrice tangente du comportement .................................................................. 23
6 Bibliographie ........................................................................................................................................ 28
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1 Introduction

Les mécanismes à l'origine de la rupture ductile des aciers sont associés au développement de
cavités au sein du matériau. On distingue généralement trois phases :

· germination
: il s'agit de l'initiation des cavités, en des sites qui correspondent
préférentiellement aux défauts du matériau,
· croissance : c'est la phase qui correspond au développement proprement dit des cavités,
piloté essentiellement par l'écoulement plastique de la matrice métallique qui entoure ces
cavités,
· coalescence : c'est la phase qui correspond à l'interaction des cavités entre elles pour créer
des fissures macroscopiques.

Dans ce qui suit, nous traitons uniquement les phases de croissance et de coalescence.

Le modèle de Rousselier [bib1] présentée ici se fonde sur des hypothèses microstructurales qui
introduisent une microstructure constituée d'une cavité et d'une matrice rigide plastique donc isochore.
Dans ce cas, la porosité f, définie comme le rapport entre le volume de la cavité C
V et le volume
totale V du volume élémentaire représentatif, est directement reliée à la déformation macroscopique
par :
1- f
V c
J = det F
0
=
avec f =

f& = (1- f )tr D
éq
1-1
1- f
V
f0 désigne la porosité initiale, F le tenseur gradient de la transformation, J la variation de volume
et D le taux de déformation.
Pour construire la loi de croissance des cavités, Rousselier s'inspire d'une analyse phénoménologique
qui le conduise aux ingrédients suivants :


· grandes déformations plastique,
· changements de volume irréversibles,
· écrouissage isotrope.

Ces considérations l'amène à écrire le critère de plasticité F sous la forme suivante :
(

F , R)
H
=eq + D f exp
1
- R( p) -




y
éq
1-2
1
où est la contrainte de Kirchhoff, R l'écrouissage isotrope fonction de la déformation plastique
cumulée p et 1 , D et y des paramètres du matériau. La présence dans le critère de plasticité de la
contrainte hydrostatique H autorise les changements de volume plastique. On remarque également
que ce modèle ne comporte pas de variable d'endommagement spécifique car la seule information
microstructurale retenue est la porosité, directement liée à la déformation macroscopique par
l'équation [éq 1-1].

Quant au traitement des grandes déformations, on adopte la théorie de Simo et Miehe mais dans une
formulation légèrement modifiée. Les approximations apportées permettent de rendre plus aisées
l'intégration numérique de la loi de comportement mais également de replacer la théorie de Simo et
Miehe dans le cadre variationnel des matériaux standard généralisés.

Par la suite, on donne brièvement quelques notions de mécanique en grandes déformations, puis on
rappelle la théorie de Simo et Miehe ainsi que les modifications apportées. On présente enfin les
relations de comportement du modèle de Rousselier et son intégration numérique.
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2 Notations

On notera par :

Id
matrice identité


tr A
trace du tenseur A


AT
transposé du tenseur A


det A
déterminant de A


~
A
~
1
partie déviatorique du tenseur A définie par A = A - ( tr A)Id
3


H
A
tr A
partie hydrostatique du tenseur A définie par H
A =

3
:
produit doublement contracté : A : B = A B = tr(
T
AB )
ij ij

i, j



produit tensoriel : (A B)ijkl = ij
A kl
B

3
A
~ ~
eq
valeur équivalente de Von Mises définie par Aeq =
:
A A
2



A

A
A =

X

gradient : X
X



, µ, E, , K coefficients de l'élasticité isotrope


y
limite d'élasticité



coefficient de dilatation thermique


T
température


Tref
température de référence


Par ailleurs, dans le cadre d'une discrétisation en temps, toutes les quantités évaluées à l'instant
précédent sont indicées par - , les quantités évaluées à l'instant t + t
ne sont pas indicées et les
incréments sont désignés par . On a ainsi :

Q = Q - Q-
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3
Théorie de Simo et Miehe

3.1 Introduction

Nous rappelons ici les spécificités de la formulation proposée par SIMO J.C. et MIEHE C. [bib2] pour
traiter les grandes déformations. Cette formulation a déjà été utilisée pour des modèles de
comportement thermoélastoplastique avec écrouissage isotrope et critère de Von Mises, [R5.03.21]
pour un modèle sans effet des transformations métallurgiques et [R4.04.03] pour un modèle avec effet
des transformations métallurgiques.
Les choix cinématiques permettent de traiter des grands déplacements et des grandes déformations
mais également des grandes rotations de manière exacte.
Les spécificités de ces modèles sont les suivantes :

· tout comme en petites déformations, on suppose l'existence d'une configuration relâchée,
c'est-à-dire localement libre de contrainte, qui permet de décomposer la déformation totale en
une partie thermoélastique et une partie plastique,
· la décomposition de cette déformation en des parties thermoélastique et plastique n'est plus
additive comme en petites déformations (ou pour les modèles grandes déformations écrits en
taux de déformation avec par exemple une dérivée de Jaumann) mais multiplicative,
· les déformations élastiques sont mesurées dans la configuration actuelle (déformée) tandis
que les déformations plastiques sont mesurées dans la configuration initiale,
· comme en petites déformations, les contraintes dépendent uniquement des déformations
thermo-élastiques,
· si le critère de plasticité ne dépend que de la contrainte déviatorique, alors les déformations
plastiques se font à volume constant. La variation de volume est alors uniquement due aux
déformations thermo-élastiques,
· ce modèle conduit lors de son intégration numérique à un modèle incrémentalement objectif
(cf. [§3.2.3]) ce qui permet d'obtenir la solution exacte en présence de grandes rotations.

Par la suite, on rappelle brièvement quelques notions de mécanique en grandes déformations.

3.2
Généralités sur les grandes déformations

3.2.1 Cinématique

Considérons un solide soumis à des grandes déformations. Soit 0 le domaine occupé par le solide
avant déformation et (t) le domaine occupé à l'instant t par le solide déformé.

Configuration initiale
Configuration actuelle déformée
F
0
(t )

Figure 3.2.1-a : Représentation de la configuration initiale et déformée

Dans la configuration initiale 0 , la position de toute particule du solide est désignée par X
(description lagrangienne). Après déformation, la position à l'instant t de la particule qui occupait la
position X avant déformation est donnée par la variable x (description eulérienne).

Le mouvement global du solide est défini, avec u le déplacement, par :
x = x$(X,t) = X + u
éq
3.2.1-1
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Pour définir le changement de métrique au voisinage d'un point, on introduit le tenseur gradient de la
transformation F :

x$
F =
= Id + u


éq
3.2.1-2
X
X

Les transformations de l'élément de volume et de la masse volumique valent :

d = Jdo avec J
o
= det F = éq
3.2.1-3
o et sont respectivement la masse volumique dans les configurations initiale et actuelle.

Différents tenseurs de déformations peuvent être obtenus en éliminant la rotation dans la
transformation locale. Par exemple, en calculant directement les variations de longueur et d'angle
(variation du produit scalaire), on obtient :
1
E = (C - Id) avec C = FTF éq
3.2.1-4
2
1
A =
Id - b-1
(
) avec b = FFT
éq
3.2.1-5
2
E et A sont respectivement les tenseurs de déformation de Green-Lagrange et d'Euler-Almansi et C
et b, les tenseurs de Cauchy-Green droit et gauche respectivement.

En description lagrangienne, on décrira la déformation par les tenseurs C ou E car ce sont des
quantités définies sur 0 , et en description eulérienne par les tenseurs b ou A (définis sur ).

3.2.2 Contraintes

Le tenseur des contraintes utilisé dans la théorie de Simo et Miehe est le tenseur de Kirchhoff défini
par :

J =









éq 3.2.2-1
où est le tenseur eulérien de Cauchy. Le tenseur résulte donc d'une « mise à l'échelle » par la
variation de volume du tenseur de Cauchy .

3.2.3 Objectivité

Lorsqu'on écrit une loi de comportement en grandes déformations, on doit vérifier que cette loi est
objective, c'est-à-dire invariante par tout changement de référentiel spatial de la forme :
x* = c(t) + Q(t)x éq
3.2.3-1
Q est un tenseur orthogonal qui traduit la rotation du référentiel et c un vecteur qui traduit la
translation.
Plus concrètement, si on réalise un essai de traction dans la direction e1 , par exemple, suivi d'une
rotation de 90° autour de e3, ce qui revient à effectuer un essai de traction selon e2 , alors le danger
avec une loi de comportement non objective est de ne pas retrouver un tenseur des contraintes
uniaxial dans la direction e2 (ce qui est notamment le cas avec la cinématique PETIT_REAC).
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3.3
Formulation de Simo et Miehe

Par la suite, on notera par F le tenseur gradient qui fait passer de la configuration initiale 0 à la
configuration actuelle (t) , par F p le tenseur gradient qui fait passer de la configuration 0 à la
configuration relâchée r , et Fe de la configuration r à (t) . L'indice p se réfère à la partie
plastique, l'indice e à la partie élastique.
Configuration initiale
Configuration actuelle
F

(t )
0
F p
F e
T = Tref
r
= 0
Configuration relâchée

Figure 3.3-a : Décomposition du tenseur gradient F en une partie élastique Fe et plastique F p

Par composition des mouvements, on obtient la décomposition multiplicative suivante :
F = FeF p








éq 3.3-1
Les déformations élastiques sont mesurées dans la configuration actuelle avec le tenseur eulérien de
Cauchy-Green gauche be et les déformations plastiques dans la configuration initiale par le tenseur
G p (description lagrangienne). Ces deux tenseurs sont définis par :
be
FeFeT
=
, G p
F pTF p
=
-
(
) 1 d'où be
FG pFT
=

éq
3.3-2
Toutefois, on emploiera alternativement une autre mesure des déformations élastiques e, qui coïncide
avec l'opposé des déformations linéarisées lorsque les déformations élastiques sont petites :
1
e = (
e
Id - b ) éq 3.3-3
2
Dans le cas d'un matériau isotrope, on peut montrer que le potentiel énergie libre ne dépend que du
tenseur de Cauchy-Green gauche be (où dans notre cas du tenseur e) et en plasticité de la variable p
liée à l'écrouissage isotrope. De plus, on suppose que l'énergie libre volumique se décompose, tout
comme en petites déformations, en une partie hyperélastique qui ne dépend que de la déformation
élastique et une autre liée au mécanisme d'écrouissage :
( ,
e p)
el
= (e)
bl
+ (p) éq
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Si au lieu d'utiliser la contrainte de Cauchy , on utilise la contrainte de Kirchhoff , l'inégalité de
Clausius-Duhem s'écrit (on oublie la partie thermique) :
: D - & 0









éq 3.3-5
expression dans laquelle D représente le taux de déformation eulérien.

Sous les hypothèses précédentes, la dissipation s'écrit encore :

e
1
p T

+
b : D +
( &G
F
F )

:
-
p& 0 éq
3.3-6

e

2 e
p
Le second principe de la thermodynamique requiert alors l'expression suivante pour la relation
contrainte-déformation :
e
= -
b









éq 3.3-7
e

On définit enfin les forces thermodynamiques associées à la déformation élastique et à la déformation
plastique cumulée conformément au cadre des matériaux standard généralisés :

e
s = -
soit

= s b
éq
3.3-8
e


= -
A










éq 3.3-9
p

où la force thermodynamique A est l'opposé de la variable d'écrouissage isotrope R.

Il reste alors pour la dissipation :
1
p T e 1
1
: (-
-
F &
G F b
) + A p& = s : (-
p T
F &
G F ) + A p& 0
éq
3.3-10
2
2

3.3.1 Formulation
originelle

Le principe de dissipation maximale appliqué à partir du seuil d'élasticité F, fonction de la contrainte de
Kirchhoff et de la force thermodynamique A permet d'en déduire les lois d'évolution de la
déformation plastique et de la déformation plastique cumulée, soit :
1
p T e 1
-

-
F
FG& F b
= &

éq
3.3.1-1
2


F

&p = &










éq 3.3.1-2
A

&
0 F
0 F& = 0 éq
3.3.1-3
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Remarque :

On peut montrer aisément que la dérivée par rapport au temps de la variation de volume
plastique p
J s'écrit :
p

J& =
F
p
& J tr

éq
3.3.1-4


si bien que si la surface de charge F ne dépend que de la partie déviatorique du tenseur de
contrainte de Kirchhoff
, alors les déformations plastiques se font à volume constant soit :
J p
p
det F
1 d' où J
J e
e
=
=
=
= det F = det F éq
3.3.1-5

3.3.2 Formulation
modifiée

L'approximation introduite ici sur la formulation originelle de Simo et Miehe porte sur l'expression de la
loi d'écoulement, approximation d'autant plus réduite que les déformations élastiques sont petites,
puisque
e
= s b . En effet, on exprime dorénavant le seuil d'élasticité comme une fonction des forces
thermodynamiques et non plus des contraintes F(s, A) 0 , et c'est par rapport à ces variables qu'on
applique le principe de dissipation maximale, ce qui conduit aux lois d'écoulement suivantes :
1
p T

-
F
FG& F = &

éq
3.3.2-1
2
s

F

&p = &

éq
3.3.2-2
A

&
0 F
0 F& = 0 éq
3.3.2-3

3.3.3 Conséquences de l'approximation

En remplaçant la contrainte par la force thermodynamique s associée à la déformation élastique
dans l'expression du critère de plasticité, on introduit en fait une perturbation de la frontière du
domaine de réversibilité d'un facteur 2 e . Par rapport à la formulation initiale, il en résulte
évidemment une influence sur la limite d'élasticité observée mais aussi sur la direction d'écoulement :
en particulier, la dérivée par rapport au temps de la variation de volume plastique s'écrit alors :
p
p
e 1
-

J& =
F
& J b

:
éq
3.3.3-1
s

si bien que dans le cas où le critère F ne dépend que du déviateur du tenseur des contraintes s, on ne
retrouve pas p
J = 1 : le caractère isochore de la déformation plastique n'est plus parfaitement
préservé.

Dans la mesure où les déformations élastiques restent petites, les résultats obtenus avec ce modèle
modifié ne s'écartent pas significativement de ceux obtenus avec l'ancienne formulation (cf. [bib3]),
tandis que l'intégration numérique en sera simplifiée. En effet, on verra par la suite que ce modèle suit
le même schéma d'intégration que celui des modèles écrits en petites déformations.
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Remarque :

Cette nouvelle formulation des grandes déformations permet de replacer la théorie de Simo et
Miehe dans le cadre des matériaux standard généralisés. D'un point de vue numérique, ceci
a pour conséquence d'exprimer la résolution de la loi de comportement comme un problème
de minimisation par rapport aux incréments de variables internes.
En effet, on rappelle que dans le cadre des matériaux standard généralisés, la donnée des
deux potentiels l'énergie libre
(, a) et le potentiel de dissipation D(a&) , fonction du tenseur
de déformation
et d'un certain nombre de variables internes a, permet de définir
complètement la loi de comportement (on se place dans le cas des matériaux indépendant du
temps).



=


, A = -
D(a&)
éq
3.3.3-2


a


D(a&) est le sous différentiel du potentiel de dissipation D.
Les lois de comportement de type standard généralisé qui ne dépendent pas du temps sont
caractérisées par un potentiel de dissipation positivement homogène de degré 1, qui se
traduit par la propriété suivante :

&
a

>
D(

0
a&) = D(a&
)

D
(a&) = D(a&) éq 3.3.3-3

Maintenant si on écrit le problème [éq 3.3.3-2] sous forme discrétisée en temps et si on utilise
la propriété des sous différentiels [éq 3.3.3-3], on obtient le problème discrétisé suivant :



=


, A = -
D( a
) éq
3.3.3-4


a


On peut montrer que l'équation [éq 3.3.3-4] est équivalente (cf. [bib4]) à résoudre le problème
de minimisation par rapport aux incréments de variables internes a

suivant :



-
D( a
) a
= ArgMin[(a- + *)
a + D( *)
a ]
éq
3.3.3-5
a

*
a

L'application de l'équation [éq 3.3.3-5] au modèle de Rousselier en grandes déformations
modifiées s'écrit :

( ,
e p
D(
et

)
p
D , p&
)
=>
( Tr
e + ,
e p- + p

D(
et

)
,
e p
) éq
3.3.3-6
tion
discrétisa
continue

énergie
e
discrétisé

énergie




s = -




e
A = -
=
D( ,
e p
)
a




- R = -

éq.
3.3.3-7

p

Min [( Tr
e + ,
e p- + p
) + D( ,
e p
)]
e, p

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On trouvera dans le paragraphe [§4], la relation qui lie le taux de déformation plastique
p
D
une fois discrétisée et l'incrément de déformation élastique e
, ainsi que la définition de Tr
e .

On voit bien ici que si on prend la formulation initiale de Simo et Miehe, on ne peut plus écrire
le problème de minimisation [éq 3.3.3-7] avec la contrainte de Kirchhoff
à cause du terme
en e

b dans l'expression :



e
= -
b
éq
3.3.3-8
e



4
Modèle de Rousselier

Nous décrivons maintenant l'application des grandes déformations au modèle de Rousselier présenté
en introduction.

4.1
Equations du modèle

Pour décrire un modèle thermoélastoplastique à écrouissage isotrope (l'équivalent en petites
déformations au modèle à écrouissage isotrope et critère de Von Mises), Simo et Miehe proposent un
potentiel élastique polyconvexe. Par raison de simplicité, on choisit ici le potentiel de Saint Venant qui
s'écrit :
(
1
,
e p) = [K(tre)2
~ ~
+ 2µ e : e + 6K T
tr e] p
+ R(u)du éq
4.1-1
2
0
Conformément aux équations [éq 3.3-8] et [éq 3.3-9], les lois d'état qui dérivent du potentiel élastique
ci-dessus s'écrivent alors :
s = [
- K tr e Id + µ e~
2
+ 3K T
Id] éq
4.1-2
A = - R(p)







éq 4.1-3
Le seuil d'élasticité est donné par :
sH
F(s, R) = s
+ Df exp
- R-
eq
1




y
éq
4.1-4

1
D'après les équations [éq 3.3.2-1] et [éq 3.3.2-2], les lois d'écoulement sont définies par :

1
p T
s~
3
Df
s
-
G
F & F = &
+
exp H Id




éq
4.1-5
2

2s
3
eq
1

&p = &










éq 4.1-6
&
0 F
0 F& = 0 éq
4.1-7
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4.2
Traitement des points singuliers

En fait, l'équation d'écoulement [éq 4.1-5] traduit l'appartenance de la direction d'écoulement au cône
normal à la surface du domaine d'élasticité. Elle n'est valide qu'aux points réguliers, caractérisés par :
seq 0









éq 4.2-1
Il reste donc à caractériser le cône normal aux points singuliers, c'est-à-dire vérifiant :

~
s
H
s = 0

et

D f exp
1
- R =




y
éq
4.2-2

1
Le cône normal au convexe d'élasticité en un tel point est l'ensemble des directions d'écoulement qui
réalisent le problème de maximisation suivant :

*
( ,sR) = sup[
p
s : D - R p& - ( p
D , p&)] éq
4.2-3
p
D , p&
où *
est la fonction indicatrice du convexe F et ( p
D , p&) le potentiel de dissipation obtenu par
transformée de Legendre-Fenchel de la fonction indicatrice de F :
p
(D , p&) = Sup [
p
s : D - R p&] éq
4.2-4
s, R
F(s, R)0
Après quelques calculs, on obtient :

D

p
p
tr p
2
(D , p&) = p& + tr D ln
-1 + I + (tr p
D ) + I + (
p
p& - D )
y
1


éq
4.2-5
IR
IR
eq
p
Df

&
3

avec
0
si
x 0
I + (x) =

éq

4.2-6
IR
+ sinon

Pour ~
s = 0 , *
vaut :




*


p
tr D

p
p

( ,sR) = Sup
sH tr D - tr D ln
1
-

1 - R p& -
&
éq
4.2-7
p


p
y
D , p&
D f p&


p
tr D 0 1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
p

p& 2 D p
G(tr D )
0

-
eq
3
En remarquant que pour tr
p
D 0 , la fonction G(tr p
D ) est concave, le suprémum par rapport à la
trace du taux de déformation plastique
p
D est obtenu pour :

p
p
s
G(tr D ) = 0 d'

tr D = D f p
H
&


exp

éq
4.2-8
1

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Remarque :

On retrouve bien alors pour la fonction indicatrice du seuil d'élasticité F.

0
si
F 0
*(s,R) = Sup [F &p] =

éq
4.2-9
p
+
&
sinon
2 p
&p Deq 0
3

En un point singulier, le cône normal, ensemble des directions d'écoulement admissibles, se
caractérise donc par :

p
s
tr D = D f p
H
&


exp


éq
4.2-10
1

p& 2 peq
D 0
éq
4.2-11
3

4.3
Expression de la porosité

On a vu en introduction que l'inspiration microscopique du modèle de Rousselier se fonde sur une
microstructure constituée d'une cavité et d'une matrice rigide plastique, donc isochore. Dans ce cas, la
porosité est directement reliée à la déformation macroscopique par :
1- f
J = det F
0
=
f& = (1- f )tr D
éq
4.3-1
1- f
Toutefois, à l'échelle macroscopique, on suppose que le matériau peut également se déformer de
manière élastique réversible. L'expression ci-dessus n'est donc plus exacte, même si elle représente
encore une bonne approximation tant que les déformations élastiques sont petites. Malheureusement,
elle interdit des compressions élastiques même raisonnables, car très vite, la porosité s'annule et
impose à nouveau un comportement isochore ( J = constante car f = 0 ).

Rousselier propose quant à lui d'exprimer la porosité en se basant sur le taux de déformation plastique
p
D . La relation est écrite sous forme incrémentale :
f& = (1- )
p
f tr D éq
4.3-2
Cela signifie que la variable porosité employée pour paramétrer le critère de plasticite F ne dépend
que de la déformation plastique. En fait, le taux de déformation plastique est une quantité évaluée
dans la configuration relâchée. Son transport dans la configuration actuelle (comme D) s'exprime
encore :

T
e
p e
1
p T
F D F
= -
G
F & F éq
4.3-3
2
Finalement, on adopte comme loi d'évolution de la porosité :
1
f& = (1- f )
p T
tr-
G
F & F
éq
4.3-4
2

A nouveau, cette loi d'évolution de la porosité reste proche de celle employée par Rousselier lorsque
les déformations élastiques sont petites.
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4.4 Relation
`ROUSSELIER`

Cette relation de comportement est disponible via l'argument `ROUSSELIER` du mot clé COMP_INCR
sous l'opérateur STAT_NON_LINE, avec l'argument `SIMO_MIEHE` du mot-clé facteur DEFORMATION.

L'ensemble des paramètres du modèle est fourni sous les mots clés facteurs `ROUSSELIER` ou
`ROUSSELIER_FO` et `TRACTION` (pour définir la courbe de traction) de la commande
DEFI_MATERIAU ([U4.43.01]).

Remarque :

L'utilisateur doit bien s'assurer que la courbe de traction « expérimentale » utilisée, soit
directement, soit pour en déduire la pente d'écrouissage est bien donnée dans le plan
contrainte rationnelle
= F / S - déformation logarithmique ln(1+ l / l )
0 où l0 est la
longueur initiale de la partie utile de l'éprouvette, l la variation de longueur après
déformation,
F la force appliquée et S la surface actuelle.

4.5
Contraintes et variables internes

Les contraintes sont les contraintes de Cauchy , calculées donc sur la configuration actuelle (six
composantes en 3D, quatre en 2D).

Les variables internes produites dans le Code_Aster sont :

· V1, la déformation plastique cumulée p,
· V2, la porosité f,
· V3 à V8, le tenseur de déformation élastique e,
· V9, l'indicateur de plasticité (0 si le dernier incrément calculé est élastique, 1 si solution
plastique régulière, 2 si solution plastique singulière).

Remarque :

Si l'utilisateur veut récupérer éventuellement des déformations en post-traitement de son
calcul, il faut tracer les déformations de Green-Lagrange E, qui représente une mesure des
déformations en grandes déformations. Les déformations linéarisées
classiques mesurent
des déformations sous l'hypothèse des petites déformations et n'ont pas de sens en grandes
déformations.

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5 Formulation
numérique

Pour la formulation variationnelle, il s'agit de la même que celle donnée dans la note [R5.03.21] et qui
se reporte à la loi de comportement avec écrouissage isotrope et critère de Von Mises en grandes
déformations. Nous rappelons uniquement qu'il s'agit d'une formulation eulérienne, avec
réactualisation de la géométrie à chaque incrément et à chaque itération, et que l'on tient compte de la
rigidité de comportement et de la rigidité géométrique.
Nous présentons maintenant l'intégration numérique de la loi de comportement et donnons
l'expression de la matrice tangente (options FULL_MECA et RIGI_MECA_TANG).

5.1
Expression du modèle discrétisé

Connaissant la contrainte -
, la déformation plastique cumulée p- , les déformations élastiques -
e ,
les déplacements u- et u , on cherche à déterminer (, p,e) .
Les déplacements étant connus, les gradients de la transformation de 0 à - , noté F- , et de -
à , noté F , sont connus.

Pour intégrer ce modèle de comportement, on ne choisit pas un algorithme purement implicite car,
d'une part, cela conduit à la résolution d'un système non linéaire assez complexe, et d'autre part, ne
permet plus d'exprimer le problème comme la minimisation d'une fonctionnelle. C'est pourquoi on
préfère traiter de manière explicite la variation suivant la porosité dans le seuil d'élasticité. Pour les
autres termes, on emploie un schéma d'Euler implicite.

Une fois discrétisé, on obtient alors le système suivant :

-
F = FF

















éq 5.1-1
J = det F

















éq 5.1-2

J =


















éq 5.1-3
e
= s b


















éq 5.1-4
be = Id - e
2

















éq 5.1-5

· Equations d'état :
s
[-
= µe~
2
+ K tr e Id + 3K T
Id]











éq. 5.1-6
A -
= R(p)
















éq 5.1-7
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Par la suite, on exprime les lois d'écoulement et le critère de plasticité directement en fonction du
tenseur des déformations élastiques e.

· Lois d'écoulement


p
1
p T
1
p T
- p- T
-
T
D - FG& F = -
FG F - FF G F F
2
2 t
4
1 4
23
4
1
4
2 3

e
e

-
b
b

= - 1

[Id-2e-F{Id- -
2e } T
F ]

éq
5.1-8
2 t

=
e - 1
(
[Id-F{Id- -
2e } T
F ])/ t
Tr
= (e - e ) / t

2
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
Tr
e
En prenant les parties traces et déviatoriques de l'équation [éq 4.1-5], on obtient :
Tr
-
3K T

K tr e
tr e - tr e
p

= Df exp(-
) exp(-
)








éq 5.1-9
1

1



~
Tr - 3
~
e
e
p

régulière

solution

si
~
2
e
e =
eq






éq 5.1-10

2 ~ ~Tr
0


et

p (e - e )
singulière

solution

si

eq
3
· Conditions de cohérence

3
-
KT
K tr e
2µ
+ D f exp(-
) exp(-
) - R-
régulière
solution

si

eq
e
1


y
1

1

F =
3
-
KT
K tr

e
éq
5.1-11
D f
exp(-
) exp(-
) - R-
singulière
solution

si


1


y
1

1


avec F

0 p
F

0
p = 0
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5.2
Résolution du système non linéaire

L'intégration de la loi de comportement se résume donc à résoudre le système [éq 5.1-9], [éq 5.1-10]
et [éq 5.1-11]. Nous verrons que cette résolution se ramène à celle d'une seule équation scalaire, dont
l'inconnue x est l'incrément de la trace des déformations élastiques :
Tr
x = tr e - tr e







éq 5.2-1
Grâce à ce choix, que la solution soit élastique ou plastique, atteinte en un point singulier ou non,
l'équation [éq 5.1-9] portant sur la trace de l'incrément élastique est toujours valide et permet
d'exprimer l'incrément de déformation plastique cumulée :

K tr Tr


Tr
e
3K
-
T

K (tr e - tr Tr
e )
tr e - tr e = p
D f exp

-
exp(-
) exp

-






1


1


1


1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
G
éq
5.2-2
K x

(x) 1
p
= x exp
G
1

Cette équation nous montre qu'on peut chercher x 0 pour garantir une déformation plastique
cumulée positive et que la solution élastique est obtenue pour x = 0. On remarque également que
l'incrément de déformation plastique cumulée est une fonction continue et strictement croissante de x.
Moyennant ces remarques, si on note par S le terme [éq 5.2-3] dans le critère de plasticité, il s'agit
alors, là aussi, d'une fonction continue et strictement croissante de x :
Kx
F = 2 eq
µe - (
S x) avec

S(
x) = - G exp
1
-
+



R(p(x))+ y éq
5.2-3


1
A ce stade, la démarche de résolution se décompose en deux temps.

5.2.1 Examen des points singuliers

Un tel point singulier est caractérisé par [éq 5.1-10] (bas) et [éq 5.1-11] (bas), donc en particulier par
(Sx)= 0 . Du fait des propriétés de S, cette équation admet au plus une solution positive, disons S
x
qui existe si et seulement si (
S 0) 0 . La connaissance de S
x permet d'en déduire le tenseur de
déformations élastiques e, la déformation plastique cumulée p ainsi que les forces thermodynamiques
s et R.
Finalement, ce point singulier sera solution si l'inégalité dans [éq 5.1-11] (bas) est vérifiée, c'est-à-dire
si :
s
2 ~s ~Tr
p
(e - e )eq éq
5.2.1-1
3
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5.2.2 Solution
régulière

L'équation d'écoulement [éq 5.1-10] (haut) qui détermine la partie déviatorique du tenseur de
déformation élastique permet d'en déduire une équation scalaire fonction de l'incrément de
déformation plastique cumulée :

Tr
3
~
eq
e = eq
e - p
~ ~
3
2
Tr
e

e - e
-
=
p




e

éq
5.2.2-1
2
eq
e
e~= eq ~Tr
e

Tr

eq
e
On constate qu'en raison de la positivité de eq
e , la valeur licite de p
est bornée :
2 Tr
p

eq
e









éq 5.2.2-2
3
La condition de cohérence détermine maintenant x :
F = 2µeTr
eq - S(x) - 3
µ p 0
éq
5.2.2-3
Etant donné cette expression, la majoration de la valeur licite de p
se réduit à la seule condition
(Sx) 0 ou, de manière équivalente, à
S
x x .

La solution élastique est obtenue pour x = 0. C'est la solution du problème si et seulement si :
F( )
0 = 2µ eTr
eq - S( 0 <
) 0 éq
5.2.2-4
Dans le cas contraire, on doit alors résoudre :
3µ
Kx

x > xs
Tr
xs
F(x) = 2µeeq -S(x)-
x exp(
) =

si
existe
0 avec



éq
5.2.2-5
G
1


x > 0
sinon

Cette fonction est continue et strictement décroissante et tend vers - avec x. Elle admet donc au
plus une solution. La démonstration de l'existence de cette solution est immédiate. En effet, il suffit de
prouver que F est positive sur la borne inférieure de l'intervalle de recherche.
Lorsque S
x n'existe pas, (
F )
0 > 0 puisque la solution n'est pas élastique.
Lorsque S
x existe, la fonction vaut :
s
Tr
s
s
2 Tr
F(x ) = 2µ eq
e - 3 p

µ
> 0 p
<
eq
e éq
5.2.2-6
3
Cette condition est vérifiée puisqu'on a rejeté la solution singulière.
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5.3
Déroulement du calcul

La démarche pour résoudre l'ensemble des équations du modèle est la suivante :

1) On recherche si la solution est élastique
· calcul de F( )
0
· si F( )
0 < 0 , la solution du problème est la solution élastique Sol
x
= 0
· sinon on passe en 2)
2) Si
S( )
0 > 0 , la solution est plastique et régulière
· on passe en 4)
3) Si
S( )
0 < 0 , on cherche si la solution est singulière
· on résout S( s
x ) = 0
2
· si s
x vérifie l'inégalité
s
~s ~Tr
p
(e - e )
Sol
eq , alors la solution est singulière
s
x
= x
3
· sinon, s
x est une borne inférieure pour résoudre F(x) = 0 , on passe en 4)
4) La solution est plastique et régulière
· on résout F(x) = 0

5.4 Résolution

Pour résoudre les deux équations S( x ) = 0 et F(x) = 0 , on emploie une méthode de Newton avec
bornes contrôlées couplée à de la dichothomie lorsque Newton donne une solution en dehors de
l'intervalle des deux bornes. On présente maintenant la détermination des bornes pour chacun des cas
précédents (points 2) 3) et 4) du paragraphe précédent).

5.4.1 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où la fonction S est strictement
positive à l'origine

On résout :

µ
Kx
2 Tr
eq
µe - S(x = 3
)
x exp(
)
F(x) = 0

4
42
1
4
43
G





1

f
1 4
4 2 4
4 3
éq
5.4.1-1
F( )
0 > 0
1

3µ p

f ( )
0
1
> 0
où la fonction p(x) est continue, strictement croissante et nulle à l'origine et la fonction f ( )
1 x est
continue, strictement décroissante et strictement positive à l'origine (voir [Figure 5.4.1-a]).
On pose :
Tr
Kx
f = 2µeeq - R(x) - y + G exp(-
) alors f
(x) < f (x)

x 0
1
1
2
1

éq 5.4.1-2
1 4
4
4 2
4
4
4 3
1

f2
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où la fonction f ( )
2 x est continue, strictement décroissante. Dans ce cas, la résolution des équations :
inf
inf
inf
Kx
f ( p
inf
2
) = 3µ p

et
inf
x
exp(
) = G p

éq
5.4.1-3
1
pour en déduire successivement p
puis x donne une borne inférieure Inf
x
qui correspond à la
solution du modèle à écrouissage isotrope et critère de Von Mises. Si f (0)
0
2
< , la borne inférieure
est prise égale à zéro : inf
x
= 0 .
La borne supérieure Sup
x
est telle que :

KxSup
Sup
G
x
exp(
) =
f (xInf )
éq
5.4.1-4

3 1
1
µ
Kx
L'équation du type x exp(
) = constante est résolue par une méthode de Newton.
1
3µ p( x)
f1
3µ p( sup
x
) = f
inf
1 (x
)
f 2
3µ p( inf
x
) = f
inf
2 ( x
)
x
Sol
inf
Sup
x
x
x

Figure 5.4.1-a : représentation graphique des bornes supérieure et inférieure
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5.4.2 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où la fonction S est négative ou
nulle à l'origine

Le système à résoudre est le suivant :

x
Kx
-
Kx
S(x) = 0
R p + exp(
) + y = G exp(
1
-




)


G
1

1


éq
5.4.2-1
S( 0 ) < 0

-
R(p )+ y < G
1
La partie de gauche est une fonction continue, strictement croissante de x et strictement positive à
l'origine, la partie de droite est une fonction continue, strictement décroissante de x et strictement
positive à l'origine. Utilisant les propriétés de ces deux fonctions, une représentation graphique
(cf. [Figure 5.4.2-a]) de ces fonctions montre que la borne supérieure Sup
x
est telle que :
Sup
G exp(
1
- Kx
G

) = R( -
p )


Sup
1

+


1
y

x
=
log

éq
5.4.2-2

K

-
1
R(p )


+ y
La borne inférieure Inf
x
est telle que :
Inf
Kx

Sup
Sup
-
x
Kx

G exp(
1
-
) = R p +
exp(
) +

y
1

G
1

+





éq
5.4.2-3


Inf
G
x
=

1 log
1

K

Sup
Sup
-
x
Kx


R p +
exp(
) +

y

G
1


R( x)
1 G
+ y
Kx
1 G exp( -
)
R( p - )
+
1
y
x
Inf
Sol
Sup
x
x
x

Figure 5.4.2-a : représentation graphique des bornes supérieure et inférieure
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5.4.3 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où la fonction S est strictement
négative à l'origine et xs non solution

On résout le système suivant :

Tr

Kx
2µeeq - S(x) =
x exp(
)
4
42
1
4
43
G
1


1 4
4 2 4
4 3
F(x) = 0

f1
3µ

p

S(0) < 0



f (0)
1
> 0

éq
5.4.3-1

s

S(x ) = 0
s

Tr
µ s
Kx
2µeeq = 3

x exp(
)
G


1

La solution Sol
x
est telle que S( Sol
x
) > 0 .
Pour la borne inférieure, on prend Inf
s
x
= x . Etant données les propriétés des fonctions 1f
(strictement décroissante) et 3µ p(x) (strictement croissante), la borne supérieure Sup
x
est telle
que (cf. [Figure 5.4.3-a]) :
Sup
Sup
Kx
2G Tr
x
exp(
) =
eq
e
éq
5.4.3-2

3
1
Cette équation est résolue par une méthode de Newton.
S ( x ) < 0 S (x) > 0
2µeTr
eq - S (0)
S ( x ) = 0

Kx
Tr
x exp(
)
2µeeq
G
1

x
Inf
s
Sol Sup
x
= x x x

Figure 5.4.3-a : représentation graphique des bornes supérieure et inférieure
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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Modèle de Rousselier en grandes déformations


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: 23/28


5.5
Intégration de la porosité

A ce stade, il ne reste plus qu'à intégrer la loi d'évolution de la porosité. D'après les équations [éq 4.3-
4] et [éq 5.1-8], elle s'exprime encore à l'aide de l'inconnue x :

f&
x
=








éq 5.5-1
1- f
t

soit en intégrant :

f df
x t



=
dt

f =1- 1
( - f ) exp( - )
x
éq
5.5-2
1- f
t
0

f
0
0
où on a réalisé une intégration temporelle exacte en supposant x constant durant le pas de temps. Ce
choix permet d'assurer que f est croissant et reste inférieur à 1, quel que soit le pas de temps.

5.6
Expression de la matrice tangente du comportement

On donne ici l'expression de la matrice tangente (option FULL_MECA au cours des itérations de
Newton, option RIGI_MECA_TANG pour la première itération).
Pour l'option FULL_MECA, celle-ci est obtenue en linéarisant le système d'équations qui régit la loi de
comportement. Nous donnons ci-après les grandes lignes de cette linéarisation.
Pour l'option RIGI_MECA_TANG, il s'agit des mêmes expressions que celles données pour
FULL_MECA mais avec p = 0 . En particulier, on aura F
= Id .

La loi de comportement peut se mettre sous la forme générale suivante :
= (, F
)







éq 5.6-1
= (e)









éq 5.6-2
e = e( Tr
e ) éq 5.6-3
eTr = eTr ( F
)







éq 5.6-4
La linéarisation de ce système donne :




e

e
Tr


=
:
:
:
+
: F
= H : F



éq

5.6-5


e

e
Tr
F


F




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H est la matrice tangente. Par la suite, on détermine séparément les cinq termes de l'équation
précédente.
Dans la linéarisation du système, on utilisera souvent le tenseur C défini ci-dessous et les deux
équations suivantes :
1
a
ij = (ik jl + jkil ) a
kl
éq
5.6-6
2
app = k a
l
kl









éq 5.5-7
1
ijkl
C
= (ik jl + jkil ) éq
5.6-8
2





· Calcul de
et de



F



La linéarisation de la relation qui lie la contrainte de Cauchy et la contrainte de Kirchhoff
donne :
1

J
J
=


= -
: F
éq
5.6-9
J
J
F





En utilisant la relation [éq 5.6-6], on obtient pour
:



= C éq 5.6-10




et pour
:
F






= - J
éq
5.6-11
F


J
F


avec
J
= 22
F 33
F - 23
F 32
F
11
F
J
= 11
F 33
F - 13
F 31
F
22
F
J
= 11
F 22
F - 12
F 21
F
33
F

éq
5.6-12
J

J

= 31
F 23
F - 33
F 21
F
= 13
F 32
F - 33
F 12
F
12
F
21
F
J

J

= 21
F 32
F - 22
F 31
F
= 12
F 23
F - 22
F 13
F
13
F
31
F
J

J

= 31
F 12
F - 11
F 32
F
= 13
F 21
F - 11
F 23
F
23
F
32
F
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· Calcul de

e


La relation qui lie la contrainte de Kirchhoff et le tenseur de déformation élastique e est donnée
par :
= s b
e = -2µ e - Tr e Id
+ 4µ e e
+ 2 (tr e e
) éq
5.6-13
-


3K T
Id + 6K T
e
On obtient après linéarisation :
= (
2 tr e - µ + 3KT ) e + ( e
2 - Id)Tr e + 4µ( e e
+ e e)
éq
5.6-14
d'où

ij = (2 tre-µ+3KT)Cijkl +( e2ij-ij)kl +2µ(ikelj+ilekj+eilkj+eikjl)
kl
e
éq 5.6-15

e
Tr
· Calcul de

F



La relation entre le tenseur de déformation élastique Tr
e et l'incrément du gradient de la
transformation F
s'écrit :
Tr
1
e = (
e-
T
Id -
F b F ) éq
5.6-16
2
Sa linéarisation donne :
Tr
ij
e
= - 1 (
e-
e-
ik F
jpbpl + ip
F bpl jk ) éq
5.6-17

kl
F
2

e

· Calcul de

Tr
e


Cas élastique

e

Dans le cas élastique, le calcul de
est immédiat puisque
Tr
e
= e

d'où
Tr
e

e
= C éq 5.6-18
e
Tr
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Cas plastique ­ Solution régulière

e

Pour déterminer
, on opère en deux étapes. Par la loi d'écoulement discrétisée, on calcule
Tr
e

en premier e
en fonction de Tr
e

et
p

. Puis la condition de cohérence permet d'en déduire
p

en fonction de Tr
e

. Ces deux étapes sont détaillées par la suite.
La partie déviatorique de la loi d'écoulement discrétisée s'écrit :
~
~ ~Tr
3
e
e - e = -
p

éq
5.6-19
2
eq
e
On obtient après linéarisation :
3 p
~
~Tr
3 e~
9
e~
1
( +
)
e = e -

p + p
(e~ e~
:
) éq
5.6-20
2 e
2 e
4
3
eq
eq
eq
e
4
1
4
2 3
1/
Pour déterminer e
~ e~
:
, on contracte l'équation [éq 5.6-20] avec e
~ ce qui donne :
~
~ ~
~Tr
e : e = e : e - e
p
eq

éq
5.6-21
d'où

~
9 p


~
~ ~
~Tr
e =
e e + C
e
: e - 3
p


éq
5.6-22
e
4 3

2 e
eq
eq

1
4
4
4 2
4
4
4 3
3
2
1A
A
2
1
Pour la partie trace de la loi d'écoulement discrétisée, on a :

Tr
3KT
K

Tr e - Tr e = Df p


exp




exp -
Tr e éq
5.6-23

1


1


ce qui donne :
1
Tr e =
Tr
Tr
e
DfK p
3KT
K

1+
exp
exp -
Tr






e
1


1


1


1
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
3
1

K

3KT

éq
5.6-24
Df exp -
Tr e exp











1


1

+
p


DfK p
3KT
K

1+
exp
exp -
Tr






e
1


1


1


1
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
3
2
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Dans le cas plastique, la condition de cohérence vaut :
3KT
K

2 eq
µe + Df exp -
exp -
Tr e - R -
0
1
y =









éq
5.6-25

1


1


d'où
3µ (~ ~
e:e )
3KT
K

- DfK exp -
exp -
Tr e Tr e - hp = 0









éq
5.6-26
eeq

1


1


En injectant la relation [éq 5.6-21] dans l'équation ci-dessus, on obtient alors :
3µ
1
~ ~Tr
p
=
e:e
eq
e

3K T

K

3µ + h + DfK exp -
exp(-
Tr )
e
2












1

1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3K T

K

éq 5.6-27
DfK exp -
exp(-
Tr )
e
1







1

1
Tr
-
Tr e

3K T

K

3µ + h + DfK exp -
exp(-
Tr )
e
2












1

1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
En remplaçant
p

par sa valeur obtenue ci-dessus dans les équations [éq 5.6­22] et [éq 5.6-
24], on obtient :




1

µ
3
3 ~
Tr
1
~

1

Tr
e
= A1 + A2 + Id

3

e : e +
Id
1
+ 4A2 + Id
2
Tr e




3



eq
e

3

3



1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
d etr
ddvetr
tr
éq 5.6-28
d'où
e


1

= ddvetr + dtretr - ddvetr : Id Id éq
5.6-29
e
Tr

3


Cas plastique ­ Solution singulière

La démarche est identique à celle utilisée précédemment.
On obtient pour la loi d'écoulement discrétisée :
~
~
e = 0


e = 0
éq
5.6-30
pour la partie déviatorique et pour la partie trace, la relation est identique à celle trouvée pour la
solution régulière.
Tr
Tre = 1Tre +
p
2


éq
5.6-31
où 1
et 2 ont les mêmes définitions qu'au paragraphe précédent.
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La condition de cohérence permet alors de trouver
p

en fonction de Tr
e

.
3KT
K

Df exp
exp -
Tr e - R -
0
1
y =









éq
5.6-32

1


1


soit après linéarisation :
3K T

K
DfK exp
exp(-
Tr )
e
1







1

1
Tr
p
= -
Tr e

éq
5.6-33

3K T

K

h + DfK exp
exp(-
Tr )
e


2










1

1

1
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
soit finalement :
1
e = [1 +
4 2 ]
Tr

Id Tr e éq
5.6-34
31 4
4 2 4
4 3
dtretr
d'où
e
= dtretrId
éq
5.6-35
e
Tr



6 Bibliographie

[1]
ROUSSELIER G. : "Finite deformation constitutive relations including ductile fracture damage,
In three dimensional constitutive relations and ductile fracture", Ed. Nemat-Nasser, North
Holland publishing company, pp. 331-355.
[2]
SIMO J.C., MIEHE C. , "Associative coupled thermoplasticity at finite strains : Formulation,
numerical analysis and implementation", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 98, pp. 41-104,
North Holland, 1992.SIDOROFF F., "Cours sur les grandes déformations", Rapport Greco
n51, 1982.
[3]
LORENTZ E., CANO V. : "A minimisation principle for finite strain plasticity : incremental
objectivity and immediate implementation", article soumis dans la revue Communications in
numerical methods in engineering,
[4]
MIALON P.
: "Eléments d'analyse et de résolution numérique des relations de
l'élasto-plasticité", EDF, bulletin de la DER, série C mathématiques informatique, 3, pp. 57-89,
1986

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