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6.4

Titre :

Elasticité anisotrope

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:

28/10/03
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A. ASSIRE Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R4.01 : Matériaux composites
Document : R4.01.02




Elasticité anisotrope





Résumé

Ce document traite de l'élasticité anisotrope.


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Fascicule R4.01 : Matériaux composites
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Topologie des matrices de Hooke .........................................................................................................3

2.1 L'Orthotropie ....................................................................................................................................3
2.2 Isotropie transverse .........................................................................................................................4
2.3 Isotropie ...........................................................................................................................................4

3 Matrice de Hooke et de souplesse ........................................................................................................4
3.1 Notations..........................................................................................................................................4
3.2 Cas 3 D ............................................................................................................................................6
3.2.1 0rthotropie ..............................................................................................................................6
3.2.1.1 Matrice de souplesse .................................................................................................6
3.2.1.2 Matrice de Hooke .......................................................................................................6

3.2.2 Isotropie transverse ................................................................................................................7
3.2.2.1 Matrice de souplesse .................................................................................................7
3.2.2.2 Matrice de Hooke .......................................................................................................9
3.2.3 Isotropie................................................................................................................................10
3.2.3.1 Matrice de souplesse en fonction de E et .............................................................10
3.2.3.2 Matrice de Hooke en fonction de E et ...................................................................10
3.2.3.3 Matrice de souplesse en fonction des coefficients de Lamé et µ .........................11
3.2.3.4 Matrice de Hooke en fonction des coefficients de Lamé et µ ...............................11
3.3 Cas 2 D orthotrope en déformations planes et axisymétrique ......................................................11
3.3.1 Matrice de souplesse............................................................................................................11
3.3.2 Matrice de Hooke .................................................................................................................12
3.4 Cas 2 D orthotrope en contraintes planes .....................................................................................12
3.4.1 Matrice de souplesse............................................................................................................12
3.4.2 Matrice de Hooke .................................................................................................................12

4 Utilisation dans Code_Aster.................................................................................................................13
5 Bibliographie ........................................................................................................................................14

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1 Introduction

L'objectif de ce document est de donner l'expression des matrices de souplesse et de Hooke pour des
matériaux élastiques orthotrope, isotrope transverse et isotrope dans les cas 3Dn 2D-contraintes,
2D-déformations planes et axisymétrie.

Nous parlons de « matrices » de Hooke car, par souci de simplification, nous n'avons pas adopté la
notation d'un tenseur d'ordre 4.

En toute rigueur, pour les matériaux élastiques linéaires, les contraintes sont des fonctions linéaires
des déformations.

On écrit : ij = Hijkl. kl

La nature symétrique de [] et [] et l'adoption pour ces tenseurs d'ordre 2 d'une forme vectorielle
permet d'écrire :

{}= [H]{}

ou { } et {} sont la représentation vectorielle des tenseurs d'ordre 2 { } et [ ] et où [H] est une
matrice 6 x 6.



2
Topologie des matrices de Hooke

2.1 L'Orthotropie

On peut montrer la symétrie de la matrice de Hooke H.

Nous avons donc vingt et une composantes indépendantes dans le cas 3D.

H11
H12 H13 H14 H15 H16
H 22 H23 H24 H25 H26
[H]
H33 H34 H35 H36
=

SYM
H 44 H45 H46
H55 H56
H 66

Un matériau orthotrope possède deux plans orthogonaux de symétrie élastique.

Ceci veut dire que si l'on appelle [H'] la matrice [H] après symétrie(s)
[H'] = [H].

Les relations obtenues entre les coefficients permettent d'écrire que [H] est définie par neuf
composantes indépendantes.
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Dans les axes d'orthotropie :

H
H
H
0
0
0
11
12
13
H
H
0
0
0
22
23
[H]
H
0
0
0
33
=

SYM
H
0
0
44
H
0
55
H66

Il faut donc fournir 9 coefficients.


2.2 Isotropie
transverse

L'isotropie transverse est une restriction de l'orthotropie dans où l'on a l'isotropie dans l'un des deux
plans orthogonaux de symétrie élastique.

La matrice [H] aura la même forme que pour l'orthotropie mais avec des relations supplémentaires
entre les composantes.
5 composantes suffisent à déterminer [H].


2.3 Isotropie


Le matériau est isotrope si [H] reste invariant dans tout changement de repère.

Deux coefficients suffisent à déterminer [­H].




3
Matrice de Hooke et de souplesse

3.1 Notations

Au lieu d'utiliser les indices 1, 2 et 3 pour repérer les axes, on va utiliser les indices correspondants L,
T et N :

L pour longitudinal
T pour transversal
N pour normal


N
T
L

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Les coefficients qui interviennent sont les suivants :

E_L
: Module d'Young longitudinal
E_T
: Module d'Young transversal
E_N
: Module d'Young normal
G_LT
: Module de cisaillement dans le plan (L, T)
G_TN
: Module de cisaillement dans le plan (T, N)
G_LN
: Module de cisaillement dans le plan (L, N)
NU_LT : Coefficient de Poisson dasn le plan (L, T)
NU_TN : Coefficient de Poisson dans le plan (T, N)
NU_LN : Coefficient de Poisson dans le plan (L, N)

Remarque très importante :

Nu _ LT est différent de Nu _ TL :
Si l'on applique une traction suivant L
LL
LL =
(loi de Hooke suivant une direction).
EL


Cette traction est accompagnée, proportionnellement, d'une contraction suivant
LL
T ,-Nu _ LT.

EL

et d'une contraction suivant
LL
N,-Nu _ LN
.
EL

Le premier indice indique l'axe où s'exerce l'effet du chargement et le second indice indique la
direction du chargement.

Ensuite on exerce une traction suivant T, puis une traction suivant N ; on obtient :





LL

=
- Nu _ LT TT - Nu _ LN NN
LL

E
E
E
L
T
N






= -Nu _ TL LL
TT
+
- Nu _ TN NN
TT
(
S )
E
E
E
L
T
N






= -Nu _ NL LL - Nu _ NT TT
NN
NN
+

E
E
E
L
T
N


La matrice de souplesse [H]­1 est symétrique ; on en déduit :

u _ LT
Nu _ TL
=

E
E
L
T

Nu _ LN
Nu _ NL
=

E
E
L
N

Nu _ TN
Nu _ NT
=

E
E
T
N

Dans tout ce qui suit NU sera noté .
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3.2
Cas 3 D

3.2.1 0rthotropie

3.2.1.1 Matrice de souplesse








1
-
-
LL
LT
LN






0
0
0



E
E
E
LL

L
N






-
1
-
TL
TN

TT
0
0
0


E
E
E




L
T
N
TT




-
-
1


NN

NL
NT
0
0
0





E
E
E

L
T
N


=
NN


1







0
0

LT


GLT



LT

1



SYM
0


LN




G



LN



LN

1






G
TN




TN


TN





H­1 ­ Orthotropie


3.2.1.2 Matrice de Hooke





1

LL
- TN NT


( +


LT
LN
NT )
(
+
LN
LT
TN )
LL






0
0
0


E E
E E
.
E .E




T
N
T
N
T
N

LL
( +
1

.
TL
TN
NL )
( - NL LN )
(
+
TN
LN
TL )

TT


0
0
0






E E
E .E
E E
.
L
N
L
N
L
N




( + .

.
1
.

NL
NT
TL )
(
+
NT
LT
NL )
( - LT TL )

NN




E E E
0
0
0
NN
=

L
T
N

E E
.
E .E
E E
.



L
T
L
T
L
T


1 -
TN
NT




GLT




LT


0
0


-
LT

NL
LN

*





-

GLN


LT
TL


LN


SYM
0


-
2

*
LN

TN
NL
LT






GTN

1


TN =


* TN









H ­ Orthotropie avec TL
LT
NL
LN
NT
TN
=
;
=
;
=

E
E
E
E
E
E
L
T
L
N
T
n
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3.2.2 Isotropie
transverse

3.2.2.1 Matrice de souplesse



N
T
L




La matrice H­1 peut être déduite directement de la matrice H­1-Orthotropie en utilisant les propriétés
de l'isotropie transverse.

Dans le plan (L, T) :

E = E
L
T
=

TL
TL EL
G
=
LT
(
2 1+ LT )

Dans les plans (L, N) et (T, N) :


=
NT
NL

=

LN
TN
G
= G
TN
LN
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N
T
L


E = E
L
T
=
LT
TL
EL
G
=
LT
(
2 1+ LT )

=
NT
NL


=
LN
TN
G
= G
TN
LN


NT
LN
=
E
E
L
N







1
-
-
LL
LT
LN






0
0
0



E
E
E
LL

L
L
N






-
1
-
TL
LN

TT
0
0
0


E
E
E




L
L
N
TT




-
-
1


NN

NL
NT
0
0
0





E
E
E

L
L
N


=
NN

(

2 1+ LT )









0
0

LT


EL



LT

1



SYM
0


LN




G



LN



LN

1







G

TN
TN


TN





H­1 - Isotropie transverse
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3.2.2.2 Matrice de Hooke

La matrice [H] possède les mêmes symétries que [H]­1


N
T
L








LL


1 - .
+

+

NL
LN
LT
NL
LN
LN
LT
LN



0
0
0
LL




E .E
E .E
E E
.
L
N
L
N
L
N


TT




E 2.E
+
1 -
.

+


L
N
TL
NL
LN
NL
LN
LN
LT
LN



0
0
0
TT

1

2
.
E .E
E .E
E E
.


-
NL
LN
L
N
L
N
L
N




2

NN
2
+ .
+ .
1 -




- LT
NL
LT
NL
NL
LT
NL
LT


=

0
0
0
2
2
2
NN

E
E
E


-
2



NL
LN
LT
L
L
L


LT




E
. '
1
L





=





2(1 + LT )
LT




LN



G

. '

LN
LN



TN
G

. '

LN



TN









H ­ Isotropie transversale
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3.2.3 Isotropie


3.2.3.1 Matrice de souplesse en fonction de E et












LL
1
-
-
LL


0
0
0


E
E
E



1
-




TT

0
0
0
TT


E
E




1



0
0
0

NN


E
NN
=




1
1
(
2 + )



LT
=
0
0
LT


G
E


1
(
2 1+ )




SYM
=
0




LN

G
E
LN


1
(
2 1+ )



=




G
E



TN
TN









H­1 ­ Isotropie complète


3.2.3.2 Matrice de Hooke en fonction de E et



LL
1-


0
0
0
LL











TT
1-

0
0
0
TT




NN

1-
0
0
0


NN



E
1-


2

LT
SYM
0
0
LT
=


(1+ )(1-
2 )

2






1-
2





0

LN
LN

2






1-
2








2

TN




TN

H ­ Isotropie complète
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3.2.3.3 Matrice de souplesse en fonction des coefficients de Lamé et µ

La loi de Hooke prend la forme suivante avec les coefficients de Lamé et µ.

ij = kk
ij + 2µij

En utilisant le système d'équations (S), on obtient :


E
E
.
0
0

LL

L
TL
T
LL






1
E
.
E
0
0

TT
LT L
T
TT
=


1-
.
0
0
0
0

NN
LT
TL
NN

0
0
0 G

LT

LT LT

H ­ Orthotropie plane en contraintes planes

3.2.3.4 Matrice de Hooke en fonction des coefficients de Lamé et µ





0
0
0
LL
+
LL







0
0
0
TT

+
TT

+ 2µ 0 0 0
NN =
NN

SYM
µ 0 0
LN

LN

µ 0
LT
LT


µ
TN


TN

H ­ Isotropie complète avec les coefficients de Lamé


3.3
Cas 2 D orthotrope en déformations planes et axisymétrique

3.3.1 Matrice de souplesse


1
1

1
.

.
0
0

LL
( - NL LN )
-
( +
TL
TN
NL )


LL

E
E
L
L




TT
- 1 ( +
1
.
1
.
0
0
LT
LN
NT )
( - TN NT )
TT

= E
E




T
T


0
0
0
0
0 NN

1

0
0
0

LT



LT


GLT

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3.3.2 Matrice de Hooke



E
E
E

1
.

.



0

LL
L (
TN
NT )

-
( +
LT
LN
)
N
NT
( +
+
NL
NT
TL )
LL




'
'
'







TT
E
E
E
T ( +
+
1
.
1


0
TL
TN
)
T
NL
( - NL
)
T
LN
( -
+
+
NT
LT
NL )
TT


=


'
'
'







E
E

0
NN
N (
+ .



0
0
NL
NT
)
N
TL
(
+
+
NT
LT
NL )




'
'

LT
LT

0
0
0
GLT

'=1 - .
- .
- . -
2

TN
NT
NL
LN
LT
TL
TN
NL
LT
H ­ Orthotropie plane en déformations planes et axisymétrie


3.4
Cas 2 D orthotrope en contraintes planes

3.4.1 Matrice de souplesse

1
LT


0
0

LL

-
LL

E
E
L
T




TT

1
TL
TT
-

=
0
0
E
E




L
T



0
0
0
0

NN

NN




1
0
0
0

LT
LT


GLT
H­1 ­ Orthotropie plane en contraintes planes


3.4.2 Matrice de Hooke


E
E
0
0

LL

L
TL
T
LL






1
E
E
0
0

TT
LT L
T
TT
=


0 1-
.
0
0
0
0



LT
TL
NN

0
0
0 G

LT

LT LT
H ­ Orthotropie en contraintes planes

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4 Utilisation
dans
Code_Aster

Dans Aster, la définition des caractéristiques élastiques orthotropes constantes ou fonctions de la
température s'effectuent par la commande DEFI_MATERIAU, mot-clé ELAS_ORTH ou ELAS_ORTH_FO
pour les éléments de coque et les éléments massifs isoparamétriques ou les couches constitutives
d'un composite (voir la commande DEFI_COQU_MULT).

Pour définir le repère d'orthotropie (L, T, N) lié aux éléments, on peut se reporter aux documentations
[U4.42.03] DEFI_COQU_MULT et [U4.42.01] AFFE_CARA_ELEM.


N
T
L
L, T et N : directions d'orthotropie
longitudinale, transversale et normale



/ ELAS_ORTH = _F
( E_L = ygl Module d'Young longitudinal.








E_T = ygt Module d'Young transversal.








E_N = ygn Module d'Young normal.








GL_T = glt Module de cisaillement dans le plan LT.








G_TN = gtn Module de cisaillement dans le plan TN.








G_LN = gln Module de cisaillement dans le plan LN.








NU_LT = nult Coefficient de Poisson dans le plan LT.








NU_TN = nutn Coefficient de Poisson dans le plan TN.








NU_LN = nuln Coefficient de Poisson dans le plan LN.


Remarque importante :

L'exposé de cette note de référence est basé sur la convention des livres de J.L.Batoz et D.Gay.
La documentation U de DEFI_MATERIAU décrit ces choix, et le coefficient NU_LT s'interprète de
la façon suivante dans Aster :

si l'on exerce une traction selon l'axe L donnant lieu à une déformation selon cet axe égale à
l


l
L =
, on a une déformation selon l'axe T égale à : t = -nult*
.
ygl
ygl

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5 Bibliographie

[1]
J.C. MASSON : Matrice de Hooke pour les matériaux orthotropes, Rapport interne
Applications en Mécanique, n°79-018, CiSi, 1979.
[2]
D. GAY : Matériaux composites, Edition Hermes, 1987
[3]
J.L. BATOZ, G. DHATT : Modélisation des stuctures par éléments finis, Volume 1, Edition
Hermes

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