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Version
7.2
Titre :
SSNP108 - Elément de béton précontraint en compression
Date :
18/12/03
Auteur(s) :
C. CHAVANT, X. DESROCHES, L. VIVAN Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, CS
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Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
Document : V6.03.108
SSNP108 - Elément de béton précontraint
en compression
Résumé :
On considère une structure élémentaire constituée d'une plaque de béton carrée traversée par un câble de
précontrainte dont la fibre neutre est confondue avec l'axe de symétrie horizontal de la plaque. Le bord vertical
gauche de la plaque est fixe. Le câble est mis en traction à ses deux extrémités afin de précontraindre la
plaque en compression. Les pertes de tension le long du câble sont négligées.
Le but de ce cas-test est de valider, sur une configuration simple, la méthode de calcul de l'état d'équilibre
d'une structure de béton précontrainte. Les résultats sont validés par comparaison à une solution analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
La plaque de béton est carrée ; les côtés ont même longueur L = H = 2 m.
L'épaisseur de la plaque vaut e = 0,6 m.
Le câble traverse la plaque horizontalement, à mi-hauteur, sans excentricité dans l'épaisseur. L'aire de
la section droite du câble vaut Sa = 1,5.104 m2.
y
2 m
A
B
1 m
H = 2 m
0
x
L = 2 m
1.2
Propriétés des matériaux
Matériau béton constituant la plaque :
Module d'Young Eb = 3.1010 Pa
Matériau acier constituant le câble :
Module d'Young Ea = 2,1.1011 Pa
Le coefficient de Poisson est pris égal à 0 pour les deux matériaux ; on privilégie ainsi la direction
d'application de l'effort normal (direction x ).
Les pertes de tension étant négligées, les divers paramètres servant à leur estimation sont fixés à 0.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le sommet inférieur du bord gauche de la plaque, c'est-à-dire le noeud origine(0;0), est encastré : tous
les DDLs de translation et de rotation sont bloqués.
Le sommet supérieur de ce même bord gauche, c'est-à-dire le noeud (0;2), est appuyé bi-
latéralement : les DDLs de translation bloqués sont DX et DZ.
On applique aux deux extrémités du câble (qui sont fixés sur le béton en A et B) un effort normal de
traction : (F0;0) au noeud A (0;1) et (F0;0) au noeud B (2;1), avec F0 = 2.105 N.
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2
Solution de référence
2.1 Solution
formelle
Les déplacements dans le câble et dans le béton sont continus et homogènes. Ainsi le déplacement
uL
horizontal sur l'intervalle [0;L] vaut u(x) =
x
L
Les contraintes normales dans la plaque de béton et le câble d'acier s'écrivent respectivement
(hypothèse d'élasticité) :
u
=
b
Eb
=
uL
E
x
b L
u
uL
=
a
E
+
a
= E
+
0
a
0
x
L
F0
où 0 =
est la précontrainte initiale dans le câble
Sa
et uL est le déplacement horizontal à l'abscisse L .
- LF
L'équilibre de l'ensemble plaque et câble s'écrit :
0
b Sb + a Sa = 0 uL =
Eb eH + Ea Sa
uL
EbeH
L'effort normal dans le câble vaut : N a = Ea Sa
+ F0 = F
L
0
EbeH + Ea Sa
L'effort total sur la section verticale de la plaque de béton vaut :
uL
EbeH
Nb = Eb eH
= -F0
L
EbeH + Ea Sa
On en déduit la densité linéique d'effort normal sur la plaque de béton
Ebe
N xx = -F0
EbeH + Ea Sa
2.2
Valeurs numériques de référence
Les valeurs numériques de référence sont :
uL
= 1,11013974.105 m
Na = 1,99825153.105 N
Nb = 1,99825153.105 N
N xx = 9,99125765.104 N/m
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
La figure ci-dessous donne une représentation simplifiée du maillage.
NB002001
NB002002
Y
NC001001
NC001005
X
NB001001
NB001002
La plaque de béton est représentée par un élément DKT, supporté par une maille quadrangle à 4
noeuds.
Une épaisseur e = 0,6 m lui est affectée, ainsi qu'un matériau béton pour lequel sont définis les
comportements ELAS (module d'Young Eb = 3.1010 Pa) et BPEL_BETON : les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 car on néglige les pertes de tension le long du câble de
précontrainte.
Le noeud NB001001 est encastré : DX, DY, DZ, DRX, DRY et DRZ sont bloqués. Le noeud NB002001 est
appuyé bi-latéralement : DX et DZ sont bloqués.
Le câble est représenté par 4 éléments MECA_BARRE, supportés par 4 mailles segments à 2 noeuds.
Une aire de section droite Sa = 1,5.104 m2 leur est affectée, ainsi qu'un matériau acier pour lequel sont
définis les comportements ELAS (module d'Young Ea = 2,1.1011 Pa) et BPEL_ACIER : les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 (pertes de tension négligées), à l'exception de la
contrainte limite élastique pour laquelle une valeur nulle est illicite (fprg = 1,77.109 Pa).
La tension F0 = 2.105 N est appliquée aux noeuds NC001001 et NC001005. Cette valeur de tension est
cohérente avec les valeurs de section et de limite élastique, pour un câble de précontrainte de type
toron.
Le calcul de l'état d'équilibre de l'ensemble plaque et câble est effectué en un seul pas, le
comportement étant élastique.
3.2
Etapes de calcul et fonctionnalités testées
Les principales étapes de calcul correspondent aux fonctionnalités que l'on souhaite valider :
·
opérateur DEFI_MATERIAU : définition des relations de comportement BPEL_BETON et
BPEL_ACIER, dans le cas particulier où les pertes de tension le long du câble de
précontrainte sont négligées (valeurs par défaut des paramètres) ;
·
opérateur DEFI_CABLE_BP : détermination d'un profil de tension constant le long du câble de
précontrainte, les pertes étant négligées ; calcul des coefficients des relations cinématiques
entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins» de la plaque de béton ;
·
opérateur AFFE_CHAR_MECA : définition d'un chargement de type RELA_CINE_BP ;
·
opérateur STAT_NON_LINE, option COMP_INCR : calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type RELA_CINE_BP.
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
4.1.1 Densité linéique d'effort normal sur la section verticale de la plaque de béton
On compare les valeurs extraites du champ SIEF_ELNO_ELGA issu de STAT_NON_LINE aux valeurs
théoriques de référence. L'extraction se fait sur la maille QD001001 représentant la plaque de béton.
La composante sur laquelle portent les tests est NXX.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 106 %.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001001
9,99125765.104 N/m
9,9912576495569.104 N/m
4,43.1011 %
NB001002
9,99125765.104 N/m
9,9912576495569.104 N/m
4,43.1011 %
NB002001
9,99125765.104 N/m
9,9912576495569.104 N/m
4,43.1011 %
NB002002
9,99125765.104 N/m
9,9912576495569.104 N/m
4,43.1011 %
4.1.2 Déplacement horizontal des noeuds de la plaque de béton
On compare les valeurs extraites du champ DEPL issu de STAT_NON_LINE aux valeurs théoriques de
référence.
La composante sur laquelle portent les tests est DX.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 106 %.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001002
1,11013974.105 m
1,1101397388397.105 m
1,05.109 %
NB002002
1,11013974.105 m
1,1101397388397.105 m
1,05.109 %
4.1.3 Effort normal dans le câble
On compare les valeurs extraites du champ SIEF_ELNO_ELGA issu de STAT_NON_LINE aux valeurs
théoriques de référence. L'extraction se fait sur les mailles SG001001 pour le noeud NC001001,
SG001002 pour le noeud NC001002, SG001003 pour le noeud NC001003, et SG001004 pour les
noeuds NC001004 et NC001005.
La composante sur laquelle portent les tests est N.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 106 %.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NC001001
1,99825153.105 N
1,9982515299113.105 N
4,44.1011 %
NC001002
1,99825153.105 N
1,9982515299113.105 N
4,44.1011 %
NC001003
1,99825153.105 N
1,9982515299113.105 N
4,44.1011 %
NC001004
1,99825153.105 N
1,9982515299113.105 N
4,44.1011 %
NC001005
1,99825153.105 N
1,9982515299113.105 N
4,44.1011 %
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4.1.4 Déplacement horizontal des noeuds du câble
On compare les valeurs extraites du champ DEPL issu de STAT_NON_LINE aux valeurs théoriques de
référence.
La composante sur laquelle portent les tests est DX.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 106 %.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NC001002
2,77534935.106 m
2,7753493470988.106 m
1,05.109 %
NC001003
5,55069869.106 m
5,5506986941982.106 m
7,56.1010 %
NC001004
8,32604804.106 m
8,3260480412974.106 m
1,56.1010 %
NC001005
1,11013974.105 m
1,1101397388389.105 m
1,05.109 %
4.2 Remarques
Les valeurs calculées correspondent effectivement à celles théoriquement attendues. On obtient bien
un état de compression pour la plaque de béton.
On observe une différence infinitésimale entre le déplacement horizontal au noeud NC001005
appartenant au câble et le déplacement horizontal aux noeuds NB001002 et NB002002 de la plaque
de béton. Les valeurs relevées devraient être identiques, mais les erreurs d'arrondis apparaissant
dans les coefficients des relations cinématiques expliquent cette différence infinitésimale.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Pour cette modélisation, les noeuds « câble » et « béton » sont confondus.
La figure ci-dessous donne une représentation simplifiée du maillage.
N3
N4
Y
N5
N6
X
N1
N2
La plaque de béton est représentée par 10 éléments DKT, supportés par 10 mailles QUAD4.
Une épaisseur e = 0,6 m lui est affectée, ainsi qu'un matériau béton pour lequel sont définis les
comportements ELAS (module d'Young Eb = 3.1010 Pa) et BPEL_BETON : les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 car on néglige les pertes de tension le long du câble de
précontrainte.
Les noeuds N1, N5 et N3 sont encastrés : DX, DY, DZ, DRX, DRY et DRZ sont bloqués.
Le câble est représenté par 5 éléments MECA_BARRE, supportés par 5 mailles SEG2.
Une aire de section droite Sa = 1,5.104 m2 leur est affectée, ainsi qu'un matériau acier pour lequel sont
définis les comportements ELAS (module d'Young Ea = 2,1.1011 Pa) et BPEL_ACIER : les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 (pertes de tension négligées), à l'exception de la
contrainte limite élastique pour laquelle une valeur nulle est illicite (fprg = 1,77.109 Pa).
La tension F0 = 2.105 N est appliquée aux noeuds N5 et N6. Cette valeur de tension est cohérente avec
les valeurs de section et de limite élastique, pour un câble de précontrainte de type toron.
Le calcul de l'état d'équilibre de l'ensemble plaque et câble est effectué en un seul pas, le
comportement étant élastique.
5.2
Etapes de calcul et fonctionnalités testées
Les principales étapes de calcul correspondent aux fonctionnalités que l'on souhaite valider :
·
opérateur DEFI_MATERIAU : définition des relations de comportement BPEL_BETON et
BPEL_ACIER, dans le cas particulier où les pertes de tension le long du câble de
précontrainte sont négligées (valeurs par défaut des paramètres) ;
·
opérateur DEFI_CABLE_BP : détermination d'un profil de tension constant le long du câble de
précontrainte, les pertes étant négligées ; calcul des coefficients des relations cinématiques
entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins» de la plaque de béton ;
·
opérateur AFFE_CHAR_MECA : définition d'un chargement de type RELA_CINE_BP ;
·
opérateur STAT_NON_LINE, option COMP_INCR : calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type RELA_CINE_BP.
·
opérateur POST_RELEVE_T, NOM_CMP=`N' sur tout le champ SIEF_ELNO_ELGA.
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Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
6.1.1 Densité linéique d'effort normal sur la section verticale de la plaque de béton
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
N1
9,99125765.104 N/m
9,8387753336725.104 N/m
1.526 %
N3
9,99125765.104 N/m
9,8387753336725.104 N/m
1.526 %
6.1.2 Effort normal dans le câble
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
N5
1,99825153.105 N
1,9982248921222.105 N
0.001 %
N6
1,99825153.105 N
1,9943932520206.105 N
0.193 %
6.1.3 Effort normal dans le câble via la commande POST_RELEVE_T
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
N5
1,998224892.105 N
1,9982248921222.105 N
N6
1,994393252.105 N
1,9943932520206.105 N
6.2 Remarques
Les valeurs calculées correspondent effectivement à celles théoriquement attendues. On obtient bien
un état de compression pour la plaque de béton.
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7
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont validés par comparaison à une solution analytique de référence avec une
très bonne précision.
Les fonctionnalités particulières testées sont les suivantes :
·
opérateur DEFI_MATERIAU : définition des paramètres caractéristiques des matériaux acier
et béton permettant le calcul de la tension le long du câble de précontrainte, suivant les règles
du BPEL ;
·
opérateur DEFI_CABLE_BP : calcul de la tension le long du câble et des coefficients des
relations cinématiques entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins»
de la plaque de béton ;
·
opérateur AFFE_CHAR_MECA : définition d'un chargement de type RELA_CINE_BP ;
·
opérateur STAT_NON_LINE, option COMP_INCR : calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type RELA_CINE_BP.
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