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5.7
Titre :
Ecrouissage mixte cinématique linéaire et isotrope non linéaire
Date :
30/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, E. LORENTZ Clé
:
R5.03.16-C Page
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Organisme(s) : EDF/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.16
Relation de comportement élastoplastique
à écrouissage cinématique linéaire et isotrope
non linéaire. Modélisation 3D et contraintes planes
Résumé :
Ce document décrit une loi de comportement élastoplastique à écrouissage mixte, cinématique linéaire et
isotrope non linéaire. Les équations à résoudre pour intégrer numériquement cette relation de comportement
sont précisées, ainsi que la matrice tangente cohérente.
Ce comportement est utilisable pour les modélisations de milieux continus 3D, 2D (AXIS, C_PLAN, D_PLAN), et
pour les modélisations DKT, COQUE_3D et TUYAU.
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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Ecrouissage mixte cinématique linéaire et isotrope non linéaire
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1 Introduction
Lorsque le trajet de chargement n'est plus monotone, les écrouissages isotrope et cinématique ne sont
plus équivalents. En particulier, on peut s'attendre à avoir simultanément une part cinématique et une
part isotrope. Si on cherche à décrire précisément les effets d'un chargement cyclique, il est
souhaitable d'adopter des modélisations sophistiquées (mais simples d'emploi) telles que le modèle de
Taheri, par exemple, cf. [R5.03.05]. En revanche, pour des trajets de chargement moins complexes,
on peut souhaiter n'inclure qu'un écrouissage cinématique linéaire, toutes les non linéarités de
l'écrouissage étant portées par le terme isotrope. Cela permet de décrire précisément une courbe de
traction, tout en représentant quand même des phénomènes tels que l'effet Bauschinger [bib1] (voir
par exemple la [Figure 5-a]).
Les caractéristiques de l'écrouissage sont alors données par une courbe de traction et une constante,
dite de Prager, pour le terme d'écrouissage cinématique linéaire. Elles sont introduites dans la
commande DEFI_MATERIAU :
Écrouissage isotrope linéaire
Écrouissage isotrope non linéaire
DEFI_MATERIAU (
DEFI_MATERIAU
(
ECRO_LINE : (
TRACTION : (SIGM : courbe de
SY : limite d'élasticité
traction )
D_SIGM_EPSI
:
pente de la courbe de PRAGER:
(C:
constante de Prager )
traction )
)
;
PRAGER: (C : constante de Prager )
) ;
Ces caractéristiques peuvent aussi dépendre de la température, à condition d'employer alors les mots
clés facteurs ECMI_LINE_FO et ECMI_TRAC_FO à la place de ECRO_LINE et TRACTION. L'emploi de
ces lois de comportement est disponible dans les commandes STAT_NON_LINE ou
DYNA_NON_LINE :
Écrouissage isotrope linéaire
Écrouissage isotrope non linéaire
STAT_NON_LINE
STAT_NON_LINE
(
(
COMP_INCR
:
COMP_INCR
:
(
(
RELATION
:`VMIS_ECMI_LINE'
RELATION:`VMIS_ECMI_TRAC'
)
)
)
;
)
;
Dans la suite de ce document, on décrit précisément le modèle d'écrouissage combiné. On présente
ensuite le détail de son intégration numérique en lien avec la construction de la matrice tangente
cohérente. Enfin, un essai de traction compression uniaxial illustre l'identification des caractéristiques
du matériau.
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2
Description du modèle
A tout instant, l'état du matériau est décrit par la déformation , la température T , la déformation
plastique p et la déformation plastique cumulée p . Les équations d'état définissent alors en fonction
de ces variables d'état la contrainte = H Id +
~ (décomposée en parties hydrostatique et
déviatorique), la part isotrope de l'écrouissage R et la part cinématique X , aussi appelée contrainte
de rappel :
H 1
=
() =
( -th) avec th = ( réf
tr
K tr
T-T
) Id éq 2-1
3
~
1
= - H Id = µ (~ - p
2
) ~
où = - tr() Id
éq
2-2
3
R = R( p)
éq 2-3
X
p
= C
éq 2-4
où K, µ, , R
C
et sont des caractéristiques du matériau qui peuvent dépendre de la température.
Plus précisément, ce sont respectivement les modules de compressibilité et de cisaillement, le
coefficient de dilatation thermique moyen (voir [R4.08.01]), la fonction d'écrouissage isotrope et la
constante de Prager. Quant à T réf , il s'agit de la température de référence, pour laquelle la
déformation thermique est nulle.
K, µ sont reliés au module d'Young E et au coefficient de Poisson par :
E
K = 3 + 2µ = 1- 2
E
2µ = 1+
Remarque :
Concernant la part cinématique de l'écrouissage [éq 2-4], on constate qu'elle est linéaire dans ce
modèle. Par ailleurs, il faut prendre garde au fait que dans certaines références, on appelle
constante de Prager 2C / 3 et non pas C . De même, pour la fonction d'écrouissage isotrope, la
limite d'élasticité y est incluse par R( )
0 = y , certaines références la traitant à part.
L'évolution des variables internes p et p est gouvernée par une loi d'écoulement normale associée à
un critère de plasticité F :
(
3 ~ ~
F , R, X) = (~ - X) - R
avec
A
=
A A
eq
eq
éq
2-5
2
~
p
3
- X
& = & F
= &
éq 2-6
2 ( ~
- X)eq
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&p = &
2
=
&p &p
éq 2-7
3
Quant au multiplicateur plastique &
, il est obtenu par la condition de cohérence suivante :
si F<0 ou &F < 0 & = 0
éq 2-8
si
F
= 0 et &F = 0 & 0
3
Intégration de la relation de comportement
Pour réaliser numériquement l'intégration de la loi de comportement, on effectue une discrétisation en
temps et on adopte un schéma d'Euler implicite, réputé approprié pour des relations de comportement
élastoplastiques. Dorénavant, on emploiera les notations suivantes : A- , A e t A
représentent
respectivement les valeurs d'une quantité A au début et à la fin du pas de temps considéré ainsi que
son incrément durant le pas. Le problème est alors le suivant : connaissant l'état au temps t - ainsi
que les incréments de déformation et de température T , déterminer l'état au temps t ainsi que
les contraintes .
Dans un premier temps, on prend en compte les variations des caractéristiques par rapport à la
température en remarquant que :
H
K
=
H- + K tr( -
-
th) éq
3-1
K
~
µ ~
=
- +
-
2µ ( ~
-
p) éq 3-2
µ
C
X
X-
p
=
+
-
C
éq 3-3
C
Au vu de l'équation [éq 3-1], on constate que le comportement hydrostatique est purement élastique.
Seul le traitement de la composante déviatorique est délicat. Pour alléger les écritures à venir, on
introduit ~se la différence ~
- X en l'absence d'incrément de déformations plastiques, si bien que :
~
µ ~- C -
~
- X =
-
X + 2µ -
p
-
(2µ +
-
C)
éq 3-4
µ
C
1444 2
4
3
4444
~se
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Les équations d'écoulement [éq 2-6] et [éq 2-7] et la condition de cohérence [éq 2-8] s'écrivent une
fois discrétisées et en remarquant que p = :
~
p
3
- X
= p
éq 3-5
2
(~ - X)eq
F 0 p 0 F p = 0
éq 3-6
Le traitement de la condition de cohérence [éq 3-6] est classique. On commence par un essai
élastique ( p = 0 ) qui est bien la solution si le critère de plasticité n'est pas dépassé, c'est-à-dire si :
F = e - R( -
s
p
eq
) 0 éq 3-7
Dans le cas contraire, la solution est plastique ( p > 0 ) et la condition de cohérence [éq 3-6] se réduit
à F = 0 . Pour la résoudre, on commence par montrer qu'on peut se ramener à un problème scalaire
en éliminant p . En effet, en tenant compte de [éq 3-4] et [éq 3-5], on constate que p est
colinéaire à ~se car :
p
3
p
~e
p
=
2µ C
éq
3-8
2 (
s
~
-
+
- X) [
(
) ]
eq
Par ailleurs, d'après [éq 3-5], la norme de p vaut :
(
3
p ) = p éq 3-9
eq
2
On en déduit donc immédiatement l'expression de p en fonction de p :
~e
3
s
p = p
éq 3-10
2
seeq
Il ne reste plus maintenant qu'à remplacer p par son expression [éq 3-10] dans l'équation [éq 3-4]
3
(2µ + C) p
2
on obtient : ~
~
- X = s e 1-
seeq
en reportant ~
- X dans l'équation F = 0, on se ramène à une équation scalaire en p à résoudre,
à savoir :
3
se - (2µ + C) p
- R(p- + p
eq
) = 0 éq
3-11
2
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Dans la mesure où la fonction R est positive, ce que l'on admettra dorénavant, il existe une solution
p à cette équation, caractérisée par :
3
e
(
2
s
2µ + ) + R( -
C
p
p + p
) = se
où 0
eq
eq
< p
<
éq
3-12
2
3 2µ + C
Notons que dans l'intervalle précisé dans [éq 3-12], la solution est unique. Pour des détails quant à la
résolution de cette équation, on se reportera à [R5.03.02].
Le cas particulier des contraintes planes est étudié au [§6].
4
Calcul de la rigidité tangente
Afin de permettre une résolution du problème global (équations d'équilibre) par une méthode de
Newton, il est nécessaire de déterminer la matrice tangente cohérente du problème incrémental. Pour
cela, on adopte une fois de plus la convention d'écriture des tenseurs symétriques d'ordre 2 sous
forme de vecteurs à 6 composantes. Ainsi, pour un tenseur a :
t
a = [axx ayy azz
2axy
2axz
2ayz ]
éq
4-1
Si on introduit en outre le vecteur hydrostatique 1 et la matrice de projection déviatorique P :
1 =t [1 1 1 0 0 ]
0
éq 4-2
1
P = Id - 1 1
éq 4-3
3
Alors la matrice de rigidité tangente cohérente s'écrit pour un comportement élastique :
= K 1 1 + 2µ P
éq 4-4
et pour un comportement plastique :
µ
3
p
~
~
2
e
e
p
1
s
s
= K 1 1 + 2µ1-
P 9µ
éq 4-5
se
+
-
e
3
e
e
seq
R
s
s
eq
eq
eq
(p) + (2µ + C)
2
La matrice tangente initiale, utilisée par l'option RIGI_MECA_TANG est obtenue en adoptant le
comportement du pas précédent (élastique ou plastique, signifié par une variable interne valant 0
ou 1) et en prenant p = 0 dans l'équation [éq 4-5].
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Remarque :
RIGI_MECA_TANG est l'opérateur linéarisé par rapport au temps (cf. [R5.03.01], [R5.03.05]) et
correspond à ce qu'on appelle le problème en vitesse ; dans le cas présent, la linéarisation par
rapport à u , en u = 0 , fournit la même expression.
On se propose maintenant de démontrer l'expression [éq 4-5]. En différentiant les [éq 2-1] et [éq 2-2] à
température fixée, on obtient immédiatement :
= [K 11+ µ P] - µ p
2
2
éq 4-6
Si le régime de comportement est plastique, la loi d'écoulement incrémentale [éq 3-10] fournit alors :
~e
~e
3
s
3
s
p = p
+
p
éq 4-7
2
se
2
se
eq
eq
Quant à p , il est obtenu en différentiant l'équation implicite [éq 3-12] :
3 (
2µ + C) + ( p) p se
R
éq 4-8
2
= eq
Enfin, il ne reste plus qu'à fournir les variations de ~se :
~e
~e
~e
~e
~
1
= 2µ ~ seeq = µ s
3
~ s
2µ µ s
s
e
3
~
s
éq
4-9
se
e
e
e
e
eq
seq =
-
seq
s
s
eq
eq
En remplaçant alors [éq 4-7], [éq 4-8] et [éq 4-9] dans [éq 4-6], on obtient bien l'expression [éq 4-5].
Cette expression est formellement identique à celle définie dans R5.03.02 : [éq 4-3] et s'écrit :
µ
3
~e
~e
p
1
p
1
s
s
K1 1 2µ
1
Id
1 1
9µ2
=
+
-
se
-
3
+
-
e
3
e
e
seq
R+ (2µ + C) s
s
eq
eq
eq
2
avec = 1 si conduit à une plastification, et = 0 sinon.
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En utilisant [éq 3-12], on trouve :
2
dev
dev
* r
r
*
9µ
R. p
1
= 1 1 + 2µ Id -
1-
H( p)
R( p)
3
R+ (2µ + C) R( p) R( p)
2
2µ G(p)
G(p)
avec * = K -
2
2
3 H(
* =
p)
µ
µ H(p)
pour l' option
FULL_ MECA
dev = ~
-
: X
pour l' option RIGI_ MECA_ TANG dev =
~ - - -
X
:
3 (2µ + C)p
avec H(p) = 1+ 2
(
R p)
3
p
et
G(p) = 1+ C
2
(
R p)
5
Identification des caractéristiques du matériau
Considérons un essai de traction compression uniaxial, [Figure 5-a]. On se propose de montrer
comment il permet d'identifier la constante de Prager et la fonction d'écrouissage isotrope. Dans un tel
essai, les différents tenseurs sont à directions fixes, c'est-à-dire que :
2 3
~
p
3 p
= D
X = X D
= D
avec D =
-
1 3
5-1
2
- 1
3
Tant que le chargement est monotone, donc en phase de traction, on obtient immédiatement les
relations suivantes :
3
3
p
p
X
C p
t
C p
R( p
=
=
=
+ ) 5-2
2
2
La constante de Prager est déterminée par la première plastification en compression, puisqu'on a :
t
3
p
p
A = CA + R
2
(A)
t
c
A + A
C =
3
p
éq
5-3
c
p
p
3
A =
C A - R
2
(A)
A
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t(p)
tA
p
3C 2 A
p
= - E
c
c( p)
A
Figure 5-a : Essai de traction compression uniaxial
La courbe d'écrouissage t = ( p
F
) est déduite de la courbe de traction t = F() fournie par
l'utilisateur sous les mots clés ECRO_LINE ( (SY et D_SIGM_EPSI (écrouissage linéaire)) ou bien
TRACTION (écrouissage quelconque). Elle permet enfin d'obtenir la fonction d'écrouissage isotrope
par [éq 5-2] :
3
R( p ) = t ( p ) -
p
C
.
2
Pour le calcul effectif de R(p), suivant le document R5.03.02, on titre parti de la linéarité (ECMI_LINE )
ou de la linéarité par morceaux de la courbe de traction (ECMI_TRAC) :
ECMI_LINE :
t
E. E
= F( p) =
T
y +
p
E - ET
E. E
3
R( p) =
T
y +
- C p = y + R. p
éq
5-4
E - ET 2
L'équation [éq 3-12] devient alors :
3 (2µ +C) p +
e
.
éq
5-5
y + R ( p +
p) = s
2
eq
ECMI_TRAC:
t
p
i+1 -
= F( ) =
i
i +
(p - ip), pour ip p ip+1
i
p -1 - i
p
éq 5-6
+1 -
3
+1 -
R( p)
i
i
i
=
i
i +
(p - ip) - Cp = i -
i
p + R. p
i
p -1 - i
p
2
i
p -1 - i
p
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Remarque :
Pour l'utilisation : la correspondance entre le modèle de comportement VMIS_CINE_LINE et le
comportement VMIS_ECMI_LINE est la suivante :
Avec VMIS_CINE_LINE, il faut introduire dans DEFI_MATERIAU un écrouissage linéaire de pente
Et par :
D_SIGM_EPSI : Et
Avec VMIS_ECMI_LINE, pour reproduire le même comportement à écrouissage cinématique
linéaire, il faut donner dans DEFI_MATERIAU.
· un écrouissage linéaire de pente Et : D_SIGM_EPSI : Et
· La constante de Prager C : PRAGER : C
2 EE
C est déterminée par : C
T
=
3 E - ET
Il faut bien remarquer que l'identification de C et de R( p
) n'ont de sens que dans un domaine
de déformations limité (petites déformations). En particulier, si t ( p ) présente une asymptote
tmax pour p suffisamment grand, alors la contribution cinématique de l'écrouissage n'a plus de
signification. Il est donc conseillé de se restreindre au domaine où l'écrouissage est strictement
positif.
6
Cas particulier des contraintes planes : calcul de p
Il faut ajouter aux équations [éq 3-1] à [éq 3-4] la condition de contraintes planes = 0 , ce qui
33
ajoute une inconnue (la déformation correspondante) :
H
K
=
H- + K tr( -
-
th) éq 6-1
K
~
µ ~
=
- +
-
2µ ( ~
-
p) éq 6-2
µ
C
X
X-
p
=
+
-
C
éq 6-3
C
= 0
éq 6-4
33
Alors, l'équation [éq 3-4] devient :
~
µ ~
C
-
-
~
- X =
c
p
y
e
p
y
-
- - X + 2
- (2 + C)
~
~
+ 2
= s - (2 + C)
~
µ
µ
µ
µ
µ
+ 2µ éq 6-5
C
où ~
c est entièrement déterminé par le comportement élastique :
-
c
~ =
(~c + ~c ),~c = ~ ,~c
33
11
22
11
11
22 = ~
-
22
1
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0 0 0
et ~
y = 0 0 0 est inconnu. On suppose également que =
=
=
= 0 .
13
23 13 23
0 0 Y
On a toujours :
~
p
3
- X
= p
éq 6-6
2
(~ - X)eq
F =
R p
0
p
0
p
0
éq
6-7
eq -
( )
F
=
Essai élastique :
· Si
F = e - R( -
s
p
0
éq 6-8
eq
)
alors
~
~
= se , p = 0, Y = 0 éq 6-9
K
H =
-
tr
th
- H + K
( c -
) éq
6-10
K
· Sinon, la solution est plastique : p > 0 , Y 0. On peut encore se ramener à un problème
scalaire en p .
En tenant compte de [éq 6-5] et [éq 6-6], on constate que ~
- X est colinéaire à ~
~
s e + 2µ
y car :
3
(2µ +C) p
(~ - X) + 2
= (~ - X)H( p
) = [~
~
s e
1
+ 2µ y] éq 6-11
R( p)
Donc :
(~
e
4
-
X
H p
=
éq
6-12
33 +
Y
33
33 )
( ) ~s
µ
3
Nous allons exprimer l'équation [éq 6-12] en fonction de p seulement. D'après [éq 6-4] :
K
= 0 ~
~
=
+
=
+ K Y
-
, avec H
H
c
=
tr
th
-
+ K
-
éq
6-13
e
(
)
e
+ .
33
33
33
K
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/02/004/A
Code_Aster ®
Version
5.7
Titre :
Ecrouissage mixte cinématique linéaire et isotrope non linéaire
Date :
30/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, E. LORENTZ Clé
:
R5.03.16-C Page
: 12/14
En utilisant [éq 6-5], [éq 6-6] et l'incompressibilité des déformations plastiques, on peut montrer que :
~
C
s e +
= -
X -
éq 6-14
33
e
C-
33
Alors :
~
~
C
= s e
éq 6-15
33 - K.
Y +
-
33
X
-
C
33
Comme d'après [éq 6-3] :
C
C
3
~
-
-
- X
X =
X
.
.
-
+ C
p =
X
-
+ C
p 33
33
éq
6-16
33
C
33
33
C
33
2
R( p)
C
3
~
3
p
X .G
-
33
=
G p
= 1+ C
-
+
, avec ( )
éq 6-17
33
( p)
X 33
C p
C
2
R( p)
2
R( p)
A partir de [éq 6-12], [éq 6-15], [éq 6-17], on obtient une équation liant p et Y :
4
H(p)
H
~
(p)
Y. µ + K
= s e
-1 éq
6-18
3
G(p)
33
G
(p)
L'équation [éq 6-11] permet d'obtenir l'équation scalaire en p à résoudre, à savoir :
(~ - ) H( p
) = R( -
X
p + p
)H( p
) = [~
~
s e
y
2
µ
éq
6-19
eq
+
]eq
Equation dans laquelle Y est fonction de p par l'équation [éq 6-18].
Comme dans le cas de l'écrouissage isotrope, on obtient une équation scalaire en p , toujours non
linéaire, qui est résolue par une méthode de sécante.
Une fois p connu, le calcul de ~
et X s'effectue à partir de l'expression de Y , donc de
entièrement connu, par une démarche semblable à celle de l'équation [éq 3-10].
~e
~ y
~
p
3
s + 2
µ
3
- X
= p
p
éq
6-20
2
(
=
~e
s + 2
µ ~ y )
2
H(p) ~
~ y
µ
eq
( es +2 )eq
~
µ ~
=
- +
-
2µ ( ~
-
p ) éq 6-21
µ
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HT-66/02/004/A
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Version
5.7
Titre :
Ecrouissage mixte cinématique linéaire et isotrope non linéaire
Date :
30/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, E. LORENTZ Clé
:
R5.03.16-C Page
: 13/14
On obtient en éliminant p à partir de [éq 6-6], [éq 6-3] et [éq 6-2] :
~
µ ~
G p
-
~
( ) 3
p
C
=
-
2µ
2µ
X
- +
+
éq
6-22
µ
H(p) 2
R( p)H(p) -
C
3
p
µ
3
p
~
~
C
X = C
2
µ
1
C
éq 6-23
2
R( p)H( p
)
-
-
-
+
+ -
µ
2
R( p)H( p
)
X
-
C
7
Signification des variables internes
Les variables internes du modèle aux points de Gauss (VARI_ELGA) sont pour toutes les
modélisations :
· VARI_1 = p : la déformation plastique cumulée (positive ou nulle)
· VARI_2 = : valant 1 si le point de Gauss a plastifié au cours de l'incrément ou 0 sinon.
X : tenseur de rappel :
Pour la modélisation 3D :
· VARI_3 = X
11
· VARI_4 = X
22
· VARI_5 = X
33
· VARI_6 = X
12
· VARI_7 = X
13
· VARI_8 = X
23
Pour les modélisations D_PLAN, C_PLAN, AXIS
· VARI_3 = X
11
· VARI_4 = X
22
· VARI_5 = X
33
· VARI_6 = X
12
Pour les modélisations de coques (DKT, COQUE_3D), en repère local et en chaque point d'intégration
de chaque couche :
· VARI_3 = X
11
· VARI_4 = X
22
· VARI_5 = X
33
· VARI_6 = X
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Auteur(s) :
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:
R5.03.16-C Page
: 14/14
8 Bibliographie
[1]
J. LEMAITRE, J.L. CHABOCHE : "Mécanique des matériaux solides". Dunod 1992
Manuel de Référence
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