Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
1/18
Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document R3.06.07

Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Résumé :
Pour améliorer la régularité de la solution dans les problèmes de thermique transitoire, une des solutions
consiste à "lumper" (c'est-à-dire : condenser sur la diagonale) la matrice de masse thermique (matrice de
capacité).
Cette possibilité est accessible par les modélisations PLAN_DIAG, AXIS_DIAG et 3D_DIAG pour le phénomène
THERMIQUE. Elle est activée lors de l'appel aux commandes de calcul thermique THER_LINEAIRE et
THER_NON_LINE.
Lorsqu'on utilise ces modélisations, seuls les éléments finis linéaires (2D et 3D) ont une matrice de masse
lumpée. En effet, la diagonalisation directe ne donne pas de résultats satisfaisants pour les éléments finis
quadratiques. En conséquence, pour les éléments finis quadratiques 2D, on procède à un découpage en
éléments linéaires, qui sont lumpés. Par contre, pour les éléments finis quadratiques 3D, on ne fait pas de
diagonalisation de la matrice de masse.
Les résultats théoriques sont illustrés par le calcul thermo-mécanique d'un cylindre soumis à un choc thermique.
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
2/18
Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Principe du maximum ............................................................................................................................ 3
2.1 Enoncé du principe pour le cas continu........................................................................................... 3
2.2 Respect du principe du maximum au niveau discret....................................................................... 4
2.3 Conditions suffisantes pour le respect du principe du maximum au niveau discret........................ 5
3 Méthode de diagonalisation retenue et types d'éléments ...................................................................... 7
3.1 Eléments tels que les termes extra-diagonaux de K soient négatifs ............................................ 7
3.1.1 Eléments linéaires .................................................................................................................. 8
3.1.2 Eléments quadratiques........................................................................................................... 8
3.1.3 Conclusion sur les éléments : propriétés des matrices K .................................................... 8
3.2 Méthode de diagonalisation : Intégration aux noeuds des éléments ............................................... 9
4 Mise en oeuvre dans le Code_Aster..................................................................................................... 10
4.1 Modélisations 2D ........................................................................................................................... 10
4.2 Modélisation 3D............................................................................................................................. 11
5 Calcul thermique d'un cylindre soumis à un choc froid........................................................................ 12
5.1 Données ........................................................................................................................................ 12
5.2 Résultats........................................................................................................................................ 13
6 Conclusion ........................................................................................................................................... 17
7 Bibliographie ........................................................................................................................................ 18
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
3/18
1 Introduction
On s'intéresse à des calculs thermiques transitoires où interviennent de brusques variations des
chargements - par exemple, les chocs thermiques. Dans certains cas, on note que la température
oscille spatialement et temporellement. De plus, si on observe un profil de température à un instant
donné du transitoire, la température peut en certains noeuds dépasser les bornes min. et max.
imposées par les conditions initiales et les conditions aux limites. Ce résultat physiquement
inacceptable viole ce qu'on appelle le « principe du maximum ».
La diagonalisation de la matrice de masse peut résoudre ces problèmes de dépassement du
maximum. Ceci est détaillé dans la note [bib1]. On se contente ici d'en rappeler les principaux résultats.
On rappelle le principe du maximum dans le cas continu, puis on exprime des conditions suffisantes
qui permettent de le vérifier pour les équations discrètes. On montre notamment que la diagonalisation
de la matrice de masse thermique est une de ces conditions suffisantes et on présente différentes
méthodes pour diagonaliser M .
Un autre condition suffisante dépend de la matrice de rigidité thermique (conduction). On étudie plus
particulièrement de ce point de vue les éléments finis de thermique utilisés dans le Code_Aster.
Il en résulte que dans le cas des éléments linéaires, toutes les conditions suffisantes pour vérifier le
principe du maximum sont rassemblées. En particulier, la diagonalisation de la masse permet
effectivement d'obtenir une solution régulière. Par contre, pour les éléments quadratiques, on ne peut
empêcher les oscillations.
On décrit donc la solution proposée dans le Code_Aster : les modélisations développées en 2D
(AXIS_DIAG, PLAN_DIAG) fonctionnent avec des éléments linéaires (si la maille est d'ordre 2, on la
découpe en éléments linéaires pour le calcul thermique). En 3D, on ne traite que les éléments linéaires.
Une étude numérique d'un choc thermique sur un cylindre permet d'illustrer ces résultats.
2
Principe du maximum
2.1
Enoncé du principe pour le cas continu
On donne ici un des énoncés possible du principe du maximum pour l'opérateur de la chaleur (en
l'absence de termes de source, et en thermique linéaire homogène isotrope) [bib2].
Soit un ouvert borné de IRn de frontière , dont l'adhérence est notée .
Soit (
u x,t) telle que :
u - 0 sur × 0], [, ( >

u
T
T
0)
t
de classe 2 par rapport à x et u de classe

1
C
C par rapport à t sur ×]0,T[
Alors Max u = Max u , où P = ( × { }
0 ) ( × [ ,
0 T]) est la frontière du cylindre × ]0,T[ .
[
× 0,T]
P
Ce résultat assure donc que le maximum de u est forcément atteint soit lors des conditions initiales
soit sur un bord du domaine au cours du transitoire.
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
4/18
2.2
Respect du principe du maximum au niveau discret
On considère l'équation de la chaleur (conduction thermique) :
T
div(.T) + s(x,t) = C
0
p
=
+ Conditions limites + condition initiale T(t ,x) T (x
0
)
t
avec
T
température
s
chaleur par unité de volume (sources internes)
t
variable de temps
x
variable d'espace

coefficient de conductivité thermique
Cp
chaleur volumique à pression constante
Types de conditions limites :
· Température imposée : condition limite de Dirichlet
T(x,t) = T (x,t
imp
) sur imp
· Flux normal imposé : condition de Neumann définissant le flux entrant dans le domaine
- (
q x,t).n = f (x,t) sur flux
· Echange : condition limite de Fourier modélisant les échanges convectifs sur les bords du
domaine
- (
q x,t).n = (
h x,t) (T (x,t) - T(x,t
ext
) sur éch
ange
La formulation variationnelle du problème est la suivante : [bib3]
T
C
. d + T
. d +
hT. d = s. d +
f . d +
hT




ext.


d
p
t


échange


flux
échange

v vérifiant v = T (x,t
imp
) sur imp
Après discrétisation en espace de cette équation, on obtient le système :
T
M
(t) + K (
T t) = F

(t) .
t


avec
(
T t) : vecteur des températures nodales
M : matrice de masse thermique
M = C NN

T dV
e e


K

T
T

: matrice de rigidité thermique
K = N. N

dV +
h N.N


d
e e
echange

e





F : vecteur du second membre
F =
s Nd +
f N d +
h T N



d
ext

e e
flux

e
echangee


N : (fonctions de forme)
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
5/18
Pour la discrétisation en temps, on applique une -méthode ( [0 ]
1
, ) , qui conduit à :
(M + K
t ) Tn+1 = (M + ( - )tK) Tn + Fn+



1
1
+ (1- ) Fn
Tn Tn
,
+1 sont les vecteurs des températures nodales aux instants t , t
n
n+1 .
2.3 Conditions suffisantes pour le respect du principe du maximum au
niveau discret
Une des caractéristiques de non respect du principe du maximum est l'apparition d'oscillations
(temporelles ou spatiales) : si on observe la variation de la température en un noeud au cours du
temps, on note que la solution oscille et dépasse les valeurs minimale et maximale déterminées par les
conditions initiales et les conditions limites. Ou encore, à un instant donné, on observe des oscillations
spatiales.
On cherche donc des conditions suffisantes sur t , K et M pour que la solution n'oscille pas au
cours du temps ([bib1],[bib4],[bib5]). En effet, on ne sait pas obtenir de conditions nécessaires et
suffisantes. On cherche donc des conditions de non oscillation de la solution au cours du temps. Si
celles-ci sont vérifiées, on vérifiera que les oscillations spatiales ont également disparu, et alors le
respect du principe du maximum est assuré.
Hypothèses :
Pour pouvoir exprimer ces conditions suffisantes de non oscillation, il faut ajouter deux
hypothèses :

· on se place au niveau élémentaire. Le respect des propriétés au niveau élémentaire suffit pour
que les conditions de non oscillation soient vérifiées pour les matrices assemblées.
· on considère que la matrice de rigidité K n'est formée que du terme volumique
K
N N
V =

. T dV
e
Cette hypothèse est valable dans les cas où il n'y a pas de condition d'échange ou bien lorsque le
coefficient d'échange h est suffisamment grand : on peut alors approcher la condition d'échange
par une condition en température imposée.

Les conditions suffisantes de non oscillation reviennent à exprimer des conditions sur le pas de temps
et sur les termes diagonaux et extra-diagonaux de M et K pour que certaines propriétés de ces
matrices soient vérifiées (basées sur la monotonie des matrices) [bib1] :
M +. t
K 0 i j
ij
ij
éq 2.3-1
M + ( - )
1 t
K 0 i j
ij
ij
éq 2.3-2
M + ( - )
1 t
K 0 i

ii
ii

éq 2.3-3
Dans le cas général, les termes extra-diagonaux peuvent être de signe quelconque. Un étude rapide
permet de déterminer les conditions sur t en fonction de leurs signes pour que les équations
précédentes soient vérifiées :
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
6/18
Kij 0
Kij 0
Mij

M

M
+ .
0

ii


ij 0
M
tK
i
j
ij
ij
max
t

min






­ K

(1­ )K
[éq 2.3-1] inconditionnellement fausse
i j
ij
i

ii
sauf M = K
ij
ij = 0

M


M

M
ij
ii
ij 0
M + ( - )
1 t
K 0
i j
ij
ij
max

t

min





(1- )K
(1-)K
[éq 2.3-2] inconditionnellement fausse
i j
ij
i

ii
sauf M = K
ij
ij = 0


Quelque soit t et la forme de M ,
Interval e à respecter sur t .
il y a risque d'oscillations.
La diagonalisation de M permet
de supprimer la borne inférieure.
Les conditions suffisantes pour éviter les oscillations sont alors :
K
0 i
j
ij

t
t t
min
max
avec :

M

·
ii

tmax = min

i (1 ­
et
)Kii

Mij
Mij
·
t
= max
,

min


i j (1-)Kij - K

,
ij
En conséquence, il faut d'abord que les matrices élémentaires vérifient Kij 0 (c'est le cas des
éléments finis linéaires étudiés plus loin).
En ce qui concerne l'intervalle sur le pas de temps :
Si les oscillations sont dues à un pas de temps trop grand (t > tmax ), on peut conseiller :
· soit de choisir un schéma d'intégration en temps de type implicite ( = )
1 , pour éliminer
la borne supérieure de l'intervalle.
· soit de diminuer t . (En pratique, il est difficile de connaître un ordre de grandeur de
tmax ).
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
7/18
Assez souvent, le problème des oscillations se pose pour des pas de temps petits (t < tmin ) ; en
effet, pour prendre en compte les variations de la solution (par exemple, lors d'un choc thermique), on
est amené à choisir une discrétisation fine en temps. Dans ce cas, pour éviter les oscillations, on peut
suggérer :
· soit d'augmenter la valeur des pas de temps. En pratique, ceci n'est pas toujours possible
car t peut être imposé par la nature du problème (variation rapide du chargement). De plus,
il est difficile d'avoir un ordre de grandeur de tmin .
· soit de diminuer la taille des mailles et donc augmenter le nombre d'éléments. En effet, la
valeur de tmin dépend directement de la discrétisation spatiale :
Les expressions des matrices élémentaires sont en effet :
M =
C N N dV
ij
i j
e
K =
N
N

dV
ij
i
j
e
Pour les éléments 2D, les termes de M sont donc de la forme C × Surface alors que
ceux de K sont seulement fonction de . Cette solution reste la meilleure si on n'est
pas limité par le coût calcul, car la solution thermique et surtout mécanique sera d'autant
plus précise.
· Soit de diagonaliser la matrice M , ce qui supprime la borne inférieure de l'intervalle.
C'est la solution proposée ici.
Dans la suite de l'étude, on s'intéresse seulement au problème des oscillations qui apparaissent pour
les pas de temps trop petits : t < tmin . On présente plus précisément la méthode de
diagonalisation de la matrice M choisie, et les différents types d'éléments auxquels elle s'applique.
3
Méthode de diagonalisation retenue et types d'éléments
3.1
Eléments tels que les termes extra-diagonaux de K soient négatifs
On a vu que la diagonalisation de M n'est efficace que lorsque les termes extra-diagonaux de la
matrice de rigidité K sont négatifs. Dans le cas contraire, une des conditions suffisantes de
non-oscillation est inconditionnellement fausse, quelle que soit la forme de M .
Pour chacun des éléments finis utilisés en thermique dans le Code_Aster, on vérifie si la matrice
élémentaire de rigidité de l'élément a des termes extra-diagonaux négatifs, en s'appuyant
principalement sur la [bib11], qui donne les expressions analytiques des matrices élémentaires pour les
éléments finis classiques. On résume ici les observations faites dans la [bib11].
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
8/18
3.1.1 Eléments
linéaires
3.1.1.1 Eléments TRIA3, TETRA4, PENTA6
La matrice élémentaire K est fonction des cotangentes des angles. Si un des angles est obtus,
certains termes extra-diagonaux de K sont positifs. Si tous les angles sont aigus, la propriété est
vérifiée.
On a le même type de résultat en 3D pour le tétraèdre à 4 noeuds et le pentaèdre à 6 noeuds.
3.1.1.2 Eléments QUAD4 et HEXA8
Certains termes extra-diagonaux de K peuvent être positifs si l'élément est trop allongé dans une
direction. Sinon, la propriété est vérifiée.
On a le même type de résultat en 3D pour l'élément HEXA8.
3.1.1.3 Elément 3D pyramide à 5 noeuds
Pour cet élément, les fonctions de forme ne sont plus des polynômes mais des fractions rationnelles en
x, y, z. Pour ce type d'élément, on ne dispose pas de l'expression, même approchée de K .
3.1.2 Eléments
quadratiques
3.1.2.1 Elément
TRIA6
Dans K , certains termes extra-diagonaux sont nécessairement positifs.
3.1.2.2 Elément
QUAD9
De même, sur l'expression analytique des termes de K , on constate que certains des termes
extra-diagonaux sont nécessairement positifs.
3.1.2.3 Elément
QUAD8
Pour cet élément, on n'a pas l'expression complète de K pour l'élément réel. Mais pour l'élément de
référence, on note que certains termes extra-diagonaux sont positifs.
3.1.3 Conclusion sur les éléments : propriétés des matrices K
Pour les éléments linéaires, si l'élément réel n'est pas trop irrégulier, les termes extra-diagonaux de K
sont bien négatifs. Pour les éléments quadratiques (en 2D), certains termes extra-diagonaux de K
sont positifs. Même en diagonalisant M , on ne peut pas assurer que la solution n'oscillera pas.
Dans le Code_Aster, pour éliminer les problèmes d'oscillation et de dépassement du maximum, on
diagonalise seulement les matrices de masse pour des calculs thermiques réalisés sur des éléments
linéaires. Pour les éléments quadratiques, on a vu que l'on ne pouvait pas diagonaliser directement la
matrice de masse. On découpe donc ces éléments en éléments linéaires qui sont eux-mêmes lumpés.
Ceci est appliqué aux éléments quadratiques 2D dans le Code_Aster, mais pas aux éléments
quadratiques 3D, non pas pour des raisons de méthode mais parce que le découpage automatique est
difficile à mettre en oeuvre en 3D.
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
9/18
3.2
Méthode de diagonalisation : Intégration aux noeuds des éléments
Si la matrice de masse élémentaire est calculée par intégration numérique, ses termes s'écrivent sous
la forme [bib8]
N
M =
C
N N dV W ( C
N N
ij

i
j
q
i
j ) q

q=1
c
N
C
N
i
j est évalué au qième point d'intégration
et Wq est le poids d'intégration associé à ce point.
Classiquement, les points d'intégration sont les points de Gauss ; la position des N points et leur poids
sont définis de telle sorte que le schéma intègre exactement les polynômes de degré 2N-1. Si on
choisit les points d'intégration aux noeuds de l'élément, on obtient : Mij = 0 pour i j . Cette
méthode d'intégration est aussi appelée méthode de Newton-Cotes.
Remarque 1 : Problèmes axisymétriques :
Si les points d'intégration sont aux noeuds, on aura, pour tout type d'élément, des masses nulles
sur l'axe de symétrie.

En effet, M =
C N N
r

2
dr dz
ij
i j
M

2
C
W Jac r(x
ij
ij
i
i )
Si le point d'intégration i est un noeud de l'axe, r(xi ) = 0 et la masse correspondante est nulle.
Pour les éléments axisymétriques, la méthode d'intégration aux noeuds n'est donc pas
adaptée près de l'axe
. Dans ce cas, il faut intégrer aux points de Gauss les éléments qui touchent
l'axe de révolution, en utilisant la modélisation habituelle (AXIS).

Remarque 2 : autres méthodes possibles de diagonalisation :
D'autres méthodes sont étudiées dans [bib1], en particulier pour essayer de diagonaliser les
éléments quadratiques. En pratique, elle ne sont pas retenues à l'heure actuelle dans le
Code_Aster.
· Mise à l'échelle des termes diagonaux ([bib9], [bib10]) : Hinton suggère la mise à l'échelle des
termes diagonaux de la matrice M consistante, de telle sorte que la masse totale de
l'élément soit conservée. On note que les masses lumpées sont toujours positives, même
pour les éléments quadrangles à 8 et 9 noeuds.

· Sommation par ligne ([bib10]) : On somme les valeurs de Mij par ligne et on concentre le
résultat sur la diagonale. Malheureusement, ce procédé peut conduire à des masses
négatives, notamment pour le quadrangle à 8 noeuds.

Remarque 3 :
Pour les éléments quadratiques, on constate dans [bib1] que, même en diagonalisant avec la
méthode de mise à l'échelle des termes diagonaux, on obtient des oscillations. On ne peut donc
pas utiliser ces éléments dans le cadre de la diagonalisation (c'est-à-dire pour un maillage
relativement grossier vis à vis de la rapidité du transitoire thermique).

On peut bien sûr utiliser les éléments quadratiques en thermique, à condition d'adapter la finesse
du maillage à la raideur du choc thermique.

Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
10/18
4
Mise en oeuvre dans le Code_Aster
Afin d'éliminer les oscillations de la température en espace et en temps, les modélisations AXIS_DIAG,
PLAN_DIAG et 3D_DIAG effectuent la diagonalisation des matrices de masse lors de calcul thermique
linéaire (THER_LINEAIRE). La diagonalisation n'est pas opérationnelle pour THER_NON_LINE
actuellement. Pour en garantir l'efficacité, on a vu qu'il faut l'effectuer sur des éléments linéaires.
Dans le cas où le maillage est linéaire, on effectue simplement une diagonalisation des matrices de
masse par intégration aux noeuds.
Dans le cas d'un maillage quadratique, en 2D, on effectue un calcul thermique ISO-P2 : le calcul sur un
QUAD9 est ramené à un calcul sur 4 QUAD4 ; de même, on passe d'un TRIA6 à 4 TRIA3.
Ceci permet de ne pas perdre la finesse de la discrétisation du maillage, aussi bien pour la solution du
problème thermique que pour celle du problème mécanique. En effet, on montre dans la [bib1] que
cette solution est préférable à celle qui consiste à effectuer le calcul thermique sur des mailles linéaires
qui s'appuient sur les noeuds sommets des mailles quadratiques (ce qui est normal puisque la
discrétisation est plus fine).
Les modélisations disponibles sont donc :
4.1 Modélisations
2D
Modélisation
PLAN_DIAG
AXIS_DIAG
Maille
Elément
Elément
TRIA3
THPLTL3
THAXTL3
QUAD4
THPLQL4
THAXQL4
SEG2
THPLSL2
THAXSL2
TRIA6
THPLTL6
THAXTL6
QUAD9
THPLQL9
THAXQL9
SEG3
THPLSL3
THAXSL3
Commentaires sur les calculs élémentaires 2D :
Pour les éléments linéaires : les termes de masse ( matrice au premier membre et vecteur au second
membre) sont lumpés par intégration aux noeuds. Les nouveaux éléments ont des options de calculs
élémentaires identiques aux éléments classiques. Les seules options élémentaires modifiées sont donc
MASS_THER et CHAR_THER_EVOL.
Pour les éléments quadratiques : le calcul est ISO-P2. Le calcul sur un élément QUAD9 (resp. TRIA6)
est ramené a un calcul sur 4 éléments linéaires QUAD4(resp. 4 TRIA3) dont les termes de masse sont
lumpés par la méthode précédente. Les matrices et vecteurs de chacun des 4 éléments linéaires sont
assemblés au niveau de la routine de calcul élémentaire. Par homogénéité, sur les éléments de bords,
on calcule les termes élémentaires sur 2 SEG2, puis on assemble.
Les éléments THPLTL6, THAXTL6,THPLQL9, THAXQL9 ont les fonctions de forme des éléments
linéaires dans lesquels ils sont découpés.
Attention :
Il n'y a pas d'élément associé à la maille QUAD8. En conséquence, si le maillage est composé de
mailles quadratiques, il faut en premier lieu changer les QUAD8 en QUAD9 a l'aide de la
commande CREA-MAILLAGE :

CREA_MAILLAGE ( MODI_MAILLE : ( OPTION : 'QUAD8_9') ).
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
11/18
En axisymétrique : si des éléments du maillage touchent l'axe, il ne faut pas intégrer aux noeuds qui se
trouvent sur l'axe. Il faut donc isoler cette couche d'éléments et lui affecter la modélisation AXIS.
4.2 Modélisation
3D
Modélisation
3D_DIAG
Maille
Elément
HEXA8
THER_HEXA8_D
PENTA6
THER_PENTA6_D
TETRA4
THER_TETRA4_D
PYRAM5
THER_PYRAM5_D
QUAD4
THER_FACE4_D
TRIA3
THER_FACE3_D
Commentaires sur les calculs élémentaires 3D :
Pour les éléments linéaires : comme en 2D, les termes de masse (matrice au 1er membre et vecteur
au 2nd membre) sont lumpés par intégration aux noeuds (3eme famille de points de Gauss).
Pour les éléments quadratiques, il faudrait découper ceux-ci en éléments linéaires. Ce découpage est
délicat à mettre en oeuvre, car il conduit à créer un nouvel élément (PENTA18) avec des noeuds au
milieu de chaque face quadrilatère (et il faudrait aussi créer un nouvel élément PYRAM14).
On ne diagonalise donc actuellement que les éléments 3D linéaires.
En ce qui concerne les pyramides à 5 noeuds, l'intégration aux noeuds a été essayée mais ne
fonctionne pas bien. Cf. [§3.1.1.3] (on ne sait pas si tous les termes extra-diagonaux sont négatifs). La
modélisation '3D_DIAG' existe pour les pyramides à 5 noeuds mais elle est identique à la modélisation
'3D'. De toutes façons ces élément sont minoritaires dans un maillage 3D : il ne sont engendrés que
par le mailleur libre volumique de GIBI, qui en crée quelques uns au besoin pour compléter le maillage
hexaèdrique.
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
12/18
5
Calcul thermique d'un cylindre soumis à un choc froid
On illustre sur un exemple numérique ce qui a été montré précédemment ; à savoir que la
diagonalisation est efficace pour vérifier le principe du maximum.
On s'inspire de l'exemple industriel du refroidissement d'un coude moulé : on applique un choc
thermique froid (289°C à 20°C) sur un coude fissuré. Pendant le transitoire du refroidissement, la
température calculée en certains noeuds atteint 310° sans diagonalisation des matrices de masse. Pour
l'exemple traité ici, on se restreint à un cylindre creux de même dimension que le coude sur lequel on
applique un choc thermique froid.
5.1 Données
On étudie un cylindre creux supposé infini. Comme il n'y a pas de dépendance par rapport à z (cylindre
infini), on limite l'étude à un calcul plan. Par raison de symétrie, on ne maille qu'une portion de la
structure.
C
M2
D
Rint
Rint = 417 mm
45°
Rext = 496 mm
Rext
z
A M1
B
Coordonnées des points :
x (mm)
y (mm)
z (mm)
M1
436.75
0.
0.
M2
436.75 cos 45°
436.75 sin 45°
0.
Les calculs sont effectués sur un maillage linéaire (mailles TRIA3-QUAD4) :
M2
M1
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
13/18
Caractéristiques du maillage :
Nombre de noeuds : 90
Nombre et type de mailles : 64 TRIA3, 32 QUAD4
Caractéristiques du matériau :
= 19.97 W/m °C
Cp = 4.89488 106 J/m3 °C
Conditions limites et chargement :
Pour assurer l'invariance par rotation, on impose des conditions de flux de chaleur nul sur les faces AB
et CD. La paroi externe est supposée parfaitement calorifugée. Sur la peau interne AD, le transfert
thermique entre le cylindre et le fluide est modélisé par un coefficient d'échange convectif élevé :
h = 40 000 W/m2 °C.
Le choc thermique froid appliqué sur les coudes moulés est représenté par une variation linéaire de la
température du fluide circulant dans le tuyau : 289°20° en 12 s. Afin d'accentuer le problème de
dépassement du maximum et donc de mieux mettre en évidence l'influence du diagonalisation, on
adopte un choc plus brutal : 289° 20° en 1 s.
Tfluide
289°
20°
t
10 s 11 s
On adopte la discrétisation en temps suivante :
de t = 0 s
à t = 10 s,
1 pas de temps
de t = 10 s
à t = 11 s,
2 pas de temps
de t = 11 s
à t = 25 s,
7 pas de temps
de t = 25 s
à t = 60 s,
10 pas de temps
Numériquement, la valeur retenue pour le paramètre de la discrétisation en temps est = 0,57.
5.2 Résultats
Les figures suivantes montrent les profils de température dans l'épaisseur du cylindre à l'instant t=15s
(instant où les dépassements du maximum sont les plus grands) sans diagonalisation des matrices de
masse.
On donne aussi l'évolution temporelle T(t) aux noeuds M1 et M2 situés à un quart de l'épaisseur de la
peau interne.
Sans diagonalisation, on note que la température oscille en temps et en espace dépassent la valeur
maximale de 289° au début du transitoire.
Avec diagonalisation sur les éléments linéaires, on observe une solution régulière sans dépassement
du maximum.
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
14/18
Une étude similaire a été menée sur des éléments linéaires 3D (tétraèdre à 4 noeuds, pentaèdre à 6
noeuds, hexaèdre à 8 noeuds). Les résultats conduisent aux mêmes conclusions : avec diagonalisation,
les oscillations de la température disparaissent pour le calcul sur les éléments linéaires 3D.
Remarque complémentaire concernant le calcul thermo-mécanique :
Une autre étude a été effectuée dans la [bib1] pour estimer les conséquences de la diagonalisation
thermique sur les résultats mécaniques. On constate que le calcul ISO-P2 (éléments quadratiques
divisées en éléments linéaires, dont les matrices de masse sont lumpées) fournit des résultats
satisfaisants. On élimine les oscillations spatiales de la température. Mais dans le cas étudié, avec un
maillage relativement grossier, la solution mécanique reste peu précise. Bien que la solution thermique
soit correcte, pour améliorer la solution en contraintes, il faut de toutes façons raffiner le maillage.
Pour les mailles TRIA3, la diagonalisation conduit à une solution régulière sans dépassement du
maximum :
EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
de France

EVOLUTION DE LA TEMPERATURE AU QUART DE l'EPAISSEUR - MAILLE TRIA3
320
Calcul thermique
d'un cylindre soumis
a un choc froid
DT 289 --> 20 en 1s
310
1
M
D
300
EU
O
N
AU
E
R
290
U
SANS LUMPING
AT
LUMPING
PER
M
E
T
280
270
260
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
agraf 13/11/98 (c) EDF/DER 1992-1997
INSTANT t(s)
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
15/18
EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
de France

PROFIL DE TEMPERATURE DANS L'EPAISSEUR - MAILLAGE LINEAIRE - ELEMENTS TRIA3
294.365
Calcul thermique
d'un cylindre soumis
a un choc froid
DT 289 --> 20 en 1s
Instant t=15 s
250
200
T
URE
T
A
R
E
SANS LUMPING
P
M
LUMPING
E
150
T
100
50
35.6814
0
10
20
30
40
50
60
70
agraf 13/11/98 (c) EDF/DER 1992-1997
PEAU INTERNE ABSCISSE CURVILIGNE (m) PEAU EXTERNE
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
16/18
Pour les mailles QUAD4, la diagonalisation conduit à une solution régulière sans dépassement du
maximum :
EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
de France

EVOLUTION DE LA TEMPERATURE AU QUART DE l'EPAISSEUR - MAILLE QUAD4
320
Calcul thermique
d'un cylindre soumis
a un choc froid
DT 289 --> 20 en 1s
310
2
M
D
300
EU
O
N
AU
E
R
290
U
SANS LUMPING
AT
LUMPING
PER
M
E
T
280
270
260
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
agraf 13/11/98 (c) EDF/DER 1992-1997
INSTANT t(s)
EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
de France

PROFIL DE TEMPERATURE DANS L'EPAISSEUR - MAILLAGE LINEAIRE - ELEMENTS QUAD4
298.594
Calcul thermique
d'un cylindre soumis
a un choc froid
DT 289 --> 20 en 1s
Instant t=15 s
250
T
200
E
R
U
AT
SANS LUMPING
PER
M
LUMPING
E
T
150
100
50
34.9119
0
10
20
30
40
50
60
70
agraf 13/11/98 (c) EDF/DER 1992-1997
PEAU INTERNE ABSCISSE CURVILIGNE (m) PEAU EXTERNE
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
17/18
6 Conclusion
Les modélisations AXIS_DIAG, PLAN_DIAG et 3D_DIAG sont proposées afin de résoudre les
problèmes de dépassement du maximum avec oscillation de la solution en espace et en temps qui
apparaissent lors de certains calculs thermiques transitoires avec brusque variation du chargement.
Au niveau discret, l'analyse conduit à une condition suffisante de non-oscillation sur le pas de la
discrétisation en temps qui doit appartenir à un intervalle :
t
t t
min
max
où les valeurs de tmin et tmax dépendent des coefficients de matrices de masse et de rigidité
thermiques ainsi que du paramètre de la discrétisation en temps.
En pratique, si les oscillations proviennent d'un pas de temps trop grand (t > tmax ), on suggère le
choix d'un schéma implicite en temps ( = )
1 . Si les pas de temps sont trop petits, la diagonalisation
de la matrice de masse peut permettre de supprimer les oscillations.
Pour les éléments linéaires, on montre que la diagonalisation permet effectivement d'éviter les
oscillations de la solution. Pour les éléments quadratiques, une diagonalisation directe ne suffit pas à
éviter les oscillations. Pour ce type d'élément, on les découpe en éléments linéaires, et on effectue une
diagonalisation des éléments linéaires résultant par intégration aux noeuds (ceci est réalisé uniquement
en 2D pour le moment).
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Diagonalisation de la matrice de masse thermique
Date :
29/08/00
Auteur(s) :
J.M. PROIX
Clé :
R3.06.07-A
Page :
18/18
7 Bibliographie
[1]
M.A. REDON, J.M. PROIX : Diagonalisation de la matrice de masse thermique. Note
EDF/DER/HI-75/97/008/0
[2]
H. BREZIS : Analyse fonctionnelle, Théorie et applications. Masson (1983).
[3]
Manuel de référence. Document [R3.02.01] : Algorithme de thermique linéaire.
[4]
H. OUYANG, D. XIAO : Criteria for eliminating oscillation in analysis of heat-conduction
equation by finite-element method. Communications in numerical methods in engineering.
Vol.10, 453-460 (1994).
[5]
B. NITROSSO : Etude du principe du maximum discret - Septembre 1996. Communication
interne EDF.
[6]
O.C. ZIENKIEWICZ : La méthode des éléments finis (3ème édition). Mc Graw-Hill (1977).
[7]
I. FRIED, D.S. MELKUS : Finite element mass matrix diagonalisation by numerical integration
with no convergence rate loss. Int. Journal of solids and structures. Vol.11, 461-466 (1975).
[8]
G. COHEN, A. ELMKIES : Eléments finis triangulaires P2 avec condensation de masse pour
l'équation des ondes. Rapport de recherche INRIA n°2418 - Septembre 1994.
[9]
E. HINTON, A. ROCK, O.C. ZIENKIEWICZ : A note on mass diagonalisation in related
processes in the finite element method. Int. J. Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, Vol.4, 245-249 (1976).
[10]
T. HUGHES : The finite element method. Linear static and dynamic finite element analysis.
Prentice Hall (1987).
[11]
J.P. GREGOIRE : Recueil de matrices élémentaires de masse et du laplacien pour les
principaux éléments de forme simple. Note EDF HI-76/96/012 - Juin 1996.
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Document Outline