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Modélisation statique et dynamique des poutres en grandes rotations
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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Modélisation statique et dynamique des poutres
en grandes rotations
Résumé :
Cette note donne une formulation mécanique des poutres en grands déplacements et grandes rotations mais
avec un comportement élastique. La difficulté essentielle de l'analyse des rotations tient à ce qu'elles ne sont
pas commutables et ne constituent pas un espace vectoriel, mais une variété.
A tout instant, la configuration d'une section droite de poutre est définie par le vecteur-déplacement de son
centre de gravité et le vecteur-rotation du système des axes principaux d'inertie par rapport à une position de
référence. Comme en théorie classique des poutres, les efforts intérieurs sont réduits à leur résultante et leur
moment sur la ligne des centres des sections. On définit les déformations associées.
La linéarisation des efforts intérieurs par rapport aux déplacements conduit à la matrice de rigidité habituelle, qui
est symétrique, et, à cause des grands déplacements et rotations, à la matrice de rigidité géométrique, qui est
quelconque.
La linéarisation des forces d'inertie mène, pour le mouvement de translation, à la matrice de masse habituelle
qui est symétrique et, pour le mouvement de rotation, à une matrice beaucoup plus compliquée et sans aucune
symétrie.
Le schéma d'intégration temporelle est celui de Newmark.
Cette modélisation a été testée sur cinq problèmes de référence : trois de statique et deux de dynamique.
Ce travail a été entrepris dans le cadre du PPRD MEKELEC (M7-90-01) dont l'objectif était de développer des
outils de modélisation pour les composants des lignes et des postes. Le but de la modélisation présentée dans
cette note est l'étude dynamique des conducteurs munis d'espaceurs (pour les lignes) ou de descentes sur
appareillages (pour les postes) et soumis aux forces de Laplace résultant de courants de court-circuit.
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Table des matières
1 Notations ................................................................................................................................................ 4
2 Introduction ............................................................................................................................................ 6
3 Cinématique d'une poutre en rotations finies......................................................................................... 6
4 Vecteur et opérateur de rotation ............................................................................................................ 7
4.1 Vecteur-rotation ............................................................................................................................... 7
4.2 Opérateur de rotation ...................................................................................................................... 8
5 Passage des axes locaux aux axes généraux..................................................................................... 10
6 Efforts intérieurs, déformations et loi de comportement ...................................................................... 11
6.1 Efforts intérieurs ............................................................................................................................ 11
6.2 Variation de courbure en un point de la ligne des centres ............................................................ 11
6.3 Travail virtuel dans la poutre et vecteur des déformations............................................................ 12
6.4 Loi de comportement..................................................................................................................... 14
7 Forces d'inertie élémentaires ............................................................................................................... 15
8 Equation du mouvement et déroulement d'un calcul ........................................................................... 16
8.1 Equation du mouvement non amorti ............................................................................................. 16
8.2 Déroulement d'un calcul ................................................................................................................ 17
9 Linéarisation des équations du mouvement ........................................................................................ 17
9.1 Matrices de rigidité ........................................................................................................................ 18
9.2 Matrices d'inertie ........................................................................................................................... 20
9.2.1 Différentiation de l'inertie de translation A !xo ................................................................ 20
9.2.2 Différentiation de l'inertie de rotation I
! + I
.................................................. 20
9.2.2.1 Termes provenant de la différentiation de I ........................................................ 21
9.2.2.2 Termes provenant de la différentiation de et ! ................................................ 21
10 Mise en oeuvre par éléments finis...................................................................................................... 22
10.1 Matrice de déformation et efforts intérieurs................................................................................. 22
10.2 Matrices de rigidité ...................................................................................................................... 23
10.3 Forces d'inertie ............................................................................................................................ 24
10.4 Matrice d'inertie ........................................................................................................................... 24
10.5 Forces extérieures données........................................................................................................ 25
10.6 Système linéaire d'itération.......................................................................................................... 25
10.7 Mise à jour du déplacement, de la vitesse et de l'accélération ................................................... 26
10.7.1 Mouvement de translation .................................................................................................. 26
10.7.2 Mouvement de rotation....................................................................................................... 26
10.8 Mise à jour du vecteur variation de courbure .............................................................................. 27
10.9 Initialisation avant les itérations................................................................................................... 28
10.9.1 Mouvement de translation .................................................................................................. 28
10.9.2 Mouvement de rotation....................................................................................................... 29
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11 Organisation schématique d'un calcul ................................................................................................30
11.1 Calcul statique..............................................................................................................................30
11.2 Calcul dynamique.........................................................................................................................31
12 Utilisation par le Code_Aster ..............................................................................................................32
13 Simulations numériques .....................................................................................................................32
13.1 Poutre droite encastrée soumise à un moment concentré en extrémité (cas-test SSNL103).....32
13.2 Arc encastré-rotulé chargé au sommet........................................................................................34
13.3 Arc circulaire de 45° encastré et soumis en extrémité à une force perpendiculaire à son plan ..35
13.4 Mouvement d'une potence...........................................................................................................36
13.5 Mise en rotation d'un bras de robot..............................................................................................38
14 Bibliographie .......................................................................................................................................40
Annexe 1 Quelques définitions et résultats concernant les matrices antisymétriques d'ordre 3.............41
Annexe 2 Traitement des forces d'amortissement ..................................................................................42
Annexe 3 Algorithme de Newmark en grandes rotations ........................................................................44
Annexe 4 Calcul des différentielles de Fréchet .......................................................................................46
Annexe 5 Compléments sur le calcul des matrices de rigidité ................................................................47
Annexe 6 Principe du calcul itératif des rotations ....................................................................................48
Annexe 7 Nécessité du transport dans un espace de référence pour les opérations vectorielles relatives
au mouvement de rotation...............................................................................................................51
Annexe 8 Utilisation des quaternions en modélisation des grandes rotations [bib14] [bib15].................52
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1 Notations
symbole du produit vectoriel.
opérateur de multiplication par le vecteur à gauche.
q
dérivée de q par rapport à l'abscisse curviligne.
!q
dérivée de q par rapport au temps.
s
abscisse curviligne sur la ligne des centres des sections.
"u
matrice antisymétrique d'ordre 3 associée de vecteur axial u.
1
matrice unité d'ordre 3.
Df . x
dérivée directionnelle de f dans la direction x .
d
d
d
d
1
,
,
ds
matrice diagonale DIAG ds ds ds .
A, I
,
,
1 2
aire et moments d'inertie par rapport aux axes principaux 1 2 ou 3 de la section
ou 3
droite.
B
matrice de déformation.
C
matrice de comportement.
E, G,
module d'Young et de rigidité au cisaillement, masse volumique.
e
axes généraux de coordonnées.
i i=1,3
E
axes principaux d'inertie de la section d'abscisse s en position de référence.
i (s)i=1,3
force extérieure linéique exercée sur la poutre.
f (s, t)
(
force dans la poutre à l'abscisse s et à l'instant t .
f s, t)
F (s, t)
RT (s, t) (
f s, t) .
F
forces extérieures données aux noeuds.
ext
F
, F
forces d'inertie et efforts intérieurs aux noeuds.
iner
int
I
tenseur d'inertie d'une longueur unité de poutre en position déformée, exprimé
dans les axes généraux.
J
tenseur d'inertie d'une longueur unité de poutre en position de référence, exprimé
dans les axes généraux.
moment extérieur linéique exercé sur la poutre.
m (s, t)
moment dans la poutre à l'abscisse s et à l'instant t .
m (s, t)
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M (s, t)
RT (s, t) m (s, t).
Ni
fonction de forme relative au noeud i .
R(s,t)
opérateur ou matrice, en axes généraux, de rotation de la section droite
d'abscisse s , de la configuration de référence à celle à l'instant t .
R
rotation faisant passer des axes généraux aux axes principaux d'inertie de la
o (s)
section d'abscisse s en configuration de référence.
R tot(s,t)
(
R s, t)R (s
o
) .
(
SO )
3
groupe des opérateurs de rotation dans l'espace à 3 dimensions.
t
axes principaux d'inertie de la section d'abscisse s à l'instant t .
i (s, t )i= ,13
x
position, à l'instant t , du centre de la section droite d'abscisse s .
o (s, t)
'
x - t
o
1 .
E
RT .
R
0
tot
.
0
Rtot
x
o (s, t)
(s, t)
: position de la section d'abscisse s à l'instant t , définie par le
(s, t) vecteur position xo du centre et le vecteur rotation
.
(
xo(s)
s)
: déplacement virtuel à l'abscisse s .
(s)
(
xo(s)
s)
: correction de déplacement à l'abscisse s .
(s)
(s,t)
vecteur définissant, à l'abscisse s et à l'instant t , la variation de courbure par
rapport à la configuration de référence.
X
RT .
(s,t)
vecteur rotation, à l'instant t , de la section d'abscisse s par rapport à sa
position de référence.
ni-1,i
vecteur rotation entre l'instant i - 1 et l'itération n de l'instant i .
ni
vitesse angulaire d'une section de poutre calculée à l'itération n de l'instant i .
Q, Q-1
opérateur de passage d'un vecteur rotation au quaternion associé et son inverse.
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2 Introduction
La difficulté essentielle de la mécanique des poutres en grands déplacements réside dans la
formulation des rotations. La rotation d'une section par rapport à une configuration de référence est
définie par le vecteur-rotation ([bib3], [bib4] et [bib5]). Les quaternions sont utilisés pour la mise à jour
de ce vecteur.
Dans [bib4] et [bib5], l'incrément de rotation est exprimé dans la configuration de référence (schéma
lagrangien total). Le calcul des matrices de masse est compliqué et ne peut d'ailleurs être tout à fait
mené à son terme. Mais finalement, toutes les matrices utilisées sont symétriques.
Dans [bib1] à [bib3], l'incrément de rotation est exprimé dans la dernière configuration calculée
(schéma lagrangien actualisé). C'est ce schéma que nous avons choisi. Le calcul des matrices
s'achève sans difficulté excessive mais elles ne sont pas symétriques.
A la différence de [bib3], nous avons exprimé les vitesses et les accélérations angulaires dans les axes
généraux et non dans des axes locaux. Les matrices sont ainsi plus compliquées, mais on évite
l'ambiguïté qui apparaît au raccord de deux poutres non colinéaires.
3
Cinématique d'une poutre en rotations finies
e2
t2
E2
t3
e
P'
1
e3
E1
s
P
xo
t1
s
E3
(a)
Position de référence
(b)
Position à l'instant t
Figure 3-a : Evolution d'un tronçon de poutre
Suivons l'évolution d'un tronçon de poutre de sa position initiale - ou de référence - [fig 3-a] (a) à sa
position déformée à l'instant t [fig 3-a] (b).
La section droite du centre P de la poutre en position de référence est repérée par l'abscisse
curviligne s de P sur la ligne des centres (ou fibre neutre). On attache à cette section le trièdre
orthonormé E E E : E
1
2
3
1 est la tangente unitaire de la ligne des centres en P ; E
et E
2
3 sont
dirigés suivant les axes principaux d'inertie de la section.
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Comme dans [bib1] à [bib5], on fait l'hypothèse qu'au cours du mouvement les sections initialement
droites restent planes et ne changent pas de forme.
De l'instant 0 à l'instant t :
·
P vient en P et la position de P est définie par le vecteur xo(s, t) ;
· le trièdre orthonormé E E E
1
2
3 devient le trièdre orthonormé t t
t . t et t
1 2 3
2
3 sont
toujours dirigés suivant les axes principaux d'inertie de la section et t1 est toujours normal
unitaire à cette section. Mais t1 n'est pas forcément tangent à la ligne des centres en P :
autrement dit, il peut y avoir, en position déformée, un glissement dû au cisaillement, comme
dans le modèle de Timoshenko.
L'état de la section à l'instant t est donc défini par :
· le
vecteur
xo(s, t), qui donne la position du centre de gravité ;
· le vecteur-rotation qui fait passer du trièdre E E E
1
2
3 au trièdre t t
t
1 2
3 , et qui est défini en
[§4.1].
L'ensemble de ces deux vecteurs constitue le vecteur (s, t).
4
Vecteur et opérateur de rotation
L'annexe 1 donne des résultats préalables concernant les matrices antisymétriques d'ordre 3.
4.1 Vecteur-rotation
Supposons que, dans le système d'axes généraux P e e e
1 2
3 [fig 4.1-a], le point M se déduise de
M par la rotation d'angle autour de l'axe passant par P et de vecteur unitaire u. Posons :
= u,
est appelé le vecteur-rotation faisant passer de M à M .
D'après la formule d'Euler-Rodrigues [bib6] p. 186 et [bib7] :
PM = PM + sin u PM
(1 cos) u u PM
+ -
.
M'
M
u
e3
e2
e
P
1
Figure 4.1-a : Représentation d'une rotation finie
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En général, le vecteur-rotation du produit de deux rotations n'est pas la somme géométrique des
vecteurs-rotation composants. Le cas 2D est une exception particulièrement simple : les
vecteurs-rotation, perpendiculaires au plan, s'ajoutent algébriquement.
4.2
Opérateur de rotation
Compte tenu de [éq An1-3], l'équation précédente s'écrit :
PM = [1 + sin u" + (1- cos) u"2] PM.
L'expression entre crochets définit l'opérateur de rotation R faisant passer de PM à PM :
R = 1 + sin u" + (1- cos) u"2.
éq 4.2-1
On appelle "paramètres d'Euler" de la rotation les quatre nombres suivants :
e
= cos
e
= sin u
0
1
1
2
2
éq 4.2-2
e
= sin u
e
= sin u
2
2
3
3
2
2
On a évidemment :
e2 + e2 + e2 + e2
0
1
2
3
= 1.
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Posons :
e
1
e = e2 = sin u.
2
e3
En utilisant la relation [éq A1-4], on met aisément l'expression [éq 4.2-1] de R sous la forme :
R = (2 2
e - )
1 1 + (
2
T
0
e e + 0
e e").
éq 4.2-3
D'autre part, remplaçant sin et cos , au second membre de [éq 4.2-1], par leurs développements
en séries entières, il vient :
3
5
2 p -
1
p 1
-
R = 1 + -
+
+ # + (- )
1
# "
3!
5!
(
+
2 p - )
u
1 !
2 4 6
2 p
p 1
+
-
+
+ # + (- ) -
1
" 2
2!
4 !
6!
(2 p) u
!
soit, en utilisant [éq A1-5] et [éq A1-6], la forme exponentielle de l'opérateur de rotation :
( 2
p
u")
( u")
R = 1 + u" +
+ # +
+
2 !
p !
#
éq 4.2-4
=
(
exp u") =
(
exp ").
Il apparaît sur [éq 4.2-4] que lorsque 0 ,
R 1 + .
éq 4.2-5
R =
(
exp
u
~
) ne se calcule évidemment pas par le développement [éq 4.2-4], mais par
l'expression [éq 4.2-1].
Puisque "uT = - "u , la transposition de tous les termes du second membre de [éq 4.2-4] donne :
[ ( T
exp ")]
=
(
exp - "), soit :
éq 4.2-6
RT = R- 1
et :
R RT
= 1 .
éq 4.2-7
Les opérateurs de rotation, orthogonaux d'après l'équation [éq 4.2-7], forment un groupe par rapport à
l'opération de multiplication - non commutatif en 3D - appelé groupe de Lie et désigné par
(
SO )
3
(Special Orthogonal group).
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5
Passage des axes locaux aux axes généraux
Les composantes des vecteurs sont exprimées dans les axes généraux e e e
1 2
3 [fig 3-a]. Les
matrices des opérateurs qui les relient ne sont donc valables que dans ces axes. Mais la mécanique
des poutres se formule beaucoup plus simplement dans les axes principaux d'inertie locaux t t t
1 2
3
en configuration actuelle. On est donc amené à faire le changement d'axes du trièdre général e e e
1 2 3
au trièdre local t t t
1 2 3 par le produit R tot de deux rotations :
· la
rotation
Ro , invariable, qui amène les axes généraux (e e e
1 2
3) sur les axes locaux en
position de référence (E E E
1
2
3) ;
· la
rotation
R , dépendant du temps, qui amène le trièdre (E E E
1
2
3) sur le trièdre local en
position déformée actuelle (t t t
1 2 3) , soit :
R
= R R
tot
o .
éq 5-1
Etant donné un vecteur v , de composantes connues dans le trièdre général, ses composantes dans le
trièdre local sont les composantes dans le trièdre général du vecteur :
V = RTtot v.
éq 5-2
On peut donc remplacer les calculs portant sur des vecteurs exprimés en axes locaux dans la
configuration actuelle, par les mêmes calculs portant sur les mêmes vecteurs tournés de RTtot et
exprimés en axes généraux. Autrement dit, cette rotation RTtot permet de remplacer les calculs en
axes locaux de la configuration actuelle, par les mêmes calculs en axes généraux.
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Efforts intérieurs, déformations et loi de comportement
On se place dans le cadre de la théorie des poutres. Les efforts et les déformations sont définis par
leurs éléments de réduction sur la ligne des centres de gravité des sections. Ainsi, le travail virtuel dans
la poutre se calcule par une intégrale curviligne simple le long de cette ligne.
6.1 Efforts
intérieurs
On appelle efforts intérieurs sur la section de centre P et de normale t1 les efforts qu'exerce sur
cette section la partie de la poutre située dans la direction de t1 [fig 6.1-a]. Ces efforts forment un
torseur dont les éléments de réduction en P sont : la résultante f , le moment résultant m .
P"
m
t1
f
P'
Figure 6.1-a : Tronçon de poutre réduit à la ligne des centres
Si f et m sont respectivement la force et le moment extérieurs donnés par unité de longueur non
déformée - f et m sont supposés indépendants de la configuration, c'est-à-dire "conservatifs" ou
"non-suiveurs" -, l'équilibre statique du tronçon de poutre P P de longueur ds s'écrit :
f
+ f = 0
s
éq 6.1-1
m
x
+
o +
=
.
0
s
f
m
s
6.2
Variation de courbure en un point de la ligne des centres
Les axes locaux de la section d'abscisse s se déduisent des axes généraux par la relation [éq 5-1] :
t ( ) =
(
R ).R ( ) e
i s
s
s i.
o
éq 6.2-1
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En dérivant par rapport à s :
t'
= (R Ro + R R'
'
o ) e
i
i ,
soit, en inversant la relation [éq 6.2-1] :
t'
= (R RT + R R'
'
RT RT
o
o
)t
i
i .
Posons :
R' RT
= "
éq 6.2-2
La matrice " est antisymétrique car la dérivation par rapport à s de [éq 4.2-7] donne :
" + "T = 0 .
On vérifie que la matrice "o définie par :
"
'
T
T
o
= R Ro Ro R
est aussi antisymétrique.
Donc, en faisant intervenir les vecteurs axiaux et o :
t'
= ( + o) t
i
i .
·
ds o est le vecteur rotation qui fait passer de ti(s) à ti(s + ds) lorsque la poutre subit une
rotation uniforme (R' = )
0 de sa position de référence à sa position actuelle. o(s)
caractérise la courbure de la configuration de référence à l'abscisse s .
·
ds est l'accroissement de rotation de ti(s) à ti(s + ds) dû à la variation de R le long de
la poutre. C'est ce vecteur qui caractérise la variation de courbure entre la configuration
de référence et la configuration déformée actuelle.
6.3
Travail virtuel dans la poutre et vecteur des déformations
Ce paragraphe est l'extension au cas tridimensionnel d'une démarche faite dans [bib8] sur les poutres
planes.
La configuration de la poutre à l'instant t est définie [§3] par le champ (s, t) :
x s, t
(
o
s, t)
( )
=
.
(s, t)
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Calculons le travail W des forces extérieures linéiques f et m dans le déplacement virtuel suivant :
xo(s)
(
s) =
.
(s)
On a évidemment :
s
W =
2 ( .xo +
f
m.) ds .
s1
Les équations d'équilibre [éq 6.1-1] permettent de remplacer les forces extérieures f et m par les
efforts intérieurs f et m :
s2
f
m
xo
W =
-
.xo -
. -
f . ds
,
s1
s
s
s
soit, par intégration par parties des deux premiers termes :
2
s
W = - [
2
'
'
f.x + m.] + 1 [ f.x + m.' - (x
o
o
o
f).
1
]ds.
s
Si l'on désigne par Wext le travail total des forces extérieures sur la poutre - le long et en extrémités -
l'équation précédente s'écrit :
s2
2
Wext = (f.xo + m.) ds + [ f.xo + m.]
s
1
1
s
éq 6.3-1
=
2
'
'
f. x - x
+
m.'
.
s1 [
( o
o )
]ds
D'après le théorème des travaux virtuels pour les milieux continus, le second membre est le travail
virtuel des efforts intérieurs, qu'on note Wint . Suivant l'idée de [bib8], cherchons à mettre les
coefficients de f et de m sous forme de l'accroissement virtuel de deux vecteurs.
Faisons l'hypothèse que le vecteur x'o tangent à la ligne des centres mais pas forcément de longueur
unité, ne diffère du vecteur unitaire t1 , normal à la section, que par un infiniment petit du 1er ordre (de
l'ordre de ). Cela implique que la poutre s'allonge peu et subit un faible glissement. Alors :
s
W
2
'
int
=
.
1 [
.
f (x - t
o
1) + m. ] ds
s
En effet, dans le déplacement virtuel :
·
x'
'
o s'accroît de xo ;
· le vecteur unitaire t1 tourne de ;
· le
vecteur
, définissant la variation de courbure [§6.2], s'accroît de ' .
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On a donc :
s
W
2
int
= [ .f + m.]ds,
éq 6.3-2
s1
avec :
x'o - t
1
=
.
éq 6.3-3
f
Dans l'équation [éq 6.3-2], et
m
apparaissent donc respectivement comme un torseur
d'efforts ou de contraintes généralisées et le torseur des déformations associées.
définit l'allongement et le glissement ; définit la variation de courbure [§6.2].
On observe que, si doit être petit, par contre il n'y a pas de limitation pour . La plupart des poutres
entrent dans ce cadre.
La relation [éq 6.3.1] s'écrit :
s2
f
Wint ( ;
) =
.
B ds
éq 6.3-4
s1
m
avec :
d
'
1 xo
B = ds
éq 6.3-5
d
0
1
ds
B est appelée matrice de déformation.
6.4
Loi de comportement
D'après le [§5], les composantes en axes locaux de la contrainte généralisée et de la déformation sont
les composantes en axes généraux des vecteurs :
F
E
et tels que :
M
X
F
T f
=
éq 6.4-1
M
m
E
T
=
X
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On suppose que la loi de comportement est élastique et que, en axes locaux, elle a la même
expression que pour une poutre de Timoshenko :
F
E
= DIAG [EA, GA , GA , GI , EI , EI
2
3
1
2
3 ]
éq 6.4-2
M
X
A et A
2
3 étant deux aires dépendant de la taille et de la forme de la section.
On pose :
C = DIAG [EA, GA , GA , GI , EI , EI ].
2
3
1
2
3
C est appelée matrice de comportement.
7
Forces d'inertie élémentaires
Les forces d'inertie appliquées à un élément ds forment un torseur qui admet, au centre de gravité :
· une résultante générale, - A ds !xo(s, t);
· un moment résultant égal à l'opposé de la vitesse absolue du moment cinétique élémentaire
H .
Pour exprimer la vitesse angulaire, procédons comme au [§6.2] et dérivons la relation :
t
= R
i
Ei ,
par rapport à t , en tenant compte que Ei ne dépend pas du temps. On obtient :
!
t
= !R RT t .
i
i
éq 7-1
Posons :
!R RT = ".
éq 7-2
En dérivant la relation [éq 4.2-7] par rapport à t , on voit que la matrice " est antisymétrique. Si l'on
désigne par le vecteur axial de cette matrice, la relation [éq 7.1] s'écrit :
!
t (s, t) = t
i
i (s, t).
est donc le vecteur vitesse angulaire de la section de poutre d'abscisse s à l'instant t .
Le moment cinétique élémentaire a pour expression :
H = ds
= ds
T
I
R J R
éq 7-3
où J est le tenseur d'inertie dans la configuration de référence :
J
= R
T
o
DIAG [ I , I , I
1
2
3] R
o .
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En dérivant par rapport au temps :
!H = ds
! + ds( !
T +
! T
I
R J R
R J R
).
Mais :
!R J RT
= !R RT R J RT
= " I = I
,
,
et :
R J R!T = R J RT R RT
! = 0
car, d'après l'équation [éq A1-2] :
R R!T = - " = 0 .
D'où le moment des forces d'inertie de l'élément :
- !H = - ds I ! - ds I
.
Le travail virtuel des forces d'inertie a donc pour expression :
s2
A !xo
x
W
o
= -
.
ds
iner
.
s1 I ! +
I
éq 7-4
8
Equation du mouvement et déroulement d'un calcul
8.1
Equation du mouvement non amorti
Si l'on ajoute les forces d'inertie aux forces extérieures, la forme faible des équations du mouvement,
autrement dit le travail virtuel des forces non équilibrées dans la poutre s'écrit :
W(, !, ! ; ) = W ( ; ) - Winer(, !, ! ; ) - Wext( ; ).
int
éq 8.1-1
A l'équilibre W est nul, pour tout .
f
Wint( ; ) est donné par l'équation [éq 6.3-4] où le torseur d'efforts , a pour expression,
m
d'après [éq 6.4-2] :
f
= C T
éq 8.1-2
m
Le torseur de déformations généralisées du second membre de [éq 8.1-2] se déduit de la position
actuelle : est donnée par [éq 6.3-3] et découle de [éq 6.2-2].
W
! !
iner (, , ; ) est donné par l'équation [éq 7-4].
s
x
2 f
W
o
ext ( ; ) =
. ds+ travail des forces concentrées
éq 8.1-3
s1 m
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Si les forces extérieures données sont conservatives, c'est-à-dire indépendantes de la configuration,
Wext ne dépend pas de .
8.2
Déroulement d'un calcul
· Dans le cas dynamique, on cherche les champs de déplacements, vitesses et accélérations
en une suite discrète d'instants : t , t
t
, t
t
1 2
i - 1 i
n .
#
#
· Dans le cas statique, on fractionne la charge totale en incréments de charge que l'on ajoute
successivement à partir de zéro pour reconstituer la charge complète. A chaque étape de
chargement, dénommée par abus "instant", on calcule le champ de déplacements.
Connaissant l'état de la structure à l'instant ti - 1 , on en déduit son état à l'instant ti par prédiction-
correction :
· Dans le cas statique (STAT_NON_LINE), la prédiction consiste à calculer la réponse de la
structure au i -ème incrément de charge, en conservant son comportement à l'instant ti - 1 .
· Dans le cas dynamique, on doit d'abord initialiser les champs à l'instant ti , par des formules
découlant de l'algorithme d'intégration temporelle utilisé : dans l'opérateur DYNA_NON_LINE,
c'est l'algorithme de Newmark [§A3]. Puis on applique l'accroissement de charge entre
t
t
i - 1 et i avec le comportement en situation initialisée.
Dans l'état prédit, l'équation d'équilibre n'est généralement pas satisfaite et l'on doit corriger les
déplacements par des itérations reposant sur des équations linéarisées.
9
Linéarisation des équations du mouvement
Supposons calculé l'état de la structure à l'itération n de l'instant i. n = 1 correspond à la phase de
prédiction. La forme faible des équations d'équilibre est, à cette itération [éq 8.1-1] :
W(n n n
n
n
n
n
n
! !
=
-
! !
i , i , i ; )
W (i ; ) Winer(i , i , i ;) - Wext(i ;
int
).
éq 9-1
· Si cette quantité est assez petite, au sens du critère d'arrêt [bib10], on considère que cette n -
ième itération donne l'état de la structure à l'instant i .
·
n + 1
Sinon, on calcule des corrections de déplacement i
telles que :
+ 1
+ 1 .
+ 1 .
L W
( n
n
n
n
n
n
i
+ i
),( i + i ) ,( i + i ) ;
=
éq 9-2
W( n n n
n
n
n
n + 1
i
, !i , !i! ; ) + DW( i , !i , !i! ;). i
= 0.
DW( n n n
n
n
n
n
i
, !i , !i ;). +1
i
est la différentielle de Fréchet de W( i , !i , !i ; ) dans la direction
n + 1
i
[An4].
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9.1
Matrices de rigidité
Elles résultent de la différentiation de Fréchet de Wint ( ;
) dans la direction . D'après les
équations [éq 6.3-4] et [éq 6.4-1] :
s2
F
Wint( ; ) = {B }
. ds.
s1
M
Soit :
s2
F
D Wint . =
B . .
s [ {
D
} ]
ds
1
M
éq 9.1-1
s2
F
2
F
+ {B }
. (
s
D . ) ds +
M
{B }
. D . ds.
s1
s
1
M
Or, d'après l'équation [éq 6.3-5] :
{
x
'
'
o + xo
B }
=
.
'
Donc [éq A4-2] :
x
'o
D {B }
. =
.
0
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D'autre part [éq A4-5] :
^
R
0
D . =
tot
.
^
0
Rtot
Enfin, d'après le [§6.4] :
F
D = C D
T
.
M
^
T
T
=
C B -
0
C
^ ,
0
car [éq 6.3-2] et [éq 6.3-5] :
D
.
B ,
=
et [éq A4.6] :
^
D T
T
R
= -
tot .
Rtot
.
On montre [A5] que :
· la somme des deux premières intégrales du second membre de [éq 9.1-1] peut se mettre
sous la forme :
s2 T T
E ds ;
s1
· la troisième intégrale peut s'écrire :
s2 T T
T
s
B C B ds + 2 T T
B Z ds
,
s
s
1
1
avec :
d
1
0
ds
d
= 0
1 ;
ds
0
1
0
0 - f
E = 0
0 - m ;
éq 9.1-2
'
f
0
"xo f"
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v
0
T
- 1
T
R C R
tot
1
tot (R C
R
tot
1
tot f)
Z =
v
éq 9.1-3
0
T
- 1
T
R C R
tot
2
tot (R C
R
tot
2
tot m )
C et C
1
2 étant deux sous-matrices de C :
C1 = DIAG [EA, 2
GA ,
3
GA ],
C2 = DIAG [ 1
GI , EI2, EI3].
T E
est appelée matrice de
rigiditégéométrique ;
éq 9.1-4
BT
C T
B
est appelée matrice de rigidité matérielle.
éq 9.1-5
Enfin, au cours de la différentiation apparait une matrice qui ne figure pas dans [bib2] :
BT Z
que nous appelons matrice complémentaire.
éq 9.1-6
9.2 Matrices
d'inertie
Elles résultent de la différentiation de Fréchet de Winer [éq 7-4] dans la direction . Plus
précisément, on se place dans la configuration de la n -ième itération de l'instant i et on différentie
n + 1
dans la direction i
.
9.2.1 Différentiation de l'inertie de translation A !xo
On a immédiatement, d'après les équations [éq An4-4] d'une part et [éq An3.1-4] d'autre part :
(
n + 1
n + 1
A
D
A n
n
!x
+ 1
, i ). x ,
= A
i
!x ,i
=
x
o
o
o
2
o, i
éq 9.2.1-1
t
9.2.2 Différentiation de l'inertie de rotation I ! + I
D'après l'équation [éq 7-3] :
I
= R J RT
,
J étant un tenseur constant.
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9.2.2.1 Termes provenant de la différentiation de I
D'après les équations [éq A4-3] et [éq A4-4], ces termes sont :
n
- (
n
!) + !" - "( ) +
+
I
I
I
" I 1,
éq 9.2.2.1-1
"
i
i
v
v
n
- (
n
!) + !" - "( ) +
+
I
I
I
" I 1 toutes les grandeurs figurant dans le crochet
"
i
i
étant prises à l'itération n de l'instant i .
9.2.2.2 Termes provenant de la différentiation de et !
D'après les expressions [éq A3.2-3] et [éq A3.2-4], la vitesse et l'accélération angulaires à l'itération n
de l'instant i sont :
n
n
n - 1, T
n - 1
n
T
n
n - 1
i
= Ri Ri
i
+
Ri Ri - 1 - 1, -
t
( i i i-1,i)
1
n
n
n - 1, T
n - 1
n
T
n
n - 1
! i = Ri Ri
!i
+
R
.
2
i Ri - 1( i - 1, i - i - 1, i )
t
Une variation du vecteur-rotation ne peut affecter que les grandeurs relatives à cette itération n
de l'instant i , puisque, dans les deux relations précédentes, les autres grandeurs sont fixes.
Autrement dit, seuls sont à différencier R n
n
i et i - 1, i , incrément de vecteur-rotation de l'instant i - 1
à l'itération n de l'instant i .
Or [éq A4-5] :
n
^
+ 1
D n
n + 1
n
Ri .i
=
R .
i
i
Et, d'après [bib3] :
D n
n + 1
n
n
+ 1
i - 1, i . i
=
(Ti-1,i)i ,
avec :
(
1
T
2
1
T
"
T ) =
+
1 -
- .
2
2
2
tan
2
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Les termes provenant de la différenciation de et ! sont donc :
- In
n
n ,
1 T n 1
n n
n
n
n
n ,
1 T n 1
, i (
-
-
R R
i
i
!i ) - " I
i
, i - (I, i i ) (
-
-
R R
i
i
i )
1
+
n
n n
n
n
2 I, i +
t " I
i
, i - (I, i i )
éq 9.2.2.2-1
t
[
- n T
n
n-
R R
1
n
T
( n i)
i
i-1(i- ,1i - i- ,1i )
,
] +R Rii- T1 i- ,1
n + 1
la combinaison des trois matrices précédentes étant à multiplier par i
.
10 Mise en oeuvre par éléments finis
On donne ci-dessous la représentation en éléments finis des matrices du [§9]. Ces matrices figurent
dans des expressions à intégrer le long de la poutre. On les calcule donc aux points de Gauss.
N , N
i
j ... sont les valeurs prises, au point de Gauss considéré, par les fonctions de forme relatives
aux noeuds i, j ....
Les matrices de rigidité relient l'accroissement de déplacement du noeud j à l'accroissement de force
interne au noeud i pour l'élément e .
10.1 Matrice de déformation et efforts intérieurs
La matrice de déformation a pour expression continue [éq 6.3-5] :
d
'
1 xo
B = ds
.
d
0
1
ds
En éléments finis, la contribution du déplacement du noeud i à la déformation au point de Gauss
considéré s'obtient en multipliant les 6 composantes de ce déplacement par la matrice :
N ' 1 N x'
h
i
i " o (G)
Bi =
'
.
éq 10.1-1
0
N 1
i
L'indice supérieur h indique qu'il s'agit d'une forme discrétisée de la matrice B .
D'après [éq 6.3-4] :
Fe
=
BhT
int i
f
ds
éq 10.1-2
e
i m
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est l'effort intérieur appliqué au noeud i de l'élément e et dû au champ de contraintes généralisées
f
dans l'élément. Cette contrainte se calcule selon l'équation [éq 8.1-2]. Mais il faut remarquer
m
que :
· d'une part [éq 6.3-3] :
RT
RT
=
x! - e
tot
tot
o
;
1
· d'autre part, le vecteur est mis à jour à chaque itération, comme il est indiqué au [§10.8].
10.2 Matrices de rigidité
L'expression continue de la matrice de rigidité matérielle [éq 9.1-5] est :
BT
C T
B.
On en déduit, pour l'élément fini e , la matrice reliant l'accroissement de déplacement du noeud j à
l'accroissement de force interne au noeud i :
Se
=
BhT C T
Bh
mat i j
i
j ds.
éq 10.2-1
e
On calcule numériquement C T au point de Gauss courant.
L'expression continue de la matrice de rigidité géométrique [éq 9.1-4] est :
T E ,
où :
d
1
0
ds
d
= 0
1,
ds
0
1
et E est donnée par l'équation [éq 9.1-2].
On en déduit, comme pour la matrice de rigidité matérielle :
Se
hT
h
géom i j
= i E j ds,
éq 10.2-2
e
où :
N ' 1
0
i
'
hi =
0
N
i 1,
0
N '
1
i
et où E est calculé numériquement au point de Gauss courant.
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L'expression continue de la matrice de rigidité complémentaire [éq 9.1-5] est :
BT Z,
où Z est donné par l'équation [éq 9.1-3].
On en déduit :
Se
=
BhT
compl i j
i N j Z ds,
e
où Z est calculé numériquement au point de Gauss courant.
10.3 Forces
d'inertie
D'après [éq 7.3-1] :
N A x
! o
Fe
i
iner i
= -
ds
éq 10.3-1
e Ni
(I ! + I )
est la force d'inertie de l'élément e au noeud i .
10.4 Matrice
d'inertie
Posons :
A 1 0
I
Me
i j =
N N I
o iner =
ds
0
J
et
o iner
o iner
.
i
j
e
1
On voit, d'après [éq 7-4] et [éq 9.2.1-1], que
e
M
2
t
o iner est bien la matrice d'inertie de l'élément e
pour le mouvement de translation (sous-matrice diagonale A 1 de Io iner ). Mais d'après
[éq 9.2.2.1-1] et [éq 9.2.2.2-1], ce n'est pas la matrice d'inertie de rotation.
Néanmoins, la matrice M
e
o iner , assemblage des Mo iner , sert à calculer l'accélération initiale de la
poutre quand elle quitte sa position de référence avec une vitesse initiale nulle (o = 0). En effet,
on a alors, d'après [éq 7.3-1] :
x!
F
o
ext (t = )
0
= - Finer(t = )
0
= Mo iner ,
! o
puisque, en position de référence :
I
= J
.
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Appelons J la somme des deux matrices [éq 9.2.2.1-1] et [éq 9.2.2.2-1] et posons :
0 0
I
=
et
Me i j = N N I
rot
dS
0
'
J
rot
i
j rot
e
Posons aussi :
0 0
I
=
et
Me
i j =
N N I
o rot
ds
0 J
o rot
i j orot
e
La matrice d'inertie complète d'un élément de poutre est évidemment :
1
1
Me
=
Me
-
Me
+ Me
iner
2
o iner
2
o rot
rot .
t
t
10.5 Forces extérieures données
D'après [éq 8.1-3] :
N
Fe
i
ext i
=
f
ds
éq 10.5-1
e N
i m
est la force appliquée au noeud i de l'élément e qui équivaut aux forces extérieures réparties.
10.6 Système linéaire d'itération
Par discrétisation en éléments finis, l'équation [éq 9-1] donne :
W h = (F - F
- F
int
).
iner
ext
.
D'autre part, en supposant que les forces extérieures sont conservatives, on a, d'après les [§10.2] et
[§10.4] :
1
1
D W h . = S
+ S
+ S
+ M -
M
+
M
mat
geom
compl
rot
.
2
o rot
2
o iner .
t
t
La relation [éq 9-2], devant être vérifiée par tout , conduit donc, à l'itération n de l'instant i , au
n + 1
système linéaire suivant en i
:
[
1
1
xn +1
,
Sn
+ Sn
+ Sn
+ Mn , -
M
+
M
o i
mat, i
geom, i
compl, i
rot i
2
o rot
2
o iner
n + 1
t
t
i éq 10.6-1
= F
- Fnint, + Fn
ext, i
i
iner, i .
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Dans le Code_Aster, les matrices élémentaires Meo iner , qui sont indépendantes du déplacement, sont
assemblées une seule fois pour constituer la matrice globale Mo iner , qui sert notamment à calculer
l'accélération initiale [§10.4].
Les trois matrices de rigidité élémentaire Se , Se
et Se
e
mat
geom
compl , la matrice d'inertie de rotation Mrot ,
qui dépendent toutes les quatre du déplacement, et la matrice d'inertie de rotation corrective
1
-
e
M
2
t
o rot , qui est invariable, sont, à chaque itération, combinées puis assemblées pour
~
constituer une pseudo matrice de rigidité globale Kn.
i
Le système linéaire [éq 10.6-1] devient donc :
n
+ 1
~
1
x
n
o,
K
+
M
i
2
o iner
= F
- Fn + Fn
.
i
éq 10.6-2
n + 1
ext, i
int, i
iner, i
t
i
Dans le cas d'un problème statique, le système précédent se simplifie en :
[ xn+1
Kn ]
o, i
= F
- Fn
i
,
éq 10.6-3
n 1
ext, i
int, i
+
i
où Kni est l'assemblage des seules matrices de rigidité à l'itération n de l'"instant" i [§8.2] :
Sn
+ Sn
+ Sn
mat,
geom, i
compl, .
i
i
10.7 Mise à jour du déplacement, de la vitesse et de l'accélération
Le traitement du mouvement de translation est classique ; celui du mouvement de rotation se fait à
l'aide des quaternions [A8].
10.7.1 Mouvement de translation
On applique les formules [éq A3.1-3] et [éq A3.1-4].
10.7.2 Mouvement de rotation
Les grandeurs à mettre à jour sont :
· d'une part, le vecteur-rotation, la vitesse et l'accélération angulaires ;
· d'autre part, pour les calculs ultérieurs, la matrice de rotation et l'incrément du vecteur-rotation
de l'instant i - 1 à l'itération actuelle de l'instant i [§A6].
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La mise à jour des vecteurs-rotations repose sur la propriété suivante des quaternions [§A8.4] : "le
quaternion du produit de deux rotations est égal au produit des quaternions des rotations
composantes".
Donc en posant [§An8.6] :
(x
+ 1
o , x) =
Q (ni )
(xo, x) = Q( n
i ),
il vient :
n + 1
- 1
i
= Q ([ x
o, x) (xo, x
$
)].
éq 10.7.2-1
D'autre part, d'après l'équation [éq An6-2], si :
(y y) = Q( n
o ,
i -1 i ),
,
alors :
n + 1
- 1
i 1, i
= Q ([ x
,
o x) o (y
-
, y
o
)].
éq 10.7.2-2
La mise à jour de la matrice de rotation est immédiate [§4.2] :
Rn + 1
n + 1
i
=
(
exp "i
),
qui se calcule selon [éq 4.2-1].
Enfin la vitesse et l'accélération angulaires se mettent à jour par les relations [éq A3.2-3] et [éq A3.2-4].
10.8 Mise à jour du vecteur variation de courbure
Le vecteur , qui définit la déformation de rotation [§6.2], ne doit être calculé qu'aux points de Gauss.
Dans le Code_Aster, il est traité informatiquement comme une "variable interne".
D'après [éq 6.2-2] :
d
"n
n
n T
i
=
(Ri ).R .
i
ds
Et, d'après [éq 4.2-6] :
1
1
1
^ n +
^ n +
+
d
"n
=
exp
n
n T
R R exp-
.
i
i
i
i
i
ds
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Soit :
1
1
1
^ n +
^ n +
+
d
"n
=
exp
exp
i
-
i
i
ds
^ n + 1
^ n + 1
+ exp
"n exp-
.
i
i
i
Dans l'équation précédente, la matrice du premier membre est anti-symétrique par construction ; la
deuxième matrice du second membre est évidemment antisymétrique ; donc la première matrice du
second membre l'est aussi.
On montre dans [bib2] Appendix B, que le vecteur axial de cette dernière matrice est :
n + 1
n + 1
n + 1
n +
'
1
n +
sin
1
i
'
sin
.
i
n
i
i
1
=
+
i
1
n + 1
( i )
(
)
+ -
n + 1
n + 1
n +
1
i
i
i
i
2
1
n + 1
1 sin
i
'
+
2
n +
1
n 1
i
+
.
2
1
n + 1
( i )
i
2
Donc :
n
^
+ 1
n
^
+
1
1
n +
n
AXIAL exp
"
exp
i
=
+
-
.
i
i
i
10.9 Initialisation avant les itérations
Dans le cas dynamique, si le chargement est constant dans le temps, les itérations ne peuvent
démarrer à l'instant i qui si l'on initialise certains des champs de déplacement, vitesse et accélération à
des valeurs différentes de celles de l'instant i - 1 . Ces initialisations se font comme suit.
10.9.1 Mouvement de translation
xo
= x
o,
o,
.
i
i - 1
Puis, d'après l'équation [éq An3.1-1] :
1
2 - 1
!
xoo i = -
!xo i - 1 +
!
x
.
,
,
o, i
t
-
2
1
D'après l'équation [éq An3.1-2] :
!xo
= !x
o
i
o i - 1 + t
([1- )!xo i -1 + !x
o
o i ] .
,
,
,
,
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10.9.2 Mouvement de rotation
On prend des expressions analogues aux précédentes :
oi = i -1,
éq 10.9.2-1
1
2 - 1
!oi = -
i -1 +
!i ,
éq 10.9.2-2
t
-
2
1
o
o
i
= i -1 + t
([1- )!i -1 + !i ].
éq 10.9.2-3
Les seconds membres de [éq 10.9.2-2] et [éq 10.9.2-3] ont un sens car tous les vecteurs qui y figurent
se trouvent dans l'espace vectoriel tangent à
(
SO )
3 en Ri - 1 .
Comme conséquences de l'équation [éq 10.9.2-1] :
Ro = R
i
i - 1
et :
oi-1,i = .0
On voit qu'au premier instant (i = )
1 , les initialisations nécessitent la connaissance de l'accélération
!
xo
initiale , dont le calcul est indiqué au [§10.4].
! o
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11 Organisation schématique d'un calcul
Ce paragraphe montre comment s'articulent les notions présentées au [§10] dans le déroulement d'un
calcul.
11.1 Calcul
statique
Calcul des forces extérieures [§10.5]
ITER = 0
ITER = ITER + 1
Nombre max. d'itérations
oui
on arrête le calcul
atteint
?
non
Calcul des forces intérieures [§10.1]
Test d'arrêt : les forces sont-elles
oui
équilibrées, à une tolérance près ?
fin
non
Calcul des matrices de rigidité [§10.2]
Résolution du système linéaire aux
corrections de déplacements [éq 10.6-3]
Mise à jour des déplacements [§10.7]
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11.2 Calcul
dynamique
Calcul de la matrice d'inertie M o iner [§10.4]
Calcul de l'accélération initiale
Boucle sur les pas de temps
Calcul des forces extérieures à l'instant courant [§10.5]
Prédiction des déplacements, vitesses et accélérations [§10.9]
ITER = 0
ITER = ITER + 1
Nombre max. d'itérations
oui
on arrête le calcul
atteint
?
non
Calcul des forces intérieures [§10.1]
Calcul des forces d'inertie [§10.3]
Test d'arrêt : les forces sont-elles
oui
pas de temps suivant
équilibrées, à une tolérance près ?
non
~ n
Calcul de la pseudo matrice de rigidité K [§10.6]
i
1
Combinaison de et de
~
K ni
t2 Mo iner
Résolution du système linéaire aux
corrections de déplacements [éq 10.6-2]
Mise à jour des déplacements, vitesses
et accélérations [§10.7]
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12 Utilisation par le Code_Aster
Ce paragraphe indique comment interviennent les poutres en grands déplacements dans les
commandes du Code_Aster.
Commande
Mot-clé facteur
Mot-clé
Argument
AFFE_MODELE
AFFE
PHENOMENE
'MECANIQUE'
MODELISATION
'POU_D_T_GD'
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION
'GENERALE'
'RECTANGLE
'CERCLE'
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
RELATION
'ELAS_POUTRE_GD'
et
DEFORMATION
'GREEN'
DYNA_NON_LINE
13 Simulations
numériques
On donne ci-dessous cinq simulations numériques reposant sur la formulation présentée dans cette
note. Les trois premières portent sur des problèmes statiques, les deux dernières sur des problèmes
dynamiques.
13.1 Poutre droite encastrée soumise à un moment concentré en
extrémité (cas-test SSNL103)
Soit M ce moment. La poutre n'est le siège que d'un moment constant et l'équation [éq 6.4-2] montre
que la variation de courbure X est également constante. La poutre se déforme donc en cercle de
rayon :
E I
r =
3 ,
M
dans un plan perpendiculaire au vecteur moment.
La figure [fig 13.1-a] montre les déformées d'une poutre de longueur unité, dont E I3 = 2 et soumise
aux moments ,
2 et
4 .
La poutre est découpée en 10 éléments finis du 1er ordre. On applique d'emblée le moment final et la
convergence est atteinte en 3 itérations.
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M =
M = 4
M = 2
Figure 13.1-a : Poutre soumise à un moment en bout
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13.2 Arc encastré-rotulé chargé au sommet
La figure [fig 13.2-a] montre les déformées d'un arc de 215° d'ouverture, encastré à droite, rotulé à
gauche et soumis à une force croissante concentrée au sommet. La solution de ce problème est
donnée dans [bib11] pour un rayon initial de 100 et les caractéristiques suivantes de poutre :
EA = GA = 5 × 107
EI = 106
et
.
L'arc est modélisé par 40 éléments du 1er ordre. On a fait croître la force jusqu'à 890 par huit
incréments de 100, un incrément de 50 et quatre incréments de 10. Au-delà apparaît le flambage,
c'est-à-dire que le déplacement continue à croître sous une force qui décroît brutalement. L'algorithme
décrit ici ne permet pas de prendre en compte un tel phénomène, et diverge pour une force de 900. Da
Deppo, dans [bib11], situe la force critique à 897.
On a le tableau de résultats comparatifs suivant :
Force
Déplacement vertical
Déplacement
du point
horizontal du point
d'application
d'application
Nos calculs
890
110.5
60.2
Da Deppo
897
113.7
61.2
F = 400
F = 700
F = 890
Figure 13.2-a : Arc encastré-rotulé chargé au sommet (Da Deppo)
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13.3 Arc circulaire de 45° encastré et soumis en extrémité à une force
perpendiculaire à son plan
Le problème est tridimensionnel. Il a été proposé dans [bib12]. La figure [fig 13.3-a] montre trois
configurations successives de la poutre de rayon initial 100, de section carrée et de caractéristiques :
EA = 107
GA
6
5
,
1 = GA2 = 5 × 10 ,
GI1 = EI2 = EI3 = 8 333
.
× 10 .
Z
50
P = 600 lb
40
A (15.9 47.2 53.4)
30
P = 300 lb
CONFIGURATION
FINALE
A (22.5 59.2 39.5
20
10
0
Y
10
20
30
40
50
60
70
10
CONFIGURATION
20
INITIALE
30
A (29.3 70.7 0
X
Figure 13.3-a : Trois configurations de la poutre (extrait de [bib12])
Nous avons modélisé la poutre par 8 éléments du 1er ordre. La force croît par incréments de 20. On a
les résultats comparatifs suivants, pour les coordonnées du point d'application de la force, dans les
configurations de la figure [fig 13.3-a].
FORCE
X
Y
Z
300
Nos calculs
22.3
58.9
40.1
BATHE-BOLOURCHI
22.5
59.2
39.5
600
Nos calculs
15.7
47.3
53.4
BATHE-BOLOURCHI
15.9
47.2
53.4
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13.4 Mouvement d'une potence
Il s'agit d'un problème dynamique tridimensionnel traité dans [bib3].
Une potence est constituée d'un poteau et d'une traverse de longueur 10 [fig 13.4-a] (a). Le pied du
poteau est encastré et l'on applique au raccord une force non-suiveuse, perpendiculaire au plan de la
potence au repos [fig 13.4-a] (b).
10
F
50
F
(a)
(b)
10
z
t
0
1
2
y
x
Figure 13.4-a : Potence soumise à une force dynamique
perpendiculaire à son plan
Les caractéristiques des éléments fournis par [bib3] sont les suivantes :
EA = GA
6
1
= GA2 = 10 ,
GI
3
1
= EI2 = EI3 = 10 ,
A = 1,
I2 = I3 = 10 ; I1 = 20.
On remarque que ces données ne permettent pas d'identifier un matériau et une section de poutre, car
on a à la fois :
EI
E
EA
E
2
2
6
= 10
=
et
= 10
.
=
I
A
2
On ne peut donc traiter ce problème qu'en imposant, par programme, une caractéristique : on a choisi
d'imposer le produit EA .
Le poteau et la traverse sont modélisés chacun par 4 éléments du 1er ordre et la durée de l'analyse
comporte 120 pas égaux de 0.25.
Les figures [fig 13.4-b] et [fig 13.4-c] donnent l'évolution de la composante suivant x du déplacement
respectivement pour le raccord et pour l'extrémité de la traverse. En cartouche, on a reproduit les
courbes correspondantes données dans [bib3] pour deux modélisations.
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100
80
déplacement
Displacement
60
40
6.0
20
00
5.0
20
40
A
60
B
4.0
80
C
100
D
0.0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300
3.0
Time
2.0
1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
2.0
4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 24.0 26.0 28.0 30.0 32.0 temps
Figure 13.4-b : Potence de SIMO - Déplacement du raccord
perpendiculairement au plan initial
100
80
Displacement
60
40
20
déplacement
00
20
10.00
40
A
60
8.75
B
80
C
7.50
100
D
0.0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300
6.25
Time
5.00
3.75
2.50
1.25
0.00
-1.25
-2.50
-3.75
-5.00
-6.25
-7.50
-8.75
-10.00
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 24.0 26.0 28.0 30.0 32.0 temps
Figure 13.4-c : Potence de SIMO - Déplacement de l'extrémité
perpendiculairement au plan initial
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13.5 Mise en rotation d'un bras de robot
Un bras de robot OA est mis en mouvement dans le plan e e
1 2 par une rotation (t) imposée à son
axe 0 [fig 13.5-a]. On veut calculer le déplacement de l'extrémité A dans un système d'axes e' e'
1 2
entraîné dans la rotation (t) .
e 2
O
A
e 1
(a)
(t)
10
10 éléments de poutre du 1er ordre
135.0
108.0
81.0
(radians)
(b)
)
(
t
54.0
27.0
angle
0.00.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0
Temps
Figure 13.5-a : Bras de robot soumis à une rotation imposée
Caractéristiques du matériau :
EA = 2 8
, × 107,
GA
7
2
= 1 × 10 ,
EI = 1 4
, × 104,
A = 1 2
,
I = 6 ×
-
10 4
Le pas de temps évolue de 0,05 au début de l'analyse à 0,001 à la fin.
Les figures [fig 13.5-b] et [fig 13.5-c] donnent l'évolution du déplacement suivant e'1 et suivant la
direction perpendiculaire. On a reproduit, en cartouche, la courbe correspondante de [bib3]. Lorsque la
vitesse de rotation devient constante, le bras subit un allongement permanent dû à la force centrifuge
et il est soumis à une oscillation de flexion de faible amplitude.
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0.00000
0.00125
0.00250
0.00375
0.00500
0.00625
0.0040
0.00750
0.0000
0.00875
-0.0008
5.14 x 10
-4
0.01000
(L, I)
~
2
-0.0056
0.01125
0.01250
-0.0104
0.01375
-0.0152
0.01500
-0.0200
0.01625
Tip Displacement u
0.0
6.0
12.0
18.0
24.0
30.0
0.01750
Time
0.01875
0.02000
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.011.012.013.014.015.016.017.018.0
Figure 13.5-b : Déplacement suivant e'1
0.04
0.00
- 0.04
- 0.08
- 0.12
- 0.16
- 0.20
0.10
- 0.24
0.00
- 0.28
0.06
(L, I) 2
- 0.32
~
-0.22
- 0.36
- 0.40
-0.38
- 0.44
-0.54
- 0.48
Tip Displacement u
- 0.52
-0.70
0.0
6.0
12.0
18.0
24.0
30.0
- 0.56
Time
- 0.60
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.011.012.013.014.015.016.017.018.0
Figure 13.5-c : Déplacement suivant e'2
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14 Bibliographie
[1]
J.C. SIMO : A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic problem. Part I.
Comput. Meth. appl. Mech. Engng. 49, 55-70 (1985).
[2]
J.C. SIMO and L. VU-QUOC
: A three-dimensional finite-strain rod model.
Part II :computational aspects. Comput. Meth. appl. Mech. Engng. 58, 79-116 (1986).
[3]
J.C. SIMO and L. VU-QUOC : On the dynamics in space of rods undergoing large motions. A
geometrically exact approach. Comput. Meth. appl. Mech. Engng. 66, 125-161 (1988).
[4]
A. CARDONA and M. GERADIN : A beam finite element nonlinear theory with finite rotations.
Int. J. Numer. Meth. Engng. 26, 2403-2438 (1988).
[5]
A. CARDONA : An integrated approach to mechanism analysis. Thèse, Université de Liège
(1989).
[6]
J. DUC et D. BELLET : Mécanique des solides réels. Elasticité. Cepadues-éditions (2e édition,
1984).
[7]
H. CHENG and K.C. GUPTA : An historical note on finite rotations. Journal of Applied
Mechanics 56, 139-145 (1989).
[8]
E. REISSNER : On one-dimensional finite-strain beam theory : the plane problem. Journal of
Applied Mathematics and Physics 23, 795-804 (1972).
[9]
H. CABANNES : Cours de Mécanique générale. Dunod (1961).
[10]
M. AUFAURE : Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster. Note HI-75/95/044/A.
[11]
D.A. DADEPPO and R. SCHMIDT : Instability of clamped-hinged circular arches subjected to
a point load. Trans. ASME 97 (3) (1975).
[12]
K.J. BATHE and S. BOLOURCHI : Large displacement analysis of three-dimensional beam
structures. Int. J. Numer. Meth. Engng. 14, 961-986 (1979).
[13]
K.J. BATHE : Finite element procedures in engineering analysis. Prentice-Hall (1982).
[14]
D. HENROTIN : Rapport de stage à l'Institut Montefiore (Université de Liège). Communication
privée.
[15]
P. de CASTELJAU : Les quaternions. Hermès (1987).
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Annexe
1 Quelques définitions et résultats concernant les
matrices antisymétriques d'ordre 3
A tout vecteur u d'ordre 3 et de composantes u , u , u
x
y
z on peut associer la matrice antisymétrique "
u d'ordre
3 suivante :
0
- u
u
z
y
"u = u
0
- u
z
x .
éq A1-1
- u
u
0
y
x
Inversement, toute matrice antisymétrique d'ordre 3 peut s'écrire sous la forme [A1-1] et on peut donc lui
associer un vecteur u . Ce vecteur s'appelle le vecteur axial de la matrice.
On voit sans difficulté que :
"u u = 0 ,
éq A1-2
autrement dit le vecteur axial est vecteur propre de l'antisymétrique associée pour la valeur propre 0.
· Quel que soit le vecteur v :
"u v = u v ;
éq A1-3
"u "v = v uT - (u. v)1.
éq A1-4
· Si
u est unitaire :
"u2 = u uT - 1 (matrice symétri )
que ;
"u3 = - "u
(matrice antisymétrique).
D'où :
p - 1
"u2p = (- )
"u2
1
(matrice symétri )
que ;
éq A1-5
p - 1
"u2p - 1 = (- )
1
"u (matrice antisymétrique).
éq A1-6
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Annexe 2 Traitement des forces d'amortissement
Ces forces ne sont pas prises en compte actuellement dans le Code_Aster.
A2.1 Hypothèses et éléments de réduction au centre de la section
On fait l'hypothèse que l'élément de volume dv avoisinant un point M intérieur à la poutre est soumis à une
force d'amortissement se composant de deux parties :
· pour le mouvement de translation de la section d'abscisse s à laquelle appartient M :
d f
= - x ,
;
1
1 ! o (s t) dv
· pour le mouvement de rotation de vitesse angulaire autour du centre P de la section :
d f
= - ,
.
2
2
(s t) P M dv
Intégrées sur le volume de poutre de longueur ds , ces forces admettent pour éléments de réduction en P :
· la force :
d f = - A
1
!xo(s, t) ds ;
· le moment :
d
2
m
= - ds
P
2
M
(s, t) P M d
I (s, t) ds.
section
= -
A2.2 Forces d'amortissement élémentaires
Le travail virtuel des forces d'amortissement est :
A
1
!x
s
o
x
2
W
o
= - 2
.
ds
amor
.
s
I
1
Si l'on prend l'amortissement en compte, Wamor doit être retranché au second membre de l'équation [éq 9-1].
Il en découle, comme au [§10.3] pour les forces d'inertie, que la contribution de l'élément e à la force
d'amortissement au noeud i est :
N A x
i 1
! o
Fe
amor i
= -
2
ds.
e N
I
i
Si l'on prend l'amortissement en compte, ces forces doivent s'ajouter au second membre de l'équation
[éq 10.6-1].
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A2.3 Matrices d'amortissement
D'après les relations [éq A4-3] et [éq A4-7] donnant les différentielles de Fréchet de !xo et de dans la direction
, et compte tenu que ([éq A4-5] et [éq A4-6]) :
(
DI.) = - (I) + I " ,
A 1
0
1
0
0
s
s
D W
.
2
2
amor
= -
.
2
! ds
2
1 0
I
.
.
- s
0
-
1
(I) ds
s
On en déduit les matrices d'amortissement de l'élément e :
· au signe près, relation entre l'accroissement de vitesse au noeud j et l'accroissement de force
d'amortissement au noeud i :
A 1
1
0
Ce
amor i j
=
N
i N j
2
ds ;
e
0
I
· au signe près, relation entre l'accroissement de déplacement au noeud j et l'accroissement de
force d'amortissement au noeud i :
0
0
Se
2
amor i j
=
N
i N j
ds.
e
0 -
(I )
Dans le crochet du premier membre de l'équation [éq 10.6.1], il faut ajouter :
· la
matrice
C
t amor ;
· la
matrice
Samor.
La matrice Ce
e
amor est symétrique, mais la matrice Samor est antisymétrique.
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Annexe 3 Algorithme de Newmark en grandes rotations
A3.1 Schéma classique de Newmark en translation
L'état de la ligne des centres (déplacement, vitesse et accélération) est supposé connu à l'instant i - 1.
L'algorithme de Newmark [bib10] et [bib13], repose sur les développements suivants du déplacement et de la
vitesse, à l'itération n + 1 de l'instant i :
2
+ 1
t
xn
= x
1
1 +
t
x
n +
, i
, i -
! , i - 1 +
(1 2
2
2 [ -
)x! 1 + x
o
o
o
o, i -
! o,i ]
éq A3.1-1
!xn + 1
n + 1
, i
= !x ,i 1 + t
-
([1- )!x ,i -1 + !x
o
o
o
o, i ]
éq A3.1-2
1
1
et sont les paramètres de Newmark qui, dans le cas de la "règle du trapèze", valent et : les crochets
4
2
n + 1
dans les équations [éq A3.1-1] et [éq A3.1-2] sont alors les moyennes arithmétiques de !xo i - 1 et de !x
.
,
o, i
Récrivant chacune de ces relations à l'itération n de l'instant i et retranchant membre à membre des relations
précédentes, il vient :
1
!
xn + 1
n
n + 1
n
n + 1
n
n + 1
n
i
= !x i +
2 (x
- x
i
i )
et
!x i
= !x i +
(x
- x
o
o
o
o
o
o
o i
o i ).
,
,
,
,
,
,
,
,
t
t
Si l'on pose :
xn + 1 = xn + xn + 1
o,
o, i
o,
,
i
i
éq A3.1-3
on a donc :
1
!
xn + 1
n
n + 1
n + 1
n
n + 1
, i
= !x , +
x
i
et
2
, i
!x ,i
= !x , +
x
o
o
o
o
o i
o, i
éq A3.1-4
t
t
A3.2 Schéma de Newmark adapté aux grandes rotations
Pour unifier les calculs, on aimerait pouvoir écrire, en rotation, les relations analogues suivantes :
1
n + 1
n
n + 1
n
n + 1
n
n + 1
n
i
= i +
1, -
1,
et
!
= ! +
1, -
,
t
(i - i i - i )
i
i
2 (i - i
i -1,i)
t
n + 1
où ni- 1,i et i - 1,i sont respectivement les vecteurs incrément de rotation de la section considérée, entre
l'instant i - 1 et les itérations n et n + 1 de l'instant i [A6].
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Mais ces relations ne sont pas exactes parce qu'on ne peut pas combiner une vitesse (ou une accélération)
angulaire à l'itération ( n + 1) de l'instant i avec la grandeur homologue à l'itération n et des vecteurs-rotation
comptés à partir de la configuration à l'instant i - 1 [A7]. On ne peut combiner qu'après avoir amené par
rotation (on dit "transporté") toutes les grandeurs dans la même configuration. On choisit pour simplifier la
configuration de référence.
Posons donc :
n + 1
n + 1, T
n + 1
n
n, T
n
i
= Ri
i
i = Ri i
éq A3.2-1
An + 1
n + 1, T
n +
=
1
R
!
An
n, T
n
i
i
i
i
= Ri
!i
éq A3.2-2
n + 1
T
n + 1
n
T
n
i - 1, i
= Ri -1 i -1,i
i -1,i = Ri -1 i -1,i
L'algorithme de Newmark en rotation se traduit par les relations suivantes :
· pour l'opérateur de rotation, [éq A6-1] :
n
^
+ 1
1
Rn +
= exp
Rn
i
;
i
i
· pour l'incrément de vecteur-rotation depuis l'instant i - 1 , [éq A6-2] :
(
1
1
^ n +
exp "n +
n
i - 1 i ) = exp
e
i
(xp "i- ,1i);
,
· pour la vitesse angulaire :
n + 1
n
n + 1
n
i
= i +
1, -
;
t ( i - i
i - 1, i )
· pour l'accélération angulaire :
1
An + 1 = An
n + 1
n
i
i +
,
.
2 ( i - 1 i - i - 1, i )
t
n +
1
Les deux précédentes relations donnent, par transport inverse sur la configuration
et compte tenu des
i
relations [éq A3.2-1] et [éq A3.2-2] :
n + 1
n + 1
n, T
n
n + 1
T
n + 1
n
i
= Ri
Ri
i +
Ri
Ri 1
1, -
éq A3.2-3
t
-
(i- i i-1,i)
1
! n + 1
n + 1
n,
T
n
n + 1
T
n + 1
n
i
= Ri
Ri
!i +
R
R
2
i
i - 1(i - ,1 i - i - ,1 i ).
éq A3.2-4
t
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Annexe 4 Calcul des différentielles de Fréchet
On aura à utiliser par la suite l'identité suivante, dite crochet de Lie, dont la démonstration est immédiate. Si
"A et "B sont deux matrices antisymétriques du 3e ordre, de vecteurs axiaux A et B , alors on a, pour tout
vecteur v :
("A "B - "B "A)v = (A )B v.
éq A4-1
Autrement dit : est le vecteur axial de la matrice antisymétrique "
A "B - "B "A .
On appelle différentielle de Fréchet de la fonction f dans la direction x , la quantité :
d
D f(x) . x
= grad f . x
= lim
f(x + x
).
0 d
C'est la partie principale de l'accroissement de f correspondant à l'accroissement x de la variable x .
Voici le catalogue des différentielles de Fréchet intervenant dans cette note.
d
D x' x
'
.
o
= lim
(x + x
o
o )'
= ( xo)' = x
o
.
éq A4-2
0 d
o
D !x . x
= !x
o
o
o .
éq A4-3
D !x . x
= !x
o
o
o .
éq A4-4
d
^
^
DR. =
lim
exp
R = R
éq A4-5
0 d
d
^
^
DRT =
RT
-
RT
.
lim
exp
= -
éq A4-6
0 d
car, d'après l'équation [éq 4.2-6] :
^
T
^
exp
exp
=
- .
" = !R RT .
Or :
d
·
^
^
D ! .
R =
lim
exp
R = ! R + !R.
0 d
Donc, d'après [éq A4-6] :
^
^
^
D = (DR ) T
R + (
R D T
" .
! .
!
R . ) = ! + " - " .
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Soit, en utilisant le crochet de Lie [éq A4-1] :
D . = ! - .
éq A4-7
Annexe 5 Compléments sur le calcul des matrices de rigidité
Cette annexe développe les calculs du [§9.1].
A5.1 Matrice de rigidité géométrique
[
{
F
F
D B }
. ]. + {B }
.[D . ] =
M
M
(
^
^
x
'
'
'
o ) . f + (xo + xo ) . f + '. m.
En réarrangeant les termes et en utilisant l'identité vectorielle :
a . (b c) = c . (a b),
le second membre précédent s'écrit :
- x' . - '. + . x'
f
m
f
o + .(x'
o
" "
o f) =
. E .
A5.2 Matrices de rigidité matérielle et complémentaire
Comme il est montré au [§9.1] :
F
^
0
D
T
T
. = C B -
C
^
.
M
0
Or :
-
T
f .
= C 1
m
Par conséquent :
{
F
B }
. D .
{B }. C T B
=
éq A5.2-1
M
^
T
0
1
T f
- {B }
C
^ C
.
.
0
m
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Le terme :
{B }. CT B
conduit immédiatement à la matrice de rigidité matérielle.
D'autre part :
^
-
1
T
0
f
R
C
R
-
tot
tot f
1
T
( 1
)
^
C = -
.
m
-
1
0
(
T
R C R
tot
2
tot m )
Le second terme de l'équation [éq A5.2-1] s'écrit donc :
0 R
C RT
1
T
tot
1
tot
(R C R
tot
1
tot f)
B .
.
0 R
C RT
1
T
tot
2
tot
(R C R
tot
2
tot m )
En désignant par Z la matrice entre crochets de l'expression qui précède, BT Z est la matrice de rigidité
complémentaire.
Annexe 6 Principe du calcul itératif des rotations
Cette annexe visualise l'opération d'exponentiation, définit les vecteurs incrément de rotation qui interviennent
dans l'annexe 3 et donne la relation entre eux.
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1 + ^
n
( i-1, i)Ri-1
Ri -1
Rni
n+1
(
)Rn
Rn +1
1 + ^
i
i
i
1 + ^
n+1
( i-1, i)Ri-1
SO 3
( )
Figure A6-a : Représentation des opérateurs intervenant dans
la rotation des sections.
: symbole de la projection exponentielle
La surface courbe de la figure [fig. A6-a] représente l'ensemble
(
SO )
3 des opérateurs de rotation R. On a
figuré les espaces tangents à
(
SO )
3 en R
n
i - 1 , rotation calculée à l'instant i - 1, et en Ri , n -ième itération
dans le calcul de la rotation à l'instant i .
Soit
n
i - 1 le vecteur rotation correspondant à Ri - 1 . Il existe un vecteur incrément de rotation i - 1, i tel
que :
Rn = exp ( n
"i -1 i ) R
i
i - .
,
1
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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Titre :
Modélisation statique et dynamique des poutres en grandes rotations
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13/05/96
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M. AUFAURE
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Si l'équation d'équilibre de la poutre n'est pas satisfaite, à l'instant i , par Rni , on cherche une correction
n + 1
n
n + 1
i
de i - 1, i . i
s'obtient par linéarisation, en remplaçant dans l'équation d'équilibre, d'après
l'équivalence [éq 4.2-5] :
^ n + 1
^ n + 1
exp
n
n
R
par
1
i
+
R .
i
i
i
La seconde des expressions précédentes n'est pas un opérateur de rotation, mais se trouve dans l'espace
+1
n + 1
tangent à
(
SO )
n
3 en R
n
i [fig A6-a]. Ayant calculé i
, Ri
s'en déduit en projetant par exp sur
(
SO )
3 :
n
^
+ 1
1
Rn +
= exp
Rn
i
.
éq A6-1
i
i
n + 1
n + 1
L'incrément d'angle de rotation i - 1, i faisant passer de R
R
i - 1 à
i
est tel que :
Rn + 1 = exp ( n +1
"i -1 i) R
i
i - 1.
,
Les vecteurs-rotation n'étant pas additifs, on n'a pas :
n + 1
n + 1
n
i 1, i
= i
+ i -1,i,
-
mais on a :
(
1
1
^ n +
exp "n +
n
i - ,
1 i ) = exp
.
éq A6-2
i
(
exp "i - ,1 i)
n + 1
Au [§10.7.2], on résout l'équation précédente par rapport à i - 1, i en utilisant les propriétés des quaternions.
n + 1
Les incréments d'angle de rotation ni- 1,i et i - 1,i servent à calculer les corrections de vitesse et
n n +
1
d'accélération de à
.
i i
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Annexe 7 Nécessité du transport dans un espace de référence
pour les opérations vectorielles relatives au
mouvement de rotation
Les grandeurs cinématiques, vitesses et accélérations, dans une configuration donnée se trouvent dans
l'espace vectoriel tangent à
(
SO )
3 au point défini par la rotation de la configuration par rapport à la position de
référence. On ne peut combiner les grandeurs relatives à deux configurations distinctes qu'après les avoir
transportées dans un même espace vectoriel pris pour référence. L'exemple qui suit fera comprendre cette
nécessité.
Examinons la vitesse angulaire d'un gyroscope à trois instants t , t et t
1 2
3 [fig A7-a]. Supposons qu'on passe de
la configuration 1 à la configuration 2 par la rotation d'angle - autour de e1 , et de la configuration 1 à la
configuration 3 par la rotation d'angle - / 2 autour du même axe. En 1, la vitesse angulaire est portée par
l'axe du gyro et a pour composantes (0, 0, ) dans les axes généraux e e e
1 2
3 . En 2, la vitesse angulaire est
également portée par l'axe et a pour composantes générales (0, 0, 3). On veut déterminer les composantes
générales de la vitesse en 3, sachant que cette vitesse est la moyenne des vitesses en 1 et 2.
Que la vitesse angulaire en 3 soit la moyenne des vitesses angulaires en 1 et 2 ne signifie pas qu'elle soit la
moyenne dans les axes généraux, mais dans les axes liés au gyro. Dans l'exemple, puisque le gyro tourne
autour de son axe, en 1 avec la vitesse , en 2 avec la vitesse 3, alors en 3 il tourne autour de cet axe avec la
vitesse 2. Donc, en 3, les composantes générales de la vitesse angulaire sont (0, 2, 0).
Compte tenu du [§5], on obtient le résultat précédent en "transportant" le vecteur vitesse angulaire de la
configuration 2 sur la configuration 1, prise pour référence, c'est-à-dire en faisant tourner ce vecteur de l'angle
autour de e1 . Ses composantes générales sont alors (0, 0, 3). On fait la moyenne de ce vecteur et du vecteur
vitesse angulaire en 1, pour obtenir le vecteur de composantes (0, 0, 2). On "transporte" enfin ce dernier
vecteur sur la configuration 3 en le faisant tourner de - / 2 autour de e1 , et l'on aboutit bien au vecteur
vitesse angulaire de composantes générales (0, 2, 0).
0
1 0
1
e3
3
O
0
e
3 2
2
0
e1
2
0
2 0
3
Figure A7-a : Evolution de la vitesse angulaire d'un gyroscope
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Annexe
8 Utilisation des quaternions en modélisation des
grandes rotations [bib14] [bib15]
A8.1 Définitions
Un quaternion, noté (q) ou (xo, x) , est défini par l'ensemble d'un scalaire xo et d'un vecteur à trois
dimensions x (x x x
1
2
3) :
(x ,x) = x + x1 + x2 + x
o
o
3 , ,
, et étant trois nombres satisfaisant aux relations :
2
2
=
= 2 = - 1;
= - = ; = - = ; = - = .
Quaternion conjugué
Le conjugué, noté *, d'un quaternion s'obtient en changeant le signe de la partie vectorielle :
(x , x)* = (x
o
o , - x).
Quaternion purement vectoriel
Un quaternion est dit purement vectoriel quand sa partie scalaire est nulle et qu'il est donc de la forme : (0, x).
Un quaternion (v) est purement vectoriel si et seulement si :
(v) + (v)* = (0).
A8.2 Eléments d'algèbre des quaternions
Multiplication
En appliquant la définition, on montre immédiatement que la multiplication, notée $ , de deux quaternions est :
(x , x) (y ,y)
(x y x.y, x y y
o
o
o
o
o
o x
x y
$
=
-
+
+ ).
On vérifie que cette multiplication est :
· associative
:
([x ,x)+(y ,y)]$(z ,z) = (x ,x)$(z ,z)+(y ,y)$(z
o
o
o
o
o
o
o , z) ;
· non commutative car :
(x , x) (y ,y)- (y ,y) (x
o
o
o
o , x) = (0, 2 x y
$
$
).
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Norme d'un quaternion, notée . :
(
2
x , x)
= (x , x)$ (x , x)* = x2 + x2 + x2 + x2
o
o
o
0
1
2
3 .
Un quaternion est unitaire si sa norme est égale à l'unité. On vérifie que :
([q )$(q )]* = (q )*$(q
1
2
2
1)*.
A8.3 Représentation d'une rotation par un quaternion
Si (v1) est un quaternion purement vectoriel et (u) un quaternion unitaire, alors le quaternion (v2) tel que :
(v ) = (u)$(v )$(u *
2
1
)
éq A8.3-1
est purement vectoriel et a même norme que (v1). En effet :
(v
*
2 ) + (v2 )* =
(u) $(v1)$ (u)* + (u) $(v1)$(u)*
= (u) $ ([v1) + (v1) ]*$ (u)* = (0) ;
(
2
v2)$ (v2)* = (u) $ (v1)$ (u)*$ (u) $ (v1)*$ (u)* = (v1) .
Si l'on pose :
(v ) = (0, x) ; (v
1
2 ) = (0, y),
on voit que, par la relation [éq A8.3-1], le quaternion unitaire (u) définit une transformation orthogonale du
vecteur x sur le vecteur y . Cette transformation est la rotation dont la matrice est définie par [éq A8.5-1].
La rotation inverse est définie par le quaternion (u) * , car :
(u)* (v2) (u) = (u)* (u) (v1) (u)* (u) = (v1).
$
$
$
$
$
$
A8.4 Rotations successives
Faisons subir au quaternion purement vectoriel (v1) deux rotations successives définies par les quaternions
unitaires (u ) et (u
1
2 ) :
(v ) = (u )$(v )$(u
2
1
1
1)*
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et :
(v ) = (u )$(v )$(u )* = (u )$(u )$(v )$ ([u )$(u
3
2
2
2
2
1
1
2
1)]*
éq A8.4-1
On voit sur le dernier membre de [éq A8.4-1] que le quaternion unitaire définissant le produit de deux
rotations est égal au produit des quaternions de ces rotations.
A8.5 Expressions matricielles
Soit (q) un quaternion :
(q) = (xo, x).
Posons :
(
xo
q) = ,
x
(q) est le vecteur formé des quatre composantes du quaternion.
Définissons deux matrices construites sur (q) :
xo
- xT
xo
- xT
A( =
et
=
.
q)
(
B q)
x x 1
o
+ x"
x x 1
o
- x
"
On vérifie sans peine, d'après la règle de multiplication, que :
(q1)$(q2) = A(
= B
.
1) (q2 )
( 2) (q
q
q
1)
Prenons maintenant la rotation définie par le quaternion unitaire (u) = (eo, e) .
Si :
(v ) = (u)(v )(u
2
1
)*.
Alors :
(v2) = A( ) (BT ) (v
u
u
1).
D'autre part :
T
1 0
A
T
(u) (
B u) =
,
0 R
avec :
R = e eT + e2 1
2
o
+ 2 e e
o " + e" ,
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soit, en utilisant la relation [éq A1-4] :
R = (2 2
e - )
1 1 + (
2 e eT
o
+ e e
o ") .
éq A8.5-1
En rapprochant la relation précédente de l'équation [éq 4.2-3], on voit que les composantes du quaternion
unitaire définissant une rotation ne sont autres que les paramètres d'Euler de cette rotation.
A8.6 Passage d'un vecteur-rotation au quaternion associé et vice-versa
L'opérateur Q qui fait passer d'un vecteur rotation au quaternion associé est défini par les relations
[éq 4.2-2] :
1
eo =
cos
éq A8.6-1
2
1
e =
sin
éq A8.6-2
2
L'opérateur Q-1 est moins simple car l'inverse d'une fonction trigonomitrique n'a pas une détermination unique.
Mais on remarque sur [éq 10.7.2-1] et [éq 10.7.2-2] que Q-1 sert à calculer le vecteur-rotation n+1 déduit du
vecteur-rotation n par la correction
n + 1. En général :
n+1 << n .
Nous avons donc adopté la stratégie suivante : parmi toutes les déterminations du vecteur n+1 on prend celle
dont le module est le plus proche de :
n+1 + n .
Dans le cas plan, cette stratégie est rigoureuse [§ 4.1], mais dans le cas tridimensionnel elle ne l'est pas parce-
que :
n+1 n n+1
+
.
De [éq A8.6-1], on tire :
1
n 1
1
+ = ±
-
cos ( o
e )+ 2 k .
2
1
La stratégie adoptée conduit à une seule détermination de
n 1
+ .
2
[éq A8.6-2] donne alors :
1 n+1
n+1 = 2
2
.
e
1
sin
n+1
2
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