Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLL113 Sous-structuration dynamique transitoire


Date :
18/02/00
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU Clé
:
V2.02.113-B Page :
1/8

Organisme(s) : EDF/RNE/AMV
















Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document : V2.02.113





SDLL113 - Sous-structuration dynamique
transitoire : poutre en traction simple





Résumé :

La structure considérée est une poutre de section annulaire en traction simple, encastrée d'un côté, et soumise
à son extrémité à une force de type Heaviside. Sa réponse dynamique transitoire est calculée par
sous-structuration.
La poutre est modélisée par des éléments de type poutres de Timoshenko (modèle linéique). Deux
modélisations sont proposées selon que la poutre est amortie ou non. L'amortissement testé est de type
RAYLEIGH (amortissement proportionnel).
Les résultats de référence sont issus d'un calcul transitoire direct par recombinaison modale sans
sous-structuration avec l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL [U4.54.03]. Ce test permet donc de valider les outils de
calcul de réponse transitoire par sous-structuration, dans le cas linéaire.


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Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HT-62/01/012/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

y
A
N5
N10
F
x
z
section
L


Longueur de la poutre : L = 1 m

Section : Rayon intérieur = 0.09 m

Rayon extérieur = 0.10 m


1.2
Propriétés des matériaux

E = 1x1010 Pa
= 0.3
= 1x104 kg/m3

Modélisation A : pas d'amortissement
Modélisation B : Amortissement proportionnel (RAYLEIGH) :

C = K + M avec = 6.5x10­6 s et = 16.0 s­1.

Ces valeurs correspondent à un amortissement réduit de 1 % sur le premier mode de la structure.


1.3
Conditions aux limites et chargements

Sur toute la structure on impose DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0.
Au point A on impose la condition d'encastrement DX = 0.
En N10 on applique une force constante à partir de l'instant t=0 : Fx = ­100 N.

Fx(N)
t(s)
-100



1.4 Conditions
initiales

La structure est initialement au repos.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Il existe une solution analytique détaillée dans la référence [bib1].

On adopte les notations suivantes :

E
: module de Young

: masse
volumique
L
: longueur de la barre
A
: section de la barre
N
: effort normal dirigé selon l'axe X
, : coefficients de l'amortissement de Rayleigh

On pose également :


= (2 - )
n
n 1

n = 1 2
, 3
, ,...
2


1
= ( + /
n
n
n ) .
2

Le déplacement en un point M(x) quelconque est donné par :


- t

(
Nx
8NL
n e
n n


2
2

u x,t) =
+


.
2
(- )1
c
os 1-
t
n
+
sin 1 -
t
EA
2
( n n )
2
( n n )
EA n=1
(2n - )
1
1 -


n




2.2
Résultats de référence

Les valeurs des champs de déplacement, de vitesse et d'accélération de l'extrémité libre (noeud N10)
valent à l'instant t = 0.0195 s :


Déplacement (m)
Vitesse (m. s­1) Accélération (m. s­2)
Calcul sans amortissement
­8.3766x10­7
1.6753 x 10­3 0
Calcul avec amortissement structural
­1.00462x10­6
1.20384x10­3 ­1.21564


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
G. ROBERT : Solutions analytiques en dynamique des structures. Rapport Samtech n°121,
mars 1996.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

La poutre est découpée en deux parties de dimensions égales. Chaque sous-structure considérée est
maillée en segments auxquels sont affectés des éléments de type "POU_D_T".

F
x
L/2
L/2

La structure est étudiée à l'aide de la méthode de sous-structuration transitoire avec interfaces de type
"Craig-Bampton" (interfaces bloquées).

La base modale utilisée est composée de 4 modes propres pour la sous-structure de gauche, de 5
modes propres pour la sous-structure de droite auxquels s'ajoutent les modes contraints associés aux
degrés de liberté d'interface (au nombre de 2).

Base de projection de la sous-structure de gauche :

A
N5
Modes à interface
A
N5
Mode contraint
bloquée
dx = 1
Base de projection de la sous-structure de droite :
N5
N10
N5
N10
N5
N10
Fx
dx = 1
Modes à interface
bloquée
Mode contraint


3.2
Caractéristiques des maillages

Le maillage de la poutre complète pour réaliser le calcul de référence présente les caractéristiques
suivantes :

fichier de type maillage Aster (.mail)
Nombre de noeuds = 11
Nombre de mailles = 10 SEG2

Le maillage de la demi-poutre pour réaliser le calcul par sous-structuration, présente les
caractéristiques suivantes :

fichier de type Ideas (.msup)
Nombre de noeuds = 6
Nombre de mailles = 5 SEG2

3.3
Fonctionnalités testées

Commandes
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
Clés
MODE_ITER_SIMULT CALC_FREQ
NMAX_FREQ

[U4.52.02]
DEFI_INTERF_DYNA INTERFACE
TYPE
`CRAIGB' [U4.55.03]
DEFI_BASE_MODALE CLASSIQUE


[U4.55.04]
MACR_ELEM_DYNA
OPTION `CLASSIQUE'
[U4.55.05]
DYNA_TRAN_MODAL EXCIT
VECT_GENE

[U4.54.03]
REST_BASE_PHYS INTERPOL
'LIN'
[U4.64.01]
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Les valeurs sont restituées sur un maillage squelette constitué des deux sous-structures. Le maillage
initial qui contient 6 noeuds est dupliqué pour créer la sous-structure de droite. Le noeud d'extrémité
correspond donc au noeud 12.

Identification Référence
Sous-structuration Différence
(%)
(poutre complète)
Noeud 12 : déplacement (m)
­6.2818E­7
­6.2818E­7
< 0.1
Noeud 12 : vitesse (m.s­1)
2.0957E­3 2.0957E­3 <
0.1
Noeud 12 : accélération (m.s­2)
1.1139E+1 1.1139E+1 <
0.1


4.2 Remarques

On peut s'étonner que la référence adoptée corresponde à la poutre complète modélisée par 10
éléments et non à la solution analytique. Il se trouve que le développement de la solution en série des
modes propres converge très lentement : la solution modale est ici très éloignée de la solution
théorique. La comparaison pertinente est donc bien celle retenue.

Le calcul par recombinaison modale est réalisé sur la base modale complète de la structure (11
modes) compte tenu de la discrétisation adoptée. De même, la dimension de la base de projection
utilisée pour le calcul par sous-structuration dynamique est de 11 (sous-structure de gauche : 4 modes
propres + 1 mode contraint ; sous-structure de droite : 5 modes propres + 1 mode contraint). Il est
donc normal d'obtenir un excellent accord entre la modélisation de la poutre complète et celle de la
poutre divisée en deux sous-structures.


4.3 Paramètres
d'exécution

Version : STA 5.03
Machine : SGI ORIGIN 2000
Encombrement mémoire : 64 Mo, Temps CPU User : 10,29 secondes.
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Les caractéristiques de cette modélisation sont identiques à la précédente (modélisation A). La seule
différence réside dans le fait que la structure est amortie. L'amortissement utilisé est de type
proportionnel :

C = K + M avec = 6.5x10­6 s et = 16.0 s­1.

Ces valeurs correspondent à un amortissement réduit de 1 % sur le premier mode de la structure.


5.2
Caractéristiques du maillage

Les caractéristiques du maillage sont également identiques à celles de la modélisation A (cf. [§ 3.2]).


5.3
Fonctionnalités testées

Commandes
Mot clé facteur
Mot clé
Argument
Clés
MODE_ITER_SIMULT CALC_FREQ
NMAX_FREQ

[U4.52.02]
DEFI_INTERF_DYNA INTERFACE
TYPE
`CRAIGB' [U4.55.03]
DEFI_BASE_MODALE CLASSIQUE


[U4.55.04]
MACR_ELEM_DYNA MATR_AMOR
OPTION
`CLASSIQUE'
[U4.55.05]
ASSE_MATR_GENE
OPTION
`AMOR_GENE'
[U4.55.08]
DYNA_TRAN_MODAL EXCIT
VECT_GENE

[U4.54.03]
AMOR_GENE



REST_BASE_PHYS INTERPOL

'LIN' [U4.64.01]



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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Les résultats sont restitués sur un maillage squelette constitué des deux sous-structures. Le maillage
initial qui contient 6 noeuds est donc dupliqué pour créer la sous-structure de droite. Le noeud
d'extrémité correspond donc au noeud 12.


Identification Référence
Sous-Structuration Différence
(%)
(modèle complet)
Noeud 12 : déplacement (m)
­9.54882E­7
­9.54882E­7
< 0.1
Noeud 12 : vitesse (m.s­1)
1.22190E­3 1.22190E­3 <
0.1
Noeud 12 : accélération (m.s­2)
­1.91712E+0 ­1.91712E+0
<
0.1


6.2 Remarques

On peut s'étonner que la référence adoptée corresponde à la poutre complète modélisée par 10
éléments et non à la solution analytique. Les écarts importants entre les solutions numériques et
théoriques sont imputables au nombre réduit d'éléments. L'utilisation de 50 éléments au lieu de 10
aurait permis d'approcher l'accélération théorique à 1 % près. Cela mis à part, on peut constater que
l'utilisation d'une méthode de sous-structuration fournit les mêmes résultats que ceux de la poutre
complète.

Le calcul par superposition modale est réalisé sur la base modale complète de la structure (11
modes). De même, la dimension de la base de projection utilisée pour le calcul par sous-structuration
dynamique est de 11 (sous-structure de gauche : 4 modes propres + 1 mode contraint ; sous-structure
de droite : 5 modes propres + 1 mode contraint). Il est donc normal d'obtenir un excellent accord entre
la modélisation de la poutre complète et sa modélisation en deux sous-structures.


6.3 Paramètres
d'exécution

Version : STA 5.03
Machine : SGI ORIGIN 2000
Encombrement mémoire : 64 Mo, Temps CPU User : 13,41 secondes.
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7
Synthèse des résultats

Aussi bien dans le cas non amorti que dans le cas amorti, les résultats obtenus à l'aide du modèle
complet et par sous-structuration ne présentent pas d'écarts significatifs. Les opérateurs de calcul
transitoire linéaire par sous-structuration sont donc validés.

Dans le cas amorti, l'accord entre les solutions numérique et analytique aurait été meilleur en prenant
davantage d'éléments (50 au lieu de 10 par exemple).

Enfin, signalons que les résultats obtenus par le Code_Aster ont été comparés à des résultats
obtenus par SAMCEF. Ils sont repris dans le tableau ci-dessous. On constate que dans le cas non
amorti, les deux logiciels fournissent des résultats voisins, tout aussi éloignés de la solution
analytique.



Identification
Cas non amorti
Cas amorti

Code_Aster
SAMCEF
Code_Aster
SAMCEF
N12, déplacement (m)
­6.282E­7 ­6.290E­7
­9.549E­7 ­9.557E­7
N12, vitesse (m/s)
2.096E­3 2.080E­3
1.222E­3 1.222E­3
N12, accélération (m/s²)
1.114E+1 1.075E+1
­1.917E+0 ­1.910E+0


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