Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 1/16
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document R7.01.01
Relation de comportement de Granger
pour le fluage propre du béton
Résumé :
Ce document présente le modèle de fluage propre de « Granger », qui est une façon de modéliser le fluage
propre du béton.
On y détaille également l'écriture et le traitement numérique du modèle.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 2/16
Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Rappel sur le comportement en fluage d'un matériau viscoélastique linéaire [bib3] ............................3
2.1 Principe de superposition de Boltzmann .........................................................................................3
2.2 Modèle de Kelvin en série ...............................................................................................................4
3 Présentation du modèle de fluage propre de Granger [bib1] ................................................................4
3.1 Propriétés expérimentales du fluage propre du béton en chargement uniaxial..............................4
3.2 Modélisation par un groupement en série de modèles de Kelvin ...................................................4
3.3 Effet de la température ....................................................................................................................5
3.4 Effet de l'hygrométrie.......................................................................................................................6
3.5 Effet du vieillissement ......................................................................................................................6
3.6 Modélisation 3D ...............................................................................................................................7
3.7 Superposition sur la contrainte, la température et l'hygrométrie (1D).............................................7
4 Relations de comportement Code_Aster...............................................................................................8
5 Intégration numérique du modèle..........................................................................................................9
5.1 Discrétisation (1D) ...........................................................................................................................9
5.2 Intégration de la relation de comportement...................................................................................12
5.3 Variables d'état ..............................................................................................................................13
5.4 Matrice tangente ............................................................................................................................14
6 Bibliographie ........................................................................................................................................16
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 3/16
1 Introduction
Dans le cadre des études du comportement à long terme de structures en béton, une part
prépondérante des déformations mesurées sur structure concerne les déformations différées qui
apparaissent dans le béton au cours de sa vie. Elles comportent les retraits au jeune âge, le retrait de
dessiccation, le fluage propre et le fluage de dessiccation.
Le modèle présenté ici est dédié à la modélisation de la déformation différée associée au fluage
propre. Le fluage propre est, en complément du fluage de dessiccation, la part de fluage du béton
qu'on observerait lors d'un essai sans échange d'eau avec l'extérieur. Expérimentalement le béton en
fluage propre présente un comportement visqueux vieillissant. La déformation de fluage observée est
proportionnelle à la contrainte de chargement, dépend de la température et de l'hygrométrie. La
déformation longitudinale s'accompagne comme en élasticité d'une déformation transversale de signe
opposé.
Le modèle choisi est celui proposé par L. Granger [bib1]. C'est un modèle de type viscoélastique qui
prend en compte l'effet du vieillissement ainsi que l'historique de contrainte, de température et de
l'hygrométrie. Il permet donc de ce fait de modéliser les faits expérimentaux cités ci-dessus.
On effectue dans un premier temps un bref rappel sur les modèles viscoélastiques linéaires et on
présente ensuite le modèle proprement dit ainsi que son intégration numérique dans le Code_Aster.
Dans le Code_Aster, 3 versions sont disponibles : GRANGER_FP_V le modèle complet, GRANGER_FP
qui ne prend pas en compte l'effet du vieillissement et GRANGER_FP_INDT, qui en plus ne dépend pas
de la température.
2
Rappel sur le comportement en fluage d'un matériau
viscoélastique linéaire [bib3]
La courbe de fluage classique représente l'évolution en fonction du temps de la déformation d'un
matériau soumis à une contrainte unidimensionnelle constante . La déformation de fluage fl est,
par opposition à la déformation instantanée, la part de déformation qui évolue avec le temps.
Si un matériau a un comportement viscoélastique linéaire, alors quelle que soit la charge constante
appliquée à partir du temps de chargement tc , la déformation de fluage (1D) peut s'écrire :
fl (t) = f (t - t )
éq 2-1
c
où J (t,t ) = f (t - )
c
tc est la fonction de fluage, fonction croissante de (t - tc ) et nulle pour (t - tc )
négatif.
2.1
Principe de superposition de Boltzmann
La relation [éq 2-1] n'est valable que pour un chargement constant. Pour un historique de chargement
non constant on applique le principe de superposition de Boltzmann ; l'histoire de chargement (t)
est décomposée en incréments de charge :
n
(t) = H(t - )
i
ti
i=0
où
H
Heavyside.
de
fonction
la
est
n
On peut alors écrire : fl
t() = f t( - t )
i
i
i=0
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 4/16
ce qui en continu donne :
t
fl
(t) =
f (t - )
d = f
= ( f )
éq
2.1-1
t
=0
où représente le produit de convolution.
2.2
Modèle de Kelvin en série
On peut montrer que tout corps viscoélastique linéaire peut être modélisé par un groupement en série
de modèles de Kelvin et que la fonction de fluage peut alors se mettre sous la forme
r
t
f (t) = J 1
.( - exp(-
))
s
s 1
=
s
s et Js sont des coefficients positifs identifiés sur les courbes expérimentales de fluage.
3
Présentation du modèle de fluage propre de Granger [bib1]
3.1
Propriétés expérimentales du fluage propre du béton en chargement
uniaxial
Les essais de fluage propre sur éprouvette font apparaître les propriétés suivantes :
·
dans une gamme de contrainte inférieure à 50% de la résistance à la rupture, le fluage propre
est proportionnel à la contrainte,
·
le fluage propre d'une éprouvette à hygrométrie ext
h est quasiment proportionnel à ext
h . Le
fluage propre d'un béton sec est presque nul et il est maximal pour un béton saturé en eau,
·
lorsque la température T augmente on a une accélération du fluage,
·
le fluage propre est un phénomène fortement vieillissant,
·
une déformation longitudinale de fluage s'accompagne d'une déformation transversale de
signe opposé (effet de Poisson).
On choisit de modéliser le fluage propre du béton avec un modèle viscoélastique linéaire qui devra en
plus prendre en compte la dépendance du fluage vis-à-vis de la température et de l'hygrométrie.
3.2
Modélisation par un groupement en série de modèles de Kelvin
On utilise un groupement en série de modèles de Kelvin dont les coefficients sont identifiés à partir de
courbes de fluage expérimentales. On montre en pratique qu'on reproduit de façon satisfaisante les
courbes de fluage de béton avec r = 8 modèles en série.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 5/16
On utilise donc la fonction de fluage suivante :
8
t t
J (t,t ) =
c
-
J
. 1- exp -
c
s
éq
3.2-1
s=1
s
En pratique il est très difficile de déterminer à la fois les J s et s dès que le nombre de séries de
Kelvin dépasse 2. On fait donc généralement un choix a priori sur les s ,
1
=
s
s
1 10 -
et l'on
détermine alors par régression linéaire les J s .
L'expression [éq 3.2-1] est la fonction de fluage de base du modèle. On montre ci-dessous comment la
prise en compte de l'effet de la température, de l'hygrométrie et du vieillissement est intégrée dans le
modèle final.
3.3
Effet de la température
Pour tenir compte de l'effet de la température sur la cinétique de fluage, on définit un « temps
équivalent » t (t)
eq
qui va remplacer le temps t dans le modèle.
t
U
1
1
t
t
c
( ) =
exp -
-
ds
eq
éq
3.3-1
R T (s) T
s t
ref
=
c
Remarques :
U
·
La température et le terme d'activation de la loi d'Arrhénius
c sont exprimés en
R
degrés K .
·
Modéliser ainsi l'effet de la température T ne joue que sur la cinétique de fluage. Pour
réellement faire intervenir T sur l'amplitude du phénomène de fluage, en particulier sur
le niveau de la valeur à l'infini de la fonction de fluage, T est également introduite dans
l'expression de J comme une fonction multiplicative des coefficients de fluage telle que :
T - T
(
-
r
)
45
t
t
J t
( ,t ,T ) =
ref
c
-
eq
c
J
. 1- exp-
s
éq
3.3-2
45
s=1
s
·
T est la température de référence. Elle est choisie par l'utilisateur. Elle est
ref
généralement prise égale à 20°C. Dans la suite du document T sera prise égale à
ref
20°C.
·
Pour la version indépendante de la température, on a simplement t
t
( ) = t et
eq
r
t
t
J t
( , t ,T ) =
c
-
eq
c
J
. 1- exp-
s
.
s=1
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 6/16
3.4
Effet de l'hygrométrie
Dans le modèle, h est également introduit comme un paramètre multiplicatif des coefficients de fluage
de telle sorte que :
T -
r
248
t
t
J t
( ,t ,T , h) = h
J . 1 exp
éq
3.4-1
c
-
eq
c
-
-
s
45
s=1
s
Remarque :
C'est la variable séchage notée C qu'on a à l'issue du calcul Code_Aster de séchage et c'est la
courbe isotherme de sorption-désorption qui permet de passer de la variable C à l'hygrométrie du
milieu ambiant h . Soit C la courbe isotherme de désorption : C = C( h ) et h = C-1( C ). La courbe
h = C-1( C ) doit être renseignée par l'utilisateur.
3.5
Effet du vieillissement
Pour un matériau viscoélastique vieillissant, la fonction de fluage varie pour deux temps de
chargement différents. Le vieillissement est associé à l'hydratation au jeune âge et à d'autres
phénomènes comme la polymérisation pour le béton âgé. L'effet du vieillissement est modélisé en
multipliant les coefficients de fluage par une fonction de vieillissement k(t dépendant du temps de
c )
chargement. La modélisation choisie pour prendre en compte le vieillissement associée à l'hydratation
est celle du CEB [bib2] :
28 2.
0
+ 1
.
0
k t
( ) =
t
en
exprimé
est
jour.
c
2
.
0
c
t +1
c
Pour faire apparaître une sensibilité du phénomène de vieillissement par rapport à la température on
définit également un temps de chargement équivalent tc (t ) qui remplace t dans la fonction de
eq
c
c
vieillissement.
tc
U 1
1
tc t
v
( ) =
exp -
-
ds
eq
c
R T(s) T
s=t0
ref
t : correspond à l'âge du béton au jeune âge, il
0
est généralement pris égal à 28 jours
t : le temps ou âge de chargement exprimé en
c
jours
Remarques :
U
·
T et v sont en degrés K ,
R
·
pour le béton âgé il faudrait utiliser un autre temps équivalent et une autre fonction de
vieillissement,
·
si on ne prend pas en compte le vieillissement, on a simplement k(t ) = 1 .
c
La fonction de fluage, qui sera la fonction de fluage finale du modèle, s'écrit alors :
T -
n
248
t
t
J t
( ,t ,T , h) = h
k tc
(
)
J . 1 exp
éq
3.5-1
c
eq
-
eq
c
-
-
s
45
s=1
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 7/16
3.6 Modélisation
3D
L'hypothèse classique consiste à supposer l'existence d'un coefficient de Poisson de fluage constant
et égal au coefficient de poisson élastique, soit =
2
.
0 . D'où pour ,T , h constants :
f
fl
(t) = J (t,t ,T,h) 1
[( + v ) - v tr( )I ]
c
f
f
et donc :
~
~
fl t() = J t(,t ,T,h) 1
( +
)
c
f
fl
tr
(
t
( )) = J t
( ,t ,T ,h) 1
( -
2 )
tr
c
f
3.7
Superposition sur la contrainte, la température et l'hygrométrie (1D)
Pour simplifier la démonstration, on prend dans cette partie comme fonction de fluage une des
composantes de la série de Kelvin, sans prise en compte de l'effet du vieillissement, ni du temps
équivalent paramétrant la température, soit :
T - 248
t - t
J t
( ,t ,T , h) = h
J .1- exp-
c
c
s
45
s
T 248
t t
fl
-
-
la déformation de fluage s'écrivant alors :
= h
J .1- exp-
c
.
s
45
s
On rappelle que cette écriture de la déformation de fluage est valable pour , T et h constants
(dans ce cas le modèle équivaut en fait à prendre un module d'Young décroissant en fonction du
temps).
Pour une histoire de chargement, de température et d'hygrométrie non constants on applique le
principe de superposition de Boltzmann.
Supposons que pour un élément de volume donné, l'on connaisse au temps tn les grandeurs
( fl
fl
n , ,T , h )
n
n
n . Au temps tn 1
+ les grandeurs seront ( n 1
+ ,
,T
, h
)
n 1
+
n 1
+
n 1
+
.
Pour t < t <
n
tn 1
+ on propose de calculer la déformation de fluage de la façon suivante :
fl
fl
n 1
+ (t) = n (t) - J (t, t ,T , h ) +
J (t,t ,T
, h
)
n
n
n
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n
n
c'est-à-dire :
T
- 248
t - t
fl
fl
n+1
n
n+1 t() = n t() +
h
J 1- exp-
n+1
n+1
s
45
s
T - 248
t - t
n
n
-
h J 1-
n
n
s
45
exp
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 8/16
La superposition est donc considérée non seulement sur la contrainte mais aussi sur la température et
l'hygrométrie qui sont traitées mathématiquement de la même façon. D'où :
n
t - t
T - 248
fl
i
t() = J .1- exp-
h
s
i=0
45
s
i
On a alors en écriture intégrale, la déformation de fluage d'une composante s de la série de Kelvin :
t
fl
t -
T - 248
t() =
J
. 1- exp-
éq
3.7-1
s
s
d
h
45
=t0
s
4
Relations de comportement Code_Aster
On introduit dans le Code_Aster trois relations de comportement associées au fluage propre :
·
GRANGER_FP_V
·
GRANGER_FP
·
GRANGER_FP_INDT
La première tient compte de l'ensemble des effets (contrainte, température, hygrométrie et
vieillissement), la deuxième ne tient pas compte du phénomène de vieillissement et la dernière ne tient
compte ni du vieillissement ni de l'effet de la température. Elles sont disponibles en modélisation 2D,
3D et contraintes planes.
Les différents paramètres du modèle sont renseignés dans DEFI_MATERIAU. Sont renseignées sous
le mot-clé GRANGER_FP, dont l'utilisation est commune aux relations de comportement GRANGER_FP
et GRANGER_FP_V, les caractéristiques matériaux suivantes :
GRANGER_FP :
·
les (2x8) constantes caractéristiques de la
J1 : J
1
fonction de fluage J , ,
i
i
TAUX_1 :
1
.
.
.
J8 : J
8
TAUX_8 :
8
·
la courbe de sorption-désorption donnant h
FONC_DESORP : C-1 (C )
en fonction de la variable séchage C
·
la constante d'énergie d'activation pour
Uc
l'équivalence temps-température.
QSR_K :
R
Si on utilise la relation de comportement vieillissante alors on renseigne en plus le mot-clé
V_GRANGER_FP sous lequel sont renseignées les caractéristiques associées au vieillissement, à
savoir l'énergie d'activation pour le calcul du temps de chargement équivalent et la fonction de
vieillissement k(tc ) .
eq
V_GRANGER_FP :
U
QSR_VEIL :
v
R
FONC_V : k(tc )
eq
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 9/16
Pour la loi GRANGER_FP_INDT, les paramètres à renseigner sous le mot-clé GRANGER_FP_INDT de
DEFI_MATERIAU sont :
GRANGER_FP_INDT :
·
les (2x8) constantes caractéristiques de la
J1 : J
1
fonction de fluage J , ,
i
i
TAUX_1 :
1
.
.
.
J8 : J
8
TAUX_8 :
8
·
la courbe de sorption-désorption donnant h
FONC_DESORP : C-1 (C )
en fonction de la variable séchage C
5
Intégration numérique du modèle
5.1 Discrétisation
(1D)
T - 248
Posons S = T h
T =
45
L'expression [éq 3.7-1] s'écrit donc :
t
-
fl
t
S
t
( ) =
J 1
.( - exp-
.)
.
d
s
s
=t
s
0
La discrétisation en temps est telle que pour t [t
t ] on considère une évolution linéaire de S
n- ,
1 n
(décomposition de S(t) en fonctions linéaires par morceau). On a alors :
n
-
fl
S
ti
t
t
i
( ) =
.
J
n
.1- exp-
d
s
n
1
i=
t
s
i =t 1
s
i -
n
S
S
t
t
t
t
fl
n
-
-
t( ) =
J
t
J
1
exp
exp
s
n
i -
s
i
i
- n
i
-
- n
i-
s s
1
1
i=
t
t
i
i= i
s
s
n
n
t
t
t
fl
-
t( ) = J
S
S J
exp
1 exp
éq
5.1-1
s
n
s
-i s
n
i
i
i
s
-
-
-
1
1
i=
i=
ti
s
s
Remarque :
Notation X = X - X
.
i
i
i 1
-
8
Considérons maintenant les 8 modèles de Kelvin en série on a : fl
t( ) =
t( )
t( )
n
fl
=
s
n
fls n
s=1
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 10/16
t
On peut alors décomposer la déformation de fluage [éq 5.1-1] sur la base des ;
1
exp -
et
s
réaliser une récurrence sur les coefficients de cette base. D'après [éq 5.1-1] on a à t :
n
n
n
-
fl
s
tn ti
ti
0
s
( ) =
-
exp-
s
tn
J s
Si
Si
J s
1- exp-
= J
s n
A - n
A
t
i=1
i=1
i
s
s
3
2
1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
A0
As
n
n
A t
on peut également écrire :
n 1
+
n
n
1
t
t
t
fl
-
t( ) = J
S
S
J
1
exp
1 exp
s
n 1
s
-
i
n+
i
i
+
i
s
s
-
-
-
1
1
i=
i=
ti
s
s
t
+ S J - S
s
J
n+1
1 exp
n+1
s
n+1
s
-
-
t
n+1
s
soit :
n+1
n
1
fl
t
t - t
t
t( ) = J
1
s
n 1
s S -
S
J exp- n+
n
i
i
+
i
i
s
s
exp-
1- exp-
t
i=1
i=1
i
s
s
s
t
- S
s
J
n+1
n+1
s 1 - exp-
tn+1
s
On peut donc écrire :
fl
t( ) = J A0 + S J
s
n+1
s
n
n+1
s
t
t
- s
A exp -
n+1
- S
s
J
n+1
1 exp
n
n+1
s
-
-
t
s
n+1
s
8
Posons J = J ,on a alors :
s
s=1
8
8
fl
(t ) = J 0
A -
A et
t
J A
A
n
n
s
fl (
) = 0 -
s
n
n+1
n+1
n+1
s=1
s=1
avec
A0 = A0 + S
n+1
n
n+1
t
t
s
s
A = A exp(- n+1 ) + S
s
J
n+1
1 exp
n+1
n
n+1
s -
-
t
s
n+1
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 11/16
Plus précisément, si :
·
on prend en compte le temps équivalent pour la température et le vieillissement,
·
au cours d'un pas de temps le paramètre T est évalué au milieu du pas de temps pour le
calcul des temps équivalents t et tc , son évolution étant supposée linéaire au cours de
eq
eq
ce pas de temps,
alors on a :
8
fl
(t ) = J 0
A
-
s
A
n+1
n+1
n+1
s=1
avec
U 1
1
t (t ) - t (t ) = dt (t ) = exp - c
-
t
eq
n 1
+
eq
n
eq
n 1
+
n 1
+
R T
T
n 1+/2
ref
U 1
1
tc (t ) - tc (t ) = dtc (t ) = exp - v
-
t
eq
n 1
+
eq
n
eq
n 1
+
n 1
R T
293
+
n 1+/2
A0 = A0 + k tc
(
t
(
)) S
n+1
n
eq
n+1/ 2
n+1
t
t
eq
eq
s
A
= s
A exp(-
n+1 ) + S
s
J k tc
(
t
(
))
n+1
1 exp
n+1
n
n+1
s
eq
n+1/ 2
-
-
t
s
n+1
s
Remarques :
n 1
+
·
Si on ne tient pas compte du vieillissement k alors 0
A
=
S S
,
n
=
1
+
i
n 1
+
i 1
=
X
+ X
·
on a noté
n 1
n
X
=
+
n 1
+
,
/ 2
2
·
on a noté t
= t t
.
eq
eq (
1
+ )
n 1
+
n
Pour avoir au temps t
, il ne faut stocker que A
A du pas de temps précédent, soient 9
fl
n 1
+
0 et les
s
variables. En 3D A et
A sont des tenseurs. On associera alors aux deux relations de
0
les
s
comportement de fluage propre (9x6) variables internes correspondant aux composantes des tenseurs
A . Elles caractérisent l'avancement du fluage.
L'écriture en incrément de déformation, plus proche de la programmation donne quant à elle :
teq
fl
(t ) = fl
(t ) - fl
(t ) = s
n+
A 1 exp(
1 )
s
n+1
s
n+1
s
n
n -
-
s
teq
+ S
k(tc (t
)) J
s
n +
1
1
(
exp
1 )
n+1
eq
n+1/ 2
s
-
-
-
t
n+1
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 12/16
5.2
Intégration de la relation de comportement
1
Soit l'incrément de déformation =
(( u
)
T
+ ( u
)).
2
Si on tient compte, dans la partition de déformation, de la déformation thermique, des déformations
associées au retrait endogène et au retrait de dessiccation, alors :
e
fl
th
retend
retdés
=
+
+
+
+
où :
e
= H
: déformation élastique
th
= T
( - ref
T
I
) d
: déformation thermique
retend
= -I
: déformation de retrait endogène
d
retdes
= - C
(
-
ref
C I
) d : déformation de retrait de dessiccation
avec :
: hydratation,
C : concentration en eau.
ref
T
et Cref : température et séchage de référence
H ,,
, : caractéristiques matériaux
Remarque :
Dans la suite du document, on notera
A
th
ret end
ret des
=
+
+
.
~
~
µ
e
2 ~-
~
~ fl
= 2µ =
+ 2µ - 2µ
2 -
µ
et
~ fl
8
~ 0
~ s
(t ) = 1
( +
) J A
-
A
n+1
f
n+1
n+1
s=1
il résulte que :
t t( )
1
2µ
~
s
eq
n+
1+ (2µ)(1+ h T k tc
J
~
1
1 exp
µ ~
2
f )(
( eq
)
+1/ 2
-
-
-
=
- +
s
n
2µ
s
t
-
n+1
s
~
t t( )
s
eq
n+1
- (2µ 1
)( +
~
)
A 1 exp
( h T ) k tc
f
-
-
- - - -
n
( eq )
n+
1/ 2
s
s
t t( )
s
eq
n+1
J 1-
1- exp -
s
s
t
n+1
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 13/16
De même :
th
3K
tr() = 3K tr( ) =
tr(- ) + 3K tr(
e
) - 3K tr(
fl
) - 3K tr( A
)
3K -
et
fl
8
0
s
tr( ) = 1
( - 2
) J A -
A
f
n
n
s=1
d'où :
t (t )
+
K
s
eq
n 1
3
tr() 1
+ 3K 1
( - 2 )(h T k(tc
)
+
J 1-
1- exp -
=
tr( - )
f
eqn 1/2
s
-
s
t +
K
n 1
s
3
t
n +1
t
+ 3K tr( e
) - 3K(1- 2
A - -
- - h- T - k tc
f )
tr( sn )
(
)
1 exp
eq
(tr
) ( eq
)
n +1/ 2
s
s
t
(t )
+
J 1
s
-
1- exp
eq
n 1
-
s
s
tn 1+
s
- 3K tr(
A
)
1
On en déduit alors puisque = ~ + tr
ij
ij
ij
3
5.3 Variables
d'état
Les variables d'état des deux relations de comportement sont donc :
·
: tenseur des contraintes,
·
: tenseur des déformations,
·
T : température,
·
C : concentration en eau,
·
: hydratation,
·
A : tenseurs caractéristiques de l'avancement du fluage, soient 6x9 variables,
s
·
tc : temps de chargement équivalent, caractéristique de l'âge du béton.
eq
Les A et tc sont des variables internes des lois de comportement, lesquelles comportent donc
s
eq
55 variables internes.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 14/16
5.4 Matrice
tangente
~ 1 (tr )
=
+
I
d
3
~ ~ ~
~ij
=
=
1
-
~
ik
jl
ij kl
3
kl
(tr ) (tr ) (tr )
( )
=
tr
=
ij
(tr )
ij
Itération de Newton :
~
t (t )
s
eq
n+
1
+ 2µ 1
( + ).h T k(tc
)
J
f
eqn+
1-(
1
)( - exp(
1
-
))
s
= 2µI
~
1/ 2
s
t
n 1
+
s
avec I
=
ijkl
ik
jl
(tr )
t
t
(
)
+
1
+ 3K 1
( - 2
h
). T k tc
(
)
+
J
s
eq
n
1- (
1
)( - exp(
1
-
))
= 3KI
f
eq
s
n
(tr )
1/ 2
s
t
n 1
+
s
Phase de prédiction pour le pas de temps [tn, tn+1]
Remarque :
fl
-
s
A
S
En 1D :
s
=
- J k tc
(
)
.
t
s
eq
t
s
tn
Ecriture en vitesse à l'instant t :
n
~
~
-
-
1+2µ 1
( + )( J k tc
(
) T
h )
2µ
2µ 1
f
=
-
s
eqn
( + f )
t
s
t
~-
A
T
d
dh
s -J k tc
(
)~- -
h
- J k tc
(
)~-
T-
s
eq
s
eq
n
n
s
dt
dt
s
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 15/16
linéarisation pour la phase de prédiction du pas de temps [tn,tn + ]
1 :
~
-
-
1+2µ 1
( + )( J k tc
(
) T
h )
f
=
s
eqn
s
~-
A
µ~
2
-2µ 1
( + )
t J k tc
(
~
)
h T J k tc
(
~
)
T
h
f s -
- - -
- -
s
eq
s
eq
n
n
s
s
Ecriture en vitesse à l'instant tn :
(tr)
-
-
(tr)
1+3K 1
( -2 )(J k(tc )T h ) =3K
t
f
s
eq
s
t
(tr -
A )
s
-
-
T
d
-
- dh
-3K 1
( -2 )
- J k(tc )(tr )h
- J k(tc )(tr )T
f
s
eq
s
eq
n
n
s
dt
dt
s
dT
d
dC
-3K 3
(
)+3K 3
(
)+3K 3
(
)
dt
dt
dt
linéarisation pour la phase de prédiction du pas de temps [tn,tn + ]
1 :
-
-
(tr
) 1+3K 1
( -2 )(J k(tc )T h ) =3K (tr
)
f
s
eq
n
s
(tr -
A )
-3K 1
( -2 )
s
t
- J k(tc )(tr -
)h- T
- J k(tc )(tr -
)T- h
f
s
eq
s
eq
n
n
s
s
-3K 3
( T
)+3K 3
( ) +3K 3
( )
C
Le fluage introduit donc un terme de second membre spécifique lors de la phase de prédiction qui en
fait est négligé, sans conséquence sur les résultats.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Relation de comportement de Granger pour le fluage propre du béton
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
R7.01.01-C Page
: 16/16
6 Bibliographie
[1]
L. GRANGER : Comportement différée du béton dans les enceintes de centrale nucléaire :
analyse et modélisation. Thèse de Doctorat de l'ENPC (février 1995).
[2]
CEB FIP Model (1990) General task group n°9, Evaluation of the time behaviour of concrete.
[3]
J. LEMAITRE, J-L CHABOCHE : Mécanique des matériaux solides. Dunod.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisation pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
Document Outline