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Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

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Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
Document : R3.07.06





Traitement de l'excentrement pour les éléments de
plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4G





Résumé :


Les éléments de plaque [R3.07.03] sont destinés aux calculs de structures minces tridimensionnelles. Le
feuillet moyen de ces structures ne coïncide pas toujours avec le plan d'épure ou plan de maillage. On introduit
donc la notion d'excentrement du feuillet moyen par rapport au plan d'épure. Elle est utilisable pour des
éléments avec prise en compte du cisaillement transverse, ou sans cette hypothèse.


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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................4
2 Formulation ............................................................................................................................................5
2.1 Géométrie ........................................................................................................................................5
2.2 Cinématique.....................................................................................................................................6
2.3 Loi de comportement .......................................................................................................................7
3 Principe des travaux virtuels..................................................................................................................8
3.1 Travail de déformation .....................................................................................................................8
3.1.1 Expression des efforts résultants ...........................................................................................8
3.1.2 Relation efforts résultants déformations généralisées ...........................................................8
3.1.3 Energie interne élastique de plaque.....................................................................................10
3.1.4 Remarque.............................................................................................................................11
3.2 Travail des forces et couples extérieurs........................................................................................12
3.3 Principe du travail virtuel et équations d'équilibre .........................................................................12

4 Discrétisation numérique de la formulation variationnelle issue du principe du travail virtuel ............13
4.1 Introduction ....................................................................................................................................13
4.2 Discrétisation du champ de déplacement .....................................................................................14
4.3 Prise en compte de la distorsion transverse .................................................................................15
4.3.1 Pour les éléments Q4..........................................................................................................15
4.3.2 Pour les éléments du type DKT,DST,DKQ,DSQ......................................................................17
4.4 Matrice de rigidité élémentaire ......................................................................................................20
4.4.1 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments Q4.........................................................20
4.4.2 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DKT, DKQ ...............................................20
4.4.3 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DST, DSQ ...............................................20

4.5 Matrice de masse élémentaire ......................................................................................................22
4.5.1 Matrice de masse élémentaire classique .............................................................................22
4.5.1.1 Elément Q4 .............................................................................................................22
4.5.1.2 Eléments du type DKT, DST .....................................................................................23
4.5.2 Matrice de masse élémentaire améliorée ............................................................................24
4.5.2.1 Eléments du type DKT..............................................................................................24
4.5.2.2 Eléments du type DST..............................................................................................26
4.5.2.3 Eléments du type Q4...............................................................................................30
4.5.2.4 Remarque ................................................................................................................31
5 Mise en oeuvre et post-traitements ......................................................................................................31
5.1 Application des efforts et couples..................................................................................................31
5.2 Application des conditions aux limites en déplacement ................................................................32
5.3 Post-traitements.............................................................................................................................32

6 Validation statique et modale...............................................................................................................33
6.1 Validation initiale............................................................................................................................33
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6.2 Cas-test SSLS111 : excentrement pour des plaques simples......................................................33
6.3 Cas-test SSLS112 : excentrement pour des plaques composites................................................33

7 Conclusion...........................................................................................................................................34
8 Références bibliographiques...............................................................................................................34
Annexe 1
Facteurs de correction de cisaillement transverse pour des plaques orthotropes ou
stratifiées excentrées ......................................................................................................................35

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1 Introduction

Dans le but de pouvoir analyser le comportement de structures élancées de type plaque, ou surfaces
courbes approchées par des facettes, dont le feuillet moyen est excentré par rapport au plan
d'application des efforts, on introduit la notion d'excentrement du feuillet moyen par rapport à la
surface de maillage. Les champs de déplacement variant linéairement dans l'épaisseur de la plaque
ont pour origine la surface de maillage, c'est-à-dire qu'au niveau de la surface de maillage, les seuls
degrés de liberté de translation sont nécessaires à la description du déplacement.

L'introduction de la cinématique dans l'expression du travail de déformation permet d'obtenir les
rigidités de membrane, de flexion et de cisaillement transverse de l'élément excentré à partir de celles
de l' élément équivalent non excentré et de la distance d'excentrement. L'ensemble des calculs (hors
post-traitement spécifique) est donc fait dans un repère d'épure attaché au plan du maillage. Par
défaut les résultats sont donc obtenus dans le repère du maillage. Pour certains post-traitements, il est
possible d'avoir automatiquement ces résultats dans d'autres repères dans la mesure où l'utilisateur
indique la position du plan de post-traitement par rapport au plan du maillage.

La distance d'excentrement entre le plan du maillage et le feuillet moyen de la plaque est donnée dans
AFFE_CARA_ELEM au même niveau que l'épaisseur. Un excentrement d positif signifie que la surface
moyenne de la plaque est en réalité à une distance dn de l'élément de plaque maillé, la direction n
étant donnée par la normale à l'élément (voir [§4.1] de la documentation de référence [R3.07.03] des
éléments de plaque pour la construction de cette normale).
Les notations adoptées sont celles de la note [R3.07.03] sur les éléments de plaques DKT, DST, DKQ,
DSQ et Q4G.


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2 Formulation

2.1 Géométrie

Pour les éléments de plaque excentrés, la surface de référence est donnée par le plan d'épure ou plan
du maillage (plan x y par exemple). Le feuillet moyen de l'élément est positionné par rapport à cette
surface de référence. L'épaisseur h(x,y) doit être petite par rapport aux autres dimensions (extensions,
rayons de courbure) de la structure à modéliser. La figure [Figure 2.1-a] ci-dessous illustre notre
propos. Concernant la valeur de l'excentrement d, et du fait des conditions de linéarisation de la flexion
adoptées dans la théorie, on prendra d de sorte qu'un élément d'épaisseur d+h reste dans la théorie
des plaques.

Solide 3D
Z
h
Y
b
X
L
R1
R2
Épaisseur h < L, b, R1, R2
z = Z + d

h
h
z
z d - ;d +
y

2
2
h
n
Plaque
x

b
L
Z
excentrement d > 0
y
x
Maillage

Figure 2.1-a

On attache au plan d'épure (le plan du maillage) un repère orthonormé local 0xyz associé au plan du
maillage différent du repère global OXYZ. La position des points de la plaque est donnée par les
coordonnées cartésiennes (x,y) dans le plan d'épure (plan du maillage) et l'élévation z par rapport à ce
plan.
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2.2 Cinématique

Les sections droites qui sont les sections perpendiculaires au feuillet moyen de la plaque restent
droites. Les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur
une droite dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de
déplacement varient linéairement dans l'épaisseur de la plaque. Si l'on désigne par u,v,w les
déplacements d'un point du plan d'épure q(x,y,z) suivant x,y et z, la cinématique de Hencky-Mindlin
nous donne :

u (x, ,
y z)
x
u(x, y)
(x, y)
y
u(x, y)
(x, y)
x









u (x, ,
y z)

y
= v(x, y) + z- (x, y)
x
= v(x, y) + z (x, y)
y









u (x, ,
y z)
z
w(x, y)

0
w(x, y)

0


où : u, v, w sont les déplacements du plan d'épure ;

et
x
y sont respectivement les rotations de ce plan par rapport à respectivement l'axe x et
l'axe y.

On préfère introduire les deux rotations (x, y) = (x, y ,
) (x, y) = - (x, y) . Les déformations
x
y
y
x
tridimensionnelles en tout point, avec la cinématique introduite précédemment, sont ainsi données
par :

= e + z
xx
xx
xx
= e + z
yy
yy
yy
2 = = 2e + 2z
xy
xy
xy
xy
2 =
xz
x
2 =
yz
y

où : exx, eyy et exy sont les déformations membranaires de la surface moyenne ;
x et y les déformations associées aux cisaillements transverses ;
xx, yy, xy les déformations de flexion de la surface moyenne, qui s'écrivent :

u

e =
xx
x

v

e =
yy
y

v

u

2e =
+
xy
x

y

x
=
xx
x

y
=
yy
y



2
y
x
=
+
xy
y

x

w

= +
x
x
x

w

= +
y
y
y


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Remarque :

· dans les théories de plaque, l'introduction de et permet de symétriser les
x
y
formulations des déformations et les équations d'équilibre [R3.07.03]. Dans les théories
de coque, on utilise plutôt


M
M
x et
et les couples associés
et
par rapport à x
y
x
y
et y,
· les degrés de liberté que l'on a choisi sont les déplacements et rotations du plan d'épure
et non pas ceux du feuillet moyen. En effet si l'on envisage la superposition de plusieurs
plaques excentrées pour réaliser un matériau sandwich il ne peut correspondre aux
noeuds du maillage qu'un seul champ de déplacement et non pas les différents champs
de déplacements des couches composant le matériau.



2.3
Loi de comportement

Le comportement des plaques est un comportement 3D en "contraintes planes". La contrainte
transversale
zz est prise nulle car négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des
contraintes (hypothèse des contraintes planes). La loi de comportement la plus générale s'écrit alors
ainsi :


e
0
xx
xx

xx
xx










e
0
yy

yy
yy
yy











e = 2e

,
2
et

= 0
xy
= xy

xy
= C(, ) xy = Ce + z
C +




C avec






0
0
x
xz
x










0
0

yz
y
y

où : C(,) est la matrice de rigidité tangente locale en contraintes planes ;
représente l'ensemble des variables internes lorsque le comportement est non linéaire.

Pour des comportements (par exemple des multicouches) pour lesquels les distorsions sont couplées
aux déformations de membrane et de flexion, C(,) se met sous la forme :

H
H c
C =



H T
H


c


où : (,) est une matrice 3x3 symétrique ;
(,) une matrice 2x2 symétrique ;
c(,) une matrice 3x2 de couplage entre les effets de membrane ou de flexion et de
cisaillement transverse.


Dans le cas où c'est découplé, on a c(,)=0. La détermination de (,) dans le cadre de la théorie
de Reissner ([§2.2.3.2] de [R3.07.03]) est donnée en annexe. On montre qu'elle est équivalente à celle
des plaques non excentrées.
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3
Principe des travaux virtuels

3.1
Travail de déformation

L'expression générale du travail de déformation 3D pour l'élément de plaque excentré de la distance d
par rapport au plan de référence vaut :

d+h / 2
W
= ( +

+ + +
dV
)

def


xx
xx
yy
yy
xy
xy
x
xz
y
yz
S
d-h / 2

où S est la surface moyenne, dV=dxdydz et où la position dans l'épaisseur de la plaque varie entre
d-h/2 et d+h/2.


3.1.1 Expression des efforts résultants

En adoptant la cinématique de [R3.07.03], on identifie le travail des efforts intérieurs :

W
= (e N + e N + e
2
N + M + M + 2 M + T + T )dS
def


xx
xx
yy
yy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
xy
xy
x
x
y
y
S

où :
N

xx
d+h / 2
xx




N = N =

dz

yy

yy
N d-h/2

xy
xy

M

xx
d+h / 2
xx




M = M =
dz
z
yy

yy
M d-h/2

xy
xy

T
d+h / 2


x
xz
T =
=
dz






T





y d-h / 2 yz

où : Nxx, Nyy, Nxy sont les efforts résultants de membrane (en N/m) ;
Mxx, Myy, Mxy sont les efforts résultants de flexion ou moments par rapport au plan d'épure (en
N) ;
Tx, Ty sont les efforts résultants de cisaillement ou efforts tranchants (en N/m).


3.1.2 Relation efforts résultants déformations généralisées

L'expression du travail de déformation s'écrit aussi :

d+h / 2
d+h / 2
W
= [ (
C ,) dV
]
= [eCe + z
eC +

eC + zCe + z2
C + z
C + (
C e + z + dSdz
)]

def


S d-h / 2
S d-h / 2

où : C(,) est la matrice de rigidité tangente locale (matrice symétrique).
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Ceci s'écrit encore :

h / 2
W
= [eCe + ( + d)
eC +

eC + ( + d)Ce + ( + d)2 C
C
C e

def
+ ( + d) + ( + ( + d) + dSd
)]


S -h / 2

En utilisant l'expression obtenue pour Wdef au paragraphe précédent, on trouve la relation suivante
entre les efforts résultants et les déformations généraliées :

N = H e (H
dH )
H
m
+
mf +
m +
m
M = (H
dH
e
)
(H
2dH
d 2H )
(H
dH )
mf +
m
+
f +
mf +
m +
f +
m
T = HT e (HT dHT )
H
m
+
f +
m +
ct

avec :
+h / 2
+h / 2
+h / 2
H

m =
Hd Hmf = Hd Hf = H2d
-h / 2
-h / 2
-h / 2
+h / 2
+h / 2
+h / 2
H

ct =
H d Hm = H d H
H
d
c

f
=
c





-h / 2
-h / 2
-h / 2

et :
e

xx



xx
x
e = e

,

,

yy
= yy
=




y
2e
2
xy
xy

Les matrices Hm, Hf et Hct sont les matrices de rigidité en membrane, flexion et cisaillement
transverse, respectivement, pour l'élément de plaque non excentré. La matrice Hmf est une matrice de
rigidité de couplage entre la membrane et la flexion pour l'élément de plaque non excentré. Elle est
nulle si l'élément de plaque est symétrique par rapport à son feuillet moyen. La matrice Hm est une
matrice de rigidité de couplage entre la membrane et la distorsion transverse. La matrice Hf est une
matrice de rigidité de couplage entre la flexion et la distorsion transverse. Ces matrices sont nulles
pour un excentrement nul, sauf dans le cas des multicouches où elles restent non nulles.

Pour un comportement élastique homogène isotrope, ces matrices ont pour expression :





1 v
0
1 v
0
Eh
Eh3
kEh 1 0




H
H
H

m =
v 1
0

,
f =
v 1
0

,
ct =
2

2






1- v
1- v
1
(
12 - v )
1- v
1
(
2 + v) 0 1
0 0

0 0


2

2

et Hmf = Hm = Hf = 0 car il y a une symétrie matérielle par rapport au plan =0.

Pour la détermination du coefficient de cisaillement k on renvoie au [§2.2.3] de [R3.07.03].
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Le système de relation entre les efforts résultants et les déformations généralisées peut aussi s'écrire :

N = H e H
H
m
+ mf + m
M = H e H
H

mf
+ f + f
T = HT e H T
H
m
+ f + ct

avec :

Hmf = Hmf + H
d m

H
2
f = Hf + 2 H
d mf + d Hm

H = H + dH
f
f
m

Ainsi, dans le cas d'une plaque possédant la symétrie matérielle par rapport au plan =0, on a Hmf = 0
mais H = dH . L'excentrement de la plaque entraîne un couplage entre les termes de membrane
mf
m
et de flexion.

Remarques :

Les relations liant Hm, Hf, Hmf à H et Hct à H sont valides quelle que soit la loi de
comportement élastique tangente, avec déformations anélastiques (thermoélasticité,
plasticité, ...).

Pour une plaque constituée de N couches orthotropes en élasticité, les matrices Hm, Hf, Hmf et Hct
s'écrivent :

N
N
N
N
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
m =
,
(
,
)
(
2
,
)
mi
mf =
mfi + i
mi
f =
fi +
i mfi + 2i mi
ct =
i
ct
i=1
i=1
i=1
i=1

1
où : =
z + + z
i
( i 1 i )
2
Hmi, Hfi, Hmfi, Hi représentent les matrices de membrane, de flexion, de couplage membrane flexion et
de cisaillement transverse pour la couche i. On remarque l'analogie entre ces expressions avec la
forme établie ci-dessus :
H = H
+ H
d
mf
mf
m

H = H +
H
2
d
2
+ d H
f
f
mf
m

On en déduit alors que l'excentrement pour une telle plaque est obtenu en substituant + d à .
i
i


3.1.3 Energie interne élastique de plaque

Compte tenu des remarques précédentes, l'énergie interne élastique de la plaque s'exprime plus
habituellement pour ce genre de géométrie de la façon suivante :

1
=
[e(H e H
H
H e H
H
H e H
H
.
m
+ mf +

m ) + (
mf + f + f) + ( T
T
m
+ f + ct dS
)]
int
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3.1.4 Remarque

On peut choisir d'exprimer les efforts résultants de flexion ou moments par rapport au feuillet moyen
de l'élément et non plus par rapport au plan de référence. Dans ce cas on obtient :

N

M

xx
d+h / 2
xx




xx
d+h / 2
xx




T
d+h / 2


N = N =

dz
, M = M =
(z - d dz
) ,
x
xz
T =
=
dz
yy

yy







yy
yy
T





N d-h / 2




-


y
yz

M
d h / 2


d-h / 2
xy
xy
xy
xy

et l'expression du travail des efforts intérieurs devient :

W
= (e N + e N + e
2
N + (M + dN ) + (M + dN ) + 2 (M + dN ) + T + T )dS
def
xx xx yy yy
xy
xy
xx
xx
xx
yy
yy
yy
xy
xy
xy
x
x
y
y
S

On en déduit alors en utilisant l'expression 3D du travail de déformation que :

N = H e (H
dH )
H
m
+
mf +
m +
m
M + dN = (H
dH e
)
(H
2dH
d 2H )
(H
dH )
mf +
m
+
f +
mf +
m +
f +
m
T = HT e (HT dHT )
H
m
+
f +
m +
ct

Soit encore :
N = H e (H
dH )
H
m
+
mf +
m +
m
M = H e (H
dH )
H
.
mf
+
f +
mf +
f
T = HT e (HT
dHT )
H
m
+
f +
m +
ct

L'expression de l'énergie interne de la plaque reste bien sûr inchangée quant à elle. Dans le cas de
l'élasticité, elle s'écrit toujours :

1
=
[e(H e H
H
H e H
H
H e H
H

m
+ mf +

m ) + (
mf + f + f) + ( T
T
m
+ f + ct dS
)]
int
2 S

La question du choix du plan intéressant à utiliser pour l'expression des moments peut varier d'une
situation à une autre.

M
M
M
M


Dans le cas de la figure de droite, l'approche développée ci-dessus est préférable car l'expression des
chargements est définie par rapport au feuillet moyen de chaque plaque. Dans le cas de la figure de
gauche, si l'on souhaite remplacer la coque multi-couche par deux coques excentrées, l'axe de
référence est le feuillet moyen de la coque multi-couche. On a donc intérêt à tout définir par rapport au
plan d'épure. C'est cette approche qui est retenue dans le code. Tous les chargements appliqués sont
considérés comme étant définis par défaut dans le repère d'épure ou plan du maillage. Si jamais
certains chargements sont définis par rapport à d'autres plans (feuillet moyen, feuillet supérieur ou
inférieur) c'est à l'utilisateur de faire les changements de repère appropriés, à la main ou par le biais
du fichier de commande en précisant le plan d'application des efforts quand cela est possible (voir
[§5]), pour se ramener à un chargement défini dans le plan du maillage.
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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6.3

Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
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3.2

Travail des forces et couples extérieurs

Le travail des forces et couples s'exerçant sur la plaque s'exprime de la manière suivante :

d+h / 2
d+h / 2
W
F . dV
U
F . dS
U
F .U ds
dz
ext = v
+ s
+ c
S d-h / 2
S
C d-h / 2

où : Fv, Fs, Fc sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour s'exerçant sur la plaque,
respectivement.
C est la partie du contour de la plaque sur laquelle les efforts de contour Fc sont appliqués.

Avec la cinématique du [§2.2], on détermine ainsi :

W
(f u f v f w c
c
)dS
( u
v
w
)ds
ext =
x
+ y + z + xx + yy
+ x +y +z +xx +yy
S
C

= (f u f v f w c
c
)dS
( u
v
w
)ds
x
+ y + z + yx - xy
+ x +y + z +yx -xy
S
C

où sont présents sur la plaque :

· f , f ,f les forces surfaciques agissant suivant x, y et z ;
x
y
z
+h / 2
·
f =
F e
. dz + F e
. où e
i
v i
s
i
x et ey sont les vecteurs de base du plan tangent et ez leur
-h / 2
vecteur normal ;
· c , c : couples surfaciques agissant autour des axes x et y ;
x
y
+h/2
h
·
c =
z
[( +d)e
e
z F ].e dz
v
i
+[(d ± )ezF ].e
i
s
i
2
x, ey, ez sont les vecteurs de base
-h/2
précédemment définis.

et où sont présents sur le contour de la plaque :

· x ,y ,z les forces linéiques agissant suivant x, y et z ;
+h / 2
·

F .e dz où e
i =
c i
x, ey, ez sont les vecteurs de base précédemment définis ;
-h / 2
· x , y les couples linéiques autour des axes x et y ;
+h / 2
·

[(z d)e
F ].e dz où e
i =
+ z c i
x, ey, ez sont les vecteurs de base précédemment définis.
-h / 2

Remarque :

Les moments par rapport à z sont nuls. Les efforts et les couples sont exprimés dans le
repère du maillage. Tous les calculs sont faits par défaut dans le repère d'épure. Si des
efforts ou des couples sont exprimés dans un autre repère ( celui du feuillet moyen de la
plaque par exemple) l'utilisateur devra faire les conversions à la main s'il utilise les options
par défaut ou bien préciser le plan d'application des efforts (voir le paragraphe [§ 5]).

3.3

Principe du travail virtuel et équations d'équilibre

Ce paragraphe est inchangé par rapport au paragraphe [§3.3] de [R3.07.03].
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4
Discrétisation numérique de la formulation variationnelle
issue du principe du travail virtuel


4.1 Introduction

La formulation variationnelle pour l'énergie interne nous permet d'écrire :

W

= [e(H e H
H
H e H
H
H e H
H

m
+ mf +

m ) + (
mf + f + f) + ( T
T
m
+ f + ct dS
)]
int
S

avec :
u


,x





x,x

w,x + x
e =
v

,
,

,y

=
y,y

=






w,y + y
u
v
,y +
,x
x,y + y,x

Les cinq degrés de liberté sont les déplacements dans le plan du maillage u et v, hors plan w et les
deux rotations x et y.

Les éléments DKT et DST sont des éléments isoparamétriques triangulaires. Les éléments DKQ, DSQ et
Q4 sont des éléments isoparamétriques quadrilatéraux. Ils sont représentés ci-dessous :

4
3
3
1
y
2
1
2
x

Figure 4.1-a : Eléments réels
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Les éléments de référence sont présentés ci-dessous :



(0,1)
(-1,1)
(1,1)
3
4
3
1
2
(0,0)
(1,0)


1
2
(1,-1)
(-1,-1)

Figure 4.1-b : Eléments de référence triangle et quadrangle

On définit le repère réduit de l'élément comme le repère (,) de l'élément de référence. Le repère
local de l'élément, dans le plan d'épure (x,y) est défini par l'utilisateur, par le mot-clé ANGLE_REP. La
direction X1 de ce repère local est la projection d'une direction de référence d sur le plan de l'élément.
Cette direction de référence d est choisie par l'utilisateur qui la définit par deux angles nautiques dans
le repère global. La normale N au plan de l'élément (12 13 pour un triangle numéroté 123 et 12 14
pour un quadrangle numéroté 1234) fixe la seconde direction. Le produit vectoriel des deux vecteurs
précédemment définis Y1=N X1 permet de définir le trièdre local dans lequel seront exprimés les
efforts généralisés représentant l'état de contraintes. L'utilisateur devra veiller à ce que l'axe de
référence choisi ne se retrouve pas parallèle à la normale de certains éléments de plaque. Par défaut,
la direction de référence d est l'axe X du repère global de définition du maillage.

Remarque :

Pour les éléments de plaque QUAD4, l'utilisation d'un élément non coplanaire peut aboutir à
des irrégularités ([bib1]). Dans ce cas, l'utilisateur est alerté.



4.2
Discrétisation du champ de déplacement

La matrice jacobienne J(,) est :

N
N


x
y
N x
N y
i,
i



i,
i
J
J
,
,

11
12
i=1
i=1

J =
=

N
N
=








x
y



J
J
,
,
21
22
N x
N y
i,
i
i, i
i=1
i=1


En outre :









j
j
x

-
1 J
- J
11
12
1
22
12




= j

avec

j =
= J =
J


= det J = J J - J J










11 22
12 21



j
j


J - J
J
21
22

21
11

y



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Le champ de déplacement est discrétisé par :

u
N
k
=
u

N ,

k ( )


k
v k=1
v
w




N
wk
2 N




0

= N (,) +[

P (,)
x
k
xk
xk
k ]





k =1
k = N


+1 P
( ,
y
yk
yk
)

Dans cette dernière expression, le terme entre crochets est présent pour les éléments du type DKT,
DST, DKQ ou DSQ, mais pas pour les éléments Q4.


4.3
Prise en compte de la distorsion transverse

On rappelle que la différence essentielle entre les éléments DKT, DKQ d'une part et DST, DSQ, Q4
d'autre part vient du fait que pour les premiers la distorsion transverse est nulle soit encore = 0. La
différence entre Q4 et les éléments DST et DSQ vient d'un choix différent d'interpolation pour la
représentation du cisaillement transverse. L'introduction de l'excentrement conduit à un traitement
particulier du cisaillement transverse.

On remplace dans l'expression de l'énergie interne établie au [§4.1] par où les sont des
déformations de substitution vérifiant = de façon faible (intégrale sur les côtés de l'élément), et
telles que :

N = H e H
H
m
+ mf + m
M = H e H
H

mf
+ f + f
T = HT e H T
H
m
+ f + ct

j
On vérifie ainsi que sur les côtés ij de l'élément, on a : (
)ds 0 avec = w + .
s - s
=
s
,s
s
i

4.3.1 Pour les éléments Q4

On discrétise linéairement le champ constant par côté de telle sorte que :

1 -
1
12
+ 34

+




=
= 2
2






1 -
1

23
-


41
+

2
2


En utilisant alors les relations :
+1
( - (
w + ))


d = 0 ;
,
-1

+1
( - (
w + ))


,
d = 0
-1
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on établit que :

ij
1
= (w - w + + )

2
j
i
i

j

pour (ij)=(12,34) et (kp)=(23,41).
kp
1
= (w - w + + )

2
p
k
p

k

En reportant les deux résultats ci-dessus dans l'expression de
, on établit que :




= = B u




w1



1




1
Nk , k Nk ,
0

où : u = M et B = (B , ,B


B


1 L
)



N avec k = Nk ,
0
k Nk ,
wN

N



N

De plus, comme :
i J
J
11
12 xi

=


i J
J
21
22 yi
on en déduit que
= Bu f

w1


x1

y
1
où : u
M
f =
et B = (B , ,B )


1 L
N
w
N


xN


yN

Nk , k Nk J
,
11
k Nk J
,
12
avec : B


k =

N
k , k Nk J
,
21
k Nk J
,
22


Finalement :
x j
j
11
12
=

= B u avec B
= jB


=
c
f
c[2×3N ]

y
j
j
21
22

Remarque :

Ce traitement est équivalent à celui des éléments Q4 non excentrés du [§4.3.2.1] de
[R3.07.03].
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4.3.2 Pour les éléments du type DKT,DST,DKQ,DSQ

En ce qui concerne les distorsions transverses, on sait que :

T = M
+ M
et T = M
+ M
avec M = H e H
H

mf
+ f + f
x
xx,x
xy,y
y
yy,y
xy,x

On en déduit que :
c
c
T = H u
H

m
+ f
,xx
,xx

Calcul de :
c
c
H H
m
f
où : T
=






,xx
( x,xx x,yy x,xy y,xx y,yy y,xy)
T
u
= u
u
u
v
v
v

,xx
( ,xx ,yy ,xy ,xx ,yy ,xy)

mf
mf
mf
mf
mf
mf
H
H
2H
H
H
H
H
c
11
33
13
13
23
12 +
mf
avec : H

m =
33

mf
mf
mf
mf
mf
mf
mf


H
H
H
H
H
H
2H
13
23
12 +
33
33
22
23


f
f
f
f
f
f
H
H
2H
H
H
H
H
c
11
33
13
13
23
12 +
f
H

f =
33

f
f
f
f
f
f
f


H
H
H
H
H
H
2H
13
23
12 +
33
33
22
23


où les
mf
H sont les termes (i,j) de H et où les f
H sont les termes (i,j) de H .
ij
mf
ij
f

Comme :

N
2N
N
2N
2
2

= N ( , )
+ P
( ,
)
= N ( , )
+ (j P + 2j j P + j P
)

x,xx
k,xx
xk
xk,xx
k
k,xx
xk
11 xk,
11 12
xk,
12
xk,
k
k 1
=
k =N 1
+
k 1
=
k =N 1
+
N
2N
N
2N
2
2

= N ( , )
+ P
( ,
)
= N ( , )
+ (j P + 2j j P + j P
)

x,yy
k,yy
xk
xk,yy
k
k,yy
xk
21 xk,
21 22
xk,
22
xk,
k
k 1
=
k=N 1
+
k 1
=
k=N 1
+
N
2N
N
2N

= N ( , )
+ P
( ,
)
= N ( , )
+ (j j P +[j j + j j P
]
+ j j P
)

x,xy
k,xy
xk
xk,xy
k
k,xy
xk
11 21 xk,
11 22
12 21
xk,
11 21 xk,
k
k 1
=
k =N 1
+
k 1
=
k =N 1
+
N
2N
N
2N
2
2

= N ( , )
+ P
( ,
)
= N ( , )
+ (j P + 2j j P + j P
)

y,xx
k,xx
yk
yk,xx
k
k,xx
yk
11 yk,
11 12
yk,
12
yk,
k
k 1
=
k =N 1
+
k 1
=
k =N 1
+
N
2N
N
2N
2
2

= N ( , )
+ P
( ,
)
= N ( , )
+ (j P + 2j j P + j P
)

y,yy
k,yy
yk
yk,yy
k
k,yy
yk
21 yk,
21 22
yk,
22
yk,
k
k 1
=
k =N 1
+
k 1
=
k =N 1
+
N
2N
N
2N

= N ( , )
+ P
( ,
)
= N ( , )
+ (j j P +[j j + j j P
]
+ j j P
)

y,xy
k,xy
yk
yk,xy
k
k,xy
yk
11 21 yk,
11 22
12 21
yk,
11 21 yk,
k
k 1
=
k =N 1
+
k 1
=
k =N 1
+
1 4
4 2
4
4
4 3
1
xx

avec :

2
2
0
j N
2j j N
j N
0
11
k, +
11 12
k, +


12
k,


2
2
0
j N
2j j N
j N
0
21
k, +
21 22
k, + 22
k,


w

k
N
0 j j N
[ j j
j j ]N
j j N
0

1
11 21
k, +
11 22 + 12 21
k, +




,xx =
12 22
k,


2
2
xk
0
0
j N
2j j N
j N
k=1
11
k, +
11 12
k, + 12
k,




2
2

yk
0
0
j N
2j j N
j N
21
k, +
21 22
k, + 22
k,



0
0
j j N
[ j j
j j ]N
j j N
11 21
k, +
11 22 + 12 21
k, + 12 22
k,
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la première contribution à dans l'expression ci-dessus et :
,xx


2
j N
2j j N
j N
0
11
k,
+ 11 12 k, + 2



12
k,



2
j N
2j j N
j N
0
21
k,
+ 21 22 k, + 222 k,




n

j j N
[ j j
j j ]N
j j N
0
u
u

,xx =
11 21
k,
+ 11 22 + 12 21 k, +


12 22
k,
k


2
2





0
j N
2j j N
j N
v
k 1
11
k,
+ 11 12 k, +

=


12
k,
k

2
2


0
j N
2j j N
j N
21
k,
+ 21 22 k, +


22
k,




0
j j N
[ j j
j j ]N
j j N
11 21
k,
+ 11 22 + 12 21 k, +


12 22
k,
soit encore sous forme matricielle que :

u,xx
x,xx




u,yy
x,yy




u
c
T
H ,xy
c
H x,xy
= m
+
v
f
,xx
y,xx




v,yy
y,yy




v,xy
y,xy

2
2
C ( j P
2j j P
j P
)
k
11 k, +
11 12 k, +


12 k,


2
2
C ( j P
2j j P
j P
)
k
21 k, +
21 22 k, + 22 k,

w
N
N
k
2N



u
C ( j j P
[ j j
j j P
]
j j P
)
c
k
k


c
k
c
k 11 21 k, + 11 22 + 12 21 k, + 11 21 k,
= Hm P
H
P
H
cm
+ f c xk
f

+





k
v

2
2
S ( j P
2j j P
j P
)
k=1
k
k=1


k=N+1
k
11 k, +
11 12 k, +

12 k,
yk

2
2


S ( j P
2j j P
j P
)
k
21 k, +
21 22 k, + 22 k,



S (j j P
[ j j
j j P
]
j j P
)
k
11 21 k, +
11 22 + 12 21
k, + 11 21 k,
C P
k k,


C P
k k,
w
N
N
k
2N


u
C P
c
k
k


c
k
c
H
P
H
P
H T
= m cm
+ f c xk

k k,

+

f
2






v
S P
k 1
k
k 1
k N 1
k k, k
=


=

= +

yk


S P
k k,



S P
k k,
w
N
u
c
k
k
N
k
2N
= Hm P
H
P
H T
T
cm
+ cf k
c
c
xk
f
2

+
ck




k
v
k=1
k
k=1


k=N+1
yk
= c
H P U
H P U
H T T
B U
B U
B
m cm
m +
c
c
f

c
f +
f
2 =
cm
m +

c
f +

c

Où :
u1

v
1
U =

m
M
uN


v
N

T
(T
T
=
c N +
)
(
)
1 L c2 N

2
2
j
j
2 j j

t
0
11
12
11 12


T
2
2
2
2 =
avec t = j
j
2 j j

0 t
2
21
22
21 22
2


1j1 j21
12
j j22
11
j j22 + 12
j j21
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w1


x1


1y
u

f
= M


w N

xN




yN


On peut aussi écrire :
T = c
H u
H
B U
B U
B

m ,
+ c
xx
f ,xx =
cm
m +

c
f +

c

j
En utilisant la relation (
)ds 0 avec = w + pour chacun des côtés ij de l'élément, on
s - s
=
s
,s
s
i
peut obtenir les k puisque cette relation s'écrit encore :

L
2
k
w - w +
(C + S + C + S ) + L = L
j
i
k
xi
k
yi
k
xj
k
yj
k
k
k
sk
2
3

où :
= (C
S ) = (C
S )
1
-
H [T - T
T
H e H
m
- f ]
sk
k
k
k
k
ct

= (C
S ) 1-
H [(B
H B U
B
H B U
B
H B
m -
T
)
T
T
m
m
m + (
-

)
f
f
f + (
-

)
f
f ]
k
k
ct
c
c
c

La relation ci-dessus s'écrit encore sous forme matricielle :

A = (A

w + A )U

+ A U
f
m
m

L
0
0 L
C
L
S

2
N 1
+
N 1
+
N 1
+
N 1
+
N 1
+



avec : A = 0
0
1
-
O
-
M
M
H (
T
B
- H B )


3
ct
c
f
f
0
0
L
L C
L S


2N
2N 2N
2N
2N

- 2 L C
L S
2
L
C
L S
0
0
0
0
0
0
N+1 N+1
N+1 N+1
N+1 N+1
N+1 N+1



1 0
0
0
- 2 L C
L S
2
L C
L S
0
0
0
k +1 k +1
k +1 k +1
k +1 k +1
k +1 k +1

Aw = -

2 0
0
0
0
0
0
- 2 L
C
L
S
2
L
C
L
S
2N-1 2N-1
2N-1 2N-1
2N-1 2N-1
2N-1 2N-1




2
L C
L S
0
0
0
0
2
L C
L S
2N
2N
2N 2N
L
L
-
2N
2N
2N 2N


L C
L
S

N 1
+
N 1
+
N 1
+
N 1
+

1-
A =
M
M
H (
T
B - H B )


ct
c
f
f
L C
L S

2N 2N
2N
2N

L C
L
S

N 1
+
N 1
+
N 1
+
N 1
+

1
A =
M
M
H- (
T
B
- H B )
m
ct
cm
m
m
L C
L S

2N 2N
2N
2N
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Version
6.3

Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 20/36


Ainsi :
= P U + P U


f
m
m

avec :

-1
P = A (A + A )



w


-1
P = A A
m

m

ce qui implique :
T = (B
B P )U
(B
B P )U
cm +
c
m
m +
c
+



c


f

Remarques :

Pour les éléments du type DKT et DST, on a B
. Il en résulte des expressions
m = B = 0
c
c
simplifiées des équations précédentes.


4.4
Matrice de rigidité élémentaire

4.4.1 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments Q4

On reprend les expressions des matrices de rigidité données au [§4.4.1] de la documentation de
référence [R3.07.03] et on remplace H
par H , H par H et H par H . On notera que
mf
mf
f
f
f
f
dans [R3.07.03] les résultats étaient présentés sans terme de couplage membrane cisaillement
transverse ou flexion cisaillement transverse. On les rajoute ici.

4.4.2 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DKT, DKQ

On reprend les expressions des matrices de rigidité données au [§4.4.1] de la documentation de
référence [R3.07.03] et on remplace H
par H , H par H . Puisque la relation = 0 est
mf
mf
f
f
satisfaite les couplages membrane cisaillement transverse ou flexion cisaillement transverse sont
inexistants.

4.4.3 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DST, DSQ

On a :

W e

=
e
(
1
H e + H + H - H H - T) + (
1
H e + H + H - H H - T)
-1
+ TH

TdS =
int

m
mf
m
m
ct
mf
f
f
f
ct
ct
e

e
([
1
-
T
H - H H
H ]e +[
1
-
T
H - H H
H ]) +
([
1
-
T
H - H H
H ]e +[
1
-
T
H - H H
H ])
1
+ TH -

dS
T

m
m
ct
m
mf
m
ct
f
mf
f
ct
m
f
f
ct
f
ct
e

Soit encore :

We

=
e
(H e + H ) + ( T
H e + H )
1
+ TH -

TdS
int


m
mf
mf
f
ct
e
où :
1
-
T
H
H
H H H
m =
m -
m
ct
m
1
-
T
H
H
H H H
mf =
mf -

m
ct
f
1
-
T
H
H
H H H
f =
f -

f
ct
f
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Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 21/36


D'où :

e
W
( U B H B U
U B H B U
U B H B U
U B H B U
int
=
T T
m
m
m
m
m +
T
T

m
m
mf
f
f +
T
T
T
f
f
mf
m
m +
T
T


f
f
f
f
f
e
T
T
-1
T
T
-1
T
T
-1
T
T
-
+ B H B
B H
B U
U B H
B
U B H
B U
c
ct
c +
c
ct
cm
m +
m
cm
ct
c +
1




m
cm
ct
cm
m
T
T
-1
T
T
-1
T
T
-
+ B H B U
U B H
B
U B H
B U
c
ct
c
f
+ f c ct
c +
1







f

c
ct

c

f
T
T
-1
T
T
-
+ U B H B U
U B H
B U )dS
m
cm
ct
c
f
+
1



f

c
ct
cm
m
= T
T
U ( B H B
)
dS U
U ( B H B
)
dS U
U ( B H B
)
dS U
U ( B H B
)
dS U
m
m
m
m
m +
T
T

f
f
f
f
f +
T
T

m
m
mf
f
f +
T
T




f

T
f
mf
m
m
e
e
e
e
T
T
-1
T
T
-1
T
T
-1
T
T
-
+ ( B H B
)
dS
( B H
B
)
dS U
U ( B H
B
)
dS
U ( B H
B
)
dS U
c
ct
c
+
c
ct
cm
m +
m
cm
ct
c
+

1





m cm
ct
cm
m
e
e
e
e
T
T
-1
T
T
-1
T
T
-
+ ( B H B
)
dS U
U ( B H
B
)
dS
U ( B H
B
)
dS U
c
ct
c
f
+ f
c
ct
c
+

1







f
c ct c

f
e
e
e
T
T
-1
T
T
-
+ U ( B H B
)
dS U
U ( B H
B
)
dS U
m
cm
ct
c
f
+

1



f
c ct cm
m
e
e
= T
U K U
U K U
U K U
U K U
K
U K
K U
m
m
m +
T
f
f
f +
T
m
mf
f +
T
f
fm
+ T
m
+ Tm m + T T



m
m
+ T
U K
K U
U K U
U K U
U K U
f
+ T T f + Tm m f + Tf
m
m +
T









f


f

avec :
K
[B H B
B H B
dS
]

m =
T
T
-

m
m
m +
1
cm
ct
cm
s

On sait aussi que U = (U ,
) d'où il résulte que :
f
f
K
B H B dS
f 11 = T


f
f

f
s
K
K
f 11
f 12
K
avec : K
B H B dS
f 12 =
T

f =

T


K
K

f
f

f
f 12
22
s
K
B H B dS
f 22 = T


f
f

f
s

K
B H B dS
mf11 = T

m
mf

f
K
= K
K
avec :
s

mf
( mf11
mf12 )
K
B H B dS
mf12 = T

m
mf

f
s

T
K
= K
fm
mf


Utilisant le fait que = P U

+ P U on en déduit que :
f
m
m

T
T
T
T
W

= U

K U + U

K U

+ U

K U + U

K U
int
m
m
m
f
f
f
m
mf
f
f
fm
m
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Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

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15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 22/36


où :
T
T
T
T
K = K + P (K
+ K )P

+ (K
+ K )P

+ P (K
+ K )
m
m
m
f 22
m
mf12
m
m
m
mf12
m
T
T
T
T
K = K
+ K + P (K

+ K )P

+ (K
+ K )P

+ P (K

+ K )
f
f 11
f 22
f 12
f 12


T
T
T
T
K = K
+ K + (K
+ K )P

+ P (K
+ K )
+ P (K
+ K )P
mf
mf11
m
mf12
m
m
f 12
m
f 22


T
K = K
fm
mf


Ceci s'écrit encore :
U
e
W
U , U K

int = (
m
m

f )






U f
K
K
m[2N×2N]
mf [2N×3N]
où : K
est la matrice de rigidité élémentaire pour un élément de
[5N×5N] =
T


K
K
mf [3N×2N]
f [3N×3N]
plaque excentré DST.



4.5
Matrice de masse élémentaire

Les termes de la matrice de masse sont obtenus après discrétisation de la formulation variationnelle
suivante :

d+h / 2
W ac

=
u
& udzdS
mass

d-h / 2 S
= (u& u
+ v& v
+ w& w
) + ( + d )(u
&
+ v
&
+ & u
+ & v
) + ( + d
2 + d 2 )(& + & )dS
m
mf
m
x
y
x
y
f
mf
m
x
x
y
y
S

+h / 2
+h / 2
+h / 2
avec
dz,
zdz et
,
z dz .
m =
mf =
= 2
f
-h / 2
-h / 2
-h / 2

Remarque :

Si la plaque est homogène ou symétrique par rapport à son feuillet moyen alors mf=0.


4.5.1 Matrice de masse élémentaire classique

4.5.1.1 Elément
Q4

La discrétisation du déplacement pour cet élément isoparamétrique est :

u
k



v


N
k


u = N w
=

k
k
k
,...,
1
N


k 1
=


xk





yk
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Date :
15/07/03
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P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 23/36


La matrice de masse, dans la base où les degrés de liberté sont regroupés suivant les directions de
translation et de rotation, a alors pour expression :

M
0
0
M
0
m
mf



0
M
0
0
M
m
mf


M = 0
0
M
0
0

m

T
M
0
0
M
0
mf
f


T

0
M
0
0
M
mf
f

avec :
T
M =
N
dS
N

m
m
S

M
= ( + d ) T
N
dS
N

mf


mf
m
S

M = ( + d
2 + d2
) T
N
dS
N

f


f
mf
m
S

où : N = (N
N
1
L
k ) .

Pour la suite, on pose =
+ d et
2
= + d
2 + d .
mf
mf
m
f
f
mf
m


4.5.1.2 Eléments du type DKT, DST

Comme :
w
w

0



N
k


2N

= N ( , )
+ P ( , )


x
k
xk
xk
k

k 1=

k=N 1+


P ( ,
)

y
yk
yk


où : = P U +
P U
m
m
f

on en déduit que :
uk


w

0
0
N ( , )
0
0
v
k


k


N


N
( , ) N
( , ) N
( , ) N
( , ) N
( , ) w
.
x =


kxu
kxv
kxw
kxx
kxy


k

k=1

N
( , ) N
( , ) N
( , ) N
( , ) N
( , )
y
kyu
kyv
kyw
kyx
kyy

xk






yk

La matrice de masse a alors pour expression :

M
M
m
mf
M =


M
M
fm
f
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Version
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Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 24/36


La partie membrane M de la matrice élémentaire de masse se compose des blocs kp ( kième ligne
m
et pième colonne ) suivants :

N N
0
N N
N
N
N N
N N
k
p

k pxu + kxu p
k
pxv +
kyu
p
m
+




mf


0
N N
N N
N N
N N
N N
k
p
k pyu + kxv p
k
pyv +
kyv
p
N N
N N
N
N
N N
kxu
pxu +
kyu
pyu
kxu
pxv +
kyu
pyv
+ f


N N
N N
N N
N N
pxu
kxv +
pyu
kyv
kxv
pxv +
kyv
pyv

La partie flexion M se compose des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
f

N N
0 0
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
k
p

kxw pxw + kyw pyw
kxw
pxx +
kyw
pyx
kxw
pxy +




kyw
pyy

0
0 0
N
N
N N
N
N
N N
N
N
N N

m
+ f kxx pxw + kyx pyw
kxx
pxx +
kyx
pyx
kxx
pxy +
kyx
pyy




0
0 0
N N
N N
N N
N N
N N
N N
kxy
pxw +
kyy
pyw
kxy
pxx +
kyy
pyx
kxy
pxy +
kyy
pyy

La partie couplage entre la membrane et la flexion M se compose des blocs kp (kième ligne et
mf
pième colonne) suivants :

N N
N N
N N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
k
pxw
k
pxx
k
pxy
kxu pxw + kyu pyw
kxu
pxx +
kyu
pyx
kxu
pxy +
kyu
pyy
mf
+




f


N N
N N
N N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
k
pyw
k
pyx
k
pyy
kxv pxw + kyv pyw
kxv
pxx +
kyv
pyx
kxv
pxy +
kyv
pyy


La partie couplage entre la flexion et la membrane M se compose des blocs kp (kième ligne et
fm
pième colonne) suivants :
N
N
N
N
N N
N
N
N
N
N
N
kxw
p
kyw
p
kxw
pxu +
kyw
pyu
kxw
pxv +




kyw
pyv
N N
N N
N
N
N N
N
N
N N

mf
kxx
p
kyx
p + f
kxx
pxu +
kyx
pyu
kxx
pxv +
kyx
pyv




N N
N N
N N
N N
N N
N N
kxy
p
kyy
p
kxy pxu + kyy pyu
kxy
pxv +
kyy
pyv


4.5.2 Matrice de masse élémentaire améliorée

Comme la flèche d'une plaque en flexion uniquement peut difficilement être représentée par une
approximation linéaire, on peut enrichir les fonctions de forme pour les termes de flexion. Cette
approche est utilisée dans le Code_Aster pour les éléments du type DKT, DST et Q4G où les fonctions
de forme utilisées dans le calcul de la matrice de masse de flexion sont d'ordre 3. L'interpolation pour
w s'écrit ainsi :

N
w = N
( , )w
N
( , )w
N
( , )w

3(k )
1 1
k +
3(k )
1 2
, k +
3(k )
1 3
- +
- +

- +
,k
k=1


4.5.2.1 Eléments du type DKT

On sait que dans l'approximation de Love-Kirchhoff on a = -w et = -w en tout point de
x
,x
y
,y
l'élément.
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Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 25/36


Du fait de la discrétisation énoncée ci-dessus on a :

N
w = N
( , )w
(J N
( , ) J N
( , ))w
(J N
( , ) J N
( , ))w

3(k )
1 1
k +
11
3(k )
1 2 +
21
3(k )
1 3
,xk +
12
3(k )
1 2 +
22
3(k )
1 3
- +
- +
- +
- +
- +
,yk
k=1

puisque :
w
J
J
w
,k


11
12
,xk
=










w
J
J
w
,k
21
22

,yk

Ceci s'écrit encore :

N
w = N
( , )w
N
( , )
N
( , )
3(k )
1 1
k +
3(k )1 2 xk + 3(k )1 3
- +
- +
- +
yk
k=1

N
= N ( , )w N ( , )
N
( , )
kww
k +
kwx xk +
kwy yk
k=1

où :
N
( ,
- +
)
= N
( ,
- +
)

3(k )
1 1
3(k )
1 1
N
( ,
- +
)
= -J N
( ,
- +
)
- J N
( ,
- +
)
.
3(k )
1 2
11
3(k )
1 2
21
3(k )
1 3
N
( ,
- +
)
= -J N
( ,
- +
)
- J N
( ,
- +
)

3(k )
1 3
12
3(k )
1 2
22
3(k )
1 3

Ainsi :
uk


w

0
0
N
( , ) N
( , ) N
( , )
v
kww
kwx
kwy


k


N


N
( , ) N
( , ) N
( , )
N
( , ) N
( , ) w

x =


kxu
kxv
kxw
kxx
kxy


k

k=1

N
( , ) N
( , ) N
( , )
N
( , )
N
( , )
y
kyu
kyv
kyw
kyx
kyy

xk






yk

En ne tenant pas compte des effets d'inertie, la matrice de masse a ainsi la forme suivante :

M
M
m
mf
M =


M
M
fm
f

La partie membrane M de la matrice élémentaire de masse se compose des blocs kp ( kième ligne
m
et pième colonne ) suivants :

N N
0
N N
N
N
N N
N N
k
p

k pxu + kxu p
k
pxv +
kyu
p
m
+




mf


0
N N
N N
N N
N N
N N
k
p
k pyu + kxv p
k
pyv +
kyv
p
N N
N N
N
N
N N
kxu
pxu +
kyu
pyu
kxu
pxv +
kyu
pyv
+ f


N N
N N
N N
N N
pxu
kxv +
pyu
kyv
kxv
pxv +
kyv
pyv

Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.3

Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 26/36


La partie membrane-flexion M se compose des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
mf

N N
N N
N N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
k
pxw
k
pxx
k
pxy
kxu pxw + kyu pyw
kxu
pxx +
kyu
pyx
kxu
pxy +
kyu
pyy
mf
+




f


N N
N N
N N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
k
pyw
k
pyx
k
pyy
kxv pxw + kyv pyw
kxv
pxx +
kyv
pyx
kxv
pxy +
kyv
pyy


La partie flexion-membrane M se compose des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
fm

N
N
N
N
N N
N
N
N
N
N
N
kxw
p
kyw
p
kxw
pxu +
kyw
pyu
kxw
pxv +




kyw
pyv
N N
N N
N
N
N N
N
N
N N

mf
kxx
p
kyx
p + f
kxx
pxu +
kyx
pyu
kxx
pxv +
kyx
pyv




N N
N N
N N
N N
N N
N N
kxy
p
kyy
p
kxy pxu + kyy pyu
kxy
pxv +
kyy
pyv


Le terme M de flexion est composé des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
f

N
N
N
N
N
N

kww pww
kww
pwx
kww
pwy
N N
N
N
N
N
m
kwx
pww
kwx
pwx
kwx
pwy +


N
N
N
N
N
N
kwy
pww
kwy
pwx
kwy
pwy

N N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
kxw
pxw +
kyw
pyw
kxw
pxx +
kyw
pyx
kxw
pxy +


kyw
pyy
N N
N N
N
N
N
N
N
N
N
N
f
kxx
pxw +
kyx
pyw
kxx
pxx +
kyx
pyx
kxx
pxy +
kyx
pyy


N N
N N
N N
N N
N N
N N
kxy
pxw +
kyy
pyw
kxy
pxx +
kyy
pyx
kxy
pxy +
kyy
pyy


4.5.2.2 Eléments du type DST

On sait que pour ces éléments on a = - w et = - w où la distorsion est constante
x
x
,x
y
y
,y
sur l'élément.

Comme :

N
w = N
( , )w
(J N
( , ) J N
( , ))w
(J N
( , ) J N
( , ))w

3(k )
1 1
k +
11
3(k )
1 2 +
21
3(k )
1 3
,xk +
12
3(k )
1 2 +
22
3(k )
1 3
- +
- +
- +
- +
- +
,yk
k=1

on peut aussi écrire :

N
w = N
( ,
- +
)
w + N
( ,
- +
)
+ N
( ,
- +
)

3(k )
1 1
k
3(k )
1 2
xk
3(k )
1 3
yk

k 1
=
+ (J + J )N
( ,
- +
)
+ (J + J ) N

( ,
- +
)

11 x
12 y
3(k )
1 2
21 x
22 y
3(k )
1 3
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 27/36


où :

N
( ,
- +
)
= N
( ,
- +
)

3(k )
1 1
3(k )
1 1
N
( ,
- +
)
= -J N
( ,
- +
)
- J N
( ,
- +
)

3(k )
1 2
11
3(k )
1 2
21
3(k )
1 3
N
( ,
- +
)
= -J N
( ,
- +
)
- J N
( ,
- +
)

3(k )
1 3
12
3(k )
1 2
22
3(k )
1 3

N
N
( , )
N
( , )
3(k )
1 1 =
3(k )
1 1
- +

- +
k=1
N
N
( , )
N
( , )
3(k )
1 2 =
3(k )
1 2
- +

- +
k=1
N
N
( , )
N
( , )
3(k )
1 3 =
3(k )
1 3
- +

- +
k=1

u
w
u
w
1
1
1
1








v
v
1
x1
1
x1








x


1y


1y
=
-1
H
[(B
B P )
(B
B P )

m
m
M
M ] T
T
ct
c
+ c



+

c
+



c

= u M

+
M


w
y










w
w
N


N
u

u

N
xN



N
xN








v
v
N
yN
N
yN

On obtient alors l'interpolation pour w :

N
N
w = N
( , )u
N
( , )v
N
( , )w
N
( , )
N
( , )

5(k )
1 1
k +
5(k )1 2 k +
5(k )1 3 k + 5(k )1 4 xk + 5(k )1 5
- +
- +

- +
- +
- +
yk
k=1
k=1
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Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 28/36


où :

N
( ,
- +
)

= (J T
,
1
( (
2 k

- )
1 + )
1 + J T ( ,
2 (
2 k

- )
1 + ))
1
N

( ,
- +
)

5(k )
1 1
11
u
12
u
3( j )
1 2
+ (J T
,
1
( (
2 k

- )
1 + )
1 + J T ( ,
2 (
2 k

- )
1 + ))
1 N
( ,
- +
)

21
u
22
u
3( j )
1 3
N
( ,
- +
)
= (J T
,
1
( (
2 k

- )
1 + )
2 + J T ( ,
2 (
2 k

- )
1 + ))
2
N

( ,
- +
)

5(k )
1 2
11
u
12
u
3( j )
1 2
+ (J T
,
1
( (
2 k

- )
1 + )
2 + J T ( ,
2 2(k

- )
1 + ))
2
N

( ,
- +
)

21
u
22
u
3( j )
1 3
N
( ,
- +
)
= N
( ,
- +
)

5(k )
1 3
3(k )
1 1
+ (J T
(
3
,
1
(
k

- )
1 + )
1 + J T (
(
3
,
2 k

- )
1 + ))
1 N
( ,
- +
)

11
w
12
w
3( j )
1 2
+ (J T
(
3
,
1
(
k

- )
1 + )
1 + J T (
(
3
,
2 k

- )
1 + ))
1 N
( ,
- +
)

21
w
22
w
3( j )
1 3
N
( ,
- +
)
= N
( ,
- +
)

5(k )
1 4
3(k )
1 2
+ (J T
(
3
,
1
(
k

- )
1 + )
2 + J T (
(
3
,
2 k

- )
1 + 2))N
( ,
- +
)

11
w
12
w
3( j )
1 2
+ (J T
(
3
,
1
(
k

- )
1 + )
2 + J T (
(
3
,
2 k

- )
1 + 2))N
( ,
- +
)

21
w
22
w
3( j )
1 3
N
( ,
- +
)
= N
( ,
- +
)

5(k )
1 5
3(k )
1 3
+ (J T
(
3
,
1
(
k

- )
1 + )
3 + J T (
(
3
,
2 k

- )
1 + ))
3 N
( ,
- +
)

11
w
12
w
3( j )
1 2
+ (J T
(
3
,
1
(
k

- )
1 + )
3 + J T (
(
3
,
2 k

- )
1 + ))
3 N
( ,
- +
)

21
w
22
w
3( j )
1 3



Ceci peut encore s'écrire de la manière suivante :

uk


w
N
( , ) N
( , ) N
( , ) N
( , ) N
( , )
v
kwu
kwv
kww
kwx
kwy


k


N


N
( , )
N
( , )
N
( , )
N
( , ) N
( , ) w

x =


kxu
kxv
kxw
kxx
kxy


k

k=1

N
( , )
N
( , )
N
( , )
N
( , )
N
( , )
y
kyu
kyv
kyw
kyx
kyy

xk






yk

La matrice de masse a ainsi la forme suivante :

M
M
m
mf
M =


M
M
fm
f
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Version
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Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 29/36


La partie membrane M de la matrice élémentaire de masse se compose des blocs kp ( kième ligne
m
et pième colonne ) suivants :

N N
N
N
N
N
N N
N
N
N N
N N
k
p +
kwu
pwu
kwu
pwv

k pxu + kxu p
k
pxv +
kyu
p
m
+




mf



N
N
N N
N
N
N N
N N
N N
N N
kwv
pwu
k
p +
kwv
pwv
k pyu + kxv p
k
pyv +
kyv
p
N N
N N
N
N
N N
kxu
pxu +
kyu
pyu
kxu
pxv +
kyu
pyv
+ f


N N
N N
N N
N N
pxu
kxv +
pyu
kyv
kxv
pxv +
kyv
pyv


La partie membrane-flexion M se compose des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
mf

N
N
N
N
N
N
N N
N N
N N
kwu
pww
kwu
pwx
kwu
pwy
k pxw
k
pxx
k
pxy
m
+




mf


N
N
N
N
N
N
N N
N N
N N
kwv
pww
kwv
pwx
kwv
pwy
k pyw
k
pyx
k
pyy
N N
N N
N
N
N N
N
N
N N
kxu
pxw +
kyu
pyw
kxu
pxx +
kyu
pyx
kxu
pxy +
kyu
pyy
+ f


N N
N N
N N
N N
N N
N N
kxv
pxw +
kyv
pyw
kxv
pxx +
kyv
pyx
kxv
pxy +
kyv
pyy


La partie flexion-membrane M se compose des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
fm

N
N
N
N

N N
N
N
kww pwu
kww
pwv
kxw p
kyw
p
N N
N
N
N
N
N N
m
kwx
pwu
kwx
pwv + mf
kxx
p
kyx
p




N
N
N
N
N N
N N
kwy
pwu
kwy
pwv
kxy p
kyy
p
N N
N
N
N
N
N
N
kxw
pxu +
kyw
pyu
kxw
pxv +


kyw
pyv
+ N N
N N
N
N
N N
f
kxx
pxu +
kyx
pyu
kxx
pxv +
kyx
pyv


N N
N N
N N
N N
kxy
pxu +
kyy
pyu
kxy
pxv +
kyy
pyv


Le terme M de flexion est composé des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
f

N
N
N
N
N
N

kww pww
kww
pwx
kww
pwy
N N
N
N
N
N
m
kwx
pww
kwx
pwx
kwx
pwy +


N
N
N
N
N
N
kwy
pww
kwy
pwx
kwy
pwy

N N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
kxw
pxw +
kyw
pyw
kxw
pxx +
kyw
pyx
kxw
pxy +


kyw
pyy
N N
N N
N
N
N
N
N
N
N
N
f
kxx
pxw +
kyx
pyw
kxx
pxx +
kyx
pyx
kxx
pxy +
kyx
pyy


N N
N N
N N
N N
N N
N N
kxy
pxw +
kyy
pyw
kxy
pxx +
kyy
pyx
kxy
pxy +
kyy
pyy

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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Version
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Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 30/36


4.5.2.3 Eléments du type Q4

On procède de la même façon que pour les éléments du type DST mais avec :

w1


x1


x
1y
= B M





c
y


w N

xN




yN

où : Bc est la matrice établie au [§4.3.1].


On en déduit que :
uk


w
0 0 N
( , ) N
( , ) N
( , )
v
kww
kwx
kwy


k


N

0 0
0
N ( , )
0
w

x =




k


k

k=1

0 0
0
0
N ( , )
y
k

xk




yk


La matrice de masse a ainsi la forme suivante :

M
0
m

M =


0
Mf


La partie membrane M de la matrice élémentaire de masse se compose des blocs kp ( kième ligne
m
et pième colonne ) suivants :

N N
0
k
p



m


0
N N
k
p


Le terme M de flexion est composé des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
f

N
N
N
N
N
N

0
0
0

kww pww
kww
pwx
kww
pwy


N N
N
N
N
N
0 N N
0

m
kwx
pww
kwx
pwx
kwx
pwy + f
k
p





N N
N
N
N
N
0
0
N N
kwy
pww
kwy
pwx
kwy
pwy

k
p

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Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
R3.07.06-A Page
: 31/36


4.5.2.4 Remarque

On néglige dans l'expression de la matrice de masse élémentaire sans excentrement les termes
d'inertie de rotation (& + &
dS
)


car ces derniers sont négligeables par rapport aux
f
x
x
y
y
S
autres. En effet un facteur multiplicatif de h2/12 les lie aux autres termes et ils deviennent négligeables
pour un rapport épaisseur sur longueur caractéristique inférieur à 1/10. Lorsque l'excentrement est
introduit, ces termes de la forme ( + d
2
+ d2 )(& + &
dS
)


ne sont plus
f
mf
m
x
x
y
y
S
négligeables et sont introduits dans l'expression de la matrice de masse.



5
Mise en oeuvre et post-traitements

L'excentrement est introduit par le mot-clé facultatif EXCENTREMENT au niveau de AFFE_CARA_ELEM de
la même manière que l'épaisseur selon les modalités définies en introduction. Quand ce mot-clé n'est
pas présent l'excentrement vaut zéro par défaut.


5.1
Application des efforts et couples

Tous les calculs sont faits dans le repère d'épure (plan du maillage). Si on définit des forces ou des
couples par rapport à un autre repère, l'utilisateur devra faire pour FORCE_ARETE et FORCE_NODALE
les transformations nécessaires pour se ramener au repère de maillage. Pour FORCE_COQUE
l'utilisateur pourra préciser le plan d'application des efforts et la conversion vers le repère de calcul
sera automatique.

On introduit ainsi dans AFFE_CHAR_MECA la notion de plan d'application des efforts par le mot-clé
PLAN sous FORCE_COQUE. Ce plan d'application est différent du plan de référence ou plan d'épure
sur lequel s'appuie le maillage. Pour ce mot-clé on définira les quatre possibilités suivantes
d'application des forces :'INF' `MOY' `SUP' `MAIL' . `INF' `MOY' et `SUP' signifient que l'on
applique les efforts en peau inférieure, moyenne et supérieure de plaque respectivement. `MAIL'
signifie que l'on applique les efforts au niveau du plan de référence ou plan du maillage. Par défaut les
efforts seront appliqués sur le plan du maillage de la plaque. Sont concernés les efforts de type
FORCE_COQUE du TE0032.

En repère local à l'élément, lorsque les forces et les couples sont aplliqués sur `MOY' on utilise la
simple relation de passage :
c = c - df
x
x
y
c = c + df
y
y
x

pour ramener les efforts et les couples dans le repère du maillage où on fait les calculs.

En repère local à l'élément, lorsque les forces et les couples sont appliqués sur `SUP' on utilise la
simple relation de passage :
c = c - (d + h / 2)f
x
x
y
c = c + (d + h / 2)f
y
y
x

En repère local à l'élément, lorsque les forces et les couples sont appliqués sur `INF' on utilise la
simple relation de passage :
c = c - (d - h / 2)f
x
x
y
c = c + (d - h / 2)f
y
y
x
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

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:
R3.07.06-A Page
: 32/36


Si les efforts sont donnés dans le repère global de l'élément , on utilise des relations de passage du
type : c = c + (d + h
/ 2)n f c est défini par rapport au repère 'INF' `MOY' `SUP' avec égal
à -1, 0 et 1, respectivement. Lorsqu'il n'y a pas d'excentrement, la formule précédente se réduit à
c = c + h / n
2 f .

Remarque :

Pour les chargements de type FORCE_ARETE ou FORCE_NODALE les efforts et couples ne
peuvent être exprimés que par rapport au repère du maillage. Si l'utilisateur ne les connaît
que par rapport au feuillet moyen de la plaque, il devra effectuer le changement de repère à
la main pour avoir l'expression des efforts et des couples par rapport à la surface de maillage.
La relation à utiliser est
c = c + dn f où d est la distance entre le plan de calcul et le plan
de chargement orientée par la normale à la coque. Il est évident que l'utilisateur a intérêt à ce
que le plan de chargement soit le plan du maillage, mais il n'est pas toujours possible de faire
coïncider ces deux plans comme on peut le voir sur la partie gauche de la figure de la page 6.

5.2
Application des conditions aux limites en déplacement

Pour les conditions aux limites de type déplacement l'utilisateur devra faire attention au fait qu'elles ne
peuvent s'appliquer que sur le repère de maillage. Les relations de passage par rapport à des
conditions données sur le feuillet moyen sont les suivantes :

=
ref
moy

u
= u
-
dn
ref
moy
moy

5.3 Post-traitements

Pour les post-traitements, les résultats par défaut de type efforts généralisés sont donnés dans le
repère correspondant au plan d'épure. Pour les avoir dans les autres repères, il faudra que l'utilisateur
indique le plan de post-traitement et les changements de repères seront automatiques.

Pour le post-traitement des efforts généralisés dans le TE0033, on définira les quatre possibilités
suivantes de post-traitement des efforts par le mot-clé PLAN : 'INF' `MOY' `SUP' `MAIL' des
commandes CALC_ELEM et CALC_CHAM_ELEM avec le même sens que précédemment. Le défaut est
mis à `MAIL'
. Tous les calculs sont faits dans le plan `MAIL' du maillage (en particulier le calcul
des forces nodales). Lorsqu'il n'y a pas d'excentrement c'est le feuillet moyen de la plaque : on
retrouve donc le post-traitement par défaut. Pour passer des résultats efforts généralisés de `MAIL' à
`MOY' on utilise la simple relation de passage :

N = N
M
= M - N
d
T = T

Pour passer des résultats efforts généralisés de `MAIL' à `SUP' on utilise la simple relation de
passage :
N = N
M
= M - (d + h / )
2 N
T = T

Pour passer des résultats efforts généralisés de `MAIL' à `INF' on utilise la simple relation de
passage :
N = N
M
= M - (d - h / )
2 N
T = T
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/03/005/A

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Version
6.3

Titre :

Traitement de l'excentrement pour les éléments de plaque

Date :
15/07/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. ASSIRE Clé
:
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6
Validation statique et modale

6.1 Validation
initiale

La première partie de la validation consiste à tester une plaque simple soumise à des forces et
couples et dont le plan de maillage ne coïncide pas avec le plan du feuillet moyen sur lequel sont
appliqués les efforts. Pour la plaque soumise à des forces et des couples, les résultats avec et sans
excentrement doivent tenir compte du changement de repère pour les couples comme indiqué ci-
dessous.

M
M
F
F
M+dn^F
d
M+dn^F
n
F
F


Les déplacements sont liés de la manière suivante pour un point situé à une hauteur z par rapport au
feuillet moyen :

u = u
+
n
z = u + (z + d n
)
moy
moy
ref
ref

ce qui s'écrit encore :

=
moy
ref

u
= u + dn
moy
ref
ref

ce qui nous permet d'établir les relations de passage entre les déplacements par rapport au feuillet
moyen et ceux par rapport au plan de référence.

Pour les efforts généralisés, dans les deux cas de figure précédents, on a les mêmes résultats sur les
feuillets moyen, inférieur et supérieur de plaque.


6.2
Cas-test SSLS111 : excentrement pour des plaques simples

Il s'agit d'un calcul en flexion d'un bicouche constitué de deux matériaux isotropes différents. On étudie
le couplage membrane-flexion. Le calcul de référence est celui d'un bicouche défini par
DEFI_COQU_MULT composé des deux matériaux isotropes différents ( non symétrie suivant z). L'autre
modélisation est composée de deux plaques excentrées par rapport à la fibre moyenne de la plaque
utilisée avec DEFI_COQU_MULT. Les résultats, identiques d'une modélisation à l'autre, sont donnés en
terme de déplacements et d'efforts généralisés. De plus on effectue sur la géométrie de ce test une
analyse modale pour les deux modélisations : les fréquences propres trouvées sont identiques.


6.3
Cas-test SSLS112 : excentrement pour des plaques composites

Il s'agit d'un calcul en flexion d'un quadricouche présentant une non-symétrie matérielle par rapport à
son plan moyen. Le calcul de référence utilise un quadricouches défini par DEFI_COQU_MULT. L'autre
modélisation utilise deux bicouches définis par DEFI_COQU_MULT mais excentrés par rapport à la fibre
moyenne du quadricouche. Les résultats, identiques d'une modélisation à l'autre, sont donnés en
terme de déplacements.
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7 Conclusion

Les éléments finis de plaque que nous décrivons ici sont utilisés dans les calculs de structures minces
élancées dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique est inférieur à 1/10. Le feuillet moyen
de ces structures ne coincide pas avec le plan du maillage (plan d'épure). L'excentrement correspond
donc à la distance du feuillet moyen par rapport au feuillet d'épure. Un excentrement d positif signifie
que la surface moyenne de la plaque est à une distance dn de l'élément de plaque maillé, la direction
n étant donnée par la normale à l'élément.
Les valeurs de déplacements et d'efforts généralisés obtenus sont donnés par défaut dans le repère
du maillage. Pour les efforts généralisés, on peut cependant définir un repère de post-traitement -
repère associé au feuillet moyen - différent du repère d'épure. De la même manière, les efforts
appliqués sont considérés comme étant donné par défaut dans le repère d'épure. Dans le cas de
FORCE_COQUE, on peut cependant préciser un repère d'application des efforts et couples - repère
associé au feuillet moyen - différent du repère d'épure.
Des éléments équivalents ne sont pas disponibles en thermique ; les chaînages thermomécaniques ne
sont donc pas disponibles pour les éléments de plaques excentrés.



8 Références
bibliographiques

[1]
J.L. BATOZ, G.DHATT : "Modélisation des structures par éléments finis : poutres et plaques
", Hermès, Paris, 1992.
[2]
D. BUI : "Le cisaillement dans les plaques et les coques : modélisation et calcul", Note
HI-71/7784, 1992.
[3]
J.G. REN : "A new theory of laminated plate ", Composite Science and Technology, Vol.26,
p.225-239,1986.
[4]
T.A. ROCK, E. HINTON : "A finite element method for the free vibration of plates allowing for
transverse shear deformation ", Computers and Structures, Vol.6, p.37-44,1976.
[5]
T.J.R. HUGHES : "The finite element method", Prentice Hall,1987.
[6]
E. HINTON, T. ROCK et O.C. ZIENKIEWICZ : "A note on Mass Lumping and Related
Processes in the Finite Element Method ", Earthquake Engineering and Structural Dynamics,
Vol4, p. 245-249, 1976.
[7]
F. VOLDOIRE : "Modélisation par homogénéisation thermique et thermo-élastique de
composants mécaniques minces", CR MMN/97/091.
[8]
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, S. ANDRIEUX : "Modèle de thermique pour les coques minces",
Manuel de Référence du Code_Aster [R3.11.01].
[9]
F. VOLDOIRE : "Cylindre creux thermoélastique ", Manuel de Validation du Code_Aster
[V7.01.100].
[10]
A.K. NOOR, W.S. BURTON : "Assessment of shear deformation theories for multilayered
composite plates ", ASME, Applied Mechanics Review, Vol.42, N°1, p.1-13,1989.
[11]
A.K. NOOR, W.S. BURTON, J.M. PETERS : "Assessment of computational models for
multilayered composite cylinders " in Analytical and Computational Models of Shells, Noor et
al. Eds, ASME, CED - Vol.3, p.419-442,1989.
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Annexe 1 Facteurs de correction de cisaillement transverse
pour des plaques orthotropes ou stratifiées
excentrées


La matrice Hct est définie de sorte que la densité surfacique d'énergie de cisaillement transverse obtenue
dans le cas de la distribution tridimensionnelle des contraintes issues de la résolution de l'équilibre soit égale à
celle du modèle de plaque basé sur les hypothèses de Reissner, pour un comportement en flexion simple. On
doit ainsi trouver Hct telle que :

1 +h/2
1
1

+h/2
xz
H-1
-1
= TH T
ct
= Hct avec =
et T =
dz = H

.
2
2
2

ct
yz
-h/2
-h/2

Pour obtenir Hct on utilise la distribution de suivant z obtenue à partir de la résolution des équations
d'équilibre 3D sans couples extérieurs :

z
z
= - (
avec xz =
= 0 pour z=±h/2.
, +
)d ;
,
= - ( , +
)d
xz
xx x xy y yz
xy x yy,y
yz
-h/2
-h/2

Dans le cas où il n'y a pas de couplage membrane flexion (symétrie par rapport à z=0), les contraintes dans le
plan de l'élément xx , yy , xy ont pour expression dans le cas d'un comportement de flexion pure :

= zA(z)M avec A z = H z H-1
( )
( ) f .

Si (
H z) et Hf ne dépendent pas de x et y on peut déterminer Hct . En effet :

M xx,x - Mxy,y


Tx Mxx,x + Mxy,y
M xy,x - M


yy,y
(z) = D (z)T


1
+ D (z)
2
T =
=
et =

T

M

y
M xy,x + M yy,y

yy,x


M xx,y

ainsi que :

z
A
A
A
A
11 +
33
13 +
32
D = -
d ,
1
2 A
A
A
A
h/2
31 +
23
22 +
33
-
z
A
A
A
A
A
A
11 -
33
13 -
2
2
32
12
31
D = -
d .
2
2 A
A
A
A
A
A
h/2
31 -
23
33 -
2
2
22
32
21
-
+h/2
C =
DTH 1
- D
11
1 1dz;
-h/2
1 +h/2
1
T C
C
T
+h/2
Il en résulte que
-
H 1
11
12
T
-1
=
T
avec : C =
D H D

dz;
2
2 C
C
12
1

2
12
22
-h/2
-h/2
+h/2
C
=
DTH 1
- D
22
2 2dz
-h/2
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1 +h/2
1
Comme par ailleurs
-1
-
H
1
-1
=
TH T on propose de prendre H = C pour satisfaire au mieux les
2
2
ct
ct
11
-h/2
deux équations quels que soient T et .

+h/2
En comparant Hct ainsi calculée avec H
H
ct = dz on fait apparaître les coefficients de correction de
-h/2
cisaillement transverse suivant : k = H11 / H 11;k
= H12 / H 12;k = H22 / H 22
1
ct
ct
12
ct
ct
2
ct
ct .

Pour une plaque homogène, isotrope ou anisotrope, on trouve ainsi : Hct =kh H avec k=5/6.

Remarques :

Cette méthode n'est valide que lorsque la plaque composite est symétrique par rapport à z=0.

· Pour un matériau multicouche , on établit que :

N
i-1
i-
h
1
1
1
C
= i (h AT
2
2
p p
- z AT )H-1
i
(

h A
p p
- z A
11
p
i
p
i
i ) +
4
2
2
i=1
p=1
p=1
i-1
i-
1
1
3
3
-
1
1
2
2
-
(zi+1 - z )[ATH 1
i
(

h A
p p
- z A
i
) + (h AT
p p
- z AT )H 1A
i
p
i
p
i
i

i ]
24
2
2
p=1
p=1
1
+
(z5
5
T
-1
i+1 - zi )A H
A
80
i

i
1
A + A
A + A
11
33
13
32
où : h = z +1 - z , = (z +1 + z
i
i
i
i
i
i ) et A

pour
2
i représente la matrice A + A
A + A
31
23
22
33
la couche i.

· La validité du choix H
= C 1
-
ct
11 peut être examinée a posteriori lorsque l'on a une estimation de
la solution (champs de déplacements et de contraintes planes, notamment). On peut alors estimer
l'écart entre les deux estimations sur l'énergie. Une démarche de calcul en deux étapes pour les
plaques et coques multicouches (avec Hct diagonale et deux coefficients k1 et k2) a d'ailleurs été
développée par Noor et Burton [bib10] [bib11].

· Dans le cas d'une plaque homogène isotrope ou anisotrope l'égalité entre les deux énergies est
satisfaite au sens strict puisque D2 = 0. Le choix fait ci-dessus est alors valide et aucun examen a
posteriori n'est nécessaire.

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