Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Extrapolation de mesures sur un modèle numérique en dynamique
Date :
11/02/03
Auteur(s) :
S. AUDEBERT, H. ANDRIAMBOLOLONA Clé
:
R7.20.02-B Page
: 1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R7.20 : Projection de résultats ou de mesures
Document : R7.20.02




Extrapolation de mesures sur un modèle numérique
en dynamique





Résumé :

Une démarche d'extrapolation de résultats de mesures expérimentales en dynamique (déplacements, vitesses,
accélérations, déformations, contraintes) sur un modèle numérique est présentée. Basée sur une
représentation de la structure sur une base de projection préalablement choisie, elle consiste en la résolution
du problème inverse défini par l'identification des coordonnées généralisées relatives à la base de projection.
La résolution proposée utilise une minimisation, au sens des moindres carrés, en utilisant la décomposition LU
ou la décomposition en valeurs singulières (SVD), d'une fonctionnelle éventuellement régularisée via
l'adjonction d'un critère de proximité d'une solution connue a priori. Dans le cas d'une identification temporelle,
une formulation explicite de l'information a priori est proposée.
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Table
des
matières

1 Problématique ........................................................................................................................................3
2 Notations ................................................................................................................................................3
3 Démarche d'extrapolation ......................................................................................................................4
4 Relations entre les grandeurs physiques et les grandeurs généralisées ..............................................4
5 Calcul des contributions modales ..........................................................................................................5
5.1 Formulation du problème inverse ....................................................................................................5
5.2 Détermination d'une quasi-solution .................................................................................................5
5.3 Détermination d'une solution inverse régularisée ...........................................................................6
5.3.1 Principes des méthodes de régularisation .............................................................................6
5.3.2 Choix de l'information a priori .................................................................................................7
6 Mise en oeuvre dans le Code_Aster.......................................................................................................8
7 Bibliographie...........................................................................................................................................8

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1 Problématique

On souhaite estimer numériquement, le comportement en tout point d'une structure à partir des
mesures effectuées en quelques points de la structure. Compte tenu des coûts et des contraintes
d'accessibilité, les mesures expérimentales sont généralement en nombre limité et situées en des
endroits qui ne sont pas forcément les plus sollicités. Ainsi, en dynamique, la connaissance des zones
de concentration de contraintes et des valeurs locales de contraintes est cruciale pour vérifier la tenue
mécanique du matériel. On est alors amené à extrapoler des résultats de mesures localisées, sur
l'ensemble du maillage numérique de la structure.
La démarche d'extrapolation proposée est basée sur une représentation de la structure sur une base
de projection judicieusement choisie (modes propres, réponse statique, ...). Elle consiste en la
détermination des coordonnées généralisées relatives à cette base de projection. La résolution
proposée utilise une minimisation, au sens des moindres carrés, par décomposition en LU ou en
valeurs singulières (SVD), d'une fonctionnelle éventuellement régularisée via l'adjonction d'un critère
de proximité d'une solution connue a priori. Dans le cas d'une identification temporelle, une formulation
explicite de l'information a priori est proposée.


2 Notations

q, q&, q& : vecteurs des déplacements, vitesses et accélérations dans le repère physique
, &, & : vecteurs des déplacements, vitesses et accélérations généralisés
: matrice formée des vecteurs de base de projection (déplacements)
: matrice formée des vecteurs de base de projection (déformations)
: matrice formée des vecteurs de base de projection (contraintes)
: matrice des vecteurs de base (déplacements), restreinte aux degrés de liberté mesurés
: matrice des vecteurs de base (déformations), restreinte aux degrés de liberté mesurés
: matrice des vecteurs de base (contraintes), restreinte aux degrés de liberté mesurés
I : matrice identité
Nnum : nombre de vecteurs de base de projection, Nexp : nombre de degrés de liberté mesuré
t : variable temps, : variable pulsation
TF : transformée de Fourier, TF -1 : transformée de Fourier inverse
A+ : pseudo-inverse de la matrice A
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3 Démarche
d'extrapolation

La démarche que l'on souhaite mettre en place afin d'extrapoler des résultats de mesures vibratoires
sur un modèle numérique se décompose en 4 étapes [bib1] :


Mesure expérimentale d'une grandeur physique

Calcul numérique des
(déplacement, vitesse, accélération,
Nnum premiers

déformation ou contrainte) en N
modes propres de la structure

exp points






Calcul des coordonnées généralisées relatives

à la base de projection (en fonction du temps

ou de la fréquence) par minimisation





Restitution des résultats en base physique


Cette démarche s'appuie sur la notion de projection d'un champ dans un espace de dimension
inférieure à la dimension de l'espace du modèle numérique et puis extrapolation sur l'espace du
modèle numérique. Le fait de projeter le champ dans un espace de dimension réduite engendre
nécessairement une perte d'information lors de l'extrapolation. On voit donc ici l'importance du choix de
la base de projection. Cette base peut être formée de réponse modale et/ou de réponse statique. On
suppose ici que le modèle numérique est linéaire.


4
Relations entre les grandeurs physiques et les grandeurs
généralisées


On suppose que le comportement intrinsèque de la structure est représenté dans un espace engendré
par les N num vecteurs de base de projection. La transformation de Rayleigh-Ritz établit la relation
entre les degrés de liberté de la structure dans le repère physique et ses coordonnées généralisées :

q =

Dans cette formulation, la matrice des vecteurs de base contient toute l'information spatiale ; les
coordonnées généralisées, quant à elles, dépendent :

· du temps, dans le cas d'un calcul de réponse temporelle : q( M ,t) = ( M )(t)
· de la pulsation, dans le cas d'un calcul de réponse harmonique : q( M ,) = ( M )()
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On peut donc en déduire très simplement les relations suivantes :


Réponse harmonique
Réponse temporelle
Déplacement
q( M ,) = ( M )()
q( M ,t) = ( M)(t)
Vitesse
&(
q M ,) = j ( M )()
&(
q M ,t) = ( M) &(t)
Accélération
& (
q M ,) = - 2 ( M )()
& (
q M ,t) = ( M)&(t)
Déformations
( M,) = ( M)

()
( M,t) = ( M)

(t)
Contraintes
( M,) = ( M)

()
( M,t) = ( M)

(t)

Toutes ces formulations présentent donc une forme équivalente : dans la suite du document, nous
traiterons essentiellement le cas du déplacement temporel, mais les résultats obtenus sont
transposables à toutes les autres grandeurs : vitesse, accélération, déformation et contrainte.
De même, les relations établies en fonction du temps sont applicables dans le domaine spectral :

TF(q( M,t)) = ( M)TF((t)) = ( M)()

TF -1(q( M,)) = ( M)TF -1(()) = ( M)(t)


5
Calcul des coordonnées généralisées

5.1
Formulation du problème

Le calcul des coordonnées généralisées s'effectue sur la matrice des déplacements
(respectivement vitesses, accélérations, déformations, contraintes) restreinte aux degrés de liberté
mesurés, par résolution du système matriciel :
qexp =

Les dimensions de la matrice à « inverser » sont ( N
, N
exp
num ).
On voit ici que le calcul des coordonnées généralisées est effectué dans un espace restreint : la
dimension de l'espace engendré par les vecteurs de base est inférieure à la dimension du modèle
numérique, on n'exploite que les informations aux degrés de liberté mesurés.

5.2
Détermination d'une quasi-solution

Pour la résolution du problème inverse, 3 cas peuvent se présenter :

·
N
= N
exp
num : le nombre de degrés de liberté mesurés est égal au nombre de vecteurs de
base de projection dont on souhaite identifier les coordonnées généralisées.
Dans ce cas, il existe une solution unique au problème d'inversion : = -1qexp
·
N
> N
exp
num : le nombre de degrés de liberté mesurés est supérieur au nombre de
vecteurs de base de projection du modèle numérique dont on souhaite identifier les
coordonnées généralises.
Dans ce cas, il n'existe pas de solution exacte au problème d'inversion. Une quasi-solution
peut cependant être définie, qui minimise la distance
: qexp - . La formule
+
= [T ] Tq fournit alors la solution (unique) au sens des moindres carrés. Dans
exp
+
cette expression, la matrice [T ] T désigne la matrice inverse généralisée de . Le
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calcul du pseudo-inverse peut s'effectuer en utilisant la décomposition LU ou bien la
décomposition en valeurs singulières (SVD).
·
N
< N
exp
num : le nombre de degrés de liberté mesurés est inférieur au nombre de vecteurs
de base de projection dont on souhaite identifier les coordonnées généralisées (ce qui
correspond au cas le plus courant).
Dans ce cas, il existe une infinité de solutions au problème d'inversion et l'objectif est de
déterminer une solution acceptable en introduisant une condition supplémentaire (norme
minimale de la solution ou application de méthodes dites « de régularisation »).


5.3
Détermination d'une solution inverse régularisée

5.3.1 Principes des méthodes de régularisation

Le but des méthodes de régularisation [bib4], [bib5] est de proposer une solution approchée et stable
vis-à-vis des variations des données d'entrée. On ne cherche plus à résoudre l'équation de
minimisation résultant de la formulation : qexp = , mais à déterminer une solution approchée (ou
régularisée) répondant à deux exigences :
· elle satisfait à une condition de proximité : on cherche tel que qexp - num < ,
· elle répond à une condition supplémentaire dite « information a priori ».

Les méthodes de régularisation consistent donc à compléter l'énoncé du problème en introduisant une
information a priori pour extraire, dans la famille des solutions qui sont compatibles avec les données
expérimentales, celle qui correspond le mieux au problème. Ceci se fait en fusionnant dans un critère
unique une mesure de la fidélité de la solution par rapport aux données expérimentales et une mesure
de sa fidélité à l'information a priori [bib2].
Une approche qui peut être aisément mise en oeuvre en dimension finie est la régularisation par
optimisation. A rapprocher de la méthode de régularisation de Tikhonov [bib3], elle consiste à
considérer une solution a priori priori du problème de minimisation et à rechercher la solution du
système approché la plus proche de cette solution. On cherche alors à minimiser la fonctionnelle
suivante :

2
2
qexp - + a - priori

Le paramètre a détermine le poids affecté à l'information a priori.
La solution de l'équation de minimisation est donnée par :

-1
= [T + aI] (Tqexp +
a priori )

ou, en faisant apparaître explicitement l'écart par rapport à la solution a priori :

-1
=
T
T
priori + [ + aI] (qexp - priori )

Si l'on pose priori = 0 , cette formulation consiste à rechercher la solution dite de « norme
minimale » (ou Tikhonov d'ordre 0).
L'ajout du terme régularisant lié à la matrice aI a pour rôle de décaler le spectre de T afin
d'assurer l'étape d'inversion matricielle. Cette démarche de calcul permet donc de mettre en oeuvre
une procédure de calcul mieux conditionnée, qui adoucit les effets du bruit et qui fournit une solution
physiquement acceptable.
Par ailleurs, le choix des valeurs de la matrice aI résulte d'un compromis entre la stabilité de la
solution recherchée et la confiance que l'on peut accorder à la solution a priori.
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5.3.2 Choix de l'information a priori

Dans le cas des méthodes de régularisation, le choix de l'information a priori constitue une étape-clé
qui détermine la représentativité des résultats finaux. Ce choix peut s'appuyer sur une connaissance
physique de la solution ou sur une connaissance de son évolution en fonction du paramètre retenu.
Nous fournissons, dans la suite, un exemple appliqué à la détermination par minimisation d'une
variable temporelle [bib1].
La minimisation d'une variable en fonction du temps peut être réalisée à chaque pas de temps
indépendamment du pas de temps précédent. L'introduction d'une information a priori permet
cependant d'enrichir la fonctionnelle en supposant une évolution lente des variables déterminées :

priori (t) = (t - dt)

Cette hypothèse n'est acceptable que lorsque le pas d'échantillonnage est suffisamment faible. En
effet, la solution à un instant donné est approchée par (développement de Taylor) :

(t) = (t - dt) +
dt &(t - dt) + o(dt)

La fréquence maximale de réponse de la structure est déterminée par la pulsation du mode d'ordre le
plus élevé max pris dans la modélisation. On a donc :

(t) - (t - dt)

<
dt
max
+ o(dt)
(t - dt)

Pour que le terme correctif soit faible (et donc que l'information a priori constitue une approximation au
premier ordre de la solution recherchée), le pas d'échantillonnage doit vérifier :

1
dt <<
max

A l'instant initial (t=0), étant donné que l'on ne dispose d'aucune information sur la solution a priori, le
calcul est réalisé en recherchant la solution de norme minimale. Afin d'éviter de propager l'erreur qui
en résulte, il peut être nécessaire d'affecter une faible confiance aux informations a priori sur les
premiers pas de temps (par l'intermédiaire du paramètre ) et de n'exploiter les résultats qu'à partir de
l'instant où l'on peut considérer que les erreurs se sont suffisamment atténuées. Le cas échéant, des
études complémentaires seront menées afin de déterminer les paramètres optimaux d'utilisation de la
fonctionnalité développée dans le Code_Aster.

Dans le domaine fréquentiel, de nombreuses possibilités sont offertes pour déterminer l'information a
priori. Elles s'appuient soit sur une connaissance physique de la solution (mise en évidence
expérimentale de résonances ou de réponses forcées), soit sur une formulation des déplacements
généralisés en fonction de la fréquence (type : fonctions gain), auquel cas la minimisation conduit
finalement à caractériser les sollicitations dynamiques.
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6
Mise en oeuvre dans le Code_Aster

La base de projection est constituée soit des modes dynamiques calculés par la commande
MODE_ITER_SIMULT [U4.52.03] stockés dans un concept de type mode_meca, soit des modes
dynamiques et des modes statiques calculés par la commande DEFI_BASE_MODALE [U4.64.02]
stockés dans un concept de type base_modale.
La phase de calcul des coordonnées généralisées est traitée par la commande PROJ_MESU_MODAL
[U4.73.01]. Les données y sont regroupées sous 4 mots-clés facteurs.
Les données relatives au modèle numérique (base de projection) sont regroupées sous le mot-clé
facteur MODELE_CALCUL. On y précise le modèle numérique et la base de projection.
Les données relatives aux mesures sont regroupées sous le mot-clé facteur MODELE_MESURE. On y
précise notamment le modèle associé à la structure et la mesure lue par la commande LIRE_RESU.
L'association spatiale manuelle éventuelle des noeuds est donnée sous le mot-clé facteur
CORR_MANU.
Les données concernant la résolution du problème inverse sont regroupées sous le mot-clé facteur
RESOLUTION. On y précise la méthode de décomposition employée (LU, SVD) et la prise en compte
de terme de régularisation.
La restitution des résultats en base physique peut ensuite être effectuée par la commande
REST_BASE_PHYS [U4.63.21].


7 Bibliographie

[1]
C. VARE : Extrapolation de résultats de mesures expérimentales sur un modèle numérique
en dynamique. Spécification des développements dans le Code_Aster. Note EDF/DER
HP-54/98/063/B
[2]
S. AUDEBERT : Evaluation comparative de différentes méthodes d'inversion. Note EDF/DER
HP-62/93/036
[3]
A. TIKHONOV, V. ARSENINE : Méthodes de résolution de problèmes mal posés. Ed. Mir -
1976
[4]
M. BONNET : Traitement numérique de problèmes inverses de source en acoustique linéaire.
Contrat EDF - Convention P55L08/1E5240
[5]
A. TARANTOLA : Inverse problem theory - Methods for data fitting and model parameter
estimation. Elsevier - 1987
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