Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

Résolution d'une équation différentielle du second ordre (NIGAM)
Date :
30/01/03
Auteur(s) :
D. SELIGMANN, O. BOITEAU Clé
:
R5.05.01-B Page
: 1/6

Organisme(s) : EDF/TESE, SINETICS
















Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire
Document : R5.05.01





Résolution d'une équation différentielle
du second ordre par la méthode de NIGAM





Résumé :

Nous présentons dans ce document, une méthode de résolution de l'équation différentielle linéaire du second
ordre obtenue lors du calcul d'un spectre d'oscillateur.

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire
HR-19/02/027/A

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Version
6.0

Titre :

Résolution d'une équation différentielle du second ordre (NIGAM)
Date :
30/01/03
Auteur(s) :
D. SELIGMANN, O. BOITEAU Clé
:
R5.05.01-B Page
: 2/6


1 Introduction

Lors du calcul d'un spectre d'oscillateur, on est amené à résoudre une équation différentielle du
second ordre dont la solution est une intégrale de DUHAMEL.

Si cette intégrale peut être calculée exactement à l'aide de la transformée de LAPLACE pour certaines
fonctions analytiques simples (Dirac, Sinus, Cosinus, Heavyside, ...) [bib1] elle doit être intégrée
numériquement dans le cas général.

Ce document présente une méthode efficace pour résoudre ce problème.

Cette méthode est mise en oeuvre dans le Code_Aster, dans l'opérateur CALC_FONCTION, mot clé
facteur SPEC_OSCI.



2
Solution analytique de l'équation

Lors du calcul du spectre d'oscillateur d'un accélérogramme [R4.05.03], on est amené à résoudre
l'équation différentielle linéaire du second ordre

q&+ q + 2
2
&
q =
- (t)


q(t)
est le déplacement relatif


(t) est l'accélération du mouvement imposé à la base



est la pulsation de l'oscillateur


est l'amortissement réduit de l'oscillateur


Avec des conditions initiales sur q et &q .

La solution de cette équation s'écrit sous la forme :

q(t) = +t h(t - ).( )d + q(0)g(t)+ q&(0)h(t) éq
2-1
0

q( )
0 et &q( )
0 sont le déplacement et la vitesse à l'instant initial.

· Expression de (
h t) et g(t) selon la valeur de l'amortissement réduit .

- Si
< 1 (amortissement sous critique)

- t

(
e
h t) =
2
sin
2
( t 1- )
1-


éq
2-2
2

g(t) = e- t
cos 1
sin 1 2

( t - )+ 2 ( t - )

1 -


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: 3/6


- Si
= 1 (amortissement critique)

(
h t) = te-wt

g(t) = (1- wt) ewt

- Si
> 1 (amortissement sur-critique)

- t

(
e
h t) =
2
.
1
2
(sh t - )
- 1


g(t) = e- t
c 2

1
2 1
(
h t
- )+
s
2
(h t - )

- 1





3 Méthode
numérique

La méthode numérique implantée dans le Code Aster a été proposée par NIGAM et JENNINGS [bib2]
dans le cas de l'amortissement sous critique qui correspond à notre problème sismique initial
[R4.05.03].

En introduisant la formulation [éq 2-2] dans [éq 2-1] on est donc conduit à résoudre l'équation
différentielle :

q(&t)+ q(t)+ 2
2
&
q(t) =
- (t)

avec conditions initiales nulles, dont la solution s'écrit :

1 t
q(t)
-(t - )
=
e

[
sin d
(t - )]() d
d
0

avec
2
d = 1 -

En supposant que (t) varie linéairement à l'intérieur de chaque intervalle (t) , on peut alors écrire
:


() = (t - t
) +
[(t) -(t - t)] pour [
0, t
]
t


(t)

(t-t)
t
t
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: 4/6


d'où l'équation à résoudre : (exprimée dans la nouvelle variable )

&q(& ) +
2 &q( ) + 2q() = a + b pour [
,
0
t
]


a = (t - t
)

b = [(t) - (t - t
)] / t


:
initiales

conditions

les
avec
q(0) = q(t - t
)
q&(0) = q&(t - t
)

La solution de cette équation est la superposition d'une solution particulière et des solutions du
problème homogène.

a

2 b
b
· une solution particulière : qp(t) = -
+
-

2 3 2
q t = e- [C1.cos + C
h
d
2.sin
d
]
· les solutions du problème homogène :
( )
( )
( )

a
-
b b .
Par suite : q( ) = e
[C1.co (s d)+C2.si (n d)]- +2 -
2
3 2
et en dérivant q (par rapport à ) on a :

b
&q( ) ( )e- (C cos
1
+ C sin
-
= -
d
2
d
) + e
(- C sin
1
+ C cos
d
d
2 d
d
) - 2

Les coefficients C1 et C2 sont alors déterminés par les conditions initiales au début de l'intervalle
(c'est-à-dire pour = 0).

a
2b
C = q
1
(t - t
) +
-
2
3



1
a
2
2 - 1
C =
q
2
&(t - t
) +
q(t - t
) +
-
b
2

d









et en reportant C1 et C2 dans l'expression de q et &q on obtient l'égalité matricielle pour = t :

q(t)

-
-

= (
q t
t
t
t
A ,, t
) (
)

+ (
B ,, t
) (
)


q
&(t)
q

&(t - t
)
(t)

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4
Coefficients des matrices A et B du système à résoudre

Matrice A :





a = e- t
sin
cos
11
( t
d
)+ ( t
d
)
2
1

-


e t

a12 =
(
sin
t
d )
d




a = -
e- t

21
(
sin t
d )
2
1 -




a = e- t cos
sin
22
( t
d
)-
( t
d
)
2

1

-



Matrice B :

d

2

sin






- t
2
- 1

( t) 2 1
2
b = e
d

.
cos

11
+
+
+


-
2
d
3
2







( t)
t


t
3


t



d
2

sin
- t 2

- 1

( t) 2
1
2
b = e
d
.
.cos

12
+
-
+
2
d
3
( t)
t


t
2
3


t




2
2


-
- 1

b = e
t


. c (
os
d
d t
) -

sin
t



2
( )
21
+
2
t


1 -

-


2
1

+

1
.
3
2
( si
d
(nd t) co (sd t)



t


+
+
2 t



2
- t


2
-

1

b22 = -e



. c
2
(
os d t
) -
(
sin d t
)

t

1 - 2

-


2


1
.
( si
( t)
3
d
(nd t)


-
t
+
cos

d


2
t

2
avec d
= 1-

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5
Calcul de q()

Connaissant q( ) et &q( ) , il est dès lors possible de donner l'expression analytique de l'accélération
&(&
q ) .

&q( ) = -()e-[C1 (
cos d ) + C s
2
(
in d )]
1
+ e- (- C si
1 d
(nd)+ C c
2 d
(
os d ) - 2
2
&q(& ) = +() e-[C1 (
cos d ) + C s
2
(
in d )]
+ ()e- (- C si
1 d
(nd)+ C c
2 d
(
os d )
- ()e- (- C si
1 d
(nd)+ C c
2 d
(
os d )
+ e-[- C 2 co
2
1 d
(sd)- C s
2 d
(
in d )]
2
&q(& ) = [() -2 -
d ]e
. [C1c (
os d ) + C2 (
sin d )]
or
2
2
2
d = (1- ), d'où
q&(&)
2
= e-[C1 (
cos d ) + C2 si (
n d )]



6 Bibliographie

[1]
R.J. GIBERT : Vibrations des structures, Collection de la Direction des Etudes et
Recherches d'Electricité de France, n°69, Eyrolles 1988.
[2]
N.C. NIGAM & P.C JENNINGS : Calculation of Response spectra from motion
earthquake Bull. of the Seismological society of America, Vol.59 n°2 pp 909 - 922 April
1969.
[3]
D. SELIGMANN, L. VIVAN : Réponse sismique par méthode spectrale [R4.05.03].

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