Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

SSNA106 - Cylindre creux soumis à un comportement thermoviscoélastique Date :
19/08/02
Auteur(s) :
Ph. De BONNIERES, D. NUNEZ Clé
:
V6.01.106-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF/AMA, CS SI















Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document V6.01.106





SSNA106 - Cylindre creux soumis
à un comportement thermoviscoélastique




Résumé :

Ce cas-test permet de valider la loi de LEMAITRE implantée dans le Code_Aster dans le cas de comportement
thermoviscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
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HT-66/02/001/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie



D
C




T(r,t)







A
B



R0

R

1


R0
1 m
R1
2 m


1.2
Propriétés des matériaux

Module d'Young : E= 1 MPa
Coefficient de Poisson : =0.3
Coefficient de dilatation : =0.7

Loi de LEMAITRE :
n


1
1
1
g( ,,T ) =
avec
= ,
1
= ,
0 n = 1

K 1
K
m
m



1.3
Conditions aux limites et chargement

Conditions aux limites :
Le cylindre est bloqué en DY sur les côtés [AB] et [CD].


Chargement :
Le cylindre est soumis à un champ de température
2
T (r,t) = tr
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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence

L'ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].

Dans le cas d'un matériau isotrope viscoélastique linéaire, on peut décrire le comportement au cours
du temps à l'aide de deux fonctions I (t) et K (t) de telle sorte que les déformations et les contraintes
peuvent s'écrire :

d (t)
d(Tr( (t))
(t) = (I + K)*
- K *
I + T
(r,t)I
3
3
d
d
I désigne la matrice identité de rang 3
3
t
et * le produit de convolution : ( f * g t
)( ) = f t( -)g()d
0

Le problème thermoélastique équivalent, en passant par le transformée de Laplace est :


r
2
+
= +
(I + +
+
K
)
- +
+
K Tr
(
)I
I
3 +
3

p


+
d
1
+
'=
r


r
= ( + - +r )

dr
r
+

0
z =
( +
r ) = +
r
En éliminant le signe « + » :


1
'


0
r +
( r - ) =

r


r 2
(I + K )
(
)
0
z - K
r +
+ z +
=


p

r 2
2

r
r(I + K ) - K (

(
)


r +
+ z )+

= I + K r - K( r +
+ z )+


p
p
soit,


1
'
(
) 0
r +
r -

=

r


K
r 2


(
)

z =
r +
-

I
pI

(I + K)K
r 2

2

I K K
I K
r

r(I + K) -
(
(
)




r +
)
( + )
+

= I + K r -
( r + ) ( + )
+


I
p
I
I
p
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(I + K)K
+
2
(I + K
)
+ r (I + K


)


-
(
I
K
r
+ +
= (I + K


)

r
) (
)


r
I
I
p



D'après l'équation d'équilibre, on a = r

'
+ , on obtient :
r
r

(I + K)
2
K
I + K
r

(I + K) '



,
r +r (I + K )(r
'
r +
)


r
-
(2 r + r 'r) (
)
+
= 0



I
I
p

r

(
2

2

,
r + r
'
r ) +
= 0
p(I - K )


2
r
2 +

r '= A +
ce qui en intégrant par rapport à r donne :
r
r
p(K - I)

2
A
B
r
= +
+


,
r
2
2
r
4 p(K - I )
les conditions aux limites (r )
donnent :
r
=
(r )
r
= 0
0
1

A = -
( 2
2
r + r )
2 p(K - I) 0
1

2 2
r
r
0 1
B = 4p(K - I)
On a donc en reprenant les notations initiales :

2 2

r r
+
r =
( 2
r
r
r
0 +
2
1 -
2 - 0 1 )
+
+
2

4 p(I - K )
r


2 2

r r
+
=
( 2
r
r
r

0 +
2
1 - 3 2 + 0 1 )

+
4 p(I - +
K )
2
r

+
2
2
+

K (r
r
0 + 1 )
z =
(
- 2
r )


+
p(I - +
+
K ) I
2
Soit, en prenant la transformée inverse,



2
2
r r


-
1
(
bt
e ) 2
2
2
0 1
r
r
r
0
0

-
0 + 1 -
-



2


2k
r




2
2




r r
-bt
2
2
2
0 1

=
0
1
( - e


) r
r
r
0 + 1 - 3
+ 2
0
2k
r







2
2
-
r
r
bt
2
2
2
0 +
0
0
1
( - e )(
Ekt
r
r
r
e
0 + 1 - 2
)

1
-


+
1
( -
)
2


k
r


On en déduit et w :
V
1- 2


2 2
bt
r r

2
2
2 2
-
Ekt
(r
r )
3Ekt
r r
2
2
0 1
-
- 0 +



(
w r,t) =
r
(1- e )r r
1 e
r

0 + 1 -
2
+ ( -
)


1
+
0 1 + 2
2

Ek



r


4

(41- 2 )

r

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2.2
Résultats de référence

Déplacement DX sur le noeud B


2.3
Incertitude sur la solution

0% : solution analytique


2.4 Références
bibliographiques

[1]
Ph. De BONNIERES, deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en
viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le problème est modélisé en axisymétrie


3.2
Caractéristiques du maillage

120 mailles QUAD4


3.3 Fonctionnalités
testées


Commandes

DEFI_MATERIAU
LEMAITRE
STAT_NON_LINE
COMP_INCR
LEMAITRE



4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Instants Référence
Aster
Ecart %
DX(B) 0.24
1.110
1.1106
0.05%




5
Synthèse des résultats

Les résultats calculés par le Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais dépendent
très fortement du raffinement du maillage.


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