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7.4

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Calcul de sensibilité en mécanique


Date :
19/04/05
Auteur(s) :
N. TARDIEU Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
Document : R4.03.03





Calcul de sensibilité en mécanique



Résumé

Classiquement, les simulations numériques fournissent la réponse d'un système à une sollicitation. Il apparaît
actuellement une évolution importante visant à fournir en plus de cette réponse la tendance de la réponse à
une modification de paramètres d'entrée de la simulation (matériau, chargement, géométrie, ...). Ces
tendances sont obtenues en calculant la dérivée de la réponse par rapport à des paramètres donnés.

L'objet de cette note est donc la détermination de la sensibilité des résultats d'un calcul de mécanique des
solides à différentes données d'entrée par la méthode de différentiation directe. Ces données d'entrée sont les
données matériau et les chargements. En outre seront détaillés les cas de calculs linéaires (opérateur
MECA_STATIQUE) et non linéaires (opérateurs STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE).
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Sensibilité aux données matériaux........................................................................................................4
2.1 Le problème direct ...........................................................................................................................4
2.2 Le calcul dérivé................................................................................................................................5
2.2.1 Préliminaires...........................................................................................................................5
2.2.2 Dérivation de l'équilibre ..........................................................................................................6
2.2.3 Calcul de la dérivée de la loi de comportement .....................................................................7
2.2.3.1 Cas de l'élasticité linéaire ..........................................................................................7
2.2.3.2 Cas de l'élastoplasticité à écrouissage isotrope linéaire ...........................................7
2.2.3.3 Calcul de la dérivée du déplacement.......................................................................10
2.2.3.4 Calcul de la dérivée des autres grandeurs ..............................................................10
2.2.3.5 Synthèse ..................................................................................................................11
2.3 Implantation informatique ..............................................................................................................11
3 Sensibilité au chargement ...................................................................................................................12
3.1 Le problème direct : expression du chargement ...........................................................................12
3.2 Le problème dérivé ........................................................................................................................12

3.2.1 Dérivation de l'équilibre ........................................................................................................12
3.2.2 Calcul de la dérivée de la loi de comportement ...................................................................13
3.2.2.1 Cas de l'élasticité linéaire ........................................................................................13
3.2.2.2 Cas de l'élastoplasticité à écrouissage isotrope linéaire .........................................14
3.2.2.3 Calcul de la dérivée du déplacement.......................................................................15
3.2.2.4 Calcul de la dérivée des autres grandeurs ..............................................................15
3.2.2.5 Synthèse ..................................................................................................................16
3.3 Implantation informatique ..............................................................................................................17
4 Disponibilités au sein du Code_Aster..................................................................................................18
5 Références...........................................................................................................................................18


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1 Introduction

Classiquement, les simulations numériques fournissent la réponse d'un système à une sollicitation. Il
apparaît actuellement une évolution importante visant à fournir en plus de cette réponse la tendance
de la réponse à une modification de paramètres d'entrée de la simulation (matériau, chargement,
géométrie, ...). Les applications possibles sont importantes :

·
calculs probabilistes liés à l'existence d'une incertitude sur la valeur d'un paramètre,
·
problèmes inverses, recalage, optimisation pour lesquels la connaissance de la dérivée d'un
champ peut être capitale en terme d'efficacité,
·
fiabilité des études (quel crédit apporter à une simulation où la réponse du système peut
varier fortement suite à une petite variation d'un paramètre ?).

Ces tendances sont généralement obtenues en calculant la dérivée de la réponse, ce qui peut se faire
de différentes manières : différences finies, différentiation directe ou méthode de l'état adjoint. Les
différences finies sont à exclure de par leur faible précision et leur coût numérique important. La
méthode de l'état adjoint, quoique performante et précise, nécessite des développements particuliers à
chaque étude et elle ne sera pas retenue. Nous nous concentrerons donc ici sur la méthode de
différentiation directe, performante, précise, générale et très adaptée aux calculs non linéaires.

L'objet de cette note est donc la détermination de la sensibilité des résultats d'un calcul de mécanique
des solides à différentes données d'entrée par la méthode de différentiation directe. Ces données
d'entrée seront les données matériau et les chargements.

En outre, le choix a été fait de réaliser notre raisonnement sur les équations du problème mécanique
discrétisé. Ce choix nous semble important dans la mesure où il assure la cohérence du calcul dérivé
par rapport au calcul direct. Nous insistons sur le fait que cette cohérence est indispensable à la
précision des résultats obtenus.

Enfin, nous traiterons deux cas modèles dans le cadre du calcul de sensibilité de problèmes linéaires
et non linéaires : l'élasticité linéaire et la plasticité de Von Mises à écrouissage isotrope linéaire. Le but
de ces exemples est de bien expliciter la différence de nature des problèmes dérivés dans les deux
cas précédents. Dans le cas linéaire, le problème dérivé est très semblable au problème direct dans
la mesure où seul le second membre des équations est modifié. Dans le cas non linéaire, le problème
dérivé est sensiblement différent du problème direct : le second membre mais aussi la loi de
comportement sont modifiés. Néanmoins, dans ces deux cas, le problème dérivé conserve une
propriété extrêmement intéressante dans la mesure où il consiste en une suite de problèmes linéaires
dont les matrices ont déjà été calculées et factorisées (dans le cas de l'utilisation de solveurs directes).

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2
Sensibilité aux données matériaux

2.1
Le problème direct

Nous nous plaçons dans cette partie dans le cadre de la résolution de calculs non-linéaires. Nous
utilisons les notations de [bib1] et renvoyons à la lecture de ce document pour toute précision sur la
technique de résolution abordée dans la suite.
Dans le Code_Aster, tout calcul statique non-linéaire est résolu incrémentalement. Il nécessite donc à
chaque pas de charge i ,
1
{ I} la résolution du système d'équation non-linéaire :


R u
( , ) + t
B
= L

i ti
i
i
éq
2.1-1


Bu
=
d
i
ui

avec
(R(u , t )) =
i
i
k
(u ):(w )
d
éq
2.1-2

i
k

·
wk est la fonction de forme du kième degré de liberté de la structure modélisée,
·
(R(u , ))
i ti
est le vecteur des forces nodales.

La résolution de ce système se fait par la méthode de Newton-Raphson :


n
K n+1
u
+ t
B n+1

= L - R( n
u , t ) + t n
B
i
i
i
i
i
i
i éq
2.1-3

n+

B
1

=
0
i

R


n
K i =
est la matrice tangente au pas de charge i et à l'itération de Newton n .
u
( n
u ,t )
i i

La solution est donc donnée par :

N
u
= u
+
n
i
i-1
u

i

n=0


N

=
+
n
i
i-1


i

n=0

avec N , le nombre d'itérations de Newton qui a été nécessaire pour atteindre la convergence.
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2.2
Le calcul dérivé

2.2.1 Préliminaires

Dans le cadre du calcul de sensibilité, il est nécessaire d'insister sur les dépendances d'une grandeur
par rapport aux autres. Nous allons ainsi expliciter que les résultats du calcul précédent dépendent
d'un paramètre donné (module d'Young, limite d'élasticité, masse volumique, ...) et cela de la
manière suivante :

u =
()
i
ui
, =
()
i
i
.

Mais cela n'est pas suffisant. Aussi nous plaçons-nous dans le cadre d'un calcul incrémental avec loi
de comportement non linéaire élastoplastique à écrouissage isotrope linéaire [bib2]. Si l'on considère
les inter-dépendances des paramètres à un niveau algorithmique, on peut écrire [bib3] :

R = R(
(), p
(), u())
i 1
-
i 1
-


=
() + (
(), p (), u(),)
i
i 1
-
i 1
-
i 1
-


p = p () + p(
(), p (), u(),)
i
i 1
-
i 1
-
i 1
-


u
est l'incrément de déplacement à convergence au pas de charge i .

Précisons le sens des notations que nous utiliserons pour les dérivées :

X

·
désigne la dérivée partielle explicite de X par rapport à Y ,
Y

·
X ,Y désigne la variation totale de X par rapport à Y .
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2.2.2 Dérivation de l'équilibre

Compte tenu des remarques précédentes, exprimons la variation totale de [éq 2.1-1] par rapport à :

R
R
R
R

+
u, +
, +
p , +Bt ,
= 0





u

i-1


i-1
i
i-1
p
éq
2.2.2-1
i-

1

Bu,
=

0

R
Remarquons qu'ici
= 0 : R ne dépend pas explicitement de mais implicitement comme nous


le verrons en détail dans la suite.

Soit :


K N u, +Bt ,
= - R,
i

i
uu()
éq
2.2.2-2


Bu,
=

0



·
N
K i est la dernière matrice tangente utilisée pour atteindre la convergence dans les
itérations de Newton,
·
R,
est la variation totale de R , sans tenir compte de la dépendance de u
par
uu()
rapport à .

Le problème réside maintenant dans le calcul de R,
.
uu()

Remarque :

R
u
( , t )
Dans [éq 2.2.2-2], on a utilisé le fait que K N =
i
i
i
alors que dans [éq 2.1-3] on l'a
u


R
u
( , t )
défini par
N
i
i
K i =
. On a bien équivalence de ces deux définitions dans la mesure
N
u
i
u = u
+ u

i
i-1
et que R dépend effectivement de u
(et aussi bien sûr de i 1
- et
pi 1
- ).

Remarque :

Si on dérive par rapport à directement [éq 2.1-3], on trouve
n 1
+
n
u
t
n
n 1
K =
+ B , = -R,
+
/ uu / -K ,

u
. Ce qui est la même chose


u
à convergence et fait apparaître que l'erreur sur
dépend de
-1
K K, .





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2.2.3 Calcul de la dérivée de la loi de comportement

Dans la suite, par souci de clarté, nous abandonnerons les indices i = 1 .
D'après [éq 2.1-2], on peut réécrire R,
sous la forme :
uu()

R,
=
, +,
: (w

d


éq
2.2.3-1
uu()
(
uu( ) )


k )

On doit donc calculer ,
. Pour ce faire, nous allons utiliser les expressions qui
uu()
interviennent dans l'intégration numérique de la loi de comportement.

2.2.3.1 Cas de l'élasticité linéaire

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, la loi de comportement s'exprime par :

~ = µ ~
2 .(u)


Tr() = 3K.Tr((u))

ou bien :

= 2µ ~
. ( u
) + K.Tr
( ( u

Id
)). éq
2.2.3.1-1

Id est le tenseur identité d'ordre 2.

Alors, en calculant la variation totale de [éq 2.2.3.1-1] par rapport à , on obtient :


, = 2µ, ~
. ( u
) + K, .Tr
( ( u

Id
)). + 2µ ~
. ( u
, ) + K.Tr
( ( u
,
Id
)).





éq
2.2.3.1-2

Soit :

, |
= 2 ,
µ
~
. ( u
) + K, .Tr
( ( u

Id

u
u
)).
()




2.2.3.2 Cas de l'élastoplasticité à écrouissage isotrope linéaire

La loi de comportement élastoplastique à écrouissage isotrope linéaire s'écrit :


~
3
+ ~

(u) - S : =
p

2
( + )eq

( + )

R'.( p + p)
eq

S est le tenseur des souplesses élastiques et R' est la pente d'écrouissage définie par :

E.ET
R' =



E - ET

T
E




E



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En termes numériques, cette loi de comportement est intégrée à l'aide d'un algorithme de retour
radial : on fait une prédiction élastique (notée
e
) que l'on corrige si le seuil est violé. Avec les
notations de [bib4], on écrit donc :


e - y - R'. p
~
=
µ ~
2 .(u) - µ
3 eq
~e


(R +
' µ).
3
e

eq
Tr() =
3K.Tr((u))
éq
2.2.3.2-1

e - y - R'. p
p
=
eq

R +
' µ

3


Nous allons distinguer deux cas.

1er cas : p = 0
Ce qui revient à dire que lors du présent pas de charge, le point de Gauss considéré n'a pas vu
d'accroissement de sa plastification. On se retrouve alors dans le cas de l'élasticité linéaire :


,
= 2µ, ~
. ( u
) + K, .

( ( u

Id
)).

Tr

u
u()



2eme cas : p > 0
Compte tenu des dépendances entre variables dans [éq 2.2.3.2-1], on peut écrire :












,
=
+
, +
p, +
(u, )










p
(

u)

éq 2.2.3.2-2


p

p

p



p
p,
=
+
, +
p, +
(u),









p
(u)

En outre, en accord avec l'intégration algorithmique de la loi, nous allons séparer parties déviatorique
et hydrostatique.



~
1 Tr()
,
=
+


Id
uu()



3


~



1 Tr(
+


, +
) Id,




3





~
1 Tr()


+
p, +
Id

p,

p
3
p


p

p

p
p,
=
+
, +



p,

uu()



p
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Et donc, on calcule :






eeq

y
R'
e
y
~
-
-



µ
2
µ
3
- -
p
eq
R'. p
~
~ e






=
(u) -

- µ
3
~e







(R +
' µ).e
3
(R +
' µ).e
eq
3
eq
e - y - R'. p
eq
R' µ
3

e

e
eq
+
µ
3

+
+ (R +
' µ)
3
~e

2


((R +
' µ).
3
)



eq
e



eq


e - y - '.
~
eq
R p e
-
µ
3

(R +
' µ).e
3


eq

Tr(
) 3
=
K Tr(( u
))














e
y
e
e
y

~

- µ
3
- - R'. p

- -

eq

R'. p
=
1-

eq ~e - µ
3 eq
J


e

e

(R +
' µ).
3



(R +
' µ).e
eq
eq

3
eq

J est l'opérateur déviatorique défini par : J
~
:
=

Tr() = 0



p



~
3 R
µ. '
~ e
=

e
p

(R' 3
+ µ).eq

Tr() = 0
p

p,

On utilise le fait que :
y
eq = R'.(p + p
) +


~
~
~
~
y
1 3 (, +, ) : ( +


) R'



p, +p, =



(
)

R'
-
p + p -
2






eq


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Remarque :

Dans ces calculs ont été ou doivent être utilisés les résultats suivants :

µ
2
~
~
~
~

(
(u)) : ( + µ.
2 (
e

e
u
~


))
=

3
( u
)
eq



=





e


2
eq
Tenseur d'ordre 2
Scalaire

e
~e



eq = 3
~e
e

2
= J
eq


Tenseur d'ordre 2
Tenseur d'ordre 4


2.2.3.3 Calcul de la dérivée du déplacement

Une fois ,
R,

calculé, on peut constituer le second membre
en utilisant
uu()
uu()
[éq 2.2.3-1]. On résout alors le système [éq 2.2.2-2] et l'on obtient l'incrément de déplacement dérivé
par rapport à .


2.2.3.4 Calcul de la dérivée des autres grandeurs

Maintenant que l'on dispose de u, , on doit calculer la dérivée des autres grandeurs. On sépare
encore deux cas :

Elasticité linéaire
D'après [éq 2.2.3.2-1], on calcule comme suit la dérivée de l'incrément de contrainte :


, =
,
+ 2µ ~
. ( u
, ) + K.Tr
( ( u
,
Id
)).



u
u
()



L'incrément de déformation plastique cumulée, quant à lui, ne voit pas d'évolution :

p, = 0




Elastoplasticité à écrouissage isotrope linéaire
Si p = 0 , on retrouve le cas précédent.
Sinon, on obtient d'après [éq 2.2.3.2-2] :




, = ,
+
: (u, )



uu( )
(u)



Et pour la déformation plastique cumulée :


~
~
~
~
y
1 3 (, +, ) : ( +


) R'



p, +p, =



(
)

R'
-
p + p -
2






eq



Une fois que tous ces calculs sont terminés, on réactualise toutes les grandeurs dérivées et on passe
au pas de charge suivant.
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2.2.3.5 Synthèse

Pour résumer les paragraphes précédents, on représente les différentes étapes du calcul par le
diagramme suivant :



Convergence du pas de
Calcul des termes
Assemblage de

charge n du calcul direct
,

R,


uu()
uu()






Passage au pas
Calcul de
Résolution du système

[éq 2.2.2-2]
de charge n + 1
, et p,

u,




2.3 Implantation
informatique

Pour chaque élément fini du Code_Aster, il est nécessaire de créer deux nouvelles options de calculs
pour permettre les calculs ci-dessus :

·
pour le calcul de ,
,
uu()
·
pour le calcul de , et p, .

Le calcul dérivé est piloté par une routine qui lance les calculs élémentaires de ,
,
uu()
réalise l'assemblage de ces termes pour créer le second membre, résout le système linéaire
[éq 2.2.2-2], puis lance le calcul de , et p, . Cette routine est appelée par OP0070 après que
la convergence a été détectée.

Remarque :

Pour l'utilisateur, l'enchaînement des différents calculs sera transparent. La définition des
variables sensibles se fera suivant le schéma [bib5] :
...
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur du paramètre > )
mate = DEFI_MATERIAU ( VMIS_ISOT_LINE = _F ( SY = v ), ...)
chmat = AFFE_MATERIAU ( AFFE = _F ( GROUP_MA = < groupe(s) >,
MATER
=
mate
))
...
resu = STAT_NON_LINE ( CHAM_MATER = chmat ,
SENSIBILITE
=
(
v ),






...)
...

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3
Sensibilité au chargement

3.1
Le problème direct : expression du chargement

Jusqu'à maintenant nous avons exprimé le problème direct sous la forme :


R u
( , ) + t
B
= L

i ti
i
i
éq
3.1-1


Bu
=
d
i
ui

Les chargements sont rassemblés au second membre et comprennent les forces imposées Li et les
déplacements imposés d
ui .
Supposons que le chargement en force imposée Li dépende d'un paramètre scalaire de la
manière suivante :

L ( )
1
2
= L + L ()
i
i
i
éq
3.1-2


·
1
Li est un vecteur indépendant de ,
·
2
Li dépend linéairement de .

On désire calculer la sensibilité des résultats du calcul direct à une variation du paramètre .


3.2
Le problème dérivé

3.2.1 Dérivation de l'équilibre

Comme dans le chapitre précédent, en tenant compte des dépendances entre les différents champs,
on dérive l'équilibre [éq 3.1-1] par rapport :

R
R
R
R

+
u, +
, +
p , + t
B ,
=
2
L )
1
(





u

i-1


i-1
i
i
p
éq
3.2.1-1
i-1
i-

1

Bu,
= - Bu

i- ,
1

On a utilisé le fait que 2
Li dépend linéairement de .

Soit :


N
K u, + t
B ,
=
2
L )
1
( - R,
i

i
i
uu()


Bu,
=
- Bu

i- ,
1
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·
N
K i est la dernière matrice tangente utilisée pour atteindre la convergence dans les
itérations de Newton,
·
R,


est la variation totale de R , sans tenir compte de la dépendance de u par
uu()
rapport à .

Le problème réside comme précédemment dans le calcul de R,
.
uu()

Remarque :

Si on cherche à calculer la sensibilité par rapport au chargement de Dirichlet, le système à
résoudre devient :


N
K u, + t
B ,
=
- R,
i

i
uu()

d

Bu,
=
2
u
)
1
( - Bu

i
i- ,
1
d
2
u est la partie du chargement de Dirichlet qui dépend linéairement de .
i


3.2.2 Calcul de la dérivée de la loi de comportement

D'après [éq 2.1-2], on peut réécrire R,
sous la forme :
uu()

R,
=
, +,
: (w

d

éq
3.2.2-1
uu()
(
uu( ) )


k )

Pour ce faire, nous allons utiliser les expressions qui interviennent dans l'intégration numérique de la
loi de comportement pour calculer ,
.
uu()


3.2.2.1 Cas de l'élasticité linéaire

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, la loi de comportement s'exprime par :


= 2µ ~
. ( u
) + K.Tr
( ( u

Id
)). éq
3.2.2.1-1
Id est le tenseur identité d'ordre 2.

Alors, en calculant la variation totale de [éq 3.2.2.1-1] par rapport à , on obtient :


, = 2 ,
µ ~
. ( u
) + K, .Tr
( ( u

Id
)). + 2µ ~
. ( u
, ) + K.Tr
( ( u
,
Id
)).





éq 3.2.2.1-2
= .
0
+ .
0
+ 2µ ~
. ( u
, ) + K.Tr
( ( u
,
Id
)).



Soit :
,
= 0.


uu()
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Calcul de sensibilité en mécanique


Date :
19/04/05
Auteur(s) :
N. TARDIEU Clé
:
R4.03.03-B Page
: 14/18


3.2.2.2 Cas de l'élastoplasticité à écrouissage isotrope linéaire

Comme précédemment, nous allons distinguer deux cas.

1er cas : p = 0
Ce qui revient à dire que lors du présent pas de charge, le point de Gauss considéré n'a pas vu
d'accroissement de sa plastification. On se retrouve alors dans le cas de l'élasticité linéaire :

,
= 0.


uu()

2eme cas : p > 0
Compte tenu des dépendances entre variables, on peut écrire :












,
=
+
, +
p, +
(u, )










p
(

u)




p

p

p



p
p,
=
+
, +
p, +
(u),









p
(u)

En outre, en accord avec l'intégration algorithmique de la loi, nous allons séparer parties déviatorique
et hydrostatique.



~
1 Tr()
,
=
+


Id
uu()



3


~



1 Tr(
+


, +
) Id,




3





~
1 Tr()


+
p, +
Id

p,

p
3
p


p

p

p
p,
=
+
, +



p,

uu()



p

Et donc, on calcule :






Dans la mesure où l'on n'a pas de dépendance explicite de par rapport à , on obtient :

~

= 0.


Tr() = .0









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e
y
e
e
y

~

- µ
3
- - R'. p

- -

eq

R'. p
=
1-

eq ~e - µ
3 eq
J


(R +
' 3 e
e

µ).



(R +
' µ).e
eq
eq

3
eq

J est l'opérateur déviatorique.

Tr() = 0



p



~
3µ.R'
~ e
=

e
p

(R' 3
+ µ).eq

Tr() = 0
p
p,

On utilise le fait que :
y
eq = R'.(p + p
) +

~
1 3 (, +~
~
, ) : ( + ~
)
p, + p
, =






R' 2
eq


3.2.2.3 Calcul de la dérivée du déplacement

Une fois ,
R,

calculé, on peut constituer le second membre
. On résout
uu()
uu()
alors le système [éq 3.2.1-1] et l'on obtient l'incrément de déplacement dérivé par rapport à .


3.2.2.4 Calcul de la dérivée des autres grandeurs

Maintenant que l'on dispose de u, , on doit calculer la dérivée des autres grandeurs. On sépare
encore deux cas :

Elasticité linéaire
D'après [éq 3.2.2.1-1], on calcule comme suit la dérivée de l'incrément de contrainte :


, = .
0 + 2µ ~
. ( u
, ) + K.Tr
( ( u
,
Id
)).




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L'incrément de déformation plastique cumulée, quant à lui, ne voit pas d'évolution :

p, = 0



Elastoplasticité à écrouissage isotrope linéaire
Si p = 0 , on retrouve le cas précédent.
Sinon, on obtient :




, = ,
+
: (u, )



uu( )
(u)


Et pour la déformation plastique cumulée :

~
1 3 (, +~
~
, ) : ( + ~
)
p, + p
, =






R' 2
eq

Une fois que tous ces calculs sont terminés, on réactualise toutes les grandeurs dérivées et on passe
au pas de charge suivant.


3.2.2.5 Synthèse

Pour résumer les paragraphes précédents, on représente les différentes étapes du calcul par le
diagramme suivant :



Convergence du pas de

Calcul des termes
Assemblage de
charge n du calcul direct

,
R,



uu()
uu()







Passage au pas
Calcul de
Résolution du système

[éq 3.2.1-1]
de charge n + 1



, et p,
u,



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3.3 Implantation
informatique

L'implantation informatique est en tout point semblable à la précédente dans la mesure où l'on ajoute
les deux options :

·
pour le calcul de ,
,
uu()
·
pour le calcul de , et p, .

Remarquons que l'organisation du calcul des chargements (où toutes les contributions sont sommées
dans un seul vecteur) oblige à la réévaluation de la force par rapport à laquelle on calcule les
sensibilités.


Remarque :

La définition des variables sensibles se fera comme précédemment :
...
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur du paramètre > )
force = AFFE_CHAR_MECA (
PRES_REP=_F( GROUP_MA=< groupe(s) >,
PRES=
v ), ...)
...
resu = STAT_NON_LINE ( EXCIT = force ,
SENSIBILITE
=
(
v ),





...)
...

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4
Disponibilités au sein du Code_Aster

Le tableau suivant récapitule les dérivées disponibles dans Code_Aster. Il est mis à jour au fur et à
mesure des développements des dérivés.


Mécanique linéaire (opérateur
Mécanique non linéaire
MECA_STATIQUE)
(opérateurs STAT_NON_LINE
et DYNA_NON_LINE)
Sensibilité aux données
matériaux en élasticité

Tous les éléments milieux continus
Non
linéaire isotrope

Sensibilité aux données
matériaux en élasticité

Tous les éléments milieux continus
Non
linéaire orthotrope

Sensibilité aux données
matériaux en élasticité

Tous les éléments milieux continus
Non
linéaire isotrope transverse

Sensibilité aux

·
forces nodales
chargements
·
force répartie volumique en 3D
·
force répartie surfacique en 3D
·
force répartie linéique en 3D
·
force répartie surfacique en 2D
·
force répartie linéique en 2D
·
force répartie linéique en 1D
Non
·
force répartie pour les coques
"2D"
·
force répartie pour les coques
"3D"
·
pression répartie

Sans restriction d'éléments finis.



5 Références

[1]
Algorithme non linéaire quasi-statique, Documentation de Référence du Code_Aster
[R5.03.01]
[2]
Tangent Operators and Design Sensitivity Formulations for Transient Nonlinear Coupled
Problems with Applications to Elastoplasticity, P. Michaleris et al., Int. J. Num. Meth. Eng.
1994
[3]
Parameter Sensitivity in Nonlinear Mechanics, M.Kleiber et al., Wiley 1997
[4]
Intégration Numérique des Relations de Comportement Elastoplastique, Documentation de
Référence du Code_Aster [R5.03.02]
[5]
Impact des calculs d'incertitudes sur l'architecture d'Aster, G.Nicolas, J.Pellet, Note
HI-72/01/009/A

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