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Titre :
Réduction de modèle en dynamique linéaire et non-linéaire : Méthodes de RITZ Date :
25/11/05
Auteur(s) :
L. RATIER, G. JACQUART Clé
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Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base Modale
Document : R5.06.01
Réduction de modèle en dynamique linéaire et non-
linéaire : Méthode de RITZ
Résumé :
Ce document présente le principe de réduction de modèle par projection sur base réduite (méthode de Ritz).
La base le plus couramment utilisée est la base modale.
Les problèmes de troncature dus à l'utilisation d'une base réduite sont évoqués. Des corrections de troncature
sont proposées.
La description et les propriétés des algorithmes de résolution du système d'équations différentielles du second
ordre obtenue en analyse transitoire sont présentées dans le document [R5.06.04].
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Méthodes de réduction de Ritz en linéaire ............................................................................................3
2.1 Description générale........................................................................................................................3
2.1.1 Formulation continue..............................................................................................................3
2.1.2 Approximation éléments finis .................................................................................................4
2.2 Projection sur base réduite..............................................................................................................4
2.3 Projection sur base modale .............................................................................................................5
2.4 Erreur de troncature modale............................................................................................................7
2.5 Corrections de la troncature modale ...............................................................................................9
2.5.1 Correction statique a posteriori ..............................................................................................9
2.5.2 Adjonction de modes statiques à la base.............................................................................10
3 Extension des méthodes de réduction de Ritz en non-linéaire ...........................................................11
3.1 Problème général ..........................................................................................................................11
3.2 Indication de l'erreur de projection ................................................................................................12
4 Utilisation dans le Code_Aster.............................................................................................................13
5 Bibliographie ........................................................................................................................................14
Annexe 1 .................................................................................................................................................15
Annexe 2 .................................................................................................................................................18
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Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
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1 Introduction
A partir d'une description de la géométrie et des matériaux des structures, la méthode des éléments
finis permet de créer un modèle précis et fiable mais de grandes dimensions. Dans le cas d'un
problème de dynamique, on souhaite calculer la réponse d'un système pour différents instants
(analyse transitoire) où pour différentes fréquences (analyse harmonique). La taille du modèle
éléments finis obtenu est souvent inconciliable avec le nombre de calculs nécessaires pour obtenir
tous les résultats voulus.
Pour un ensemble restreint de sollicitations dynamiques, il existe généralement un sous-espace de
faible dimension permettant de décrire le comportement dynamique de la structure sous des
sollicitations spécifiques.
La projection du modèle sur une base restreinte est appelée méthode de Ritz ou Rayleigh-Ritz.
Ce document comporte les points suivants :
·
une présentation des méthodes de Ritz, leur utilisation en linéaire,
·
un détail des possibles corrections de troncature,
·
la généralisation en non linéaire des méthodes de Ritz,
·
deux exemples simples d'illustration.
2
Méthodes de réduction de Ritz en linéaire
2.1
Description générale
2.1.1 Formulation
continue
La méthode de Ritz consiste à projeter le déplacement sur une base restreinte de fonctions vérifiant
les conditions cinématiques du problème :
n
u~(M ,t) = i t() i (M ) éq
2.1.1-1
i=1
Le déplacement est décrit par une série de formes indépendantes { (M ) ; i
i
= K
1
}
n multipliées par
des amplitudes fonctions du temps { t
( ) ; i
i
= K
1
}
n .
La difficulté consiste à définir cette famille de forme { (M ) ; i
i
= K
1
}
n qui contrairement aux
fonctions de forme de la méthode des éléments finis sont non nulles sur la plus grande partie de la
structure.
La qualité de l'approximation est liée au fait que les déplacements obtenus ont une bonne
approximation dans le sous-espace engendré parVect{ (M ), i
i
= K
1
}
n .
Projection sur base modale
On sait que les modes propres { (M ) ; i =
i
K
1
}
engendrent l'espace des champs
cinématiquement admissibles. Le déplacement se décompose selon :
u(M ,t) = (t) (M )
i
i
éq
2.1.1-2
i=1
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L'option la plus couramment utilisée pour la méthode de Ritz consiste alors à prendre comme base de
projection les n premiers modes :
n
u~(M ,t = ~
)
i t()i (M )
éq
2.1.1-3
i=1
Le déplacement obtenu est une approximation du déplacement réel.
Il peut être intéressant d'ajouter au n premiers modes, d'autres formes (voir [§2.6.2]).
2.1.2 Approximation éléments finis
Dans le cas d'une approximation du déplacement par éléments finis le déplacement est déjà approché
dans l'espace des fonctions de formes :
Nh
h
u (M ,t) = qi t()Ni (M )
éq
2.1.2-1
i=1
On note U le vecteur des degrés de liberté du déplacement : U (t) = [q1(t),q2(t), q
K Nh(t)] ;
Méthode de Ritz en dimension finie
Si n < Nh , la méthode de Ritz appliquée au champ u(M ,t) vient alors comme une seconde
approximation :
n
~
U t
( ) = ( )
i t
i
éq
2.1.2-2
i=1
avec { i
, i= n}
K
1
la base des n vecteurs indépendants et cinématiquement admissibles.
On pose = [
,
,
,
1
2
,
3
n ]
U =
K
. D'où l'écriture matricielle :
éq
2.1.2-3
2.2
Projection sur base réduite
Considérons le système différentiel suivant obtenu par une méthode d'éléments finis :
Nh
MU& + U
C & + KU =
U
F
R éq
2.2-1
La solution recherchée sous la forme [éq 2.1.2-3]. En considérant la même forme pour le déplacement
virtuel, il vient :
T
T
T
T
n
M&+
C & + K =
F
R
éq
2.2-2
où : est le vecteur des déplacements généralisés, K = T K et M = T M sont appelées
respectivement matrices de raideur et de masse généralisées.
Le système [éq 2.2-2] est généralement un système différentiel couplé, les matrices généralisées qui
le composent sont dans le cas général pleines même si au départ les matrices M et K étaient
creuses. On perd donc la structure particulière au profit d'une taille de problème beaucoup plus réduite
n*n.
Dans le cas général, le système [éq 2.2-2] ne fournit qu'une solution approchée du système [éq 2.2-1].
L'erreur que l'on commet est appelée erreur de troncature.
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On n'a aucune information sur la valeur de cette erreur. Elle peut être très grande si le sous-espace de
projection est mal choisi. On sait seulement que cette erreur diminue quand la taille de la base de
projection augmente.
Si l'on dispose d'information a priori sur la forme de la solution, on peut choisir de façon efficace la
base de projection de façon à minimiser cette erreur. Par exemple, si l'on sait que la solution n'est
constituée que de mouvements de corps solide, on peut restreindre à 6 la dimension de l'espace.
Par la suite, on choisit la base des modes propres comme base de projection.
2.3
Projection sur base modale
Modes propres
Les modes sont définis comme les couples (
{ h h
i, i )i= Nh}
K
1
solutions de l'équation :
(
2
K - M ) = 0 éq
2.3-1
Remarque :
Il convient de vérifier que les modes calculés par approximation éléments finis sont
suffisamment représentatifs : ( h
h
i, i ) ( i
, i ). On peut considérer que l'approximation
éléments finis
est correcte lorsque les déformées modales présentent une longueur d`onde
supérieure à la taille des mailles du maillage (la notion de longueur d'onde est une
généralisation de la notion définie sur l'équation des ondes, on peut la définir comme deux
fois la longueur entre deux noeuds de la déformée modale).
Par la suite on omet, l'indice h correspondant à l'approximation éléments finis.
Quotient de Raleigh : interprétation énergétique
Les pulsations et formes propres peuvent être définies comme les solutions du problème de
minimisation suivant :
i
[ ,
1 Nh] :
RNh -Vect{ , j ,
0 i -1
j
}
i minimise dans le sous espace
[
] la
fonctionnelle :
X t KX
t
K
R(X ) =
on pose : 2
i
i
=
= ( )
éq
2.3-2
X tMX
i
R
i
t
i Mi
Méthode de réduction
Une méthode de réduction très largement employée pour les problèmes linéaires est la méthode de
recombinaison modale. Elle consiste à choisir comme base de projection les n premiers modes
propres de la structure {i,i= n}
K
1
.
n
~
U t
( ) = ( )
i t
i
éq 2.3-3
i=1
Considérons toujours le système différentiel suivant :
Nh
MU& + U
C & + KU =
U
F
R éq
2.3-4
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Les modes propres {i,i= Nh}
K
1
ont la propriété d'être M et K orthogonaux, c'est-à-dire qu'on a les
relations suivantes :
T
i M j = i
m ij
T
i K j = ki ij
est le symbole de KRONECKER
i
m est appelée masse modale ou masse généralisée du mode i
ki est appelée rigidité modale ou rigidité généralisée du mode i
Les matrices projetées de M et K sur la base des modes propres sont donc diagonales ; c'est un
des avantages qui a motivé l'emploi de la base modale comme base de projection. Le système
[éq 2.3-4] projeté sur la base des premiers modes propres du système s'écrit :
\ 0 0
\ 0 0
0 m 0
T
T
i
&
+ C & + 0 k 0
i
= ext
F
éq 2.3-5
0
0
\
0 0 \
La projection de la matrice C n'a aucune raison en toute généralité d'être également diagonale. Si le
système est fortement amorti (présence d'amortisseurs sur la structure), cette matrice ne sera pas
diagonale.
Remarque :
Contrairement à ce que font beaucoup de logiciels, le Code_Aster permet dans ce cas
d'intégrer le système d'équations modales couplées sans diagonalisation de la matrice
d'amortissement généralisé. La méthode d'intégration est dans ce cas une méthode implicite
de NEWMARK ou explicite EULER.
Par contre, si le seul amortissement entrant en jeu est un amortissement structurel (dissipation interne
du matériau pour une structure homogène) il est alors licite de faire l'hypothèse d'un amortissement
proportionnel, encore appelé hypothèse de BASILE, dans ce cas C s'exprime comme combinaison
linéaire de M et K (amortissement de RAYLEIGH), et sa projection sur les modes propres est
diagonale(cf doc [R5.05.04] sur la modélisation de l'amortissement).
Dans ce cas, le système [éq 2.3-4] se scinde en p équations différentielles linéaires du second ordre
découplées. La réponse du système est alors la recombinaison de la réponse de p oscillateurs simples
associés aux modes propres, d'où l'expression de "superposition modale" utilisée couramment.
Chaque équation différentielle s'écrit i
m :
i
m i& + ici& + kii = fi
éq 2.3-6
ou encore en divisant par la masse modale :
fi
2
i
& +
2 i i
i& + i
i =
éq 2.3-7
i
m
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avec :
i
c
i
c
i amortissem
ent
réduit
modal
=
=
c
2
critique
i
m
. i
Cette équation peut être résolue très simplement dans le domaine fréquentiel :
)
)
i ( )
i =
f
éq 2.3-8
i
m (
2
2
. - + .
2 i i
+ i
)
où $ représente la transformée de FOURIER et la fréquence d'excitation.
Des méthodes numériques particulières telles l'intégrale de DUHAMEL permettent de passer cette
expression du domaine fréquentiel au domaine temporel. (voir par exemple doc [R5.05.01] sur une
méthode d'intégration temporelle).
2.4
Erreur de troncature modale
Dans le cas de la recombinaison modale avec amortissement proportionnel, on peut mettre en
évidence l'erreur de troncature que l'on commet en projetant sur la base des premiers modes propres
du système. En effet, si l'on considère la base complète des n modes propres du problème discrétisé,
il y a équivalence entre le problème initial et le problème projeté. Donc la solution exacte du problème
discrétisé par éléments finis s'écrit :
Nh
U =
i
i
i
où les coordonnées généralisées sont solution de :
fi
2
i
& +
2 i i
i& + i
i =
i
m
la sommation s'étendant sur tous les modes propres du système (de taille finie).
En résolvant le problème avec un nombre réduit de modes propres, n < Nh . La solution obtenue est
la suivante :
n
~
U =
i
i
i=1
L'erreur commise en tronquant la base de représentation de la solution est donc :
Nh
E =
~
U -U =
i
i
éq
2.4-1
i=n+1
Dans le domaine fréquentiel l'expression de l'erreur est :
)
Nh
t
) ~)
i (
F )
1
^E() = U -U =
.
. i
éq 2.4-2
m
2
2
i =n+1
i
i - + 2 j i i
la sommation s'effectue sur tous les modes négligés du système.
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Etudions la réponse relative statique d'un oscillateur à une excitation purement sinusoïdale de
fréquence variable (schéma ci-dessous), avec statique les coefficients de la réponse statique
correspondant à une force statique. On peut distinguer trois intervalles dans le spectre où l'oscillateur
a un comportement différent. En basse fréquence ( << 0 ) , l'oscillateur a une réponse statique.
Autour de 0 l'oscillateur a une réponse dynamique (amplification du mode), et à haute fréquence
1
l'oscillateur répond de façon inertielle (
terme prépondérant).
2
Réponse d'un oscillateur
100
10
/
statique
1
Amplitude
Réponse statique
Réponse dynamique
Réponse inertielle
,1
0
1
2
Fréquence réduite /0
Supposons que l'excitation du système, définie par le vecteur F() , soit à bande étroite, notamment
qu'elle soit nulle pour des fréquences supérieures à max donné.
Dans ce cas, pour représenter correctement la réponse du système linéaire, il faut assurément
prendre en compte tous les modes ayant une pulsation inférieure à max , car ces derniers vont
répondre de façon dynamique à l'excitation.
Par contre, les modes tels que >>
i
max ont quand même une contribution statique à la réponse
du système. Ce sont souvent ces modes que l'on ne prend pas en compte.
En faisant un développement limité en au voisinage de 0 . On obtient la partie principale de l'erreur
qui est :
)
n
T
) ~)
i . (
F )
^E() = U -U =
. 1 - 2 j
+ 0
i
. i
éq
2.4-3
k
i = p+1
i
i
i
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L'erreur est d'autant plus petite que les rigidités généralisées des modes négligés sont grandes. En
principe donc, il faudra prendre tous les modes les plus souples jusqu'à ce que la souplesse résiduelle
d'un mode suplémentaire soit en valeur relative négligeable par rapport à la somme des souplesses
déjà prises en compte :
n
1 << 1
kn+
k
1
i=1 i
Cependant, on observe qu'en négligeant les modes de fréquence élevée on commet une erreur
systématique sur la réponse du système (même en basse fréquence). Il existe différentes possibilités
que nous allons détailler maintenant pour corriger la réponse dans la plage [ ,
0 max ] où l'on a choisi
les modes.
2.5
Corrections de la troncature modale
Pour pallier au problème de troncature dû aux modes négligés, il faut essayer d'estimer leur effet dans
le domaine de fréquence [ ,
0 max ] qui nous intéresse. Nous avons vu que les modes négligés
ayant une pulsation propre telle que >>
i
max ont une contribution dite statique à la réponse du
système dans le domaine [ ,
0 max ]. Les techniques de correction consistent à calculer cette
contribution statique.
2.5.1 Correction statique a posteriori
L'erreur de troncature, en ne considérant que la réponse statique des modes négligés (transformée
inverse de la partie principale de l'erreur) est :
Nh
T
~
i . (
F t)
E(t) = U -U
. i
éq
2.5.1-1
k
i=n+1
i
Mais a priori les modes négligés ainsi que leurs rigidités généralisées sont inconnus. Par contre, on
sait déterminer la réponse statique complète du système à un chargement F , cette dernière vaut :
Nh
T
-
.F
1
i
(t)
U = K . (
F t)
. i
k
i=1
i
La correction qu'il faut apporter est donc :
Nh
T
i . (
F t)
n
T
-
.F
1
i
(t)
. i K . (
F t) -
. i
k
k
i=n+1
i
i=1
i
La solution corrigée de la réponse du système vaut donc :
n
T
~
~
-
.F
1
i
(t)
U = U + E U + K . (
F t) -
. i éq
2.5.1-2
k
i=1
i
Cette correction est appelée a posteriori, car elle n'intervient pas dans la résolution dynamique du
système linéaire et peut n'être calculée que bien ultérieurement. Si (
F t) se décompose en k produits
de fonctions du temps par des fonctions des coordonnées d'espace, cette correction nécessite une
factorisation de K et k résolutions.
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Cette méthode a l'avantage de ne pas augmenter le nombre de vecteurs pris en compte dans la base.
Cette méthode est applicable dans le cas d'une excitation à bande étroite, ou tout au moins ayant une
fréquence de coupure connue. La correction est exacte dans le domaine basse fréquence mais peut
fausser la réponse du système en haute fréquence [§Annexe1].
2.5.2 Adjonction de modes statiques à la base
Supposons que le chargement F(t) s'écrive :
F(t) = j (t)F
. j
j
La seconde façon de corriger l'erreur de troncature consiste à ajouter à la base des modes propres
initiaux des modes statiques j définis comme la déformée à chaque effort Fj donné :
1
-
j = K F
. j
éq
2.5.2-1
La nouvelle base de projection à considérer est la suivante :
) = [ , ...,
, , , ...,
, ] = []
1
2
p
1
2
m
éq
2.5.2-2
Les composantes généralisées à utiliser sont les suivantes :
) = [ , ...,
, ,µ ,µ ...,
, µ ] = [,µ]
1
2
p
1
2
m
éq
2.5.2-3
Le problème projeté sur la base complétée est :
\
0
0
\ 0 0
T
T
0 m
0
i
.M
.
&
T
0 k
0
i
.K
.
.F
.
+
=
éq
2.5.2-4
0
0
\
µ
&
0 0
\
µ T .F
.
T .M
.
T .M
.
T .K
.
T .K
.
On constate que l'on a perdu le caractère diagonal des matrices généralisées, mais l'avantage obtenu
est que la base complétée avec des modes statiques permet de représenter correctement le
comportement à basse fréquence du système initial.
Par exemple il est simple de montrer qu'à fréquence nulle la solution de ce système est :
=
0 et µ
= qui est la solution exacte du problème statique initial.
On présente en annexe 1, la comparaison sur un système discret à 3 degrés de liberté entre la
solution exacte, la solution projetée sur 1 mode, celle projetée sur un mode avec une correction
statique et le solution constituée par 1 mode propre et 1 mode statique.
On s'aperçoit que l'adjonction de modes statiques permet d'étendre au delà de l'intervalle
[ ,0 = max
max
(j)] la bonne représentation dynamique du système. Cette technique semble donc
très intéressante, elle a le mérite de procéder immédiatement à la correction ce qui sera intéressant
pour les méthodes non linéaires où l'on a besoin de la connaissance des déplacements physiques à
chaque pas de temps.
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3 Extension des méthodes de réduction de Ritz en
non-linéaire
3.1 Problème
général
Le problème de dynamique non-linéaire discrétisé sans amortissement peut le plus souvent se mettre
sous la forme suivante :
.
M X& + G(X) = F(t)
n
X R éq
3.1-1
G(X) est une fonction non-linéaire de X qui représente les forces internes du système ainsi que
toutes les autres forces qui sont dépendantes du déplacement, F le vecteur des forces externes et
M la matrice de masse du système.
La matrice de rigidité tangente du système est par définition :
tg
G
K( =
x)
(x) éq 3.1-2
X
Elle permet de définir à chaque instant une base modale par :
2
- tg
M + tg
K
.
tg
= 0
i
i ( X )
éq 3.1-3
( X )
Les modes ainsi définis dépendent de X , donc de l'instant t .
Sachant que le calcul de la base modale est très coûteux en temps de calcul, l'idée de vouloir projeter
à chaque pas de temps le modèle sur une base modale, puis de résoudre, est sans intérêt par rapport
à une résolution directe.
La méthode la plus couramment utilisée consiste à définir une base de projection en ajoutant aux
modes calculés sur une configuration initiale des formes permettant de projeter la non linéarité.
Exemple : dans le cas où la non linéarité provient d'un choc ponctuel, on propose d'enrichir la base
modale avec des modes statiques permettant de projeter l'effort subi par la structure durant le choc
[R5.06.04].
La méthode de Ritz reste toujours pertinente dans les calculs non linéaires, si la base choisie permet
de projeter correctement les déplacements et les efforts.
Le problème non linéaire projeté sur une base quelconque s'écrit :
T
T
T
n
M .&+ G(X )
=
F R
éq 3.1-4
Deux possibilités sont alors possibles :
·
les non linéarités sont localisées et l'on peut évaluer la non linéarité sur la base de projection
: G(X ) = G( ).
Le problème à résoudre est un système différentiel non linéaire en de taille plus petite.
Différentes stratégies sont possibles pour résoudre ce problème, dépendant essentiellement
de la technique d'intégration que l'on souhaite utiliser.
·
les non linéarités sont globales, et il faut repasser dans l'espace des ddls physiques pour
calculer les forces internes : G( X ) .
Cette seconde méthode est plus coûteuse elle est beaucoup moins courante.
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Version
7.4
Titre :
Réduction de modèle en dynamique linéaire et non-linéaire : Méthodes de RITZ Date :
25/11/05
Auteur(s) :
L. RATIER, G. JACQUART Clé
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On présente en annexe 2, la comparaison sur un système à 3 degrés de liberté avec une non linéarité
en 3
x entre la solution exacte et la solution obtenue par la méthode ci-dessus avec 1 puis 2 modes.
On s'aperçoit qu'il est nécessaire de prendre plus de modes en compte que pour le problème linéaire.
Par contre, sur cet exemple 2 modes suffisent très bien à décrire le système.
3.2
Indication de l'erreur de projection
Pour les problèmes non linéaires le sens physique du nombre de modes à prendre en compte est
complètement perdu, et si les méthodes de réduction donnent toujours une solution il faut savoir le
degré de confiance que l'on peut leur accorder. Une façon de procéder, qui est un peu coûteuse mais
indispensable est de calculer le résidu du système initial à chaque pas de temps. Il se définit par :
R = M X
. & + G(X)- F(t)
Ce vecteur résidu n'est malheureusement pas nul, c'est uniquement sa projection sur la base utilisée
qui l'est.
Une norme peut alors être calculée pour ce résidu ; plus la norme du résidu sera petite plus on pourra
accorder de confiance à la solution.
Pour utiliser une valeur relative, on a intérêt à calculer la fraction suivante :
R
r =
(
éq
3.2-1
max F(t) , G(X) , M.X& )
Remarque :
Cet indicateur n'est pas implanté actuellement dans le Code_Aster.
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4
Utilisation dans le Code_Aster
Dans le Code_Aster, les méthodes de Ritz sont utilisables en transitoire essentiellement par
l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL [U4.53.21].
Une phase de projection des matrices de rigidité et de masse sur une base de vecteurs est réalisée
par les opérateurs PROJ_MATR_BASE [U4.63.12] et PROJ_VECT_BASE [U4.63.13].
Le problème dynamique généralisé est ensuite résolu dans l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL par un
schéma d'intégration explicite (EULER ou DEVOGELEARE) ou implicite (NEWMARK). Les
caractéristiques et propriétés des schémas d'intégration sont présentés dans la note [R5.06.04]. Pour
les structures pour lesquelles l'hypothèse de BASILE ne s'applique pas (amortissement non
proportionnel) on projettera aussi la matrice d'amortissement qui ne devient pas diagonale.
L'intégration du système couplé se fait alors obligatoirement avec le schéma implicite (NEWMARK) ou
explicite (EULER).
Les non-linéarités localisées sont spécifiées directement dans l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL. On
peut introduire des non-linéarités localisées du type choc et frottement (voir [R5.06.03] Modélisation
des chocs et frottements), des forces modales fonction du déplacement ou de la vitesse (voir
[R5.06.05] sur la modélisation d'une force de lame fluide).
Les corrections statiques de troncature a posteriori sont disponibles dans le cas d'une excitation
unique (voir [R4.05.01] Réponse sismique).
L'adjonction de modes statiques peut se faire en utilisant au préalable les opérateurs
MODE_STATIQUE [U4.52.14] et DEFI_BASE_MODALE [U4.64.02]. Quand le problème comporte des
non-linéarités seuls les schémas explicites peuvent être utilisés.
Pour les non-linéarités globales [éq 3.1-4], il est possible d'utiliser la commande DYNA_TRAN_EXPLI
[U4.53.03] qui calcule à chaque pas de temps les forces internes en fonction des ddls physiques, puis
projète le problème sur une base modale.
Une opération de retour à la base physique est ensuite nécessaire pour obtenir les grandeurs
physiques tels que déplacement, vitesse ou accélération sur la structure. Cette opération est réalisée
par l'opérateur REST_BASE_PHYS [U4.64.01].
Plus généralement, l'approche de Ritz peut être utilisée en calcul harmonique par la commande
DYNA_LINE_HARM [U4.53.22] et en densité spectrale de puissance par la commande
DYNA_ALEA_MODAL [U4.53.23].
Enfin la sous-structuration dynamique peut être considérée comme une méthode de Ritz spécifique
[R4.06.02].
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5 Bibliographie
[1]
BATHE - WILSON : Finite Element procedures in Engineering Analysis
[2]
M. GERADIN, D. RIXEN : Théorie des vibrations : application à la dynamique des structures
Masson 1993
[3]
J.F.IMBERT : Analyses des structures par éléments finis - cepadues éditions 1979
[4]
BELYTSCHKO - LIU - PARK : Innovative methods for non linear problems
[5]
EWINS D. J. Modal Testing : Theorie and practice Reserch Studies Press LTD
[6]
R.E. RICKELL : Non-linear dynamics by mode superposition Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering (1976) vol 7
[7]
P. LUKKUNAPRASIT : Dynamic response of an elastic, viscoplastic system in modal
coordinates. Earthquake Engineering & Structural Dynamics (1980)
[8]
G. JACQUART : Méthodes de RITZ en dynamique non-linéaire - Application à des systèmes
avec choc et frottement localisé - Rapport EDF-DER HP-61/91.105
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Annexe 1
Considérons le système discret à trois masses suivant :
m
m
m
k
k
k
Les matrices de rigidité et de masse sont :
m 0 0
k
- k
0
M = 0 m 0 K = - k 2k - k
0 0
m
0 - k 2k
k
Soit : 2
0 =
m
Les modes propres et leur pulsation valent :
1
2 = 0 198
,
2
1
0
,
1
m = 1 8
, 41
,
m
1
= 0 802
,
0 4
, 45
1
2 = 1555
,
2
2
0 ,
2
m = 2 8
, 63 ,
m 2
= - 0 555
,
-
1 2
, 47
1
2 = 3 247
,
2
3
0
,
3
m = 9 2
, 96
,
m
3
= - 2 247
,
1 802
,
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Comparons les réponses du système modélisé par un seul mode propre avec ou sans correction statique :
Réponse du système
1 mode
Solution exacte
1 mode + correc
100
10
1
Amplitude
,1
,01
0
1
2
Fréquence
On constate que la correction statique permet de corriger la réponse à basse fréquence, le modèle avec 1
mode plus correction colle parfaitement à la solution exacte en basse fréquence. Par contre, en haute
fréquence (au delà du premier mode), cette correction conduit à surestimer énormément la réponse.
L'utilisation de la correction statique devra donc être utilisée avec prudence et dans le cadre d'une excitation à
bande étroite.
Regardons ce que donne la méthode d'adjonction d'un mode statique.
Si l'on applique une force unitaire au point 1, la déformée statique vaut :
3
1
=
s
2
k
1
Les matrices projetées de masse et rigidité que l'on obtient sont les suivantes :
049
,
5
841
,
1
m
2
365
,
0
k 1
)
0
)
M =
et K =
049
,
5
m
3
1
14
2
2
k
0
k
ce système a pour fréquences propres :
)2
2
)2
2
1
=
198
,
0
0
et
1
=
667
,
1
0
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La réponse du système modélisé avec un mode propre et un mode statique est la suivante :
Réponse du système
Solution exacte
1 mode + 1 mode statique
100
10
1
Amplitude
,1
,01
0
1
2
Fréquence
On s'aperçoit que l'on corrige très bien en basse fréquence, (effet de correction statique), on modélise la
dynamique du système bien au delà du premier mode pris en compte. Par contre l'effet du second mode est
mal représenté (shift sur la fréquence).
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Annexe 2
Considérons le système discret à trois masses suivant :
m
F(X)
m
m
k
k
k
Les matrices de raideur et masse sont :
m 0 0
k
- k
0
M = 0 m 0 K = - k 2k - k
0 0
m
0 - k 2k
Rendons ce système non-linéaire en ajoutant un terme de force interne entre 1
x et x2 cubique :
F = k (. 1
x - x )3
2
Cherchons à évaluer la réponse de ce système à une excitation forcée de fréquence proche de la première
fréquence propre du système linéaire (on a choisi =
18
,
0
o ), avec une amplitude importante F = k
m
.
3 .
Dans cette configuration, la réponse du système ne peut être évaluée par la réponse du système linéaire (le
terme cubique est bien trop important), il faut mettre en oeuvre un calcul non-linéaire avec pseudo-forces
comme on l'a montré en [§3.2].
On peut voir dans le rapport [bib8] les courbes des résultats transitoires de cette méthode, en prenant en
compte un ou 2 modes propres du système linéaire initial.
Avec un seul mode propre, on s'aperçoit que l'on commet une erreur relativement importante (atteignant parfois
50%), par contre il est satisfaisant de constater que les extrema des vibrations sont assez bien prévus. On
aurait pu espérer qu'en excitant en deçà de la première fréquence propre il aurait suffit d'un seul mode propre
pour modéliser la réponse du système, on voit ici que ce n'est pas le cas. Comme on le constate souvent pour
des systèmes non-linéaires, le système répond également avec des surharmoniques de la fréquence
d'excitation.
Par contre, en prenant 2 modes propres pour modéliser la réponse de cette structure à 3 ddl, on obtient un
résultat très satisfaisant (quelques % d'erreur sur l'amplitude), à l'oeil on a du mal à distinguer la différence. Ceci
montre qu'en choisissant une base de projection suffisamment riche on peut grâce à une méthode de
pseudo-forces très bien modéliser un système dynamique complexe avec des non-linéarités.
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