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Version
3
Titre :
Couplage Fluide - Structure avec Surface Libre
Date :
29/09/95
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU, Fe WAECKEL
Clé :
R4.02.04-A
Page :
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Organisme(s) : EDF/EP/AMV
Manuel de Référence
Fascicule R4.02 : Acoustique
Document : R4.02.04
Couplage Fluide - Structure avec Surface Libre
Résumé :
On présente ici le couplage fluide / structure dans le cas où le fluide présente une surface libre. Des éléments
de surface libre ont été implantés dans le Code_Aster pour calculer les modes de ballotement d'un fluide couplé
à une structure élastique pour un problème tridimensionnel.
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Table des matières
1 Notations ................................................................................................................................................ 2
2 Introduction ............................................................................................................................................ 2
3 Formulation théorique du problème ....................................................................................................... 3
3.1 Rappels sur le couplage fluide-structure ......................................................................................... 3
3.1.1 Description du fluide............................................................................................................... 3
3.1.2 Description de la structure...................................................................................................... 4
3.1.3 Description de l'interface fluide-structure ............................................................................... 4
3.1.3.1 Formulation du problème couplé ............................................................................... 4
3.2 Action de la pesanteur sur la surface libre ...................................................................................... 5
3.2.1 Formulation du problème ....................................................................................................... 5
3.2.2 Discrétisation par éléments finis ............................................................................................ 7
3.2.3 Introduction d'une variable supplémentaire............................................................................ 8
4 Implantation dans le Code_Aster........................................................................................................... 9
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 10
1 Notations
P
:
la pression stationnaire dans le fluide
p
:
la pression fluctuante dans le fluide,
X
:
les déplacements dans le fluide,
f
X
:
le champ des déplacements dans la structure,
s
g
:
la gravité,
:
le potentiel des déplacements du fluide,
f ,s : la masse volumique du fluide, de la structure,
T
:
le tenseur des contraintes dans le fluide,
:
le tenseur des contraintes dans la structure,
:
le tenseur des déformations dans la structure,
C
:
le tenseur d'élasticité,
c
:
la célérité du son dans le fluide,
H
:
la hauteur du fluide (ou hauteur moyenne),
n
:
la normale extérieure du fluide.
2 Introduction
Afin d'étudier le comportement de structures remplies de fluide, on peut être conduit à prendre en
compte les phénomènes de ballottement c'est-à-dire ajouter au système couplé fluide-structure, l'effet
de la pesanteur au niveau de la surface libre du liquide. Les structures concernées sont, par exemple,
les cuves de centrales nucléaires de la filière rapide, les piscines de stockage du combustible [bib4].
On a donc complété les développements déjà réalisés en couplage fluide-structure [bib3] par
l'introduction de nouveaux éléments surfaciques qui prennent en compte, dans leur formulation, l'effet
de la pesanteur.
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Formulation théorique du problème
Le problème d'interaction structure-fluide pesant revient à résoudre simultanément trois problèmes :
· la structure est soumise à un champ de pression P imposé par le fluide sur la paroi ;
· le fluide est soumis à un champ de déplacement Xs imposé par la structure sur ;
· la pesanteur agit sur la surface libre où p = g z .
On considérera dans un premier temps que le fluide est non pesant avant d'introduire la gravité au
paragraphe [§3.2].
3.1
Rappels sur le couplage fluide-structure
Afin de bien rendre compte de l'interaction fluide-structure, nous allons analyser séparément les
équations régissant le comportement du fluide et celles qui régissent celui de la structure, sans
considérer dans ce chapitre les conditions aux limites concernant la surface libre.
3.1.1 Description du fluide
On considère que le système étudié est soumis à de petites perturbations autour de son état d'équilibre
où le fluide et la structure sont au repos : ainsi, P = p0 + p et X = x (x
s
s
0 = )
0 . Ce qui permet
d'écrire [bib2] :
= -
2
f div (x ) d' ou p
f
= - f c div(x )
f .
Avec :
·
p la pression fluctuante du fluide,
·
la perturbation de masse volumique du fluide, f la masse volumique du fluide au repos,
·
x ( ,
f r t) le champ de déplacement d'une particule de fluide.
Le fluide est :
· parfait (c'est-à-dire non visqueux)
· barotrope
:
p = c2
éq 3.1.1-1
2
·
et irrotationnel : il existe un potentiel des déplacements , tel que p = f t2
Le comportement du volume de fluide eulérien est donc décrit par les équations suivantes :
· loi de comportement :
T = - p
ij
ij
· équation de conservation de la quantité de mouvement dans le fluide en l'absence de source :
2
x
div(T)
f
= f
2
éq 3.1.1-2
t
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· équation de la conservation de la masse :
xs
+
div
0
éq 3.1.1-3
t
f
t =
En combinant les équations de conservation de la quantité de mouvement [éq 3.1.1-2] et de la masse
[éq 3.1.1-3] écrites en régime harmonique à la pulsation , on obtient, grâce à [éq 3.1.1-1], l'équation
de Helmholtz :
2
p +
p = 0
c2
3.1.2 Description de la structure
On considère que la structure est élastique linéaire et qu'on reste dans le domaine des petites
perturbations. Compte tenu de ces hypothèses, on écrit :
· la loi de comportement en élasticité linéaire :
ij = ijk
C l kl
· l'équation de conservation de la quantité de mouvement dans la structure en l'absence de
forces volumiques autres que les forces d'inertie :
2 x
div() =
s
s t2
· l'équation de compatibilité sur le tenseur de déformation :
1
kl = (uk l, + lu,k )
2
3.1.3 Description de l'interface fluide-structure
A l'interface () entre le fluide et la structure, comme le fluide n'est pas visqueux, il y a continuité des
contraintes normales et des vitesses normales à la paroi, et nullité de la contrainte tangentielle
(absence de frottement visqueux). Ces conditions aux limites s'écrivent :
ij in = iTj in = - p ij i
n
xf
x
.n =
s .n
t
t
3.1.3.1 Formulation du problème couplé
Finalement, l'équation du problème couplé fluide-structure s'écrit, en prenant p comme variable
décrivant le champ de pression dans le fluide et xs le champ des déplacements dans la structure :
C
x
+ 2 x = 0
dansV
ijkl
s
s
s
s
k ,lj
i
2
p
+
p = 0
dansV
c2
f
n
= C
x
n = - p n
ij i
ijkl
s
i
ij i
sur
k ,l
p
= 2 x n
sur
n
f
f
i
i
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Les champs de déplacements xs pour la structure et de pression p pour le fluide cherchés
minimisent la fonctionnelle :
1
1
1
p2
L(x , p, z)
2
2
2
s
=
2 [
(x )
(x ) -
x
s
s
s ] - p x n d +
2
(grad p)
s
-
2
2 dV
ij
ij
s
c
V
f
V
s
f
3.2
Action de la pesanteur sur la surface libre
3.2.1 Formulation du problème
On rappelle ici les équations dynamiques linéarisées décrivant les petits mouvements d'un fluide
parfait. On choisit une description eulérienne du fluide :
2x
grad P = (
s
g -
)
V
f
t2
dans
f
A l'équilibre la particule de fluide était en M0 et donc : grad P
g
dans V
0 = f
f .
On envisage des mouvements de faible amplitude autour de l'état d'équilibre (c'est l'hypothèse des
petites perturbations) : alors M = M0 + x (M
f
0 , t)
Soient p la fluctuation de pression eulérienne et pL la fluctuation de pression lagrangienne, alors :
(pM,t) = P(M ,t
0 ) - P0 (M0 )
p = P
L
(M,t)- P0 (M0)
Compte tenu de l'hypothèse des petits déplacements :
p
p gradP(M ,t) x (M ,t)
L -
=
o
f
o
= - g x (M ,t)
éq 3.2.1-1
f
f
o
Si on considère le cas d'un fluide pesant présentant une surface libre en contact avec un milieu à
pression constante Patm , on peut écrire, en négligeant les effets de tension superficielle :
P(M, t) = Patm sur la surface libre SL c'est-à-dire : pL = 0. Soit, avec [éq 3.2.1-1],
p = g
f
(x f . )
z
Compte tenu de l'hypothèse des petits mouvements, l'inclinaison instantanée du plan tangent est un
infiniment petit du premier ordre. x . z
f
se confond donc au deuxième ordre près avec l'élévation
verticale h .
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M
h
xf
g
SL o
Mo
SL
P (M ) = P
o
o
atm
Figure 3.2.1-a : approximation sur la surface libre
Ainsi, si on rajoute aux conditions aux limites la condition de pesanteur sur la surface libre, cela revient
à considérer en z = H la condition linéarisée :
p = g z
f
éq
3.2.1-2
Les équations du problème global deviennent :
C
x
+ 2 x = 0
dansV
ijkl
s
s
s
s
k ,lj
i
2
p
+
p = 0
dansV
c2
f
n = C
x
n = - p n
ij i
ijkl
s
i
ij i
sur
k ,l
p
= 2 x n
sur et sur SL
n
f
f
i
i
p = g z
sur SL
f
Pour exprimer la fonctionnelle, on utilise la loi de comportement sur la surface libre. En considérant un
champ de déplacement admissible z on obtient [bib2] :
g z z ds = p z ds
SL
SL
Soit, finalement, la fonctionnelle du système total fluide structure soumis à la pesanteur :
1
1
1
p2
L(x , p, z)
2
2
2
s
=
2 [
(x )
(x ) -
x
ij
s
ij
s
s
s ] - p x .n d +
2
(grad p)
s
-
2
2 dV
c
V
f
V
s
f
1
+
g z2ds - p z ds
2
SL
SL
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Cette prise en compte de la pesanteur implique deux termes supplémentaires dans la fonctionnelle
décrivant le fluide :
1
· un terme d'énergie potentielle liée à la surface libre :
2
g z ds
2 SL
· un terme dû au travail de la pression hydrodynamique dans le déplacement de la surface libre
:
p z ds
SL
Cependant il faut noter que ce n'est pas l'unique effet de la pesanteur puisqu'en tout point de la paroi
s'exerce une pression permanente - g z (ou z est l'altitude du point M considéré : on suppose
que z = 0 au niveau de la surface libre à l'équilibre). Le point M est animé d'un mouvement Xs
infinitésimal, l'élément de surface d varie donc et l'effort dû à la pression permanente aussi. Cet
effort est responsable d'un terme de rigidité supplémentaire s'ajoutant à la rigidité de structure dans le
système. Il pourrait causer un flambage de la structure en annulant la rigidité structurale. Cet effet est
négligeable sur les caractéristiques vibratoires ([bib2], [bib1]), on ne le prend donc pas en compte.
3.2.2 Discrétisation par éléments finis
Pour obtenir la forme discrétisée de la fonctionnelle, on remplace chaque intégrale par une somme
d'intégrales sur chaque élément i du système discrétisé, puis on utilise une approximation par éléments
finis des fonctions inconnues de déplacement et de pression sur chaque élément i [bib18].
Les inconnues sont Xs (u,v, w), p, z , on a alors en posant Ni les fonctions de formes (ou fonctions
d'interpolation nodales sur l'élément i ) :
xs = N u
= D
i
x . n
s
= N u
p(x, y, z) = N p
i
i
= B u
z = N z
si
p = N p
i
où , p , sont les inconnues aux noeuds structures et aux noeuds fluides, et z les inconnues à la
surface libre.
D'où l'expression discrétisée de la fonctionnelle associée au problème :
H
Q
L = ut (K - 2 M) u + pt (
-
) p + zt g K z
t
t
2
2
2
2
f
z
- p M z
z
- p C u
f
f c
avec
K = Nt Bt D B N
i i i i i i
dV
matrice raideur de la structure
i Vi
M = Nt N
i f i i
dV
matrice masse de la structure
i Si
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et
Q = Nt N
t
i
i
i
dV
M = N N
z
i i i
dS
i Vi
i
fl
i
K = Nt N
t
z
Si Si i
dS
M = N N
z
i Si i
dS
i Si
i Si
H = Nt N
i i i
dV
i Vifl
où c est la célérité du son dans le fluide, f la masse volumique du fluide et où Kf correspond à
l'énergie potentielle du fluide, K z à l'énergie potentielle de la surface libre, H à l'énergie cinétique du
fluide, M au couplage fluide-solide et Mz au couplage p - z sur la surface libre.
L'approximation par éléments finis du problème complet conduit alors au système matriciel suivant :
K
- C
0 u
M
0
0
u
Q
2
0
H
0 p - C
M
p
f
2
f
z = 0
c
0 -M K
z
z z
0
0
0
z
La première équation correspond au mouvement de la structure soumise aux forces de pression, la
deuxième à celle du mouvement du fluide couplé à la structure et à la surface libre, la troisième est
l'équation de surface libre.
Cependant le problème écrit de la sorte possède des matrices masse et rigidité non symétriques ce qui
empêche l'utilisation des algorithmes de résolution classiques du Code_Aster.
3.2.3 Introduction d'une variable supplémentaire
Pour rendre le problème symétrique et pouvoir utiliser les méthodes de résolution classiques, on
introduit une variable supplémentaire : le potentiel des déplacements dans le fluide [bib2].
X
2
f = grad c' est - à - dire = p
Cette inconnue supplémentaire est liée aux inconnues du problème, ce qui conduit à une matrice de
rigidité singulière.
On reformule le problème couplé structure-fluide pesant :
C
x
+ 2 x = 0
dansV
ijkl
s
s
s
s
k ,lj
i
2
+
p = 0
dansV
c2
f
f
p = 2
dansV
f
f
n = C x n = - 2 n
ij i
ijkl
s
i
f
ij i
sur
k ,l
= x n
sur
n
f
i
i
p = g z
sur SL
f
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Ce qui conduit à la fonctionnelle du système couplé :
1
1
p2
1
L(x , p,, z)
2
2
2
s
= 2 [ (x ) (x )- x
ij
s
ij
s
s
s ] +
dV +
g z ds
2 2
2
c
V
V
SL
s
f
f
p
2
2
- x n d + z ds +
(grad)
f
s
+ 2 dV
f
2
c
SL
V
f
Soit en discrétisant :
1
L = t (K - 2 M) +
t
p Q p +
t
g z K z
2
f
z
f c
f
1
- 2 2
t H + f t C + f t M z
z
+
t
p Q
2
2
c
Ce qui s'écrit, sous forme matricielle :
M
0
C
0
K
0
0
0
f
Q
Q
0
0
0
0
0
0
2
2
c
p
p
2
c
f
-
Qt
= 0
0
0
0
0
Ct
f
H
f
M
2
f
z
0
0
0 g K z
c
z
f
z
0
0
Mt
f
z
0
4
Implantation dans le Code_Aster
La bibliothèque des éléments finis du Code_Aster a été enrichie de cinq éléments surfaciques
isoparamétriques ayant comme degrés de liberté la déflexion de la surface libre et le potentiel des
déplacements du fluide à la surface libre. Ils sont compatibles avec les élments 3D qui traitent le
problème de couplage fluide/structure [bib3]
On nomme :
MEFP_FACE3 et MEFP_FACE6 respectivement les triangles à 3 ou à 6 noeuds,
MEFP_FACE4, MEFP_FACE8 et MEFP_FACE9 respectivement les quadrangles à 4, 8 ou à 9 noeuds.
Ces éléments appartiennent à la modélisation 2D_FLUI_PESA du phénomène MECANIQUE.
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5 Bibliographie
[1]
J.TANI, J. TERAKI : Free vibration analysis of FBR vessels partially filled with liquid. SMIRT
1989
[2]
R.J. GIBERT : Vibration des sructures - interaction avec les fluides - sources d'excitation
aléatoires. CEA/EDF/INRIA 1988
[3]
F. WAECKEL : Analyse modale en vibration acoustique dans ASTER. Note interne
HP-61/91 160 EDF/DER
[4]
C. LEPOUTERE, F. WAECKEL : Effet de la pesanteur sur la surface libre d'un fluide couplé à
une structure, Note interne HP - 61/93.139
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