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6.3
Titre :
Pré et post-traitement pour les coques "composites"
Date :
13/09/02
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P. MASSIN, F. NAGOT, F. VOLDOIRE, J.M.PROIX Clé
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Organisme(s) : EDF/AMA, SEPTEN
Manuel de Référence
Fascicule R4.01 : Matériaux composites
Document R4.01.01
Pré et Post-traitement pour les coques minces
en matériaux "composites"
Résumé :
On étend les résultats de la théorie des éléments de plaques exposés dans la documentation [R3.07.03] au cas
des matériaux orthotropes multi-couches. La documentation proposée regroupe les aspects thermiques et
thermo-élasto-mécaniques. L'utilisation de ces matériaux n'est théoriquement valide que dans le cas d'une
symétrie géométrique par rapport au feuillet moyen de la plaque. Il est donc nécessaire que le couplage
membrane-flexion soit nul.
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Table
des
matières
1 Introduction............................................................................................................................................ 3
2 Caractéristiques homogénéisées d'une coque mince en thermo-élasticité et en thermique ............... 4
2.1 Notations - Hypothèses................................................................................................................... 4
2.2 Thermique ....................................................................................................................................... 5
2.3 Thermo-mécanique......................................................................................................................... 6
3 Repères dans le plan tangent à la coque. Notation matricielle ............................................................ 8
3.1 Repères........................................................................................................................................... 8
3.2 Notation matricielle.......................................................................................................................... 9
3.2.1 Thermique.............................................................................................................................. 9
3.2.2 Thermomécanique............................................................................................................... 10
4 Coques constituées de couches homogènes ..................................................................................... 12
4.1 Description des couches............................................................................................................... 12
4.2 Thermique ..................................................................................................................................... 13
4.3 Thermomécanique ........................................................................................................................ 14
4.3.1 Relation de comportement................................................................................................... 14
4.3.2 Cisaillement transverse ....................................................................................................... 15
4.3.3 Efforts généralisés ............................................................................................................... 17
4.3.4 Localisation des contraintes (post-traitement)..................................................................... 18
4.3.5 Calcul des critères de rupture dans les couches (post-traitement) ..................................... 18
5 Bibliographie........................................................................................................................................ 20
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1 Introduction
La modélisation du comportement thermo-mécanique par une théorie de coques des structures
constituées de matériaux composites stratifiés présente par rapport au cas homogène isotrope un
certain nombre de particularités :
· les coefficients intervenant dans les relations de comportement linéaire reliant les grandeurs
mécaniques et thermiques définies sur la surface moyenne de la coque doivent être calculés
à partir de la répartition spatiale dans l'épaisseur des différents matériaux,
· les matériaux constitutifs de la coque sont en général orthotropes :
- il faut définir, en chaque point de la surface moyenne de la coque, une direction
matérielle fixant le repère dans lequel sont décrites les relations de comportement,
-
la forme de l'anisotropie produite sur le comportement global de la coque peut être
quelconque,
· enfin des couplages entre grandeurs caractérisant des phénomènes symétriques et
antisymétriques par rapport à la surface moyenne peuvent apparaître (couplage
flexion-membrane, couplage température moyenne-gradient moyen dans l'épaisseur). En
thermo_mécanique les résultats présentés ne sont cependant théoriquement valides que
lorsque le couplage membrane-flexion est nul,
· l'analyse de la rupture ou de l'endommagement de ces structures nécessite de revenir à un
niveau de description plus fin que celui fourni par les modèles de coques : les critères sont
formulés, couche par couche dans l'épaisseur, en fonction des contraintes
"tridimensionnelles".
Le pré-traitement permet à l'utilisateur de "construire" les grandeurs intervenant dans les théories de
coques à partir d'une description spatiale simple de la répartition des différents matériaux (position,
épaisseur, orientation).
Le post-traitement intervient une fois le calcul de structure achevé pour fournir, couche par couche,
une évaluation de quelques critères de rupture ou d'endommagement.
Le parti pris ici est de spécifier pré et post-traitements de façon à ce qu'ils soient indépendants, dans
le cadre des modèles de coque retenus, du type d'élément choisi par l'utilisateur pour faire le calcul de
structure. En effet, les difficultés numériques du calcul des coques et de la représentation de leur
géométrie conduit à proposer selon les situations, plusieurs types d'éléments finis de coque ou de
plaque.
La note est divisée en trois parties. La première rappelle brièvement les hypothèses de la théorie de
coque utilisée pour les calculs thermo-mécaniques et les expressions des coefficients homogénéisés à
introduire. La seconde précise les choix retenus pour la description de l'orientation des matériaux par
rapport aux éléments ainsi que quelques notations. La dernière partie détaille l'application de ces choix
au cas des coques constituées de strates homogènes.
Pour permettre l'utilisation des options de calculs disponibles dans le Code_Aster, il est donc
nécessaire de définir des commandes de pré et post-traitement pour les matériaux composites
stratifiés compatibles avec les commandes existantes.
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2
Caractéristiques homogénéisées d'une coque mince en
thermo-élasticité et en thermique
2.1
Notations - Hypothèses
La coque est constituée de différentes couches de matériaux orthotropes disposées parallèlement à la
surface moyenne (cf. [Figure 2.1-a]).
n
2h
x2
x
1
I =] - h, [
h
Figure 2.1-a
En notant (x ) les coordonnées (x , x sur et x
1
2 )
3 la coordonnée normale à la surface
x ] - h, h , on peut définir les diverses caractéristiques des matériaux intervenant en Thermique
3
[
et en Thermo-élasticité. On supposera de plus que l'un des axes d'orthotropie coïncide avec la
normale n au point (x ) à la coque .
· Conductivité : k
(x , x
3 ), k33 (x , x
3 )
· Chaleur volumique : c ( x , x
3 )
· Coefficients de dilatation : d
(x x
,
3 )
· Rigidité élastique (contrainte plane) : µ ( x , x
3 )
· Rigidité de cisaillement :
x , x
3 3 (
3 )
· Masse volumique : ( x , x
3 )
Les indices grecs parcourent {1, 2}. Le système (x ) ne correspond pas nécessairement aux axes
d'orthotropie des matériaux dans le plan tangent.
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2.2 Thermique
On se place dans le cadre du modèle de coque thermique décrit en [R3.11.01] et [bib1].
Un champ de température "coque" est représenté par les trois champs (Tm T s Ti
,
, ) définis sur de
la façon suivante dans l'épaisseur :
3
T (x , x =
=
+
+
éq 2.2-1
3 )
T j (x ) P
m
s
i
j ( x3 )
T (x ) P1 (x3) T (x ) P2 (x3) T (x ) P3 (x3)
j = 1
2
où les P sont les polynômes de LAGRANGE
I = ] -h, [
h :
P
1
1 ( x3 ) =
- (x / h
3
)
j
x
P
3
1
2 ( x3 ) =
( + x /h
3
)
2 h
x
P
3
1
3 ( x3 ) = -
( - x /h
3
)
2 h
L'interprétation des champs T j est alors la suivante :
T m (x ) = T (x , )
0
(température sur la surface moyenne de la coque),
T s (x ) = T (x , +h
)
(température sur la surface supérieure de la coque),
Ti (x ) = T (x , -h
)
(température sur la surface inférieure de la coque).
Grâce à la représentation [éq 2.2-1], on calcule la forme bilinéaire KT
m
s
i
de (T , T , T )
T à partir
de la forme du problème 3D (les indices ij prennent les valeurs m, s
, i ) :
K T (T, ) = ( A ji .Ti
j
.
+ B ji . Ti j
.
,
(sommation sur les indices répétés),
,
) d
où est un champ virtuel de température et où
Aij = A ji = Aij , Bij = B ji
Aij (x ) = k
,
éq
2.2-2
I ( x
x
3 ) Pi (x3) Pj (x3) dx3
P
P
Bij
(x ) = k
,
I 33 ( x
x
3 )
i (x3) j (x3) dx
x
3
3
x3
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La forme bilinéaire liée à la chaleur volumique dans le problème d'évolution s'écrit :
M (T, )
ij
= C . Ti j
.
éq
2.2-3
ij
C (x ) = c
,
I
(x x
3 ) Pi (x3) Pi (x3) dx3
2.3 Thermo-mécanique
On se place dans le cadre de la modélisation de coque de LOVE-KIRCHHOFF (coque mince) ou
REISSNER-MINDLIN (coque épaisse). Dans les deux cas, les sections sont supposées rester planes.
Les déformations du plan tangent à s'expriment donc, dans l'épaisseur, à l'aide des tenseurs de
déformations E
(x
) , de variation de courbure K
(x
) et de distorsion (
x ) de la surface
[bib2] :
x
(
x , x =
+
=
éq
2.3-1
3 )
E ( x ) x3
K ( x ) 3 ( x , x3) ( )
2
Le matériau subissant une déformation locale d'origine thermique donnée par ( T réf est la température
de référence) :
th
réf
(
x , x =
-
3 )
(T ( x, x3) T ) d ( x, x3)
Le champ de contraintes local est donné par la loi thermoélastique en contraintes planes :
=
th
µ (µ - µ )
soit avec le modèle précédent pour T :
th
(x ,
x =
+
-
3 )
µ (x ,
x3) [Eµ ( x ) x K
3
µ (
x ) µ (x , x3)]
3
éq
2.3-2
avec th
j
réf
µ (x ,
x =
-
3 )
T ( x ) . Pj (x3) T
dµ (x , x3)
j=1
Les efforts généralisés (flexion M et membrane N ) sont liés à par :
M
(x
=
)
,
,
I
(x x
3 ) x dx
3
3
éq
2.3-3
N
(x
=
)
,
,
I
(x x
3 ) dx3
si bien que la loi de comportement de la coque s'écrit au point x :
M = Pµ K + Qµ E + M
µ
µ
th
éq
2.3-4
N
= Rµ E + Qµ K + N
µ
µ
th
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où
Pµ
µ
= +
(x 2
3 ) x
dx
I
3
3
Qµ
µ
= +
(x3) x dx
I
3
3
Rµ
µ
= +
(x3) dx éq
2.3-5
I
3
N
µ
th
= -
dx
th
I
µ
3
M
µ
th
= -
x dx
th
I
µ
3
3
Lorsque la température est calculée par le modèle de Thermique on peut exprimer directement les
efforts "Thermiques" en fonction des trois "composantes" (Tm T s Ti
, , ) :
M
j
réf
j
réf
= -
3
3
3
3
-
=
-
th
[
d
µ
µ (x ) P (x ) x dx
I
j
](T T ) DMj (T T )
éq 2.3-6
N
j
réf
j
réf
= -
3
3
3
-
=
-
th
[
d
µ
µ (x ) P (x ) dx
I
j
](T T ) DNj (T T )
Les quantités DN et DM ne dépendent que des matériaux constitutifs de la coque et de leur
répartition.
Remarque :
Lorsque la disposition des matériaux est symétrique par rapport à , certaines intégrales, étant
somme de termes impairs, s'annulent :
µ
Q
= ,
0 DM
= DM = 0 ; DN = 0 .
1
3
2
Les efforts tranchants et contraintes de cisaillement transverse sont obtenus par écriture des
équations d'équilibre locales sans force volumique :
ij = 0 où {i, j} { ,12, }
3
, j
ce qui permet d'écrire :
V (x
) = M, (x )
3 (
x
x , x
3
3
= -
)
,
,
-
(x z
)dz
h
en utilisant le fait que 3 (
3
x , + h) = ( x , - h) = 0 .
Le rôle du pré-traitement est de calculer les différentes grandeurs A, B, C, P, Q, R, DM, DN, à partir
de la description du matériau (nombre, orientation et épaisseur des différentes couches,
caractéristiques locales c, k
,
, , d
).
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3 Repères dans le plan tangent à la coque. Notation
matricielle
3.1 Repères
On considère le repère global de la structure ( X , Y
, Z
) : voir figure [Figure 3.1-a]. Dans le cas des
composites stratifiés l'orientation du monocouche est définie par rapport à une direction de référence
e dans le plan tangent (
réf
T ).
Ce vecteur e
est déterminé par la projection d'un vecteur X , donné par l'utilisateur sous le mot-clé
réf
1
ANGL_REP de AFFE_CARA_ELEM [U4.24.01], sur le plan tangent (T ) en un point quelconque de la
coque.
Z
X1
X1
Z
2 Y
0
1
( T )
X
eréf
Y
Plan tangent ( T )
XYZ repère global
X
Figure 3.1-a
Le vecteur X est défini par l'utilisateur par deux angles orientés :
1
: entre 0X et X
1
1 proj ( X , Y )
: entre X
et X
2
1 proj ( X , Y )
1
: fait passer de la direction 0X à la projection dans le plan X0Y du vecteur X .
1
1
: fait passer de cette projection à X lui-même : voir figure [Figure 3.1-a].
2
1
Dans les cas où dans une zone donnée de la coque, (T ) est orthogonal à X , l'utilisateur devra
1
définir un autre vecteur (en pratique pour certaines mailles).
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Pour un élément fini de type facette plane, contenu dans le plan tangent (T ), on définit le repère
orthonormé (V ,V local à l'élément à l'aide de la numérotation des sommets. Par exemple pour le
1
2 )
triangle :
N3
N2
V1
V2
0
e réf
(T )
N1
Figure 3.1-b : Repère local de l'élément (V ,V
1
2 )
L'angle orienté
= V ,
e
permet de passer du repère local à l'élément au repère de
0
( 1 réf )
référence.
3.2 Notation
matricielle
En thermique comme en thermo-mécanique, la programmation des éléments nécessite d'exprimer les
opérateurs d'élasticité et de conduction dans le repère local de l'élément fini (V ,V . On a l'habitude
1
2 )
de simplifier la représentation des grandeurs tensorielles comme suit.
3.2.1 Thermique
On représente les grandeurs tensorielles dans le repère (V ,V :
1
2 )
(
2
2
Aij
i, j m, s
, i
,
( ) {
} ( ) { ,1 }2 )
sous une forme vectorielle avec 6 vecteurs en tenant compte des symétries [§2.2] :
ij
A
k
11
11
h
Aij
ij
= A
22
=
i
P (x3). Pj (x3). k22 dx
3
ij
-h
A12
k
12
k
11
0
k
où k = k
désigne le vecteur conductivité thermique construit à l'aide du tenseur
22
0
k
0 0 k
12
33
(cf. [§2.1]),
et de P (x , les polynômes de LAGRANGE dans l'épaisseur. On fait de même pour Bij Cij
,
.
i
3 )
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En se plaçant dans le repère de l'élément (V ,V , on utilise la matrice de passage (m)
P du tenseur
1
2 )
k
k
11
de conductivité k = k
de (V ,V vers le repère associé à e [bib3] :
1
2 )
22
réf
k12
C2
S2
2CS
(
2
2
m)
C = cos
P
= S
C
- 2CS
où
( 0)
k
S = sin ( 0)
-CS CS C2 - S2
Il en résulte que la matrice de passage P(m)-1 du tenseur de conductivité du repère associé à e
k
réf
vers (V ,V est donnée par :
1
2 )
C2
S2
- 2CS
(
1
C = cos ( 0)
2
2
m)
P - = S
C
2CS
où
k
S = sin ( 0)
CS
- CS C2 - S2
3.2.2 Thermomécanique
On représente également sous une forme vectorielle dans le repère (V ,V :
1
2 )
· d'une part, les contraintes normales ,
, le cisaillement dans le plan et le
11 22
12
cisaillement transverse et :
13
23
11
13
= ,
22
=
23
12
· d'autre part, les déformations correspondantes :
11
1
13
= ,
2
22
=
12 =
2
12
23
12
qui se décomposent avec les déformations généralisées de membrane E et de flexion K :
(x =
-
3 )
(u) (x3)
th(x3)
avec (u) (x = E + K
3 )
x3
th(x = d
-
3 )
(x3)
réf
(
T x
3 )
T
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pour une ordonnée x ] - h, h[
3
, et :
E
K
d
11
11
11
E = E
,
,
22
K = K22
d = d22
E11
K11
d11
où d est le vecteur associé aux coefficients de dilatation thermique.
Le vecteur contrainte s'obtient à l'aide de la matrice de rigidité (3 x 3) :
=
R ((
. u)
th
-
) avec R , inverse de la matrice de souplesse (voir en [§4.3]).
En se plaçant dans le repère de l'élément (V ,V , on utilise la matrice de passage ( )
P m du tenseur
1
2 )
11
de déformations =
de (V ,V vers le repère associé à e [bib3] :
1
2 )
22
réf
12
C2
S2
CS
( )
C = cos ( 0)
2
2
P m =
S
C
- CS
où
S = sin ( 0)
- CS
CS C2 - S2
2
2
En se plaçant dans le repère de l'élément (V ,V , on utilise la matrice de passage (m)
P du tenseur
1
2 )
2
1
13
de déformations
= de (V ,V vers le repère associé à e :
1
2 )
2
réf
23
C
S
C = cos ( 0)
(
m)
P
=
où
2
- S C
S = sin ( 0)
De même, en se plaçant dans le repère de l'élément (V ,V , la matrice de passage (m)
P du tenseur
1
2 )
11
de contraintes =
de (V ,V vers le repère associé à e vaut :
1
2 )
22
réf
12
C2
S2
2CS
(
C = cos ( 0)
2
2
m)
P
où
= S
C
- 2CS
S = sin ( 0)
-CS CS C2 - S2
Il en résulte que l'expression de la matrice de passage du repère associé à e
vers le repère de
réf
-1
l'élément (V ,V pour les contraintes ci-dessus est telle que : (m)
(m)
P
= P (
t
- )
. Cette
0
= P(m)
1
2 )
propriété sera particulièrement utile dans la suite de l'exposé.
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4
Coques constituées de couches homogènes
4.1
Description des couches
On considère la coque constitué d'un empilement de N
couches (parallèles au plan tangent) dans
couch
l'épaisseur ] - h, h[ constituées chacune d'un des M
matériaux homogènes orthotropes (coque
mater
stratifiée [Figure 4.1-a]).
x3
+ h
2h
e
- h
n
Figure 4.1-a
Une couche n est définie par :
· son épaisseur e avec les ordonnées des interfaces inférieure et supérieure :
n
n 1
-
xn-1 = - h + e ; xn = xn-1 + e ;
3
j
3
3
n
j =1
· le matériau constitutif m , et ses caractéristiques physiques,
· l'angle de la première direction d'orthotropie (notée L) dans le plan tangent (
n
T ) par
rapport à la direction de référence e
(voir figure [Figure 4.1-b]).
réf
Remarque :
Dans le cas d'une couche constituée de fibres dans une matrice de résine, la première direction
d'orthotropie correspond à la direction des fibres.
L
V1
n
0
T
L
V
e
2
réf
(T )
Figure 4.1-b : Sur couche orthotrope
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4.2 Thermique
2
L'expression des vecteurs Aij (i, j) {m, s, i} , i j) définis au [§3.2.1] s'obtient à partir des
conductivités km du matériau m constituant les couches n.
Dans les cas d'orthotropie (L, T) du matériau m, les coefficients de conductivité sont :
k
L
k(
= k
L,T )
T
0
Dans le cas d'un matériau isotrope transverse le coefficient k est égal à k .
33
T
Pour avoir l'expression de Aij dans le repère de l'élément (V ,V on doit appliquer la rotation
1
2 )
suivante, du repère d'orthotropie vers le repère de l'élément, comme explicité au [§3] :
k C2
S2
avec
C
=
(
cos
+
i
0 )
11
k
( )
k m
L
= k
2
2
S
=
(
sin
+
i
0 )
22 = S
C
k
T (L,T)
k12 CS - CS
Les vecteurs Aij peuvent alors s'exprimer par intégration dans l'épaisseur des contributions de
couche :
Ncouch
n
ij
A = x3 P
.
x P
.
x .k
dx
.
éq
4.2-1
n-1
i ( 3 ) j ( 3 ) ( )
x
m
3
n=1
3
Les termes ij ((i, j) {
,
2 }
3 2
B
,i j) sont :
Ncouch
n
x
3
P x
P x
ij
i ( 3 )
j ( 3 )
B =
.
.k
dx
.
n-1
(
33
)
x
m
3
x
x
3
n=1
3
3
De même pour Cij :
Ncouch
n
ij
C = x3 P x .P x .C dx
.
n-1
i ( 3 )
j ( 3 )
( )
x
m
3
n=1
3
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4.3 Thermomécanique
4.3.1 Relation de comportement
Dans le cas des coques stratifiées, on montre que la relation entre les déformations et la contrainte
dans la couche "n" dépend des constantes du matériau orthotrope " m " :
Soit :
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
ELL ,
T
E T , T
L ,G T
L ,GLZ , T
G Z
coefficients élastiques
(
m)
(m)
coefficients de dilatation
dLL ,dTT
Dans les axes d'orthotropie (L,T) du matériau m, la matrice de souplesse S s'exprime par :
1
LT
-
0
E
LL
T
E T
TL
1
S(m) (L T, ) =-
0
T
E T
T
E T
1
0
0
G
T
L
(m)
avec
TL
LT =
ELL
ETT
La rigidité (m)
1
-
=S( étant :
m)
E
LL
TL .ELL
0
-
1
.
-
1
.
T L
T
L
T L
T
L
LT . ETT
ETT
(m) (L T,) =
0
-
1 T L .
-
T
L
1 T L . T
L
0
0
G
T
L
(m)
La rigidité en cisaillement transverse s'exprime pour sa part de la façon suivante :
G
LZ
0
(m) (L T,) =
0
T
G Z (m)
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En se plaçant dans le repère de l'élément (V ,V , on utilise la matrice de passage ( )
P m du tenseur
1
2 )
de déformations définie au [§3] de (V ,V vers le repère d'orthotropie:
1
2 )
C2
S2
2CS
( )
C = cos ( +
i
0 )
2
2
P m =
S
C
- 2CS
où
S = sin ( +
i
0 )
-CS CS C2 - S2
De même le vecteur dilatation s'exprime dans le repère (V ,V :
1
2 )
d
d
C2
S2
11
LL
d
(m)
d
= d
1
2
2
22 = Pm-
L L
d
= S
C
TT
d
T T (L,T)
d
0
2
2
12
(
CS - CS
L,T )
On a donc dans la couche n (matériau : m ), en x :
3
( m)-1
(m)
th
T
m
m
th
th
= P
.
. P
.
u -
= P .
. P
.
u -
=
u -
n
L,T
(( ) ) ( )
( )
L,T
(( ) )
m (( )
)
( )
( )
( )
( )
avec :
E
K
d
11
11
11
(u) E
et
.
22 + x3 K22
th = d22 (T (x3) - Tréf
=
)
E12
K12
d12
Remarque :
Dans le code, on a choisi de réaliser le passage du repère d'orthotropie au repère de l'élément en
deux étapes. Une première étape concerne le passage du repère d'orthotropie au repère défini
par ANGL_REP. Les données de DEFI_MATERIAU sont ainsi transformées lors de ce premier
passage. On traite ensuite le matériau équivalent comme on le ferait avec des éléments de
plaques classiques.
Le traitement de la dilatation thermique est fait sous la forme d'une contribution au second
membre de l'équation matricielle à résoudre issue du principe du travail virtuel. Cette contribution
d
T
LL
s'écrit :
T
(m)
th(n) = - P . ( .d T
.
L,T )
TT
0
4.3.2 Cisaillement
transverse
La rigidité en cisaillement transverse de chaque couche s'écrit dans le repère (V , V de la même
1
2 )
façon que la dilatation :
t
(m)
(m)
(
= P .
. P
m) (V ,V
2
2
1
2 )
(m)
C
S
avec (m)
P
=
V , V vers le repère d'orthotropie.
2
matrice de passage vectorielle de ( 1
2 )
- S C
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La rigidité en cisaillement transverse globale de la coque [R calculée de manière à être égale à
c ]
celle donnée par la loi de l'élasticité tridimensionnelle [bib2], la matrice [R est définie de sorte que
c ]
la densité surfacique d'énergie de cisaillement transverse U2 obtenue pour une distribution
tridimensionnelle des contraintes et soit identique à celle associée au modèle de plaque de
13
23
REISSNER-MINDLIN notée U .
2
1 h
-1
U =
=
1
2 -
[ m
h
] { }
( )
d3
13
23
1
-1
1
h
-1
h
U =
V R
V =
H
2
[ c]
{ } d
-h
3
[ c]
{ } d
-h
3
2
2
x3
= -
d
,
+
13
-h (11 1
12,2) 3
avec les équations d'équilibre :
x
3
= -
d
,
+
23
-h (12 1
22,2) 3
et les conditions : 0 = = pour x = ± h .
13
23
3
Les contraintes planes ,
,
s'expriment en fonction des efforts résultants en faisant
11
22 12
l'hypothèse de flexion pure et d'absence de couplage membrane/flexion. Il en résulte que :
(x
1
=
-
. ( ) P . M et A (x
1
=
-
( )
3 )
x P
3 )
x
x
3
(m)
3
(m)
3
où P est la matrice de rigidité de flexion de l'ensemble du multicouche définie par [éq 2.3-5].
Ces calculs, ainsi que les suivants sont à effectuer dans un repère unique. On choisit dans le
Code_Aster le repère intrinsèque à l'élément. Il faut donc transformer la matrice A dans ce repère.
On a alors : { (x )} = D (x ) V + D (x
3
1
3
2
3 ) {}
avec V = M
;
11,1 + M
M
12,2
12,1 + M22,2
= M
;
;
;
11,1 - M
M
12,2
12,1 - M
M
M
22,2
22,1
11,2
h
z A + A
A + A
11
33
13
32
et D = -
dz
1
- x3
2 A + A
A + A
31
23
22
33
h
z A - A
A - A
2 A
2 A
D
11
33
13
32
12
31
= -
dz
2
- x
A - A
A -
3
2
A
2 A
2 A
31
23
33
22
32
21
1
C
C V
U
11
12
s'écrit donc : U =
V
1
1
T
2
C
C
12
22
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1
h
-
avec
T
11
C = 1
D ( )
1
D d3
-
2 2
h
m
×
1
h
-
T
12
C =
1
D ( ) D2 d3
-
2 4
h
m
×
1
h
-
T
C22 =
D
2 ( ) D2d3
-
4 4
h
m
×
1
C
-H -
C
c
V
d'où U1 =U 2 V
11
12
=0V,{}
C T
C
12
22
on propose donc la solution H = C -1 .
c
11
Les coefficients de correction de cisaillement transverse correspondent au rapport des termes de Hc
à l'intégrale sur l'épaisseur du stratifié des termes de (m).
4.3.3 Efforts
généralisés
Les efforts généralisés définis au [§1.3] et mis sous une forme vectorielle sont obtenus par intégration
dans l'épaisseur de la coque en sommant les contributions des couches (d'épaisseur
n
1
e
-
n =
n
3
x
- 3
x
) :
M11
Ncouch
n
M=
x
M
3
22 = .x dx
3.
3 =
. .
1
x dx
l
n- ( ) 3 3
x
n
n=
3
M12
1
N11
Ncouch
n
N=
x
N
3
22 = dx
. 3 =
.
1
dx
l
n- ( ) 3
x
n
n=
3
N12
1
Si on exprime comme précédemment (avec m matériau de la couche n ) :
n = m .(E+x3.K-d m (
réf
T x3 -T )
( )
( )
( ) ( )
on peut noter les efforts généralisés sous la forme : (cf. [§1.3])
M-Mth =P K
. +Q E
.
N-Nth =Q K
. +R E
.
avec P , Q, R des matrices 3 x 3 s'exprimant par :
Ncouch
n
Ncouch
3
1
3
3
P =
x
2
n
n 1
(m) 1 x dx
.
. . x
x
n-
3
3
= (m) ( 3 ) -( -
3
)
x3
3
n=1
n=
1
Ncouch
n
Ncouch
3
1
2
2
Q =
x
n
n 1
(m) 1 x dx
.
. . x
x
n-
3
3
= (m) ( 3 ) -( -
3
)
x3
2
n=1
n=
1
Ncouch
Ncouch
R =
n
n-
(
1
m) (
. x3 -x3 ) = (m) e.n
n=1
n=1
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l'effort tranchant V est obtenu par dérivation du moment [§4.3.2].
Les efforts généralisés d'origine thermique sont calculés directement :
Ncouch
xn
Mth
3
réf
= . 1 .
.
.
-
3
3
-
n
x
T x
T
dx
m
x
( ( )
)
( )
d(m)
3
n =1
3
Ncouch
xn
Nth
3
réf
= . 1
.
.
-
3
-
n
T x
T
dx
m
x
( ( )
)
( )
d(m)
3
n =1
3
4.3.4 Localisation des contraintes (post-traitement)
Inversement, à la suite d'un calcul par élément finis et de l'obtention des déformations E et variations
de courbure K , on peut alors calculer le champ de contraintes
n = 1, N
dans chaque
n (
couch )
( )
couche de l'élément.
Il est nécessaire de calculer dans chaque couche (n) , la matrice ( et les termes
m)
(T (x -
. d (cf. [§3.2]) ( m = mat représente les caractéristiques matériau de la couche
3 )
T réf ) (m)
n
n).
Les contraintes
n 1
n
à une ordonnée x
- ,
dans la couche (n) sont alors :
3
]x x
3
3 [
x =
. E + x . K - d
T x - T
n ( 3 )
m
[ 3
m (
( 3) réf )]
( )
( )
( )
et le cisaillement transverse :
x = D x . V + D x .
éq
4.3.4-1
n ( 3 )
1 ( 3 )
2 ( 3 )
( )
Remarque :
Dans le code les post-traitements des éléments de plaques sont généralement définis dans le
repère associé à ANGL_REP. Les contraintes dans le repère in
trinsèque de l'élément sont ainsi
ramenées dans le repère de la variété. On a :
2
2
C
S
+ 2CS
où C = cos ( 0)
11
11
2
2
= S
C
- 2CS
S = sin (
cf. § 4.1
0 ) (
[ ])
22
22
2
2
- CS + CS C - S
12
12
où est l'angle entre V et e
eref
n
0
1
réf
4.3.5 Calcul des critères de rupture dans les couches (post-traitement)
Les valeurs limites de contraintes de rupture dépendent du matériau de la couche, de la direction et du
sens de la sollicitation (pour un groupe d'éléments correspondant au même champ matériau) :
X
L
sens
le
dans
traction
en
limite
:
orthotropi
direction
(1ère
fibres)
des
sens
:
e
X
compressio
en
limite
:
L
sens
le
dans
n
orthotropi
direction
(1ère
fibres)
des
sens
:
e
mat
Y
T
sens
le
dans
traction
en
limite
:
orthogonal
direction
(2ème
èr
1
la
à
e
e)
n
Y
compressio
en
limite
:
T
sens
le
dans
n
orthogonal
direction
(2ème
èr
1
la
à
e
e)
S
cisailleme
en
limite
:
LT
sens
le
dans
nt
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Il est nécessaire de calculer les contraintes dans le repère de la couche (définie par les axes
d'orthotropie) à partir des contraintes dans le repère de l'élément :
l'angle entre V et e
est , et celui entre e et le repère d'orthotropie est :
1
réf
0
réf
n
C2
S2
+ 2CS
où
C = cos ( +
n
0 )
L
11
= S2
C2
- 2CS
S = sin ( + cf. §4.1
n
0 ) (
[ ])
T
22
2
2
- CS + CS C - S 12
L T
n
n
Critère de contrainte maximum :
Les 5 critères suivants sont calculés par couche : ( n = 1, N - couch )
(
L n) (
L
si L >0
si
< 0
n
)
(n)
( Ln )
X (mat
X
n )
( )
(matn)
( )
(
T n) (
T
si
T > 0
si
< 0
n
) (n) ( Tn )
(
Y mat
Y
n )
( )
(matn)
( )
(T
L n)
S(matn)
Critère de TSAI-HILL :
Ce critère s'écrit dans chaque couche de la manière suivante :
2
L(n) L(n).T(n)
2
T(n)
2
LT(n)
CTH =
-
+
+
X (2mat
X
Y
S
n )
(2matn)
(2matn)
(2matn)
Le matériau est rompu lorsque C
1.
TH
Les valeurs X et Y sont remplacées par X et Y lorsque les contraintes (
,
L n
T n )
( )
( )
correspondantes sont négatives.
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5 Bibliographie
[1]
S. ANDRIEUX, F. VOLDOIRE : "Formulation d'un modèle de thermique pour les coques
minces" - Note HI-71/7131 - 1990, voir aussi : [R3.11.01].
[2]
J.L. BATOZ, G. DHATT : "Modélisation des structures par éléments finis" - Vol 2 Poutres et
plaques - HERMES 1990.
[3]
J.R. BARBER : "Elasticity". Kluwer academic publishers.
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