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Version
6.4

Titre :

HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple


Date :
03/11/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, I. DEBOST-EYMARD, F.VOLDOIRE Clé
:
V7.22.100-C Page :
1/20

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
Document V7.22.100





HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple





Résumé :

Ce test traite la thermo-plasticité de Von Mises avec écrouissage isotrope sur un problème tridimensionnel
(modélisation A en axisymétrique) et bidimensionnel (modélisation B en contraintes planes). L'intérêt du test
tient à la dépendance de la limite d'élasticité avec la température. Il permet également de tester l'orthotropie en
thermo-élasticité car il s'applique à un matériau isotrope puis à un matériau isotrope déclaré orthotrope.
Ceci permet de tester les fonctionnalités de l'orthotropie. On y teste aussi le calcul de l'énergie de déformation.

Deux modélisations (C avec élément TUYAU, D avec élément TUYAU_6M) sont ajoutées pour tester la
thermoplasticité dans ces éléments.

Une modélisation (E) permet de tester la bonne prise en compte de la variation des coefficients du
comportement VMIS_CINE_LINE avec la température.

Une modélisation (F) permet de tester le calcul de l'énergie de déformation thermoélastique dans les poutres.

La modélisation (G) permet de tester les mêmes fonctionnalités que les modélisations A et B, mais en 3D.


La solution est analytique.

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HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple


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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Cylindre axisymétrique (modélisation A) ou plaque rectangulaire (modélisation B) ou tuyau droit
(modélisations C et D)

z ou y
D
C
H
b
a
r ou x
0
A
B

Figure 1.1-a : Géométrie de la structure

Rayon intérieur : a = 1 mm

rayon extérieur : b = 2 mm (largeur AB : 1 mm)

hauteur : H = 4 mm

1.2
Propriété des matériaux

E = 200 000 MPa module d' Young
ET = 50 000 MPa module tangent
= 0 3
.
(T)
y
= 0(1- s (T - T0) limite d'élasticité
= 400 MPa =
0
y(T0)

s =
-
10 2 °C-1
= -
10 5 °C-1 coefficient de dilatation thermique
C p = 0
J / (mmC) chaleur volumique
= -
10 3
W / (mm°C)
conductivité thermique

Pour le matériau isotrope déclaré orthotrope, il vient :

E_L = E_T = E_N = E

Nu_LT = Nu_LN = Nu_TN = Nu =

E
G_LT = G_LN = G_TN =
(
= 76923,077
2 1+ )

ALPHA_L = ALPHA_T ALPHA_N = ALPHA =
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ET
0

ET
y T
( )
E


Figure 1.2-a : Courbe de traction du matériau

1.3
Conditions aux limites et chargements

Modélisation A en axisymétrique : uz = 0 sur les côtés AB et CD (Axe Oz fixe)

Modélisation B en contraintes planes : uy = 0 sur les côtés AB et CD, ux = 0 en A

T(t) = t + T0 = 1°C/s T0 = 0°C.

Modélisations C et D : encastrement en A, Dy = 0 en C


2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Cas axisymétrique (2D)

déplacemen

de

Champs
t : u = ur (r) er
(
en

blocage
z)
u ' 0
0

r
r


déformatio

de

Champs
n :
(u)


= 0
0
0


selon z

ur



0 0



r


0 0 0

r




contrainte

de

Champs
s :
= L0 1 0
limites)
aux

conditions

(cf.


selon z




0 0 0



Cas parallélépipédique

déplacemen

de

Champs
t : u = ux (x)e + u
x
y (y)e y
(
en

blocage
z)
u ' 0
0

x
x
déformatio

de

Champs
n :
(u)



= 0
0
0


selon z





0
0 u y '

y
0 0 0

x




contrainte

de

Champs
s :
= L0 1 0
limites)
aux

conditions

(cf.


selon z




0 0 0

y

Le cas pourra être étudié en contraintes planes et en 3D.
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ET

E
y
2µ = 1+
E
3K =
E
1- 2



La loi de comportement s'écrit (variable interne scalaire p ) :

1
1


=
tr Id +
D + p +
o

(T -T ) Id
9K


avec :
1
D
= - tr Id
(déviateur des contraintes)


3

3
D
3

P
&
=
p&
, avec
=
D D

2


éq
2
éq
p& =

0 si f( , p) =
-
éq
R ( p) < 0
p&

0 si f( , p) = 0



R ( p) désigne la fonction d'écrouissage :

E E
R ( p)
T
= +
p
y

E - ET

Le taux &p peut être exprimé, lorsque f( , p) = 0 . En effet, de &p f identiquement nul, on tire :
&p &f+ &p f = 0. Ainsi, quand on est sur le critère (f = )
0 , nécessairement &f = 0 . C'est-à-dire :

3 D &
D

- R ,
T
&T - R ,p &p = 0
2
éq

3 D &
D
E E

+ o
T
y s &
T -
&p = 0
2
E -

E
éq
T
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D'où :

E - E
D
D

T
3 &

&p
o
=

+ s
y
&T

si &p 0 , pour
=
éq
R ( p)
E ET 2 éq


(critère atteint, en "charge")

Le champ de contraintes étant uniaxial, on a :

-1 0 0


D
L
=
0 2
0
3 0 0 - 1

Ainsi :


=
éq
L

et :

-1 0 0


P
&p
&
=
sgn (L) 0 2 0
2

0 0 - 1

La relation de comportement conduit à :



&p
&rr = & = -
&
- sgn
L
(L)+ &T(= &xx = &yy pour le cas du parallélépipède)

E
2



1
&zz = 0 =
&
L + &p sgn (L)+ &T

E

D'où :



3
1 -
2
&rr = & = &T +
&L
2
2E




&p = sgn (
L
L ) - &
&
T -
0
si
L R (p)



E =
<




D
D
E - E


T
3 &

= Max 0 ;

+ o

y
&
sT

sinon

E E
2


T
éq






C'est-à-dire, dans le cas L = R ( p) (critère atteint) :


E - E

&p
Max 0 ;
T (sgn (
o
=
L) & + s
L
y
&T)
E E

T


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2.1.1 Phase
élastique

Au début du chargement thermique, L étant inférieur à y , &p est nul.

D'où :

&

= - E
L
&T ; &rr = & = &T(1+) .

Ainsi :




= - E
L
t
(compressionL < )0



=

rr

= (1+) t

Validité de la solution élastique

Le critère est :

( ) - ( ) =
= - o
t
t
E
t
(1- s
L
Y
y
t) 0

Le critère n'est pas franchi pour t = [0, ty] , avec :

o

t
y
y
=

(E
o
+ s
y
)
y - L
oy
t
t y


A l'instant ty :

E o

y
L (ty ) =
-
E + oy s

1
La densité d'énergie de déformation vaut : (
w t =-

y )
E( t)2
2

L'énergie de déformation totale vaut dans le cas parallélépipédique:
1
W (t
2
=-
.( - ).
y )
E( t) x
x
H
B
A
2

1
(r 2 -
2
r 2 ).
L'énergie de déformation totale vaut dans le cas axisymétrique: W (t =-
.
y )
E( t)
B
A
H
2
2

(pour 1 radian)

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2.1.2 Phase
élastoplastique

t ty . On est sur le critère. Alors :


E - E

&p
Max 0 ;
T ( & sgn
o
=
L
(L)+ s
y
&T)
E E

T


En admettant que l'on soit "en charge" ( &p > )
0 , alors on élimine &p pour avoir :


E - E

&

= - E &T + sgn ( )
T

s o
L
T
L
y

E ET


puis :
E - E

s o

y
&p
T
=
&T- sgn (


L) +

E
E




A t = ty , = -E
L
ty < 0 ; on intègre alors ces expressions pour t t (T
y & = ) :



E - E


(t) = - E
T
o
L
T
(t -ty) -
s -
y
L (ty )

E E

T



(
E - E
p t)
T
=


2
[E +soy](t-ty)

E

Soit, après réarrangement, (t ty ) :



E
t

(t) = os
T
1
1

L
y
t - +
-


E




t
y



o


y (E - ET )
(
t
p t) =

-
1

E 2

t

y



Validité de cette solution élastoplastique

Il faut s'assurer que ( )
L t reste négatif. Sachant que s t < 1 , et que t > t y , le résultat précédent
confirme que ( )
L t < 0 .

Enfin, on remarque que :

1-
2
sgn (L)
p +
= (1+)
& &rr
&T
2

d'où :

1-
(
2
t) = (t)
rr

= (1+)t +
(
p t) , t [
ty,t fin]
2

(puisque ( )
L t < 0 ).
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2.2
Résultats de référence

,
rr
xx
zz
ou et p
ty

en
et au delà :

Phase élastique : pour t < ty

= -E t =
L
rr
= (1+ ) t
en axisymétrique
= (

1+ )
xx
t
en contraintes planes.


La limite élastique est atteinte en t
0
y =
66,666 s d'où
(
=
E + s
0 )


L(ty) = - 1+ s



0

E

Phase élastoplastique : pour t ty


E
t
(t) = s
T
1
1

L
t - +
-
0
E



t
y
0 (E - E

T )
(
t
p t) =

-
1
E 2

t

y


1-
2
=
rr
= (1+ ) t +
(
p t) en axisymétrique
2
1-
2
ou
=
xx
= (1+ ) t +
(
p t) en contraintes planes
2

E = 200 000 MPa ; = 0 3
,
; =
-
10 5 °C-1 ; = 10
. s-1

o

= 400 MPa ; To = 0 °C ; s = -
10 2 °C-1 ; t
< 100s
y
fin


E
= 50 000 MPa
T

D'où :

t

= 66 6666
.
s
y





133 333
.

L

(ty ) = -
MPa


phase élastique

-
rr
(ty) = (ty) = 0866666
.
10 3
.





w=4.44410-²
W=0.17778 (PLAN ou 3D)
W=0.26666 (axi)
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Puis, phase élastoplastique :


à t =
s
80 :
( )
80
= -
L
100 0
. MPa
(
p
)
80
=
-
0 3000
.
10 3
.
( )
80
= ( )
80
=
-3
rr

1100
.
10
.

à t =
s
90 :
( )
90
= -
L
75 00
.
MPa
(
p
)
90
=
-
0 5250
.
10 3
.
( )
90
= ( )
90
=
3
rr

1275
.
10
.


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

QUAD4 - Axisymétrique

GRN03
z
N4
N3
D
C
GRN04
GRN02
A
B
N1
N2
GRN01

Figure 3.1-a : Modélisation A


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4, 4 SEG2


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH



DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC

CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL


CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL


CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA

POST_ELEM ENER_TOTALE





3.4 Remarques

La fonctionnalité AFFE_CARTE est également testée mais ce n'est pas documenté dans le test.
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
Tolérance
relative

t = 66.666
8.6666 10­4 8.66658
10­4
0 0.1


rr =
t = 80
1.1000 10­3 1.10029
10­3
0.026 0.1

t = 90
1.2750 10­3 1.27529
10­3
0.023 0.1

t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 10­4
3.0000 10­4
0 0.1

t = 90
5.2500 10­4
5.2500 10­4
0 0.1

t = 66.666
­133.333
­133.332
­0.001
0.1
zz
t = 80
­100.000
­100.00
0
0.1

t = 90
­75.000
­75.000
0
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1






ENER_TOTALE t = 66.666
0.2666
0.2666
­0.00
0.1
ENER_POT
t = 66.666
0.2666
0.2666
­0.00
0.1


4.2 Remarque

On obtient bien les mêmes résultats avec le matériau isotrope déclaré orthotrope qu'avec le matériau
isotrope en thermo-élasticité, c'est-à-dire pour le numéro d'ordre 1 à t = 66.666 s.

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

QUAD4 - Contraintes planes

y
N4
N3
D
C
A
B
N1
N2

Figure 5.1-a : Modélisation B



5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4, 4 SEG2



5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC

CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL


CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL


CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA

POST_ELEM ENER_TOTALE



POST_ELEM ENER_POT


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
Tolérance
relative

t = 66.666
8.6666 10­4 8.66658
10­4
0 0.1
xx
t = 80
1.1000 10­3
1.1000 10­3
0 0.1

t = 90
1.2750 10­3
1.2750 10­3
0 0.1

t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 10­4
3.0000 10­4
0 0.1

t = 90
5.2500 10­4
5.2500 10­4
0 0.1

t = 66.666
­133.333
­133.332
­0.001
0.1
yy
t = 80
­100.
­100.00
0
0.1

t = 90
­75.000
­75.00
0.001
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1






ENER_TOTALE t = 66.666
0.17777
0.17777
­0.00
0.1
ENER_POT
t = 66.666
0.17777
0.17777
­0.00
0.1

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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

1 élément TUYAU

C
A


7.2
Caractéristiques du maillage

1 élément TUYAU


7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC


TUYAU_NCOU
1


TUYAU_NSEC
16




8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence

t = 66.666
0
0
0
p
t = 80
3. 10­4
3.003 10­4 0.1

t = 90
5.25 10­4 5.2526
0.05

t = 66.666
­1.333
­1.3313
­0.16
yy
t = 80
­100
­99.82
­0.18

t = 90
­75
­74.85
­0.2

Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
HT-66/03/008/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple


Date :
03/11/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, I. DEBOST-EYMARD, F.VOLDOIRE Clé
:
V7.22.100-C Page :
15/20


9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

1 élément TUYAU 6M

C
A


9.2
Caractéristiques du maillage

1 élément TUYAU


9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU_6M

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC


TUYAU_NCOU
1


TUYAU_NSEC
16




10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence

t = 66.666
0
0
0
p
t = 80
3. 10­4
3.003 10­4 0.1

t = 90
5.25 10­4 5.2526
0.05

t = 66.666
­1.333
­1.3313
­0.16
yy
t = 80
­100
­99.82
­0.18

t = 90
­75
­74.85
­0.2

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11 Modélisation
E

11.1 Caractéristiques de la modélisation

QUAD4 - Axisymétrique. Test de la variation des coefficients de VMIS_CINE_LINE en fonction de la
température, dans ce cas ET (donné par D_SIGM_EPSI) varie comme : ET = 105 (1­10­2(T­T0)). La
2 E E
constante de Prager vaut : C
T
=
.
3 E - ET

GRN03
z
N4
N3
D
C
GRN04
GRN02
A
B
N1
N2
GRN01

Figure 3.1-a : Modélisation E

11.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4, 4 SEG2

11.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




DEFI_MATERIAU ECRO_LINE_FO D_SIGM_EPSI


DEFI_MATERIAU PRAGER_FO
C


DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ECMI_TRAC

CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_CINE_LINE


11.4 Remarque

On teste la variation de ET (D_SIGM_EPSI) avec la température par comparaison avec le
comportement VMIS_ECMI_TRAC où C (constante de Prager) varie avec la température de façon
similaire (pas de solution analytique).
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12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées


Variables
Instants (s)
Référence (Aster)
Aster
% erreur
Tolérance
(VMIS_ECMI_TRAC) (VMIS_CINE_LINE)
relative

t = 66.666
8.6666 10­4 8.66658
10­4 0
0.1


rr =
t = 80
1.112 10­3 1.112
10­3 0 0.1

t = 90
1.303 10­3 1.303
10­3 0 0.1

t = 66.666
­133.333
­133.332
0
0.1
zz
t = 80
­88
­88
0
0.1

t = 90
­47
­47
0
0.1


12.2 Remarque

On obtient bien les mêmes résultats avec le comportement VMIS_CINE_LINE qu'avec le
comportement VMIS_ECMI_TRAC ce qui valide la prise en compte de la température dans ce modèle.


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13 Modélisation
F

13.1 Caractéristiques de la modélisation

1 élément POU_D_T

C
A


13.2 Caractéristiques du maillage

1 maille SEG2


13.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU_6M

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS

CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL


POST_ELEM ENER_POT





14 Résultats de la modélisation D

14.1 Valeurs
testées

Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
yy
t = 66.666
­1.333
­1.3313
­0.16
ENER_POT
t = 66.666
0.3555
0.3555
0.00

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15 Modélisation
G

15.1 Caractéristiques de la modélisation

3D, H=1

y
N4
N3
D
C
A
B
N1
N2

Figure 5.1-a : Modélisation G



15.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 HEXA8



15.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC

CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL


CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL


CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA

POST_ELEM ENER_TOTALE



POST_ELEM ENER_POT


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16 Résultats de la modélisation G

16.1 Valeurs
testées

Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
Tolérance
relative

t = 66.666
8.6666 10­4 8.66658
10­4
0 0.1
xx
t = 80
1.1000 10­3
1.1000 10­3
0 0.1

t = 90
1.2750 10­3
1.2750 10­3
0 0.1

t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 10­4
3.0000 10­4
0 0.1

t = 90
5.2500 10­4
5.2500 10­4
0 0.1

t = 66.666
­133.333
­133.332
­0.001
0.1
yy
t = 80
­100.
­100.00
0
0.1

t = 90
­75.000
­75.00
0.001
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1






ENER_TOTALE t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 ­0.00 0.1
ENER_POT
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 ­0.00 0.1



17 Synthèse des résultats

Les résultats sont satisfaisants et valident les comportements thermoplastique de Von Mises avec
écrouissage isotrope et cinématique linéaire. Les éléments finis utilisés sont les éléments 2D
(quadrilatères en contraintes planes ou axisymétrie) et les éléments TUYAU.

On constate en particulier une bonne modélisation de la variation de la limite d'élasticité et de la
constante de Prager avec la température.
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