Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

Date :
03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.10.03-A Page
: 1/60

Organisme(s) : EDF/SINETICS













Manuel de Référence
Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
Document : R4.10.03






Indicateur d'erreur spatiale en résidu
pour la thermique transitoire



Résumé

Lors de simulations numériques par éléments finis, l'obtention d'un résultat brut n'est plus suffisante.
L'utilisateur est de plus en plus demandeur de calcul d'erreur spatiale par rapport à son maillage. Il a
besoin d'appui méthodologique et d'outils « numériquo-informatique » pointus pour jauger la qualité de
ses études et les améliorer.
Dans ce but, les indicateurs d'erreur spatiale a posteriori permettent de localiser, sur chaque élément, une
cartographie d'erreur sur laquelle les outils de remaillage vont pouvoir s'appuyer : un premier calcul sur un
maillage grossier permet d'exhumer la carte d'erreur à partir des données et de la solution discrétisées (d'où le
vocable « a posteriori »), le raffinement s'effectue alors localement en hiérarchisant ces informations.
Le nouvel indicateur a posteriori (dit « en résidu pur ») qui vient d'être implanté pour post-traiter les
solveurs thermiques du Code_Aster
est basé sur leurs résidus locaux extraits des semi-discrétisations en
temps. Via l'option `ERTH_ELEM_TEMP' de CALC_ELEM, il utilise les champs thermiques (EVOL_THER) émanant
de THER_LINEAIRE et de THER_NON_LINE. Il complète ainsi l'offre du code en terme d'outils avancés
permettant d'améliorer la qualité des études, leurs mutualisations et leurs comparaisons
.
Le but de cette note est de détailler les travaux théoriques, numériques et informatiques qui ont présidé à son
implantation. En ce qui concerne l'étude théorique nous nous sommes, dans un premier temps, limité à la
thermique linéaire d'une structure immobile discrétisée par les éléments finis isoparamétriques standards. Mais,
en pratique, le périmètre d'utilisation de cette option a été partiellement étendu à la thermique non
linéaire
.
On donne au lecteur les propriétés et les limitations théoriques et pratiques de l'indicateur exhumé, tout en
reliant ces considérations, qui peuvent parfois paraître un peu « éthérées », à un paramétrage précis des
opérateurs incriminés et aux choix de modélisation du code. On a essayé de constamment lier les différents
items abordés, tout en détaillant, a minima, des démonstrations un peu techniques rarement explicitées dans la
littérature spécialisée.
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Table des matières

1 Problématique ­ Description du document ...........................................................................................3
2 Le problème aux limites.........................................................................................................................6
2.1 Contexte ..........................................................................................................................................6
2.2 De la formulation forte à la faible...................................................................................................11
3 Discrétisation et contrôlabilité..............................................................................................................16
3.1 Contrôlabilité du problème continu................................................................................................16
3.2 Semi-discrétisation en temps ........................................................................................................18
3.3 Erreur de discrétisation temporelle ...............................................................................................22
3.4 Discrétisation totale en temps et en espace .................................................................................23
4 Indicateur en résidu pur.......................................................................................................................26
4.1 Notations .......................................................................................................................................26
4.2 Majoration de l'erreur spatiale globale ..........................................................................................27
4.3 Différents types d'indicateurs possibles ........................................................................................34
4.4 Minoration de l'erreur spatiale locale ............................................................................................37
4.5 Compléments ................................................................................................................................42
5 Récapitulatif de l'étude théorique ........................................................................................................44
6 Mise en oeuvre dans le Code_Aster....................................................................................................48
6.1 Difficultés particulières ..................................................................................................................48
6.2 Environnement nécessaire/paramétrage ......................................................................................48
6.3 Présentation/exploitation des résultats du calcul d'erreur ............................................................51
6.4 Périmètre d'utilisation ....................................................................................................................55
6.5 Exemple d'utilisation......................................................................................................................56
7 Conclusion ­ Perspective....................................................................................................................59
8 Bibliographie........................................................................................................................................60

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1
Problématique ­ Description du document

Lors de simulations numériques par éléments finis l'obtention d'un résultat brut n'est plus suffisante.
L'utilisateur est de plus en plus demandeur de calcul d'erreur spatiale par rapport à son
maillage
. Il a besoin d'appui méthodologique et d'outils « numériquo-informatique » pointus
pour jauger la qualité de ses études et les améliorer.
Par exemple, la précision des résultats est souvent dégradée par des singularités locales (coins,
hétérogénéités...). On cherche alors la bonne stratégie pour identifier ces régions critiques et pour les
raffiner/déraffiner afin d'optimiser le compromis erreur locale/globale. Et ce, avec la plus grande
précision possible, de manière automatique, fiable (le calcul de l'erreur doit être lui-même le moins
approximatif possible !) robuste et au moindre coût.

Pour chaque type d'éléments finis, on dispose en général d'estimations a priori de l'erreur spatiale
[bib1], [bib3]. Mais celles-ci ne sont vérifiées qu'asymptotiquement (lorsque la taille h des éléments
tend vers zéro) et elles requièrent un certain niveau de régularité qui n'est justement pas atteint dans
les zones à problème. D'ailleurs, ces majorations sous-tendent deux types de stratégies pour
améliorer le calcul :

·
les « méthodes- p » qui consistent à augmenter localement l'ordre des éléments finis,
·
les «
méthodes- h
» qui raffinent localement afin de diminuer les caractéristiques
géométriques des éléments.

Nous nous intéressons ici à la seconde stratégie, mais au travers d'une autre classe d'indicateurs : les
indicateurs d'erreurs a posteriori
. Depuis les travaux fondateurs de I. BABUSKA et
W. RHEINBOLDT [bib18], l'importance de ce type d'indicateur est bien établie et ils suscitent un intérêt
grandissant, aussi bien en analyse numérique pure [bib5], [bib6], [bib7] que dans le domaine des
applications [bib4], [bib16]. Ils ont été notamment implantés et utilisés dans N3S, TRIFOU et le
Code_Aster (pour la mécanique linéaire cf. [R4.10.01], [R4.10.02]). Pour une « review » de la kyrielle
d'indicateurs existant, on pourra consulter l'ouvrage de référence de R. VERFURTH [bib7] ou, le
rapport de X. DESROCHES [bib16], pour une vision plus mécanicienne de ces avancées.

Pour reprendre un argumentaire de M.FORTIN (Cf. [bib17] pp468-469), le développement de
l'estimation a posteriori est motivée principalement par trois raisons :

·
la première est la nécessité d'établir la précision des résultats obtenus par un calcul éléments
finis : quel crédit leur accorder ? Tous les phénomènes et toutes les données qui
interviennent sont-ils bien pris en compte dans la modélisation ?
·
le second objectif est de permettre à quiconque d'utiliser un code de calcul sans avoir à
intervenir dans la construction du maillage afin d'obtenir la précision globale requise,
·
enfin, le troisième axe d'étude est plus particulièrement orienté vers les problèmes
tridimensionnels pour lesquels la taille des maillages est limitée par la place mémoire
disponible et le coût de la résolution.

Ces spécifications font apparaître deux problèmes duaux : estimer la précision de la solution
obtenue sur les paramètres principaux de la simulation et proposer des moyens de calculer une
nouvelle solution qui respecte une précision minimale. Le premier problème est véritablement celui de
l'estimation d'erreur alors que le second concerne les méthodes adaptatives associées
(raffinement/déraffinement, remaillage, déplacement de points, suivi de frontière...).
Ainsi ces indicateurs permettent de localiser sur chaque élément une cartographie d'erreur sur laquelle
les outils de remaillage vont pouvoir s'appuyer.
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Remarque :

On lui préfère la dénomination d'
«
indicateur» à la terminologie habituelle
d'« estimateur » (traduction littéral de l'anglais « error estimator »). Compte-tenu du fait
qu'il a les mêmes limitations théoriques que celles du solveur éléments finis (qu'il
« post-traite »), qu'il est lui même souvent entaché d'approximations numériques et qu'il
est exhumé via des relations d'équivalence faisant intervenir de nombreuses
constantes dépendants du problème... l'information qu'il sous-tend ne donne
véritablement « qu'un ordre de grandeur » de l'erreur spatiale recherchée. Malgré ces
restrictions, ces cartographies d'erreur a posteriori n'en restent pas moins importantes,
et de toutes façons, elles constituent le seul type d'information accessible dans ce
domaine.


Un premier calcul sur un maillage grossier permet d'associer, à chaque élément de la triangulation, un
indicateur calculé à partir des données discrétisées et de la première solution discrète. Le raffinement
s'effectue alors localement en hiérarchisant ces informations.

En bref, et de manière non exhaustive, l'usage d'un indicateur éventuellement couplé avec un
remailleur :


·
fournit une certaine estimation de l'erreur de discrétisation spatiale,
·
procure une meilleure répartition de l'erreur due aux singularités locales,
·
permet d'améliorer la modélisation des données du problème (matériaux, chargements,
sources...),
·
permet d'optimiser (même précision au moindre coût) et de fiabiliser le processus de
convergence du maillage,
·
d'estimer et de qualifier un calcul pour une classe de maillage donnée.

Ces considérations montrent clairement que le calcul de ces estimateurs (qui n'est finalement qu'un
post-traitement du problème considéré) doit :

·
être beaucoup moins coûteux que celui de la solution,
·
ne requérir que les données discrétisées et la solution calculée,
·
pouvoir être localisé,
·
être équivalent (sous une forme particulière) à l'erreur exacte.

Nous verrons, qu'avec les indicateurs en résidu, on ne peut obtenir qu'une majoration globale
de l'erreur exacte jointe à une minoration locale de cette même erreur
. Mais ces bornes supérieure
et inférieure de l'erreur se complètent car, la première nous assure d'avoir obtenu une solution avec
une certaine tolérance, tandis que la deuxième nous permet d'optimiser localement le nombre de points
pour respecter cette précision et ne pas la surestimer. Elles font intervenir des constantes qui ne
dépendant pas des discrétisations spatiale et temporelle.

Le but de cette note est de détailler les travaux théoriques, numériques et informatiques qui ont
présidé à l'implantation d'un indicateur d'erreur a posteriori permettant de « post-traiter » les
solveurs thermiques du Code_Aster. Il s'agit d'un indicateur en résidu pur initié par l'option
`ERTH_ELEM_TEMP' de CALC_ELEM.

En ce qui concerne l'étude théorique nous nous sommes, dans un premier temps, limité à la thermique
linéaire d'une structure immobile discrétisée par les éléments finis isoparamétriques standards. Mais,
en pratique, le périmètre d'utilisation de cette option a été partiellement étendu à la thermique non
linéaire. Pour plus de détails sur le périmètre d'utilisation et fonctionnel de l'indicateur thermique et un
exemple d'utilisation, on pourra se référer au [§6].
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L'indicateur a posteriori que nous proposons est un indicateur en résidu pur basé sur les
résidus locaux de l'équation forte semi-discrétisée en temps
. Pour certains éléments de l'étude
théorique (et en particulier son canevas) nous nous sommes inspirés des travaux novateurs de
C. BERNARDI et B. METIVET [bib6]. Elles ont elles-même étendu, de l'elliptique au parabolique, les
résultats de R. VERFURTH [bib7]. Elles se sont notamment intéressées aux calculs d'indicateurs sur le
cas modèle de l'équation de la chaleur avec condition de Dirichlet homogène, semi-discrétisée en
temps par un schéma d'Euler implicite. Nous avons étendue ces résultats aux problèmes réellement
traités par l'opérateur de thermique linéaire du code, THER_LINEAIRE. Ce sont des problèmes aux
limites mêlés (Cauchy-Dirichlet-Neumann-Robin) inhomogènes, linéaires, à coefficients variables et
discrétisés par une -méthode.

Un travail de fond a donc été mené pour bien cerner les ressorts théoriques du problème
thermique sous-jacent et pour extrapoler les résultats du problème modèle précédent
. Ceci afin
d'essayer de se rapprocher des modélisations et du périmètre du code tout en détaillant des subtilités
mathématiques souvent induites dans les articles de l'art. Un effort particulier a été apporté pour mettre
en perspective les choix conduits dans le Code_Aster par rapport à la recherche, passée et actuelle,
ainsi que pour expliciter la philosophie générale de ces indicateurs.
On donne au lecteur les propriétés et les limitations théoriques et pratiques des indicateurs dégagés
tout en reliant ces considérations, qui peuvent parfois paraître un peu « éthérées », à un paramétrage
précis de l'opérateur CALC_ELEM incriminé dans ce post-traitement. On a essayé de constamment lier
les différents items abordés, de limiter le recours à de longues digressions mathématiques, tout en
détaillant a minima de nombreuses démonstrations un peu « techniques » rarement explicitées dans la
littérature spécialisée.

Ce document s'articule autour des parties suivantes :

·
Dans un premier temps, on conduit une étude théorique afin de souligner les tenants et
les aboutissants du problème thermique sous-jacent, et, leurs liens éventuels avec les choix
de modélisation du code. Tout d'abord, on détermine le Cadre Variationnel Abstrait (CVA)
minimum (cf. [§2.1]) sur lequel on va pouvoir s'appuyer pour montrer l'existence et l'unicité
d'un champ de température solution (cf. [§2.2]). En recoupant ces pré-requis théoriques un
peu « éthérés » avec les contraintes pratiques des utilisateurs, on en déduit des limitations
quant aux types de géométrie et aux chargements licites. Puis on étudie l'évolution des
propriétés de stabilité du problème (cf. [§3]) au cours du processus de semi-discrétisation en
temps et en espace.

·
Ces résultats de contrôlabilité sont très utiles pour dégager les normes, les techniques et les
inégalités qui interviennent dans la genèse de l'indicateur en résidu. Après avoir introduit les
notations usuelles de ce type de problématique (cf. [§4.1]), on exhume une formulation
possible de l'indicateur
ainsi que la majoration de l'erreur globale (cf. [§4.2]) et la minoration
de l'erreur locale associées (cf. [§4.4]). Différents types d'indicateurs spatiaux (cf. [§4.3]) sont
évoqués et on détaille plusieurs stratégies de construction d'indicateurs usitées en
parabolique (cf. [§4.5]). Dans ce même paragraphe, l'aspect temporel du problème est aussi
examiné au travers des contingences de gestion de l'erreur spatiale vis-à-vis de celle du pas
de temps.

·
Dans une troisième partie (cf. [§5]), les apports principaux de ces chapitres théoriques et leurs
liens avec les solveurs thermiques du code sont résumés.

·
Finalement, on conclut en abordant les difficultés pratiques de mise en oeuvre (cf. [§6.1]),
l'environnement nécessaire (cf. [§6.2]), le paramétrage (cf. [§6.3]) et le périmètre
d'utilisation (cf. [§6.4]) de l'indicateur effectivement implanté dans l'opérateur de post-
traitement CALC_ELEM
. Un exemple d'utilisation extrait d'un cas test officiel (TPLL01J) est
aussi détaillé (cf. [§6.5]).

Avertissement :

Le lecteur pressé et/ou peu intéressé par les ressorts théoriques de la genèse de l'indicateur
d'erreur et du problème thermique sous-jacent peut, d'emblée, sauter au [§5] qui récapitule les
principaux apports théoriques des chapitres précédents.

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2
Le problème aux limites

2.1 Contexte

On considère un corps immobile occupant un ouvert borné connexe de q
R ( q =2 ou 3) de
3
frontière
=
: =
: i
régulière caractérisé par sa chaleur volumique à pression constante
i=1
C

(x
p
(la variable vectorielle x symbolise ici le couple (x,y) (resp. (x,y, z) ) pour q =2
(resp. q =3))) et son coefficient de conductivité thermique isotrope (x) .

Remarque :

On ne tiendra donc pas compte d'un éventuel déplacement de la structure
(cf. THER_NON_LINE_MO [R5.02.01]).


Ces données matériaux sont supposées indépendantes du temps (modélisation THER du Code_Aster)
et constantes par élément (discrétisation 0
P ).

Remarque :

Avec la modélisation THER_FO ces caractéristiques peuvent dépendre du temps. Dès
les premières versions du code et avant la mise en place de THER_NON_LINE, elle
permettait de simuler des « pseudo » non-linéarités. Compte-tenu de son utilisation
plutôt marginale, nous ne nous intéresserons pas à cette modélisation.


On s'intéresse aux évolutions de la température en tout point x de l'ouvert et à tout instant
t [ ,
0 [ ( > 0), lorsque le corps est soumis à des conditions limites et à des chargements
indépendants de la température mais pouvant dépendre du temps. Il s'agit de source volumique
s(x,t), de conditions aux limites de type température imposée f (x,t) (sur la portion de surface
externe 1
), flux normal imposé g(x,t) (sur 2
) et échange convectif h(x,t) et Text ( ,t
x ) (sur 3
).
On se place ainsi dans la cadre d'application de l'opérateur THER_LINEAIRE [R5.02.01] du
Code_Aster en ne retenant que les aspects conductifs de ce problème thermique linéaire.

Remarque :

Les non-linéarités posent de sérieux problèmes théoriques [bib2] pour démontrer
l'existence, l'unicité et la stabilité de l'éventuelle solution. Certains sont encore
complètement ouverts... Mais en pratique, cela ne n'empêche nullement d' « étirer » le
périmètre d'utilisation de l'estimateur d'erreur qui va être exhumé rigoureusement pour
la thermique linéaire, à la thermique non linéaire (opérateur THER_NON_LINE
[R5.02.02]).


Ce problème aux limites mêlé (de type Cauchy-Dirichlet-Neumann-Robin (appelée aussi condition
de Fourier) inhomogène, linéaire et à coefficients variables) se formule


T
C
-
p
div( T ) = s
× ] ,
0 [


t
T = f
×
1
] ,0[

T
(P )
0
= g
×
2
] ,0[ éq
2.1-1
n
T

+ hT = hT
×
ext
3
] ,0[
n

T ( ,
x )
0 = T (x)

0
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Remarques :

·
Dans cette étude théorique du problème mêlé ( 0
P ), on suppose que la frontière se dissocie
en portions sur lesquelles agit forcément une condition limite non homogène. Cette
hypothèse n'est en fait pas primordiale et on peut supposer l'existence d'une portion
4
, telle
3
que = -
4 :
, sur laquelle intervient une condition de Neumann homogène
=
i
i 1
(ainsi, lorsqu'on construit la formulation variationnelle associée à la formulation forte ( 0
P ), les
termes de bords liés à cette zone disparaissent. Le problème reste alors bien posé puisqu'il
est thermiquement sans contrainte dans cette zone. Informatiquement, c'est d'ailleurs bien ce
qui se passe, puisque les termes de bords sont initialisés à zéro). En pratique, c'est d'ailleurs
souvent le cas.

·
On supposera que le coefficient d'échange h(t,x) est positif ce qui est le cas dans le
Code_Aster (cf. [U4.44.02 §4.7.3]). Et cela nous facilitera un peu les choses dans les
démonstrations à venir (cf. par exemple propriété 5).

·
La condition de Robin modélisant l'échange convectif (mot-clé ECHANGE) sur une portion de
bord du domaine, peut se dédoubler pour tenir compte d'échanges entre deux sous-parties
de la frontière en vis-à-vis (mot-clé ECHANGE_PAROI). Cette condition limite modélise une
résistance thermique d'interface


1
T + hT = hT
×
1
2
12
] ,0[

Avec =
, T =
n
3
12
21
T
i
a

on


éq 2.1-2
ij


2
T + hT = hT
×
2
1
21
] ,0[
n
Pour ne pas alourdir l'écriture du problème et dans la mesure où cette option est similaire à la
condition de Robin avec le milieu extérieur, nous ne la mentionnerons pas spécifiquement
dans les calculs qui vont suivre.

·
La condition de Dirichlet peut se généraliser sous forme de relations linéaires entre les ddls
(mot-clés LIAISON_*) pour simuler, notamment, des symétries géométriques de la structure.

Avec =
,
1
12
21 T = T
i
(
a

on
)
OUP
LIAISON_GR
ij
i
j
1i 1
T (x,t) + 2 T
j
(x,t) = (x,t) sur ×
2
1
] ,0[ éq
2.1-3
i
j
simplement

plus

ou
T
i i ( ,
x t) = ( ,
x t) sur 1
× ] ,
0 [ (
)
L
LIAISON_DD
i
De même les fonctionnalités LIAISON_UNIF et LAISON_CHAMNO permettent d'imposer une
même température (inconnue) à un ensemble de noeuds. Elles constituent une surcouche
des conditions précédentes en imposant des couples
( , ) particuliers. Pour ne pas alourdir
l'écriture du problème et dans la mesure où ces options ne sont que des cas particuliers de la
condition de Dirichlet générique, nous ne les mentionnerons pas spécifiquement dans les
calculs qui vont suivre.

·
Lorsque le matériau est anisotrope la conductivité est modélisée par une matrice diagonale
exprimée dans le repère d'orthotropie du matériau. Cela ne change pas fondamentalement
les calculs suivants qui ne tiennent compte que du cas isotrope. Il faut juste prendre garde de
ne plus commuter, dans les conditions limites de Neumann et de Robin, le produit scalaire
avec la normale et la multiplication par la conductivité.

·
Pour un calcul transitoire, la température initiale peut être choisie de trois manières
différentes : en effectuant un calcul stationnaire sur le premier instant, en la fixant à une
valeur uniforme ou quelconque créée par un AFFE_CHAM_NO et en effectuant une reprise à
partir d'un calcul transitoire précédent. Ce choix de la condition de Cauchy n'a aucune
incidence sur l'étude théorique qui va suivre.

·
Nous ne traiterons pas le cas où (presque) tous les chargements sont multipliés par une
même fonction dépendante du temps (option FONC_MULT, cette fonctionnalité bien adaptée

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pour certains problèmes mécaniques est déconseillée en thermique, car elle peut rentrer en
conflit avec la dépendance temporelle des chargements et, d'autre part, elle s'applique
sélectivement à chacun d'eux. Elle n'a d'ailleurs pas été reprise dans THER_NON_LINE).


On montre que le cadre fonctionnel le plus général et le plus commode pour « la prise en main » de ce
problème parabolique est le suivant.

Pour la géométrie : ouvert borné localement d'un seul coté de sa frontière,
(H1)


variété de dimension q -1, lipschitzienne ou 1
C par morceau
(H2)
Pour les données :

2
s L (
1
,
0 ; -
H ())
2

0
T L ()

1
2


-


-


2
f L ,
0 ; H
( 1)
1
2
2
,
g L ,
0 ; H
( 2
)
1
2
2
,
T L
ext
,
0 ; H
( 3
)
(H






3)
, C ,
L
p
()
2
h L ( ,
0 ;
L ( 3
))

qui nous permet d'obtenir une solution dans l'intersection suivante
T 2
L (
1
,
0 ; H ()) 0
C (
2
,
0 ; L ()) éq
2.1-4
Remarque :

Soit (X ,
) un Banach, on note Lp( ,0;X) l'espace des fonctions t v(t)
X
fortement mesurables pour la mesure dt telles que
1

v
=
v(t) dt
0,
. C'est un Banach, donc un espace de Hilbert pour
; p,X

p



p < +
0
X

la norme associée.

L'introduction des ces espaces de Hilbert « espace-temps » particuliers provient de la nécessité de
séparer les variables
x et t . Toute fonction u : (x,t) Q =
: ×

] ,0[ u( ,xt) peut en fait
s'identifier (en utilisant le théorème de Fubini) à une autre fonction
u~ : t ] [ {u~
,
0
(t) x u~
:
(t)(x) = u(x,t)}. La transformation u u~
constituant un
isomorphisme, on simplifiera par la suite les expressions en notant u ce qui aurait dû être signifié u~ .

Remarques :

·
Le fait de séparer, en premier, le temps de la variable d'espace permet de s'inspirer fortement
des outils conceptuels développés pour les problèmes elliptiques. C'est d'ailleurs tout à fait
cohérent avec l'enchaînement «

semi-discrétisation en temps/discrétisation totale en
espace » qui préside habituellement à la détermination d'une formulation utilisable en
pratique.

·
Les hypothèses sur la géométrie nous assurent de la propriété de 1-prolongement de l'ouvert
. Ainsi on pourra confondre l'espace de Hilbert
1
H ()

=
q
: u L2 ()/ u (L2 ())


sur lequel il est commode de travailler, avec l'espace
H 1() =
: {u D'()/ U H1(q ) avec u
= U }
pour lequel les résultats théoriques standards sur les traces, les densités d'espace et les
normes équivalentes sont licites.

·
Compte tenu du caractère lipschitzien de la frontière les résultats théoriques qui vont suivre
pourront s'appliquer aux structures comportant des coins (sortants ou rentrants). Par

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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
HI-23/02/014/A

Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

Date :
03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.10.03-A Page
: 9/60

contre le traitement de pointes ou de points de rebroussement sort de ce cadre théorique
général. De même, le fait que l'ouvert doit se situer localement du même coté de sa frontière,
empêche (théoriquement) le traitement de fissure. Pour traiter rigoureusement ce type de
problème, une approche consiste à corriger les fonctions de base des éléments finis par une
fonction idoine centrée sur l'extrémité interne de la fissure (cf. P. GRISVARD. Ecole
d'Analyse Numérique CEA-EDF-INRIA sur la mécanique de la rupture, pp183-192, 1982).

·
L'indicateur en résidu utilisant la solution du problème en température, ses limitations
théoriques sont donc, au mieux, identiques à celles dudit problème.


Compte tenu de la formulation [éq 2.1-1] on va donc s'intéresser à une solution appartenant à l'espace
fonctionnel suivant :

Remarque :

Cet espace comporte aussi les éventuelles conditions de Dirichlet « généralisées » de
type relations linéaires entre ddls.
T W := {
1
u H ()/ u =
: u
= f
0 1
,

} éq
2-1-5
1
En outre, grâce aux hypothèses géométriques (H1) et (H2), il existe un opérateur de relèvement
(composé de l'opérateur de relèvement usuel et de l'opérateur de prolongement par zéro en dehors de
1
1
2
1
) R : H (1) H () linéaire, continu et surjectif tel que :
1
2
01,Rf = f
f H ( 1
) éq
2-1-6
On va donc pouvoir rendre le problème initial homogène en Dirichlet en ne s'intéressant plus qu'à
la solution
u V =
: {u 1
H ()/
u := u =
0 1
,

}0 éq
2-1-7
1
résultant de la décomposition
T =
: u + Rf
éq
2-1-8
Remarque :

Soit (X ,
) un Banach, on note Lp( ,0;X) l'espace des fonctions t v(t)
X
fortement mesurables pour la mesure dt telles que
1

v
=
v(t) dt
0,
. C'est un Banach, donc un espace de Hilbert pour
; p,X

p



p < +
0
X

la norme associée.

Ce changement de variable produit le problème simplifié en u


u
C
- div
p
( u) = ^s
× ] ,
0 [


t
u = 0
×
1
] ,0[

u
( 1
P )
= ^g
×
2
] ,0[ éq
2-1-9
n
u

+ hu = ^h
×
3
] ,0[
n

u( )
0 = u

0
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avec le nouveau second membre
Rf
^s =
: s - C
+ div
p
( Rf ) 2
L (
-1
,
0 ; H ()), éq
2-1-10
t
les nouveaux chargements
Rf
2
1
^g =
: g -

- 2
L
,
0 , H
(2)


éq
2-1-11
n


1
^h =
Rf
: h(T
- Rf
ext
)

2
-

- 2
L
,
0 , H
(3)


éq
2-1-12
n


et la nouvelle condition initiale
u0( ). =
: T ( ). - Rf ( 0
., ) 2
0
L ()
éq
2-1-13
Remarque :

·
Ce relèvement théorique, qui peut paraître un peu « éthéré », a un ancrage tout à fait
concret dans les techniques numériques mises en oeuvre pour résoudre ce type de problème.
Il correspond à une substitution (cette technique n'est pas utilisée dans le Code_Aster,
on lui préfère la technique de double dualisation via des ddls de Lagrange [R3.03.01])
des conditions limites de Dirichlet
. En renumérotant les inconnues afin que ces conditions
apparaissent en dernier, la comparaison peut se schématiser sous la forme matricielle
suivante


A
0
T
s^ =
: s -
a f



ji j


=
j>J

0 Id
T
=

: Rf


1
1

f


Les hypothèses de régularité sur la frontière nous assurent aussi des bonnes propriétés suivantes
pour les espaces de travail. On va alors pouvoir se placer dans le cadre variationnel abstrait habituel.

Lemme 1

Sous les hypothèses (H1) et (H2) les espaces de travail W et V sont des Hilberts munis de la norme
induite par
1
H ().

Preuve :
Le résultat provient simplement du fait que l'application trace
1
01, : H ()
2
L ( 1
) est la
1
composée de l'application trace usuelle
1
0 : H () H () 2
2
L () linéaire, continue et
surjective (compte-tenu des hypothèses retenues) et de l'opérateur de restriction à 1
lui aussi
linéaire, continu et surjectif. De part leur définition, on en déduit que W et V sont des sev fermés de
1
H (). Ce sont donc des Hilberts munis de la norme
.
,
1
!

Lemme 2

Sous les hypothèses (H
1
H
1) et (H2), la norme et la semi-norme induites par
( ) sont équivalentes sur
l'espace fonctionnel V . On notera P() > 0 la constante de Poincaré relayant cette équivalence
v V
v
P() v
,
1
,
1
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Remarque :

On notera par la suite u
=
: supess u(t) et
,
pp. t

(
2
2
2
u, )
v ( m
H ( )
) (u, )
v


2

2

m =
, :
(
u, )vL2( ), u
=
:
u
et u
=
:
u
.
m
,

2
m
,

L ( )
L2( )
m


m
=

m

Preuve :

Ce résultat est un corollaire de l'inégalité de Poincaré vérifiée par les ouverts dit de « Nikodym » dont
fait partie compte-tenu des hypothèses retenues. On a cependant deux cas de figures :

·
soit le problème est vraiment mêlé et comporte des conditions limites autres que celles de
Dirichlet, mes( - ) 0 (voir la démonstration [bib1] §III.7.2 pp922-925),
1
·
soit on ne prend en compte que des conditions de type température imposée,
mes( - ) = 0 , V =
1
H
et on retrouve le résultat standard d'équivalence de la norme
0 ()
1
et de la semi-norme sur cet espace (voir par exemple la démonstration [bib3] pp18-19).
!

La compilation des résultats précédents permet de cerner le Cadre Variationnel Abstrait (CVA) sur
lequel va s'appuyer la formulation faible :

·
1
H
V
H
,
0 ()
1()
·
V H = 2
: L () = H ' V '
-1
H () en identifiant H et son dual,
·
on a une injection canonique linéaire continue de V dans H ,
·
V est dense dans H et l'injection est compacte (il hérite en cela des propriétés de 1
H ()
vis-à-vis de H ),
·
V est muni de la semi-norme induite par 1
H () et H de sa norme usuelle.

Remarque :

D'après une formulation du théorème de compacité de Rellich adaptée aux espaces de
Sobolev sur un ouvert (par exemple, théorème 1.5.2 [bib3] pp29-30).


2.2
De la formulation forte à la faible

En multipliant l'équation principale du problème aux limites [éq 2.1-1] par une fonction test v V et en
utilisant les théorèmes de Green et de Reynolds (pour commuter l'intégrale en espace et la dérivation
en temps, avec fixe et des caractéristiques matériaux indépendantes du temps), on obtient :

d C u
.
^

éq
2.2-1
p (t )v dx +
u(t)v dx = s(t)
u(t)


vdx +
v
d
dt
n




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En introduisant les conditions limites dans [éq 2.2-1], il advient la formulation faible (au sens des
distributions (dans ce cadre général, la dérivée temporelle est donc à prendre au sens faible)
temporelles
de D' ]
( ,0[)) suivante :
On cherche la solution
u L2 ( ,
0 ;V ) C 0 ( ,
0 ; H )
éq
2.2-2
vérifiant le problème

Trouver u : t ] ,
0 [ u(t)V
que

tel

d
(P )
v V
C u t ,v
a t;u t ,v
b t ,v
2
( p ( ) ) + ( ( ) )= ( ( ) ) éq
2.2-3

0,
dt
u( )
0 = 0
u

avec
a(t;u(t),v):= u(t).v dx + h(t)

u t vd
0,3 ( ) 0,3

3
éq
2.2-4
(b(t),v):= ^s(t),v
+ ^g(t)
^
, v 1 1
+ h t , v
0,2
( ) 0,3 1 1
1
- × ,
1
- × ,2
- × ,3
2 2
2 2
en notant ,
le crochet de dualité entre les espaces
p
H () et q
H ().
p×q,

Remarques :

·
Le champ inconnu et la fonction test appartiennent au même espace fonctionnel, ce qui est
plus confortable d'un point de vue numérique et théorique.

·
Les crochets de dualité ne pourront se transformer en intégrales au sens classique (comme
pour le terme surfacique de a(t;.,.)) que si on restreint l'espace d'appartenance de la nouvelle
source et des nouveaux chargements à

2
^s L (
2
,
0 ; L ()
2
, ^g L (
2
,
0 L ( )
2
^
;
et h L
,
0 ; L éq
2.2-5
2
(
2 ( 3 )
D'après [éq 2-1-10] [éq 2-1-12] cette restriction peut se traduire sur les chargements initiaux
sous la forme

3


2
2
f L
,
0 ; H ( )
2
, s L
,
0 ; L , g L
,
0 ; L
et T
L ,
0 ; L
1
(
2 ( )
2 (
2 ( )
2
2
ext
(
2 ( 3 )






éq 2.2-6
·
La formulation (P a bien un sens, car on montre que
2 )
t a(t;u(t),v)
2
L ]( ,
0 [) D' ]
( ,0[)
t C u



p (t )
2
L ( ,
0 ;V ) et v V
t
(C up(t),v)
2
L ]
( ,0[) D' ]( ,0[)
0,
t ^s(t)
2
L ( ,
0 ;
1
H - ()
1
et v H ()
1
H - ()
t ^s(t),
2
v
L ]( ,
0 [) D' ]
( ,0[)
1
- × ,
1
1
1
1

-

-
t ^g(t)
2
L
,
0 ;
2
H (
et
v H H

2 )

2
0,2
( 2 )
2 ( 2 )







t ^g(t),
2
v 1 1 L
D
0,2
]( ,0[)
' ]
( ,0[)
- × ,
2 2 2
et on retrouve évidemment la même chose pour le terme d'échange sur 3.
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·
Dans les intégrales surfaciques on notera dorénavant u(t) et v ce qui devrait être noté (en
toute rigueur)
u
et

.
0,i (t )
v
0,i
·
L'appartenance de la solution à L2 ( ,
0 ;V ) découle des hypothèses sur les données et des
propriétés des opérateurs différentiels et trace. Le fait qu'elle doit aussi appartenir à
C 0 ( ,
0 ; H ) provient juste de la nécessaire justification de la condition de Cauchy.

On peut alors s'intéresser à l'existence et à l'unicité de la solution du problème initial (P en
0 )
montrant son équivalence avec (P et en appliquant à ce dernier une variante parabolique du
2 )
théorème de Lax-Milgram.

Théorème 3

Dans le cadre variationnel abstrait (CVA) défini précédemment et en supposant que les hypothèses
(H1), (H2) et (H3) sont vérifiées, alors le problème (P admet une solution et une seule
2 )
u L2 ( ,
0 ;V ) C 0 ( ,
0 ; H ) .

Preuve :

Ce résultat provient des théorèmes 1 & 2 du « Dautray-Lions » (cf. [bib3], §XVIII pp615-627). Pour les
utiliser il faut néanmoins vérifier
·
La mesurabilité de la forme bilinéaire (
u(t),v)
2
V
t a(t;u(t),v) sur ] ,
0 [
·
Sa continuité sur V ×V
pp t ] ,
0 [ a(t;u(t),v)
u(t)
v
+ h(t)
u(t)
v
,
,
1
,
1

1
,

1
,
,
3
2 3
2 3
(

u(t),v) 2
V
max(
, h(t)
2
2
C P
u t
v
3
()
,
,
) ( ) ,1 ,1
3
avec C la constante de continuité de l'opérateur de trace sur et P() la constante de
3
3
Poincaré.
·
Sa V -ellipticité par rapport à H

pp t ] ,
0 [ a(t;v,v)
2
-2
+
v
C

- h t
C v
0
0,
(
( )
2
3
,
,
) 20,
2

3



v V a(


t;v,v)
2
-2
+ v
+ C

- h t
C
v
0

0,
(
( )
2
3
,
,
) 2
{
0,
2

3

> 0
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
> 0
avec C la constante de continuité de l'injection canonique de
1
H () dans 2
L ().
0
·
La continuité de la forme linéaire b(t) sur V
pp t ] ,
0 [ (b(t),v) ^s(t)
v
+ g(t)
^
^
1
v 1
+ h(t)
v
- ,
1
,
1
- ,

1
1
,
,
3
2
2
- ,
2
2
3
2 3
2

v V
P( )

max ^s(t)
, ^g(t)
^
1
C , h t
C
v
2
( )



- ,
1
- ,
1
3
2
,


,
1
-

2
2 3

avec C la constante de continuité de l'opérateur de trace sur .
2
2

!

Théorème 4

Les problèmes (P et (P sont équivalents et donc le problème initial admet une solution et une
2 )
0 )
seule
u L2 ( ,
0 ;V ) C 0 ( ,
0 ; H ) .
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03/06/02
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Preuve :

L'existence et l'unicité de la solution du problème (P résulte bien sûr du théorème précédent, une
0 )
fois que l'équivalence des deux problèmes a été démontrée. Il reste donc à prouver l'implication
inverse (P P qui est très dure à exhumer « non formellement ». En particulier les conditions
2 )
( 0 )
limites de Neumann, de Robin et la condition de Cauchy sont difficiles à obtenir rigoureusement. Le
« Dautray-Lions » propose une démonstration très technique ([bib1] §XVIII pp637-641). En adaptant
ses résultats on montre que dans notre cas de figure, les conditions limites sur i sont en fait vérifiées,

-1

-1
non pas sur L2
,
0 , H 2 (
, mais sur l'espace (B )' H 2
(en notant i := ×
)
i
]

,
0 [
00 ( i

i
)
i )






défini comme étant le dual topologique de

1
B =
: w H (


) L2
2
(i /
2
,
0 ;
avec
0 et

i
) v L (
V )

v {
v
v
w
×
0} =
{
×
} =
=

i

!

Remarques :

·
Du fait de la faible régularité imposée à la conductivité thermique,
L (), on ne peut
pas prétendre à la régularité « standard » u
2
H (). En effet dans le cas, par exemple,
d'un bi-matériau (avec = ) dont les caractéristiques sont distinctes de part et
1
2
d'autre de la frontière , [éq 2-1-9] et le théorème de la divergence impose
1
2

1
2


Figure 2.2-a : Exemple de bi-matériau

u(t)
u(t)
1

-
=
2
dans H

pp t

1
2
00 ( )
] ,0[


n
1
n
2
Or , donc la condition de transmission ne peut se réaliser sur la frontière interne
1
2

u(t)
u(t)

pp pp t ] ,
0 [



n
1
n
2

Ainsi u(t)
2
H ( )
2
H
n'entraîne pas u(t)
2
H (). Cette restriction ne nous
1
( 2 )
permettra pas d'exhumer, comme dans [bib6], des majorations de type « fort » de l'erreur
spatiale globale et de l'indicateur d'erreur local. Dans notre cadre de travail plus général on
devra se contenter d'estimations de type « faible ».

·
Ce type de problème se rencontre aussi lorsqu'on traite des ouverts polyédriques non
convexes (par exemple comportant un coin rentrant). Un ouvert polyédrique (dit polygonal en
bidimensionnel) est une réunion finie de polyèdres. Un polyèdre est une intersection finie de
demi-espaces fermés.

·
Pour obtenir des estimations de type « fort », il faut concéder plus de régularité sur la
géométrie et sur les chargements

variété de dimension q - 1 , C par morceau (propriété de 2-prolongement)
(H4)
2
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2
s L (
2
,
0 ; L ()
1
T H

0
( )

3
1
1







2
2
f L
,
0 ; H ( , g L
,
0 ; H
, T L
,
0 ; H

(H5)
1 )
2
2 ( 2 )
2
2
ext
( 3)


















, C ,
L

p
()
2
h L ( ,
0 ;
L (3 )
Ce qui permet l'obtention d'une solution dans l'intersection suivante
u 2
L (
2
,
0 ; H () 0
C (
1
,
0 ; H () éq
2.2-7

Maintenant que nous nous sommes assurés de l'existence et de l'unicité de la solution dans le cadre
fonctionnel requis par les opérateurs du Code_Aster, nous allons semi-discrétiser en temps (P0)
puis discrétiser spatialement le tout par une méthode d'éléments finis. Parallèlement, nous
étudierons ses propriétés de stabilité. Elles nous serons très utiles pour dégager les normes, les
techniques et les inégalités qui interviendront dans la genèse de l'indicateur d'erreur en résidu.
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3
Discrétisation et contrôlabilité

3.1
Contrôlabilité du problème continu

En ne faisant aucune concession sur les hypothèses de régularité vues au paragraphe précédent, on
a la majoration dite « faible » (pour reprendre une terminologie en vigueur dans l'article qui a servi de
base à notre étude [bib6]) suivante.

Propriété 5

Dans le cadre variationnel abstrait (CVA) défini précédemment et en supposant que les hypothèses
(H1), (H2) et (H3) sont vérifiées, on a la contrôlabilité « faible » du problème continu (avec
K
mes
P > )
1 (
,
( i ), ,
0,i
( )

) 0
,
t
2
2
2
pp t
C u t
u
d
C u
p
( ) +
( )

+
0,

p
0 0,
0
0,

éq 3.1-1
t
2
K
^
^
^


1
s( ) 2
+ g( ) 21 + h( )


d
- ,
1
- ,
1


2
- ,
0
2
2 3


Preuve :

On va ici détailler cette démonstration un peu technique car, d'une part, la littérature spécialisée rentre
rarement dans ce niveau de détails et, d'autre part, on va réutiliser la même méthodologie pour
exhumer toutes les majorations qui vont se succéder dans cette partie théorique du document. Tout
d'abord, en multipliant l'équation de [éq 2.1-1] par u(t), en intégrant spatialement sur , puis
temporellement sur [ ,
0 t] avec t [ ,
0 [ on obtient, comme les caractéristiques matériaux sont
supposées indépendantes du temps,
t
t
t
1 ( C u ,u d div u ,u d s^ ,u
d éq 3.1-2
p ( )
( )
- ( ( ( ) ( )
=
0,
0,
( ) ( )


- ×
1 ,
1
2 t
0
0
0
En utilisant la formule de Green et les conditions limites de [éq 2.1-1] on obtient
1
t
t
2
2
C u t
C u
u , u
d
h u 2 d
p
( ) -
p
0



+ ( ( ) ( )
+
0,
( ) ( )
0,
0,


=
2
0
0
éq 3.1-3
t s^(),u()
+ g^( ) u( )
^
,
1 1
+ h( ),u( )


d
- ×
1 ,
1
- × ,
1 1

2
,
0
- ×
2 2
2 2 3
On peut évincer le terme d'échange de [éq 3.1-3] car on suppose que h(t) 0 pp t . En utilisant un
argument de dualité, l'inégalité de Cauchy-Schwartz, le lemme 2 et la relation
2
a
2ab + (
b )2 ( > 0), on obtient

t

t
2
t
2

1 1
s^( ),u( )

d
s^( ) 2
P ()
d +
2

u( )


d
- ×
1 ,
1
2 2
- ,
1

0,


éq
3.1-4
0

0
,
0

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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

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03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.10.03-A Page
: 17/60


On effectue le même travail sur les chargements, définissant ainsi les paramètres et en
reprenant les notations du théorème 3 (pour les Ci...), puis on insère ces inégalités dans [éq 3.1-3]

2
2
t
P
2
C u t
2
2

C 2 2

C 2 2

u
d
p
( )
()

+
-
( +
+
2
3
)
( )
0,





0,
,



0

2
2
^

éq
3.1-5
2
^
h
t
2
s^( )
g( ) 1 1
( )
- × ,
-1×1,
C u
+
1 ,
1
2 2 2
2 2 3
d
p
0 0,

- ×



+
+
2
2
2




0





Il reste maintenant à chercher un triplet de réels strictement positifs ( , , ) , ne privilégiant aucun
terme particulier, afin de faire apparaître une constante indépendante de la solution et du paramétrage
devant le terme en gradient. On choisit arbitrairement de poser
2
P ()
2 -
( 2 2 2 2 2
+ C + C =

éq
3.1-6
2
3
) 1
,
Soit, par exemple,


( (
mes 1 )+ )
1
2
=
,

2
P ()(
(
mes ) + )
3

( (
mes 2 )+ )


1
2
=
,

éq
3.1-7
2
2
C P
2
()( (
mes ) + )

3


( (
mes 3 )+ )
1
2
=
,

2
2
C P
3
()( (
mes )+ )

3
D'où la majoration [éq 3.1-1] en prenant
2
P ()(
(
mes )+ )
3

1
2
2
C
C

K =
2
3
max
éq
3.1-8
1


,
,

mes
1
mes
1
mes
1
,
(
(1)+ ) ( (2)+ ) ( (3)+ )
!
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Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

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03/06/02
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O. BOITEAU Clé
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R4.10.03-A Page
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Remarques :

·
Le recours aux mesures des frontières externes est une astuce permettant à l'inégalité de
supporter le passage à limite (
0 ) lorsque une ou plusieurs conditions limites viennent à
i
manquer dans ce problème mêlé.
·
En se plaçant dans le cadre particulier d'un problème de Cauchy-Dirichlet homogène avec des
caractéristiques matériaux constantes égales à l'unité

= C = 1 , = = et s^ = s
éq
3.1-9
p
2
3
et en introduisant des normes particulières sur V =
1
H
et son dual
0 ()
^s(t) v
mes
^s(t)
,
*
- ×
1 ,
1
*
()+
= sup
avec
v
=
1
v
éq
3.1-10
- ,
1
*
,
1
2
,
1

v V , v0
v
(mes()+ 3)P ()
,
1
on retrouve bien l'inégalité (2) pp427 de [bib6].
·
Si on se permet plus de régularité sur la géométrie (H4) et sur les données (H5), on peut
exhumer le pendant, dit « fort », de la propriété précédente. Le contrôle des solutions qu'il
opère est bien sûr plus précis qu'avec [éq 3.1-1] car il s'effectue via des normes plus fortes.
Contrairement à la majoration « faible », il fait aussi intervenir directement la norme infinie
du coefficient d'échange convectif
. On ne détaillera pas ici son obtention car cette famille de
majoration n'est pas indispensable pour le calcul de l'indicateur recherché.



3.2
Semi-discrétisation en temps


On fixe un pas de temps t
tel que
soit un entier N et tel que la discrétisation temporelle soit
t

régulière : t = ,
0 t = t
, t = 2 t

t = n t
.
0
1
2
L n

Remarque :

Cette hypothèse de régularité n'a pas vraiment d'importance, elle permet juste de
simplifier l'écriture du problème semi-discrétisé. Pour modéliser un transitoire
quelconque à l'instant t

=
-
n, il suffit juste de remplacer
t
par t
t
t .
n
n+1
n

La semi-discrétisation en temps de [éq 2.1-1] par la -méthode mène au problème suivant :
On cherche la suite
(un)
V
éq
3.2-1
0nN
telle que


n+1
u
- un
C
- div




p
( n+1
u
)-(1- )div( un)= n+1
^s
+ (1- )^sn 0 n N -1

t
n+
1
u
= 0
0 n N -1
1
(
n 1
n+1
u
P

^ n
1
) +

=
+1
g

0 n N -1


2
n
n+1
u
n+1
n+1
n+1
^

+ h u
= h

0 n N -1

3

n
0
u (.) = u

0
éq 3.2-2
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en posant

n


= ,
x n
avec {u, s h^
,
^ , h, g^} et 0 n N

t

En multipliant [éq 3.2-2] par une fonction test v et en intégrant sur , on retrouve (via la formule de
Green) bien sûr la formulation variationnelle [éq 2.2-3] semi-discrétisée en temps


n
n
n+1
n
n+1
n
n+1
n
n+
Etant donn

és u , s^ , s^
, g^ , g^
h^
,
h^
,
, h , h 1
( n+
P 1 Calculer
que

tel
2
)
n+
u 1 V
éq
3.2-3
(
n+
C u 1,v
p
) + t a(n
n+
t ; u 1,v


)= ( C un,v
p
) + t (bn,v

) (vV)

0,
0,

avec
n 1
+
n 1

:
+
=
+

(1- )n où {u,hu,b,s,^ ^g }^
, h
a(
n 1

n t ; +
u
,v

)
n 1
:
+
= u .v dx +

(hu)n 1+


v d


éq
3.2-4

3
( n 1+
b ,v

)
n 1
+
n 1
+
n 1
^
:= ^s ,v
+ ^g ,
+
v
+ h , v


0,2
1 1

0,3
1 1
1
- × ,
1
- × ,2
- × ,3
2 2
2 2

Cette semi-discrétisation en temps a permis de transformer notre problème parabolique en un
problème elliptique auquel on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram standard. Les hypothèses de
ce théorème sont vérifiées aisément grâce aux résultats de continuité et d'ellipticité de la
démonstration du théorème 3. D'où l'existence et l'unicité de la suite (u n )
V recherchée.
0nN

Remarques :

· En posant Rf = 0 on retrouve bien la formulation variationnelle semi-discrétisée du
Code_Aster (cf. [R5.02.01 §5.1.3]). La (ou les ) condition(s) de Dirichlet (généralisées ou non)
sont vérifiées dans l'espace de travail W auquel doit appartenir la solution. De plus, en
implicitant totalement la
-méthode (Euler rétrograde) on retrouve la formulation du code
SYRTHES [bib9].

· Pour pouvoir semi-discrétiser par la -méthode on a besoin de restreindre l'appartenance de
la nouvelle source à ^s 0
C (
-1
,
0 ; H () (pour pouvoir prendre une valeur en un instant
donné). D'autre part, l'initialisation du processus itératif [éq 3.2-3] entraîne nécessairement
u 1
H
.
0
()
· Pour simplifier les expressions on ne mentionnera plus la dépendance temporelle de la forme
bilinéaire a(t ;.,.) (pour l'implicitation du terme d'échange), elle restera sous-entendue par
celle de la solution.

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Comme pour le problème continu, en ne faisant aucune concession sur les hypothèses de régularité,
on a la majoration « faible » suivante :

Propriété 6

En supposant que les hypothèses de la propriété 5 sont vérifiées, que le -schéma est
1
inconditionnellement stable (
), que ^s 0
C (
-1
,
0 ; H () et u 1
H
, on a la
0
()
2
contrôlabilité «
faible
» du problème semi-discrétisé en temps (avec
K
mes
P > )
1 (
,
( i ), ,
0,i
( )

) 0
,

n+
2
n
1
n
4
3
1
+ 2
1
+ 2
1
-
2
C u
+ t
u

C u
+
n
C u
p

p
p
0,
0,
0,
0,
2
2


t
K t
n+
2
1


2
2
2

0 n N -1
+
u
+ 1
n+1
n+1
n+1
^
^s
^g



1
h
0,


+
+
- ,
1
- ,2
-1,

2
2

2
2 3
éq 3.2-5

Preuve :

Cette inégalité s'obtient facilement en reprenant les étapes décrites dans la démonstration de la
propriété 5. Il faut, par contre, multiplier [éq 3.2-2] par la fonction test particulière
u n+1 =
: u n+1 +

(1- )un V éq
3.2-6
et évincer le terme d'échange par l'argument
0 < min( n n 1
h , +
h
)
2
n 1
+
u


(hu)n 1+ n 1+

u dx


max( n n 1
h , +
h
)
2
n 1
+
u

éq 3.2-7
0,

0,
3
3
3
D'autre part il n'y a pas cette fois que le terme source et les chargements qui nécessitent l'astuce
[éq 3.1-4], il faut aussi la mettre en place sur le terme croisé (2 - ) C u n 1
1
+ undx

. D'où un
p

quatrième paramètre vérifiant un système du type [éq 3.1-6]
2
P ()
2 -
( 2 2 2 2 2
+ C + C =
2
3
) 1
,

éq
3.2-8
2
2
- 1- 2 = 1
!

Remarques :

· Si on ne se place pas dans le cas d'un schéma conditionnellement stable, outre les
problèmes numériques qui risquent de survenir lors de la mise en oeuvre effective de
l'opérateur, on ne pourra déterminer les paramètres
(,,,) régissant l'équation [éq 3.2-8].
· En se plaçant dans le cadre particulier [éq 3.1-9] de l'article [bib6] et en reprenant les normes
4 - 3
1
équivalentes [éq 3.1-10], comme
< , on retrouve bien l'inégalité (5) pp428.
2
2
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En énonçant [éq 3.2-5] pour les valeurs de m { 1
,
0
,
K }
n et en sommant ces majorations jusqu'à n ,
on obtient la majoration « faible » suivante qui tient compte de l'historique des solutions et des
données.

Corollaire 7

Sous les hypothèses de la propriété 6, on a la majoration
n 1
n 1
2
2
2
2
n
C u
+ t
u

C u

C u
p
-
m+

1
+ 4

(1- )-
m

p
(4 - 3)
p
0,
0
0,
0,
0,
m=

0
m=

0

n 1
2
2
2
0 n N
+ K
m
m
^
t
^s
^
m
g
h
1
-

+1
+1
+1


+


1
+
- ,
1
- ,

1
2
,


m=
-
0
2
2 3
éq 3.2-9
ou plus simplement
n 1
2
2
2
n
C u
+ t
u
C u
p
-
m+

1


p
0,
0
0,
0,
m=

0
éq
3.2-10
n 1
2
2
2
0 n N
+ K
m
m
^
t
^s
^
m
g
h
1
-

+1
+1
+1


+


1
+
- ,
1
- ,

1
2
,


m=
-
0
2
2 3

Preuve :

L'obtention de [éq 3.2-9] étant déjà expliquée, il reste à démontrer [éq 3.2-10]. Cette inégalité plus
« grossière » provient simplement du fait que
(
n-
4 1- ) 1
2
C um 0
p
0,
m=

0
éq
3.2-11
(4 - )
2
2
3
C u

C u
p
0
p
0
0,
0,
!

Remarques :

·
On peut faire évidemment la même remarque que [bib6] en notant que le dernier terme de
[éq 3.2-9] est une somme de Riemann qui tend vers le dernier terme de [éq 3.1-1] lorsque le
pas de temps tend vers zéro. D'autre part, si on introduit la fonction (
avec [
la
n t
,(n+1) t
]
fonction temporelle caractéristique de l'intervalle [n t
,(n + )
1 t
]) u(t) un+
=
1

[

n t
,(n+1) t
] (t )
affine par morceaux dans [éq 3.1-1], on retrouve exactement [éq 3.2-9].
·
Comme pour [éq 3.1-1], en prenant les hypothèses moins restrictives (H4) et (H5), on trouve
une version « forte » des propriétés 6 et 7.
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3.3
Erreur de discrétisation temporelle

Les résultats précédents sur le problème continu et sur sa forme semi-discrétisée en temps sont
réutilisés conjointement pour étudier la contrôlabilité de l'erreur de discrétisation temporelle
0
n N
en := u n - u(nt)
éq
3.3-1
0
e = 0
On commence par faire apparaître cette erreur en soustrayant à l'équation [éq 3.2-2] les relations
(n+ ) t

1
1
u
( )
u (n + )
1 t
)- u(n t
)
d =

t

t

t

n t

u
(n + )
1 t
)
C
= div
+1 + ^
+1
éq
3.3-2
p
( u (n ) t)
s (n
) t)
t

(1- )
u
(n t
)
C
= 1- div
+ 1- ^
p
(
) ( u(n t) (
) s(n t)
t


soit
n+1
n
n+1 t

e
- e
1
C
-
1
div
éq
3.3-3
p
(
n+
u
e
=
d +
u

)
(
)
( )
C p


t
t
t
t
nt

en notant
en+1 =
: en+1 +

(1- )en
u

u


éq
3.3-4

=
:
(

n + )
1 )+ (1- ) u
t
(n t
)
t

t

t



A partir de cette expression on peut décrire, via le recours à la formule de Taylor, la contrôlabilité
« faible » de l'erreur de discrétisation temporelle. Mais pour pouvoir utiliser les dérivées temporelles de
la solution continue on a besoin d'un minimum de régularité en t, par exemple en concédant que
u 1
H ( ,
0 ;V ) 2
H (
-1
,
0 ; H ()
éq
3.3-5

Propriété 8

En supposant que la solution vérifie l'hypothèse supplémentaire de régularité temporelle [éq 3.3-5], on
a la contrôlabilité « faible » de l'erreur de discrétisation temporelle
n 1
2
2
0 n
n
N
C e
+ t
e
p
-
m+

1


0,
m=
0,
0

K (t)3
n
C
1
( p)2 -1(
u
u
1 ) 2
2
-
(
m t)

-
(m + )1t)


2
2


4
m=0
t
t

éq 3.3-6
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Preuve :

En évaluant [éq 3.3-3] par une formule de Taylor à l'ordre 2, on fait intervenir la dérivée seconde
temporelle de la solution et on montre que la suite d'erreur (en )
V vérifie un problème similaire
0nN
à [éq 3.2-2] (en supposant que la discrétisation temporelle des conditions limites sont exacte)

n+1
e
- en
C
- div
p
( n+1
e ) =

t

C
t
p

2u
2u


(1- )
(nt)-
(n + )1t)
0 n N -


2
2


1
2

t
t

( n+1
P
en
n
N

3
) +1

= 0
0
-1
1
n+1
e

= 0

0 n N -1
2

nn+1
e

+ n+1 n+1
h
e
= 0

0 n N -1


3
n

0
e (). = 0

éq 3.3-7

On peut alors lui appliquer le deuxième résultat du corollaire 7 d'où [éq 3.3-6] (on aurait pu, bien sûr,
tout aussi bien appliquer le résultat brut de ce corollaire ou celui de la propriété 6 dont il découle).

!

Remarques :

·
En se plaçant dans le cadre particulier [éq 3.1-9] de l'article [bib6] avec un schéma implicite
(
=1) et en reprenant les normes équivalentes [éq 3.1-10] on retrouve bien l'inégalité (8)
pp429. Il suffit de faire tendre
t 0 et d'approximer l'intégrale par la somme de Riemann
que constitue le second membre de [éq 3.3-6].

·
L'existence et l'unicité de la suite (en) découle bien sûr de celle de (un) mais on peut aussi la
redémontrer en appliquant le théorème de Lax-Milgram à la formulation faible découlant de
[éq 3.3-7].


3.4
Discrétisation totale en temps et en espace

On suppose que le domaine est polyédrique ou non et qu'il est discrétisé spatialement par une
famille régulière (h)h de triangulations. Du fait de cette régularité la méthode des éléments finis
appliquée à ( n 1
+
P
converge quand le plus grand diamètre des éléments K de (
2
)
h)h tend vers zéro
h := max h 0
éq
3.4-1
K
K
Th

Remarques :

·
Les éléments finis (K,PK,K) sont affines équivalents à un même éléments de référence, ils
vérifient des relations de compatibilité sur leurs frontières communes et les contraintes
géométriques [éq 3.4-1] et [éq 3.4-2].

·
On rappelle que le diamètre de K est le réel h := max x - y .
K
(x y)
2
, K
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En notant K la rondeur (on rappelle que la rondeur de K est le réel
=
: max{diamètre
sph

des


ères K ) associée à K, les éléments finis de (
K
}
h)h satisfont aussi la
contrainte

>
hK
0 /

éq
3.4-2
K
Dans le triplet usuel (K,PK,K) on définit l'espace polynomial comme étant celui des polynômes de
degré total inférieur ou égal à k sur K
P =
: P

éq
3.4-3
K
k (K )
et l'espace d'approximation (au sens « faible ») associé
V =
:
/
P

éq
3.4-4
h
{v V K T v
h
h
h K
k (K )}
V
Pour conclure, on notera h, l'opérateur de projection qui associe à la solution continue sa Vh ­
interpolée
:V V
h
h
éq
3.4-5
v vh

Remarque :

Avec une famille régulière de triangulations, cet opérateur d'interpolation est continu et il peut
s'écrire
v =
h
v(xi )Ni en notant xi les sommets du maillage et Ni leur fonction de
i
forme associée.

Il revêtira une importance toute particulière lorsqu'il faudra décrire la majoration qui exhumera
l'indicateur d'erreur.

Remarques :

·
En pratique les maillages sont souvent polygonaux, l'approximation h de devient
alors plus rudimentaire que dans le cas polyédrique. Pour conserver la convergence de
la méthode il faut alors recourir à des éléments isoparamétriques
(cf. [bib3] pp113-123 ou
P. GRISVARD. Behavior of the solutions of an elliptic boundary problem in a polygonal or
polyhedral domain. Numerical solution of PDE, Ed. Academic Press, 1976).

·
L'indicateur en résidu n'a été implanté dans le Code_Aster que pour les éléments
isoparamétriques (triangle, quadrangle, face, tétraèdre, pentaèdre et hexaèdre). D'ailleurs,
comme ce sont des simplexes ou des parallélotopes, la triangulation associée est
régulière
(cf. [bib3] pp108-112).

·
Pour les simplexes la relation [éq 3.4-2] se traduit par l'existence d'une borne inférieure sur les
angles et, pour les parallélotopes, par l'existence d'une borne supérieure contrôlant les
rapports entre la hauteur, la largeur et la longueur.

·
Dans la définition [éq 3.4-4] de Vh, ce sont les relations de compatibilité intrinsèques à la
famille d'éléments qui nous assure
h
, K v

1
P

1 =
:

éq
3.4-6
h K
k (K )
H (K )
v
H
h
(
K )
Dans la littérature on lui préfère souvent la définition plus régulière
*
V =
: V 0
C


éq
3.4-7
h
h
()
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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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Version
6.0

Titre :

Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

Date :
03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.10.03-A Page
: 25/60


En reprenant la forme semi-discrétisée ( n 1
+
P
avec des fonctions tests dans V
2
)
h on obtient le problème
totalement discrétisé en temps et en espace (pour un h fixé) suivant :
On cherche la suite
( nu
V
éq
3.4-8
h )0nN
h
initialisée par
0
u := u
éq
3.4-9
h
h 0
vérifiant le problème suivant


n
n
n+1
n
n+1
n
n+1
n
n+
Etant donn

és u , s^ , s^
, g^ , g^
h^
,
h^
,
, h , h 1
(
h
h,n+
P
1
Calculer
que

tel
2
)
n+
u 1 V

(
h
h

n+
C u 1,v
t a u 1,v
C u ,v
t b 1,v
v
V
p h
h )
+ ( n+
,h
h ) = (
n
p h
h )
+ ( n+

h )
(
h
h )

0,
0,
éq 3.4-10

De même que l'on a supposé au paragraphe précédent que la discrétisation temporelle des
chargements était exacte

en
n
=
: -

(n t
) = 0 avec {s h,^
,
^
h, g^} et 0 n N
(H6)
, on suppose ici de plus que leur discrétisation spatiale l'est aussi
h
n
n
n

=
: = avec
,
^
,
^
, ^ et 0

(H7)
h
h
{s h h g}
n
N

Dans le Code_Aster, ces hypothèses peuvent ne pas être vérifiées et on verra qu'elles impactent
la qualité de l'indicateur en résidu et ses relations d'équivalence avec l'erreur exacte (cf. [§4.3]). En
pratique, même si on est obligé de composer avec cette approximation, ce n'est pas véritablement
problématique tant que les chargements ne sont « pas trop chahutés » en temps et en espace.

En appliquant le théorème de Lax-Milgram standard suivant le canevas développé dans la
démonstration du théorème 3, on montre l'existence et l'unicité de la suite ( n
u
dans le sev fermé
h )n
(c'est donc un Hilbert, pré-requis indispensable pour l'utilisation du fameux théorème) Vh de l'Hilbert V.
De plus, en appliquant le second résultat du corollaire 7 (on aurait pu, bien sûr, tout aussi bien
appliquer le résultat brut de ce corollaire ou celui de la propriété 6 dont il découle), la contrôlabilité
« faible » du problème totalement discrétisé
prend la forme suivante :

Propriété 9

En s'appuyant sur la triangulation définie précédemment et en supposant que les hypothèses (H6) et
(H7) sont vérifiées, on a la majoration
n 1
2
2
2
n
C u
+ t
u
C
u
p
h
-
m+

1


h
p
h
0,
,
0
0,
0,
m=

0
éq
3.4-11
n 1
2
2
2
0 n N
+ K
m
m
^
t
^s
^
m
g
h
1
-

+1
+1
+1


+


1
+
- ,
1
- ,

1
2
,


m=
-
0
2
2 3
en notant m+1
m
u
=
: u +1 + 1- u

.
,h
h
(
) mh
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Remarques :

·
En se plaçant dans le cadre particulier [éq 3.1-9] de l'article [bib6] avec un schéma implicite
(
=1) et en reprenant les normes équivalentes [éq 3.1-10] on retrouve bien l'inégalité (14)
pp430.

·
En prenant les hypothèses moins restrictives (H4) et (H5), on trouve une version « forte » de
cette majoration faisant intervenir la norme H1 du champ résultat.


Maintenant que nous avons cerné le cadre fonctionnel nous assurant de l'existence et l'unicité de la
suite solution discrète et étudier l'évolution de la contrôlabilité du problème au cours des
discrétisations, nous allons mutualiser ces résultats un peu « éthérés » pour dégager la majoration où
interviendra l'indicateur.



4
Indicateur en résidu pur

4.1 Notations

Pour construire l'indicateur d'erreur local on va requérir les notations suivantes :

·
L'ensemble des faces (resp. noeuds) de l'élément K est désigné par S(K) (resp. N(K)).
·
L'ensemble des noeuds associés à une de ses faces F (appartenant à S(K)) est noté N(F).

Remarque :

Pour faire simple, on désignera sous le vocable « face », le coté d'un élément fini en 2D ou
une de ses faces en 3D.


·
Le diamètre de l'élément K (resp. d'une de ses faces F) est noté hK (resp. hF).
·
L'ensemble de la triangulation (h) se décompose sous la forme
T := T
T T T
h
h,

h 1
,
h,2
h,3
en notant (h,i) l'ensemble des éléments finis ayant une face contenue dans la frontière i.
·
Avec la même logique, l'ensemble des faces de la triangulation (h) se décompose sous la forme
S := S
S S S
h
h,

h 1
,
h,2
h,3
avec
i
{ ,
1
}
3
,
2
S := K
/ K T
K
= S K
h,i
{
h
i }
( )
K Th,i
·
De même, l'ensemble des noeuds de la triangulation (h) se décompose sous la forme
N := N
N N N
h
h,

h 1
,
h,2
h,3
·
La fonction « bulle » associée à K (resp. F) est notée K (resp. F).

Remarque :

C'est la fonction de D() (ensemble des fonctions indéfiniment dérivables et à support
compact) résultant du théorème de troncature sur un compact : son support est limité au
compact en question (ici K ou F) et elle vaut entre 0 et 1 sur son intérieur (au sens
topologique du terme). Elle est donc nulle sur la frontière du compact et à l'extérieur de
celui-ci.

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·
On note P l'opérateur de relèvement sur K de traces sur F, construit à partir d'un opérateur de
F
relèvement fixé sur l'élément de référence.
·
L'union des éléments finis de la triangulation partageant au moins une face avec K est notée
=
:
K'

K
S(K ) S(K')
·
L'union des éléments finis de la triangulation contenant F dans leur frontière est notée
:=
K'
F
F S(K')

·
L'union des éléments finis de la triangulation qui partagent au moins un noeud avec K (resp. avec
F) est notée

=
:
K'
(resp.
=
:
K'
).
K
F
N (K ) N(K')
N (F ) N(K')


Th
h


F
K
F
K

F
K

Figure 4.1-a : Désignation de types de voisinages pour K et F.

4.2
Majoration de l'erreur spatiale globale

Nous allons donc voir comment obtenir un indicateur local d'erreur calculable à partir des
données et de la solution discrète
( n
u
. Comme l'espace de travail discrétisé est inclus dans
h )n
l'espace continu V V , on peut réutiliser [éq 3.2-3] avec v
h
h. En lui soustrayant [éq 3.4-10] il advient
n et h fixés et en supposant (H6) et (H7))

( C

éq
4.2-1
p ( n+1
n
u
- u +1 ,v
+ t
a u +1 - u +1 ,v =
C u - u ,v
v
V
h
) h)
( ( n
n

,h ) h )
( p( n nh) h) ( h h)
0,
0,

Remarques :

·
Cette relation énonce le caractère orthogonal de l'erreur spatiale vis-à-vis des éléments de
Vh.

·
Elle suppose d'autre part que la discrétisation est « consistante » c'est-à-dire qu'il n'y a pas
d'erreurs supplémentaires introduites par l'intégration numérique des intégrales. En
pratique ce n'est bien sûr pas le cas !

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Considérons la forme linéaire suivante
(
A v) =
: ( C
éq
4.2-2
p (u n+1 - u n+1 ,
+
+1 - +1,

h
) v)
t a( un
u n v

,h
) ( v V)
0,
qui va nous servir de fil conducteur lors de cette démonstration. En l'étoffant via [éq 4.2-1], on obtient
(
A v) = ( Cp ( n
n
u - u ,v
+ C u - u , v - v
+
h )
)
( p( n nh) ( h )
0,
0,
(
éq
4.2-3
v
V )
( Cp( n+1 n
u
- u +1 , v - v
+ t
a u +1 - u +1 ,v - v
h
) ( h)
( ( n
n

,h )
h )
0,
En prenant [éq 3.2-3] après avoir remplacé v
-

h par v
v
V , on peut construire
h
( Cp( n+1 n+
u
-
1
u
- n
u + n
u
v v
t a u
u
v v
h
h ),
- h ) + ( n+1
n+
-
1 , -

,h
h )
=
0,
0,
(
éq 4.2-4
v V )
t ( n+1
b ,v - v
t a u
v v
C u
u
v v

h )
-
n
,
n
n ,
0,
( +1 - -
1 -
-

,h
h )
( p( +h h )
h )0,

Alors A(v) devient
(
A v) = ( Cp ( n
n
u - u ,v
+ t
b +1,v - v -
h )
)
( n
h )
0,
(
éq
4.2-5
v
V )
( Cp( n+1 n
u
- u ,v - v
- t
a u +1,v - v
h
h )
h )
( n,h
h )
0,
Puis on décompose les trois derniers termes sur chaque élément K de la triangulation et on applique,
au dernier, la formule de Green
n+
(
A v)
1
n
= ( Cp (
u
u
n
u - n
u
v
t
s
C
u
v v dx
h ), )
+
n 1
h
h
n 1
^
div
0,
+
-
-
+

p
( +,h )( - h)




t
K
K

Th

n+1
t
u
-


h,

(v - v d
h )
2
n
F
F
S



h,

n+1
u
v - v V
+ t
g


v v d
h



n+1
^
-
h,


( - h)


n
F
F
S


h,2
n+1
u
+ t



n+1
^h -
h,

-

(hu
v v d
h )


n+1

( - h)


n
F
F
S


h,3
éq 4.2-6

Remarque :

·
On s'est permis de remplacer les crochets de dualité de [éq 3.2-4] par des intégrales et on
peut appliquer la formule de Green car sur le compact K les hypothèses (H4) et (H5) sont
vérifiées (en remplaçant
par K et

i par
K
). On a donc
i
1
v - v H
et
éq 4.2-7
h
(K)
2
, u H
h
(K)
2
, ^s L (K )
2
, g L (K )
2
^
^
h L K
2
(
3 )
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Rappelons quelques propriétés de l'opérateur h de projection L2-locale introduit par
P. CLEMENT [bib8]
V L2
:
V
h
( )
h
éq
4.2-8
v vh
Il vérifie notamment les majorations d'erreurs de projection

v
V
v - v
:= v - v
C h v
h
h
4
K
0,K
0,K

,
1 K
éq
4.2-9
K
T ,
F
S K
v - v
:= v - v
C
h v
h
( )
h
h
5
F
0,F
0,F

,
1 F

où les constantes C4 et C5 dépendent des plus petits angles de la triangulation. En prenant cette
opérateur de projection spatiale et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwartz à [éq 4.2-6] il advient
donc :
n+
(
A v)
1
n
- ( Cp (
u
u
n
u - n
u
v
tC
h s
C
u
v
h ), )
n 1
-

^
-
h
h + div n 1
0
4
,

+
K

p
(
+
,h )

,
1
t
K
K
0,K
Th
n+

1
t
u
+
C



h


v
F
h,
5

2

,
1
n
F
F

S



h,
0,F

n+1
u
v V
+ tC
h
^ n
h
g


v
5


+1 -
,
F


,
1
n
F
F S
0,F
h,2
n+1
u
+
^n
h
n
tC
h h

hu
v
5


+1 -
,
-
F

( h ) +1


,
1
n
F
F S
0,F
h,3
éq 4.2-10
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Cette inégalité laisse clairement transparaître une formulation possible de l'indicateur en résidu pur :

Définition 10

K
Dans le cadre de l'opérateur de thermique transitoire linéaire du Code_Aster, la suite ( n
(K )
h
T

0nN
d'indicateurs locaux théoriques peut s'écrire sous la forme
n+1
n
n+
u
- u
1
u 1
n+1
(K )
n+
=
: h s 1
^
-
h
h
C
+ div u 1
h
,

K

p
(
n+
h, )
+


h
F

+
t
2 FS
n
(K )
0,K


0,F
éq 4.2-11
n+1
n+1

u
u
n+
h g 1 -
h,

+
h h 1
,
^
^


hu
1
F


n+ -
h
-
F

( h )n+
FS2 (K )
n
FS3 (K )
n
0,F
0,F
Elle est initialisée par
1
0
(
0
K )
u
=
: h s 0
^ + div u 0
h

K
( h ) +
0,K



h
F

+
2 FS
n
(K )
0,F
éq 4.2-12
0
0

u
u
h g 0 -
h

+
h h0
^
^

h0u 0
F


-
h -
F
h
FS2 (K )
n
FS3 (K )
n
0,F
0,F
La suite ( n
()
d'indicateurs globaux théoriques est définie comme étant
0nN
1


0
n
n
N () = n
(K ) 2
2
:




éq 4.2-13
K hT

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Remarques :

·
En se plaçant dans le cadre particulier [éq 3.1-9] de l'article [bib6] avec un schéma implicite
(
=1) on retrouve bien la définition (24) pp432.
·
Quelle que soit l'initialisation retenue pour le calcul thermique, on démarre la suite temporelle
de cartographie d'indicateurs d'erreur comme si on était en stationnaire : pas de terme en
différence finie temporelle, n+1=0 (dans le Code_Aster un champ transitoire de température
est initialisé à l'indice 0) et
=1.
·
Il faut souligner que cet indicateur est composé de quatre termes : le terme principale,
dénommé terme d'erreur volumique, contrôlant la bonne vérification de l'équation de la
chaleur, auquel se rajoutent trois termes secondaires vérifiant la bonne tenue des conditions
limites (termes de saut, de flux et d'échange). En 2D-PLAN ou en 3D (resp. en 2D-AXI), si
l'unité de la géométrie est le mètre, l'unité du premier est le W.m (resp.

1
W.m .
-
rad ) et celle
1
1
des autres termes est le
2
W.m (resp.
1
2
W.m .
-
rad ). Attention donc aux unités prises en
compte pour la géométrie lorsqu'on s'intéresse à la valeur brute de l'indicateur et non à sa
valeur relative !

·
En s'inspirant des majorations développées par R. VERFURTH (cf. [bib7] pp84-94) pour
l'équation de Poisson on aurait pu prendre comme indicateur la racine de la somme des carrés
des termes cités ci-dessus.

1
2
2

n 1
+
n
n+

u
- u
u
n+
h
h
n+
1


2
1
h ^s - C
+ div u
h


K

p
(
1
h


+
h
F

+
,
)
2
1
,

t
2 FS K
n


K



~

n 1
+

(K)
( )

0,
0,F

:=

2
2
n 1
+
n 1

u
+
u

n 1
+
h,
n 1
+
h,
^

h ^

g
-
+
h h


hu
F


-
-
F

( h )n 1+



FS K
n
FS K
n

2 (
)
3 (
)

0,F
0,F

éq 4.2-14
Cette définition conduit à une majoration de l'erreur globale qui est plus optimale que celle qui
va être dégagée par la suite. Mais nous avons préféré, pour rester homogène avec les écrits
de B. METIVET [bib6] et avec l'estimateur en mécanique linéaire déjà mise en place dans le
code, nous en tenir à la version de la définition 10.

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En s'appuyant sur [éq 4.2-10] et la définition 10 on peut alors exhumer la majoration de l'erreur globale
suivante :

Propriété 11

Sous les hypothèses de la propriétés 6, de (H6) et en utilisant la définition 10, on a, au niveau global,
la majoration « faible » de l'erreur (avec K

P C C > ) via l'historique des
2 (
, ( ),
,
4
5

) 0
,
indicateurs
1
1
2
2
2
C u
u
4 1
C u
u
t
u 1 u 1
p (
n
n
n - nh )
+ ( - )-
p ( m -
m
h )

+ -
( m+
m+
-

,h )
0,
0,
0,
m=

0
m=

0
n
2
0 n N
(4 - )
3
C u
u0
K t
2


p (
-
0
) +
2
( m
h
()
0,
m=0
éq 4.2-15
ou plus simplement
1
2
2
C u
u
t
u 1 u 1
p (
n
n - nh )
+ -
( m+
m+
-

,h )
0,
0,
m=

0
n
2
0 n N

C u
u0
K t
2

éq
4.2-16
p (
-
0
) +
2
( m
h
()
0,
m=0

Preuve :

Les estimations [éq 4.2-15] [éq 4.2-16] s'obtiennent en réitérant le même processus que pour les
propriétés 5, 6 et 7. On prend dans [éq 4.2-10] la fonction test particulière
n 1
+
n 1
v :
+
= u
- u


éq
4.2-17
,h
On évince le terme d'échange par l'argument habituel
(h(u - u

éq
4.2-18
h )

n+1

( n+1 n+
u
-
1
u
dx

,h )
> 0
3
Il faut appliquer l'astuce [éq 3.1-4] sur le terme croisé (2 - ) C
+1
1
- +
-

1
et sur
p (u n
u nh )(un unh )dx

le produit faisant intervenir l'indicateur. On a alors à trouver les paramètres et vérifiant un système
du type [éq 3.2-8]
2
P ()
2
2
-
= 1
,

éq
4.2-19
2
2
- 1- 2 = 1
1
qui n'admet de solution que si le schéma est inconditionnellement stable (
). D'où la majoration
2
[éq 4.2-15] [éq 4.2-16] en prenant
2
P ()
K =
max C ,C

éq
4.2-20
2
( 2 2
4
5 )
,
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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
HI-23/02/014/A

Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

Date :
03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.10.03-A Page
: 33/60


L'inégalité [éq 4.2-16] plus « grossière » résulte du même argumentaire que pour le corollaire 7.
!

Remarques :

·
En se plaçant dans le cadre particulier [éq 3.1-9] de l'article [bib6] avec un schéma implicite
(
=1) on retrouve bien l'inégalité (25) pp432 (avec c=max(1,K2)).
·
En prenant les hypothèses moins restrictives (H4) et (H5), on trouve une version « forte » de
cette propriété.
·
Cette propriété peut se démontrer plus rapidement en remarquant que l'inéquation [éq 4.2-10]
est similaire à l'équation du problème semi-discrétisé en temps [éq 3.2-3] : à l'inégalité près, en
changeant u par u-uh et en prenant comme terme
(bn ,v

) le second membre de [éq 4.2-10].
On peut alors directement lui appliquer le corollaire 7 qui est le pendant de l'estimation
recherchée !

·
De [éq 4.2-15] [éq 4.2-16] il apparaît que, à un instant donné, l'erreur sur l'approximation
de la condition de Cauchy et l'historique des indicateurs globaux intervient sur la
qualité globale de la solution obtenue. On pourra donc minimiser globalement l'erreur
d'approximation due aux éléments finis au cours du temps en remaillant « à bon
escient », via la suite d'indicateurs, la structure. Car, en pratique, on s'aperçoit que le
raffinement des mailles permet de diminuer leur erreur et donc de faire baisser la
somme temporelle des indicateurs. L'erreur globale butera (et c'est moral) sur la valeur
plancher de l'erreur d'approximation de la condition initiale (qui aura tendance elle-
aussi à baisser bien sûr !). L'indicateur « sur-estime » globalement l'erreur spatiale.

·
Avec l'autre variante d'indicateur [éq 4.2-14] on retrouve le même type de majoration.
Cependant la constante K2 change. Elle est se trouve multipliée par la constante C6 vérifiant

(cf. [bib7] pp90)
2
2
2
v
+

éq
4.2-21


K
v
C v
6
,
1
,
1
,
1
KT
F
F
h
Sh
~
K := C K
éq
4.2-22
2
6
2

D'après les définitions [éq 2-1-8], [éq 2-1-10] à [éq 2-1-13] si la prise en compte des conditions limites
de Dirichlet (généralisées ou non), via les ddls de Lagrange, est exacte (ce qui est le cas dans le
Code_Aster)
h

Rf n =
: Rf n = Rf n = Rf
0

(H8)
h
h
(n t)
n
N
la propriété précédente produit alors le corollaire suivant :

Corollaire 11bis

Sous les hypothèses de la propriété 11 en supposant (H8), on a la majoration de l'erreur spatiale
globale exprimée en température
1
2
2
C T
T
t
T 1 T 1
p (
n
n - nh )
+ -
( m+
m+
-

,h )
0,
0,
m=

0
n
2
0 n N

C T
T 0
K t
2

éq
4.2-23
p (
-
0
) +
2
( m
h
()
0,
m=0
en utilisant la définition 10 de l'indicateur aussi exprimé en température
u T , s^ s, g g et h^
^
hT

éq 4.2-24
ext
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4.3
Différents types d'indicateurs possibles

En extrapolant une remarque de [bib5] (pp194-195) il apparaît que les majorations de la propriété 11
peuvent s'exhumer en prenant comme indicateur
n+1
n
n+
u
- u
1
u 1
n+1

K : h s 1
^
C
div
u 1
h
,

p,t (
)
r
n+
=
-
h
h +
K

p
(
n+
h, )
+
sF
h

+
t
p
2 F S K
n
L (K )
( )



tL (K)
éq
4.3-1
n+1
n+1

u
u
s
n+
h g 1 -
h,

+
h h 1
,
^
^


hu
1
F

s n+ -
h
-
F

( h )n+
FS2 (K )
n
n
t
F S K

L (K )
3 ( )
t
L (K )

où les constantes r et s valent
6
t ,
1
p > 1 (
2D q = 2) ou
p
(
3D q = )
3
5
r(q, p)
q
q
:= q +1- -

éq
4.3-2
2
p
1
-1
-1
s(q,t)
q
q
:= q - -
-
2
2
t
Remarque :

Juste pour introduire cette forme générique d'indicateurs, on passe de la notation hilbertienne
des normes d'espaces à la notation de Lebesgue


Il est paramétré par les types de normes volumique et surfacique qui interviennent pour son obtention.
Contrairement à l'indicateur que nous avons choisi ( n 1
+

qui correspond à p=t=2), certains
2,2 (K )
utilisent la norme volumique L1 (p=t=2) ou au contraire la norme infinie.

Cette dernière formulation, tout comme sa forme simplifiée de la définition 10 (ou [éq 4.2-14]),
constitue bien un indicateur d'erreur a posteriori car son calcul ne requiert que la connaissance
des matériaux, des chargements, des données géométriques, de et du champ solution approché uh
du problème thermique incriminé. Cependant l'estimation exacte de l'indicateur n'est pas toujours
possible lorsque l'on a des chargements compliqués. Deux approches sont alors
envisageables :


·
Soit on approxime les intégrales qui rentrent dans la composition de la définition 10 par une
formule de quadrature.
·
Soit on approxime les chargements par une combinaison linéaire de fonctions plus simples
qui pourront permettre une intégration exacte. Généralement on utilise la même architecture
que celle qui a été mise en place pour les éléments finis modélisant le champ de température.

Remarque :

·
Dans les deux cas les chargements sont « prisonniers de la vision éléments finis » choisie
pour modéliser le champ solution.

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Ces deux stratégies sont équivalentes et dans le Code_Aster c'est la première qui a été
retenue
: l'intégrale volumique est calculée par une formule de Gauss, celles surfaciques par une
formule de Newton-Cotes.
Toutes les deux introduisent un biais dans le calcul de l'estimateur qui peut être représenté en
introduisant les versions approchées des chargements et de la source (dans le problème initial en T et
dans le problème transformé en u)
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
s
, g
,
+
T
h

et

éq
4.3-3
,h
,h
ext, ,h
,h
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
^
^s , ^g ,
+
h
h

et

éq
4.3-4
,h
,h
,h
,h
dans les espaces d'approximation volumique (pour la source) et surfaciques (pour les chargements)

X =
: v L2 / K
T
v
P K
h (
) { h
( )
h
h K
l (
)}
1

éq
4.3-5
X =
: v L2 / F
S
v

,
P F
h ( i )
{ h ( i)
h i
h
(
F
i )}
i
il

En fait, on introduit deux types d'erreurs numériques lors du calcul de l'indicateur : celle inhérente
aux formules de quadrature (pour des chargements polynomiaux d'ordre élevé) et celle due au
terme volumique. En effet, ce dernier requiert une double dérivation que l'on réalise en trois étapes
car dans le Code_Aster on ne préconise pas l'emploi des dérivées secondes des fonctions de formes.

Remarque :

Elles ont été récemment introduites pour traiter la dérivation du taux de restitution d'énergie
(cf. [R7.02.01 § Annexe 1]).


D'une part, on calcule (dans l'opérateur thermique) le flux thermique aux points de gauss, puis on
extrapole les valeurs aux noeuds correspondantes par lissage locale (cf. [R3.06.03] CALC_ELEM avec
OPTION='FLUX_ELNO_TEMP') avant de calculer la divergence du vecteurs flux aux points de Gauss.
Avec des éléments finis quadratique l'opération intermédiaire n'est qu'approximative (on affecte
comme valeur aux noeuds médians la demi-somme de leurs valeurs aux noeuds extrêmes). Cependant
des tests numériques (limités) ont montré que, même en P2, cette approche ne fournit pas des
résultats très différents de ceux obtenus par un calcul direct via les bonnes dérivées secondes.

Remarque :

· Les indices l1, l2, l3 de ces espaces polynomiaux peuvent être quelconques et différents de
celui de la solution approchée: k. Cependant, pour éviter que ces termes ne deviennent
prédominants (il s'agit d'estimer l'erreur sur la solution plutôt que celle sur la
modélisation des chargements
) on aura tendance à prendre l
k - 2
.
i
(i = ,1 )
3
,
2

La définition 10 et l'estimation faible 11 associée se réécrivent alors sous la forme suivante. Cette
nouvelle définition, n 1
+

, est indicée par un R (on reprend en cela les notations usuelles de [bib6]
R
(K)
et [bib7]) (pour « réel ») afin de bien notifier qu'elle correspond mieux aux valeurs qui sont calculées
effectivement dans le code.
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Définition 12

K
Dans le cadre de l'opérateur de thermique transitoire linéaire du Code_Aster, la suite ( n
K
R (
) hT
0nN
d'indicateurs locaux réels peut s'écrire sous la forme
n+1
n
n+
u
- u
1
u 1
n+1

K : h s 1
^
C
div
u 1
h
,

R
( )
n+
=
-
h
h +
K
,h
p
(
n+
h, )
+


h
F

+
t
2 FS
n
(K )
0,K


0,F

n+1
n+1

u
u
n+
h g 1 -
h,

+
h h 1
,
^
^


h u
1
F
,h

n+ -
h
-
F
,h
( h h )n+
FS2 (K )
n
FS3 (K )
n
0,F
0,F
éq 4.3-6
Elle est initialisée par
1
u 0
0
K : h s0
^
div
u 0
h

R (
) =
+
K
h
( h ) +
0,K



h
F

+
2 FS
n
(K )
0,F
éq 4.3-7
0
0

u
u
h g 0 -
h

+
h h0
^
^

h0u 0
F
h


-
h -
F
h
h
h
FS2 (K )
n
FS3 (K )
n
0,F
0,F
La suite ( n
()
d'indicateurs globaux réels est définie comme étant
0nN
1


0
n
n
N
K



éq 4.3-8
R () =
nR( ) 2
2
:


K hT


Remarque :

· On peut faire les mêmes remarques que pour son alter ego « théorique ». Ils se décline aussi
suivant les formulations [éq 4.2-14] n
~
et [éq 4.3-1], [éq 4.3-2] n

.
R, p,t (K )
R (K )

En s'appuyant sur les résultats de la propriété 11, la définition 12 et l'inégalité triangulaire on peut alors
exhumer la majoration de l'erreur globale réelle suivante (on a repris que la version simplifiée) :
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Propriété 13

Sous les hypothèses de la propriétés 6, de (H6) et en utilisant la définition 12, on a, au niveau global, la
majoration « faible » de l'erreur (avec K

P C C > ) via l'historique des
2 (
, ( ),
,
4
5

) 0
,
indicateurs réels
1
2
2
C u
u
t
u 1 u 1
p (
n
n - nh )
+ -
( m+
m+
-

,h )
0,
0,
m=

0
n 1
2
0
2
2
2
n N
C u
u0
K t
0
K
1

K
h2 s 1
^
s 1
^
p (
-
0
h )
+

2
( R( ) + - ({ m+R ( )
m+
m+
+
-
K
,h

}+
0,
0,K
KT
m=
h
0
n 1
2
2
K t
^
^
^
^
2
-

m+1
m+
h g
- g 1
+
h h 1 h 1
h u
1
hu
1
F
,h

0,F

m+
m+
-
-
F
,h

( h h )m+ + (

h )m+


0,F
KT m=0 F
h
S2(K)
FS3 (K )


éq 4.3-9
Sous (H8), on a la même expression en température

1
2
2
C T
T
t
T 1 T 1
p (
n
n - nh )
+ -
( m+
m+
-

,h )
0,
0,
m=

0
n 1
2
0
2
2
2
n N
C T T 0
K t
0
K
1

K
h2 s 1 s 1
p (
-
0
h )
+

2
( R( ) + - ({ m+R ( )
m+
m+
+
-
K
,h

}+
0,
0,K
KT
m=
h
0
n 1
2
2
K t
2
-

m+1
m+
h g
- g 1
+
h
h T
T
1
h T
T
1
F
,h

0,F
F ( h(
-
ext,h
h ) m+ - ( (
-
ext
h ) m+



0,F
KT m=0 F
h
S2(K)
FS3 (K )

éq 4.3-10
en utilisant la définition 12 de l'indicateur aussi exprimé en température

u T , s^ s, g g et h^
^
hT


éq 4.3-11
ext

Remarque :

· Comme pour la valeur théorique il y a une morale à l'histoire car, lorsqu'on va raffiner, l'erreur
globale va buter sur la valeur plancher due aux approximations de la condition initiale, des
conditions limites et de la source. On ne peut pas obtenir des résultats de meilleure qualité
que les données d'entrée du problème !


4.4
Minoration de l'erreur spatiale locale

Avant d'exhumer la minoration de l'erreur spatiale, on va devoir introduire quelques résultats
complémentaires :
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Lemme 14

On montre qu'il existe des constantes strictement positives Ci (i=6...11) vérifiant

1
v
P




sup k ,l ,l ,l (K )
{ 1 2 3}
C
v
v
C
2 v
6
K
7
K
0,K
0,K
0,K
v
C h-1 v
K
8 K
K
0,K
0,K
-1
1
v

2
P





éq 4.4-1
sup k ,l ,l ,l (F )
{ 1 2 3}
C h
P v
v
C
2 v
9 F
K
F
10
F
0,F
0,F
0,F
v
C h-1 v
K
11 F
K
0,
0,
F
F

Preuve :

On passe à l'élément de référence puis on utilise le fait que les normes sont équivalentes sur les
espaces polynomiaux considérés, car ils sont de dimension finie (cf. [bib5] pp196-98, [bib7] [§1]).

!

Ces résultats préliminaires sont cruciaux pour déterminer une minoration de l'erreur locale par
l'indicateur réel. Mais on verra que l'on ne pourra obtenir qu'un inverse local de [éq 4.3-9], [éq 4.3-10].
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Propriété 15

Sous les hypothèses de la propriété 6, de (H6) et en s'appuyant sur la définition 12 et le lemme 14, on
a, au niveau local, la minoration « faible » de l'erreur (avec K C i =
> ) via
3 (
,
6
i
L )
11
0
l'indicateur réel

n 1
+
n 1
u
- +
u
- un - n

u
h
C
h
h
+
K
p
(

n 1
+
n 1
u
- +
u
+


,h ) 0,



t
K

0,

K

1
n+

n+
n+
n+
n+

1
R (K) K
h ^ 1
s
- ^ 1
s
+ h ^ 1
2 g
- ^ 1
g
+
3
K

,h
F

,h

0,
0,
K
K
2


1

^n+
n+
n+
n+

1
2
^ 1

h h
- h
- hu
+ h u
F

,h
( h ) 1 (

h h ) 1


0,
K
3




0
n N -1

éq 4.4-2
Sous (H8), on a la même expression en température

n 1
+
n 1
T
-
+
T
- T n - n

T
h
C
h
h
+
K
p
(

n 1
+
n 1
T
-
+
T
+


,h ) 0,



t
K

0,

K

1
n+

n+
n+
n+
n+

1
R (K)
1
1
1
1
2
K
h s
- s
+ h g
- g
+
3
K

,h
F

,h

0,
0,
K
K
2


1


n 1
2

+
h h
F

( n 1+ n 1
T
- +
T
- n+
n+
h
T
- n+
T
ext,

)
1
,h (
1
1
ext, ,h
,h )

0,
K
3




0
n N -1

éq 4.4-3
en utilisant la définition 12 de l'indicateur aussi exprimé en température
u T , s^ s, g g et h^
^
hT


éq 4.4-4
ext

Preuve :

Cette démonstration un peu technique comporte trois étapes qui vont consister à majorer
successivement chacun des termes de l'indicateur [éq 4.3-6] (en utilisant les inégalités de la propriété
14) et à rassembler les majorations obtenues:
Premièrement, on va remplacer dans l'équation [éq 4.2-6] le terme en v - v par le produit w
h
K faisant
intervenir la fonction « bulle » de K
n+1
n
+1
u
- u
n
h
h
K
T
v =
: s^
- C
+ div u +1
h
K
,h
p
(
n
,h )
t

éq
4.4-5
w =
: v
K
K K
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D'où la succession de majorations, via [éq 4.4-1] et l'inégalité de Cauchy-Schwartz,
2
2

n+
u 1
2
- n+
u 1 - n
u - n
u

v
C w v dx C
, w
a u 1 u 1, w
s 1
^
s 1
^ , w
K 0,K
7 K K
7
h
h
+
K
( n+ - n+

,h
K ) - ( n+ -
n+

,h
K )


t
K





0,



n+1
n+1
n
n

C 2max ,
1

^
^
7
( C8) u -u - u -u

h
h
+ -
h 1
u 1 u 1
s 1 s 1
w
K
( n+ - n+

,h )
n+
n+

+
-

,h



0,K
t
0,
0,

0,K
K
K
K


2
n+1
n+1
n
n

v
C
u
u
u
u
7 max ,
1 C

u 1 u 1
s 1
^
s 1
^
K
( 8)
-
-
-

h
h
+
( n+ - n+

,h )
n+
n+

+
-

,h

0,K
C6


0,K
0,K
t
0,K



éq 4.4-6

Puis, on réitère le même processus pour les termes surfaciques wF,i
n 1
+
F
S(K )
uh,
S
v
:=



h,
F 1
,


n



éq
4.4-7
w
:= P v
F 1
,
K
F K 1
,
n 1
+
F
S(K )
u
n 1
+
h,
S
v
:= ^g
-

h,2
F ,2
h,
n


éq
4.4-8
w
:= P v
F ,2
F
F F ,2
n 1
+
F
S(K )
u
n 1
+
h,
^
S
v
:

n
= h
-
- h u +
h,3
F ,3
h,
( h h ) 1
n


éq
4.4-9
w
:= P v
F ,3
F
F F ,3
Manuel de Référence
Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
HI-23/02/014/A

Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

Date :
03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.10.03-A Page
: 41/60


Soit, par exemple, pour i=1 la succession de majorations, via [éq 4.4-1] et l'inégalité de
Cauchy-Schwartz,
n+
u 1 - n+
u 1 - n
u - n
u

h
h , w
+ a u 1 u 1, w
2
F 1
,
( n+ - n+

,h
F 1
, )
2
2





v
C
w v d
t
C
F 1
,
0,F
10 F 1, F 1,
10

0,

F


- ( n+
s 1
^
- n+
s 1
^ , w
v , w

,h
F 1
, )
- ( K F 1,)

0,
0,



n+
u 1 - n+
u 1 - n
u - n
u
h
h
+ -
h 1 u 1 u 1
F
( n+ - n+

,h )

C 2 max ,
1
10
( C11)

0,
t
F


0,
w
F
F 1,

0, F
n+1
n+1



+ s^
- s^
+ v

,h 0,
K 0,F


F

1 n+
u 1 - n+
u 1 - n
u - n
u
-1

2
2
h
h
h
+ h
u 1
2
u 1
F
F
( n+ - n+

,h )


0,
C
t
v
10 max ,
1 C
0,
F 1
,
( 11)

F

F

0,F
C9

1
1


+
n+
h s 1
2 ^
- n+
s 1
^
+ h 2 v
F

,h
F
K


0,
0,F
F

éq 4.4-10
Finalement il suffit d'effectuer la combinaison linéaire impliquant [éq 4.4-9] et [éq 4.4-10] pour conclure
(car h h et
v

v
v
avec F S
).
F
K
(K)
0,
0,
F
K

!

Remarques :

·
Cette minoration locale de l'erreur se décline aussi suivant les formulations [éq 4.2-14]
n
~
et [éq 4.3-1], [éq 4.3-2] n

.
R, p,t (K )
R (K )
·
En se plaçant dans le cadre particulier [éq 3.1-9] de l'article [bib6] avec un schéma implicite
(
=1) on retrouve bien l'inégalité (29) pp432.
·
En prenant les hypothèses moins restrictives (H4) et (H5), on trouve une version « forte » de
cette propriété.
·
Ce résultat ne fournit qu'un inverse local de la majoration globale [éq 4.3-9], [éq 4.3-10]
mais dans le cadre de ce type d'indicateur on ne pourra obtenir de meilleur compromis.
Ces estimations sont optimales au sens de [bib5]
. Elles montrent l'équivalence de la
somme hilbertienne des indicateurs avec la partie spatiale de l'erreur exacte globale . Les
constantes d'équivalence sont indépendantes des paramètres de discrétisations en espace et
en temps, elles ne dépendent que du plus petit angle de la triangulation.

·
Cette majoration de l'indicateur d'erreur réel montre, que si l'on raffine très localement
(autour de K) afin de diminuer
n


, on n'est pas assuré d'une diminution de l'erreur
R (K )
dans un voisinage immédiat de la zone concernée (dans K). L'indicateur « sous-
estime » localement l'erreur spatiale et seul un raffinement plus macroscopique réalise
théoriquement une diminution de l'erreur (cf. propriété 13).

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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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4.5 Compléments

La constante K3 tout comme son alter ego précédent, K2, dépend intrinsèquement du type de
conditions limites enrichissant l'équation de la chaleur initiale ainsi que du type de
discrétisation temporelle et spatiale
. Pour essayer de s'affranchir de cette dernière contrainte,
SR. GAGO [bib10] propose (sur un problème modèle 2D) une dépendance de la constante K2 en
fonction du type d'éléments finis utilisé. Elle s'écrit
~
K2
K :=

éq
4.5-1
2
2
24 p
p est le degré du polynôme d'interpolation utilisé (p=1 pour les TRIA3 et QUAD4, p=2 pour les
TRIA6 et QUAD8/9). D'où l'idée, une fois l'indicateur d'erreur globale calculé, de le multiplier par cette
1
constante « corrective »
. Cette stratégie a été implicitement retenue pour le calcul de
2
24 p
l'indicateur d'erreur en mécanique (option `ERRE_ELGA_NORE' de CALC_ELEM, cf. [R4.10.02 §3]).
Nous ne l'avons cependant pas adoptée pour la thermique car cette constante n'a été déterminée
qu'empiriquement sur l'équation de Laplace 2D. Nous ne voulons pas ainsi biaiser les valeurs des
indicateurs.

Il n'a été question, jusqu'à présent, que de cartes d'indicateurs d'erreurs spatiales calculées à un
instant donné du transitoire de calcul. Mais, en fait, il existe plusieurs voies pour construire un
indicateurs d'erreur sur un problème parabolique
:

·
on peut très bien, tout d'abord, semi-discrétiser la formulation forte en espace et contrôler son
erreur spatiale par des indicateur d'erreur a posteriori adapté au cas stationnaire (dans notre
cas elliptique). Puis on applique un solveur, de pas et d'ordre variables, traitant les équations
différentielles ordinaires (par exemple [bib10] [bib11] [bib12]),
·
une deuxième stratégie consiste à semi-discrétiser en temps puis en espace et à déterminer
l'indicateur d'erreur spatiale d'un instant donné (par exemple [bib4] [bib6] [bib13]) à partir des
résidus locaux de la forme semi-discrétisée. On applique un solveur linéaire à la forme
variationnelle permettant de construire itérativement la solution à un instant donné à partir de
la solution de l'instant précédent,
·
une autre possibilité consiste à discrétiser simultanément en temps et en espace sur des
éléments finis appropriés et à contrôler leurs erreurs « spatio-temporelles » de manière
couplée (par exemple [bib14] [bib15]).

Ce dernier scénario est le plus séduisant d'un point de vue théorique car il propose un contrôle
complet de l'erreur et il permet d'éviter de malencontreux découplages quant aux éventuels
raffinements/déraffinements pilotés par un critère vis-à-vis de l'autre (cf. paragraphe suivant). Il est
cependant très lourd à mettre en place dans un gros code industriel tel que le Code_Aster. Il suppose
en effet, pour être optimal, rien moins qu'une gestion séparée du pas de temps par éléments finis. Ce
qui du point de vue de l'architecture supportant les éléments finis du code est une véritable gageure !
On lui préfère donc le deuxième scénario qui a le gros avantage de pouvoir s'implanter directement
dans un code d éléments finis car ce il s'appuie avant tout sur la résolution du système totalement
discrétisé. C'est ce type d'indicateurs qui a été mis en place dans N3S, TRIFOU et le Code_Aster.
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Dans le cadre d'une véritable discrétisation « spatio-temporelle » du problème (scénario 3), on
obtient, en toute rigueur, un indicateur « spatio-temporel » pour chaque élément de discrétisation
K × [t ,t
qui est la somme pondérée de trois termes :
n
n 1
+ ]

1) le résidu de la solution calculée et des données discrétisées par rapport à la formulation forte
du problème (P
K ×
0) évaluée sur
[t ,t ,
n
n 1
+ ]
2) le saut spatiale à travers K × [t ,t
de l'opérateur trace associé (qui relie naturellement
n
n 1
+ ]
les formulations faible et forte via la formule de Green),
3) le saut temporel à travers K × [t ,t
de la solution calculée.
n
n 1
+ ]

La solution qui a été mise en place ne permet évidemment pas de faire apparaître explicitement le
terme de saut temporel. Il resurgit cependant implicitement, du fait de la méthode de semi-
discrétisation temporelle particulière, dans tous les termes en des définitions 10 et 12.

Par contre, le fait de ne s'intéresser principalement qu'à la discrétisation spatiale et à son
éventuel raffinement/déraffinement ne doit pas occulter certaines contigences vis à vis de la
gestion du pas de temps
. En effet, lors de calculs transitoires comportant de brusques
variations de chargements et/ou de sources
au cours du temps, par exemple des chocs
thermiques, les champs de températures calculées T n (0 < n N ) peuvent osciller spatialement et
temporellement
. De plus, ils peuvent violer le « principe du maximum » en prenant des valeurs en
dehors des bornes imposées par la condition de Cauchy et les conditions limites. Pour surmonter ce
phénomène numérique parasite on montre, sur un cas canonique sans condition d'échange
(cf. [R3.06.07 §2]), que le pas de temps doit rester entre deux bornes :
t

h < t
< t


éq
4.5-2
min ( )
(
max
)

En pratique, il est difficile d'avoir un ordre de grandeur de ces bornes, on a donc du mal, si on détecte
des oscillations, à modifier le pas de temps afin de respecter [éq 4.5-2]. D'autre part, ce type
d'opération n'est pas toujours possible car il faut parfois prendre en compte précisément les brusques
variations de chargements (notamment lorsque t est trop petit).
Lorsque t est trop grand on peut fonctionner en Euler implicite (=1) ce qui aura pour effet de
gommer la borne supérieure.
Par contre lorsqu'il est trop faible, deux stratégies palliatives s'offrent à l'utilisateur :

· diagonaliser la matrice de masse via les éléments lumpés (cf. [R3.06.07 §4] [§5])
proposés dans le code (cela nécessite des aménagement pour traiter les éléments P2 ou la
modélisation 2D_AXI),
· diminuer la taille des mailles (cela augmente les complexités calcul et mémoire requises).

C'est dans cette perspective que les raffinements/déraffinements pratiqués sur la foi de notre
indicateur peuvent avoir une incidence
. Le fait de raffiner ne posera aucun problème par contre en
déraffinant on peut très bien détériorer la minoration de [éq 4.5-2]. Il faut donc être très circonspect si
on utilise l'option déraffinement du logiciel HOMARD (encapsulé pour le Code_Aster dans
MACR_ADAP_MAIL option `DERAFFINEMENT' [U7.03.01]) sur cas test comportant un choc thermique.

Nous allons maintenant résumer les principaux apports des chapitres théoriques précédents et leurs
tenants et aboutissants vis-à-vis du calcul thermique mis en place dans le Code_Aster.
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5
Récapitulatif de l'étude théorique

Soit (P0) le problème aux limites mêlé (de type Cauchy-Dirichlet-Neumann-Robin inhomogène
linéaire et à coefficients variables) résolu par l'opérateur THER_LINEAIRE


T
C
- div

p
( T) = s
× ] ,
0 [


t
T = f
×
1
] ,0 [

T
(P )
g

0
=
×
2
] ,0 [ éq
5-1
n
T

+ hT = hT
×
ext
3
] ,0 [
n

T (x )
0
, = 0
T (x)


Compte-tenu des choix de modélisations opérés dans le Code_Aster (par AFFE_MATERIAU,
AFFE_CHAR_THER...) on détermine le Cadre Variationnel Abstrait (CVA cf. [§2]) minimal sur lequel
on va pouvoir s'appuyer pour montrer l'existence et l'unicité d'un champ de température solution
(cf. [§2]). En recoupant ces pré-requis théoriques un peu « éthérés » avec les contraintes pratiques
des utilisateurs, on en déduit des limitations quant aux types de géométrie et aux chargements licites.
Puis, tout en semi-discrétisant en temps et en espace par les méthodes usuelles du code (dont
on s'assure bien sûr du bien-fondé et du fait qu'elles conservent l'existence et l'unicité de la solution),
on étudie l'évolution des propriétés de stabilité du problème (cf. [§3]). Ces résultats de
contrôlabilité nous sont très utiles pour dégager les normes, les techniques et les inégalités qui
interviennent dans la genèse de l'indicateur en résidu. Dans ces étapes de discrétisation nous
abordons aussi brièvement l'influence de telle ou telle hypothèse théorique sur le périmètre
fonctionnel des opérateurs du code
.

Avant de résumer les principaux résultats théoriques concernant l'indicateur d'erreur, nous allons
repréciser quelques notations :

·
on fixe un pas de temps t
tel que
soit un entier N et que la discrétisation temporelle soit
t

régulière : t = ,
0 t = t
, t = 2 t

t = n t
,
0
1
2
L n

Remarque :

Cette hypothèse de régularité n'a pas vraiment d'importance, elle permet juste de
simplifier l'écriture du problème semi-discrétisé. Pour modéliser un transitoire
quelconque à l'instant tn, il suffit juste de remplacer t par tn=tn+1-tn.

·
soit le paramètre de la -méthode semi-discrétisant temporellement (P0),
·
soient n
T et n
T les champs de températures à l'instant t 0
, solutions exactes
n (
n
N )
h
du problème initial (P0), respectivement semi-discrétisé en temps et totalement discrétisé en
temps et en espace.
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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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Compte-tenu des modélisations mises en place dans le code, nous pouvons supposer que la
discrétisation temporelle des chargements et de la source est exacte et que la prise en compte,
via les Lagranges, des conditions limites
(généralisées ou non) de Dirichlet l'est aussi. Par
contre, une des approches pour modéliser les approximations numériques effectuées lors des calculs
intégraux de l'indicateur d'erreur, consiste à supposer inexacte la discrétisation spatiale des
chargements et de la source
. Leurs valeurs approchées sont notées

n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
s , g
,
+
T
h

et

éq
5-2
,h
,h
ext, ,h
,h
en posant


n 1
+





=

,
x (n + )
1
+ (1- ) ,
x n
avec {T, s,T , g,
et
éq
5-3
ext
}
h
0 n N -1

t

t

Remarque :

L'implantation de ce type d'indicateur (en mécanique comme en thermique) est aussi entaché
d'un autre type d'approximations numériques liée aux calculs des dérivées secondes du terme
volumique (cf. [§4.3]). Son effet peut éventuellement se ressentir lorsqu'on s'intéresse à la
valeur intrinsèque de l'erreur volumique pour des sources très chahutées sur un maillage
grossier.


Ils existent alors deux constantes K2 et K3 indépendantes des paramètres de discrétisation en temps
et en espace, dépendant seulement du plus petit angle de la triangulation et du type de problème, qui
permettent de construire :

·
Une majoration de l'erreur spatiale globale (l'historique de l'indicateur réel global
« sur-estime »
l'erreur spatiale globale)
1
2
2
C T
T
t
T 1 T 1
p (
n
n - nh )
+ -
( m+
m+
-

,h )
0,
0,
m=

0
n 1
2
0
2
2
2
n N
C (T - h
T
K t
0
K
1

K
h2 s 1 s 1
p
0
0 )
+

2
( R( ) + - ({ m+R ( )
m+
m+
+
-
K
,h

}+
0,
0,K
KT
m=
h
0

n 1
2
2
K t
2
-

m+1
m+
h g
- g 1
+
h
h T
T
1
h T
T
1
F
,h

0,F
F ( h(
-
ext,h
h ) m+ - ( (
-
ext
h ) m+



0,F
KT m=0 F
h
S2(K)
FS3 (K )

éq 5-4
·
Une minoration de l'erreur spatiale locale (il « sous-estime » l'erreur spatiale locale)

n 1
+
n 1
T
-
+
T
- T n - n

T
h
C
h
h
+
K
p
(

n 1
+
n 1
T
-
+
T
+


,h ) 0,



t
K

0,

K

1
n+

n+
n+
n+
n+

1
R (K)
1
1
1
1
2
K
h s
- s
+ h g
- g
+
3
K

,h
F

,h

0,
0,
K
K
2


1


n 1
2

+
h h
F

( n 1+ n 1
T
- +
T
- n+
n+
h
T
- n+
T
ext,

)
1
,h (
1
1
ext, ,h
,h )

0,
K
3




0
n N -1

éq 5-5
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Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

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K
·
Avec la suite ( n
K d'indicateurs réels locaux (en utilisant les notations du
R (
) hT
0nN
[§4.1])
n+1

K
1
:
K
1

K
1

K
1

K
R
( )
n+
= R,vol ( )
n+
+ R,saut ( )
n+
+ R, flux ( )
n+
+ R,éch ( )
n+
T 1 - n
T
1
n
T 1
éq 5-6
n+
=
: h s 1 -
h
h
C
+ div T 1
h
,

K
,h
p
( nh, )
+
+
+


h
F

+
t
2 FS
n
(K )
0,K




0,F
n+1
n+1

T
T
n+
h g 1 -
h,

+
h
h T
T
1
,

F
,h

F ( (
-
ext
) n+ -
h
,h
FS2 (K )
n
FS3 (K )
n
0,F
0,F
qui est initialisée par
1
T 0
0
K : h s0 div T 0
h

R (
) =
+
K
h
( h ) +
0,K




h
F

+
2 FS
n
(K )

0,F

0
0

T
0
0
T
h g -
h

+
h
h T
T

F
h

F ( (
-
ext
)

-
h
h
FS2 (K )
n
FS3 (K )
n
0,F
0,F
éq 5-7
Cette suite locale permet de construire la suite ( n
()
d'indicateurs réels
0nN
globaux
1


0
n
n
N
K



éq 5-8
R () =
nR( ) 2
2
:


K hT


De [éq 5-4] (cf. [§4.2]) il apparaît que, à un instant donné, l'erreur sur l'approximation de la condition de
Cauchy et l'historique des indicateurs globaux intervient sur la qualité globale de la solution obtenue.
On pourra donc minimiser globalement l'erreur d'approximation due aux éléments finis au cours
du temps en remaillant « à bon escient », via la suite d'indicateurs, la structure
. Car, en pratique,
on s'aperçoit que le raffinement des mailles permet de diminuer leur erreur et donc de faire baisser la
somme temporelle des indicateurs. L'erreur globale butera (et c'est morale) sur la valeur plancher
due aux approximations de la condition initiale, des conditions limites et de la source
(qui aura
tendance elle-aussi à baisser bien sûr !). On ne peut pas obtenir des résultats de meilleure qualité
que les données d'entrée du problème !

Le résultat [éq 5-5] (cf. [§4.4]) ne fournit qu'un inverse local de la majoration globale [éq 5-4] (le
« must » aurait été de faire apparaître aussi une majoration au niveau local) mais, dans le cadre de ce
type d'indicateur, on ne pourra obtenir de meilleur compromis. Ces estimations sont optimales au
sens de [bib5]
. Elles illustrent l'équivalence de la somme hilbertienne des indicateurs avec la partie
spatiale de l'erreur exacte globale . Les constantes d'équivalence sont indépendantes des paramètres
de discrétisations en espace et en temps, elles ne dépendent que du plus petit angle de la triangulation
et du type de problème traité.
D'après cette majoration de l'indicateur [éq 5-6], si l'on raffine très localement (autour de l'élément K)
afin de diminuer n

, on n'est pas assuré d'une diminution de l'erreur dans un voisinage immédiat
R (K )
de la zone concernée (dans K). L'indicateur « sous-estime » localement l'erreur spatiale et seul
un raffinement plus macroscopique réalise théoriquement une diminution de l'erreur.
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Rien qu'en résidu pur, toute une « zoologie » d'indicateurs d'erreur spatiale sont loisibles
(cf. [§4.3]), nous en avons retenu un type similaire à celui déjà mis en place pour la mécanique du
Code_Aster. S'appuyant sur les solutions et les chargements discrets de l'instant courant et de l'instant
précédent (sauf au premier pas de temps), ses limitations théoriques sont donc, au mieux, celles
inhérentes à la résolution du problème en température
: pas de zones comportant de points de
rebroussement ou de pointe, pas de fissure, problème aux interfaces de multi-matériau, -schéma
inconditionnellement stable, famille régulière de triangulation, maillage polygonal discrétisé par des
éléments finis isoparamétriques, oscillations et violation du principe du maximum (cf. [§4.5]). Bien sûr,
en pratique, on passe bien souvent outre, et ce sans encombre, ce périmètre d'utilisation « théorique ».

Mais il faut bien avoir présent à l'esprit, qu'en tant que « simple post-traitement » de (P0),
l'indicateur ne peut malheureusement pas fournir de diagnostic plus fiable dans les zones où la
résolution du problème initial achoppe (près de fissure, choc ...)
. Sa dénomination prudemment
réservé d'indicateur (au lieu de la terminologie habituelle d'estimateur) est dans ces cas particuliers
plus que jamais de mise ! Mais si, dans ces cas extrêmes, sa valeur brute peut-être sujette à caution,
son utilité en tant que fournisseur efficace et commode de cartes d'erreur en vue d'un
remaillage ou un raffinement/déraffinement reste complètement justifiée
.

Dans la même veine, même si la formulation [éq 5-6] n'a été établi que dans le cas linéaire transitoire ,
isotrope ou non, définit par (P0), on pourrait aussi étirer son périmètre d'utilisation au non-linéaire
(opérateur THER_NON_LINE), à des conditions limites différentes (ECHANGE_PAROI par exemple) ou à
d'autres types d'éléments finis (éléments isoparamétriques lumpés, éléments de structure...) (cf.
[§2.1]). Pour plus d'informations sur le périmètre « informatique » correspondant à son implantation
effective dans le code, on peut se référer à [§6.2] ou à la documentation utilisateur de CALC_ELEM
[U4.81.01].

Il n'a été question, jusqu'à présent, que de cartes d'indicateurs d'erreurs spatiales calculées à un
instant donné du transitoire de calcul. Mais, en fait, il existe plusieurs voies pour construire un
indicateurs d'erreur sur un problème parabolique
(cf. [§4.5]). Celle que nous avons retenue ne
permet pas un contrôle complet de l'erreur et elle requiert toujours une certaine vigilance lorsqu'on
traite des problèmes de type chocs
(la même que pour le problème post-traité !). Elle ne fait
apparaître qu'implicitement le terme de saut temporelle dans tous les termes en de [éq 5-6].

Pour finir, il faut souligner que cet indicateur est donc composé de quatre termes :

·
le terme principal, dénommé terme d'erreur volumique, contrôlant la bonne vérification de
l'équation de la chaleur,
·
auquel se rajoutent trois termes secondaires vérifiant la bonne tenue des sauts spatiaux et
des conditions limites : termes de flux et d'échange.

En 2D-PLAN ou en 3D (resp. en 2D-AXI), si l'unité de la géométrie est le mètre, l'unité du premier est
1
1
le W.m (resp.
1
W.m .
-
rad ) et celle des autres termes est le
2
W.m (resp.
1
2
W.m .
-
rad ). Attention
donc aux unités prises en compte pour la géométrie lorsqu'on s'intéresse à la valeur brute de
l'indicateur et non à sa valeur relative !


Nous allons maintenant aborder, après les difficultés pratiques de mise en oeuvre dans le code,
l'environnement nécessaire et son périmètre d'utilisation. On conclura par un exemple d'utilisation tiré
d'un cas test officiel.
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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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6.0

Titre :

Indicateur d'erreur en résidu pour la thermique transitoire

Date :
03/06/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
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6
Mise en oeuvre dans le Code_Aster

6.1 Difficultés
particulières

Pour calculer ce type d'indicateur il faut composer avec la vision « calcul élémentaire + assemblage»
généralement déployée dans tous les codes éléments finis. Or l'estimation, au niveau local, de (K)
requiert, non seulement la connaissance de ses champs locaux, mais aussi celle de ses mailles
voisines. On a donc besoin d'effectuer un « calcul global » à l'échelle de K, dans le calcul
local !
Une stratégie calquée sur ce qui avait été mis en place pour l'estimateur en mécanique
consiste à transmettre ce type d'informations dans les composantes de cartes étendues qui elles
seront transmises en argument d'entrée de CALCUL. C'est ce type de contingence qui explique
l'hétérogénéité de traitement lors des surcharges de chargements entre les solveurs thermiques et le
calcul de notre indicateur (cf. [§6.2]).

Un autre type de difficulté, plus numérique cette fois, concerne le calcul du terme volumique.
En effet, il requiert une double dérivation que l'on réalise en trois étapes, car dans le Code_Aster on
ne préconise pas l'emploi des dérivées secondes des fonctions de formes.

Remarque :

Elles ont été récemment introduites pour traiter la dérivation du taux de restitution d'énergie
(cf. [R7.02.01 § Annexe 1]).


D'une part, on calcule (dans l'opérateur thermique) le vecteur flux aux points de gauss, puis on
extrapole les valeurs aux noeuds correspondantes par lissage local (cf. [R3.06.03] CALC_ELEM avec
OPTION='FLUX_ELNO_TEMP' et [§6.2]) afin de calculer sa divergence aux points de Gauss. Avec
des éléments finis quadratiques l'opération intermédiaire n'est qu'approximative (on affecte comme
valeur aux noeuds médians la demi-somme de leurs valeurs aux noeuds extrêmes). Cependant des
tests numériques (limités) ont montré que cette approche ne fournit pas des résultats très différents de
ceux obtenus par un calcul direct via les bonnes dérivées secondes.

Enfin, il a fallu déterminer diverses caractéristiques géométriques (diamètres, normales, jacobiens...),
les connectiques des éléments en vis-à-vis et accéder aux données qu'elles sous-tendent dans tous
les cas de figures prévus par le code (partie de maillage symétrisée et/ou hétérogène, chargement
fonction ou réel, matériau non-linéaire, tous les éléments isoparamétriques 2D/3D et tous les
chargements thermiques).
Au delà de ces développements pointilleux, un gros effort de validation
« géométrico-informatique » a été déployé
pour essayer de traquer d'éventuels bugs dans cet
entrelac de petites formules. Ces tests laborieux sur de petits cas tests modèles (TPLL01A/H pour le
2D_PLAN/3D et TPNA01A pour le 2D_AXI) se sont révélés fructueux (y compris pour l'indicateur en
mécanique et les éléments lumpés !) et indispensables. Car on ne dispose pas, à ma connaissance,
de valeurs théoriques permettant de valider dans certaines situations ces indicateurs : « rien ne
ressemble plus à une valeur d'indicateur... qu'une autre valeur d'indicateur !»
. A défaut d'autre
chose et, bien que dans un processus de validation cela ne soit pas la panacée, il faut donc
essayer de dégager un maximum de confiance en tous ces éléments constitutifs
.

6.2 Environnement
nécessaire/paramétrage

Le calcul de cet indicateur s'effectue, via l'option `ERTH_ELEM_TEMP' de l'opérateur de post-
traitement CALC_ELEM,
sur un EVOL_THER (fournit au mot-clé RESULTAT) provenant d'un calcul
thermique antérieur (linéaire ou non, transitoire ou stationnaire, isotrope ou orthotrope, via
THER_LINEAIRE ou THER_NON_LINE, cf. périmètre plus précis [§6.4]).
Comme on l'a déjà souligné, il requiert au préalable le recours à l'option `FLUX_ELNO_TEMP' de
CALC_ELEM qui détermine les valeurs du vecteur flux thermique aux noeuds (cf. exemple d'utilisation
[§6.5]).
Cet indicateur est constitué de quinze composantes par éléments et pour un instant donné. Afin de
pouvoir les post-traiter via POST_RELEVE ou GIBI on a besoin d'extrapoler ces champs par élément en
des champs aux noeuds par élément. Le rajout de l'option `ERTH_ELNO_ELEM' (après l'appel à
`ERTH_ELEM_TEMP') permet d'effectuer cette transformation purement informatique. Pour un instant
et un élément fini donné, elle ne fait que dupliquer les quinze composantes de l'indicateur sur chaque
noeuds de l'élément.
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Pour bien effectuer le post-traitement intégral du calcul thermique souhaité, il faut :

·
L'effectuer sur toute la géométrie, TOUT='OUI' (valeur par défaut, sinon le calcul s'arrête
en ERREUR_FATALE). Ce choix provisoire a été conduit par des contingences informatiques
et fonctionnelles, car ainsi tous les éléments finis se voient affecter un indicateur homogène
calculé avec le même nombre de termes (sinon quid de la notion de terme de saut et de
terme de CL au bord du domaine considéré
?). D'autre part l'outil de
raffinement/déraffinement du code (le logiciel HOMARD encapsulé dans MACR_ADAP_MAIL),
débouché naturel de nos cartographies d'erreur, ne permet pas de traiter que des parties de
maillages.

Remarque :

Cela pose des problèmes de propagation de subdivisions pour conserver la conformité
de la triangulation. En fait, pour détourner ce type de contingence, il faudrait, soit définir
une zone tampon faisant la jonction entre la zone « morte » du maillage et la zone
« active » à traiter, soit de manière plus optimales mais aussi beaucoup plus difficile
d'un point de vue architecture, la réduire à une couche d'éléments joints.


·
Fournir le même paramétrage temporel : valeur de (valeur par défaut égale à 0.57)
fournie au mot-clé PARM_THETA ; le cas échéant si on traite un problème transitoire, il faut
renseigner les champs habituels TOUT/NUME/LIST_ORDRE avec des valeurs licites vis-à-vis
du calcul thermique. Le calcul de l'historique de l'indicateur peut alors s'effectuer à partir de
n'importe quel instant d'un transitoire, sachant qu'au premier incrément on effectue le calcul
comme en stationnaire (=1, n+1=0 et pas de terme en différence finie cf. [éq 5-7]).
D'ailleurs, en stationnaire, si l'utilisateur fournit une valeur de différente de 1, on lui impose
cette dernière valeur après l'en avoir informé.
De manière connexe, on détecte la demande de fourniture de cartes d'erreurs entre des
numéros d'ordre non contigus (on a une ALARME) ou la donnée d'un EVOL_THER ne
comportant pas de champ de température et de vecteur flux aux noeuds (le calcul s'arrête en
ERREUR_FATALE). La valeur de et le nombre de numéro d'ordre pris en compte sont
tracés dans le fichier message [§6.3]. Le numéro d'ordre et l'instant correspondant
accompagnent aussi chaque occurrence d'indicateur d'erreur dans le fichier résultat ([§6.3]).
·
Utiliser les mêmes chargements et en respectant les règles de surcharges particulières
aux options de calculs d'erreur de cet opérateur. Ainsi, dans les solveurs thermiques (et
mécaniques) on agrège les conditions limites d'un même type, alors que dans les calculs
d'erreurs de CALC_ELEM (et donc aussi avec notre indicateur) on ne peut prendre en compte,
pour un type de condition limite donné, que la dernière fournie au mot-clé EXCIT. L'ordre de
ces chargements revêt donc une importance cruciale
!

Remarque :

Cette restriction trouve son fondement dans la première remarque du paragraphe
précédent. Pour bien faire il faudrait, soit concaténer sur les éléments de peau
concernés toutes les conditions limites, soit fournir aux calculs élémentaires des cartes
de tailles variables contenant exhaustivement tous les chargements. La première
solution semble de loin la plus optimale mais aussi la plus laborieuse à mettre en
oeuvre. Il faudrait alors aussi faire la même chose pour l'indicateur en résidu de la
mécanique (OPTION='ERRE_ELGA_NORE').

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Cependant, en cas de conflit entre des chargements d'un même type, on peut souvent et
facilement trouver une solution palliative via l'AFFE_CHAR_THER adéquat. L'utilisateur est
averti de la présence de plusieurs occurrence d'un même type de chargement par une
message d' ALARME et la liste des chargements effectivement pris en compte est tracée
dans le fichier message ([§6.3]).
Le code s'arrête par contre en ERREUR_FATALE si les chargements fournis posent certains
problèmes (interpolation de chargements fonction, accès aux composantes, présence du
CHAMPGD du coefficient d'échange et absence du CHAMPGD de la température extérieure ou
vice-versa....),
·
Dans le même cadre général : valeur du modèle (paramètre MODELE), des matériaux requis
(CHAM_MATER), de la structure EVOL_THER donnée (RESULTAT) et résultat (affectation de
CALC_ELEM avec éventuellement un « reuse » réentrant). Ils sont tracés dans le fichier
message ([§6.3]).

Si l'utilisateur ne respecte pas cette nécessaire homogénéité de paramétrage (aux règles de
surcharge près) entre le solveur thermique et l'outil de post-traitement, il s'expose à des
résultats biaisés voire complètement faux (sans que forcément un message d'ALARME ou une
ERREUR_FATALE l'arrête, on ne peut pas tout contrôler et/ou interdire !). Il reste alors seul juge
de la pertinence de ses résultats.


Récapitulons tout ce paramétrage de l'opérateur CALC_ELEM impactant directement le calcul de
l'indicateur d'erreur spatiale en thermique.

Mot-clé facteur
Mot-clé
Valeur par défaut
Valeur obligeatoire (O)
ou conseillée (C)
MODELE

Idem calcul thermique
(O)

CHAM_MATER

Idem calcul thermique
(O)

TOUT `OUI'
`OUI' (O)

TOUT/NUME/LIST_ORDRE `OUI'
`OUI' (C)

PARM_THETA
0.57
Idem calcul thermique
(O)

RESULTAT

EVOL_THER du calcul
thermique (O)

reuse

EVOL_THER du calcul
thermique (C)
EXCIT CHARGE

Idem calcul thermique +
règle de surcharge(O)

OPTION

`FLUX_ELNO_TEMP'
`ERTH_ELEM_TEMP'
`ERTH_ELNO_ELEM'

INFO
1 1
(C)
Tableau 6.2-1 : Récapitulatif du paramétrage de CALC_ELEM
impactant le calcul de l'indicateur

Remarque :

·
En transitoire, il est (fortement) conseillé de calculer l'historique de l'indicateur sur des
instants de calculs contiguës. Sinon, le post-traitement de la semi-discrétisation temporelle
sera faussé, et suivant la formule consacrée... l'utilisateur deviendra seul juge de la
pertinence de ses résultats.

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6.3
Présentation/exploitation des résultats du calcul d'erreur

L'option `ERTH_ELEM_TEMP' fournit en fait, non pas une, mais quinze composantes par éléments
finis K et par pas de temps tn+1
. En effet, pour chacun des quatre termes de [éq 5-6],_ le terme
principal volumique et les trois termes secondaires surfaciques _, on calcule non seulement l'erreur
absolue
, mais aussi un terme de normalisation (la valeur théorique des chargements discrétisés
que l'on aurait due trouver) et l'erreur relative associée. En sommant ces trois familles de quatre
contributions, on établit aussi l'erreur absolue totale, le terme de normalisation total et l'erreur relative
totale. Ce qui fait bien le compte !

Le fait de dissocier les contributions de chaque composante de cet indicateur permet de
comparer leurs importances relatives et de cibler des stratégies de raffinement/déraffinement
sur un certain type d'erreur. Même si le terme volumique (représentant la bonne vérification
de l'équation de la chaleur) et le terme de saut (lié à la modélisation éléments finis) restent les
termes prépondérants, il peut s'avérer utile de jauger les erreurs dues à certain type de
chargement afin d'affiner leur modélisation ou de remailler les zones frontières incriminées
.

D'ailleurs ce type de stratégie peut être facilement détourné de son but premier afin de faire du
raffinement/déraffinement par zone : il suffit d'imposer, uniquement dans cette zone, un type de
condition limite fictive (avec de très mauvaise valeur afin de susciter une grosse erreur).
Le mode de calcul de ces composantes et le nom de leur composante « d'accueil » dans le champ
symbolique `ERTH_ELEM_TEMP' de l'EVOL_THER sont récapitulées dans le tableau ci-dessous (en
s'appuyant sur la nomenclature de [éq 5-6]).


Erreur absolue
Erreur relative
Terme de normalisation
(en %)
Terme
n 1
+


n 1
+

K
n
N 1
+
K := h s 1
+
R,vol (
)
n
R,vol (
)
R,vol (K )
volumique
×100
K


,h 0,K
TERMVO
n 1
+
N
K
R,vol (
)
.
TERMV1
TERMV2
Terme de
n 1
+


n 1
+

K
1
R,saut (
)
R,saut (K )
saut
×
n
+
1
+
h 2
T 1
n
F
,h
TERMSA
n+
N
N
K :=


R,saut (
)


R saut (K )
.
100
1
,
2
n




TERMS2
0,F
TERMS1
Terme de flux
n 1
+


n 1
+

K
1
R, flux (
)
R, flux (K )
×
n
N 1
+
K := h 2 g 1
+
R, flux (
)
n
TERMFL
n+
N
F


,h 0,F
R flux (K )
.
100
1
,
TERMF1
TERMF2
Terme
n 1
+


n 1
+

K
1
R,éch (
)
R,éch (K )
d'échange
×100
n
N 1
+
K := h 2 h T - T
1
+
R,éch (
)
F ( ( ext
) n
TERMEC
n 1
+
N
K
,h 0,F
R,éch (
)
.

TERME2
TERME1
Total
n+1

K
1
:

K
n 1
+

n+
N 1 K :
N 1 K
R
( ) = n+R,i ( )
R (K )
R (
) = n+R,i ( )
×

i
n+
N
i
R
(K)
.
100
1
ERTABS
TERMNO
ERTREL
Tableau 6.3-1 : Composantes de l'indicateur d'erreur.
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Pour l'erreur absolue et le terme de normalisation, en 2D-PLAN ou en 3D (resp. en 2D-AXI), si l'unité
de la géométrie est le mètre, l'unité du premier terme est le W.m (resp.
1
W.m .
-
rad ) et celle des
1
1
autres termes est le
2
W.m (resp.
1
2
W.m .
-
rad ).

Attention donc aux unités prises en compte pour la géométrie lorsqu'on s'intéresse à la
valeur brute de l'indicateur et non à sa valeur relative !


Cette information est accessible sous trois formes :

·
Pour chaque instant du transitoire, ces quinze valeurs sont sommées sur tout le maillage (on
fait la même chose que dans le tableau [Tableau 6.3-1] en remplaçant K par ) et tracées
dans un tableau du fichier résultat (.RESU).

**********************************************
THERMIQUE: ESTIMATEUR D'ERREUR EN RESIDU
**********************************************

IMPRESSION DES NORMES GLOBALES :

SD EVOL_THER RESU_1
NUMERO D'ORDRE 3
INSTANT 5.0000E+00
ERREUR ABSOLUE / RELATIVE / NORMALISATION
TOTAL 0.5863E-05 0.2005E-04 % 0.2923E+02
TERME VOLUMIQUE 0.3539E-05 0.0000E+00 % 0.0000E+00
TERME SAUT 0.2217E-05 0.1006E-04 % 0.2205E+02
TERME FLUX 0.4384E-06 0.3886E-05 % 0.1128E+02
TERME ECHANGE 0.4591E-06 0.5755E-05 % 0.7977E+01

**********************************************

Exemple 6.3-1 : Tracé de l'option `ERTH_ELEM_TEMP' dans le fichier résultat

·
Elle est stockée informatiquement dans les quinze composantes du champ symbolique
`ERTH_ELEM_TEMP' de la SD_RESULTAT thermique. Les variables d'accès de ce champ sont
, pour chaque maille (dans notre exemple M1), le numéro d'ordre (NUME_ORDRE) et l'instant
(INST). Avec l'option `ERTH_ELNO_ELEM' on a la même chose pour chaque noeud de
l'élément considéré.
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CHAMP PAR ELEMENT AUX POINTS DE GAUSS DE NOM SYMBOLIQUE ERTH_ELEM_TEMP
NUMERO D'ORDRE: 3 INST: 5.00000E+00
M1 ERTABS ERTREL TERMNO
TERMVO TERMV2 TERMV1
TERMSA TERMS2 TERMS1
TERMFL TERMF2 TERMF1
TERMEC TERME2 TERME1

1 0.5863E-05 0.2005E-04 0.2923E+02
0.3539E-05 0.0000E+00 0.0000E+00
0.2217E-05 0.1006E-04 0.2205E+02
0.4384E-06 0.3886E-05 0.1128E+02
0.4591E-06 0.5755E-05 0.7977E+01
........

CHAMP PAR ELEMENT AUX POINTS DE GAUSS DE NOM SYMBOLIQUE ERTH_ELNO_ELEM
NUMERO D'ORDRE: 3 INST: 5.00000E+00
M1 ERTABS ERTREL TERMNO
TERMVO TERMV2 TERMV1
TERMSA TERMS2 TERMS1
TERMFL TERMF2 TERMF1
TERMEC TERME2 TERME1

N1 0.5863E-05 0.2005E-04 0.2923E+02
0.3539E-05 0.0000E+00 0.0000E+00
0.2217E-05 0.1006E-04 0.2205E+02
0.4384E-06 0.3886E-05 0.1128E+02
0.4591E-06 0.5755E-05 0.7977E+01
N3 0.5863E-05 0.2005E-04 0.2923E+02
........

Exemple 6.3-2 : Tracés, via IMPR_RESU, des composantes du champ symbolique
`ERTH_ELEM_TEMP'/'ERTH_ELNO_ELEM' dans le fichier résultat
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·
On peut aussi tracer les valeurs de chacune de ces composantes dans le fichier message
(.MESS) en initialisant le mot-clé INFO à 2. Cependant cette fonctionnalité plutôt réservée aux
développeurs (pour la maintenance ou des diagnostics pointus) fait aussi apparaître des
impressions complémentaires (documentées mais trop exhaustives) sur les éléments
constituant l'indicateur et les caractéristiques des éléments finis et de leurs voisinages.

TE0003 **********
NOMTE/L2D THPLTR3 / T
RHOCP 2.0000000000000
ORIENTATION MAILLE 1.0000000000000
...
---> TERMVO/TERMV1 1.2499997764824 1.2499997764826
>>> MAILLE COURANTE <<< 3 TRIA3
DIAMETRE 3.5355335898314D-02
ARETES DE TYPE SEG2
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

NUMERO D'ARETE/HF 1 2.4999997764826D-02
NOMBRE DE SOMMETS 2
CONNECTIQUE 1 2
XN 0.59999992847442 0.59999992847442
YN -0.80000005364418 -0.80000005364418
JAC 1.2499998882413D-02 1.2499998882413D-02
<<< MAILLE VOISINE 2 QUAD4
IGREL/IEL 1 2
INOV LOCAL/GLOBAL 2 5
....
*********************************************
TOTAL SUR LA MAILLE 2
ERREUR ABSOLUE / RELATIVE / MAGNITUDE

TOTAL 0.5900D-03 0.1079D-03 % 0.5466D-03
TERME VOLUMIQUE 0.1768D-01 0.1000D-03 % 0.1768D-01
TERME SAUT 0.5882D-03 0.1080D-03 % 0.5448D-03
TERME FLUX 0.0000D+00 0.0000D+00 % 0.0000D+00
TERME ECHANGE 0.0000D+00 0.0000D+00 % 0.0000D+00
*********************************************

Exemple 6.3-3 : Tracé, via INFO=2, dans le fichier message

Remarques :

·
Lorsque le terme de normalisation est nul (un certain type de chargement ou de source est nul,
comme c'est le cas dans les exemples [Exemple 6.3-1] et [Exemple 6.3-2] ci-dessus avec le
terme volumique), on ne calcule pas le terme d'erreur relative associé. Il reste initialisé à zéro.

·
D'ailleurs, pour calculer effectivement l'erreur absolue relative à une condition limite nulle (un
flux ou une condition d'échange) il faut l'imposer en tant que fonction via
l'AFFE_CHAR_THER_F adhoc. Et ceci pour de simples contingences informatiques, qui font
qu'avec un chargement constant, on ne sait pas faire le distinguo entre :

- condition limite nulle " l'utilisateur impose zéro sur cette portion de frontière et il veut
tester l'erreur absolue associée,
- condition limite nulle " il n'y a pas de conditions limites sur ce bords,
·
Des tests de non-régression « numérico-informatiques » ont montré que la manière de
modéliser les chargements et la source, en tant que constantes ou fonctions, pouvait
influencer notablement les valeurs de termes d'erreur très petits (surtout en erreur relative bien
sûr) et inquiéter inutilement l'utilisateur. Ce phénomène s'explique par des différences de
codages des chargements discrétisés [éq 5-2]. Ce type de comportement se retrouve aussi
dès que l'on change de solveur linéaire, de préconditionneur, de méthode de renumérotation,
de plate-forme...

·
En stationnaire, lorsqu'on utilise une source non nulle avec des éléments finis linéaires, le
terme principale est très mal estimé puisqu'il requiert une double dérivation du champ de
température. Une ALARME prévient donc l'utilisateur et l'enjoint de passer en quadratique.

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6.4 Périmètre
d'utilisation

Cet indicateur n'a été développé, pour l'instant, que sur les éléments isoparamétriques
(TRIA3/6, QUAD4/8/9, TETRA4/10, PENTA6/13/15 et HEXA8/20/27) et pour les modélisations
PLAN, PLAN_DIAG, AXIS, AXIS_DIAG, 3D et 3D_DIAG
. Il ne calcule donc pas les contributions des
éléments de structure de type coque (COQUE_PLAN, COQUE_AXIS, COQUE), des pyramides
(PYRAM5 et PYRAM13) et de la modélisation de Fourier (AXIS_FOURIER). Il ne permet pas non plus de
calculer les termes de sauts de ces éléments avec les éléments autorisés. Cependant, si un maillage
comporte des éléments licites et illicites, le calcul ne s'interrompt pas
et, via l'OPTION ­2 dans
les catalogues d'éléments idoines, on prévient l'utilisateur de la non prise en compte desdits
éléments
.
En effet pour effectuer ce post-traitement, il faut au préalable appeler, explicitement, l'option
`FLUX_ELNO_TEMP' (calcul du vecteur flux thermique aux noeuds) et, implicitement,
`INIT_MAIL_VOIS' (détermination des caractéristiques du voisinage K d'un élément K). On est
donc tributaire de leurs périmètres d'utilisation respectifs.

Il faut aussi avoir présent à l'esprit quelques règles plus mineures mais qui peuvent revêtir une
importance toute particulière pour des études très précises :

1) Le calcul de l'indicateur ne traite que les éléments du maillage appartenant au modèle
désigné par le mot-clé MODELE de la commande CALC_ELEM. On peut ainsi travailler avec
des maillages (non nettoyés) comportant des « mailles d'ébauche » auxquelles on attribue un
modèle différent.
2) Dans
un
maillage en dimension q, on ne calcule les termes de saut et de chargement, que
sur des éléments de peau de dimension q-1. Donc, on traite les relations des TRIA/QUAD
avec les SEG et les relations TETRA/PENTA/HEXA avec les FACE. Par exemple, en cas de
présence de segments dans un maillage tridimensionnel, l'option ne s'arrêtera pas mais elle
ne prendra pas en compte leurs (éventuelles) contributions.
3) L'option `ERTH_ELEM_TEMP' et ses options préliminaires ne connaissent pas les PYRAM.
Leurs contributions seront ignorées. Cette lacune provient de leur introduction dans le
Code_Aster plus récente que celles des options préliminaires déjà citées.

Remarque :

De toute façon ces éléments sont minoritaires dans un maillage 3D et ne sont
engendrés que par le mailleur libre volumique de GIBI, qui en crée localement pour
compléter des portions de maillages hexaédrique.


4) En
2D,
il ne faut pas intercaler accidentellement un segment entre deux triangles ou
quadrangles, sinon le terme de saut de ces éléments ne sera pas calculé et on s'enquérira à
tort de l'existence d'une éventuelle condition limite. Le calcul ne s'interrompra pas mais à
cette interface, la valeur de l'indicateur sera incomplète. Toutefois, pour des besoins
particuliers (densité de chargements internes et localisée dans une structure, fissure...), on
peut bien sûr se permettre ce genre de situation. En 3D, le problème se pose bien sûr aussi
lorsqu'on intercale des quadrangles ou des triangles entre deux FACE contiguës.
5) le même type d'imbroglio se produit lorsque deux points du maillage sont superposés
géométriquement. Là encore, le calcul ne devrait pas s'interrompre, mais la valeur de
l'indicateur sera incomplète au niveau de cette zone de recouvrement,
6) Si on travaille avec un maillage qui résulte d'opérations de symétrisation, il faut essayer
de ne pas se trouver dans les deux cas de figures précédents. De plus, de part et d'autre de
l'axe de symétrie, les mailles voisines n'ont pas forcément (avec notamment le mailleur
GIBI) des orientations qui répondent à la norme du Code_Aster
(elles devraient être
inversées). Le calcul de l'indicateur, pour qui cette information est cruciale (pour définir les
normales externes à chaque maille et les connectiques en vis-à-vis), détecte le problème en
calculant le jacobien de chaque maille. En 2D, un algorithme de substitution permet de
contourner le problème et de reconstruire les tables de connectique « noeuds de l'élément
courant/ noeuds de ses voisins ». En 3D, le problème est beaucoup plus ardu et particulier à
chaque élément, le code s'arrête donc en ERREUR_FATALE en cas de problème.
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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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7) Si on veut raffiner ou déraffiner son maillage avec MACR_ADAP_MAIL [U7.03.01], le
maillage ne doit comporter que des triangles ou des tétraèdres. Concernant les chargements
surfaciques ou volumiques, la « bonne pratique » consiste à n'utiliser que des groupes de
mailles. Si on utilise des groupes de noeuds, on doit s'attendre à des calculs faussés, car
après quelques raffinements, d'autres points se seront probablement insérés
géométriquement dans la zone concernée par la GROUP_NO sans se voir affecter un
quelconque chargement (on ne peut modifier la composition d'un GROUP_NO en cours de
session !).
Pour des chargements ponctuels ou des points de relevé (sur lesquels vont, par exemple,
s'appuyer des POST_RELEVE_T) le GROUP_NO est licite. Par contre, il n'est pas conseillé
d'utiliser directement des mailles (MA) ou des noeuds (NO) (en dehors de groupe), car dans ce
cas, au gré des renumérotations, HOMARD va probablement perdre leur trace. Il ne peut
conserver la mémoire des mailles ou des noeuds qu'au travers d'un nom de GROUP_MA ou de
GROUP_NO. Grâce à ce mécanisme, il peut adopter une vision lagrangienne du devenir de
ces mailles ou de ces points !

Le calcul de l'indicateur s'opère indifféremment sur un EVOL_THER provenant de
THER_LINEAIRE ou de THER_NON_LINE, stationnaire ou transitoire, isotrope ou orthotrope, et,
sur une structure immobile maillée par des éléments répondant aux critères précédents.


En non-linéaire on prend en compte les non-linéarités des matériaux et la modification du problème en
enthalpie. Cependant on ne traite pas les éventuelles contributions de chargements non-linéaires
(FLUX_NL et RAYONNEMENT). L'utilisateur en est averti par une ALARME, tout comme il est averti de la
non prise en compte d'une condition limite de type ECHANGE_PAROI. En effet, en linéaire on ne
reconnaît, pour l'instant, que les contributions des chargements SOURCE, FLUX_REP et ECHANGE. Pour
la prise en compte de ces chargements, des règles de surcharge particulières sont appliquées
(cf. [§6.2]).

6.5 Exemple
d'utilisation

Pour se familiariser avec l'emploi de cet indicateur en thermique et son couplage éventuel avec
l'encapsulation d'HOMARD® (pour plus d'informations, on pourra consulter le site
http://www.code-aster.com/outils/homard) via MACR_ADAP_MAIL [U7.03.01] on peut
s'inspirer de cette version expurgée du cas test TPLL01J [V4.02.01]. Il ne s'agit cependant que d'un
cas test de non-régression informatique mettant en exergue l'usage de certaines fonctionnalités du
nouveau langage de commande PYTHON (boucle, test...).

MATERI=DEFI_MATERIAU( THER=_F( LAMBDA = 0.75, RHO_CP = 2.0))
M=[None]*5
MAIL=LIRE_MAILLAGE( )

# Maillage initial
M[1]=DEFI_GROUP(reuse=MAIL,MAILLAGE=MAIL,
CREA_GROUP_NO=_F( TOUT_GROUP_MA = 'OUI'))

# Vecteurs resultats a chaque iteration
MODE=[None]*4
MATE=[None]*4
CHA1=[None]*4
RESU=[None]*4

# Boucle calcul indicateur/remaillage; PYTHON fait 3 iterations
for k in range(1,4):

# Affectation des materiaux/modele/chargement
MATE[k]=AFFE_MATERIAU( MAILLAGE=M[k],
AFFE=_F( TOUT = 'OUI', MATER = MATERI) )
MODE[k]=AFFE_MODELE( MAILLAGE=M[k],
AFFE=_F( TOUT = 'OUI', MODELISATION = '3D',
PHENOMENE = 'THERMIQUE'))
CHA1[k]=AFFE_CHAR_THER( MODELE=MODE[k],
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TEMP_IMPO=_F( GROUP_NO = 'F1INF', TEMP = 100.),
FLUX_REP=_F( GROUP_MA = 'FLUX', FLUN = -1200.),
ECHANGE=_F( GROUP_MA = 'ECHA', COEF_H = 30.,
TEMP_EXT = 140.))

# Calcul thermique
RESU[k]=THER_LINEAIRE(MODELE=MODE[k],
CHAM_MATER=MATE[k],
EXCIT=_F(CHARGE = CHA1[k]))

# Calcul de l'indicateur d'erreur
RESU[k]=CALC_ELEM( reuse=RESU[k], MODELE=MODE[k],
TOUT='OUI',
CHAM_MATER=MATE[k], RESULTAT=RESU[k],
EXCIT= _F(CHARGE= CHA1[k]),
PARM_THETA=0.57,
OPTION=('FLUX_ELNO_TEMP','ERTH_ELEM_TEMP','ERTH_ELNO_ELEM'))

# Subtilite PYTHON pour definir le nouveau maillage
M[k+1]=CO('M_%d' % (k+1))

# Adaptation du maillage en se basant sur la composante ERTABS de
# ERRE_ELEM_TEMP de RESU[k].
# Ancien maillage: M[k]. Maillage raffine: M[k+1]
# MACR_ADAP_MAIL(ADAPTATION=_F(
MAILLAGE_N = M[k],
MAILLAGE_NP1 = M[k+1],
RESULTAT_N = RESU[k],
INDICATEUR = 'ERTH_ELEM_TEMP',
NOM_CMP_INDICA = 'ERTABS'))

Exemple 6.5-1 : Expurgé du fichier de commande du cas-test TPLL01J

Dans cet autre exemple extrait du site internet d'HOMARD®, le couplage
ERTH_ELEM_TEMP/MACR_ADAP_MAIL [U7.03.01] simule la circulation d'un fluide « chaud » de part et
d'autre d'une pièce métallique coudée (en haut et en bas, via une condition d'ECHANGE dépendant du
temps dans AFFE_CHAR_THER_F). La circulation du fluide s'effectue de la gauche vers la droite.
La précision est surtout requise aux extrémités de la structure, au niveau de la propagation du fluide :
grâce au couplage indicateur d'erreur/outil de raffinement-déraffinement, le maillage reste donc fin en
bord de pièce, dans la zone où se concentre le fluide « chaud ». Enfin il est déraffiné à l'arrière, une
fois que le fluide est passé.
On constate aussi que, comme prévu par la théorie (cf. remarques [§2.2]), la résolution du problème
thermique est « émoussée » dans les coins rentrants et que l'indicateur d'erreur (malgré qu'il soit lui
aussi pénalisé dans ces zones) signale cet état de fait (même lorsque la pièce s'est refroidie).
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Exemple 6.5-2 : Utilisation de l'option `ERTH_ELEM_TEMP' couplée avec HOMARD
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7
Conclusion ­ Perspective

Lors de simulations numériques par éléments finis, l'obtention d'un résultat brut n'est plus suffisante.
L'utilisateur est de plus en plus demandeur de calcul d'erreur spatiale par rapport au maillage.
Il a besoin d'appui méthodologique et d'outils « numériquo-informatique » pointus pour jauger
la qualité de ses études et les améliorer.
Dans ce but, les indicateurs d'erreur spatiale a posteriori permettent de localiser, sur chaque élément,
une cartographie d'erreur sur laquelle les outils de remaillage vont pouvoir s'appuyer : un premier
calcul sur un maillage grossier permet d'exhumer la carte d'erreur à partir des données et de la
solution discrétisées (d'où le vocable « a posteriori »), le raffinement s'effectue alors localement en
hiérarchisant ces informations.
Le nouvel indicateur a posteriori qui vient d'être implanté pour post-traiter les problèmes thermiques du
Code_Aster est basé sur leurs résidus locaux extraits des semi-discrétisations en temps. Via l'option
`ERTH_ELEM_TEMP' de CALC_ELEM, il utilise les champs thermiques (EVOL_THER) émanant de
THER_LINEAIRE et de THER_NON_LINE.
Ce nouvel indicateur complète l'offre du code en terme d'outils avancés permettant d'améliorer la
qualité des études, leurs mutualisations et leurs comparaisons. En effet, des indicateurs d'erreur en
mécanique et une macro de raffinement/déraffinement MACR_ADAP_MAIL [U7.03.02] sont déjà
disponibles. Il reste à compléter le périmètre d'utilisation de ces outils et, à les étoffer, notamment pour
mieux gérer les non-linéarités et les interactions erreur spatiale/erreur temporelle.

Remarque :

Estimateur par lissage de contraintes de Zhu & Zienkiewicz (CALC_ELEM + OPTION
`ERRE_ELEM_NOZ1/2' [R4.10.01]) et indicateur en résidu pur (`ERRE_ELGA_NORE'
[R4.10.02]).


Par la suite, les perspectives de ce travail sont de plusieurs ordres :

·
D'un point de vue fonctionnel, la complétude de cet indicateur pourrait aussi s'améliorer en
prenant en compte d'éventuelles conditions limites non linéaires (FLUX_NL et RAYONNEMENT)
et des échanges entre parois (ECHANGE_PAROI). A terme, il faudrait aussi pouvoir s'appuyer
sur des éléments finis de structure (coque...), des pyramides et pouvoir traiter des problèmes
de convection-diffusion (opérateur THER_NON_LINE_MO [R5.02.04]).
·
D'un point de vue théorique, lorsqu'on utilise de nouvelles conditions limites et/ou lorsqu'on
s'appuie sur de nouvelles modélisations (coque, poutre...), une étude
« numériquo-fonctionnelle » similaire à celle de ce document, devrait être menée pour juger
des limitations théoriques et pratiques (vis-à-vis du Code_Aster) d'un tel indicateur et exhumer
sa formulation adhoc.
·
Rappelons enfin qu'une kyrielle d'indicateurs d'erreur a posteriori sont disponibles, et,
qu'assez peu ont été testés et validés sur des cas industriels. Afin d'affiner des diagnostics,
d'établir des comparaisons et de mettre en place des stratégies de remaillage par classe de
problème, il serait intéressant d'étoffer la liste des indicateurs disponibles. Différents
indicateurs en résidu plus problème local se sont ainsi révélés plus efficaces (mais aussi plus
coûteux) lors de tests numériques (en elliptique) dans N3S [bib5].

Remarque :

L'indicateur est la norme de la solution d'un problème local, de même type que le
problème initial, mais discrétisé sur des espaces de plus haut degré et dont le second
membre est le résidu. Suivant les conditions limites apposées à ce problème local, on
en distingue de différents types. Ils mêlent ainsi la vision « bases hiérarchiques » et les
aspects « résidu » des indicateurs d'erreur a posteriori.


·
L'idéal consiste à discrétiser simultanément en temps et en espace sur des éléments finis
appropriés et à contrôler leurs erreurs « spatio-temporelles » de manière couplée. Cet
indicateur « spatio-temporel »
donne accès à un contrôle complet de l'erreur et il permet
d'éviter de malencontreux découplages quant aux éventuels raffinements/déraffinements
pilotés par un critère vis-à-vis de l'autre (cf. discussion [§4.5]). Il est cependant très lourd à
mettre en place dans un gros code industriel tel que le Code_Aster. Il suppose en effet, pour
être optimale, rien moins qu'une gestion séparée du pas de temps par éléments finis. Ce qui
du point de vue de l'architecture supportant les éléments finis du code est une véritable
gageure !
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8 Bibliographie

[1]
R. DAUTRAY & J.-L. LIONS et al. Analyse mathématique et calcul numérique pour les
sciences et les techniques. Ed. Masson, 1985.
[2]
J.-L. LIONS. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires. Ed.
Dunod, 1969.
[3]
P.A. RAVIART & J.M. THOMAS. Introduction à l'analyse numérique des équations aux
dérivées partielles. Ed. Masson, 1983.
[4]
C. BERNARDI, O. BONNIN, C. LANGOUET & B. METIVET. Residual error indicators for
linear problems. Extension to the Navier-Stokes equations. Proc. Int. Conf. Finite Elements in
Fluids, Venezia 95, pp 347-356. Note HI72/95/018,1995.
[5]
C. BERNARDI, B. METIVET & R. VERFURTH. Groupe de travail « Maillage adaptatif » :
analyse numérique d'indicateurs d'erreurs. Note HI73/93/062, 1993.
[6]
C. BERNARDI & B. METIVET. Indicateur d'erreur pour l'équation de la chaleur. Revue
européenne des éléments finis, vol n°9, n°4, pp425-438, 2000.
[7]
R. VERFURTH. A review of a posteriori error estimation and adaptative mesh-refinement
techniques. Ed. Wiley & Teubner, 1996.
[8]
P. CLEMENT. Approximation by finite element functions using local regularization. RAIRO
Analyse numérique, vol n°9, pp77-84, 1975.
[9]
I. RUUP & PENIGUEL. Code SYRTHES : conduction et rayonnement. Manuel théorique de la
V3.1. Note HE41/98/048, 1998.
[10]
S. ADJERID & J.E. FLATHERTY. A local refinement finite element method for 2D parabolic
systems. SIAM J.Sci.Stat.Comput., 9, pp795-811, 1988.
[11]
M. BIETERMAN & I. BABUSKA. The finite element method for parabolic equations, a
posteriori error estimation. Numer. Math. 40, pp339-371, 1982.
[12]
R.E. BIENNER & al. An adaptative finite element method for steady and transient problems.
SIAM J.Sci.Stat.Comput., 8, pp529-549, 1987.
[13]
F. BORNEMANN. An adaptative multilevel approach to parabolic equations. 3 parts in
IMPACT of Comp. In Sci. And Engrg. 2, pp279-317, 1990. 3, pp93-122, 1991. 4, pp1-45,
1992.
[14]
K. ERIKSSON & C. JOHNSON. Adaptative finite element methods for parabolic problems.
SIAM J.Nume.Anal., 28, pp43-77, 1991.
[15]
C. JOHNSON & V. THOMEE. An a posteriori error estimate and adaptative timestep control
for a backward Euler discretization of a parabolic problem. SIAM J.Nume.Anal, 27, pp277-
291, 1990.
[16]
X. DESROCHES. Estimateurs d'erreurs en élasticité linéaire. Note HI75/93/118, 1993.
[17]
M. FORTIN et al. Estimation a posteriori et adaptation de maillages. Revue européenne des
éléments finis. Vol. 9, 4, 2000.
[18]
I. BABUSKA & W. RHEINBOLT. A posteriori error estimates for the finite element method.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 12, pp.1597-1615, 1978.
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