Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL15 Poutre élancée, encastrée-libre
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
Clé :
V2.02.015-B Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.015
SDLL15 - Poutre élancée, encastrée-libre,
avec masse ou inertie excentrée
Résumé :
Ce problème tridimensionnel consiste à calculer les fréquences et les modes de vibration d'une structure
mécanique composée d'une poutre droite élancée, encastrée-libre, à section tubulaire et d'une masse
excentrée attachée à l'extrémité libre de la poutre. Ce test de Mécanique des Structures correspond à une
analyse dynamique d'un modèle linéique ayant un comportement linéaire. Il comporte une seule modélisation.
Ce problème permet de tester l'élément de poutre d'Euler Bernouilli, le modèle de masse ponctuelle et le calcul
modal par la méthode de Lanczos.
Les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux du guide VPCS. Les deux calculs effectués (excentricité de
la masse ponctuelle nulle ou différente de zéro) permettent de mettre en évidence le couplage des différents
modes quand la masse ponctuelle est excentrée.
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Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z,w
y,v
C
A
yc
B
L
x,u
Coordonnées des points (en m) :
A
B
C
x
0.
10.
10.
y
0.
0.
yc
z
0.
0.
0.
longueur de la poutre : AB = L = 10 m
masse ponctuelle en C : mc = 1000 Kg
Section tubulaire :
diamètre extérieur
de = 0.350 m
diamètre intérieur
di = 0.320 m
aire
A = 1.57865 102 m2
inertie
Iy = Iz = 2.21899 104 m4
inertie polaire
Ip = 4.43798 104 m4
2 cas étudiés :
1) yc = 0.
2) yc = 1. m
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2.1 1011 Pa
= 7800 kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargements
Point A encastré : (u = v = w = 0, = = =
x
y
z
0 ).
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour l'analyse modale.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL15/89 du guide VPCS qui présente la
méthode de calcul de la façon suivante :
Le problème avec masse non excentrée conduit à des modes découplés :
· traction-compression (effet de la masse seule),
· torsion (effet de l'inertie autour de la fibre neutre),
· flexion dans les plans x, y et x, z (effet de la masse).
Les différentes fréquences propres sont déterminées avec un modèle par éléments finis de poutre
d'Euler (poutre élancée).
Pour le premier mode avec une masse excentrée, une méthode de Rayleigh donne la formule
approchée :
3E I
f = 1
z
1
2
L3 m
( +
)
c
0.24 M
avec M = masse totale de la poutre.
Lorsque la masse est excentrée, les modes de flexion (x, z) et de torsion sont couplés, ainsi que les
modes de flexion (x, y) et de traction-compression.
Pour le mode propre, les composantes au point B permettent de calculer les composantes au centre
de gravité de la masse (point C) par :
u
u
0
z
- y
c
B
c
c
xB
v
= v
+ - z
0
+ x
c
B
c
c
y
B
w
w + y - x
0
c
B
c
c
z
B
u = u -
c
B
zB
pour ce test
v = v
c
B
w = w +
c
B
xB
2.2
Résultats de référence
Cas 1 : 10 premiers modes propres.
Cas 2 : 8 premiers modes propres.
2.3
Incertitude sur la solution
Problème 1 :
f1 solution analytique
autres fréquences ± 1%
Problème 2 :
± 1%
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Groupe de travail Analyse Dynamique. Commission de Validation des Progiciels de Calcul de
Structures. Société Française des Mécaniens. (1988)
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Elément de poutre POU_D_E et élément discret DIS_TR
y
C
A
B
x
Découpage : poutre AB : 20 mailles SEG2.
Conditions limites :
au noeud extrémité A
DDL_IMPO: (NOEUD: A DX: 0., DY: 0., DZ: 0., DRX: 0., DRY: 0., DRZ: 0.)
Masse nodale en B avec une excentricité
ey= 0.
Cas 1
ey= 1.
Cas 2
Noms des noeuds :
Points
A = N100
B = N200
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
21
Nombre de mailles et types :
20 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'CERCLE'
TOUT
[U4.24.01]
DISCRET
'M_TR_D_N'
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
NOEUD
[U4.25.01]
AFFE_MATERIAU
TOUT
[U4.23.02]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'POU_D_E'
TOUT
[U4.22.01]
'DIS_TR'
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'TRIA_DIAG'
[U4.52.01]
CALC_FREQ
OPTION
'PLUS_PETITE'
NMAX_FREQ
: 10 cas 1
: 8 cas 2
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Cas
Nature du mode
Fréquence Hz
% différence
propre
Référence
Aster
flexion 1,2
1.65
1.6554
0.33
flexion 3,4
16.07
16.0712
0.
CAS 1
flexion 5,6
50.02
50.0240
0.
traction 1
76.47
76.4727
0.
yc = 0.
torsion 1
80.47
80.4688
0.
flexion 7,8
103.20
103.20444
0.
fz + to 1
1.636
1.6363
0.
fy + tr 2
1.642
1.6416
0.
CAS 2
fy + tr 3
13.46
13.4551
0.
fz + to 4
13.59
13.5919
0.
yc = 1.
fz + to 5
28.90
28.8972
0.
fy + tr 6
31.96
31.9594
0.
fz + to 7
61.61
61.6091
0.
fy + tr 8
63.93
63.9289
0.
Mode
0.03
3.039 102
1.321
x B
1
wC/wB
1.030
1.030
0.
2
uC/vB
0.148
0.148
0.
3
uC/vB
2.882
2.880
0.07
4
wC/wB
0.922
0.923
0.108
5
1.922
1.92268
0.036
x B
avec :
fz + to = flexion x,z + torsion
fy + tr = flexion x,y + traction
4.2 Remarques
Calculs effectués par :
MODE_ITER_SIMULT
METHODE : 'TRI_DIAG'
OPTION : 'PLUS_PETITE' NMAX_FREQ :
10 Cas 1
8 Cas 2
u
Dans le test, on ne peut vérifier les valeurs des rapports C pour les modes 2 et 3 (sauf
vB
w
manuellement). En ce qui concerne les valeurs de
C , la technique est la suivante : si on impose
wB
w
w =
C =
B
1 (commande NORM_MODE), on a alors
1 + x et on peut faire des vérifications sur les
w
B
B
valeurs de x .
B
Contenu du fichier résultats :
Cas 1 : 11 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Cas 2 : 9 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.21
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
7.2 secondes
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Synthèse des résultats
La modélisation de la masse excentrée donne des résultats exacts pour les 8 fréquences de référence.
La précision des modes propres est de l'ordre de 0.1% jusqu'au mode 4.
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