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Version
4.0
Titre :
SDLS03 Plaque rectangulaire mince
Date :
08/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
Clé :
V2.03.003-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
Document V2.03.003
SDLS03 - Plaque rectangulaire mince simplement
appuyée sur les bords
Résumé :
Ce problème tridimensionnel consiste à chercher les fréquences de vibration d'une structure mécanique de type
plaque. Deux configurations différentes permettent de tester les modes de vibration dans le plan de la plaque
(comportement en membrane) avec des appuis élastiques sur deux bords opposés, et les modes de vibration
en flexion d'une plaque appuyée sur son contour.
Ce test de mécanique des structures correspond à une analyse dynamique d'un modèle surfacique ayant un
comportement linéaire. Il comporte deux modélisations (maillage en triangle ou en quadrangle).
Ce problème permet de tester les éléments de plaque en flexion transverse et en membrane et le calcul des
fréquences de vibration par la méthode de Lanczos ou la méthode de Bathe et Wilson.
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Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
HI-75/96/013 - Ind A
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4.0
Titre :
SDLS03 Plaque rectangulaire mince
Date :
08/01/98
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B. QUINNEZ
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y, v
B
C
a
A
D
.
x, u
z, w
b
Soit une plaque dont les caractéristiques sont les suivantes :
longueur : a = 1.5 m
largeur : b = 1 m
épaisseur : t = 0.01 m
Les points caractéristiques de la plaque ont pour coordonnées :
A
B
C
D
x
0.
0.
1.
1.
y
0.
1.5
1.5
0.
z
0.
0.
0.
0.
1.2
Propriétés des matériaux
Les paramètres caractérisant les propriétés du matériau sont :
E = 2.1 1011 Pa
= 0.3
= 7.800 kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargements
1.3.1 Problème de flexion
La plaque est en appui simple sur tous ses côtés : pour tout point P du bord on a : w = 0.
1.3.2 Problème de membrane
Pour tous les points de la plaque, on bloque le déplacement en z et les trois degrés de rotation, c'est-à-
dire :
w = 0. x = y = z = 0.
Sur les côtés AD et BC on bloque le déplacement en y : pour y = 0. ou y = a on a v = 0.
Aux points A, B, C, D on attache des ressorts de raideur k. L'axe de ces ressorts est la direction x.
y
B
C
A
D
x
La valeur numérique de k est la suivante : k = 25 N/m.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
2.1.1 Problème de flexion
La solution de référence du problème de flexion est celle donnée dans la fiche SDLS03/89 du guide
VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante.
La formulation de M.V. BARTON pour une plaque rectangulaire, posée sur ses quatre côtés conduit
pour les modes de flexion à :
i 2
j 2
E 2 t 4
f =
ij
2
a +
b
12 (1 2
)
avec :
i = nombre de demi-longueur d'onde selon y (dimension a),
j = nombre de demi-longueur d'onde selon x (dimension b).
2.1.2 Problème de membrane
Le problème traité en membrane est équivalent pour la recherche de la première fréquence de
vibration au problème unidimensionnel suivant :
2 k
2 k
m
x
où :
k est la raideur des ressorts,
m est la masse de la plaque.
4k
La fréquence cherchée est donc : f = 1
2
m
2.2
Résultats de référence
Pour le problème de flexion, on calcule les six premières fréquences de vibration et pour le calcul en
membrane, on ne calcule que la première fréquence.
2.3
Incertitude sur la solution
Les solutions étant analytiques, il n'y a pas d'incertitude.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
M.V. BARTON "Vibrations of rectangular and skew cantilever plates" - Journal of Applied
Mechanics, vol. 18, p. 129-134 (1951).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
On a découpé la plaque en 200 mailles TRIA3. Deux modélisations pour la plaque sont utilisées : DKT
et DST.
Pour le problème de flexion, les conditions aux limites sont les suivantes :
· en tous les noeuds du bord : DZ = 0
Pour le problème de membrane, les conditions aux limites sont :
· en tous les noeuds du maillage : DZ = 0 DRX = DRY = DRZ = 0,
· en tous les noeuds des côtés AB et BC : DY = 0
· aux points A, B, C, D on ajoute des éléments discrets de rigidité (direction x).
y
111
113
115
117
119
121
B
C
100
110
89
99
44
34
33
23
22
12
11
1A 2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
x
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 121
Nombre de mailles et types : 200 TRIA3
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants :
Point A = N1
Point C = N121
Point B = N111
Point D = N11
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
TOUT
[U4.24.01]
DISCRET
GROUP_NO
'K_T_D_N'
CARA
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
GROUP_NO
[U4.25.01]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'DKT'ou 'DST'
TOUT
[U4.22.01]
'MECANIQUE'
'DIS_T'
MACRO_MATR_ASSE
MATR_ASSE
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.31.02]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION
'BANDE'
CALC_FREQ
OPTION
'PLUS_PETITE'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Pour les modes de flexion :
Numéro
Fréquences
du mode
Référence
Aster DKT
% diff.
% tolé.
4
35.63
35.46
0.477
0.5
5
68.51
67.82
1.003
1.1
6
109.62
108.67
0.867
0.9
7
123.32
121.90
1.150
1.2
8
142.51
139.99
1.761
1.8
9
197.32
191.70
2.846
2.9
Aster DST
% diff.
% tolé.
35.45
0.492
0.5
67.80
1.030
1.1
108.62
0.910
1.
121.84
1.199
1.3
139.92
1.815
1.9
191.57
2.912
3.
Pour le problème en membrane :
Référence
Aster DKT
% diff.
% tolé.
0.14714
0.147136
0.002
0.1
Aster DST
% diff.
% tolé.
0.147136
0.001
0.1
4.2 Remarques
Pour le problème en flexion, la position modale du premier mode trouvé dans la bande (5., 200.) est la
quatrième, parce qu'il y a trois modes de corps solide à la fréquence zéro :
· modes de translation u et v dans le plan,
· mode de rotation autour de l'axe z.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.18
Machine : CRAY C98
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
25 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
On a découpé la plaque en 100 mailles QUAD4.
Trois modélisations pour la plaque sont utilisées : Q4G, DKT (DKQ), DST (DSQ).
Par rapport à la modélisation A, la plaque a été tournée dans le plan (o, x, y) d'un angle de 60°
C121 y
33
x'
22D
11
115
113
y'
B
4
111
3
2
23
1
A
12
x
Pour le problème de flexion, les conditions aux limites sont les suivantes :
· en tous les noeuds du bord : DZ = 0
Pour le problème de membrane, les conditions aux limites sont :
· en tous les noeuds du maillage : DZ = 0 DRX = DRY = DRZ = 0,
· au noeud A, on bloque le déplacement DY dans le repère (A, x', y'),
· aux points A, B, C, D on ajoute des éléments discrets de rigidité (direction x').
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 121
Nombre de mailles et types : 100 QUAD4
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants :
Point A = N1
Point B = N111
Point C = N121
Point D = N11
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
TOUT
[U4.24.01]
DISCRET
GROUP_NO
CARA
'K_T_D_N'
REPERE
'LOCAL'
ORIENTATION
'ANGL_NAUT'
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
GROUP_NO
[U4.25.01]
LIAISON_OBLIQUE
NOEUD
DY
ANGL_NAUT
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'Q4G'ou 'DST'
TOUT
[U4.22.01]
ou 'DKT'
'MECANIQUE'
'DIS_T'
MACRO_MATR_ASSE
MATR_ASSE
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.31.02]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION
'BANDE' ou
'CENTRE'
CALC_FREQ
OPTION
'PLUS_PETITE'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Pour les modes de flexion :
Numéro
Fréquences
du mode
Référence
Aster DKQ
% différence
% tolérance
4
35.63
35.359
0.760
0.8
5
68.51
67.491
1.427
1.5
6
109.62
108.563
0.964
1.
7
123.32
121.144
1.765
1.8
8
142.51
138.402
2.882
2.9
9
197.32
188.500
4.470
4.5
Aster DSQ
4
35.63
35.351
0.782
0.8
5
68.51
67.464
1.527
1.6
6
109.62
108.494
1.027
1.1
7
123.32
121.060
1.832
1.9
8
142.51
138.291
2.961
3.
9
197.32
188.298
4.572
4.6
Aster Q4G
4
35.63
36.011
1.068
1.1
5
68.51
70.795
3.336
3.5
6
109.62
114.593
4.536
4.6
7
123.32
134.899
9.39
9.4
8
142.51
142.941
4.513
4.6
9
197.32
212.045
7.463
7.5
Pour le problème en membrane :
Référence
Aster
% différence
% tolérance
DKQ
0.14714
0.14713
0.003
0.1
DSQ
0.14714
0.14714
0.002
0.1
Q4G
0.14714
0.14714
0.
0.1
6.2 Remarques
Pour le problème en flexion, la position modale du premier mode trouvé dans la bande (5., 200.) est la
quatrième, parce qu'il y a trois modes de corps solide à la fréquence zéro :
· modes de translation u et v dans le plan,
· mode de rotation autour de l'axe z.
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.18
Machine : CRAY C98
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
40 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
HI-75/96/013 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
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Date :
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B. QUINNEZ
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7
Synthèse des résultats
La précision, pour les modes de flexion, reste acceptable sur les six premiers modes. Notons
cependant que la précision est moins bonne que dans le cas de la plaque libre dans l'espace (test
SDLS01 [V2.03.001]).
On remarque que le traitement des modes de corps solide est convenable.
Pour le test en membrane, les résultats sont très satisfaisants.
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
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