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Version
5.0
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Contact unilatéral par des conditions cinématiques
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17/04/01
Auteur(s) :
N. TARDIEU, I. VAUTIER
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R5.03.50-B
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document R5.03.50

Contact unilatéral par des conditions cinématiques
Résumé :
On décrit dans ce document la méthode numérique utilisée par défaut pour traiter les problèmes de contact
unilatéral en grands déplacements dans l'opérateur STAT_NON_LINE. On utilise des conditions cinématiques de
non interpénétration qui sont dualisées. La formulation utilisée est de type maître esclave (noeud-facette ou
nodale) avec réactualisation de la géométrie au cours des itérations, et la résolution du problème de contact est
effectuée par une méthode de contraintes actives au sein de chaque itération de la méthode de Newton globale
de l'opérateur STAT_NON_LINE.
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1 Introduction
Le mot-clé CONTACT de la commande AFFE_CHAR_MECA permet de définir des conditions de contact
unilatéral qui sont traitées (dans la commande STAT_NON_LINE) en géométrie initiale ou réactualisée,
dans une formulation nodale ou noeud-facette, mieux adaptée aux maillages incompatibles et au
glissement des surfaces l'une par rapport à l'autre. Il se substituera à terme au mot-clé
LIAISON_UNIL_NO qui n'est valide que pour des maillages compatibles subissant de petits
glissements.
On présente ici un algorithme basé sur la méthode des contraintes actives [bib2]. C'est celui qui est
utilisé par défaut et qui correspond à METHODE :'CONTRAINTE' du mot clé CONTACT. Un autre
algorithme est disponible sous METHODE :'LAGRANGIEN'. Il est similaire au précédent au détail près
que les liaisons n'y sont pas activées une par une (comme nous allons le voir), mais par paquet. Pour
plus de précisions, on pourra se reporter au document [R5.03.51].
1.1 Généralités
Deux solides sont dits en contact lorsqu'ils se "touchent" par une partie de leurs frontières. Traiter le
contact unilatéral consiste à empêcher que l'un des solides ne "traverse" l'autre : c'est le principe de
non interpénétration de la matière, qui se traduit par des relations d'inégalité entre les variables
cinématiques (déplacements). Ces relations sont écrites sous une forme discrétisée : il est donc
nécessaire de repérer les entités entre lesquelles on les écrit (c'est ce qu'on appelle l'appariement).
Dans le Code_Aster, l'utilisation du mot-clé CONTACT permet d'apparier un noeud à un autre noeud ou
à une maille : on a alors un couple potentiel de contact, c'est-à-dire un couple pour lequel on va écrire
des relations de non pénétration. Si le contact a réellement lieu (les deux noeuds se retrouvent à la
même position, ou le noeud se retrouve sur la maille), on dira que les deux entités sont associées au
sein d'un couple effectif de contact.
Remarque :
L'expression "faire un calcul avec contact" veut dire que l'on écrit de telles relations de non
pénétration, mais n'implique pas qu'il y ait contact effectif pour le chargement considéré.

Il y a quatre ingrédients dans un algorithme de traitement du contact unilatéral :
· le repérage : définition des surfaces potentielles de contact (cf. [§1.2]),
· l'appariement : détermination des couples potentiels de contact (cf. [§2]),
· la relation de non pénétration : direction d'écriture et coefficients (cf. [§3]) ; la relation est écrite
entre le noeud esclave et un ou plusieurs noeuds maîtres, selon la formulation utilisée,
· la résolution : on utilise ici une méthode de contraintes actives (cf. [§4]) ; c'est un algorithme
itératif qui détermine, pas à pas, la liste des couples effectivement en contact en examinant
les conditions géométriques de contact et le signe des multiplicateurs de Lagrange associés,
par dualité, à ces conditions.
1.2
Zones et surfaces de contact
On considère les 3 solides de la figure [Figure 1.2-a], représentés en 2D. On a défini 3 zones possibles
d'interpénétration entre les solides : une zone entre le solide A et le solide B, et deux zones entre le
solide B et le solide C. L'utilisateur, qui définit ces zones dans le fichier de commande, suppose ici
qu'en dehors de ces zones, il n'y a pas de risque d'interpénétration, compte tenu du chargement.
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Solide A
surface 1
zone 3
surface 2
surface 2
zone 1
Solide B
surface 1
Solide C
surface 1
surface 2
zone 2
Figure 1.2-Erreur! Argument de commutateur inconnu. : Définition de 3 zones de contact
Chaque zone de contact est définie dans l'opérateur AFFE_CHAR_MECA par une occurence du mot-clé
CONTACT. Une zone se compose par définition de deux surfaces dont on cherche à empêcher
l'interpénétration : la première est définie sous le mot-clé GROUP_MA_1 (ou MAILLE_1), la seconde
sous le mot-clé GROUP_MA_2 (ou MAILLE_2), c'est-à-dire par la donnée des mailles de bord qui les
constituent. Ces mailles sont des SEG2 ou des SEG3 pour un maillage 2D, des TRIA3, TRIA6,
QUAD4, QUAD8 ou QUAD9 pour un maillage 3D.
Remarque :
Les mailles de bord nécessaires au contact ne seront pas créées par le code à partir des éléments
volumiques et doivent donc déjà exister dans le fichier de maillage.

Il est impératif que les mailles de contact soient définies de façon à ce que la normale soit sortante : la
connectivité des segments doit être définie dans l'ordre AB, celle des triangles dans l'ordre ABC, et
celle des quadrangles dans l'ordre ABCD, comme indiqué sur la figure [Figure 1.2-b]. Pour une
meilleure lecture du dessin, on a ici un peu écarté la maille de bord servant au contact de la "face" de
l'élément volumique 2D ou 3D sur lequel elle s'appuie.
Cas particulier : contact pour un câble ou une poutre en 3D
Il est possible en 3D de traiter le contact entre une maille SEG2 ou SEG3 (modélisée en câble ou
poutre) et une surface. Dans ce cas, il faut impérativement utiliser la méthode d'appariement
'MAIT_ESCL' et donner les segments sous le mot-clé GROUP_MA_2 (mailles esclaves). La
section de la poutre peut être alors prise en compte par l'utilisation du mot-clé DIST_2 (cf [§3.3]).

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C
n
A
D
n
n
t
A
B
A
C
B
B
B
B
A
A
C
A
B
t
n
n
n
C
D
2D
3D
Figure 1.2-Erreur! Argument de commutateur inconnu. : Numérotation des mailles de contact pour avoir
une normale sortante
Remarque :
On conseille d'utiliser des zones de contact disjointes, c'est-à-dire n'ayant aucun noeud en
commun.

Le chapitre 2 détaille la méthode d'appariement pour les formulations noeud-facette et nodale :
l'établissement des couples potentiels de contact se fait zone par zone. Dans le chapitre 3, on donne la
forme des relations de non pénétration (inéquations). L'imposition de ces conditions de non pénétration
est réalisée par une méthode itérative, appelée méthode des contraintes actives, décrite dans le
chapitre 4 : la résolution du problème obtenu est globale, c'est-à-dire qu'elle prend en compte les
couples de toutes les zones simultanément.
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2
Etablissement des couples de contact
2.1 Principe
Les surfaces de contact potentielles ont été définies dans l'opérateur AFFE_CHAR_MECA comme
précisé dans le [§1.2]. Le traitement effectif du contact se fait, lui, dans l'opérateur STAT_NON_LINE.
La résolution d'un problème non linéaire dans l'opérateur STAT_NON_LINE est décrite en détail dans le
document [R5.03.01]. Nous en rappelons ici brièvement les phases principales, pour un calcul
comportant deux pas de temps :
1er pas de charge
(1/a)
prédiction
(1/b1)
itération de Newton n°1
(1/b2)
itération de Newton n°2
.............................................................
(1/bm)
itération de Newton n°m
(1/c)
stockage des résultats à convergence
2nd pas de charge
(2/a)
prédiction
(2/b1)
itération de Newton n°1
(2/b2)
itération de Newton n°2
.............................................................
(2/bp)
itération de Newton n°p
(2/c)
stockage des résultats à convergence
Le contact unilatéral est traité après les phases (1/a), (1/b1), (1/b2), ..., (1/bm), (2/a), (2/b1), (2/b2), ...,
(2/bp) i.e. après la phase de prédiction et après chaque itération de Newton de STAT_NON_LINE. C'est
là la différence essentielle entre cet algorithme et l'algorithme de contact frottement (voir
documentation [R5.03.51]) où le traitement du contact n'est effectif qu'à la fin du pas de charge et non
au cours des itérations.
On appelle "passe de contact" chacune des occurrences de traitement du contact.
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2.1.1 Formulation
noeud-facette
Cette formulation, choisie par le mot-clé APPARIEMENT: 'MAIT_ESCL', n'accorde pas un rôle
équivalent aux deux surfaces : la surface décrite sous GROUP_MA_1 ou MAILLE_1 (S1) est appelée la
surface maître et l'autre (S2) la surface esclave. Les conditions de non interpénétration expriment que
les noeuds de la surface esclave (des étoiles sur la figure [fig 2.1.1-a]) ne pénètrent pas dans les
mailles de la surface maître : on peut voir que, par contre, il est possible que les noeuds maîtres (des
ronds) pénètrent dans la surface esclave.
surface esclave S2
*
*
*
*
surface maître S1
Figure 2.1.1-a : Surface maître et surface esclave
La relation de non interpénétration sera écrite entre un noeud et une maille : on cherche d'abord le
noeud de la surface maître le plus proche du noeud esclave (cf. [§2.2]), puis on examine (cf. [§2.3])
toutes les mailles maîtres contenant ce noeud (la distance obtenue par projection du noeud esclave sur
chaque maille maître permet de choisir la maille la plus proche). On utilise la normale à la maille maître
pour écrire la relation de non pénétration.
Remarques :
Les noeuds esclaves sont par défaut tous les noeuds appartenant aux mailles de contact
définissant la surface esclave. Les mots-clés SANS_NO et SANS_GROUP_NO permettent de donner,
zone par zone, la liste des noeuds qui doivent être enlevés de la liste des noeuds esclaves (mais ils
pourront être utilisés comme noeuds maîtres). Cela permet d'enlever les noeuds soumis à des
conditions aux limites de Dirichlet incompatibles avec le contact.

Pour symétriser le rôle des deux surfaces, il serait intéressant d'utiliser une fonctionnalité du type
APPARIEMENT: 'MAIT_ESCL_SYME' qui échangerait les rôles de maître et d'esclave à chaque
passe de traitement du contact. C'est un développement envisagé en version 6.

2.1.2 Formulation
nodale
La formulation nodale (APPARIEMENT: 'NODAL') impose que le déplacement relatif entre un noeud
esclave et le noeud maître qui lui est apparié, projeté sur la direction de la normale au noeud esclave,
soit inférieur au jeu initial dans cette direction. L'utilisation de cette formulation est déconseillée car elle
nécessite d'avoir des maillages compatibles (noeuds "en face") qui restent compatibles au cours de la
déformation (hypothèse de petits glissements), et pour lesquels les normales maître et esclave sont à
peu près colinéaires. Sans ces hypothèses, l'approximation faite devient hasardeuse (tout comme
l'utilisation de LIAISON_UNIL_NO) et il est préférable d'utiliser la formulation noeud-facette.
On choisit de prendre comme surface esclave celle qui comporte le moins de noeuds (à nombre égal,
c'est celle décrite sous GROUP_MA_2 ou MAILLE_2), afin de maximiser les chances d'avoir un
appariement injectif (un noeud maître n'est apparié qu'à un seul noeud esclave). Le noeud maître
apparié à chaque noeud esclave est déterminé par un calcul de plus proche voisin expliqué dans le
[§2.2]. On utilise la normale au noeud maître pour écrire la relation de non interpénétration (cf. [§3]).
Remarque :
Même dans le cas de l'appariement nodal, les surfaces de contact sont définies en termes de
mailles (cf. [§1.2]). Les noeuds esclaves et maîtres sont alors les noeuds des mailles ainsi définies.

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2.2
Recherche du plus proche voisin d'un noeud
La méthode utilisée pour rechercher le noeud maître le plus proche d'un noeud esclave est très simple :
il suffit de calculer la distance (en géométrie courante, cf. [§2.4]) entre le noeud esclave et les noeuds
maîtres candidats. La seule variante utilisée consiste à pouvoir restreindre l'ensemble des noeuds
maîtres a priori candidats.
Le mot-clé RECHERCHE: 'NOEUD_BOUCLE' déclenche l'examen de tous les noeuds maîtres
appartenant à la même zone de contact que le noeud esclave.
On stocke à chaque passe de contact le noeud maître qui était le plus proche de chaque noeud esclave
(on l'appelle l'ancien "voisin"). Si le glissement relatif des deux surfaces est petit (une maille ou deux),
on peut choisir de n'examiner que les noeuds maîtres connectés à cet ancien noeud par des mailles de
contact. Cette méthode est activée par RECHERCHE: 'NOEUD_VOISIN'. On choisit parmi ces noeuds
candidats le plus proche comme "nouveau voisin", et on examinera (cf. [§2.3]) les mailles contenant ce
nouveau voisin. Ainsi, les mailles potentiellement susceptibles d'être appariées au noeud esclave (rond
noir) dans la nouvelle configuration sont celles ayant des rayures sur la figure [Figure 2.2-a].
* * *
*
*
* * *
ancien noeud maître le plus proche (ancien "vo
mailles contenant l'ancien "voisin"
* noeuds candidats pour être le nouveau "voisin
mailles susceptibles d'être appariées au noeud
Figure 2.2-a : Territoire couvert par RECHERCHE: 'NOEUD_VOISIN'
Remarque :
Si la discrétisation en temps est suffisamment fine (ce qui est le cas en général hors les problèmes
d'élasticité), il est raisonnable de penser que le glissement sera petit d'un pas de temps à l'autre.
On peut donc a minima utiliser l'option RECHERCHE: 'NOEUD_VOISIN'.

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2.3
Recherche de la maille la plus proche (formulation noeud-facette)
Connaissant le noeud maître le plus proche du noeud esclave, on examine successivement les mailles
maîtres contenant ce noeud. La méthode de sélection est simple : on détermine la projection M du
noeud esclave P sur la maille maître (suivant la normale à la maille maître), on la ramène sur le bord de
la maille si elle se trouve en dehors, et on calcule le produit scalaire entre le vecteur PM et la normale à
la maille. La maille réalisant la plus petite valeur de ce produit scalaire (avant correction en ramenant
sur le bord) est choisie pour être appariée au noeud esclave.
2.3.1 Projection sur un segment (contact en 2D)
On considère la situation décrite sur la figure [Figure 2.3.1-a]. La surface maître se trouve "en-dessous"
de la surface esclave, donc le sens de parcours de la surface maître doit être de A vers B (la maille
de bord maître est définie comme étant AB , et non BA ) : ainsi la normale n à la maille est
sortante
, c'est-à-dire pointe vers la surface esclave (cf. [§1.2]). Par contre, d'un point de vue
algorithmique, on utilise N =-n, le vecteur opposé à la normale sortante de la maille.
On cherche la coordonnée paramétrique du point M , projection du noeud esclave P selon la
normale entrante N à la maille AB , définie par :
AM = AB
MP

= N
(AB,N) =

0
où ( , ) dénote le produit scalaire.
esclave
P
P'
N
N
maître
M' B M
A
Figure 2.3.1-a : Projection sur un segment
(AP, AB)
On a : =
.
(AB, AB)
Le point M appartient à la maille AB si 0
[ ;1]. Si > 1 (cas de P' projeté en M'), on ramène
la projection en A en posant = 1 ; si < 0, on ramène la projection en B en posant = 0 . On
évalue ensuite le produit scalaire de PM avec la normale N entrante à la maille (i.e. opposée à la
normale sortante de la maille maître), dont les composantes sont :
yB - yA
-

N =
L
,
2
2
avec L
longueur AB
de : L = (xB - xA ) + (yB - yA )
x
.
B -

xA

L

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La valeur de (PM, N) est appelée le jeu entre le noeud esclave et la maille maître. La direction N est
retenue comme direction d'écriture des relations de non pénétration (cf. [§3]).
Remarques :
On aurait pu définir la direction d'écriture des relations de non pénétration par le vecteur PM , et
donc le jeu par la norme de
PM . Cependant, le vecteur PM tend vers le vecteur nul (direction
indéterminée) lorsque les points se rapprochent (lorsqu'on tend vers le contact effectif) et devient
très sensible aux erreurs d'arrondi : à l'extrême, lorsque P
= M , on peut trouver PM = (10­15 ; 0)
(pour une maille maître horizontale), qui est une direction horizontale, parfaitement erronée pour
l'écriture des relations de non pénétration ici. C'est pour cette raison que l'on choisit d'utiliser la
normale maître qui, elle, ne varie pas du fait du seul rapprochement des solides.

Le fait de privilégier une surface par rapport à une autre peut engendrer des erreurs de
modélisation (perte de symétrie) que l'on peut minimiser en raffinant le maillage. Une autre solution
consisterait à utiliser la moyenne entre les normales maître et esclave. Cette approche est à
l'étude en version 6.

2.3.2 Projection sur un triangle (contact en 3D)
P esclave
C
N
*
A
M
maître
B
Figure 2.3.2-a : Projection sur un triangle
On cherche les coordonnées paramétriques 1 et 2 du point M , projection du noeud esclave P
selon la normale N entrante à la maille triangulaire ABC (on utilise la normale à la maille, mais dans
le sens esclave vers maître), définies par :
AM = AB
1
+ AC

2
PM

N = 0
soit :

((AP N), A )
C

1 = -

(AB
)
AC
- AB AC

avec N =
((AP N), AB)

(normale unitaire entrante).


AB AC
2 =

(AB

)
AC
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Si l'on pose 3 = 1- 1 - 2 , les valeurs des trois coordonnées paramétriques 1,2,3 permettent
de trouver si le point M appartient ou non au triangle ABC , comme l'illustre la figure [Figure 2.3.2-b].
1 <0
3 <0
6
C
1
1 <0
3
0
3 <0
1 >0
2> 0
3> 0
A
1<0
2 <0
5
2 <0
B
2
2 <0
3 <0 4
Figure 2.3.2-b : Zones possibles pour le point M , prolongement
du noeud P selon la direction de la normale à la maille
Si le point M se trouve dans les secteurs 1, 2, ou 3, on le ramène sur l'arête correspondante
(AC, AB ou BC). S'il se trouve dans les secteurs 4, 5 ou 6, on le ramène sur le point correspondant
(point B, A ou C ). Cela revient à annuler les coordonnées paramétriques qui sont négatives.
Prenons l'exemple du secteur 1 où 1 < 0 . On ramène le point M au point M ' , défini par :
AM'
'
= AC

2

AM = AB
1
+ AC
2
(
AM',MM') = 0


AB AC
On trouve : '
(
,
)
2 = 2 + 1
.
(
,
AC
)
AC
AB AC
Dans le secteur 2, un raisonnement identique donne : '
(
,
)
1 = 1 + 2
et AM'
'
= AB
(AB, AB)
1
.
-
'
1(AB,
)
BC + 1
( - )(
,
AC
)
BC
Dans le secteur 3, on a AM'
'
AB (
'
=
2
1
+ 1- )AC
1
avec 1 =
.
(
,
BC
)
BC
Le jeu est calculé comme le produit scalaire entre le vecteur PM et la normale N entrante à la maille
maître.
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2.3.3 Projection sur un quadrangle (contact en 3D)
Pour les quadrangles, la détermination des coordonnées paramétriques dans l'élément courant
nécessiterait le retour à l'élément de référence, et donc la résolution d'un problème non linéaire, qui est
coûteux.
On a choisi dans un premier temps une solution approchée, qui est de couper (virtuellement) le
quadrangle en deux triangles, selon les deux manières possibles (cf. [Figure 2.3.3-a]), de calculer la
distance du noeud esclave à chacun des quatre triangles ainsi définis (cf. [§2.3.2]), et de choisir le
triangle réalisant la plus petite distance. La relation de non interpénétration est alors écrite entre le
noeud esclave et les 3 sommets maîtres du triangle choisi. Dans le cas où le quadrangle reste plan, la
projection sur le triangle choisi est équivalente à la projection sur le quadrangle ; dans le cas plus
général où le quadrangle est gauche, cette opération est un moyen de prendre en compte, d'une
certaine façon, la courbure.
Figure 2.3.3-a : Découpage d'un quadrangle linéaire
2.3.4 Cas des éléments quadratiques
La projection sur les éléments quadratiques est faite pour l'instant en se ramenant au cas linéaire
(triangle à trois noeuds et quadrangle à quatre noeuds). Par contre, l'écriture de la relation de non
interpénétration fait intervenir tous les noeuds des éléments maîtres avec les fonctions de forme
associées (cf. [§3.2]). On considère donc que la contribution des noeuds milieux au résultat doit être
prise en compte même si leur contribution à la déformation géométrique de l'élément est négligée.
Remarque :
Pour les quadrangles, on n'utilise que les fonctions de forme relatives aux trois sommets du
triangle choisi, et cela même pour les QUAD8 et QUAD9.

Mise en garde importante :
Le contact en 3D pour des éléments quadratiques donne, pour des raisons théoriques exposées
dans le CR MMN 97/023, des résultats qui peuvent surprendre l'utilisateur. Nous ne
recommandons pas l'utilisation de tels éléments ; si tel est le cas, cependant, nous conseillons de
raffiner "suffisamment" le maillage sur les bords des structures en contact.

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2.4 Réactualisation
géométrique
Dans le cadre de la modélisation du contact en grands déplacements, l'évolution de la géométrie des
surfaces joue un rôle fondamental. En effet, c'est elle qui conditionne le calcul des normales aux faces
potentiellement en contact et donc qui conditionne l'appariement réalisé.
La réactualisation géométrique est définie par le mot clé REAC_GEOM_INTE du mot clé facteur
CONTACT. Son fonctionnement est le suivant :
REAC_GEOM_INTE=0
Il n'y a pas de réactualisation géométrique. Tout le calcul s'effectue sur
la configuration initiale avec l'appariement initial.
REAC_GEOM_INTE=1
Une réactualisation géométrique est effectuée à convergence de
chaque pas de charge i.e. juste avant les phases (1/c), (2/c),...
présentées au [§2.1]. Cette réactualisation s'accompagne d'un nouvel
appariement.
REAC_GEOM_INTE=2
On se place à un pas de charge donné. A convergence de ce dernier,
une réactualisation géométrique puis un nouvel appariement sont
effectués. On ne passe pas au pas de charge suivant mais on reprend
le même pas de charge jusqu'à convergence. Une réactualisation
géométrique puis un nouvel appariement sont effectués et on passe au
pas de charge suivant.
REAC_GEOM_INTE=n
C'est une généralisation du cas précédent. Au sein du même pas de
(n>2)
charge, on effectue n fois le cycle itération jusqu'à convergence,
réactualisation géométrique, appariement
.
On peut tout d'abord remarquer que l'appariement est soumis à la phase de réactualisation
géométrique. En outre, le fait de réaliser plusieurs fois au sein du même pas de charge le cycle
itération jusqu'à convergence, réactualisation géométrique, appariement permet de suivre l'évolution de
la géométrie de la structure. Il faut en effet souligner que cette évolution géométrique est une des
composantes non linéaires d'un calcul de contact en grands déplacements.
Dans la pratique, on peut conseiller les valeurs suivantes pour le mot clé REAC_GEOM_INTE :
· pour un calcul en petits déplacements, la valeur naturelle est 0. On travaille sur la
configuration initiale,
· pour des calcul en grands déplacements, la valeur choisie dépend bien sûr de l'importance de
l'évolution géométrique des surfaces mais les valeurs 1 ou 2 sont généralement à conseiller.
La valeur 2 est d'ailleurs la valeur par défaut de ce mot clé.
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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Contact unilatéral par des conditions cinématiques
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3
Relation de non interpénétration
3.1 Condition
cinématique
On effectue une modélisation idéalisée du phénomène de contact, en ce sens qu'il suppose les
frontières des corps parfaitement définies par une ligne ou une surface : on écrit alors une condition de
non interpénétration discrète et linéarisée [bib3].
Soit P un noeud esclave, M sa projection sur la maille maître qui a été déterminée lors de
l'appariement. En 2D, cette maille maître a 2 noeuds (SEG2) ou 3 noeuds (SEG3). En 3D, elle peut en
avoir 3, 4, 6, 8 ou 9 (TRIA3, QUAD4, TRIA6, QUAD8, QUAD9). Le déplacement du point M est une
combinaison linéaire des déplacements des noeuds de l'élément fini, avec pour coefficients les valeurs
des fonctions de forme en M . Plaçons-nous dans le cas où la maille maître est un SEG2 pour
simplifier l'exposé. On a alors :
u
= ( M) u + ( M)u
M
A
A
B
B
La relation de non pénétration linéarisée consiste à dire que déplacement relatif entre P et M selon
une direction donnée ne peut pas dépasser le jeu initial dans cette direction. On a choisi de prendre
comme direction N la normale entrante de la maille maître (cf. [fig 3.1-a]).
B
surface maître
M
A
N
P
surface esclave
Figure 3.1-a : Projection d'un noeud esclave sur une maille SEG2
La relation de non pénétration s'écrit alors comme un signe de produit scalaire (noté par un .) :
PM.N 0 , soit P-M- .N + ( u
M - u
).N
P
0 ,
si u est l'incrément de déplacement depuis la configuration précédente où le déplacement était noté
u- .
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On doit donc vérifier (u - u ).N P-M- .N
-
-
P
M
. En remarquant que P M .N est le jeu d -
dans la configuration précédente, la relation de non pénétration s'écrit aussi :
(u - u ).N
-
P
M
d ,
soit, en utilisant la relation u
= ( M) u + ( M)u
M
A
A
B
B :
[u -( (M) u + (M) u )].N -
P
A
A
B
B
d
L'extension de la formule pour une maille maître comportant nmaît noeuds notés Bj , est immédiate :
n

maît


u - (M) u . N
-
P
B
B
d
j
j

j

=1


Si l'on écrit une telle relation pour tous les couples de contact, on obtient les conditions géométriques
de non pénétration sous forme matricielle :
Au d-
Remarque :
Le jeu effectif dans la configuration u- + u est d0 - A(u- + u), soit d- - Au . La condition
de non pénétration exprime donc que le jeu effectif reste positif ou nul dans toute configuration.

La matrice A , appelée matrice de contact, contient 1 ligne par couple de contact, et autant de
colonnes que de degrés de liberté physiques du problème.
Supposons que l'on ait 2 mailles de contact de type SEG2, selon le schéma de la figure [Figure 3.1-b] :
D
B
L/2 M1
M
N
*
2
L/4
C
*
N
d1
2
d
P
Q
Figure 3.1-b : Ecriture de la matrice de contact A sur un exemple
Si l'on note par exemple uB l'incrément de déplacement du noeud B selon la direction x , et
x
d et d
1
2 les jeux courants pour les deux couples, les deux relations de non pénétration s'écrivent
matriciellement :
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u


Px


u
P
y
u
Qx


u
Q
y
N
N
0
0
- .
0 N
5
- .
0 N
5
- .
0 N
5
- .
0 N
5
0
0
u d
x
y
x
y
x
y
B

x
1



0
0
N
N
0
0
- .
0 75N
- .
0 75N
- .
0 25N
- .
0 25N
u

d
x
y
x
y
x
y
B

y
2
u
Cx


u
Cy
u
Dx


u


D y
Remarque :
On n'a ici considéré que les degrés de liberté des noeuds impliqués dans le contact ; dans la
réalité, la matrice
A est plus creuse.
3.2
Coefficients de la relation de non pénétration
La relation de non pénétration s'écrit :
nmaît



u -
M u
N d -
( )
.
P
B
B
j
j
j

=1

On donne ci-dessous les valeurs des fonctions de forme B ( M ) des noeuds maîtres au point M
j
pour les différentes mailles de contact traitées.
3.2.1 Mailles
SEG2
La coordonnée paramétrique de la projection du noeud esclave sur le SEG2 est notée . Les valeurs
des fonctions de forme au point de coordonnée paramétrique sont les suivantes :
( M) = 1-
A

( M) =
B
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3.2.2 Mailles
SEG3
On a projeté le noeud esclave en supposant la maille rectiligne : le point M n'appartient donc pas
forcément rigoureusement au SEG3 si celui-ci est courbe. Néanmoins, on calcule les valeurs des
fonctions de forme associées au SEG3 (sommets A et B , noeud milieu C ) à partir de la coordonnée
paramétrique rapportée au SEG2 :
1


A ( M) = 2 (1- ) ( - )

2
1


B ( M) = 2 ( - )

2

C ( M) = 4 (1- )


3.2.3 Mailles
TRIA3
On a expliqué dans le [§2.3.2] comment on trouve les coordonnées paramétriques 1 et 2 de la
projection M du noeud esclave dans le triangle. Les valeurs des fonctions de forme sont en fait celles
des coordonnées paramétriques :

A( M) = 1- 1
- 2



B ( M) = 1



C ( M) = 2

3.2.4 Mailles
TRIA6
Comme dans le cas des segments, on a effectué la projection en ne tenant compte que des 3
sommets du triangle : par contre, on utilise les coordonnées paramétriques ainsi obtenues (en posant
A = 1- 1 - 2, B = 1, C = 2 ) pour en déduire les valeurs des fonctions de forme aux 6
noeuds ( A, B, C sommets, D, E, F noeuds milieux respectivement des côtés AB, BC et CA ) :

A( M) = A (2A - )
1

B(M) = B (2B - )

1

C ( M) = C
(2C - )
1

D(M) = 4AB

E (M) = 4BC


F ( M) = 4 C
A
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3.3
Introduction d'un jeu fictif
On peut vouloir modéliser le contact entre des structures dont le maillage n'a pas tenu compte de
certaines particularités ("trou" ou "bosse" non maillés (cf. [Figure 3.3-a])).
NB : n = ­N
n
structure réelle avec une bosse
maillage
maillage
structure réelle avec un trou
Figure 3.3-Erreur! Argument de commutateur inconnu. : Trous et bosses
Dans ce cas, il faut corriger la valeur du jeu intervenant au second membre de l'inéquation de non
pénétration, selon le modèle suivant ( N est la normale entrante à la maille maître) :
( u - u ).N -
P
M
d - (d1 + d2)
d et d
1
2 sont donnés par l'utilisateur respectivement sous les mots-clés DIST_1 et DIST_2 pour
chaque zone de contact. Ces "distances" ont un signe : elles représentent la translation à appliquer au
noeud du maillage dans la direction de la normale n sortante pour obtenir le point de la structure réelle
(cf. [Figure 3.3-b]).
d1 = 0
d1 = 0
n
n
d2 > 0
d2 < 0
Figure 3.3-Erreur! Argument de commutateur inconnu. : Définition de d et d
1
2
Ces mots-clés permettent de rendre compte également du contact entre coques dont seules les
surfaces moyennes sont maillées : d et d
1
2 valent alors la demi-épaisseur des coques (valeurs
positives) (cf. [Figure 3.3-c]).
demi-épaisseur e1
surface moyenne
bord réel de la coque
d1 + d2 = e1 + e2 > 0
bord réel de la coque
demi-épaisseur e2
surface moyenne
Figure 3.3-Erreur! Argument de commutateur inconnu. : Contact entre coques
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Remarque :
Si l'on utilise DIST_1 et DIST_2, il faut prendre garde à l'interprétation visuelle des résultats. Si
d + d
1
2 > 0 , le code pourra annoncer du contact alors que la visualisation montrera un
espacement des deux maillages. Si d + d
1
2 < 0 , le code pourra annoncer du contact alors que la
visualisation montrera deux maillages interpénétrés.
Aide mémoire :
Pour se souvenir des signes, penser à :
d > 0 ou d > 0 : "ajout" de matière par rapport au maillage,
1
2
d < 0 ou d < 0 : "ablation" de matière par rapport au maillage.
1
2
3.4
Dualisation des conditions de non pénétration
Pour simplifier l'écriture, plaçons-nous dans ce chapitre en élasticité linéaire (matrice C , chargement
F ), en oubliant les conditions aux limites de Dirichlet. Si l'on dualise les conditions de non pénétration
(cf. [bib3]), on doit résoudre le système suivant, comprenant des équations et des inéquations :
Cu
+ ATµ = F
Au
d-
µ
0

j, (Au- d-)

j µj = 0
La première ligne exprime les équations d'équilibre : le vecteur AT µ peut s'interpréter comme les
forces nodales dues au contact. La seconde ligne représente les conditions géométriques de non
interpénétration : l'inégalité s'entend composante par composante (chaque ligne est relative à un
couple potentiel de contact). La troisième ligne exprime l'absence d'opposition au décollement (les
surfaces de contact ne peuvent connaître que des compressions). La dernière ligne est la condition de
compatibilité : lorsque pour la liaison j le multiplicateur de Lagrange µ j est non nul, on a contact et
donc le jeu (d- - Au)j est nul ; lorsque le jeu est non nul (les deux surfaces ne sont pas en contact),
le multiplicateur associé doit être nul (pas de compression).
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4
Résolution du problème de contact
4.1
Position du problème
On traite le contact unilatéral après la phase de prédiction et après chaque itération de Newton. Ainsi le
champ de déplacements passe par les états suivants :
début du pas de temps i :
ui-1
prédiction
~u0i
traitement du contact
u0i
mise à jour :
u0
u
u0
= - +
i
i 1
i
itération de Newton numéro 1
~u1i
traitement du contact
u1i
mise à jour :
u1
u0
u1
=
+
i
i
i
...
itération de Newton numéro n
~uni
traitement du contact
uni
mise à jour :
un
un-1
un
=
+
i
i
i
...
Quand on ne traite pas le contact, les systèmes à résoudre sont les suivants (avec les notations de
[R5.03.01]) :
K
BT u~0 Lméca

+ Lther


0
i
i
i

~ =

à la phase de prédiction
B
0
0
ud


i
i
K n-1 BT u~n
méca
n-
T
n

-
-
-

i
i
L
R
i
(u 1i) B 1i

~ =
à la nième itération de Newton
B
0
n


i
0
On peut écrire la forme générique du système à résoudre quand on ne traite pas le contact :
CU = F ,
U regroupe les degrés de liberté de déplacement u et les multiplicateurs de Lagrange associés
aux conditions aux limites de Dirichlet (le ~ indique que le contact n'est pas pris en compte), C est la
matrice tangente complète, et F le second membre.
La relation de non interpénétration s'écrit :
Au d ( d est le jeu initial, mesuré sur le maillage),
0
0
ou encore : Au d- = d0 - Au- si u = u- + u (cf. [§3.2]).
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En présence de conditions de contact unilatéral, les systèmes à résoudre (dualisation des conditions de
non interpénétration) s'écrivent donc :
C

U
+ AT µ = F
A U



D-
A est la matrice des conditions de contact complète, µ le vecteur des multiplicateurs de Lagrange
associés au contact (ils doivent être positifs ou nuls), AT µ le vecteur des forces nodales de contact, et
D- le vecteur (plongé dans l'ensemble des degrés de liberté, multiplicateurs de Lagrange compris)
contenant le jeu courant (pour u- ) :
d- d0 - Au-
D- =
=

0
0

4.2
Méthode des contraintes actives
On pourra trouver une description complète de la méthode avec les justifications théoriques
nécessaires dans [bib2] et [bib3]. Le principe est le suivant : on postule un ensemble de contraintes
dites actives, qui correspondent à un jeu nul (la relation inégalité devient une égalité) ; on résout le
système d'équations obtenu dans ce sous-espace, et on regarde si le postulat de départ était justifié. Si
l'ensemble choisi était trop petit (on avait oublié des liaisons actives), on rajoute à l'ensemble la liaison
violant le plus la condition de non interpénétration ; si l'ensemble choisi était trop grand (des liaisons
supposées actives ne le sont en fait pas), on enlève de l'ensemble la liaison la plus improbable i.e. celle
dont le multiplicateur de Lagrange violant la condition 3 du système du [§3.4] a la plus grande valeur
absolue. Le fait d'enlever ou de rajouter une seule liaison à chaque itération de la méthode garantit la
convergence en un nombre fini d'itérations [bib2].
On note u- le champ de déplacements obtenu avant de traiter le contact : il s'agit de ui-1 lorsqu'on
n-1
traite le contact à l'issue de la phase de prédiction, et de ui
lorsqu'on traite le contact à l'issue de
l'itération de Newton numéro n. Les incréments de déplacements (obtenus sans prendre en compte le
contact) calculés auparavant ne sont donc pas pris en compte dans u- . On cherche l'incrément u à
rajouter à u- pour obtenir u0
n
i ou ui .
La méthode des contraintes actives est une méthode itérative découplée des itérations de Newton : à
chaque itération de contraintes actives, la solution de départ est notée Uk , et l'incrément ajouté par la
nouvelle itération est noté k +1 . On a donc en principe : U k +1
Uk
k +
=
+
1

, et
U = U- + U +
+
k
k
1 . On part de U0 = C-1F , qui est l'incrément obtenu sans traiter le contact
(U0 = U0
n
i donné par la prédiction, ou U0 = Ui donné par la nième itération de Newton) et on
effectue les itérations de contraintes actives jusqu'à convergence propre de cet algorithme. La
convergence au sens des contraintes actives est obtenue lorsqu'aucune liaison ne viole la condition
cinématique 2 du [§3.4] et lorsque les multiplicateurs de Lagrange associés sont tous positifs.
En élasticité, à la fin des itérations de contraintes actives, on a un résultat convergé au sens de
Newton. En plasticité ou si on réactualise la géométrie, ce n'est pas le cas car plusieurs itérations
de Newton sont nécessaires pour obtenir l'équilibre. Après chaque itération de Newton, on lance
l'algorithme de contraintes actives pour satisfaire les conditions de contact. Ainsi, en élasticité, on
convergera nécessairement pour chaque pas en une itération si REAC_GEOM_INTE = 0 ou
REAC_GEOM_INTE = 1 en itérations si REAC_GEOM_INTE = n, n > 1.

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4.2.1 Résolution du système réduit aux liaisons actives
Au début de l'algorithme, on évalue le jeu courant d
[
[
]
0 ] - A
j
k ( u- + u0 )
pour toutes les liaisons j,
j
en tenant compte du déplacement U0 = C-1F estimé sans traiter le contact. On appelle active une
liaison pour laquelle ce jeu courant est négatif, ce qui indique une interpénétration. On postule que pour
les liaisons actives, le jeu effectif sera nul, et que donc l'inégalité Au d0 devient une égalité pour
les liaisons actives.
Remarque :
On pourrait partir de l'ancien ensemble de liaisons actives obtenu à convergence de la passe
précédente, mais si les couples de contact ont été réactualisées, les numéros de liaisons ne
correspondent plus forcément. Cependant, dans les cas où ceci est licite, le nombre d'itérations de
la méthode des contraintes actives peut en être diminué, comme c'est le cas avec le mot clé
LIAISON_UNIL_NO.

Si on note Ak la matrice de contact réduite aux liaisons actives à l'itération k (on ne garde que les
lignes correspondant aux liaisons actives), on a :
C

U
k + C k+
1 + AT µ = F
k
A U


- + A Uk
k +1
k
k
+ A
= D
k
0
ou encore :

k+1
-1
k
-1 T
= C F - U

- C Ak µ

,
-1 T
-1
-
-

Ak C Ak µ = D0 - AkC F - Ak U
soit, en tenant compte de C-1F = U0 :

-
-1 T
-
A C A µ = D
0
k
k
- A U


k
k +1

= U0

- Uk

-


-
C 1ATk µ

avec D- = d-
, où d- = d
0
0 - A ku- est le jeu actualisé correspondant au champ de déplacement
u- .
La première équation donne les valeurs des multiplicateurs de Lagrange µ associés aux relations de
non pénétration pour les contraintes actives, et la seconde équation donne la valeur de l'incrément
k+1 des inconnues pour la kième itération de la méthode des contraintes actives.
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4.2.2 Validité de l'ensemble de liaisons actives choisi
Soit la liaison numéro j (on désigne par [ ]j la jième composante d'un vecteur, c'est-à-dire celle
correspondant à la liaison j ). Trois situations sont possibles :
1) le déplacement relatif compense le jeu initial : [A (u-
uk
k +
+
+ 1)] = [d
k
0 ]
j
j
2) le déplacement relatif est inférieur au jeu initial : [A (u-
uk
k +
+
+ 1)] < [d
k
0 ]
j
j
3) le déplacement relatif est supérieur au jeu initial : [A (u-
uk
k +
+
+ 1)] > [d
k
0 ]
j
j
La situation (3) est interdite : elle correspond à une violation de la condition de non interpénétration. La
situation (1) correspond à une liaison dite active, la situation (2) à une liaison non active.
Au début de la kième itération de l'algorithme, on avait postulé un ensemble de liaisons actives. On a
trouvé un incrément possible k +1 des inconnues sous ces hypothèses : on va maintenant vérifier que
cet incrément est compatible avec les hypothèses. En pratique, cela consiste à vérifier :
(i)
que les liaisons supposées non actives ne violent pas la condition de non interpénétration
(sinon on en active une) ;
(ii) que les liaisons supposées actives sont associées à des multiplicateurs de contact µ
positifs ou nuls (sinon on en désactive une)
Vérification (i) : (l'ensemble des liaisons actives est-il trop petit ?)
On va calculer pour toutes les liaisons supposées non actives la quantité :
[
-
k
-
k
d0 - Ak (u + u
)]
d - A u
j
[
k
]

j
j =
[
=
k +1
k +
A
1
k
]
A
j
[ k ]j
· si
[A k
k +1 ] est négatif, le jeu pour la liaison j va augmenter, et donc la liaison supposée
j
non active reste dans cet état lorsqu'on écrit U k +1
Uk
k +
=
+
1

,
· si
[A k
k +1 ] est positif,
j
j devrait être supérieur strictement à 1 pour une liaison non active
(situation (b)). On examine donc = Min j sur l'ensemble des liaisons j déclarées non
j
actives. Si < 1, cela indique qu'une liaison au moins est violée (situation (3)) : on rajoute
alors à la liste des liaisons actives le numéro de la liaison la plus violée, c'est-à-dire celle qui
réalise le minimum de
k +1
k
k +1
j , et on écrit U
= U +
(ça correspond à un jeu nul
pour la liaison rajoutée). Dans ce cas on shunte la vérification (ii).
Remarque :
Si toutes les liaisons sont actives, la vérification (i) n'a pas lieu d'être. Dans ce cas, on pose = 1
et on passe directement à la vérification (ii).
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Vérification (ii) : (l'ensemble des liaisons actives est-il trop grand ?)
On se place maintenant dans le cas où 1 : on prend U k +1
Uk
k +
=
+
1

.
· si aucune liaison n'est active, la méthode a convergé vers un état sans contact,
· s'il y a des liaisons supposées actives :
-
si tous les multiplicateurs de Lagrange µ sont positifs ou nuls, on a également convergé
vers un état avec contact effectif,
-
s'il existe des multiplicateurs de Lagrange µ négatifs, les liaisons correspondantes ne
devraient pas être actives : on retire de l'ensemble des liaisons actives la liaison dont le
multiplicateur négatif est le plus grand en valeur absolue.
Remarque :
On enlève et on rajoute les liaisons actives une par une (et non pas toutes celles qui contredisent
les hypothèses) afin d'assurer la convergence de l'algorithme en un nombre fini d'itérations,
comme démontré dans [bib2] et [bib3]. Cependant, on pourrait prendre le risque de rajouter toutes
les liaisons qui semblent actives d'un coup, ou de désactiver toutes les liaisons à multiplicateur
négatif d'un coup, afin d'accélérer la convergence de la méthode (c'est ce qui est fait pour le
traitement du frottement, cf. [R5.03.51]). Même si la convergence n'est pas théoriquement assurée,
une telle variante semble marcher en pratique.

4.3
Redécoupage du pas de temps
Sur le plan théorique, la convergence de la méthode des contraintes actives est assurée en un nombre
fini d'itérations. Dans la pratique, certains artefacts numériques peuvent rendre cette convergence
délicate. Aussi une stratégie a-t-elle été mise au point pour assurer la robustesse de l'algorithme.
Lors de calculs de contact, notamment si les pas de charge effectués sont trop importants, des
phénomènes indésirables peuvent apparaître :
· matrice de contact A C-1AT singulière,
k
k
· oscillation de la méthode des contraintes actives : un noeud est détecté alternativement
« collé » puis « décollé ».
Pour pallier ces difficultés, la stratégie suivante a été adoptée. Si :
· la matrice de contact A C-1AT est singulière,
k
k
· le nombre d'itérations de contraintes actives est supérieur à une limite qui dépend du nombre
de liaisons potentielles
Alors on redécoupe le pas de temps i.e. on revient au pas de charge précédent et au lieu d'essayer
d'atteindre le niveau de chargement suivant en un pas comme on vient de le faire, on en fait plusieurs
(Pour plus de précisions sur cette fonctionnalité de l'opérateur STAT_NON_LINE, voir la documentation
[U4.51.03]).
Dans la pratique, cette fonctionnalité se montre très utile pour l'utilisateur.
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/01/001/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Contact unilatéral par des conditions cinématiques
Date :
17/04/01
Auteur(s) :
N. TARDIEU, I. VAUTIER
Clé :
R5.03.50-B
Page :
24/24
5 Précautions
d'utilisation
Un exemple d'utilisation et les conseils associés sont donnés dans [bib6].
Les principaux conseils ou mises en garde sont les suivants :
· vérifier que les normales aux surfaces de contact sont sortantes (se méfier notamment si on a
utilisé des opérateurs de symétrisation dans le mailleur gibi),
· attention au contact en 3D quadratique si les mailles de bord sont des QUAD8 (éviter d'utiliser
des HEXA20 pour mailler le volume ou bien raffiner "suffisamment") : utiliser de préférence
des HEXA27, ou bien des PENTA15 dont les côtés TRIA6 sont les mailles en contact,
· supprimer, par des conditions aux limites de Dirichlet appropriées, les mouvements de corps
rigide : il ne faut pas que la structure ne « tienne » que par le contact. En d'autres termes, cela
veut dire qu'un calcul fait en élasticité avec la commande MECA_STATIQUE (sans traiter le
contact donc) doit passer,
· en cas de structure « tenue » uniquement par le contact, on peut ajouter un ressort de faible
rigidité pour la maintenir. Cette rigidité ne devra pas perturber le champ de déformations de la
structure supposé nul (puisque il y a mouvement de corps rigide), mais empêcher un
déplacement à l'infini. Dans la pratique, son choix s'avère délicat et nécessite un recalage
préalable,
· utiliser le mot-clé SANS_NOEUD ou SANS_GROUP_NO pour exclure de la liste des futurs noeuds
esclaves ceux qui sont soumis par ailleurs à des conditions aux limites de Dirichlet
(DDL_IMPO, FACE_IMPO, LIAISON_...) dans la direction attendue du contact,
· le calcul des efforts de contact peut être effectué dans la commande POST_RELEVE_T en
calculant la résultante des forces nodales sur le groupe de mailles représentant une des
surfaces de contact,
· le contact et la recherche linéaire de STAT_NON_LINE ne font pas bon ménage ensemble
lorsque l'on converge en plus d'une itération. Grosso modo, cela veut dire que l'on ne peut pas
utiliser la recherche linéaire excepté pour des calculs élastiques sans réactualisation
géométrique, ce qui est assez restreint.
6 Bibliographie
[1]
N. Tardieu, I. Vautier, E. Lorentz, « Algorithme non linéaire quasi-statique », Documentation
de Référence du Code_Aster n° [R5.03.01].
[2]
G. Dumont, « La méthode des contraintes actives appliquées au contact unilatéral », Note
interne EDF n° HI-75/93/016
[3]
G. Dumont, « Algorithme de contraintes actives et contact unilatéral sans frottement », Revue
européenne des éléments finis, Vol. 4 n°1/1995, pp. 55-73
[4]
I. Vautier, « Quelques méthodes pour traiter les problèmes de contact unilatéral en présence
de grands glissements », Note interne EDF n° HI-75/97/013
[5]
I. Vautier, « Évaluation des difficultés de modélisation du contact unilatéral pour des maillages
3D quadratiques », Compte-rendu interne EDF n° MMN/97/023
[6]
I. Vautier, « Exemple d'utilisation des fonctionnalités de contact en grands déplacements dans
le Code_Aster », Note interne EDF n° HI-75/97/034/A
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/01/001/A

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