Code_Aster ®
Version
4.0

Titre :

SSLL403 Flambement d'une poutre sous l'effet de son poids propre
Date :
22/01/98
Auteur(s) :
J.M. PROIX, M.T. BOURDEIX, P. HEMON, O. WILK
Clé : V3.01.403-A Page : 1/6

Organisme(s) : EDF/IMA/MMN, IAT St CYR















Manuel de Validation
Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
Document : V3.01.403





SSLL403 - Flambement d'une poutre sous l'effet de
son poids propre





Résumé :

Ce test permet de valider en élasticité linéaire le chargement dû aux forces de pesanteur pour une modélisation
de type poutre droite d'Euler (POU_D_E). Il permet également la mise en oeuvre et la validation du calcul de la
matrice de rigidité géométrique.

La solution de référence est analytique et les résultats jugés satisfaisants.

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Date :
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

A
Z
0
X
repère global

Figure 1.1-A


Section rectangulaire : Hy = 0.01 m , Hz = 0.01 m
Longueur : L = 1 m


1.2
Propriétés des matériaux

Module d'Young :
E = 2. 1011 Pa
Coefficient de Poisson : = 0,3
Masse volumique :
= 7800 kg/m3


1.3
Conditions aux limites et chargement

Condition aux limites :

Extrémité encastrée (0) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0.


Chargement :

Force de pesanteur : p poids par unité de longueur avec g = (0 0 -9,81) (donné en repère global).

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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence

En repère local, x suivant l'axe OA de la poutre, le moment fléchissant, à l'abscisse x, a pour
expression :

L
M
(x) = p
[v ( ) - v (x)]d
Fy

.
x

La flèche v( x) satisfait donc l'équation :

L
L
d 2v


E I
= p
() - ( ) = -
() + ( - ) ( )



2
[v
v x ] d
p
v
d
L x v x
z dx


x
x



En dérivant les deux membres, on obtient l'équation différentielle :

d 3v
p
dv
+
( L - x)
= 0 .
dx3
E I
dx
z

dv
La fonction v'( x) =
satisfait l'équation différentielle linéaire et homogène du second ordre :
dx
d 2v'
p
+
( L - x) v' = 0 ,
dx2
E Iz

qui peut être résolue à l'aide des fonctions de Bessel.

On trouve alors la valeur du poids linéique critique égale à :

E I
p
z
c = 7 837
,
.
L3

La solution analytique donne numériquement :

-
10 8
p
11
3
c = 7 837
,
2 10 ·
= 1 3061667
,
10 .
12

2.2
Résultats de référence

La valeur critique du multiplicateur :
c
P
c =
Sg

2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.

2.4 Références
bibliographiques

[1]
Rapport n° 2314/A de l'Institut Aérotechnique « Proposition et réalisation de nouveaux cas
tests manquant à la validation des poutres Aster »
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d'Euler.


3.2
Caractéristiques du maillage

Il est constitué de 10 éléments POU_D_E.


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION
RECTANGLE
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA PESANTEUR


[U4.25.01]
CALC_CHAM_ELEM SIEF_ELGA_DEPL


[U4.61.01]
MODE_ITER_SIMULT METHODE
JACOBI

[U4.52.02]



4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Valeur propre du système (K + KG) X = 0 :

Référence
Aster Ecart
%

­170.701 ­170.0005
­0.408


4.2 Remarque

Puisque p
S g
c =
, ( S g représente la pré-contrainte linéique), nous avons comme
chargement critique :

p
N m
c =
-
1300 84
1
,
.



4.3 Paramètres
d'exécution

Version : 4.02.13



Machine : CRAY C90



Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU user :
5.8 secondes
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5
Synthèse des résultats

Les résultats sont très proches de la solution analytique (écart : 0,4% pour 10 éléments). Cet écart est
fonction de la finesse de discrétisation étant données les hypothèses utilisées pour la rigidité
géométrique (cf. [R3.08.01]). Ceci valide donc ce type de chargement pour le flambement d'Euler.


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