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6.4

Titre :

SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d'un oscillateur harmonique
Date :
17/02/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, IRCN















Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.321




SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d'un
oscillateur harmonique avec amortissement
variable





Résumé :

Le système considéré est un oscillateur harmonique à 1 d.d.l. sous excitation harmonique à la résonance.
Différents amortissements seront considérés :

·
amortissement critique,
·
amortissement moyen,
·
amortissement très faible.

Par l'intermédiaire de ce problème, on teste les différents algorithmes de la commande DYNA_TRAN_MODAL
[U4.54.03] et leurs capacités à traiter des problèmes à amortissement extrême. Les résultats sont comparés
aux solutions analytiques exactes.

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SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d'un oscillateur harmonique
Date :
17/02/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Le système est composé d'une masse, d'un ressort et d'un amortisseur. Il admet un unique degré de
liberté en translation.
y,v
A
k
B
x,u
m
F0 sin (t)
c
: pulsation d'excitation correspondant
à la résonance du système non amorti
= km


1.2
Propriétés de matériaux

Raideur de liaison : k = 25.103 N.m-1

Masse ponctuelle : m = 10 kg

Amortissement visqueux :

c = ccritique ; c = 0,01 ccritique ; c = 10-5 ccritique
avec ccritique = 1 000 kg.s-1


1.3
Conditions aux limites et chargements

Extrémité A encastrée.

Force harmonique suivant x à la fréquence de résonance au point B :

F(t) = F0 sin (t) pour t 0 avec F0 = 5 N et =
k = 50 rad.s-1.
m

1.4 Conditions
initiales

du
Le système est au repos à t = 0 : (
u 0) = 0 et
( )
0 = 0 .
dt
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

L'oscillateur simple vérifie l'équation suivante :

m u& + c u& + k u = F sin
0
( t
)

avec u(0) = 0 et u&(0) = 0
: pulsation propre de l'oscillateur =
k
m

L'amortissement critique est ccritique = 2m.

La solution pour c = ccritique est :

(
F
u t)
0 [e-t
=
(1+ t
) - cos( t
)]
2k

c
La solution pour un amortissement sous-critique tel que
= est :
ccritique
(
- t

F
F

F
u t) = e
0
(
cos

t
0
0
D ) +
sin( t
D ) -
(
cos t
)

2 k
2k


2 k
D

avec
1 2
D =
-



2.2
Résultats de référence

Déplacement et vitesse du point B.

Déplacement pour l'amortissement critique
1,50E-04
1,00E-04
5,00E-05
)
(m
0,00E+00
u B
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-5,00E-05
-1,00E-04
-1,50E-04
temps (s)

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Déplacement pour l'amortissement de 1%
1,00E-02
5,00E-03
(m) 0,00E+00
u B
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-5,00E-03
-1,00E-02
temps (s)


Déplacement pour l'amortissement de 0,001%
2,50E-02
2,00E-02
1,50E-02
1,00E-02
5,00E-03
(m) 0,00E+00
u B
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-5,00E-03
-1,00E-02
-1,50E-02
-2,00E-02
-2,50E-02
temps (s)



2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique exacte.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
.B
A.
x
N1
N2


Caractéristiques des éléments :

DISCRET : masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire
K_T_D_L
amortissement
linéaire
A_T_D_L (c=ccritique)

Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.

Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2.

Méthodes de calcul :

·
Intégration sur la base modale avec Newmark ( = 0,25, = 0,5)
Pas de temps t = 10-3 s

·
Intégration sur la base modale avec Euler
Pas de temps t = 10-3 s

Durée d'observation : 0,5 s.


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2

Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE 'K_T_D_L'

MAILLE
'A_T_D_L'

NOEUD
'M_T_D_N'

MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'


!FORMULE REEL


CALC_FONC_INTERP FONCTION



DYNA_TRAN_MODAL NEWMARK
AMOR_GENE


EULER



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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

·
Déplacement du point B


Déplacement Déplacement

Déplacement

Temps
Référence
NEWMARK
Différence
EULER
Différence
(s)
(m)
Aster (m)
(%)
Aster (m)
(%)
0,06
1,18914 E­4
1,18886 E­4 ­0,023 1,18886
E­4
­0,024
0,12
­9,42819 E­5
­9,42574 E­5 ­0,026 ­9,47822
E­5 0,531
0,19
9,97958 E­5
9,97765 E­5 ­0,019 9,96206
E­5
­0,176
0,25
­9,97748 E­5
­9,97526 E­5 ­0,022 ­9,99152
E­5
­0,141
0,31
9,78457 E­5
9,78210 E­5 ­0,025 9,83436
E­5
0,509
0,38
­9,88705 E­5
­9,88530 E­5 ­0,018 ­9,84730
E­5
­0,402
0,44
9,99961 E­5
9,99754 E­5 ­0,021 9,99525
E­5
­0,044

·
Vitesse du point B


Vitesse Vitesse
Vitesse

Temps
Référence NEWMARK
Différence
EULER
Différence
(s)
(m.s-1)
Aster (m.s-1)
(%)
Aster (m.s-1)
(%)
0,03
3,31400 E­3
3,31363 E­3 ­0,011 3,32568
E­3
0,353
0,09
­5,13760 E­3
­5,13729 E­3 ­0,006 ­5,13627
E­3
­0,026
0,16
4,93337 E­3
4,93354 E­3 0,003
4,93088
E­3
­0,050
0,22
­5,00087 E­3
­5,00087 E­3 0,000
­5,00133
E­3
0,009
0,28
4,95298 E­3
4,95284 E­3 ­0,003 4,95297
E­3
0,000
0,35
­4,87813 E­3
­4,87836 E­3 0,005
­4,87801
E­3
­0,002
0,41
4,98415 E­3
4,98423 E­3 0,002
4,98409
E­3
­0,001
0,47
­4,99041 E­3
­4,99035 E­3 ­0,001 ­4,99043
E­3 0,000


4.2 Remarques

Les résultats sont testés au niveau des pics pour le grain d'observation retenu (10-2s) où les valeurs
sont les plus significatives.

Le régime devient quasi-permanent après la première période, c'est ce que l'on doit observer en
menant une analyse transitoire.

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
.B
A.
x
N1
N2


Caractéristiques des éléments :

DISCRET : masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire K_T_D_L
amortissement
linéaire
A_T_D_L (c = 0,01 ccritique)

Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.

Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2.

Méthodes de calcul :

·
Intégration sur la base modale avec Fu-Devogelaere
Pas de temps t = 10-3s

·
Intégration sur la base modale avec t adaptatif
Pas de temps initial t = 10-3s

Durée d'observation : 5 s.


5.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2

Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2


5.3
Fonctionnalités testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE
'K_T_D_L'

MAILLE
'A_T_D_L'

NOEUD
'M_T_D_N'

MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'


!FORMULE REEL


CALC_FONC_INTERP FONCTION



DYNA_TRAN_MODAL DEVOGE
AMOR_REDUIT


ADAPT
AMOR_GENE



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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

·
Déplacement du point B


Déplacement Déplacement

Déplacement

Temps
Référence DEVOG Différence
ADAPT
Différence
(s)
(m)
Aster (m)
(%)
Aster (m)
(%)
0,06
3,06503 E­4
3,06503 E­4 0,000 3,06481
E­4
­0,007
0,13
­5,93807 E­4
­5,93807 E­4 0,000 ­5,93696
E­4
­0,019
0,25
­1,17872 E­3
­1,17872 E­3 0,000 ­1,17862
E­3
­0,009
0,69
2,91788 E­3
2,91788 E­3 0,000 2,91748
E­3
­0,014
1,01
­3,83901 E­3
­3,83901 E­3 0,000 ­3,83548
E­3
­0,092
2,32
6,68206 E­3
6,68206 E­3 0,000 6,68614
E­3 0,061
3,64
­8,19821 E­3
­8,19821 E­3 0,000 ­8,20355
E­3 0,065
4,96
9,00847 E­3
9,00847 E­3 0,000 9,01348
E­3 0,056

·
Vitesse du point B


Vitesse Vitesse

Vitesse

Temps
Référence DEVOG Différence
ADAPT
Différence
(s)
(m.s-1)
Aster (m.s-1)
(%)
Aster (m.s-1)
(%)
0,04
8,95997 E­3
8,95997 E­3 0,000
8,97145
E­3 0,128
0,10
­2,33271 E­2
­2,33271 E­2
0,000 ­2,33492
E­2
0,095
0,22
­5,20590 E­2
­5,20590 E­2
0,000 ­5,21002
E­2
0,079
0,66
1,40500 E­1
1,40500 E­1 0,000
1,40593
E­1 0,066
1,04
1,99889 E­1
1,99889 E­1 0,000
1,99923
E­1 0,017
2,36
­3,39933 E­1
­3,39933 E­1
0,000 ­3,39703
E­1
­0,068
3,68
4,10585 E­1
4,10585 E­1 0,000
4,09991
E­1
­0,145
5,00
­4,45309 E­1
­4,45309 E­1
0,000 ­4,42239
E­1
­0,689


6.2 Remarques

Les résultats sont testés au niveau des pics où les valeurs sont les plus significatives.

La durée d'observation choisie permet de voir l'effet de l'amortissement. Cependant, dans cet
intervalle, la réponse du point B reste toujours transitoire mais on est proche du régime permanent
dont l'amplitude en déplacement est 10-2m.

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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
.B
A.
x
N1
N2


Caractéristiques des éléments :

DISCRET :
masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire K_T_D_L
amortissement
linéaire
A_T_D_L (c = 10-5 ccritique)

Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.

Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2.

Méthodes de calcul :

·
Intégration sur la base modale avec Newmark ( = 0,25, = 0,5)
Pas de temps t = 10-3s

·
Intégration sur la base modale avec Euler
Pas de temps t = 10-3s

Durée d'observation : 5 s.


7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2

Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2


7.3
Fonctionnalités testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE 'K_T_D_L'

MAILLE
'A_T_D_L'

NOEUD
'M_T_D_N'

MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'


!FORMULE REEL


CALC_FONC_INTERP FONCTION



DYNA_TRAN_MODAL NEWMARK
AMOR_GENE


EULER



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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

·
Déplacement du point B


Déplacement Déplacement

Déplacement

Temps
Référence NEWMARK Différence
EULER
Différence
(s)
(m)
Aster (m)
(%)
Aster (m)
(%)
0,06
3,11105 E­4
3,10936 E­4 ­0,054 3,11181
E­4
0,024
0,13
­6,13250 E­4
­6,13016 E­4 ­0,038 ­6,13380
E­4
0,021
0,25
­1,25380 E­3
­1,25304 E­3 ­0,060 ­1,25418
E­3
0,030
0,69
3,44945 E­3
3,44691 E­3 ­0,074 3,45069
E­3
0,036
1,01
­4,88729 E­3
­4,89081 E­3 0,072 ­4,88547
E­3
­0,037
2,32
1,12876 E­2
1,12475 E­2 ­0,355 1,13069
E­2
0,171
3,64
­1,77960 E­2
­1,77100 E­2 ­0,484 ­1,78360
E­2
0,225
4,96
2,43613 E­2
2,42198 E­2 ­0,581 2,44242
E­2
0,258

·
Vitesse du point B


Vitesse Vitesse

Vitesse

Temps
Référence NEWMARK Différence
EULER
Différence
(s)
(m.s-1)
Aster (m.s-1)
(%)
Aster (m.s-1)
(%)
0,04
9,09284 E­3
9,08897 E­3 ­0,043 9,08230
E­3
­0,116
0,10
­2,39724 E­2
­2,39637 E­2 ­0,036 ­2,40269
E­2 0,227
0,22
­5,49964 E­2
­5,49680 E­2 ­0,052 ­5,48752
E­2
­0,220
0,66
1,64958 E­1
1,64879 E­1 ­0,048 1,64882
E­1
­0,046
1,04
2,56456 E­1
2,56547 E­1 0,035
2,57280
E­1
0,321
2,36
­5,79010 E­1
­5,80019 E­1 0,174
­5,81033
E­1
0,349
3,68
8,97631 E­1
9,00729 E­1 0,345
9,00668
E­1
0,338
5,00 ­1,21164 ­1,21829
0,549 ­1,21531
0,303


8.2 Remarques

Les résultats sont testés au niveau des pics où les valeurs sont les plus significatives.

Dans l'intervalle d'observation, on reste très en dessous du régime permanent en résonance dont
l'amplitude de déplacement est 10 m.

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9
Synthèse des résultats

Pour la modélisation A, les résultats obtenus aussi bien en déplacement qu'en vitesse ont une erreur
absolue largement inférieure à 1 % par rapport à la solution analytique.

Le schéma d'intégration de Newmark se montre plus précis que le schéma d'Euler.

A 1 % de l'amortissement critique (modélisation B), le schéma d'intégration Fu-Devogelaere est d'une
redoutable précision (pas d'erreur par rapport à la solution de référence).

Le schéma à pas de temps adaptatif donne également des résultats à très faible pourcentage d'erreur.

Pour les très faibles amortissements (modélisation C), on notera une meilleure précision pour le
schéma d'intégration de type Euler que pour un schéma de type Newmark. Pour ce dernier, l'erreur
augmente en fonction du temps mais reste tout de même inférieure à 1 %.

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Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-66/04/005/A

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