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Version
6.4

Titre :

TTNL02 - Transitoire thermique avec changement de phase
Date :
11/06/03
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE Clé
:
V4.22.002-B Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA














Manuel de Validation
Fascicule V4.22 : Thermique transitoire non-linéaire des structures linéiques
Document : V4.22.002





TTNL02 - Transitoire thermique avec changement
de phase





Résumé :

Ce test élémentaire permet de traiter un problème unidirectionnel en thermique transitoire non-linéaire et de
vérifier la prise en compte d'un changement de phase liquide/solide par le Code_Aster en introduisant par
l'intermédiaire de l'enthalpie volumique la chaleur latente de fusion. La solution est analytique et fait intervenir
les fonctions d'erreur erf et erfc. Le problème est traité dans les cas plan et volumique.

Pour les modélisations présentées ici, les écarts des résultats obtenus par le Code_Aster se situent entre 1 et
4% de la référence calculée analytiquement.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Ti = 740 °C
Tm = 660 °C
T0 = 580 °C
Phase solide
Phase liquide
0
L
l = 0.1m



1.2
Propriétés de matériaux

Ce sont les caractéristiques de l'aluminium indicées par s pour la phase solide et par l pour la phase
liquide. Elles sont supposées constantes au sein de chaque phase.

3
3
volumique

masse
= 2550 kg/m
= 2390 kg/m
s
1
6
3
6
3
chaleur volumique

c =
10
3.00
J/m °C
c =
10
2.58
J/m °C
1
s
conductivi thermique


k = 210 W/m°C
k = 95 W/m°C
s
1

3
chaleur
fusion

de

latente

L =
10
437.44
J/kg
températur
fusion

de

e
T = 660.0°C
m
9
3
d'

variation
volumique

enthalpie
H =
10
1.08048
J/m


1.3
Conditions aux limites et chargements

Température imposée aux extrémités.

T = 580.0 C
°

en x = 0
0

T = 740.0 C
°

en x = l
i


1.4 Conditions
initiales

Température initiale uniforme

init
T
= i
T = 740.0 C
°
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

On dispose d'une solution semi-analytique faisant intervenir les fonctions d'erreurs :

2
x
2
2
+
2
erf(x) =
e-t dt et erfc(x)

=
e-t dt
0
x




Cette solution est valide pour un milieu semi-infini, elle ne pourra donc être utilisée que dans un
domaine de variation limité de la variable de temps.
L
s
Soit x
t
t la position de l'interface solide/liquide. Soient st =
et
=
d et d
t
2 d
s
l
total
s

k
k
désignent la diffusivité des milieux solide et liquide d
s
=
, d
l
s
= . La solution de l'équation de

c
l
c
s
l
la chaleur est de la forme :

T - T
x
T (x,t) = T
m
0
0 +
erf

si x
x
s
erf()

2 d t
t
s
T - T
x

T (x,t) = T
m
i
+
erfc
si x x
l
i




d
2 d t
t
s
l
erfc


dl

La donnée de ttotal suffit à définir la solution, on fixe donc ttotal = 420.0

2.2
Résultats de référence

TEMPS :
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Abscisse
.000
580.
580.
580.
580.
580.
580.
.005
682.43
661.33
647.50
638.74
632.69
628.20
.010
726.05
705.75
692.06
682.43
675.24
669.63
.015
738.11
728.70
718.44
709.60
702.23
696.06
.020
739.86
737.22
731.99
726.05
720.27
714.94
.025
740.
739.50
737.56
734.47
730.81
727.00
.030
740.
739.93
739.39
738.11
736.20
733.88
.035
740.
739.99
739.88
739.45
738.61
737.40
.040
740.
740.
739.98
739.86
739.55
739.00
.045
740.
740.
740.
739.97
739.87
739.65
.050
740.
740.
740.
740.
739.97
739.89
.055
740.
740.
740.
740.
740.
739.97
.060
740.
740.
740.
740.
740. 740.
.065
740.
740.
740.
740.
740.
740.
.070
740. 740. 740. 740. 740. 740.
.075
740. 740. 740. 740. 740. 740.
.080
740. 740. 740. 740. 740. 740.
.085
740. 740. 740. 740. 740. 740.
.090
740. 740. 740. 740. 740. 740.
.095
740. 740. 740. 740. 740. 740.
.100
740. 740. 740. 740. 740. 740.
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TEMPS :
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
Abscisse
.000 580.
580. 580.
580. 580.
580.
.005 624.68 621.84 619.48 617.48 615.25 614.25
.010 665.09 661.33 657.43 653.65 650.37 647.49
.015 690.83 686.33 682.43 678.99 675.95 673.22
.020 710.11 705.75 701.81 698.25 709.92 692.06
.025 723.23 719.60 716.17 712.95 720.89 707.09
.030 731.34 728.70 726.05 723.43 728.48 718.44
.035 735.89 734.18 732.34 730.43 733.42 726.53
.040 738.21 737.22 736.07 734.79 736.44 731.99
.045 739.29 738.77 738.11 737.33 738.18 735.47
.050 739.74 739.50 739.15 738.71 739.12 737.56
.055 739.91 739.81 739.65 739.42 739.60 738.75
.060 739.97 739.93 739.86 739.75 739.83 739.39
.065 739.99 739.98 739.95 739.90 739.93 739.72
.070 740.
739.99 739.98 739.96 739.97 739.88
.075 740.
740. 740.
739.99 739.99 739.95
.080 740.
740. 740.
740. 740.
739.98
.085 740.
740. 740.
740. 740.
739.99
.090 740.
740. 740.
740. 740.
740.
.095 740.
740. 740.
740. 740.
740.
.100 740.
740. 740.
740. 740.
740.

(En °C, en fonction de l'abscisse en mètre et du temps en secondes).

Remarque :

On se limite aux variations pendant les 6 premières secondes, au-delà de 10 secondes la condition au
limite à l'extrémité
x = l n'est plus assurée.


2.3
Incertitude sur la solution

Inconnue, due à l'évaluation des fonctions d'erreur.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
M. Necati Özisik - Heat Conduction - Chapter 10 : Phase-change problems example 10-3 -
John Wiley & Sons.

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation 2D :


N6
N11
N16
N21



3.2
Caractéristiques du maillage

20 QUAD8


3.3
Fonctionnalités testées

Commande
Mot-clé facteur
Mot-clé simple
Argument

DEFI_MATERIAU THER_NL
LAMBDA



BETA


THER_NON_LINE TEMP_INIT
CHAM_NO


INCREMENT


CONVERGENCE
RESI_GLOB_RELA
1.E-2


ITER_GLOB_MAXI
25


CRIT_LAGR_RELA
1.E-3

ARCHIVAGE



PARM_THETA
0.8

LAGRANGIEN
RHO
4


R 4

ARCHIVAGE



3.4 Remarque

La chaleur latente de fusion est fournie par l'intermédiaire de l'enthalpie sur un intervalle de 0.01 °C.

H
9
=1.08 10
Enthalpie volumique
T=0.01
Température

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Les noeuds observés ont pour coordonnée y = 0.0


Identification
Référence
Aster %
différence
température
t = 0.5 s N6 (x = 0.005)
682.43
676.24
­0.908
t = 1.0 s N6 (x = 0.005)
661.33
640.58
­3.137
t = 3.0 s N6 (x = 0.005)
628.20
615.72
­1.987
t = 6.0 s N6 (x = 0.005)
614.25
605.37
­1.446




t = 0.5 s N11 (x = 0.010)
726.05
736.92
+1.497
t = 1.0 s N11 (x = 0.010)
705.75
710.18
+0.628
t = 3.0 s N11 (x = 0.010)
669.63
648.30
­3.185
t = 6.0 s N11 (x = 0.010)
647.49
629.97
­2.707




t = 0.5 s N16 (x = 0.015)
738.11
741.19
+0.418
t = 1.0 s N16 (x = 0.015)
728.70
737.23
+1.170
t = 3.0 s N16 (x = 0.015)
696.06
692.52
­0.508
t = 6.0 s N16 (x = 0.015)
673.22
652.62
­3.059




t = 0.5 s N21 (x = 0.020)
739.86
741.60
+0.235
t = 1.0 s N21 (x = 0.020)
737.22
741.16
+0.534
t = 3.0 s N21 (x = 0.020)
714.94
723.46
+1.192
t = 6.0 s N21 (x = 0.020)
692.06
685.31
­0.976


Le calcul par éléments finis nécessite une discrétisation en temps de t

10
5
4
-
=
s au moins pour les
premiers pas. La condition au limite imposée à l'origine faisant passer brusquement la température de
740.°C à 580.°C. On observe au niveau des premiers pas de temps quelques oscillations qui se
stabilisent ensuite assez rapidement, malgré tout la température maximum est dépassée, il n'y a pas
respect du maximum discret. Ce phénomène est observé lors des chocs thermiques, seul un
traitement numérique particulier au niveau de la matrice de masse peut remédier à ce dernier.

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation 3D :



No324
No312 No300 No277




5.2
Caractéristiques du maillage

20 HEXA20


5.3
Fonctionnalités testées


Commande
Mot-clé facteur
Mot-clé simple
Argument

DEFI_MATERIAU THER_NL
LAMBDA



BETA


THER_NON_LINE
TEMP_INIT VALE
740.0
INCREMENT


CONVERGENCE
RESI_GLOB_RELA
1.E-2


ITER_GLOB_MAXI
25


CRIT_LAGR_RELA
1.E-3


PARM_THETA
0.8

LAGRANGIEN
RHO
4


R
4


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Les noeuds observés ont pour coordonnées : x = y = 0.005


Identification
Référence
Aster %
différence
Température
t = 0.5 s No324 (z = 0.005)
682.43
671.47
­1.59
t = 1.0 s No324 (z = 0.005)
661.33
698.97
­3.38
t = 3.0 s No324 (z = 0.005)
628.20
615.54
­2.02
t = 6.0 s No324 (z = 0.005)
614.25
612.41
­0.30




t = 0.5 s No312 (z = 0.010)
726.05
733.77
+1.06
t = 1.0 s No312 (z = 0.010)
705.75
707.08
+0.19
t = 3.0 s No312 (z = 0.010)
669.63
647.77
­3.26
t = 6.0 s No312 (z = 0.010)
647.49
645.01
­0.38




t = 0.5 s No300 (z = 0.015)
738.11
740.86
+0.373
t = 1.0 s No300 (z = 0.015)
728.70
736.05
+1.01
t = 3.0 s No300 (z = 0.015)
696.06
691.42
­0.67
t = 6.0 s No300 (z = 0.015)
673.22
670.77
­0.36




t = 0.5 s No277 (z = 0.020)
739.86
741.34
+0.20
t = 1.0 s No277 (z = 0.020)
737.22
740.36
+0.48
t = 3.0 s No277 (z = 0.020)
714.94
722.46
+1.05
t = 6.0 s No277 (z = 0.020)
692.06
696.09
­0.58



7
Synthèses des résultats

L'erreur obtenue par rapport à la solution analytique reste raisonnable pour les points d'observation
listés dans les tableaux. Signalons toutefois que le choc thermique imposé au début du transitoire
provoque des oscillations (lorsqu'on observe la variation de la température en un point au cours du
temps) qui s'amortissent rapidement et qui ont disparues au temps t = 0.5 s.

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