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Titre :
Modélisation des câbles dans le Code_Aster
Date :
28/05/96
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M. AUFAURE, G. DEVESA
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R3.08.02-A
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
Document : R3.08.02
Modélisation des câbles dans le Code_Aster
Résumé :
Les câbles sont des structures souples qui peuvent subir de grands déplacements. Leur analyse est donc non
linéaire. Au point de vue mécanique, un câble ne peut supporter aucun moment et n'est le siège que d'un effort
normal appelé tension. L'expression du travail virtuel et sa différentiation par rapport aux déplacements
conduisent à la modélisation en éléments finis : matrice de rigidité dépendant du déplacement des noeuds et
matrice de masse constante. On présente les algorithmes itératifs statique et dynamique. Deux exemples sont
donnés : l'un, statique, est la recherche de la figure d'équilibre d'un câble soumis à une tension horizontale
donnée ; l'autre, dynamique, est la comparaison entre des calculs par éléments finis et des résultats d'essais de
courts-circuits. Enfin quatre annexes traitent : du calcul des forces de Laplace, de l'évolution de la température
d'un câble soumis à l'effet Joule, de la force exercée par le vent et de la modélisation de l'opération de pose.
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Tables des matières
1 Notations ................................................................................................................................................ 3
2 Introduction ............................................................................................................................................ 4
3 Hypothèses mécaniques........................................................................................................................ 4
4 Application du Principe des Travaux Virtuels......................................................................................... 5
5 Linéarisation........................................................................................................................................... 6
6 Réalisation numérique par les éléments finis ........................................................................................ 7
7 Cas particulier des éléments de câble à deux noeuds ........................................................................... 8
8 Utilisation dans le Code_Aster ............................................................................................................... 9
9 Problème statique .................................................................................................................................. 9
9.1 Algorithme itératif............................................................................................................................. 9
9.2 Exemple......................................................................................................................................... 10
10 Problème dynamique ......................................................................................................................... 11
10.1 Algorithme itératif d'intégration temporelle .................................................................................. 11
10.2 Comparaison de calculs et d'essais de courts-circuits................................................................ 12
11 Conclusion ......................................................................................................................................... 14
12 Bibliographie ...................................................................................................................................... 15
Annexe 1 Calcul des forces de Laplace entre conducteurs.................................................................... 16
Annexe 2 Calcul de la température des câbles ...................................................................................... 20
Annexe 3 Calcul de la force exercée par le vent .................................................................................... 23
Annexe 4 Modélisation de la pose des câbles ........................................................................................ 25
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1 Notations
A
aire de la section droite du câble.
B
matrice de déformation.
C
chaleur volumique du métal conducteur.
v
E
module d'Young à la traction.
E
module actuel du câble.
a
E
module à la compression.
c
F
forces extérieures données.
ext
F
forces d'inertie.
iner
F
forces internes.
int
g
mesure de Green de l'allongement relatif par rapport à la situation de
référence.
h
coefficient de convection thermique d'un câble avec l'extérieur.
i
intensité de courant instantanée.
k
coefficient de variation de la résistivité avec la température.
L
fonction de forme relative au noeud i .
i ()
[L]
[L()1, L
i
j ()1
]!
[L']
dL d
dLj d
i
1 ,
1
d ds
d ds
!
o
o
N
tension du câble.
s
abscisse curviligne sur le câble en situation de référence.
o
T, T
température en situation courante et en situation de référence.
o
(us ,t
vecteur déplacement à l'instant t par rapport à la situation de référence.
o
)
(xs
vecteur position en situation de référence.
o )
coefficient de dilatation thermique.
,
paramètres de Newmark.
masse volumique.
résistivité.
1
matrice unité d'ordre 3.
matrice diagonale
,
,
.
1
so
ds
ds
ds
o
o
o
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2 Introduction
La caractéristique essentielle des câbles est que ce sont des structures souples, dont l'analyse
mécanique est non linéaire parce qu'ils sont susceptibles de subir de grands déplacements. Ils en
subissent au cours de l'opération de pose, quand on ajuste des flèches pour respecter des contraintes
d'environnement.
Par la suite, les câbles peuvent être animés de mouvements de grande amplitude sous l'impulsion
de la pression du vent, de la chute de manchons de givre ou, en cas d'incident, des forces de
Laplace résultant des courants de court-circuit. Ils exercent alors sur leurs supports des efforts
beaucoup plus élevés que les efforts statiques. On doit en tenir compte dans la conception des
ouvrages.
Pour les ouvrages anciens, qui peuvent être soumis à des intensités de court-circuit accrues en raison
de l'extension du réseau, il faut vérifier que la fiabilité est toujours assurée.
3 Hypothèses
mécaniques
Les câbles sont considérés comme des fils parfaitement flexibles, qui ne peuvent supporter aucun
moment, ni fléchissant, ni de torsion, et ne sont le siège que d'une tension normale. Cette tension joue
le rôle d'une contrainte généralisée.
On veut calculer le champ de déplacement (
u s , t
o
) à l'instant t par rapport à la situation de
référence. Celle-ci est une configuration statique du câble soumis, par exemple, à la pesanteur et à la
température To ; elle est définie par le champ de vecteurs position (
x so).
x
u
x + u +
ds
ds
s
o +
o
o
so
ds
x
+ u
x
x + ds
s
o
o
dso
x
Figure 3-a : Tronçon de câble en situations de référence et déplacée
Comme [bib1], on prend pour déformation la mesure de Green de l'allongement relatif par rapport à la
situation de référence [Figure 3-a] :
ds2 - ds2
g
o
=
.
ds2
2 o
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g doit rester petit. Le second membre se prête au calcul parce qu'il ne comporte que des carrés de
longueurs élémentaires. On voit sur la [Figure 3-a] que :
x u
1 u 2
g =
.
+
.
éq 3-1
s
s
2 s
o
o
o
La relation de comportement est :
N = E
[Ag -(T - T
a
o )]
éq 3-2
avec :
E si N > 0
Ea = E si N 0
c
.
4
Application du Principe des Travaux Virtuels
Si l'on ne tient pas compte de l'amortissement, le travail virtuel de l'ensemble des forces appliquées à
un tronçon de câble au cours du déplacement virtuel u est :
W(u, u
) = W (u, u
) - W (u",u) - W (u,
int
iner
ext
u),
éq 4-1
en distinguant les travaux des forces intérieures, des forces d'inertie et des forces extérieures.
D'après [éq 3-1] :
s
s
x + u u
s
W ( , )
2
=
(N.g)
2
(
)
ds =
N.
.
ds
2
u u
=
(N.B u)ds
int
, éq 4-2
s
s
1
1
s
s
o
o
s1
où :
T
B =
1 (
x + u)
1 ,
éq 4-3
s
s
o
o
en désignant par l'indice supérieur T la transposée d'une matrice.
s
W
( , )
2
u u
= - ( A u u)ds
iner "
" .
.
éq 4-4
s1
Dans tous les cas, nous considérons le travail Wext comme indépendant de u au cours d'un pas de
temps, car :
· ou bien il l'est réellement, dans le cas de forces conservatives comme la pesanteur ;
· ou bien, dans le cas des forces de Laplace, la force appliquée à un élément de câble dépend
non seulement du déplacement de cet élément (force suiveuse classique), mais encore des
déplacements de l'ensemble des câbles. On considère alors que, au cours d'un pas de temps,
la force est constante et égale à sa valeur à la fin du pas de temps précédent.
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5 Linéarisation
A l'équilibre :
W(u,u) = 0.
éq 5-1
Si, à une tolérance près, l'équation précédente n'est pas satisfaite, on cherche une correction u de
u telle que :
W(u, u) + DW(u, u). u
= 0 ,
DW(u, u
). u
étant la dérivée directionnelle de W(u, u
) dans la direction u [bib2] et [bib3].
D'après [éq 3-2], on a évidemment :
DN . u = E A Dg . u = E A
a
a
B u .
D'après [éq 4-3] :
T
d
d
DB . u
=
1
u
1
ds
ds .
o
o
Donc :
s2
T
D Wint (u, u
). u
= (
1 { B
u
) E A
a
B u
s
}ds
T
s
éq 5-2
2
d
d
+
1 u
N
1
u
ds.
s1 ds
ds
o
o
D'après [éq 4-4] :
s
D W
("u,u). u
= - 2 u
"
u
.
éq 5-3
s (
T
A
)ds
iner
1
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6
Réalisation numérique par les éléments finis
On note par l'indice inférieur h les matrices discrétisées en éléments finis.
Si v est un vecteur défini sur le câble (position, déplacement, accélération, ...) on a, au point courant
d'un élément fini de noeuds i, j, ... :
v = [L] ve,
ve étant le vecteur constitué des composantes de v aux noeuds.
De même :
1
v
= [ '
L ] .
v
s
e
o
h
D'après [éq 4-3] :
T
B
= (x + u) L T' L
h
' .
e
Les forces internes Feint d'un élément fini e de structure sont les forces qu'il faut exercer en ses
noeuds pour le maintenir dans sa configuration déformée actuelle. D'après le théorème des travaux
virtuels pour les milieux continus, le travail de ces forces ponctuelles est égal au travail des contraintes
dans l'élément, c'est-à-dire à Wint , pour tout champ de déplacement virtuel. On a donc, d'après
[éq 4-2] :
s
s
Fe
=
2 N BTds =
2 N L T' L
'
.
s
ds
h
(x + u
int
)
s
e
1
1
D'autre part, on remplace les forces d'inertie réparties dans l'élément par des forces ponctuelles aux
noeuds Feiner telles que leur travail soit égal à celui des forces d'inertie réelles pour tout champ de
déplacement virtuel. D'après [éq 4-4], on a donc :
s
Fe
= - 2 LT
A L
iner
ds
"e
u" .
s1
De même, les forces extérieures réparties sont remplacées par des forces nodales concentrées Feext
équivalentes au sens du travail virtuel.
La différentielle du travail virtuel des forces intérieures d'un élément fini de câble s'écrit, d'après
[éq 5-2] :
T
Dh Wint (u, u
). u
= ( u
e) (K M + KG) u
e ,
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avec :
s
K
=
2 BT E A B
M
h a h ds
s1s
K
=
2 L T' N L
G
' ds
.
s1
K M et KG sont appelées matrices de rigidité matérielle et géométrique de l'élément.
(K + K ) u
M
G e est la partie principale de la variation Fint des forces intérieures aux noeuds due
à la correction de déplacements ue .
La différentielle du travail virtuel des forces d'inertie se déduit de [éq 5-3] :
T
D W
h
iner ("u, u
). u
= - (ue) M "ue
avec :
s
M =
2 L A L
T
ds .
s1
M est la matrice de masse de l'élément. - M u
" e est la variation Finer Finer des forces d'inertie
aux noeuds due à la correction d'accélération "ue .
7
Cas particulier des éléments de câble à deux noeuds
Ces éléments sont du 1er degré : ils sont donc droits en position de référence et restent droits en
position déformée.
Aucun moment n'est appliqué en leurs extrémités et ils ne sont le siège que d'une contrainte uniaxiale.
Ce sont donc des éléments de barre.
Autrement dit : modéliser un câble par des éléments à deux noeuds revient à l'assimiler à une chaîne
dont les maillons (les éléments de câble) seraient parfaitement articulés entre eux.
Par contre, les éléments de câble ayant plus de deux noeuds présentent en général une courbure
variable avec la déformation. On ne peut donc pas les traiter comme des éléments de barre.
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8
Utilisation dans le Code_Aster
Ce paragraphe indique comment on introduit les câbles dans les commandes concernées d'Aster.
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
AFFE_MODELE
AFFE
GROUP_MA
Nom du groupe de mailles
supportant un câble.
PHENOMENE
'MECANIQUE'.
MODELISATION
'CABLE'.
DEFI_MATERIAU
CABLE
E
Valeur du module du matériau.
EC_SUR_E
Rapport du module de compression
(très faible et pouvant être nul) sur le
module.
AFFE_CARA_ELEM
CABLE
GROUP_MA
Nom du groupe de mailles
supportant un câble.
SECTION
Valeur de la section du câble.
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
GROUP_MA
Nom du groupe de mailles
supportant un câble.
RELATION
'CABLE'
DEFORMATION
'GREEN'
9 Problème
statique
Ce problème est celui de la recherche de l'équilibre d'une structure de câbles en position quelconque et
soumise à un système de forces données.
9.1 Algorithme
itératif
L'équation d'équilibre, forme discrétisée de [éq 5-1] et [éq 4-1] sans le terme d'inertie, qui doit être
satisfaite en chaque noeud, est :
F
F
int
=
ext
éq 9.1-1
Supposons qu'on vienne de calculer le champ de déplacement des câbles, un( o
s ), à l'itération n :
· si ce champ permet de satisfaire, à une tolérance près, à [éq 9.1-1], on considère que la
ligne :
(xs )+ un(s
o
o )
est la figure d'équilibre des câbles ;
· sinon, on calcule des corrections de déplacement un + 1 par le système linéarisé :
[Kn Kn n+
n
+ G] u
1
= F - F
M
ext
int .
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Le déplacement à l'itération (n + )
1 est :
un + 1
un
un +
=
+
1
.
On regarde si [éq 9.1-1] est satisfaite par le champ un + 1 et ainsi de suite.
9.2 Exemple
On veut calculer la figure d'équilibre d'un câble pesant [fig 9.2-a] dont une extrémité A est fixe et dont
l'autre B , de niveau avec A , est soumise à une force horizontale donnée.
Ce problème est traité dans [bib4], où il est considéré comme hautement non linéaire.
0
46,4 m
61,0
B
A
Bo
F = 25,7 N
C
-17,7 m
Rigidité extensionnelle (E.A) : 4,45 x 105 N
Poids linéique : 1,46 N/m
Figure 9.2-a : Equilibre d'un câble pesant soumis à une tension horizontale
Au départ, le câble, modélisé par 10 éléments du 1er degré, est supposé en apesanteur et a une
position rectiligne horizontale A Bo . On le soumet simultanément à l'action de la pesanteur et à la
force horizontale F appliquée en Bo . La position d'équilibre statique A C B est atteinte en
8 itérations seulement.
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10 Problème
dynamique
Ce problème est celui du calcul de l'évolution d'une structure de câbles.
10.1 Algorithme itératif d'intégration temporelle
La forme discrétisée de [éq 5-1] et [éq 4-1] complète, qui doit être satisfaite en chaque noeud et à
chaque instant est :
F ( ) - F
( ) = F
int t
t
(t
iner
ext
)
éq 10.1-1
L'algorithme d'intégration temporelle est de type Newmark [bib1] et [bib5]. Supposons que l'état du
câble (champs u, u" et u" aux noeuds) soit connu à l'instant t et qu'on vienne de calculer une valeur
approchée de ces champs à la nième itération de l'instant t + t
.
· Si ces valeurs satisfont à [éq 10.1-1], à une tolérance près, on les prend pour valeurs des
champs à l'instant t + t
.
· Sinon, on cherche la correction de déplacement un + 1 , à laquelle correspondent, selon
l'algorithme de Newmark, les corrections de vitesse et d'accélération :
"un +1
un +
=
1
t
et
1
"un +1
un +
=
1,
t2
telle que :
1
K n
+ Kn +
M
1
n
int
2
un +
= F
n
G
ext (t + t) - F (t + t) + F
M
iner (t + t) .
t
Dans l'analyse du mouvement des câbles, l'algorithme de Newmark peut être instable. C'est pourquoi
nous utilisons l'algorithme dit HHT, défini dans [bib7], dans lequel les deux paramètres de Newmark
sont fonctions d'un troisième paramètre :
1
=
-
2
(
2
1 - )
=
4
0.
Pour
= 0 , l'algorithme est celui de Newmark, dit "règle du trapèze". Mais pour légèrement
négatif ( - 0 )
3
, , il apparaît de l'amortissement numérique qui stabilise le calcul.
La détermination de l'accélération initiale et l'initialisation des champs au début d'un nouveau pas de
temps sont indiquées dans [bib5].
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10.2 Comparaison de calculs et d'essais de courts-circuits
Pour valider cette modélisation des câbles, nous avons comparé des calculs dynamiques par le
Code_Aster à des résultats d'essais de courts-circuits [bib8]. Ceux-ci ont été réalisés au Laboratoire de
Génie Electrique d'EDF sur une structure expérimentale représentative des configurations de poste
[Figure 10.2-a]. Trois câbles tendus entre deux portiques distants de 102 m sont court-circuités, au
premier plan, par un shunt disposé sur des colonnes isolantes.
Au niveau de l'autre portique, ils sont alimentés par un courant triphasé de 35 kA pendant 250 ms. On
a enregistré l'évolution :
· de la tension des câbles à leur ancrage sur les portiques, à l'aide de dynamomètres ;
· du déplacement des points milieux des portées, repérés par des sphères de signalisation, à
l'aide de caméras rapides. On voit la cage de verre de l'une de ces caméras montée sur un
portique, à gauche de [Figure 10.2-a].
La [Figure 10.2-b] donne la comparaison pour une tension d'ancrage et pour le déplacement du milieu
d'un câble.
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Figure 10.2-a : Vue générale de l'installation d'essais de courts-circuits
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a-Evolution d'une tension d'ancrage
b-Trajectoire d'un point milieu de câble
Figure 10.2-b : Comparaisons de calculs par le Code_Aster
et d'essais de courts-circuits
11 Conclusion
La modélisation des câbles présentée ci-dessus est performante (nombre raisonnable d'itérations par
pas de temps ou pour atteindre un équilibre statique) et précise : elle est adaptée à l'analyse des
câbles longs. Pour les câbles courts, par contre, la rigidité flexionnelle n'est pas négligeable, surtout
aux ancrages, et la modélisation doit se faire par des éléments de poutre en grands déplacements et
grandes rotations [R5.03.40].
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12 Bibliographie
[1]
J.L. LILIEN : Contraintes et conséquences électromécaniques liées au passage d'une
intensité de courant dans les structures en câbles. Thèse. Université de Liège (1983).
[2]
J.C. SIMO, L. VU-QUOC : A three-dimensional finite-strain rod model. Part II : computational
aspects, Comput. Meth. appl. Mech. Engng, Vol. 58, p. 79-116 (1986).
[3]
A. CARDONA, M. GERADIN : A beam finite element nonlinear theory with finite rotations, Int.
J. Numer. Meth. Engng. Vol. 26, p. 2403-2438 (1988).
[4]
R.L. WEBSTER : On the static analysis of structures with strong geometric non-linearity.
Computers & Structures 11, 137-145 (1980).
[5]
M. AUFAURE : Algorithme non linéaire dynamique. Document R5.05.05 (1995).
[6]
K.J. BATHE : Finite element procedures in engineering analysis. Prentice-Hall (1982).
[7]
H.M. HILBER, T.J.R. HUGHES, R.L. TAYLOR : Improved numerical dissipation for time
integration algorithms in structural dynamics. Earthq. Engng Struct. Dyn. 5, 283-292 (1977).
[8]
F. DURAND : Portée de ligne triphasée (102 m) pour postes THT. Rapport d'essais. EDF
(1990).
[9]
M. AUFAURE : Un élément fini de câble-poulie. Document R3.08.05 (1996).
[10]
M. AUFAURE : Procédure Pose-câble. Document U4.66.01 (1994).
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
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Modélisation des câbles dans le Code_Aster
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28/05/96
Auteur(s) :
M. AUFAURE, G. DEVESA
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Annexe 1 Calcul des forces de Laplace entre conducteurs
Tout conducteur parcouru par un courant crée un champ magnétique dans son voisinage. Ce champ
magnétique, agissant sur le courant véhiculé par un autre conducteur, induit sur celui-ci une force dite de
Laplace.
ds
i
2
2 (t)
e2
r
i
1 (t )
e
1
P
Figure A1-a : Disposition de deux conducteurs voisins
Prenons un conducteur ! parcouru par le courant i t
1( ) [Figure A1-a], situé au voisinage du conducteur "
parcouru par le courant i t
2 ( ) . Au point P du conducteur !, où la tangente unitaire orientée dans le sens du
courant est e1 , la force linéique de Laplace induite par le conducteur " est :
r
f( P) =
-
10 7 i (t) i (t) e
1
2
1 ×
e2 ×
ds
.
r3
2
On ne s'intéresse qu'aux forces dues aux courants très intenses de court-circuit, les forces de Laplace en
régime normal étant négligeables.
f ( P) peut évidemment se mettre sous la forme du produit d'une fonction du temps par une fonction de
l'espace.
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A1.1 Fonction du temps des forces de Laplace
Cette fonction, g(t) , est, à un facteur près, le produit des intensités dans les conducteurs ! et " :
g(t) =
-
2 10 7 i (t) i (t)
1
2
éq A1.1-1
où :
i (t) =
2 I [co (s t
+ )-e-t/
j
ej
j
cos j ]
éq A1.1-2
avec :
Iej : intensité efficace du courant j ;
:
pulsation du courant ( = 100 pour un courant de 50 Hz) ;
j : phase dépendant de l'instant où survient le court-circuit ;
:
constante de temps de la ligne court-circuitée dépendant de ses caractéristiques
électriques (self, capacité et résistance).
Très souvent, on remplace la fonction complète g(t) [éq A1.1-1] et [éq A1.1-2] par sa moyenne -
qu'on appelle la partie continue - en négligeant les termes cos( t + ...) et cos( 2 t + ...). La prise en
compte de ces termes nécessiterait un pas de temps très petit et les forces correspondantes, à 50 et
100 Hz, sont quasiment sans effet sur les câbles dont la fréquence d'oscillation est de l'ordre du hertz.
Donc :
t
t
-
+
1
g
(t) = 2 I I
1
2
1
2
(
cos 1
- 2
) + e
continue
e
e
cos cos
2
1
2
A1.2 Fonction de l'espace
Cette fonction est :
1
r
h ( P) =
e ×
e2 ×
ds .
2 1
r3
2
L'intégrale se calcule analytiquement quand on découpe le conducteur " en éléments rectilignes. Le
long d'un tel élément M M
1
2 [Figure A1.2-a], on a un effet :
3
r3 = (y2 + r2 2
m )
;
e2 × r = e2 × m
r ;
ds
= dy
2
.
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M2
e2
M1
y
2
1
rm
r
P
Figure A1.2-a : Force de Laplace induite par un élément rectiligne de conducteur
Comme :
y2
y2
dy
1
y
=
,
y
1 (
3
2
1
y2 + r2) 2
rm (y2 + r2 2
m
m )
y1
on a :
2
y
1
M2
r
1
y
e ×
e ×
dy =
e × e × r
.
2 1
2
3
M
m
1
r
2 2 1
2
rm
(
1
2
2
y + rm ) 2 1y
Le crochet du second membre est aussi égal à :
sin - sin
2
1.
A1.3 Réalisation dans le Code_Aster
La fonction d'espace h ( P) précédemment définie est calculée par une routine élémentaire qui évalue
pour chacun des éléments du conducteur !, la contribution de tous les éléments du conducteur " qui
agissent sur lui.
Cette contribution est évaluée aux points de Gauss (1 seul pour les éléments à 2 noeuds) de l'élément
du conducteur !.
La routine élémentaire a 2 paramètres d'entrée :
· la carte de chargement de l'élément du conducteur ! comprenant la liste des mailles du
conducteur " agissant sur lui ;
· le nom de la géométrie, variable au cours du temps, qui permet à chaque instant d'évaluer les
quantités rm, sin , sin
1
2.
La fonction du temps g(t) est calculée par un opérateur spécifique du Code_Aster qui produit un
concept de type fonction.
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A1.4 Utilisation dans le Code_Aster
· Définition de la fonction du temps g(t)
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
'COMPLET'
DEFI_FONC_ELEC
SIGNAL
ou
'CONTINU'
COUR
INTE_CC_1
Ie1
TAU_CC_1
1
PHI_CC_1
1
INTE_CC_2
Ie2
TAU_CC_2
2
PHI_CC_2
2
INST_CC_INIT
Instant de début de court-circuit.
INST_CC_FIN
Instant de fin de court-circuit.
· Définition de la fonction de l'espace h( P)
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
AFFE_CHAR_MECA
MODELE
Nom du modèle.
INTE_ELEC
GROUP_MA
Nom du groupe de mailles du
conducteur !.
GROUP_MA_2
Nom du groupe de mailles du
conducteur ".
· Prise en compte des forces de Laplace
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
DYNA_NON_LINE
EXCIT
CHARGE
nom de h ( P)
FONC_MULT
nom de g(t)
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Annexe 2 Calcul de la température des câbles
Quand les câbles sont parcourus par un courant de court-circuit, ils s'échauffent fortement par effet Joule.
Lorsque le courant est disjoncté, leur température s'abaisse à cause des pertes thermiques vers l'extérieur.
A2.1 Formulation
On suppose :
· qu'à un instant donné la température est uniforme dans tout tronçon de câble parcouru par le
même courant ;
· que tout noeud commun à plusieurs câbles est à la température moyenne de ces câbles.
L'évolution de la température est donnée par l'équation de la chaleur [bib1] :
dT
h (
p T - T
2
ext )
j
+
=
éq A2.1-1
dt
A C
C
v
v
où p est le périmètre du câble :
p = 2 A ,
j la densité de courant, soit, en négligeant l'effet de peau :
i
j = A
et :
= o[1+ k(T - rTef )].
L'expression du courant est donnée par [éq A1.1-2].
Donc :
t
2 t
1
-
1
-
i2 =
I 2
(
cos 2 t + 2 ) - 2 e cos
(
cos t
+ ) + + e
2
2
cos
e
.
2
2
Si l'on néglige le dernier terme du second membre, qui diminue exponentiellement dans le temps et qui
est même nul si =
, l'intégrale de i2 sur une durée t , très supérieure à la période du courant,
2
est pratiquement égale à :
I 2 t
e .
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Autrement dit, sous cette simplification, la source de chaleur volumique instantanée au second membre
de [éq A2.1-1] est :
I 2
j2 = e .
A2
L'équation différentielle [éq A2.1-1] est alors à coefficients constants et s'intègre analytiquement. Elle
s'écrit :
dT
b
a
+ c -
T
d
dt
=
+
2
2
avec :
2 I 2
a
o
=
1 - k T
e
C (
ref )
2
v
A
2 I 2
b = k o
e
C
2
v
A
h p
c = A Cv
d = c Text .
Sa solution, somme de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution
particulière de l'équation avec second membre est :
· à l'échauffement, pendant l'existence du courant de court-circuit :
b
a + 2 d
b
T = T exp
- c (t t )
exp
- c (t t
i
i
i )
1
2
-
b - 2 c
+
2
-
-
Ti étant la température à l'instant ti ;
· au refroidissement, à partir de l'instant t fcc de fin de court-circuit (a = b = )
0 :
T = T
[
exp - (
c t - t )]+ T {1- e [
xp - (
c t - t
fcc
fcc
ext
fcc )]}.
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A2.2 Utilisation dans le Code_Aster
· Calcul de la fonction T
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
DEFI_THER_JOULE
LIST_INST
Liste des instants de calcul.
INST_CC_INIT
Instant de début de court-circuit.
INST_CC_FIN
Instant de fin de court-circuit.
TEMP_EXT
Text
TEMP_RESI_REF
Tref
PARA_COND_1D
INTE_CC
Ie
A
A
RESI_R
o
RESI_R1
k
CP
Cv
COEF_H
h
TEMP_INIT
Ti
· Affectation de la fonction T aux noeuds soumis à l'effet Joule
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
AFFE_CHAM_NO
MAILLAGE
Nom du maillage.
GRANDEUR
'TEMP_F'
AFFE
GROUP_NO
Nom du groupe de noeuds
soumis à l'effet Joule.
NOM_CMP
'TEMP'
FONCTION
Nom de la fonction T .
· Affectation
d'un
EVOL_THER aux noeuds précédents
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
CREA_RESU
TYPE_RESU
'EVOL_THER'
NOM_CHAM
'TEMP'
CHAM_GD
LIST_INST
Liste des instants de calcul.
CHAM_NO
Nom du champ nodal de fonction
T .
· Affectation de la charge thermique correspondante
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
AFFE_CHAR_MECA
MODELE
Nom du modèle.
TEMP_CALCULEE
Nom de l'EVOL_THER.
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Annexe 3 Calcul de la force exercée par le vent
A3.1 Formulation
On admet qu'un vent de vitesse V exerce au voisinage du point P d'un câble [Figure A3.1-a] une
force linéique aérodynamique f ayant les caractéristiques suivantes :
·
f a la direction et le sens de la composante Vn de la vitesse du vent dans le plan normal du
câble ;
·
f a un module proportionnel au carré de celui de Vn .
Vn
V
f
câble
P
Vt
Figure A3.1-a : vitesse du vent au voisinage d'un câble
Les règlements de calcul des lignes définissent la force d'un vent par la pression p qu'il exerce sur
une surface plane normale à sa direction. Pour un câble, placé normalement à la direction du vent, ces
règlements prescrivent de prendre pour force linéique :
f
= p
,
2
étant le diamètre du câble. Cela revient à considérer que le câble offre au vent une surface plane
égale à son maître-couple. On obtient ainsi une majoration de la force parce que le câble, cylindrique,
présente une moindre résistance à l'air qu'une surface plane.
Si la vitesse V du vent fait un angle avec le câble, sa composante dans le plan perpendiculaire au
câble a pour module :
V
V
n
=
sin .
Donc, la force linéique est :
f
= p
sin2 .
Bien entendu, la force linéique exercée par le vent dépend de la position du câble : elle est "suiveuse".
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A3.2 Utilisation dans le Code_Aster
Voici comment on introduit la force du vent dans le Code_Aster. Le vecteur unitaire ayant la direction et
le sens de la vitesse du vent a pour composantes v , v , v
x
y
z .
Commande
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_POUTRE
TYPE_CHARGE
'VENT'
FX
p vx
FY
p vy
FZ
p vz
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Annexe 4 Modélisation de la pose des câbles
Un câble en cours de pose dans un canton (plusieurs portées entre poteaux) [Figure A4-a] est fixé à l'un des
supports d'arrêt. Il repose sur des poulies placées au bas des isolateurs d'alignement et il est retenu par une
force au niveau du second support d'arrêt.
Figure A4-a : Pose d'un câble dans un canton à deux portées
En jouant sur cette force - ou en déplaçant son point d'application - on ajuste la flèche de l'une des portées, celle
qui est la plus soumise à des contraintes d'environnement. Puis on supprime les poulies et on fixe le câble aux
isolateurs : la longueur du câble dans les différentes portées est alors fixée. C'est sur cette configuration qu'on
monte éventuellement des composants supplémentaires : les espaceurs, les descentes sur appareillage, les
masses ponctuelles, ... pour donner au canton sa forme définitive.
Ce scénario est réalisé par le Code_Aster de la façon suivante.
On constitue un premier maillage de la ligne, supposée en apesanteur (conducteurs rectilignes), comportant des
câbles-poulies [bib9] et aussi des mailles représentant les composants supplémentaires. Ces dernières mailles
ne seront pas prises en compte dans le calcul destiné à déterminer les longueurs de câble, mais elles serviront
dans la procédure POSE_CABLE [U4.66.01] appelée ultérieurement. Les mailles de câbles-poulies, les mailles
des câbles liés à des câbles-poulies et les mailles des composants supplémentaires doivent appartenir à des
groupes respectant une nomenclature spécifique [bib10] pour pouvoir être reconnues et traitées par
POSE_CABLE.
L'opérateur STAT_NON_LINE [U4.32.01] calcule la structure précédente soumise à la pesanteur, avec contrôle
de la flèche, et constitue une structure de données de type evol_noli.
La procédure POSE_CABLE constitue ensuite un nouveau maillage, ne comportant plus de câbles-poulies mais
contenant les constituants supplémentaires et où la longueur des câbles est déduite des déplacements du
précédent evol_noli.
On analyse enfin cette structure réelle, soit par STAT_NON_LINE si l'on ne s'intéresse qu'à l'effet du vent et/ou
du givre, soit par DYNA_NON_LINE [U4.32.02] si l'on veut connaître l'évolution provoquée par les forces de
Laplace dues à des courants de court-circuit, ou par la chute de manchons de glace.
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Page laissée intentionnellement blanche.
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