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Version
5.0
Titre :
Sensibilité des champs thermo-mécaniques à une variation du domaine
Date :
19/01/00
Auteur(s) :
G. NICOLAS
Clé :
R4.03.01-A
Page :
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
Document : R4.03.01
Sensibilité des champs thermo-mécaniques
à une variation du domaine
Résumé
Pour connaître l'influence d'une variation du domaine sur les champs thermo-mécaniques, l'approche classique
consiste à faire plusieurs calculs et à évaluer, par différence, la sensibilité. La méthode décrite dans ce
document permet d'obtenir en un seul calcul avec le Code_Aster la valeur des champs de températures,
déplacements et contraintes et leurs dérivées par rapport à la variation du domaine.
La méthode est d'abord exposée dans sa généralité : thermique et mécanique statique linéaire, 2D et 3D,
variation d'un bord quelconque. Ensuite sont détaillés les différents calculs dans le cas 2D et pour certains
chargements.
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Fascicule R4.01 : Analyse de sensibilité
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Détermination du gradient de la température ........................................................................................ 4
2.1 Le problème..................................................................................................................................... 4
2.2 Dérivation de l'équation variationnelle ............................................................................................. 4
2.2.1 Intégrale de la variation temporelle ........................................................................................ 5
2.2.2 Intégrale de la conductivité thermique.................................................................................... 5
2.2.3 Intégrale de l'échange convectif - Partie 1 ............................................................................. 6
2.2.4 Intégrale des sources thermiques internes ............................................................................ 6
2.2.5 Intégrale des conditions aux limites à flux imposé ................................................................. 6
2.2.6 Intégrale de l'échange convectif - Partie 2 ............................................................................. 7
2.2.7 Bilan ....................................................................................................................................... 7
2.3 Commentaires sur cette équation ................................................................................................... 7
2.4 Discrétisation en temps ................................................................................................................... 8
2.5 Discrétisation spatiale...................................................................................................................... 9
3 Calcul du gradient du déplacement ....................................................................................................... 9
3.1 Le problème..................................................................................................................................... 9
3.2 Dérivation de l'équation variationnelle ........................................................................................... 10
3.2.1 Intégrale volumique .............................................................................................................. 10
3.2.2 Intégrale surfacique.............................................................................................................. 12
3.2.3 Bilan ..................................................................................................................................... 12
3.3 Commentaires sur l'équation à résoudre ...................................................................................... 12
4 Détermination du gradient des contraintes .......................................................................................... 13
5 Conclusion ........................................................................................................................................... 13
Annexe 1 La transformation du domaine................................................................................................ 14
Annexe 2 Formulaire............................................................................................................................... 14
Annexe 3 Commutativité des dérivations lagrangienne et temporelle .................................................... 18
Annexe 4 Mise en oeuvre numérique...................................................................................................... 19
6 Bibliographie ........................................................................................................................................ 31
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1 Introduction
Les développements présentés dans ce document visent à permettre des études probabilistes de
rupture brutale par un couplage mécano-fiabiliste. La géométrie du domaine est traitée comme un
champ aléatoire. L'évaluation de la probabilité d'amorçage de la rupture est assurée par couplage avec
le logiciel PROBAN, avec les méthodes FORM/SORM. Cette évolution suppose de connaître les
variations des contraintes et des températures par rapport la géométrie. Ainsi, une première application
industrielle cherche à déterminer la probabilité de rupture de la cuve de réacteur nucléaire, dont
l'épaisseur du revêtement intérieur est considérée comme une variable aléatoire. Ces contraintes et
températures étant calculées par le Code_Aster, la technique classique consiste à effectuer des séries
de calcul pour plusieurs valeurs de l'épaisseur du revêtement. Ensuite par différence, on en déduit
l'influence de l'épaisseur sur ces champs.
Cette technique a des limites ; en particulier :
· précision : comment choisir les valeurs du paramètre d'épaisseur pour que la différence entre
deux calculs représente bien son influence ?
· performance : pour une valeur du paramètre, au moins deux calculs avec le Code_Aster sont
nécessaires pour calculer l'influence.
La méthode développée dans ce travail permet d'obtenir en un seul calcul avec le Code_Aster la valeur
des contraintes et températures et leurs dérivées par rapport à l'épaisseur du revêtement.
La technique retenue est basée sur une dérivation directe des équations exprimées sous forme
variationnelle. Elle reprend la méthode comme sous le nom de "méthode " déjà introduite pour le
calcul du taux de restitution d'énergie dans le Code_Aster. De ce fait un certain nombre de résultats de
base ne sont pas redémontrés mais font seulement l'objet de références en annexe.
La première partie concerne la dérivation de la température, en régimes stationnaire et transitoire, en
thermique linéaire. Les principaux chargements sont étudiés : échange convectif, température
imposée, source interne.
Ensuite, nous exposons la dérivation du champ de déplacement en mécanique statique linéaire. Les
chargements pris en compte se limitent à des déplacements imposés et des pressions réparties. La
dérivation du champ de contraintes se résume ensuite à un post-traitement de la dérivée du champ de
déplacement.
La méthode est présentée dans sa généralité : 2D ou 3D, influence d'une variation quelconque d'un
bord du domaine. Dans la pratique, la fonctionnalité n'est disponible actuellement qu'en 2D, pour les
chargements mentionnés ci-avant.
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2
Détermination du gradient de la température
2.1 Le
problème
Une première étape du calcul des gradients du taux de restitution de l'énergie G est le calcul du
gradient de la température par rapport à un paramètre réel. Ce paramètre pilote la variation du
domaine de calcul : à partir du domaine de référence , on étudie un domaine transformé , où
est le paramètre symbolisant la transformation. Les gradients recherchés sont ceux qui sont exprimés
à l'endroit de la résolution de référence, c'est-à-dire pour = 0 . On se reportera à l'annexe 1 pour les
notations employées.
Nous partons de l'équation variationnelle régissant la thermique du problème sur le domaine
transformé . En suivant [R5.02.01], nous définissons les frontières par :
1 : température imposée
2 : flux normal imposé
3 : échange convectif
ce qui donne l'équation variationnelle suivante :
T
C
T * +
T. T*
+ h T T* =
s T * + q T* + h T T *
p
ext
t
3
2
3
avec :
T
Température
C
chaleur volumique à pression constante
p
conductivité thermique
h
coefficient d'échange convectif
s
source volumique thermique
q
flux de chaleur normal entrant imposé sur le bord 2
T *
fonction de test dans H1( ), nulle sur 1
Remarque :
Nous présentons ici uniquement le problème avec des conditions aux limites de température
imposée, de flux normal imposé et d'échange convectif. La prise en compte des conditions
d'échange entre paroi ou de rayonnement se fera ultérieurement.
2.2
Dérivation de l'équation variationnelle
Nous allons dériver successivement chacune des intégrales formant l'équation. A chaque fois, nous
F
utiliserons la formule de Reynolds, après avoir défini le vecteur à partir de pour la
transformation F (cf. Annexe 2). représente la direction de variation du domaine.
Nous choisissons des fonctions de test T * qui sont indépendantes du paramètre . Par ailleurs, on
est ici dans un cas où les dérivations Lagrangienne et temporelle commutent (cf. Annexe 3).
Dans toutes les formules présentées, nous notons avec un point la dérivée lagrangienne de la
grandeur : !
T est la dérivée lagrangienne de T .
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2.2.1 Intégrale de la variation temporelle
T
I =
C
*
T
1
p
t
·
dI
T
T
1
*
=
*
C
T + C
T
div
d
p
t
p
t
Nous supposons que la chaleur volumique Cp est indépendante du paramètre c'est-à-dire
purement lagrangienne (attachée au point matériel).
En utilisant la proposition 2 de l'annexe 2, !
=
+
.
=
, nous avons ici !
. . D'où
l'expression :
·
·
T
·
T
T
C
p
= Cp
C
t
+
t
p t
!
= (
T
T
Cp ).
+ C
t
p t
dI1
T! *
T
*
=
T
C
T
*
p
+ C
div T
p
+
(Cp). T
d
t
t
t
2.2.2 Intégrale de la conductivité thermique
I =
.
*
T T
2
dI
·
2
= T. T
* + T. T
* div
d
[
]
Nous supposons que la conductivité thermique est également indépendante du paramètre . Ainsi,
nous avons :
·
*
*
·
·
T.T = ! T.T + T . T* T.
*
T
+
Avec le résultat général de l'annexe 2, nous avons :
·
!
T = T - T.
·
T*
T!*
T *.
T *.
=
-
= -
!
= .
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D'où le résultat :
d I 2 =
T
T* +
!.
(
.) T
. T
*
d
- (T.). T
* - T
.( T
*.)
+ div T
. T
*
2.2.3 Intégrale de l'échange convectif - Partie 1
I =
hTT
3
*
3
Nous utilisons cette fois la proposition 4 (cf. Annexe 2) qui établit la dérivation pour une intégrale
surfacique.
dI
·
3 =
hTT *
hTT *div
d
+
s
3
Nous supposons que le coefficient d'échange thermique par convection est lui encore indépendant du
paramètre . Ainsi, !h = .
h .
d I 3 = h TT* +( h
) TT* + hTdiv T
!
.
*
d
s
3
2.2.4 Intégrale des sources thermiques internes
I =
sT *
4
dI
·
4
=
sT* + sT* div
d
[ ]
Nous supposons que la source volumique thermique est indépendante du paramètre . Ainsi,
!s = .s .
d I 4 = ( (s). ) T* + s div T*
d
2.2.5 Intégrale des conditions aux limites à flux imposé
I =
q T *
5
2
dI
·
5
=
q
T* + q T*div
d
s
2
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Nous supposons que le flux de chaleur externe est indépendant du paramètre . Ainsi, !q = q. .
d I 5 = ( q
. ) T* + q T*
div
d
s
2
2.2.6 Intégrale de l'échange convectif - Partie 2
I =
h T
T *
6
ext
3
dI
·
6
= h T T* + h T T*div
d
ext
ext
s
3
Nous supposons que le coefficient d'échange thermique par convection et la température extérieure
sont indépendants du paramètre .
d I 6 = (h ) T T* + h
.
*
*
ext
( T
ext .)T + hT T div
d
ext
s
3
2.2.7 Bilan
Dans toutes ces expressions de dérivations d'intégrales, seule la dérivée lagrangienne de la
température est inconnue. Nous pouvons donc former une nouvelle équation variationnelle dont !
T est
l'inconnue.
!
T
C
T *
*
*
p
+ T
!.T + hTT
!
=
t
3
-
-
(
T *
T
C
*
p ).
T
C div
T
t
p
t
- (
.) T
. T*
+
[ T
]. T*
+ T
-
[. T* ] div T. T*
+
( h
.)
(T - T *
*
*
ext
) T + h
(T - T
ext
)div T + h
s
( T
ext .) T
3
3
3
+ (s.) T* +
s div T*
+ (q.) T* +
q div T*
s
2
2
La frontière 1 de conditions aux limites de Dirichlet pour le calcul de T correspond au même type de
conditions aux limites : !
T est imposée à une valeur nulle le long de cette frontière.
2.3
Commentaires sur cette équation
On peut remarquer que le premier membre de cette équation est, formellement, identique à celui de
l'équation variationnelle qui permet le calcul de la température. Il s'agit donc de résoudre la même
équation, avec un second membre modifié.
La résolution de cette équation fournit la dérivée lagrangienne de T . Pour avoir la dérivée qui nous
T
intéresse, , il reste à accomplir la dernière opération :
T
!
= T - T
.
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2.4
Discrétisation en temps
La résolution temporelle va se faire en utilisant la méthode dite du -schéma, comme pour l'équation
qui gouverne l'évolution de la température. Pour connaître la grandeur à l'instant t + t
, nous
poserons :
!T+
!T(t
t
) et !T-
=
+
= !T(t)
!T
!T + - !T -
La dérivée en temps s'approche ainsi par :
~
-
t
t
A l'instant courant nous utiliserons l'approximation :
!T ~- !T + + (1- ) !T-
i
i
Nous appliquerons cette technique pour les principales variables du problème : !
T,T,h,q, s . Tous les
champs à l'instant t étant connus, l'équation discrétisée en temps peut s'écrire :
Cp T+!T* +
+
*
+ + *
i
T
! . T
+
h T! T
=
t
i
3
Cp T-!T
* - (1-
-
*
- - *
i ) T! . T
- (1-i)h T! T
t
3
+
-
+
-
-
*
-
-
T
T
T
T
C div
T
*
p
-
.
(Cp )
T
t
t
+
+
-
+ 1-
. . *
([ T
i
( i) T ) ] T
+
( T+ (
-
*
i ) T
).[ T
.]
i
+ 1-
- (.)
1
( +
-
*
i T
+ ( - i ) T
). T
-
div
1
[ +
-
*
i T
+ ( - i )T ]. T
+
1
(
+
-
*
i s
+ ( - i ) s
). T
+ div
1
( +
-
*
i s
+ ( - i )s )T
+
1
(
+
-
*
i q
+ ( - i )q ). T
2
+
1
(
+
-
*
i q
+ ( - i )q )divs T
2
+
A div
*
s T
3
+ ( h+ +(
-
+
+
-
-
1 -
*
i
)h ).( i(T - T
ext
)+(1- i)(T -T
ext
)
i
T
3
+ ( h+
-
+
-
*
i
+ (1- i )h ) ( T
i
ext + (1 - i
) T
ext ).T
3
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Le terme de flux d'échange convectif, A , prend deux expressions distinctes selon la dépendance de h
et Text vis-à-vis du temps.
Si h et Text sont indépendants du temps, seule la température est à impliciter. D'où :
h
(T - T+ -(1- )T-
)div T*
ext
i
i
s
3
Sinon, l'ensemble du flux subit le -schéma :
*
3
[ +
+
+
-
-
-
i h ( ext
T
- T )+ (1-i )h ( ext
T
- T )]divs T
Remarque :
On aura noté le désagrément d'avoir à traiter avec "les Dupond et Dupont du numérique", à
savoir le -schéma et la méthode ... Pour garder la cohérence avec le reste de la
documentation du Code_Aster, nous avons choisi de conserver les notations pour les deux
paramètres de ces méthodes. Dans la mesure où c'est la "méthode" qui nous intéresse le
plus dans ce travail, le du "schéma" a été affecté d'un indice i , comme "implicitation".
Espérons que cela aura été clair ...
2.5 Discrétisation
spatiale
La discrétisation spatiale de cette équation est exactement calquée sur celle employée pour la
résolution de la thermique. Nous renvoyons à [R5.02.01] pour sa description.
3
Calcul du gradient du déplacement
3.1 Le
problème
Une deuxième étape nécessaire au calcul des gradients du taux de restitution de l'énergie est le calcul
du gradient du champ de déplacement par rapport à la variation du domaine. Nous reprenons
exactement les mêmes conventions qu'au chapitre précédent pour le calcul du gradient de la
température.
Seuls certains chargements sont pris en compte. L'extension à d'autres types de changement se ferait
en suivant les principes qui vont être énoncés. Nous nous plaçons dans le cas de l'élasticité linéaire
isotrope, en deux dimensions. La relation entre le tenseur des contraintes et le tenseur des
déformations est alors du type :
= + k(T - Tref )Id
Le domaine de calcul est noté , où est le paramètre réel de pilotage des variations du domaine.
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Pour cette application, nous ne retenons que trois types de comportement au bord de :
1 : frontière à déplacement imposé
2 : frontière à "liaison uniforme"
3 : frontière à pression externe imposée
ce qui donne l'équation variationnelle suivante :
(u) : (v) = v
p .n
3
avec :
u
champ de déplacement
(u)
tenseur des contraintes liées au déplacement u
(v)
tenseur des déformations associées au déplacement v
p
pression répartie sur le bord 3
3.2
Dérivation de l'équation variationnelle
Nous allons dériver les deux intégrales qui constituent l'équation variationnelle en appliquant le
théorème de Reynolds (cf. Annexe 2 et [§2.2]).
3.2.1 Intégrale
volumique
I = u :
( )
(v)
Du fait de l'isotropie du problème, nous avons l'égalité des produits scalaires :
: (v) = : s(v)
où s (v) est le gradient symétrisé de v .
L'intégrale et sa dérivée s'écrivent donc :
I
=
u :
( ) s(v)
dI
·
= (u) s
: (v)
s
+ u : v div
d
[ ( ) ( )]
Nous utiliserons la propriété de dérivation d'un gradient de vecteur, où FT est une fonction tensorielle,
décrite en annexe 2 :
·
v
v
(
FT v, )
= -
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Nous avons :
·
(u) : s(v) = !(u) : s
s
v + (u) : !
(v)
= !(u) : s
s
s
v + (u) : [ (v!) - (
T v ,)]
= !(u) : s
s
v - (u) : F (
T (v),)
car les fonctions v sont supposées indépendantes des variations du domaine, donc !v = 0 . Pour
calculer la dérivée point de , nous remarquons que est fonction de la déformation et de la
température :
!(u) =
!e +
!T
e
T
Dans le cas particulier de l'élasticité linéaire isotrope :
(e,T) = e + k(T - Tref )Id
=
e
= k Id
T
d'où : !(u) = !e + k !T Id
Il reste à exprimer la dérivée de la déformation e , à partir de son expression en fonction du
déplacement u .
1
e =
t
2 [ u
+ u
]
1
· t
e! = ! u
+
u
2
1
1
e! = [ u
! - (
FT u,)] + [ u
! - (
FT u
,)]t
2
2
1
1
e! =
t
t
!
!
FT
,
FT
,
2 [ u
+ u
]- 2[ (u )+ ( u
) ]
L'expression définitive de la dérivation de l'intégrale est alors :
dI
t
s
1
t
s
=
!u + !u : v - FT u, + FT u,
:
1
v
d
2 [
] ( )
2 [ [
(
)
(
) ]
( )
+ k T
s
! Id : (v) - (u) : F ( s
T (v),
)
+ [(u) s
: (v)] div
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3.2.2 Intégrale
surfacique
I =
p
3
v
3
d I 3
=
p v
p v div
·
d
s
3
+
Par choix des fonctions v nous avons !v = 0 . Nous supposons que la pression externe est
indépendante du paramètre . Ainsi :
·
pv
[ p.]v
=
d I 3 = [ p
.]v + p div v
d
s
3
3.2.3 Bilan
Dans toutes ces expressions de dérivations d'intégrales, seule la dérivée lagrangienne du déplacement
est inconnue. Nous pouvons donc former une nouvelle équation variationnelle dont !u est l'inconnue et
où v est le gradient symétrisé de v .
1
!u + !ut : v =
[
]
2
1
FT u, + FT u, t : v
2 [ [
(
)
(
) ]
- k !T Id : v
+ (u)
:F (
T v,)
- [(u) : v]div
+ [ .p]v
3
+ p divs
3
Sur la frontière 1 , le déplacement est imposé. Quelle que soit la position de cette frontière, la
condition aux limites suit la matière, ce qui entraîne !u = 0 .
Sur la frontière 2 , à liaison uniforme, les degrés de libertés sont identiques, mais libres : uy =
constante par exemple. Il en est de même pour la dérivée !u .
3.3
Commentaires sur l'équation à résoudre
Nous allons constater que, comme pour le problème en température, le problème à résoudre ici est
formellement le même que celui de la détermination du déplacement u . La matrice est la même. Seul
le second membre évolue.
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Si nous repartons de l'équation variationnelle initiale :
(u) : (v) =
v
p .n
3
nous pouvons la transformer en utilisant les expressions de et de : .
(u) : v
=
p v
3
(u)
[
+ k(T - Tref )I ]d: v = pv
3
[(u)]: v
= -
k
(T - Tref )Id : v
+
p v
3
1
Comme (u) = [ u
+ u
t ], nous retrouvons bien la même expression au premier membre que
2
pour l'équation transformée.
4
Détermination du gradient des contraintes
L'étape suivante vise à déterminer le gradient des contraintes. Il sera calculé à partir de la
connaissance des gradients de la température et du déplacement.
Nous avons vu que dans le cas particulier de l'élasticité linéaire isotrope, ! pouvait s'exprimer sous la
forme (cf. [§3.2.1]) :
1
1
!(u) =
t
t
k T
2 [!u + !u ] - 2 [
(
FT u
,) + F (
T u,) ]+ ! Id
A ce stade, toutes les quantités à droite du signe = sont connues ; il n'y a plus qu'à faire un
post-traitement pour obtenir ! .
De même, sachant que :
= ! -
,
la dérivée eulérienne des contraintes s'exprime en post-traitement des quantités précédemment
calculées.
Remarque :
Cette phase de dérivation impose que le calcul ait eu lieu avec des éléments quadratiques.
5 Conclusion
Pour poursuivre ce travail, il reste à faire le calcul de la dérivée du taux de restitution d'énergie. Cela
est prévu dans une version ultérieure.
L'utilisation de cette fonctionnalité, prévue initialement pour la mécanique probabiliste, peut s'étendre à
d'autres domaines : optimisation de formes, identification.
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Annexe 1 La transformation du domaine
La technique utilisée pour calculer les différents gradients au cours d'une variation du domaine est celle de la
méthode dite « méthode ». Cette méthode a été mise au point pour le calcul du taux de restitution de
l'énergie G ; elle est décrite dans [bib1] et [R7.02.03]. Nous donnons ici les diverses expressions qui sont
utilisées dans ce document.
Le domaine de calcul de référence est noté . Il est transformé en un domaine noté ,où
est un
paramètre réel. L'ensemble des transformations est représenté par les fonctions F . Nous convenons que F0
correspond à l'identité.
De manière générale, les seules grandeurs qui nous intéressent sont les gradients exprimés au point de la
résolution. Ce sont donc les dérivées par rapport au paramètre exprimées pour = 0 . C'est pourquoi, pour
alléger les notations, dans tout le document nous écrivons :
au lieu de =0
F
Le champ de vecteurs est noté .
Nous utiliserons les grandeurs déduites suivantes :
· champ
scalaire
div , divergence volumique, et divs , divergence surfacique,
· tenseur
.
Annexe 2 Formulaire
Nous allons rappeler ici, les principales formules utiles aux calculs de dérivation. On se reportera à [bib1] pour
leur démonstrations.
Soit (, M ) un champ quelconque. Nous notons :
( M) = (
,
, F ( M ))
Dérivée lagrangienne : !
=
( )
(
)-1
F
F
(
det F )
Proposition 1 : (i)
= (ii)
= - (iii)
= div
Proposition 2 : (i) !
=
+
!
est la dérivée lagrangienne pour le mouvement F
est la dérivée eulérienne
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· si
est un champ scalaire,
est un produit scalaire, ce qui donne
!
=
+
x k
k
k
· si
est un champ de vecteur, est un tenseur, ce qui donne :
i
!
i
i =
+
k
x
k
k
· si
est un tenseur, la même formule appliquée à chacune des composantes du tenseur donne :
i,j
i,
!
j
i, j =
+
k
x
k
k
Remarque :
L'expression analytique de cette formule est la même en 2D plan ou 2D axisymétrique. En effet, le
terme complémentaire de si est un vecteur est r / r . Il serait à multiplier par la composante
orthoradiale du vecteur ; celle-la étant nulle, il n'y a aucune modification de l'expression. On passe
donc de la formule 2D plan à la formule 2D axisymétrique par l'analogie formelle (x, y) (r,z) .
Proposition 2 : (ii)( !
) = ! - FT(,)
L'opérateur FT est l'opérateur matriciel qui s'apparente formellement au produit matriciel.
· si
est un champ scalaire, en 2D plan :
En partant de l'expression (2i) et en la dérivant par rapport à x :
! =
+
x +
y
x
y
!
2
=
+
x +
y
x
x
x x
y
!
2
2
2
x
=
+
x +
+
y +
y
x
x
x
x x
x y
y x
x
=
y
x
x +
x
x +
y
x y +
+
x x
y x
En appliquant la formule (2.i) aux trois premiers termes de cette somme, nous avons :
·
! x y
=
+
+
x x x x y x
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La même technique utilisée en dérivant (2.i) par rapport à y permet d'établir :
·
!
x
y
+
x
x
x x
y x
= -
!
x
y
y y
+
x y
y y
·
!
(
FT , )
= -
· si
est un champ scalaire, en 2D axisymétrique, son gradient en 2D axisymétrique vaut le vecteur :
=
er +
e
r
z z
Le point de départ est encore l'expression (2.i) :
!
=
+
r +
r
z z
En dérivant cette formule par rapport à r ou à z , nous retrouvons formellement la même expression
qu'en 2D plan, pour les termes en et
.
r
z
D'où l'expression :
·
! r
z
+
r
r
r r
z r
= -
!
r
z
+
z
z r z
z z
Résumé pour un scalaire :
·
!
k
=
-
x
i
xi
x
k
k xi
av
i
k
ec et {x, }
y
{r
ou , }
z
· lorsque
est un vecteur ou un tenseur, nous appliquons le même raisonnement à chacune de ses
composantes en coordonnées cartésiennes :
·
j ! j
j k
=
-
x
i
x
i
x
x
k
k i
·
j l, ! j l,
j l, k
=
-
x
i
x
i
x
x
k
k i
avec i, j, k ,l {x, }
y
· pour un vecteur ou un tenseur en axisymétrique, il faut tenir compte des particularités du gradient.
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Nous avons en effet :
r
r
0
r
z
=
r
r er + ze z =
0
0
r
z
z
0
r
r
j
Les dérivations des termes en s'obtiennent comme vu précédemment. Il faut désormais
i
x
appliquer l'expression (2.i) au terme central r :
r
r
r
r
·
r
r
r
r
=
+
r +
r
r
z
z
·
1
r 1
r
r
1 r
r
1
=
+
r
r
+
r -
2 r +
r r
r r
r
r
z
z
1
La dérivée eulérienne de est nulle par construction. Les termes 1, 3 et 5 de la somme sont
r
l'expression (2.i) appliquée à r . Ce qui donne :
·
r r
= !
1
-
2
rr
r
r
r
D'où l'expression
·
r
r r!
r!
0
0
r
z
r
z
r
r
!
0
0
= 0
0
r
r
z
z z!
!z
0
0
r
z r
z
r r r z
r r r z
+
0
+
r r
z r
r z
z z
r
-
0
-
r
0
r 2
z r z z
z r z
+
0
+
z
r r
z r
z z
z z
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Proposition 3 (théorème de Reynolds)
Avec I =
d
,
domaine de R
3 :
( d I
i)
= (! + div) d
d
( d I
ii)
=
d +
.
nd s
d
Proposition 4 :
Avec J =
d s, s
surface de R3 et en notant n la normale extérieure à s :
s
( d J
i)
= [! + divs]ds
d
s
Annexe
3
Commutativité des dérivations lagrangienne et
temporelle
Proposition :
·
!
=
t
t
Preuve :
Pour la transformation F , nous posons classiquement :
( M t) = (
,
,
, F ( M ),t)
Par définition, la dérivée lagrangienne vaut :
!
(M,t) =
Dans le cas où la transformation appliquée est la même à chaque instant, l'instant, t , et le paramètre de la
transformation sont indépendants l'un de l'autre. Les dérivations par rapport à t et peuvent donc commuter.
!
=
=
(
, F ( M ),t)
t
t
t
=
(
, F ( M ),t)
t
·
=
t = t
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Annexe 4 Mise en oeuvre numérique
A4.1 Calcul du gradient de température
A4.1.1 Principe général
Nous avons vu au [§2.2] que l'équation à résoudre est la même que celle qui gouverne le calcul
thermique, au second membre près. Cela nous incite à insérer le calcul de la dérivée de la température
dans le calcul de la température elle-même (opérateur THER_LINEAIRE). Il sera ainsi possible à
chaque instant de réutiliser les matrices assemblées et de traiter tous les chargements du problème
thermique.
A4.1.2 Algorithme global
Plus précisément, les calculs de T et !
T s'imbriquent de la manière suivante :
· Initialisation du champ de températures T , et de son gradient, !
T , avec deux possibilités :
-
mise à zéro
-
reprise d'un champ précédemment calculé
· Boucle en temps :
1)
Calcul des matrices élémentaires, puis assemblage
2)
Calcul du second membre de l'équation de la thermique
3)
Résolution
A ce stade, on connaît T et T
n
n+1 . On peut enchaîner sur le calcul de !
T .
4)
Calcul du second membre du calcul de !
T
-
terme dû à la source thermique et aux conditions aux limites de flux
-
terme dû à la dérivation de l'équation
-
terme dû à la méthode d'implicitation. On utilise le même programme que pour
le calcul de T , en ayant remplacé le champ T par le champ !
T
5)
Résolution du système pour connaître la nouvelle valeur de !
T
6)
Bascule des valeurs de T
et T
n+1
n
! +1 dans T et T
n
n
!
A4.1.3 Conditions aux limites de Dirichlet
Partout où on a des conditions aux limites de Dirichlet sur le problème thermique, on retrouve des
conditions aux limites de Dirichlet pour le calcul de !
T . En ces points, T étant imposée, T est
indépendant des variations du domaine :
T
= 0
Comme nous avons la relation :
T
!T =
+ T.
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nous en déduisons les valeurs des conditions aux limites de Dirichlet :
!T
T.
di =
Cette valeur est donc calculée en chaque noeud de la frontière 1 .
A4.1.4 Détail des différents termes du second membre
Nous allons regrouper sous une même intégrale les termes obligatoires dus à la dérivation de
l'équation, puis examiner chacun des éventuels changements. Le résultat sera écrit sous la forme de la
contribution du noeud i au point de Gauss pg l'élément courant dans le calcul des intégrales par la
formule de Gauss, sachant que toutes ses contributions sont à cumuler.
Terme dû à la dérivation
Il faut calculer la contribution de :
I = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8, avec
C
I
p
*
1 =
T -
! T
t
I
*
2 = - (1 -
-
i
) T
! T
T + - T -
I
*
3 =
- div C
T
p
t
T + - T -
I
*
4 =
-
( Cp).
T
t
I
*
5 =
([ T+
-
i
+ (1- i ) T
) ]. T
I
*
6 =
( T+
-
i
+ (1- i )T )[T ]
I
( .)
(i +T +(1-i) -T) *
7 =
-
.T
I = div
[i +T +(1
8
- i ) -
T ] *
T
· Calcul
de
I1
En régime stationnaire, ce terme n'existe pas. En transitoire, on aura exprimé !
T - , dérivée
lagrangienne de T à l'instant précédent aux points de Gauss. Cp est supposé constant par
élément. D'où la contribution :
C
I
p
=
T -
1, ,
! (pg) ui (pg
i pg
)
t
pg
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· Calcul
de
I2
En régime stationnaire, ce terme n'existe pas. En transitoire, on aura exprimé le gradient de !
T aux
points de Gauss. est supposé constant par élément. D'où la contribution :
ui
I
-
2 i pg = (1
, ,
- i ) (T! )
pg, j
xj
pg
j
· Calcul
de
I3
En régime stationnaire, ce terme n'apparaît pas. Cp est supposé constant par élément.
div, T +
T -
et
auront été calculés aux points de Gauss comme rappelé en annexe 5. D'où la
contribution :
C
I
p div
+
-
3, ,
= -
(pg)(T (pg)-T (pg) ui(pg
i pg
)
t
pg
· Calcul
de
I4
Cp est supposé constant par élément. Son gradient est donc nul par élément. D'où :
I4 i pg 0
, ,
=
· Calcul
de
I5
est supposé constant par élément. + , -
T
T et auront été calculés aux points de Gauss.
On commence par calculer la quantité
+
-
i T
+ (1-i ) T
. Le résultat est un vecteur dont les
composantes au point de Gauss sont :
ui
A (pg) =
[ T+(i)+(1- )T-
(i)] (pg
j
i
i
)
xj
i
Le produit tensoriel contracté A
s'écrit : (A) =
k
Aj jk
j
y
Exemple : (A) =
x +
z
A
Ay
+
x
x
z
A
x
x
x
etc, d'où la formule :
ui
I5, , = (
A ) (pg)
(pg
i pg
k
).
xk
pg
k
En 2D axisymétrique, le produit A
s'écrit :
(
A) =
r
A
+
z
z
A
+ A
r
r r
x
x
(
A) =
r
A
+
z
z
A
+ A
z
r z
z
z
(
A) =
r
A
r
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Ici, la composante A est toujours nulle. Nous retrouvons donc la même expression qu'en
coordonnées cartésiennes 2D.
· Calcul
de
I6
est supposé constant dans l'élément. + , -
T
T et div auront été calculés aux points de
Gauss. Le vecteur
+
-
i T
+ (1-i ) T
sera noté A , comme précédemment. Le produit
tensoriel contracté T * a sur le noeud courant i pour composante :
(
u
T*) = i (pg)
i,k
x
j k
j
j
Ex : (
u
u
y
u
T*) = i (pg) x + i (pg)
+ i (pg) z
i,x
x
x
y
x
z
x
d'où la formule :
I
= A
*
6, ,
(pg)(T
i pg
k
) .
i,k
pg
k
Comme pour l'intégrale précédente en 2D axisymétrique, la composante A est nulle.
L'expression est donc la même en 2D cartésien ou en axisymétrique.
· Calcul
de
I7
est supposé constant dans l'élément. Son gradient y est donc nul. D'où :
I7 i pg 0
, ,
=
· Calcul
de
I8
est supposé constant dans l'élément. + , -
T
T et div auront été calculés aux points de
Gauss. Le vecteur
+
-
i T
+ (1-i ) T
est noté A , comme précédemment. Nous avons alors :
u
I
div
8, ,
=
(pg) A (pg) i (pg
i pg
k
)
x
pg
k
k
Terme source d'énergie
Nous calculons les deux intégrales :
I =
div
+
-
*
1
( si +(1- i)s )T
I
+
-
*
2 = ( s
i
+ (1- i ) s
). T
s+
s-
et
sont connus aux points de Gauss. div a été calculé au point de Gauss. D'où la
contribution :
I
div
+
-
1
(pg)( s (pg) (1
, ,
=
+ - )s (pg) u (pg
i pg
i
i
i
) pg
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La source s étant constante par élément, son gradient est nul. D'où :
I2 i pg 0
, ,
=
Terme des conditions aux limites de flux imposé
I
+
-
*
1 = ( q + (1- )q ) div T
i
i
s
q+
q-
et
sont connus aux points de Gauss. div() se calcule au point de Gauss.
I
+
-
1
[ q (pg) (1
, ,
=
+ - )q (pg)] × div (pg)u (pg
i pg
i
i
s
i
)pg
Remarques :
Le calcul des j / xk se fait aux points de Gauss de l'élément de bord, par exemple sur un
segment pour un calcul 2D. Or sur ce segment, on ne connaît que les dérivées curvilignes des
fonctions de forme, c'est-à-dire les dérivées tangentielles. Il faut donc calculer au préalable les
quantités j / xk en se basant sur les éléments de volume et cela aux noeuds des
éléments de bord. Ensuite, on évalue leurs valeurs aux points de Gauss de l'élément de bord
avec les fonctions de cet élément de bord.
L'expression est la même en 2D axisymétrique qu'en cartésien car le terme complémentaire
r
de
,
, se trouve multiplié par la composante orthoradiale de la normale n . Or cette
r
composante est nulle.
I
+
-
*
2 = ( q
+ (1- ) q
).T
i
i
2
q est supposé constant par élément. Son gradient y est donc nul. D'où :
I2 i pg 0
, ,
=
Terme des conditions aux limites d'échange convectif
Si h et Text sont indépendants du temps, nous calculons l'expression suivante :
I = -
(1- )h T-!T* + h
(T
- T + - (1- )T -
)div T*
i
ext
i
i
s
3
3
Ce qui donne :
I
-
i, pg =
([1- i)h T! (pg)] +
(hT - T+
-
ext
i
(pg)-(1- i)T (pg) × divs (pg)ui(pg)pg
Si h ou Text sont indépendants du temps, il faut alors calculer :
I = - (1-
- - *
i
)h T! T +
3
+
*
3
[ h+
+
+
-
-
-
i
(T -T
ext
)+(1- i)h (T -T
ext
)]div T
s
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Ce qui donne :
I
-
-
i, pg =
([1- i)h T (pg)]
+ [ h+ +
+
-
-
-
i
(T -T
ext
(pg) + (1- i)h (T - T
ext
(pg) ] ×
div (
pg)ui (pg)pg
Les mêmes remarques qu'au paragraphe précédent s'appliquent au calcul des quantités j / xk .
Les deux intégrales faisant intervenir h et Text sont nulles, dans la mesure où h et Text sont
supposés constants par élément.
A4.2 Calcul du gradient des déplacements et des contraintes
A4.2.1 Principe général
Comme pour la thermique, le calcul du gradient de déplacement est inséré dans le calcul du
déplacement, c'est-à-dire l'opérateur MECA_STATIQUE.
Ensuite le calcul de ! et se fera en post-traitement, dans les commandes CALC_ELEM et
CALC_NO.
A4.2.2 Conditions aux limites de Dirichlet et de liaison uniforme
Rien n'est à faire pour ces deux types de conditions aux limites. Leur traitement est assuré par le
fonctionnement standard du calcul de mécanique statique linéaire.
A4.2.3 Détail des différents termes du second membre
Nous allons regrouper sous une même intégrale les termes obligatoires dûs à la dérivation de
l'équation, puis examiner chacun des éventuels chargements. Le résultat sera écrit sous la forme de la
contribution du noeud i et du point de Gauss pg pour l'élément courant.
Terme dû à la dérivation
Il faut calculer la contribution de :
1
I =
FT u,
FT u,
:
2 [ [
( )+ ( )t ] s
v
- k T
s
! Id :
v
(u)
: F ( s
T v,)
-
[ (u)
s
: v] div
où sv est le gradient symétrisé de v soit 1 + t
2 ( v
v ) .
Pour mettre en forme cette écriture symbolique, nous allons partir de la forme analytique décomposée
et écrire les dérivations sur les termes scalaires.
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Fascicule R4.01 : Analyse de sensibilité
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Version
5.0
Titre :
Sensibilité des champs thermo-mécaniques à une variation du domaine
Date :
19/01/00
Auteur(s) :
G. NICOLAS
Clé :
R4.03.01-A
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On se souviendra (cf. [§3.2.1]) que cette intégrale est issue de la dérivation de :
(u) : sv
et que nous l'avons décomposée en :
·
[
(u) : sv] + (u) :
sv +
!(u) : s
div
v
Nous commençons par expliciter la première intégrale car cela va permettre de mettre en place les
différents termes selon le mode : plan ou axisymétrique.
· En déformations planes :
v
vy
v
v
: sv =
x
x
y
xx
+ yy
+ xy
+
x
y
y
x
La divergence du champ est une donnée, calculée aux points de Gauss.
Le tenseur des contraintes (u) est connu aux points de Gauss. Le tenseur v est connu.
D'où les contributions :
v
v
I
i
i
1 i,, pg,x = - xx ( pg)
+ xy (pg)
div
()(pg).
x
y
pg
v
v
I
i
i
1 i,, pg,y = - xy ( pg)
+ yy (pg)
div
()(pg).
x
y
pg
Le terme de la deuxième intégrale se décompose en :
·
·
·
v
v
v
x
y
v
x
y
xx
+
yy
+
+
x
xy
y
y
x
Il suffit alors d'utiliser les formules démontrées en annexe 2 pour la fonction FT et d'établir
l'expression suivante, sachant que !v = !v
x
y = 0 :
vx x v
-
x
y
xx
+
x x
y x
vy
v
+
x
y
y
yy
+
x y
y y
v
v
v
x x
v
x
y
y
+
x
y
y
xy
+
+
+
x y
y y
x x
y x
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En répartissant sur les fonctions de forme, nous avons :
v
y
y v
I
x
x
i
i
2 i,,pg,x = - xx
+
x
xy
y
+
+
x
xx
x
xy
x
y
pg
v
y
y v
I
x
x
i
i
2 i,,pg,y = - yy
+
y
xy
x
+
+
x
yy
y
xy
x
y
pg
La troisième intégrale vaut :
v
v
v
x
y
v
!
x
y
xx
+ !yy
+ !
+
x
xy
y
y
x
Dans le cas élastique isotrope, nous avons :
u
u
x
y
xx = 1
+ 2
+ k(T - ref
T )
x
y
u
u
x
y
yy = 2
+ 1
+ k(T - ref
T )
x
y
u
u
x
y
zz = 2
+ 2
+ k(T - ref
T )
x
y
1
u
u
x
y
xy =
3
+
2
y
x
E(1- )
avec
1 = (1+)(1- 2)
E
2 = (1+)(1- 2)
E
3 = 1+
Détaillons le calcul de !
xx :
·
·
uy
uy
!
= 1
+ 2
+ k !
xx
T
y
y
!uy
!uy
=
1
+
2
+ k !
T
x
y
u
u
u
x x
u
x
y
y
x
y
y
- 1
+
- 2
+
x x
y x
x y
y y
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Comme il a été vu au [§3.2], les termes en !u et !u
x
y sont au premier membre. La même
technique de dérivation appliquée à yy ,zz et xy incite à poser la notation LAGUGT pour
1
t
l'expression
FT u, + FT u,
2 [
(
)
(
) ]
ux x u
u
x
y
y
u
LAGUG (
T )
1 =
x
y
y
1
+
+ 2
+
x x
y x
x y
y y
ux x u
u
x
y
y
u
LAGUG (
T 2) =
x
y
y
2
+
+ 1
+
x x
y x
x y
y y
u
u
x x
u
u
LAGUG (
T )
3 =
x
y
y
x
y
y
2
+
+ 2
+
x x
y x
x
y
y y
1
LAGUG (
T 4)
u
u
u
x
x
ux
y
y
x
y
y
=
+
+
+
2
3
x
y
y
y
x
x
y
x
ce qui donne :
!u
u
x
!
!
y
= 1
+ 2
- LAGU
xx
(
GT )
1 + !
kT
x
y
!u
u
x
!
!
y
= 2
+ 1
- LAGU
yy
(
GT 2) + !
kT
x
y
!u
u
x
!
!
y
= 2
+ 2
- LAGU
zz
(
GT )
3 + !
kT
x
y
1
!u
u
x
!
!
y
= 3
+
- LAGU
xy
(
GT 4)
2
y
x
La contribution au second membre est donc :
v
v
I
i
i
3 i,, pg,x = [LAGUG
(
T )
1 - kT!]
+ LAGUG (
T 4)
x
y pg
v
v
I
i
i
3 i,, pg,y = LAGUG
(
T 4)
+ [LAGUG (
T 2) - kT!]
x
y pg
· En 2D axisymétrique
L'expression de départ est :
v
v
v
v
v
s
r
z
r
r
z
: v = rr
+ zz
+
+ rz
+
r
z
r
z
r
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Nous retrouvons donc la même écriture formelle qu'en 2D plan, augmentée d'un terme
complémentaire :
v
v
v
I
i
i
i
1 i,, pg r
, = - rr ( pg)
+ rz(pg)
+ (pg)
div()(pg).
r
z
r
pg
v
v
I
i
i
1 i,, pg,z = - rz ( pg)
+ zz(pg)
div()(pg).
r
z
pg
La deuxième intégrale se décompose en :
r
v!
v!z
r
v!
vr! v
!z
rr
zz
r +
rz
z +
r +
+
z r
En annexe 2, nous avons établi les expressions de chacune des dérivées lagrangiennes. Il suffit
de les reporter ici, en les triant par type de composante :
v
v
I
r
r
i
z
z
i
2 i,,pg r
, = - rr
+
r
rz
z
+
+
r
rr
r
rz
z
z
r
+
v
Poids
r 2 r
v
v
I
r
r
i
z
z
i
2 i,,pg,z = - zz
+
z
rz
z
+
+
r
zz
z
rz
r z
pg
La troisième intégrale vaut :
r
v
vz
vr
vr v
!
z
rr
+ !zz
+ !
+ !
+
r
rz
z
r
z r
Dans le cas élastique isotrope, nous avons :
ur
u
u
z
r
rr = 1
+ 2
+ 2
+ k T - T
r
z
r
( ref )
ur
u
u
z
r
zz = 2
+ 1
+ 2
+ k T - T
r
z
r
( ref )
ur
u
u
z
r
= 2
+ 2
+ 1
+ k T - T
r
z
r
( ref )
1
r
u
u
z
rz =
3
+
2
z r
où 1, 2 , 3 valent comme précédemment.
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Le détail du calcul de !
rr donne :
·
·
·
ur
u
u
!
r
r
= 1
+ 2
+ 2
+ !
rr
kT
r
z
r
!ur
!uz
!ur
= 1
2
!
kT
r +
z + 2 r +
ur r r
u z
uz r uz
u
z
r
-
r
1
2
+
+
+
r r
z r -
r z z z
r 2
En reprenant l'équivalent axisymétrique de LAGUGT :
ur r ur z
uz r uz
u
z
rr
LAGUG (
T )
1 = 1
+
2
2
r r
z r +
+
+
r z z z
r
ur r ur
u
z
rr
uz r uz z
LAGUG (
T 2) = 2
+
+
2
1
r r
z r
r
+
+
r z
z z
ur r ur
u
u
u
LAGUG (
T )
3 =
z
z
r
z
z
r r
2
+
+
+
r r
z r
r
z
z
z
+
1 r2
LAGUG (
1
T 4)
u
r r
u
r z
u
z r
u
z z
=
3
+
+
+
2
r z
z
z
r
r
z
r
nous avons la même expression symbolique :
!ur
!uz
!u
!
r
= 1
+ 2
+ 2
- LAGUG
rr
(
T )
1 + !
kT
r
z
r
!ur
!uz
!u
!
r
= 2
+ 1
+ 2
- LAGUG
zz
(
T 2) + !
kT
r
z
r
!ur
!uz
!u
!
r
= 2
+ 2
+ 1
- LAGUG
(
T )
3 + !
kT
r
z
r
1
!ur !u
!
z
= 3
+
LAGUG
rz
(
T 4)
2
z
r -
La contribution au second membre est donc :
v
v
I
i
i
3 i,, pg r
, = [LAGUG (
T )
1 - kT!]
+ [LAGUG (
T )
3 - kT!]
r
r
v
+
LAGUGT(4) i
z
pg
v
v
I
i
i
3 i,, pg,z = LAGUG (
T 4)
+ [LAGUG (
T 2) - kT!]
r
z
pg
Terme du chargement en pression
I1 = [p.]v + pdivs v
3
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Le chargement en pression est supposé connu, donc le tenseur qui exprime son gradient est calculable
facilement :
p
p
x
x
x
y
p =
p
p
y
y
x y
p
p
x
x
x
+
y
x
y
p. =
p
p
y
y
x
+
y
x
y
[
p
p
x
x
p
p
y
y
p
. ]v =
x
+
y
v x +
x
+
y
v
x
y
x
y
y
Le calcul du terme divs se fait comme dans le cas de la thermique. D'où les contributions :
p
p
I
x
x
1 i,, pg,x =
(pg) x
(pg) +
(pg) y
(pg) + px(pg)divs (
pg)]ui
x
y
pg
p
p
I
y
y
1 i,, pg,y =
(pg) x
(pg) +
(pg) y
(pg) + py(pg)divs (
pg) ui
x
y
] pg
En 2D axisymétrique, le gradient de P comporte un terme complémentaire en Pr / r . Cette
composante serait à multiplier par la composante orthoradiale du champ . Celle-là étant nulle, il n'y a
pas de contribution particulière et nous utilisons donc formellement la même expression qu'en 2D
cartésien.
A4.2.4 Passage au gradient des contraintes
Connaissant la dérivée lagrangienne du champ de déplacement u et de la température, nous
calculons la dérivée lagrangienne du tenseur des contraintes par (cf. [§4]).
1
1
! = u
ut
u
u
t
kT Id
2 [! + ! ] -
2 (
(
FT ,) + F (
T ,) ) + !
Les expressions analytiques des différentes composantes du tenseur !
ont été vues au paragraphe
précédent. Il suffit de les appliquer en post-traitement.
A4.2.5 Calcul de la dérivée eulérienne des contraintes
La dernière étape du traitement est la conversion lagrangien/eulérien pour la dérivée du tenseur des
contraintes. Il suffit d'appliquer la formule :
= ! -
Comme le vecteur n'a pas de composante orthoradiale, l'expression du produit
est la même
en 2D plan ou 2D axisymétrique. Nous avons ainsi :
i,j
i, j
i
! , j
x
y
=
-
+
x
y
i, j
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31/32
6 Bibliographie
[1]
P. MIALON : "Calcul de la dérivée d'une grandeur par rapport à un fond de fissure par la
méthode théta", EDF - Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches, Série C, n_3, 1998,
pp. 1-28.
[2]
I. EYMARD, A.M. DONORE : "Etude déterministe 2D axisymétrique de la cuve pour couplage
mécano-fiabiliste en thermo-élasticité", Rapport EDF HI-74/98/001/0, 26 février 1998
[3]
V. VENTURINI : "Etude probabiliste de la cuve par un couplage mécano-fiabiliste", Fiche
projet P1-97-04
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Page laissée intentionnellement blanche.
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