Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLV121 Onde plane de cisaillement dans une colonne élastique
Date :
09/10/01
Auteur(s) :
G. DEVESA, V. FAUCHER Clé
:
V2.04.121-A Page :
1/8

Organisme(s) : EDF/RNE/AMV
















Manuel de Validation
Fascicule V2.04 : Dynamique linéaire des structures volumiques
Document : V2.04.121





SDLV121 - Onde plane de cisaillement dans une
colonne élastique





Résumé

On teste l'application d'un chargement en transitoire sous forme d'une onde plane grâce aux éléments
paraxiaux élastiques d'ordre 0, en 3D et en 2D. On applique ce chargement à un massif élastique occupant un
demi-espace et dont on modélise une colonne. Cette colonne est supposée infinie dans sa partie inférieure et
affleure dans sa partie supérieure au niveau de la surface du demi-espace laissée libre. On observe la
propagation de l'onde incidente, sa réflexion sur la surface libre du massif et son absorption par les éléments
paraxiaux à l'extrémité inférieure de la colonne.
On teste successivement les deux opérateurs transitoires directs du Code_Aster, à savoir DYNA_LINE_TRAN et
DYNA_NON_LINE.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Le système considéré dans le cas 3D est celui d'un sol élastique homogène occupant le demi-espace
z < 0. Le plan z = 0 est laissé libre. On modélise de ce sol une colonne verticale, supposée infinie dans
sa partie inférieure et affleurant à la surface libre à son extrémité supérieure. On place les éléments
paraxiaux sur la surface inférieure, pour traduire le caractère infini de la colonne et appliquer le
chargement par onde plane. Dans le cas 2D, le principe est identique, avec une colonne très large
dont on ne modélise qu'une section verticale (voir schéma).
De plus, la direction de vibration est l'axe des y dans le cas 3D. Il s'agit de l'axe des x dans le cas 2D.

Repère :
z
Cas 3D
Surface libre
y
(z = 0)
x
50 m
y
Cas 2D
Solide élastique
x
Surface paraxiale
Section cas 3D :
Section cas 2D :
x
y
y


1.2 Propriétés
des
matériaux

Massif élastique : sol souple

Masse volumique :
1900 kg.m­3
Module d'Young :
4,44.108 Pa
Coefficient de Poisson :
0,2

1.3
Conditions aux limites et chargements

On s'intéresse au mouvement 1D de la colonne sous l'action excitatrice d'une onde plane verticale.
Pour identifier ce mouvement, on impose à tous les noeuds d'une même section horizontale d'avoir le
même déplacement.
Dans cette configuration, le chargement par onde plane comporte les caractéristiques suivantes :

Direction : ( 0. 0. 1. )
Type_d'onde : 'SH'
Distance origine initiale : 150 m
Signal : fonction donnée ci-dessous (avec sa dérivée qui sert d'entrée au calcul) :
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Signal de l'onde incidente
1,00E-03
9,00E-04
8,00E-04
7,00E-04
6,00E-04
5,00E-04
4,00E-04
3,00E-04
2,00E-04
Déplacement tranversal (m) 1,00E-04
0,00E+00
0,00E+00
2,00E+01
4,00E+01
6,00E+01
8,00E+01
1,00E+02
1,20E+02
-1,00E-04
longueur dans le direction de l'onde (m)


Le maximum est obtenu pour une valeur de 49,5 m du paramètre.

Dérivée du signal
8,00E-05
6,00E-05
4,00E-05
2,00E-05
0,00E+00
0,00E+00
2,00E+01
4,00E+01
6,00E+01
8,00E+01
1,00E+02
1,20E+02
-2,00E-05
Dérivée (sans dimension) -4,00E-05
-6,00E-05
-8,00E-05
Longueur dans la direction de l'onde (m)


1.4 Conditions
initiales

Le déplacement est nul dans toute la colonne à l'instant initial.
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2
Solution de référence

La propagation 1D du signal de l'onde incidente dans la colonne est connue analytiquement [bib1]. On
peut par exemple déterminer l'instant de passage du maximum de l'onde incidente à mi-hauteur, soit à
une profondeur de 25 m, et celui du maximum de l'onde réfléchie au même point.

Compte tenu du signal donné précédemment et de la position de sa source à z = ­150 m, le maximum
du signal se trouve z = ­105.5 m (c'est-à-dire 150 - valeur de 49,5 m du paramètre correspondant) soit
à 50,5 m de la surface paraxiale (z = -50 m) de la colonne dans la direction z (celle de l'onde) à
l'instant initial. Pour parvenir à ­25 m, il lui faudra donc parcourir 75,5 m. La vitesse des ondes de
cisaillement étant de 281 m.s­1 pour le sol considéré, on peut donc attendre le maximum de
déplacement à mi-hauteur dans la colonne pour le temps 0,27 s. De plus, lors du passage de l'onde
réfléchie, le signal aura parcouru 50 m de plus, donc on peut l'attendre pour le temps 0,44 s. La valeur
du maximum mesuré à ces instants doit être de 1 mm. Ce sont ces valeurs analytiques qu'on va tester
dans le calcul.

2.1
Résultats de référence

On donne dans ce paragraphe les résultats obtenus avec le Code_Aster dans cette configuration. On
vérifie qu'ils sont satisfaisants qualitativement et quantitativement.
Ils concernent, pour le cas 3D, l'évolution du déplacement dans les trois directions en un point de la
colonne situé à mi-hauteur, soit à 25 m de la surface libre dans la direction z. La mesure du
déplacement est identique dans le cas 2D.
De plus, la direction de vibration est l'axe des y dans le cas 3D. Il s'agit de l'axe des x dans le cas 2D.


Déplacement transversal dans la colonne - cas 3D
1,20E-03
1,00E-03
8,00E-04
6,00E-04
4,00E-04
2,00E-04
Déplacement selon y (m)
0,00E+00
0,00E+00 1,00E-01 2,00E-01 3,00E-01 4,00E-01 5,00E-01 6,00E-01 7,00E-01 8,00E-01
-2,00E-04
Temps (s)


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Déplacement transversal dans la colonne - cas 2D
2,00E-04
0,00E+00
0,00E+0 1,00E-
2,00E-
3,00E-
4,00E-
5,00E-
6,00E-
7,00E-
8,00E-
-2,00E-04 0
01
01
01
01
01
01
01
01
-4,00E-04
-6,00E-04
Déplacement (m) -8,00E-04
-1,00E-03
-1,20E-03
Temps (s)


On vérifie tout d'abord que le déplacements est nul selon x et z dans le cas 3D et selon y dans le cas
2D.
La célérité des ondes de cisaillement dans un sol souple est de 280 m.s­1 environ. La longueur du
signal est de 80 m environ. On vérifie donc que la largeur des pics est bien de 0,3 s à la base.
On observe également aux instants prévus la présence des deux pics identiques dus à la réflexion
sans changement de signe sur la surface libre. Leur amplitude de 1 mm retrouve également le signal
imposé.
L'inversion du signe du déplacement dans le cas 2D n'est due qu'à l'orientation du repère.


2.2 Incertitudes

Il s'agit d'un résultat d'étude numérique. On retrouve les prévisions qualitatives et quantitatives. Les
valeurs numériques sont liées à la précision du calcul.


2.3 Références
bibliographiques

[1]
H. MODARESSI "Modélisation numérique de la propagation des ondes dans les milieux
poreux élastiques." Thèse docteur-ingénieur, Ecole Centrale de Paris (1987)
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3
Modélisation A : cas 3D

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Barreau : PHENOMENE : ' MECANIQUE '
MODELISATION : ' 3D '

3.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 44
Nombre de mailles et types : 10 HEXA8
2 QUA4 (faces
z
d'HEXA8)
50 m
y
·
x
Point de mesure du
déplacement (noeud 22)

5 m




3.3 Fonctionnalités

testées

Commandes

AFFE_MODELE AFFE MODELISATION
3D_ABSO
AFFE_CHAR_MECA_F ONDE_PLANE


DYNA_LINE_TRAN


DYNA_NON_LINE



3.4 Valeurs
testées

On teste les valeurs du déplacement dans les trois directions au noeud 22 (voir maillage). Pour la
direction y, on teste la valeur des deux maxima et le retour au repos après la passage de l'onde. Pour
les deux autres directions, on teste la nullité du déplacement, par exemple à l'instant du premier
maximum en y.

· DYNA_LINE_TRAN :

Direction Instant
(s) Calcul avec
Résultats de
Ecarts référence -
Code_Aster
référence
calcul avec
(déplacement
(déplacement
en m)
en m)
Code_Aster (%)
Y 2.65600E­01
1.00410E­03
1.E­03 0.41
RELATIF
4.38400E­01
9.94716E­04
1.E­03 0.53
RELATIF
8.00000E­01
-5.8E­6
0. 5.8E­4
ABSOLU
X 2.65600E­01 0.
0.
0.
ABSOLU
Z 2.65600E­01 0.
0.
0.
ABSOLU
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· DYNA_NON_LINE :

Direction Instant
(s) Calcul avec
Résultats de
Ecarts référence -
Code_Aster
référence
calcul avec
(déplacement
(déplacement en
en m)
m)
Code_Aster (%)
Y 2.67200E­01
1.00396E­04
1.E­03 0.40
RELATIF
4.40000E­01
9.94928E­04
1.E­03 0.51
RELATIF
7.20000E­01
5.1E­6
0. 5.1E­4
ABSOLU
X 2.67200E­01 0.
0.
0.
ABSOLU
Z 2.67200E­01 0.
0.
0.
ABSOLU

3.5 Paramètres
d'exécution

Version :
5.2.16


Machine :
SGI ORIGIN 2000


Temps CPU :
300
Mémoire :
64 Mo



4
Modélisation B : cas 2D

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Barreau : PHENOMENE : ' MECANIQUE '
MODELISATION : ' D_PLAN '

4.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 22
Nombre de mailles et types : 10 QUA4
2 SEG2 (faces de QUA4)
y
x
·
50 m
Point de mesure du
déplacement (noeud 11)



5 m

4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
D_PLAN_ABSO
AFFE_CHAR_MECA_F ONDE_PLANE

DYNA_LINE_TRAN


DYNA_NON_LINE


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4.4 Valeurs
testées

On teste les valeurs du déplacement dans les trois directions au noeud 11 (voir maillage). Pour la
direction x, on teste la valeur des deux maxima et le retour au repos après la passage de l'onde. Pour
la direction y, on teste la nullité du déplacement, par exemple à l'instant du premier maximum en y.

· DYNA_LINE_TRAN :

Direction Instant
(s) Calcul avec
Résultats de
Ecarts référence -
Code_Aster
référence
calcul avec
(déplacement
(déplacement
en m)
en m)
Code_Aster (%)
X 2.65600E­01
­1.00410E­04
­1.E­03 0.41
RELATIF
4.38400E­01
­9.94716E­04
­1.E­03 0.53
RELATIF
8.00000E­01
5.8E­6
0. 5.8E­4
ABSOLU
Y 2.65600E­01 0.
0.
0.
ABSOLU


· DYNA_NON_LINE :

Direction Instant
(s) Calcul avec
Résultats de
Ecarts référence -
Code_Aster
référence
calcul avec
(déplacement
(déplacement
en m)
en m)
Code_Aster (%)
X 2.65600E­01
­1.00319E­03
­1.E­03 0.32
RELATIF
4.38400E­01
­9.93554E­04
­1.E­03 0.64
RELATIF
8.00000E­01
3.0E­6
0. 3.0E­4
ABSOLU
Y 2.65600E­01 0.
0.
0.
ABSOLU

4.5 Paramètres
d'exécution

Version :
5.2.16


Machine :
SGI ORIGIN 2000


Temps CPU :
300
Mémoire :
64 Mo



5
Synthèse des résultats

On retrouve par le calcul avec les deux modélisations quantitativement, les valeurs des maxima de
déplacement égaux à l'amplitude maximale du signal et les valeurs des instants correspondants et
qualitativement, le retour au repos après le passage de l'onde réfléchie.
Les résultats obtenus avec les opérateurs DYNA_LINE_TRAN et DYNA_NON_LINE sont très proches.
La différence provient de l'obtention à chaque pas de temps de l'état d'équilibre des efforts du second
membre avec l'opérateur DYNA_NON_LINE, ce qui explique que ses résultats sont en général un petit
peu meilleurs même avec un pas de temps plus grand. Cette différence reste toutefois minime car le
pas de temps utilisé avec DYNA_LINE_TRAN est suffisamment petit.

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