Code_Aster ®
Version
3
Titre :
SDLS01 Plaque carrée mince, libre ou encastrée au bord
Date :
24/08/99
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU, C. VARE, J. PELLET
Clé :
V2.03.001-C Page :
1/12
Organisme(s) : EDF/EP/AMV, EDFIMA/MNN
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
Document V2.03.001
SDLS01 - Plaque carrée mince, libre ou encastrée
au bord
Résumé :
Le domaine d'application de ce cas test concerne la dynamique des structures, et plus particulièrement
le calcul modal et le calcul de réponse harmonique.
Pour le calcul modal, il s'agit de calculer les modes propres de flexion d'une plaque carrée mince dans
deux configurations :
· Plaque encastrée sur un bord,
· Plaque libre.
La plaque est maillée en éléments triangulaires auxquels sont affectés des éléments DKT.
Quatre modélisations différentes sont testées :
· Calcul modal Arêtes de la plaque orientées selon les axes du repère,
· Calcul modal Orientation quelconque de la plaque et réponse harmonique pour la plaque
encastrée,
· Calcul modal par sousstructuration dynamique classique et cyclique,
· Calcul modal suite à une condensation de Guyan.
Les résultats de référence des calculs modaux sont issus de calculs analytiques. Ils valident d'une part
les outils de création des matrices de masse et de rigidité, ainsi que les opérateurs de
sous-structuration dynamique classique et cyclique implémentés dans le Code_Aster. D'autre part, ce
cas test valide le calcul modal suite à une condensation de Guyan (condensation de la matrice de
masse).
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
HI-75/96/013 - Ind A
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3
Titre :
SDLS01 Plaque carrée mince, libre ou encastrée au bord
Date :
24/08/99
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU, C. VARE, J. PELLET
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
A
D
A
D
t
y,v
H
K
G
I
J
a
B
C
B
a
C
x,u
Coté a = 1.m
épaisseur t = 0.01 m
Coordonnées des points (en m) :
A
B
C
D
G
H
I
J
K
x
0.
1.
1.
0.
0.5
0.25
0.75
0.75
0.25
y
0.
0.
1.
1.
0.5
0.25
0.25
0.75
0.75
z
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.2
Propriétés de matériaux
E
= 211011 Pa
= 0 3
= 7800 kg m3
.
.
/
1.3
Conditions aux limites et chargements
Cas 1 : coté AB encastré
pour tout point P tel que y
=
P
0 :
u = v = w = 0.
= = =
x
y
z
0.
Cas 2 : plaque libre
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour l'analyse modale
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLS01/89 du guide VPCS qui présente la
méthode de calcul de la façon suivante :
La formulation de M.V. BARTON, pour une plaque de coté a, conduit à :
1
Et 2
f
=
2
i =
i
i
1 2
, , ...
2 a 2
12 (1- 2
)
avec, pour un coefficient de Poisson = 0 3
. :
1° : Plaque encastrée sur un côté
2° : Plaque libre
i
2
i
2
i
i
1
3.492
1 à 6
0.
2
8.525
7
13.49
3
21.43
8
19.79
4
27.33
9
24.43
5
31.11
10
35.02
6
54.44
11
35.02
(6 modes de corps solide à fréquence nulle).
Cette solution de référence s'applique aux plaques minces telles que : t / a < .
0 1 .
Les coefficients i sont établis par développement limité sur les déformées modales d'un réseau de
poutres croisées (poutre encastréelibre et poutre librelibre).
2.2
Résultats de référence
Cas 1 : 6 premiers modes propres
Cas 2 : 11 premiers modes propres
2.3
Incertitude sur la solution
Solution semianalytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
M. V. BARTON Vibrations of rectangular and skew cantilever plates. Journal of Applied
Mechanics, vol 18, p. 129134 (1951)
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation A
Modélisation DKT
y
D
C
K
J
G
H
I
x
A
B
Noms des noeuds :
Points
A = N1
B = N78
C = N145
D = N80
G = N65
H = N17
I = N73
J = N121
K = N71
Conditions limites :
Cas 1 en tous les noeuds du côté AB :
DDL_IMPO: (GROUP_NO: AB DX :0., DY :0., DZ :0., DRX :0.,DRY :0.,DRZ :0.)
Cas 2 aucune
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 145
Nombre de mailles et types : 256 TRIA3
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
TOUT
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
GROUP_NO
[U4.25.01]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'DKT'
TOUT
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
MODE_ITER_SIMULT
'BANDE'
[U4.52.01]
CALC_ELEM
OPTION
'EPOT_ELEM_DEPL'
[U4.61.02]
'ECIN_ELEM_DEPL'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Fréquence (Hz)
Mode propre
Référence
Aster
% différence
Tolérance
1° : Plaque encastrée sur un côté
1
8.7266
8.6718
0.63
2
21.3042
21.2904
0.06
3
53.5542
53.0992
0.85
1. 102
4
68.2984
67.9269
0.54
5
77.7448
77.4294
0.40
6
136.0471
135.7635
0.21
Aster epot = ecin
1
1.4796 104
2
1.7331 104
3
4.3802 104
4
3.7367 104
5
5.4956 104
6
1.3483 105
2° : Plaque libre
7
33.7119
33.6839
0.08
8
49.4558
48.9362
1.05
9
61.0513
60.5849
0.76
1.1 102
10
87.5160
87.0993
0.48
11
87.5160
87.0993
0.48
Aster epot = ecin
7
2.2396 104
8
4.7270 104
9
7.2453 104
10
1.4974 105
11
1.4974 105
4.2 Remarques
MODE_ITER_SIMULT
OPTIONS: 'BANDE'
FREQ : (8., 140.)
CAS 1
FREQ : (32., 90.)
CAS 2
Contenu du fichier résultats :
1° :
6 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux
énergie de déformation et énergie cinétique des 6 modes.
2° :
5 fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux (f > 0)
énergie de déformation et cinétique des 5 modes.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.04.05
Machine : CRAY C98
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
18.91 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation B
Modélisation DKT avec maillage identique à la modélisation A.
Rotation de la plaque telle que le côté AB est sur la droite 3y = 4x
C
y
J
I
B
G
D
K
H
A
x
Noms des noeuds :
Points
A = N1
B = N78
C = N145
D = N80
G = N65
H = N17
I = N73
J = N121
K = N71
Conditions limites :
Cas 1 en tous les noeuds du côté AB :
DDL_IMPO: (GROUP_NO: AB DX :0., DY :0., DZ :0., DRX :0.,DRY :0.,DRZ :0.)
Cas 2 : aucune
Réponse harmonique :
Force nodale point C (N145) : Fz = 98100
Matériau : AMOR_ALPHA : 0.1 AMOR_BETA : 0.1
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 145
Nombre de mailles et types : 256 TRIA3
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
TOUT
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
GROUP_NO
[U4.25.01]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE
'DKT'
TOUT
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
AMOR_ALPHA
AMORBETA
[U4.23.01]
MODE_ITER_SIMULT
'BANDE'
[U4.52.01]
DYNA_LINE_HARM
[U4.54.02]
CALC_ELEM
OPTION
EFGE_ELNO_DEPL
[U4.61.02]
SIGM_ELNO_DEPL
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Les valeurs des fréquences propres sont identiques à celles de la modélisation A.
Réponse harmonique :
FREQ :
50 Hz
NOEUD :
N145
MAILLE :
M255
Référence
Aster 3.03.15
Aster 3.05.16
% différence
DEPL 'DZ'
2.90290E02
2.90290E02
0.0
5.20606E02
5.20606E02
DEPL 'DRX'
2.52920E02
2.52920E02
0.0
9.44717E02
9.44717E02
VITE 'DZ'
1.63553E+01
1.63553E+01
0.0
9.11973E+00
9.11973E+00
VITE 'DRX'
2.96792E+01
2.96792E+01
0.0
7.94573E+00
7.94573E+00
ACCE 'DZ'
2.86505E+03
2.86505E+03
0.0
5.13817E+03
5.13817E+03
ACCE 'DRX'
2.49622E+03
2.49622E+03
0.0
9.32398E+03
9.32398E+03
'EFGE_ELNO_DEPL' 'MXX'
1.14053E+01
1.14053E+01
0.0
1.45539E+03
1.45539E+03
'EFGE_ELNO_DEPL' 'MYY'
1.10224E+01
1.10224E+01
0.0
1.31441E+03
1.31441E+03
'EFGE_ELNO_DEPL' 'MXY'
1.03148E+01
1.03148E+01
0.0
3.55382E+02
3.55382E+02
'EFGE_ELNO_DEPL' 'QX'
3.66163E+02
3.66163E+02
0.0
3.77331E+03
3.77331E+03
'EFGE_ELNO_DEPL' 'QY'
3.14676E+02
3.14676E+02
0.0
2.06813E+03
2.06813E+03
'SIGM_ELNO_DEPL' 'SIXZ'
5.49245E+04
5.49245E+04
0.0
5.65997E+05
5.65997E+05
'SIGM_ELNO_DEPL' 'SIYZ'
4.72014E+04
4.72014E+04
0.0
3.10219E+05
3.10219E+05
6.2 Remarques
MODE_ITER_SIMULT
OPTIONS: 'BANDE'
FREQ : (8., 140.)
CAS 1
FREQ : (32., 90.)
CAS 2
Contenu du fichier résultats :
1° :
6 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
2° :
11 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
3° :
déplacement DZ DRX au noeud N145
efforts généralisés et contraintes maille M255
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.03.10
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
15.35 secondes
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Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
HI-75/96/013 - Ind A
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Version
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Titre :
SDLS01 Plaque carrée mince, libre ou encastrée au bord
Date :
24/08/99
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU, C. VARE, J. PELLET
Clé :
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation C
G
Dans les 2 cas, la plaque est découpée en 4 parties de dimensions égales. Chaque sousstructure
considérée est maillée en triangles auxquels sont affectés des éléments de plaque DKT.
Cas 1 : Plaque encastrée sur un bord
La structure est étudiée à l'aide de la méthode de sousstructuration classique avec interfaces de type
CRAIG_BAMPTON. La base modale utilisée pour chaque sousstructure est composée de 25 modes
propres et des modes contraints associés aux interfaces.
Cas 2 : Plaque libre
La structure est étudiée à l'aide de la méthode de sousstructuration cyclique avec interfaces de type
CRAIG_BAMPTON HARMONIQUE et prise en compte de la spécificité du noeud de l'axe (point G). La
base modale utilisée pour le secteur de base est composée de 25 modes propres et des modes
harmoniques associés aux interfaces.
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 121
Nombre de mailles et types : 200 TRIA3
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MACR_ELEM_DYNA
BASE_MODALE
[U4.55.05]
MACR_ELEM_DYNA
OPTION
'RITZ'
DEFI_MODELE_GENE
SOUS_STRUC
NOM
DEFI_MODELE_GENE
SOUS_STRUC
MACR_ELEM_DYNA
DEFI_MODELE_GENE
SOUS_STRUC
ANGL_NAUT
DEFI_MODELE_GENE
LIAISON
SOUS_STRUC_1
SOUS_STRUC_2
[U4.55.06]
DDEFI_MODELE_GENE
LIAISON
INTERFACE_1
INTERFACE_2
NUME_DDL_GENE
MODELE_GENE
[U4.55.07]
ASSE_MATR_GENE
NUME_DDL_GENE
[U4.55.08]
ASSE_MATR_GENE
OPTION
'MASS_GENE'
'RIGI_GENE'
DEFI_SQUELETTE
MODELE_GENE
[U4.75.01]
DEFI_SQUELETTE
SOUS_STRUC
NOM
REST_BASE_PHYS
SQUELETTE
[U4.64.01]
REST_BASE_PHYS
TOUT_ORDRE
MODE_ITER_CYCL
LIAISON
AXE
'OUI'
MODE_ITER_CYCL
CALCUL
TOUT_DIAM
'CENTRE'
[U4.52.03]
MODE_ITER_CYCL
CALCUL
OPTION
DEFI_SQUELETTE
MODE_CYCL
[U4.75.01]
DEFI_SQUELETTE
SECTEUR
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Titre :
SDLS01 Plaque carrée mince, libre ou encastrée au bord
Date :
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Auteur(s) :
G. ROUSSEAU, C. VARE, J. PELLET
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Ordre du
Fréquence (Hz)
mode propre i
Référence
Aster
% différence
Tolérance
1° : Plaque encastrée sur un côté
1
8.7266
8.6419
0.97
2
21.3042
21.2253
0.37
3
53.5542
52.9693
1.09
1.25 102
4
68.2984
67.5444
1.10
5
77.7448
77.3966
0.45
6
136.0471
134.5785
1.08
2° : Plaque libre
7
33.7119
33.6808
0.09
8
49.4558
48.9785
0.96
9
61.0513
60.6739
0.62
1. 102
10
87.5160
87.0662
0.51
11
87.5160
87.0662
0.51
8.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.13
Machine : CRAY C98
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
112.81 secondes
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation D
DKT + sousstructuration de GUYAN
y
D
N
C
K
J
O
G
M
H
I
A
B
L
x
Conditions limites : Plaque libre
Condensation des matrices de masse et rigidité sur les noeuds :
(A, B, C, D, G, H, I, J, K, L, M, N, O).
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 145
Nombre de mailles et types : 256 TRIA3
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
TOUT
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
GROUP_NO
[U4.25.01]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE
'DKT'
TOUT
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
MODE_ITER_SIMULT
'BANDE'
[U4.52.01]
MACR_ELEM_STAT
RIGI_MECA
[U4.44.01]
MACR_ELEM_STAT
MACR_MECA
[U4.44.01]
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10
Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Ordre du
Fréquence (Hz)
mode propre i
Référence
Aster
% différence
Tolérance
2° : Plaque libre
7
33.7119
33.8758
0.48
8
49.4558
49.5240
0.14
1.1 102
9
61.0513
61.6240
0.94
10.2 Remarques
On cherche à calculer les 3 premières fréquences propres non nulles du problème de la plaque libre
sur ses bords.
Si on condense les matrices sur les seuls noeuds :
(A, B, C, D, G, H, I, J, K)
La précision des fréquences n'est alors que de 2%.
Pour obtenir les résultats voulus avec la précision attendue (1%), il faut ajouter les points (L, M, N, O).
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Synthèse des résultats
· Modélisations A et B :
Précision sur les fréquences propres ² 1% jusqu'au sixième mode de flexion.
· Modélisation C :
En sousstructuration, la qualité des résultats pourrait être améliorée par l'utilisation d'un maillage
de sousstructure plus fin.
· Modélisation D :
Pour obtenir une précision de 1% sur les fréquences propres, il est nécessaire de condenser aussi
sur les 4 noeuds milieux des bords L, M, N et O.
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
HI-75/96/013 - Ind A