Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SSLL404 - Flambement d'une arche


Date :
23/09/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, F. SOULIE Clé
:
V3.01.404-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF/AMA, SAMTECH
















Manuel de Validation
Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
Document V3.01.404




SSLL404 - Flambement d'une arche





Résumé

Le domaine d'application de ce test est l'analyse de stabilité des structures. La structure étudiée est une arche
fléchie par des moments appliqués aux deux extrémités; elle est modélisée par des éléments de poutres
droites. Le but est de calculer les valeurs critiques des moments.

L'intérêt de ce test réside dans les aspects suivants :

· calcul d'une matrice de rigidité géométrique pour les éléments POU_D_E.
· test des méthodes modales MODE_ITER_SIMULT et MODE_ITER_INV en stabilité
· présence de valeurs propres voisines

Les charges propres calculées sont comparées à des valeurs obtenues analytiquement pour un modèle de
poutre d'Euler-Bernoulli.

Dans ce test, on valide également l'option RAYLEIGH de la commande MODE_ITER_INV.

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HT-66/02/001/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


b
y
Y
h x
M
y
B
R
A
X
M


Rayon de courbure
R = 0.3 m
Hauteur du profil
h = 0.015 m
Largeur du profil
b = 0.002 m
Section
S = bh
1ère inertie de flexion
IX = bh3 / 12
2ème inertie de flexion
IY = hb3 / 12
Inertie de torsion
J = hb3 / 3

1.2
Propriétés des matériaux

Module de Young
E = 7. E 10 N/m²
Coefficient de Poisson
= 0.3
Module de glissement
G = E / 2(1+)

1.3
Conditions aux limites et chargement

La poutre est bi-appuyée. On empêche la torsion de la section aux extrémités A et B. Pour respecter
les hypothèses du modèle théorique pris comme référence, il est important que le moment soit
constant et que l'effort normal soit nul le long de la poutre. C'est pourquoi on laisse libre le
déplacement u selon X au point B. Les conditions aux limites sont :

Au point A : u = v = w = 0 ; Y = 0

Au point B : v = w = 0 ; X = 0

L'état de contrainte initial qui permet de réaliser l'analyse de stabilité est obtenu en imposant un
moment de flexion autour de l'axe Z :

Aux points A et B : M = 1 Nm

1.4 Conditions
initiales

Sans objet en analyse statique de stabilité.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre d'Euler-Bernoulli. Les aspects
théoriques sont développés dans la référence [bib1].

En utilisant les notations du paragraphe [§1], les valeurs critiques sont données par l'expression :


EI + GJ
EI - GJ 2
EI GJ
M
x
x
±
4n2
x
= -
n
CR
1 2
, 3
, ,....
R


R

+
=
2
2
R2


Le signe plus correspond à des moments positifs tels qu'ils sont indiqués sur la figure du [§1.1].


2.2

Résultats de référence

Les 5 premières charges critiques sont classées par ordre de module croissant.


Mode Moment critique (Nm)
1 2.86074
2 8.63207
3 ­8.78382
4 14.4147
5 ­14.5551

Avec Code_Aster, on trouve les opposés de ces charges critiques (ce qui est logique par rapport à le
formulation du problème à résoudre).


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique


2.4 Références
bibliographiques

[1]
TIMOSHENKO Stephen P., GERE James M., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill,
International Edition, 1963, pp. 313-318.

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation


Y, DY
19
1
X, DX



L'arche est maillée au moyen d'éléments de poutre droite de type POU_D_E.

Conditions aux limites :

Au point A tel que X = R, Y = 0 :

DX = DY = DZ = 0 et RY = 0

Au point B tel que X = 0, Y = R :

DY = DZ = 0 et RX = 0

Pour l'analyse statique, des moments unitaires autour de Z sont définis aux noeuds 1 et 19.


3.2

Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 19
Nombre de mailles : 18 POU_D_E


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION
`POU_D_E'

AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO

AFFE_CARA_ELEM
POUTRE

CALC_MATR_ELEM
OPTION
`RIGI_GEOM'

`RIGI_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
`SORENSEN'

CALC_FREQ
OPTION
PLUS_PETITE'

NMAX_FREQ

MODE_ITER_INV
CALC_FREQ
OPTION
`PROCHE'

CHAR_CRIT

CALC_MODE
OPTION
RAYLEIGH


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4
Résultats de la modélisation A

Charge critique

4.1
MODE_ITER_SIMULT avec METHODE = 'SORENSEN'


Identification
Référence
Code_Aster %
différence
N° charge critique
(multipliée par -1)
1 ­2.86074
­2.75137
3.823
2 ­8.63207
­8.30613
3.776
3
8.78382 8.39554 4.420
4 ­14.4147
­13.93216
3.348
5
14.5551 14.01104 3.738


4.2
MODE_ITER_INV avec OPTION = 'PROCHE'


Identification
Référence
Code_Aster %
différence
N° charge critique
(multipliée par -1)
1 ­2.86074
­2.75137
3.823
2 ­8.63207
­8.30613
3.776
3 8.78382
8.39554
4.420
4 ­14.4147
­13.93216
3.348
5 14.5551
14.01104
3.738

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5
Synthèse des résultats

Les méthodes de Sorensen et des itérations inverses donnent des résultats identiques et satisfaisants
puisque l'écart maximum avec la solution analytique est inférieur à 4.5%.On rappelle que la solution
analytique prend en compte la courbure de la structure.

Les éléments MEPOUCT n'ont pu être utilisés dans ce test car le calcul de la matrice de rigidité
géométrique n'est pas disponible pour ce type d'élément.

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