Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLD101 Oscillateur simple sous excitation aléatoire


Date :
30/08/01
Auteur(s) :
J. PIGAT Clé
:
V2.01.101-B Page :
1/6

Organisme(s) : EDF/RNE/AMV














Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.101





SDLD101 - Oscillateur simple sous excitation
aléatoire





Résumé :

Un oscillateur simple, constitué d'une masse reliée à un support par un ressort et un amortisseur, est soumis à
une excitation aléatoire transmise par le support, de type accélération imposée.

Ce test utilise les fonctionnalités de l'analyse stochastique et calcule la densité spectrale de puissance (DSP)
du mouvement de la masse à partir de l'excitation de type bruit blanc donnée par sa DSP également.

Le mouvement est calculé selon différentes options : mouvement relatif, absolu, différentiel.

On calcule ensuite les propriétés statistiques de la réponse en passant dans toutes les options du
post-traitement dynamique aléatoire.
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Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


AX
k
DX
m




L'excitation est un mouvement sismique de type accélération imposée AX appliqué au support dans le
sens DX.

On s'intéresse au mouvement de la masse m.



1.2
Propriétés de matériaux

Masse ponctuelle :
m = 100 Kg
Ressort élastique :
k = 105 N/m
Amortissement modal :
0 = 0.05



1.3
Conditions aux limites et chargements

Le problème est unidimensionnel dans la direction x, et à 1 degré de liberté : le déplacement de la
masse m.

L'excitation est une densité spectrale de puissance (DSP), d'accélération constante entre 0. et 100 Hz.

Elle est appliquée au support.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

k
La solution de référence est analytique [bib1]. La pulsation propre de l'oscillateur est
,
m
k
soit 0 =
= 100 rad/s, et f
m
o = 15,9155 Hz.

En mouvement absolu, la DSP de la réponse en accélération notée G
( )
RR
& & est reliée à la DSP de
l'excitation GEE
& & en accélération également par :

4 + 4 2 2 2
G () =
0
0
0
.
RR
& &
(2 -2 2
2
2
2
0
)
G
( )
EE
& &
+ 4
0
0
En mouvement relatif, on a :

2
2

G () =
G ().
RR
& &


2 -2 +

2 j
EE
& &

0
0
0
En mouvement différentiel, on a :
G () = G
().
RR
& &
EE
& &


2.2
Résultats de référence

On teste la DSP de la réponse pour 0, 5, 10, 15, 20 Hz dans les trois cas de mouvement : absolu,
relatif et différentiel.


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
C. DUVAL "Réponse dynamique sous excitation aléatoire dans le Code_Aster : principes
théoriques et exemples d'utilisation" - Note HP-61/92.148
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément discret en translation de type DIS_T



P1
k
P2
DX
m




Caractéristiques des éléments :

Aux noeuds P1 et P2 : matrices de masses de type M_T_D_N avec m = 100 Kg.
Entre P1 et P2 : une matrice de rigidité de type K_T_D_L avec Kx = 106 N/m

Conditions aux limites :

Tous les ddl sont bloqués sauf le ddl DX du noeud P2.



3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2

Nombre de mailles et types : 1 SEG2, 2 POI1


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


MODE_STATIQUE DDL_IMPO
AVEC_CMP

DEFI_INTE_SPEC KANAI_TAJIMI


CONSTANT


DYNA_ALEA_MODAL EXCIT


MODE_STAT


REPONSE


REST_SPEC_PHYS



POST_DYNA_ALEA DEPASSEMENT

RAYLEIGH


GAUSS


VANMARCKE


MOMENT


DOMMAGE


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Réponse dynamique aléatoire


Identification Référence Aster %
Différence
ABSOLU : F = 5. Hz
1.2307
1.2307
0.%
ABSOLU : F = 10. Hz
2.7116
2.7116
0.%
ABSOLU : F = 15. Hz
47.2154
47.2157
0.%
ABSOLU : F = 20. Hz
2.8924
2.8924
0.%
ABSOLU : F = 25. Hz
0.47047
0.47047
0.%
RELATIF : F = 5. Hz
0.01197
0.01197
0.%
RELATIF : F = 10. Hz
0.04209
0.04209
0.%
RELATIF : F = 15. Hz
36.9225
36.9258
0.%
RELATIF : F = 20. Hz
7.1006
7.1006
0.%
RELATIF : F = 25. Hz
2.7953
2.7953
0.%
DIFFERENTIEL : F = 5. Hz
1.0
1.0
0.%
DIFFERENTIEL : F = 10. Hz
1.0
1.0
0.%
DIFFERENTIEL : F = 15. Hz
1.0
1.0
0.%
DIFFERENTIEL : F = 20. Hz
1.0
1.0
0.%
DIFFERENTIEL : F = 25. Hz
1.0
1.0
0.%



Post-traitement sur la réponse en déplacement absolu : moments spectraux et paramètres
statistiques



Identification
Aster
version 5.02
Moment spectral n°0
2.5285 102
Moment spectral n°1
2.4524 104
Moment spectral n°2
2.5125 106
Moment spectral n°3
2.7647 108
Moment spectral n°4
3.603 1010
Ecart-type 22.49
Facteur d'irrégularité
0.8324
Fréquence apparente (Hz)
15.86
Nombre moyen de passages par zéro par seconde
31.73
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Post-traitement sur la réponse en déplacement absolu : fonctions statistiques

Les valeurs relevées sont celles imprimées dans le fichier resultat.


Identification Paramètre
Aster
Version 5.02
Nb dépassement par seconde
10.97
25.00
40.55
1.23
60.10
0.025
Distribution de Rayleigh
10.97
0.0342
40.55
0.0062
60.10
0.187
10­3
Distribution de Gauss
10.97
0.0395
40.55
0.0019
60.10
0.396
10­4
Fonction de répartition de VANMARCKE
40.55
0.0043
10 (secondes)
50.09
0.3291
60.10
0.8688



4.2 Paramètres
d'exécution

Version : 5.02



Machine : SGI ORIGIN 2000

Système :

Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
2.65 secondes





5
Synthèse des résultats

Il n'est pas étonnant que les résultats attendus pour la réponse dynamique aléatoire soient obtenus
avec une précision de 0%. En effet les DSP des réponses ne résultent pas d'un processus itératif de
résolution, mais d'une expression analytique mettant en jeu les fonctions de transfert modales. Cette
expression analytique coïncide avec la solution de référence pour ce problème.

Pour le post-traitement, il n'y a pas de solution de référence. Les résultats de la version 4.03.09 sont
utilisés pour vérifier que les résultats n'évoluent pas d'une version à l'autre. Le calcul a très bien
supporté le changement de plateforme.
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