Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
1/16
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.111
SSLV111 - Estimateur d'erreur sur une plaque
trouée en élasticité linéaire
Résumé :
Ce test valide et compare les 2 versions de l'estimateur d'erreur de Zhu-Zienkiewicz (version 1 de 1987, notée
ZZ1, et version 2 de 1992, notée ZZ2) appliquée au système de l'élasticité linéaire, en statique.
Il comporte 5 modélisations en contraintes planes, correspondant chacune à un type d'élément fini (TRIA3,
QUAD4, TRIA6, QUAD8, QUAD9).
La solution analytique est connue et permet de comparer les erreurs estimées avec l'erreur exacte.
L'intérêt du test réside :
· dans la comparaison entre les contraintes lissées avec ZZ1 (lissage global continu) et ZZ2 (lissage
local à des patchs d'éléments),
· dans la comparaison des estimateurs entre eux,
· dans l'analyse qualitative et quantitative des résultats (erreurs relatives globale et locale).
Le test met en évidence le bon comportement de ZZ2 sur tous les types d'éléments et les mauvais résultats de
ZZ1 sur des éléments quadratiques lorsque la solution ne présente pas de forte singularité, ce qui est le cas.
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
2/16
1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
= 1.0
= 1.0
B
C
x
A
D
E
a
( )
y
B
C
A
r
x
E
D
1.0
3.0
(h)
1.2
Propriétés de matériaux
E = 1 000 MPa
= 0.3.
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
3/16
1.3
Conditions aux limites et chargements
Sur AB, u
=
X
0
Sur ED, u =
y
0
F
= (x = 4 )
x
xx
.
Sur CD tractions F = (x = 4 )
y
xy
.
F =
=
x
xy (y
4 ).
Sur BC tractions F =
=
y
yy (y
4 )
.
Selon la solution analytique [2].
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
4/16
2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
On considère une portion d'une plaque infinie avec un trou central circulaire, soumise à un chargement
&
&
unitaire unidirectionnel dans la direction Ox = 1 e e
x
x .
La solution analytique de ce problème est [bib1] :
2
4
a 3
3 a
= 1-
cos +
xx
cos (
4 )
cos (
4 )
r2
2
+ 2 r4
2
4
a
= -
1 cos(
3 a
2
-
yy
) cos (
4 )
cos (
4 )
r2
2
- 2 r4
2
4
a
= -
1 sin (
3 a
2
+
xy
) sin (
4 )
sin (
4 )
r2
2
+ 2 r4
où :
·
a est le rayon du trou,
·
(r,) les coordonnées polaires.
2.2
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.3 Références
bibliographiques
[1]
Zhu-Zienkiewicz : The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates -
Part 1 : the recovery technique (Int. J. for Num. Methods in Engineering vol. 33, p. 1355
(mai 1992)).
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
5/16
3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 640 TRIA3.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
6/16
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A xx ZZ1
3.
2.823
5.91
0.1
xx ZZ2
3.
2.884
3.85
0.1
yy ZZ1
0.
0.261
-
0.3
yy ZZ2
0.
0.207
-
0.3
xy ZZ1
0.
7.4 103
-
0.1
xy ZZ2
0.
6.1 102
-
0.1
P xx ZZ1
1.15625
1.152
0.37
0.1
xx ZZ2
1.15625
1.145
0.98
0.1
yy ZZ1
0.15625
0.150
3.81
0.1
yy ZZ2
0.15625
0.145
7.00
0.1
xy ZZ1
0.125
0.117
6.11
0.1
xy ZZ2
0.125
0.124
0.68
0.1
Maille M1 eabs ZZ1
1.33 104
1.103
eabs ZZ2
8.13 105
1.103
erel ZZ1
6.63%
0.1
erel ZZ2
4.05%
0.1
eabs ZZ1
0.445 102
0.424 102
4.76
eabs ZZ2
0.445 102
0.451 102
+1.31
erel ZZ1
3.44%
3.28%
erel ZZ2
3.44%
3.49%
ZZ1
0.952
ZZ2
1.013
4.2 Remarques
= erreur estimée est l'indice d'effectivité de l'estimateur.
erreur exacte
Contenu du fichiers résultats :
· erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
· valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
· listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
19.0 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
7/16
5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 320 QUAD4.
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
8/16
6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A xx ZZ1
3.
3.017
0.57
0.1
xx ZZ2
3.
2.971
- 0.95
0.1
yy ZZ1
0.
0.17
-
0.3
yy ZZ2
0.
0.136
-
0.3
xy ZZ1
0.
2.8 103
-
0.1
xy ZZ2
0.
1.04 102
-
0.1
P xx ZZ1
1.15625
1.168
0.98
0.1
xx ZZ2
1.15625
1.153
0.26
0.1
yy ZZ1
0.15625
0.158
1.28
0.1
yy ZZ2
0.15625
0.152
2.83
0.1
xy ZZ1
0.125
0.121
2.99
0.1
xy ZZ2
0.125
0.124
0.94
0.1
Maille M1 eabs ZZ1
1.57 104
1.103
eabs ZZ2
2.40 104
1.103
erel ZZ1
5.79%
0.1
erel ZZ2
8.83%
0.1
eabs ZZ1
0.320 102
0.294 102
8.1
eabs ZZ2
0.320 102
0.307 102
4.2
erel ZZ1
2.48%
2.28%
erel ZZ2
2.48%
2.37%
ZZ1
0.919
ZZ2
0.958
6.2 Remarques
= erreur estimée est l'indice d'effectivité de l'estimateur.
erreur exacte
Contenu du fichiers résultats :
· erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
· valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
· listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
13.4 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
9/16
7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 160 TRIA6.
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
10/16
8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A xx ZZ1
3.
2.975
0.83
0.1
xx ZZ2
3.
2.957
1.43
0.1
yy ZZ1
0.
6.86 102
-
0.3
yy ZZ2
0.
7.52 102
-
0.3
xy ZZ1
0.
3.12 102
-
0.3
xy ZZ2
0.
0.155
-
0.3
P xx ZZ1
1.15625
1.166
0.85
0.1
xx ZZ2
1.15625
1.153
0.25
0.1
yy ZZ1
0.15625
0.167
6.92
0.1
yy ZZ2
0.15625
0.153
1.87
0.1
xy ZZ1
0.125
0.127
1.52
0.1
xy ZZ2
0.125
0.124
0.58
0.1
Maille M1 eabs ZZ1
1.81 104
1.103
eabs ZZ2
2.92 104
1.103
erel ZZ1
4.69%
0.1
erel ZZ2
7.56%
0.1
eabs ZZ1
0.152 102
0.123 102
19
eabs ZZ2
0.152 102
0.167 102
+9.9
erel ZZ1
1.17%
0.95%
erel ZZ2
1.17%
1.29%
ZZ1
0.810
ZZ2
1.099
8.2 Remarques
= erreur estimée est l'indice d'effectivité de l'estimateur.
erreur exacte
Contenu du fichiers résultats :
· erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
· valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
· listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
8.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
10.4 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
11/16
9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 277.
Nombre de mailles et types : 80 QUAD8.
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
12/16
10
Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A xx ZZ1
3.
3.063
2.11
0.1
xx ZZ2
3.
3.037
1.24
0.1
yy ZZ1
0.
0.101
-
0.3
yy ZZ2
0.
2.47 102
-
0.3
xy ZZ1
0.
5.8 103
-
0.3
xy ZZ2
0.
2.41 102
-
0.3
P xx ZZ1
1.15625
1.170
1.19
0.1
xx ZZ2
1.15625
1.153
0.29
0.1
yy ZZ1
0.15625
0.162
3.54
0.1
yy ZZ2
0.15625
0.153
1.87
0.1
xy ZZ1
0.125
0.124
1.09
0.1
xy ZZ2
0.125
0.124
0.84
0.1
Maille M1 eabs ZZ1
6.1 105
1.103
eabs ZZ2
2.1 104
1.103
erel ZZ1
1.45%
0.1
erel ZZ2
5.01%
0.1
eabs ZZ1
9.01 104
2.90 104
+67.9 (!)
eabs ZZ2
9.01 104
8.88 104
1.5
erel ZZ1
0.697%
0.22%
erel ZZ2
0.697%
0.687%
ZZ1
0.321
ZZ2
0.985
10.2 Remarques
= erreur estimée est l'indice d'effectivité de l'estimateur
erreur exacte
Contenu du fichiers résultats :
· erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
· valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
· listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
10.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8.6 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
13/16
11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 80 QUAD9.
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
14/16
12
Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A xx ZZ1
3.
3.070
2.33
0.1
xx ZZ2
3.
3.004
0.14
0.1
yy ZZ1
0.
0.113
-
0.3
yy ZZ2
0.
0.04
-
0.3
xy ZZ1
0.
1.4 103
-
0.1
xy ZZ2
0.
1.89 102
-
0.1
P xx ZZ1
1.15625
1.170
1.19
0.1
xx ZZ2
1.15625
1.152
0.33
0.1
yy ZZ1
0.15625
0.162
3.44
0.1
yy ZZ2
0.15625
0.153
2.11
0.1
xy ZZ1
0.125
0.124
1.06
0.1
xy ZZ2
0.125
0.124
0.94
0.1
Maille M1 eabs ZZ1
6.1 105
1.103
eabs ZZ2
2.1 104
1.103
erel ZZ1
1.45%
0.1
erel ZZ2
5.01%
0.1
eabs ZZ1
8.99 104
2.75 104
+69.4 (!)
eabs ZZ2
8.99 104
8.55 104
4.9
erel ZZ1
0.695%
0.21%
erel ZZ2
0.695%
0.66%
ZZ1
0.306
ZZ2
0.951
12.2 Remarques
= erreur estimée est l'indice d'effectivité de l'estimateur
erreur exacte
Contenu du fichiers résultats :
· erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
· valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
· listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
12.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8.8 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
15/16
13
Synthèse des résultats
TRIA3
QUAD4
TRIA6
QUAD8
QUAD9
e
exacte
3.44%
2.48%
1.17%
0.697%
0.695%
rel
ZZ1
3.28%
2.28%
0.95%
0.22%
0.21%
ZZ2
3.49%
2.37%
1.29%
0.687%
0.66%
ZZ1
0.952
0.919
0.810
0.321
0.306
ZZ2
1.013
0.958
1.099
0.985
0.951
Les contraintes aux noeuds sont, dans l'ensemble, mieux approximées avec ZZ2, surtout pour les éléments
ex
*
d'ordre 2. Si on fait tendre h vers 0, les taux de convergence avec h de
- sont supérieurs par la
méthode ZZ2 pour tous les types d'éléments à ceux de la méthode ZZ1 ( * est la contrainte lissée).
L'estimateur ZZ1 n'est pas fiable pour les éléments d'ordre 2, les contraintes nodales restent correctes. On peut
vérifier dans ce cas particulier que 0 quand h 0 , ce qui montre que le lissage global continu s'avère
insuffisant pour estimer l'erreur dans le cas d'une solution sans singularités (cas de ce test).
ZZ2 est par contre fiable et asymptotiquement exact ( 1 quand h 0 ).
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A Page :
16/16
Page laissée intentionnellement blanche.
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HI-75/96/017 - Ind A