Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

Eléments finis de joint


Date :
19/09/03
Auteur(s) :
J. LAVERNE Clé
:
R3.06.09-B Page
: 1/6

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document : R3.06.09





Eléments finis de joint en 2D plan





Résumé :

Description de l'élément fini de joint 2D plan permettant de modéliser la création d'une fissure le long d'un
chemin prédéterminé.
Présentation de la géométrie, définition du saut de déplacement dans l'élément, changement de repère : local à
l'élément / global, calcul des efforts intérieurs ainsi que de la matrice tangente.

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Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HT-66/03/005/A

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Eléments finis de joint


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19/09/03
Auteur(s) :
J. LAVERNE Clé
:
R3.06.09-B Page
: 2/6


1 Géométrie

L'élément de joint est un quadrangle à quatre noeuds (QUAD4) avec deux petits côtés et deux grands
ce qui permet de définir un repère local à l'élément : n est un vecteur unitaire normal à un grand côté
et t un vecteur tangent à celui-ci.
La numérotation locale des noeuds doit se faire obligatoirement comme sur la [Figure 1-a], le côté [1,2]
doit correspondre à un grand côté.
L'option MODI_MAILLAGE mots clé ORIE_CONTACT initialement développé pour les éléments de
contacts permet d'imposer cette numérotation.


2
n
t
3
1
Y
4
X

Figure 1-a : Elément de joint

L'élément de joint possède deux points de Gauss positionnés comme sur le SEG2 de référence :
Le premier PG1 en - 3 / 3 et le second PG2 en 3 / 3 sur le segment [-1,1] avec pour poids 1
chacun.



2
Changement de repère

Pour pouvoir passer du repère global (X, Y) au repère local à l'élément (n, t) nous introduisons la
matrice de rotation R . Cette matrice appliquée à un vecteur exprimé dans le repère global donne son
expression dans le repère local.

cos
sin
R =

où est l'angle entre les deux repères.
- sin cos

y -
-
2
y1
x2 x
on a
1
cos =
et sin = -

l
l

avec l = 12 et ( 1
x , 1
y ) et (x2, y2 ) les coordonnées des noeuds 1 et 2.

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3
Saut de déplacement dans l'élément

Notons U = (u , v )
loc
loc
loc
U
=
i
i
i
et
(u
,v
)
i
i
i
les déplacements au noeud i respectivement dans le
repère global (X, Y) et dans le repère local (n, t).

Avec le changement de repère on a :
loc
Ui = RUi

On défini les sauts de déplacement normal et tangent dans l'élément sur chacun des points de Gauss
à partir des composantes du déplacement des quatre noeuds dans le repère local :

[U] g=C u u
1 C
u
u
n
g ( loc -
loc
1
4 ) + ( -
g ) ( loc -
loc
2
3 )
[

U ] g= C v
v
1 C
v
v
t
g ( loc - loc
1
4 ) + ( -
g ) ( loc -
loc
2
3 )


avec g=1,2 la liste des points de Gauss et C1 et C2 les coefficients :
1
3
1
3
C
C
1 =
1+
,
2 =





1-


2
3
2
3

On peut réécrire le saut sous forme matricielle :

g
[


U]
U
g
[ ] n
loc
=










éq 3-1
[
= B D
U ]
g
g
t

avec loc
loc
loc
loc
loc T
D
= u
(
,v
, ... , u
,v
)
1
1
4
4



C
0
1- C
0
C -1
0
- C
0
g
g
g
g

et B =

g




0
C
0
1- C
0
C -1
0
- C
g
g
g
g

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4 Efforts
intérieurs

~
Soit R la matrice 8 × 8 qui permet d'exprimer les composantes du déplacement aux quatre noeuds
dans le repère local : loc
loc
loc
loc
loc T
D
= u
(
,v
, ... , u
,v
)
1
1
4
4
à partir des composantes du déplacement
aux quatre noeuds dans le repère global :
T
D = u
( ,v , ... , u ,v )
1
1
4
4
.

R O O O


loc
~
~
O R O O
On a D
= D
R avec R =

O O R O




O O O R

R est la matrice 2 × 2 de changement de repère définie en 2) et O la matrice 2 × 2 nulle.


Les efforts intérieurs dans l'élément de joint sont définis par un vecteur à huit composantes noté int
F
et vérifiant la relation :

E = .
D
S
int
F

ES =
( [U] )dl

est l'énergie dans l'élément de joint.
,
1
[ 2]
(voir doc. de la loi de comportement Barenblatt [R7.02.11]).

on a :

( [U] )
ES =
U

,
1
[ 2]
[U] [ ] dl

loc
=
B D dl

d'après la définition de (doc. [R7.02.11]) et d'après [éq 3-1].
,
1
[ 2]
=
~

loc
~
BR D dl

puisque D
= D
R
,
1
[ 2] ~T T
=
R B D dl


,
1
[ 2]


On en déduit les efforts intérieurs :
F =
~
RT BT dl







éq 4-1
int
,1[2]

on peut évaluer cette intégrale :

l
F =
~ T T
R B avec les poids des points de Gauss = = .
int
g
g
g
1
2
g = ,
1 2
2

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5 Matrice
tangente

Le terme qu'il faut calculer dans la matrice tangente est la dérivée des efforts intérieurs par rapport
aux déplacements (matrice 8 × 8 ).

~
Les efforts intérieurs sont donnés par : F
=
T
T
int
[ R B dl
,
1 2]

int
F
~ T T [U]
D'où
=
R B
dl
D
[ ,12]
[U] D

[U]
loc
~
~
comme [U] = BD
= B D
R alors
= BR
D



et on obtient :
F
~

T
T
~
int


=
R B
BR dl







éq 5-1

,
1
[ 2]
D
[U]
F
~

T
T

~
que l'on peut évaluer :
int = R B
B R
g
g



g
D
g = ,
1 2
[
U] g
l
avec les poids des points de Gauss = =
.
1
2
2
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