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Version
6.4
Titre :
HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple
Date :
03/11/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, I. DEBOST-EYMARD, F.VOLDOIRE Clé
:
V7.22.100-C Page :
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
Document V7.22.100
HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple
Résumé :
Ce test traite la thermo-plasticité de Von Mises avec écrouissage isotrope sur un problème tridimensionnel
(modélisation A en axisymétrique) et bidimensionnel (modélisation B en contraintes planes). L'intérêt du test
tient à la dépendance de la limite d'élasticité avec la température. Il permet également de tester l'orthotropie en
thermo-élasticité car il s'applique à un matériau isotrope puis à un matériau isotrope déclaré orthotrope.
Ceci permet de tester les fonctionnalités de l'orthotropie. On y teste aussi le calcul de l'énergie de déformation.
Deux modélisations (C avec élément TUYAU, D avec élément TUYAU_6M) sont ajoutées pour tester la
thermoplasticité dans ces éléments.
Une modélisation (E) permet de tester la bonne prise en compte de la variation des coefficients du
comportement VMIS_CINE_LINE avec la température.
Une modélisation (F) permet de tester le calcul de l'énergie de déformation thermoélastique dans les poutres.
La modélisation (G) permet de tester les mêmes fonctionnalités que les modélisations A et B, mais en 3D.
La solution est analytique.
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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Titre :
HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Cylindre axisymétrique (modélisation A) ou plaque rectangulaire (modélisation B) ou tuyau droit
(modélisations C et D)
z ou y
D
C
H
b
a
r ou x
0
A
B
Figure 1.1-a : Géométrie de la structure
Rayon intérieur : a = 1 mm
rayon extérieur : b = 2 mm (largeur AB : 1 mm)
hauteur : H = 4 mm
1.2
Propriété des matériaux
E = 200 000 MPa module d' Young
ET = 50 000 MPa module tangent
= 0 3
.
(T)
y
= 0(1- s (T - T0) limite d'élasticité
= 400 MPa =
0
y(T0)
s =
-
10 2 °C-1
= -
10 5 °C-1 coefficient de dilatation thermique
C p = 0
J / (mm3°C) chaleur volumique
= -
10 3
W / (mm°C)
conductivité thermique
Pour le matériau isotrope déclaré orthotrope, il vient :
E_L = E_T = E_N = E
Nu_LT = Nu_LN = Nu_TN = Nu =
E
G_LT = G_LN = G_TN =
(
= 76923,077
2 1+ )
ALPHA_L = ALPHA_T ALPHA_N = ALPHA =
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ET
0
ET
y T
( )
E
Figure 1.2-a : Courbe de traction du matériau
1.3
Conditions aux limites et chargements
Modélisation A en axisymétrique : uz = 0 sur les côtés AB et CD (Axe Oz fixe)
Modélisation B en contraintes planes : uy = 0 sur les côtés AB et CD, ux = 0 en A
T(t) = t + T0 = 1°C/s T0 = 0°C.
Modélisations C et D : encastrement en A, Dy = 0 en C
2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Cas axisymétrique (2D)
déplacemen
de
Champs
t : u = ur (r) er
(
en
blocage
z)
u ' 0
0
r
r
déformatio
de
Champs
n :
(u)
= 0
0
0
selon z
ur
0 0
r
0 0 0
r
contrainte
de
Champs
s :
= L0 1 0
limites)
aux
conditions
(cf.
selon z
0 0 0
Cas parallélépipédique
déplacemen
de
Champs
t : u = ux (x)e + u
x
y (y)e y
(
en
blocage
z)
u ' 0
0
x
x
déformatio
de
Champs
n :
(u)
= 0
0
0
selon z
0
0 u y '
y
0 0 0
x
contrainte
de
Champs
s :
= L0 1 0
limites)
aux
conditions
(cf.
selon z
0 0 0
y
Le cas pourra être étudié en contraintes planes et en 3D.
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ET
E
y
2µ = 1+
E
3K =
E
1- 2
La loi de comportement s'écrit (variable interne scalaire p ) :
1
1
=
tr Id +
D + p +
o
(T -T ) Id
9K
2µ
avec :
1
D
= - tr Id
(déviateur des contraintes)
3
3
D
3
P
&
=
p&
, avec
=
D D
2
éq
2
éq
p& =
0 si f( , p) =
-
éq
R ( p) < 0
p&
0 si f( , p) = 0
R ( p) désigne la fonction d'écrouissage :
E E
R ( p)
T
= +
p
y
E - ET
Le taux &p peut être exprimé, lorsque f( , p) = 0 . En effet, de &p f identiquement nul, on tire :
&p &f+ &p f = 0. Ainsi, quand on est sur le critère (f = )
0 , nécessairement &f = 0 . C'est-à-dire :
3 D &
D
- R ,
T
&T - R ,p &p = 0
2
éq
3 D &
D
E E
+ o
T
y s &
T -
&p = 0
2
E -
E
éq
T
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D'où :
E - E
D
D
T
3 &
&p
o
=
+ s
y
&T
si &p 0 , pour
=
éq
R ( p)
E ET 2 éq
(critère atteint, en "charge")
Le champ de contraintes étant uniaxial, on a :
-1 0 0
D
L
=
0 2
0
3 0 0 - 1
Ainsi :
=
éq
L
et :
-1 0 0
P
&p
&
=
sgn (L) 0 2 0
2
0 0 - 1
La relation de comportement conduit à :
&p
&rr = & = -
&
- sgn
L
(L)+ &T(= &xx = &yy pour le cas du parallélépipède)
E
2
1
&zz = 0 =
&
L + &p sgn (L)+ &T
E
D'où :
3
1 -
2
&rr = & = &T +
&L
2
2E
&p = sgn (
L
L ) - &
&
T -
0
si
L R (p)
E =
<
D
D
E - E
T
3 &
= Max 0 ;
+ o
y
&
sT
sinon
E E
2
T
éq
C'est-à-dire, dans le cas L = R ( p) (critère atteint) :
E - E
&p
Max 0 ;
T (sgn (
o
=
L) & + s
L
y
&T)
E E
T
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2.1.1 Phase
élastique
Au début du chargement thermique, L étant inférieur à y , &p est nul.
D'où :
&
= - E
L
&T ; &rr = & = &T(1+) .
Ainsi :
= - E
L
t
(compressionL < )0
=
rr
= (1+) t
Validité de la solution élastique
Le critère est :
( ) - ( ) =
= - o
t
t
E
t
(1- s
L
Y
y
t) 0
Le critère n'est pas franchi pour t = [0, ty] , avec :
o
t
y
y
=
(E
o
+ s
y
)
y - L
oy
t
t y
A l'instant ty :
E o
y
L (ty ) =
-
E + oy s
1
La densité d'énergie de déformation vaut : (
w t =-
y )
E( t)2
2
L'énergie de déformation totale vaut dans le cas parallélépipédique:
1
W (t
2
=-
.( - ).
y )
E( t) x
x
H
B
A
2
1
(r 2 -
2
r 2 ).
L'énergie de déformation totale vaut dans le cas axisymétrique: W (t =-
.
y )
E( t)
B
A
H
2
2
(pour 1 radian)
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2.1.2 Phase
élastoplastique
t ty . On est sur le critère. Alors :
E - E
&p
Max 0 ;
T ( & sgn
o
=
L
(L)+ s
y
&T)
E E
T
En admettant que l'on soit "en charge" ( &p > )
0 , alors on élimine &p pour avoir :
E - E
&
= - E &T + sgn ( )
T
s o
L
T
L
y
E ET
puis :
E - E
s o
y
&p
T
=
&T- sgn (
L) +
E
E
A t = ty , = -E
L
ty < 0 ; on intègre alors ces expressions pour t t (T
y & = ) :
E - E
(t) = - E
T
o
L
T
(t -ty) -
s -
y
L (ty )
E E
T
(
E - E
p t)
T
=
2
[E +soy](t-ty)
E
Soit, après réarrangement, (t ty ) :
E
t
(t) = os
T
1
1
L
y
t - +
-
E
t
y
o
y (E - ET )
(
t
p t) =
-
1
E 2
t
y
Validité de cette solution élastoplastique
Il faut s'assurer que ( )
L t reste négatif. Sachant que s t < 1 , et que t > t y , le résultat précédent
confirme que ( )
L t < 0 .
Enfin, on remarque que :
1-
2
sgn (L)
p +
= (1+)
& &rr
&T
2
d'où :
1-
(
2
t) = (t)
rr
= (1+)t +
(
p t) , t [
ty,t fin]
2
(puisque ( )
L t < 0 ).
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2.2
Résultats de référence
,
rr
xx
zz
ou et p
ty
en
et au delà :
Phase élastique : pour t < ty
= -E t =
L
rr
= (1+ ) t
en axisymétrique
= (
1+ )
xx
t
en contraintes planes.
La limite élastique est atteinte en t
0
y =
66,666 s d'où
(
=
E + s
0 )
L(ty) = - 1+ s
0
E
Phase élastoplastique : pour t ty
E
t
(t) = s
T
1
1
L
t - +
-
0
E
t
y
0 (E - E
T )
(
t
p t) =
-
1
E 2
t
y
1-
2
=
rr
= (1+ ) t +
(
p t) en axisymétrique
2
1-
2
ou
=
xx
= (1+ ) t +
(
p t) en contraintes planes
2
E = 200 000 MPa ; = 0 3
,
; =
-
10 5 °C-1 ; = 10
. s-1
o
= 400 MPa ; To = 0 °C ; s = -
10 2 °C-1 ; t
< 100s
y
fin
E
= 50 000 MPa
T
D'où :
t
= 66 6666
.
s
y
133 333
.
L
(ty ) = -
MPa
phase élastique
-
rr
(ty) = (ty) = 0866666
.
10 3
.
w=4.44410-²
W=0.17778 (PLAN ou 3D)
W=0.26666 (axi)
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Puis, phase élastoplastique :
à t =
s
80 :
( )
80
= -
L
100 0
. MPa
(
p
)
80
=
-
0 3000
.
10 3
.
( )
80
= ( )
80
=
-3
rr
1100
.
10
.
à t =
s
90 :
( )
90
= -
L
75 00
.
MPa
(
p
)
90
=
-
0 5250
.
10 3
.
( )
90
= ( )
90
=
3
rr
1275
.
10
.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
QUAD4 - Axisymétrique
GRN03
z
N4
N3
D
C
GRN04
GRN02
A
B
N1
N2
GRN01
Figure 3.1-a : Modélisation A
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4, 4 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA
POST_ELEM ENER_TOTALE
3.4 Remarques
La fonctionnalité AFFE_CARTE est également testée mais ce n'est pas documenté dans le test.
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
Tolérance
relative
t = 66.666
8.6666 104 8.66658
104
0 0.1
rr =
t = 80
1.1000 103 1.10029
103
0.026 0.1
t = 90
1.2750 103 1.27529
103
0.023 0.1
t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 104
3.0000 104
0 0.1
t = 90
5.2500 104
5.2500 104
0 0.1
t = 66.666
133.333
133.332
0.001
0.1
zz
t = 80
100.000
100.00
0
0.1
t = 90
75.000
75.000
0
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1
ENER_TOTALE t = 66.666
0.2666
0.2666
0.00
0.1
ENER_POT
t = 66.666
0.2666
0.2666
0.00
0.1
4.2 Remarque
On obtient bien les mêmes résultats avec le matériau isotrope déclaré orthotrope qu'avec le matériau
isotrope en thermo-élasticité, c'est-à-dire pour le numéro d'ordre 1 à t = 66.666 s.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
QUAD4 - Contraintes planes
y
N4
N3
D
C
A
B
N1
N2
Figure 5.1-a : Modélisation B
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4, 4 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA
POST_ELEM ENER_TOTALE
POST_ELEM ENER_POT
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
Tolérance
relative
t = 66.666
8.6666 104 8.66658
104
0 0.1
xx
t = 80
1.1000 103
1.1000 103
0 0.1
t = 90
1.2750 103
1.2750 103
0 0.1
t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 104
3.0000 104
0 0.1
t = 90
5.2500 104
5.2500 104
0 0.1
t = 66.666
133.333
133.332
0.001
0.1
yy
t = 80
100.
100.00
0
0.1
t = 90
75.000
75.00
0.001
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1
ENER_TOTALE t = 66.666
0.17777
0.17777
0.00
0.1
ENER_POT
t = 66.666
0.17777
0.17777
0.00
0.1
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
1 élément TUYAU
C
A
7.2
Caractéristiques du maillage
1 élément TUYAU
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
TUYAU_NCOU
1
TUYAU_NSEC
16
8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
t = 66.666
0
0
0
p
t = 80
3. 104
3.003 104 0.1
t = 90
5.25 104 5.2526
0.05
t = 66.666
1.333
1.3313
0.16
yy
t = 80
100
99.82
0.18
t = 90
75
74.85
0.2
Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
HT-66/03/008/A
Code_Aster ®
Version
6.4
Titre :
HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple
Date :
03/11/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, I. DEBOST-EYMARD, F.VOLDOIRE Clé
:
V7.22.100-C Page :
15/20
9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
1 élément TUYAU 6M
C
A
9.2
Caractéristiques du maillage
1 élément TUYAU
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU_6M
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
TUYAU_NCOU
1
TUYAU_NSEC
16
10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
t = 66.666
0
0
0
p
t = 80
3. 104
3.003 104 0.1
t = 90
5.25 104 5.2526
0.05
t = 66.666
1.333
1.3313
0.16
yy
t = 80
100
99.82
0.18
t = 90
75
74.85
0.2
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
QUAD4 - Axisymétrique. Test de la variation des coefficients de VMIS_CINE_LINE en fonction de la
température, dans ce cas ET (donné par D_SIGM_EPSI) varie comme : ET = 105 (1102(TT0)). La
2 E E
constante de Prager vaut : C
T
=
.
3 E - ET
GRN03
z
N4
N3
D
C
GRN04
GRN02
A
B
N1
N2
GRN01
Figure 3.1-a : Modélisation E
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4, 4 SEG2
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE_FO D_SIGM_EPSI
DEFI_MATERIAU PRAGER_FO
C
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ECMI_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_CINE_LINE
11.4 Remarque
On teste la variation de ET (D_SIGM_EPSI) avec la température par comparaison avec le
comportement VMIS_ECMI_TRAC où C (constante de Prager) varie avec la température de façon
similaire (pas de solution analytique).
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12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
Variables
Instants (s)
Référence (Aster)
Aster
% erreur
Tolérance
(VMIS_ECMI_TRAC) (VMIS_CINE_LINE)
relative
t = 66.666
8.6666 104 8.66658
104 0
0.1
rr =
t = 80
1.112 103 1.112
103 0 0.1
t = 90
1.303 103 1.303
103 0 0.1
t = 66.666
133.333
133.332
0
0.1
zz
t = 80
88
88
0
0.1
t = 90
47
47
0
0.1
12.2 Remarque
On obtient bien les mêmes résultats avec le comportement VMIS_CINE_LINE qu'avec le
comportement VMIS_ECMI_TRAC ce qui valide la prise en compte de la température dans ce modèle.
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13 Modélisation
F
13.1 Caractéristiques de la modélisation
1 élément POU_D_T
C
A
13.2 Caractéristiques du maillage
1 maille SEG2
13.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU_6M
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
POST_ELEM ENER_POT
14 Résultats de la modélisation D
14.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
yy
t = 66.666
1.333
1.3313
0.16
ENER_POT
t = 66.666
0.3555
0.3555
0.00
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15 Modélisation
G
15.1 Caractéristiques de la modélisation
3D, H=1
y
N4
N3
D
C
A
B
N1
N2
Figure 5.1-a : Modélisation G
15.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 HEXA8
15.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA
POST_ELEM ENER_TOTALE
POST_ELEM ENER_POT
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16 Résultats de la modélisation G
16.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
Tolérance
relative
t = 66.666
8.6666 104 8.66658
104
0 0.1
xx
t = 80
1.1000 103
1.1000 103
0 0.1
t = 90
1.2750 103
1.2750 103
0 0.1
t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 104
3.0000 104
0 0.1
t = 90
5.2500 104
5.2500 104
0 0.1
t = 66.666
133.333
133.332
0.001
0.1
yy
t = 80
100.
100.00
0
0.1
t = 90
75.000
75.00
0.001
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1
ENER_TOTALE t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1
ENER_POT
t = 66.666
4.444. 10-2 4.444.
10-2 0.00 0.1
17 Synthèse des résultats
Les résultats sont satisfaisants et valident les comportements thermoplastique de Von Mises avec
écrouissage isotrope et cinématique linéaire. Les éléments finis utilisés sont les éléments 2D
(quadrilatères en contraintes planes ou axisymétrie) et les éléments TUYAU.
On constate en particulier une bonne modélisation de la variation de la limite d'élasticité et de la
constante de Prager avec la température.
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