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Titre :
Modèle de Rousselier à gradient de variables internes
Date :
03/02/05
Auteur(s) :
V. CANO Clé
:
R5.04.11-A Page
: 1/22
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de référence
Fascicule R5.04 : Modélisations non locales
Document : R5.04.11
Modèle de Rousselier à gradient de variables
internes
Résumé :
On présente ici le modèle de Rousselier en grandes déformations dans une version non locale c'est-à-dire
introduisant des gradients de variables internes afin de prendre en compte de fortes variations spatiales des
champs mécaniques. On active la formulation non locale du modèle de Rousselier par l'une des modélisations
'X_GRAD_VARI' de la commande AFFE_MODELE du mot clé MODELE. Quant au modèle même, il est disponible
dans la commande STAT_NON_LINE par l'intermédiaire du mot-clé RELATION = 'ROUSSELIER' sous le
mot-clé facteur COMP_INCR et avec le mot-clé DEFORMATION = 'SIMO_MIEHE.
Ce modèle est implanté pour les modélisations tridimensionnelles (3D_GRAD_VARI), axisymétrique
(AXIS_GRAD_VARI) et en déformations planes (D_PLAN_GRAD_VARI).
On présente l'écriture et le traitement numérique de ce modèle.
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Table
des
matières
1 Rappel sur la théorie des modèles à gradient.......................................................................................3
1.1 Construction des modèles à gradient..............................................................................................3
1.2 Discrétisation en temps ...................................................................................................................4
1.3 Discrétisation spatiale par éléments finis ........................................................................................4
1.4 Calcul des variables internes aux points de gauss .........................................................................5
2 Application au modèle de Rousselier ....................................................................................................6
2.1 Quelques notations du modèle de Rousselier.................................................................................6
2.2 Modèle continu ................................................................................................................................7
2.3 Modèle discrétisé.............................................................................................................................8
2.4 Traitement des points singuliers....................................................................................................10
3 Résolution numérique..........................................................................................................................11
3.1 Expression du modèle discrétisé...................................................................................................11
3.2 Résolution du système non linéaire...............................................................................................12
3.3 Déroulement du calcul...................................................................................................................13
3.4 Résolution des fonctions à annuler ...............................................................................................14
3.4.1 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où S(0) > 0 .....................................................14
3.4.2 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où S(0) = 0 .....................................................15
3.4.3 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où S(0) < 0 et xs non solution.........................16
3.5 Expression de la matrice tangente ................................................................................................17
3.5.1 Cas élastique........................................................................................................................18
3.5.2 Cas singulier.........................................................................................................................18
3.5.3 Cas régulier ..........................................................................................................................19
4 Relation `ROUSSELIER` ........................................................................................................................21
5 Bibliographie ........................................................................................................................................21
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1
Rappel sur la théorie des modèles à gradient
Les modèles à gradient présentés ici ont été développés par E. Lorentz [bib1] afin de pouvoir décrire le
comportement de matériaux sollicités par de forts gradients des champs mécaniques qui apparaissent
dans les zones endommagées ou bien au voisinage de singularités géométriques. En effet, dans le
cas de forts gradients, le comportement d'un point matériel n'est plus indépendant de son entourage
mais dépend du comportement de son voisinage, d'où l'introduction de gradients dans les modèles.
D'un point de vue numérique, le calcul d'une structure avec une loi d'endommagement locale
classique montre que la zone endommagée se localise toujours sur une seule couche d'éléments finis
et donc que la réponse de la structure dépend du maillage adopté : les modèles à gradient pallient ce
problème.
Dans ce qui suit, nous faisons un bref rappel de cette théorie. On trouvera dans [R5.04.01] des détails
plus approfondis sur cette théorie.
1.1
Construction des modèles à gradient
Cette formulation est restreinte aux matériaux standards généralisés. L'état y est décrit par la
déformation , des variables internes a et leur gradient associé a :
a = a éq 1.1-1
Suivant le formalisme des matériaux standards généralisés, les données de l'énergie libre
(,a,a )
et du potentiel de dissipation ( &a,a& )
(pour le choix de ces deux énergies, on pourra
se référer à [bib1]) permettent d'en déduire les lois d'état et les lois d'évolution :
=
, A = -
, A = -
éq 1.1-2
a
a
( ,
A A )
( &a,a& )
éq 1.1-3
Si on appelle F le seuil d'élasticité associé au potentiel ( &a,a& )
, l'équation précédente est
équivalente à :
F
F
a& = &
, a& = &
éq 1.1-4
A
A
Le problème ici est que les variables ne sont plus indépendantes et sont liées par la contrainte non
locale [éq 1.1-1] si bien qu'on n'est pas sûr de vérifier :
F
&a = &
= a& éq 1.1-5
A
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On propose alors d'oublier l'hypothèse d'écoulement normal en chaque point de la structure tout en
conservant le formalisme des matériaux standards généralisés mais à l'échelle de la structure, où les
variables d'état sont maintenant le champ de déformation et le champ de variables internes a. On
définit ainsi l'énergie libre globale et le potentiel de dissipation global :
F (, a) = ((x),a(x),a(x))d x éq 1.1-6
D(a&) = (a&(x),a&(x))d x éq 1.1-7
La relation de comportement généralisée s'écrit maintenant :
=
F , A = -
F , AD(a&) éq 1.1-8
a
1.2
Discrétisation en temps
En s'appuyant sur l'hypothèse de convexité par rapport à a des potentiels
F et D et en adoptant un
schéma d'Euler implicite, la discrétisation temporelle du problème précédent [éq 1.1-8] se ramène à la
résolution d'un problème de minimisation portant sur l'incrément a des champs de variables
internes. Ce problème s'écrit pour des comportements indépendants du temps :
Min [F (,a-
+ a
) + D( a
)] éq 1.2-1
a
où -
a est le champ de variables internes à l'instant précédent.
1.3
Discrétisation spatiale par éléments finis
Pour résoudre le problème de minimisation [éq 1.2-1], on effectue une discrétisation spatiale par
éléments finis des champs de variables internes au moyen des inconnues nodales que l'on notera A .
a(x) = N (x
k
) k
A , a(x) = N (x
k
) k
A
éq
1.3-1
noeud
noeud
où Nk et Nk sont les fonctions de forme et leur gradients associés au noeud k, respectivement.
Pour simplifier l'écriture, on posera :
r
r
r
r
a(x) = B(x)A
avec
a = (a,a et
)
B = (N,N) éq
1.3-2
L'équation [éq 1.2-1] s'écrit alors :
r
r
Min g ((B A)
g
+ (BgA)) éq 1.3-3
A gauss
dans lequel g désigne le poids d'intégration du point de Gauss g.
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L'introduction de nouvelles inconnues r qui représentent les valeurs et les gradients des variables
internes aux points de gauss permet de transférer les non linéarités au niveau local et de scinder la
résolution de l'équation [éq 1.3-3] en une partie globale linéaire (sur la structure) et une partie locale
non linéaire (aux points d'intégration). Le problème de minimisation s'écrit alors :
Min
r
r
r
r
g (
(g ) +
( g - -
g ) éq 1.3-4
A
r
,
gauss
r
g (B A
g
-
0
=
)
g
Par dualisation de la contrainte, on construit le Lagrangien augmenté du problème [éq 1.3-4] pour
revenir à un problème sans contraintes :
Max Min L
r (A,r,µr) éq 1.3-5
µr
A,r
avec
r
r r
r
r
r -
r r
r 2
r r
L (A,,µ) =
(
) +
(
- ) + B A - r
g
g
g
g
g
g r + µ (B A -
r )
N
2
g
g
g
g
g
r
éq 1.3-6
r r2
r r
r
> 0
et
x r = x N
.
xr
.
g
Ng
r
r
La matrice N définie positive est introduite dans la norme de sorte que le coefficient de pénalisation
r soit adimensionnel. Cette matrice est choisie comme une approximation diagonale de la dérivée
seconde (cf. [R5.04.01] pour plus de détail) :
r
r
2
=
N Diag
r r éq 1.3-7
Ce problème est ensuite résolu par une méthode de Newton pour résoudre le problème primal (calcul
de A et r ) et une méthode BFGS avec recherche linéaire Wolfe pour résoudre le problème dual
(calcul des multiplicateurs de Lagrange).
1.4
Calcul des variables internes aux points de gauss
Lors de la résolution du problème local, on cherche à minimiser l'équation [éq 1.3-6] par rapport à r ,
à A et µr fixés ce qui est équivalent à :
r
r r
r
r r
L
Min r ( fixé
A
, , fixé
µ
)
fixé
g
-
+ µ
+ rN (
fixé
B A
- r )
( r
)
g
g
r
r
g
g
g
g
g éq
1.4-1
g
g
A convergence, le troisième terme dans le membre de gauche de l'expression ci-dessus devient nul
(la contrainte est réalisée) et les multiplicateurs de Lagrange µr g apparaissent alors comme une force
r
thermodynamique complémentaire résultant de la condition non locale B
r
g A - g = 0 .
D'un point de vue pratique, pour écrire de manière incrémentale le modèle de comportement non
local, on écrira classiquement l'équivalent de l'équation [éq 1.4-1] :
r
F
r
= &
avec
Ar
r
= ( r
A , r
A ) éq
1.4-2
r
A
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avec
r r r
r
r
r r
r
r
A = A + µ + rN(BA -
A
avec
)
= ( ,
A A) = -
éq
1.4-3
r
où F est le seuil d'élasticité associé au potentiel de dissipation , calculé par transformée de
Legendre-Fenchel, et r
A et r
A les forces thermodynamiques associées aux variables internes et
, respectivement. On constate ici que ces deux forces thermodynamiques doivent être corrigées,
d'une part, par les multiplicateurs de Lagrange associés à la contrainte non locale = , et
d'autre part, par une mesure (pondérée) de l'écart entre les champs aux points de gauss r = (, )
et le champ nodal A .
2
Application au modèle de Rousselier
Nous décrivons maintenant l'application de cette théorie à gradient au modèle de Rousselier
(cf. [R5.03.06] pour plus de détail sur ce modèle).
2.1
Quelques notations du modèle de Rousselier
On rappelle ci-dessous quelques définitions et notations utilisées dans le modèle de Rousselier.
F : tenseur gradient qui fait passer de la configuration initiale 0 à la configuration actuelle (t)
F p : tenseur gradient « plastique » qui fait passer de la configuration 0 à la configuration relâchée
r
Fe : tenseur gradient « élastique » qui fait passer de la configuration r à (t)
e p
F = F F éq 2.1-1
J : variation de volume
J = det F éq 2.1-2
be : tenseur eulérien de Cauchy-Green gauche de déformation élastique
be
FeFeT
=
éq 2.1-3
G p : tenseur lagrangien de déformation plastique
G p
F pTF p
=
-
(
) 1 éq 2.1-4
be
FG pFT
=
éq 2.1-5
e : tenseur des déformations utilisé dans le modèle de Rousselier
1
e = (
e
Id - b ) éq 2.1-6
2
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D : taux de déformation
p
D : taux de déformation plastique
p
1
p T
D - FG& F éq 2.1-7
2
: contrainte de Cauchy
: contrainte de Kirchhoff
=
J
éq 2.1-8
s : tenseur des contraintes utilisé pour le modèle de Rousselier
e
= s b éq 2.1-9
R = - A : écrouissage isotrope
p : déformation plastique cumulée
f : la porosité
1
f& = (1- f )
p T
tr-
G
F & F éq 2.1-10
2
F : critère de plasticité du modèle de Rousselier
tr s
F(s, A) = eq
s + Df exp
1
+ A( p) -
y
éq
2.1-11
3 1
où y est la limité d'élasticité et 1, D deux paramètres matériaux spécifiques à cette loi.
2.2 Modèle
continu
Pour conserver un modèle simple, on se contentera d'introduire, pour contrôler les modes de
localisation poro-plastique, un terme quadratique en gradient de déformation plastique cumulée p
dans l'énergie libre du modèle de Rousselier local. Quant au potentiel de dissipation, il reste inchangé
par rapport à la version locale.
p
2
(
1
2
2L d R
e,p,p
~ ~
b
) =
[K(tre) + µ2 e:e]+ R(u)du+
p p
. éq
2.2-1
2
0
13 d p
D
p
tr p
p
p
2
(D , p&, &p )
= p& + tr D ln
-1 + I + (tr D ) + I + ( p& -
p
D )
y
1
IR
IR
éq
2.2-2
Df p
&
3 eq
Ce potentiel de dissipation correspond au critère de plasticité [éq 2.1-11].
b
L est la longueur caractéristique du matériau qui correspond à la distance moyenne entre deux
inclusions, sites privilégiés de germination et nucléation de cavités.
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2.3 Modèle
discrétisé
Adopter un algorithme purement implicite pour intégrer cette loi de comportement conduit, d'une part,
à la résolution d'un système non linéaire assez complexe, et d'autre part, ne permet plus d'exprimer le
problème comme la minimisation d'une fonctionnelle. C'est pourquoi on préfère traiter de manière
explicite la variation suivant la porosité dans le potentiel de dissipation [éq 2.2-2] ainsi que la variation
suivant p du terme quadratique en p de l'énergie libre [éq 2.2-1]. Pour les autres termes, on
emploie un schéma d'Euler implicite. On notera que la discrétisation du taux de déformation plastique
p
D s'exprime directement en fonction de la déformation élastique e :
p
1
p T
D - FG& F = - 1 [ e
p- T
b - FG F ]= 1
1
e - [
p- T
Id - FG F ]
Tr
= (e - e ) / t
éq 2.3-1
2
2 t
t
2
1 4
4 2 4
4 3
T
r
e
Si bien que l'énergie libre et le potentiel de dissipation discrétisés sont donnés par les expressions
suivantes :
p
2
(
1
2
2L d R
e,p,p ) = [K(tre) + µ e~
2
e~
: ]+ R(u)
b
-
du +
( p p
) p
. éq 2.3-2
2
0
13 d p
tr e
2
( ,
e p
) = p
+ tr e
ln
-1 + I + (tr e
) + I + ( p
-
e
)
y
1
-
IR
IR
éq
2.3-3
Df
p
3
eq
avec
-
t = t - t ,
tr
e
= e - e ,
-
p = p - p et
-
p = p -p éq
2.3-4
-
q est la quantité connue à l'instant précédent -
t .
Conformément au paragraphe [§1.4] [éq 1.4-1], l'intégration du modèle de Rousselier non local
s'exprime comme la minimisation de la fonctionnelle suivante :
Tr
r
min
2
r
(
r
r
r r
r r
e +
-
e p
,
+ p)+ (e
, p)+ P - p rr +µ (P -pr)
éq.
2.3-5
e, p
N
2
Ce qui est équivalent à [éq 1.4-1] et [éq 1.4-2] :
F
e =
s = -
e
s
F
( ,
e p) p =
éq 2.3-6
r
r
r
r
r r
r
A
r
A = A + µ + rN(P - pr)
r
A = 0
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r
r
D'après l'équation [éq 1.3-7], la matrice de pondération N vaut :
1 0
0
0
2
2
r
r
0 L
0
0
-
c
-
d R
-
2
4 2
=
N Diag
h
=
r r
2
avec
h
=
( p )
et
L =
L
éq
2.3-7
p
p
0 0 L
0
d
c
p
13 b
c
2
0
0
0
c
L
Dans toutes ces équations, on a adopté les notations suivantes :
rA = ( ,AA ) = (-R, R )
- éq 2.3-8
r r
A = ( r
A , r
A )
éq 2.3-9
pr = ( p,p )
éq 2.3-10
r r
P = BP = (P, P )
éq 2.3-11
Le vecteur pr représente la déformation plastique cumulée et son gradient, calculé aux points de
Gauss tandis que P représente la déformation plastique calculée aux noeuds.
µr = (µ,µ )
éq 2.3-12
L'ensemble des équations à résoudre est donc le suivant :
Equations d'état :
s [
-
= K tr ed + µe~
2 ] éq 2.3-13
Ar -
= R(p) µ
+ + rh-(P - p) -
= R(p)- c p +
1
c2
éq
2.3-14
r
- 2
- 2
A -
= h L p
c +µ + rh Lc (
P - p ) -
= c p + c = 0
3
4
éq
2.3-15
Lois d'écoulement :
tr s
tr e=
-
pD f
exp
éq 2.3-16
1
3
~ 3
s~
e=
p
éq 2.3-17
2
seq
c4
p=
éq 2.3-18
3
c
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Condition de cohérence :
(
s
F s,Ar )
-
tr
= s + D f exp
+ Ar
eq
- y F 0 p 0 Fp 0
1
=
éq 2.3-19
3
1
Définition des différents coefficients :
c = -
rh
0
- 2
2
1
, c = µ c P
2
+ 1 , c = 1
( + r)h
0
3
c
L et c4 = µ + 1
c c
L
P éq 2.3-20
2.4
Traitement des points singuliers
L'expression du cône normal auquel appartient la direction d'écoulement n'est licite qu'aux points où
les critères sont dérivables, c'est-à-dire si seq 0 . En procédant classiquement par une prédiction
élastique suivie d'une correction plastique uniquement si nécessaire, on peut se contenter d'examiner
les points singuliers confinés sur la frontière du convexe d'élasticité, c'est-à-dire les points tels que :
tr s
~
1
-
r
y
s = 0
et
D f
exp
+ A =
éq 2.4-1
1
3
Le cône normal au convexe d'élasticité en un tel point est l'ensemble des directions d'écoulement qui
réalise le problème de maximisation suivant :
sup [s : p
D + Ar p& + r
p
A &p - (D , p&, &p )]
p
D , p&,&p
1
p
r
y
p
tr p
D
=
sup
tr str D + A p
éq 2.4-2
& - p& - tr D ln
1
-
1
p
D , p&,p
3
&
D f p&
-
tr p
D 0
p&-
2
L &p
D p 0
b
- 3
eq
Il s'agit des directions d'écoulement (Dp, &p p
,& ) caractérisées par :
tr s
p
tr D = D f p&
exp
3 1 éq 2.4-3
2 p
Deq p
&
3
Ainsi, en un point singulier de la frontière du domaine d'élasticité, les incréments des variables
internes (e
, p
, p ) vérifient simplement :
tr s
-
tr e = D f p
exp
3 1 éq 2.4-4
2
(e)eq p
3
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3 Résolution
numérique
3.1
Expression du modèle discrétisé
r
Connaissant µr et P , les déformations élastiques -
e , la déformation plastique cumulée -
p , le
gradient de la déformation plastique cumulée -
p et les déplacements u- et u , on cherche à
déterminer (, ,
e p,p , f )
.
Les déplacements étant connus, les gradients de la transformation de 0 à - , noté F- , et de -
à , noté F , sont connus.
Le système d'équations à résoudre est le suivant :
-
F = FF éq 3.1-1
J = det F éq 3.1-2
J = éq 3.1-3
e
= s b éq 3.1-4
be = Id - e
2 éq 3.1-5
Tr
1
e = [Id - F
{Id - e-
2 } T
F
] éq 3.1-6
2
Equations d'état :
s [
-
= K tr eId + µe~
2 ] éq 3.1-7
Ar = -R(p)- c p +
1
c2 éq 3.1-8
Ar=- p
3
c + c4= 0 éq 3.1-9
Définition :
4
c = -
rh
0
- 2
2
2
1
, c = µ c P
2
+ 1 , c = 1
( + r)h
0
3
c
L ,c4 = µ + 1
c c
L
P ,
2
c
L =
L éq 3.1-10
13 b
Par la suite, on exprime les lois d'écoulement et les critères de plasticité directement en fonction du
tenseur des déformations élastiques e.
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Fascicule R5.04 : Modélisations non locales
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Date :
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V. CANO Clé
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Lois d'écoulement :
Tr
-
K tr e
tr e - tr e
p
= Df exp(-
) éq
3.1-11
1
~
Tr - 3
~
e
e
p
ré
solution
si
gulière
~
2
e
e =
eq
éq
3.1-12
2
0
et
p (e)
singuli
solution
si
ère
eq
3
c4
p=
éq 3.1-13
3
c
Condition de cohérence :
-
K tr e
2µe + D f exp -
+ Ar
eq
- y
(
1
ré
solution
si
gulière
r
F s,A )
1
=
-
K tr e
éq
3.1-14
D f exp
r
y
1
-
+ A -
singuli
solution
si
ère
1
avec F 0 p 0 Fp = 0
Porosité :
La loi d'évolution de la porosité est traitée de la même manière que dans le modèle de Rousselier en
version locale. On obtient (cf. [R5.03.06] pour plus de détail) :
f = 1-(1- f exp(treTr
0 )
- tr e) éq
3.1-15
où f0 est la porosité initiale.
3.2
Résolution du système non linéaire
L'intégration de la loi de comportement se résume donc à résoudre uniquement les équations
[éq 3.1-11], [éq 3.1-12] et [éq 3.1-14] (l'équation [éq 3.1-13] donne directement p puisque c4 et 3
c
sont connus). Une fois déterminés p et e par l'ensemble de ces trois équations, on en déduit la
contrainte s par l'équation [éq 3.1-7], la contrainte de Cauchy par les équations [éq 3.1-3] et
[éq 3.1-4] et la porosité f par l'équation [éq 3.1-15].
On remarque que les trois équations à résoudre sont identiques à celles du modèle de Rousselier
local où on a uniquement changé la force thermodynamique A par r
A . La résolution est donc
identique à ce modèle. Pour cette raison, nous donnons uniquement les grandes lignes. Pour plus de
détail, le lecteur se reportera au document [R5.03.06].
Si on pose :
= tr e - tr Tr
x
e 0 éq 3.2-1
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alors, l'équation [éq 3.1-11] s'écrit :
K tr Tr
e
p
(x) 1
K x
= x exp
avec G =
-
D f
exp -
éq 3.2-2
G
1
1
Après quelques calculs, l'équation [éq 3.1-12] devient :
3 p(x)
1-
~Tr
e
réguliè
solution
si
re
~
Tr
2
e(x) =
eq
e
éq
3.2-3
2
0
et
p
Tr
e
singuli
solution
si
ère
eq
3
Enfin, si on pose :
Kx
S(x) = R(p(x))
+ y + 1
c p(x) - c2 - 1G
exp -
éq 3.2-4
1
où S(x) est une fonction continue et strictement croissante de x, alors la condition de cohérence
[éq 3.1-14] s'écrit (en utilisant [éq 3.2-3]) :
Tr
(
e
p
x
F x) µ
2 eq - 3
µ -S( )
0
r
solution
si
égulière
=
éq 3.2-5
S(x) =
0
singuli
solution
si
ère
On se ramène donc à résoudre cette équation scalaire en x. La variable x est positive ou nulle x 0
pour garantir une déformation plastique cumulée positive et la solution élastique est obtenue pour x=0.
3.3
Déroulement du calcul
La démarche générale pour déterminer x est la suivante :
1) On recherche si la solution est élastique
· calcul de F( )
0
· si F( )
0 < 0 , alors la solution du problème est la solution élastique Sol
x
= 0
· sinon on passe en 2)
2) Si
S( )
0 > 0 , la solution est plastique et régulière
· on passe en 4)
3) Si
S( )
0 < 0 , on cherche si la solution est singulière
· on résout S( s
x ) = 0
2
· si s
x vérifie l'inégalité
s
Tr
p
~
Sol
eq
e , alors la solution est singulière
s
x
= x
3
· sinon, s
x est une borne inférieure pour résoudre F( Sol
x
) = 0 , on passe en 4)
4) La solution est plastique et régulière
· on résout F( Sol
x
) = 0
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3.4
Résolution des fonctions à annuler
Pour résoudre les équations S(x) = 0 , F(x) = 0 , on emploie une méthode de Newton avec bornes
contrôlées couplée à de la dichothomie lorsque Newton donne une solution en dehors de l'intervalle
des deux bornes. On présente maintenant la détermination des bornes pour chacun des cas
précédents.
3.4.1 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où S(0) > 0
On résout :
Tr
µ
Kx
2 eq
µe - S(x = 3
)
x exp(
)
F(x) = 0
4
42
1
4
43 G
1
f
1 4
4 2 4
4 3 éq
3.4.1-1
F( )
0 > 0
1
3µ p
f ( )
0
1
> 0
où la fonction p
(x) est continue, strictement croissante et nulle à l'origine et la fonction f ( )
1 x est
continue, strictement décroissante et strictement positive à l'origine (voir [Figure 3.4.1-a]).
On pose :
Tr
Kx
f = 2µeeq - R(x) - y - c p + c + G exp(-
) alors f
(x) < f (x)
x 0
1
1
2
1
2
1
éq 3.4.1-2
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
1
f2
où la fonction f ( )
2 x est continue, strictement décroissante. On envisagera deux cas.
Cas où f (0)
0
2
>
Dans ce cas, la résolution successive des équations :
Inf
Inf
f ( p
2
) = 3µ p
éq 3.4.1-3
pour en déduire p
, puis
Inf
Inf
Kx
Inf
x
exp(
) = G p
éq 3.4.1-4
1
pour en déduire x donne une borne inférieure Inf
x
.
Remarque :
Dans le Code_Aster, la routine rcfonc résout l'équation correspondant à la solution du modèle à
écrouissage isotrope et critère de Von Mises, c'est-à-dire el
- R( p) - = 3 p
eq
y
µ . On fournit
en entrée de cette routine el
eq , le module d'Young E et le coefficient de Poisson . Si on pose
el
=
1
(
2 + )
2 eTr
-
Inf
eq
µ eq - 1
c p + c2 et E =
[3µ+ 1c], la fonction
Inf
f ( p
2
) = 3µ p
se
3
ramène à résoudre une équation du type el
- R( p) - = 3 p
eq
y
µ .
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Cas où f (0)
0
2
Dans ce cas, la borne inférieure est prise égale à zéro : Inf
x
= 0 .
La borne supérieure Sup
x
est telle que :
Sup
Inf
KxSup
Sup
G
3
p
µ
= f (x ) x
exp(
)
f (xInf )
1
=
éq
3.4.1-5
3µ 1
1
Kx
L'équation du type x exp(
) = constante est résolue par une méthode de Newton.
1
3
Sup
Inf
f1(x)
p
µ (x)
3
p
µ (x )= f1(x )
f2(x)
3
p
µ ( Inf
x
)= f2( Inf
x
)
x
Inf
x
Sol
x
Sup
x
Figure 3.4.1-a : Représentation graphique des bornes supérieure et inférieure
3.4.2 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où S(0) = 0
Le système à résoudre est le suivant :
x
Kx
-
Kx
S(x) = 0
R p + exp(
) + y + c p
1 - c2 = G
1 exp(-
)
G
1
1 éq
3.4.2-1
S(0) < 0
-
-
R(p )+ y + c p
1
- c2 < G
1
La partie de gauche est une fonction continue, strictement croissante de x, la partie de droite est une
fonction continue, strictement décroissante de x et strictement positive à l'origine.
Deux cas doivent être envisagés.
Cas où R( -
p )+ y +
-
c p - c > 0
1
2
:
Utilisant les propriétés des deux fonctions, une représentation graphique (cf. [Figure 3.4.2-a]) de ces
fonctions montre que la borne supérieure Sup
x
est telle que :
KxSup
Sup
G
1
G exp(-
) = R( -
p )
-
1
+ y + 1
c p - c2
x
=
1
log
K
-
-
1
R(p )
+ y + 1
c p - c2
éq 3.4.2-2
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La borne inférieure Inf
x
est telle que :
KxInf
Sup
Sup
1
G exp(-
) = R(p )+ y + 1
c p
- c2
1
+ éq
3.4.2-3
Inf
1
x
=
1
G
log
K
Sup
Sup
R(p
)
+ y + 1
c p
- c2
Cas où R( -
p )+ y +
-
c p - c 0
1
2
:
Dans ce cas, on prendra pour la borne inférieure :
Inf
x
= 0 éq 3.4.2-4
La résolution successive des deux équations :
Sup
-
Sup
Sup
Kx
G
Sup
1
+ c2 - c p
1
- R( p
) - y = c p
1
et
Sup
x
exp(
) = G p
éq 3.4.2-5
1
permet d'en déduire p
puis x pour donner une borne supérieure Sup
x
. Pour résoudre l'équation de
gauche ci-dessus, il suffit (voir remarque du paragraphe précédent) d'utiliser la routine rcfonc en
1
(
2 + )
posant el
-
eq = 1
G - 1
c p + c2 , E =
1
c et = 1.
3
R
G
(x)+ y +1 p - 2c
1
Kx
1 G
exp -
R(p-)+
-
1
y + 1
c p - c2
Inf Sol
Sup
x
x
x
x
Figure 3.4.2-a : Représentation graphique des bornes supérieure et inférieure
3.4.3 Bornes supérieure et inférieure dans le cas où S(0) < 0 et xs non solution
On résout le système suivant :
Tr
µ
3
Kx
2µeeq - S(x) =
x exp(
)
4
42
1
4
43 G
1
1 4
4 2 4
4 3
F(x) = 0
f1
3µ
p
S(0) < 0
f (0)
1
> 0
éq
3.4.3-1
s
S(x ) = 0
s
Tr
µ
3
s
Kx
2µeeq =
x exp(
)
G
1
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La solution Sol
x
est telle que S( Sol
x
) > 0 .
Pour la borne inférieure, on prend Inf
s
x
= x . Etant données les propriétés des fonctions 1f
(strictement décroissante) et 3µ p(x) (strictement croissante), la borne supérieure Sup
x
est telle
que (cf. [Figure 3.4.3-a]) :
Sup
Sup
Kx
G
2
Tr
x
exp(
) =
eq
e éq
3.4.3-2
3
1
Cette équation est résolue par une méthode de Newton.
S ( x ) < 0 S (x) > 0
2µeTr
eq - S (0)
S ( x ) = 0
3µ
Kx
Tr
x exp(
)
2µeeq
G
1
x
Inf
s
Sol Sup
x
= x x x
Figure 3.4.3-a : représentation graphique des bornes supérieure et inférieure
3.5
Expression de la matrice tangente
La résolution du problème primal (calcul de P et pr ) par une méthode de Newton, nécessite le calcul
de la matrice tangente suivante :
p
p
r
pr = P
P
H
éq 3.5-1
P
p
p
P
P
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3.5.1 Cas
élastique
On rappelle que la solution élastique est donnée par :
-
p = p éq 3.5.1-1
c4
p =
éq 3.5.1-2
3
c
ce qui donne pour la matrice tangente :
p
p
= 0
= 0
P
P
i
éq
3.5.1-3
p
i
p
i
r
= 0
=
ij
P
P
j
1+ r
3.5.2 Cas
singulier
La solution singulière est donnée par les équations :
-
x Kx/1
p = p +
e
éq 3.5.2-1
G
c4
p =
éq 3.5.2-2
3
c
avec x qui vérifie :
S(x) = R( p)
-Kx / 1
+ c p - c + y - Ge
= 0
1
2
1
éq
3.5.2-3
et
c = µ c P
- 2
2
+ 1 , c4 = µ + rh c
L
P éq
3.5.2-4
La linéarisation de ce système donne :
1
Kx
p
=
1
( +
)eKx/1 x
éq 3.5.2-5
G
1
4
1
4
2 3
coef 1
r
p =
P éq 3.5.2-6
1+ r
S(x) = (h + c )
-Kx / 1
p - c P + KGe
x = 0
1
1
éq
3.5.2-7
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En remplaçant p
dans l'équation ci-dessus, on obtient :
c e-Kx/1
x
=
1
P
éq
3.5.2-8
coef 1(h + c1) + KGe-2Kx/1
ce qui donne pour l'expression de p
:
1
p
=
c coef 1 P
1
éq 3.5.2-9
(h + c coef 1
1
+ KGe-2Kx/1
)
1
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
coef 2
soit pour la matrice tangente :
p
c coef 1
p
1
=
= 0
P
coef 2
P
i
éq
3.5.2-10
p
i
p
i
r
= 0
=
ij
P
P
j 1+ r
3.5.3 Cas
régulier
La solution régulière est donnée par les équations :
-
x Kx/1
p = p +
e
éq 3.5.3-1
G
c4
p =
éq 3.5.3-2
3
c
x vérifie :
F = 2µeTr
eq - 3
µ p(x)- (
S x) = 0 éq
3.5.3-3
La linéarisation de l'ensemble de ces équations donne :
p
= coef e
1 Kx / 1 x
éq 3.5.3-4
r
p =
P éq 3.5.3-5
1+ r
F = -3µp(x)- (
S x) = 0 éq
3.5.3-6
S(x) = (h + c p
1) - c P
1
+ KGe-Kx/1 x
éq 3.5.3-7
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En remplaçant dans l'équation [éq 3.5.3-6], l'expression de p
[éq 3.5.3-4], on obtient pour x
:
(coef1(h+c1+ µ3 +KGe-2Kx/1
)
)eKx/1 x=c P
1
éq. 3.5.3-8
1
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
coef 2
On trouve alors :
c coef 1
p
= 1
P
éq 3.5.3-9
coef 2
r
p =
P
éq
3.5.3-10
1+ r
ce qui fait pour la matrice tangente :
p
c coef 1
p
1
=
= 0
P
coef 2
P
i
éq
3.5.3-11
p
i
p
i
r
= 0
=
ij
P
P
j 1+ r
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4 Relation
`ROUSSELIER`
On active la formulation non locale du modèle de Rousselier par l'une des modélisations
'X_GRAD_VARI' de la commande AFFE_MODELE du mot clé MODELE. Quant au modèle même, il est
disponible dans la commande STAT_NON_LINE par l'intermédiaire du mot-clé RELATION :
'ROUSSELIER' sous le mot-clé facteur COMP_INCR et avec le mot-clé DEFORMATION :
'SIMO_MIEHE'.
L'ensemble des paramètres du modèle est fourni sous les mots clés facteurs `ROUSSELIER` ou
`ROUSSELIER_FO` et `TRACTION` (pour définir la courbe de traction) de la commande DEFI_MATERIAU
([U4.23.01]). La longueur caractéristique b
L est donnée sous le mot clé LONG_CARA de
DEFI_MATERIAU.
Les contraintes sont les contraintes de Cauchy , calculées donc sur la configuration actuelle (six
composantes en 3D, quatre en 2D).
Les variables internes produites dans le Code_Aster sont :
· V1, la déformation plastique cumulée p,
· V2 à V4, le gradient suivant les axes x, y et z de p,
· V5, la porosité f,
· V6 à V11, le tenseur de déformations élastiques e,
· V12, l'indicateur de plasticité (0 si le dernier incrément calculé est élastique, 1 si solution
plastique régulière, 2 si solution plastique singulière).
Remarque :
Si l'utilisateur veut récupérer éventuellement des déformations en post-traitement de son
calcul, il faut tracer les déformations de Green-Lagrange E, qui représente une mesure des
déformations en grandes déformations. Les déformations linéarisées classiques mesurent
des déformations sous l'hypothèse des petites déformations et n'ont pas de sens en grandes
déformations.
5 Bibliographie
[1]
LORENTZ E. : "Lois de comportement à gradients de variables internes : construction,
formulation variationnelle et mise en oeuvre numérique", Thèse de doctorat de l'université
Paris 6, 27 avril 1999.
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