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Version
4.0
Titre :
SDLS07 Modes propres d'une enveloppe sphérique mince
Date :
07/12/98
Auteur(s) :
P. MASSIN, B. QUINNEZ, A. LAULUSA
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN, SAMTECH
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
Document : V2.03.007
SDLS07 - Modes propres d'une enveloppe
sphérique mince
Résumé :
Ce test issu du guide VPCS permet de valider l'algorithme de recherche de valeurs propres
MODE_ITER_SIMULT [U4.52.02] avec les opérateurs de rigidité et de masse correspondant aux modélisations
suivantes :
1) Coques tridimensionnelles : éléments finis DKT (mailllage d'un 1/8 de sphère),
2) Eléments
finis
2D axisymétriques TRIA6 et QUAD8 (maillage d'une section),
3) Coques tridimensionnelles : éléments finis axisymétriques isoparamétriques SEG3 (maillage linéique de
la section),
4) Coques
tridimensionnelles
COQUE_3D : élément fini MEC3QU9H (maillage 1/8 de sphère),
5) Coques
tridimensionnelles
COQUE_3D : élément fini MEC3TR7H.
Les résultats obtenus sont comparés à la solution analytique (HAYEK) et font apparaître pour les six premiers
modes des écarts inférieurs à :
· 0,45% pour les éléments milieux continus axisymétriques,
· 0,20% pour les éléments de coque DKT,
· 0,17% pour les éléments de coques axisymétriques isoparamétriques,
· 0,17% pour les éléments COQUE_3D.
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Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et des plaques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Rm
t
Il s'agit d'une sphère mince, de rayon moyen Rm = 2.5 m, et d'épaisseur t = 0.1 m.
1.2
Propriétés des matériaux
Le matériau est homogène, isotrope, élastique linéaire. Les coefficients élastiques sont :
E = 200 000 MPa et = 0.3.
La masse volumique est constante et vaut : = 7 800 kg/m3.
1.3
Conditions aux limites et chargements
La structure est libre dans l'espace.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Pour les sphères minces ( i.t << R avec i , ordre du mode), les modes propres avec déplacement
radial et tangentiel établis par une théorie de membrane sont donnés par [bib1] et [bib2] :
E
f
i
=
i
2 R
(1-2)
= 1 b ± b2 - 4 1-2
2 + - 2
= 2
avec
et
+ +1+
i
(
) (i i ) b i i 3
2
La théorie présentée par Hayek permet d'introduire une correction de l'effet de flexion (approximation de la
théorie générale de Wilkinson) qui conduit à des valeurs de i fonction de
a = t 2 /
R2
12
b = i (i + )
1
et solution de :
4
2
2
2
2
-
+
-
- +
+
+
+
-
+ -
+ -
-
+
=
i
i [1 3 a(1 ) b(1 a ab)] ab[b
b
4
5 ] (1 )[b 2(1 a)] 0
2.2
Résultats de référence
Fréquences propres :
i
Fréquences propres
2
237.25
3
282.85
4
305.24
5
324.17
6
346.76
7
376.68
8
416.
9
465.75
10
526.20
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Fiche VPCS SDLS 07/89 dans le Guide de Validation des Progiciels de Calcul de
Structures/SFM AFNOR TECHNIQUE 1990.
[2]
S. HAYEK : "Vibrations of a spherical shell in acoustic medium", Journal of the Acoustical
Society of America, Vol. 40, 2, 1996, p. 342-348
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Coques DKT
z
2,5
(3 plans de symétrie)
0
2,5
2,5
x
y
La géométrie discrétisée est représentée ci-dessus. Les éléments DKT sont des facettes planes à
3 noeuds. Le nombre des noeuds sur le méridien et sur l'équateur est : 34.
Les conditions aux limites appliquées sur les trois frontières correspondent aux conditions de symétrie
(déplacements et rotations bloquées).
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1128
Nombre de mailles et types : 2125 TRIA3
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : 'DKT'
[U4.22.01]
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS : 0.10
[U4.24.01]
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.41.01]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ:(230.,530.)
[U4.52.02]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
(Fréquences en Hertz)
Valeur du paramètre i de
Référence
Aster
% différence
la solution de référence
237.25
237.24
0.005
237.24
0.003
2
3
282.85
non obtenu [§4.2]
4
305.24
304.97
0.089
304.99
0.080
305.08
0.054
5
324.17
non obtenu [§4.2]
6
346.76
346.11
0.186
346.12
0.185
346.30
0.133
346.38
0.108
7
376.68
non obtenu [§4.2]
8
416.00
414.89
0.266
414.92
0.259
415.16
0.201
415.24
0.183
415.33
0.161
9
465.75
non obtenu [§4.2]
10
526.20
524.34
0.353
524.43
0.337
524.71
0.283
524.94
0.240
524.97
0.234
525.12
0.205
4.2 Remarques
La solution de référence ne donne pas la multiplicité des modes. On observe avec les calculs des
ordres de multiplicité qui croissent avec la valeur de la fréquence.
Les modes 3, 5, 7, 9 ne sont pas obtenus à cause des conditions aux limites choisies pour ce modèle,
avec les trois plans de symétrie.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 4.00.02
Machine : C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
393.7 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
2D axisymétrique
y
x
Aucune condition aux limites.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 365
Nombre de mailles et types : 40 QUAD8 et 80 TRIA6
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : 'AXIS'
[U4.22.01]
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.41.01]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
'BANDE' FREQ:(230.,530.)
[U4.52.02]
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Fréquences en Hertz
Identification
Référence
Aster
% différence
n° mode
237.25
237.24
0.036
2
3
282.85
282.78
0.023
4
305.24
304.85
0.125
5
324.17
323.32
0.262
6
346.76
345.22
0.443
7
376.68
374.14
0.674
8
416.00
412.03
0.955
9
465.75
459.75
1.286
10
526.20
517.51
1.651
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 4.00.02
Machine : C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8.88 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Coques 1D axisymétriques
y
+ 2,50
+ 2,50
x
- 2,50
Aucune condition aux limites.
On choisit le modèle de Love-Kirchhoff pour décrire la cinématique. Avec l'élément choisi, cette
cinématique est obtenue par pénalisation : on met une grande valeur pour le coefficient A_CIS. Par
ailleurs, on néglige la correction de métrique.
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 81
Nombre de mailles et types : 40 SEG3
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : 'COQUE_AXIS'
[U4.22.01]
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS : 0.10,
[U4.24.01]
A_CIS : 1.E6
MODI_METRIQUE : 'NON'
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.41.01]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
'BANDE' FREQ:(220.,530.)
[U4.52.02]
MODE_ITER_INV
CALC_FREQ
FREQ:(220.,530.)
[U4.52.01]
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
(Fréquences en Hertz)
Identification
Référence
Aster
Aster
% différence
n° mode
ITER_SIMULT
ITER_INV
2
237.25
237.31
237.32
0.025/0.029
3
282.85
282.77
282.78
0.028/0.025
4
305.24
304.95
304.95
0.096
5
324.17
323.68
323.68
0.150
6
346.76
346.23
346.23
0.154
8.2 Paramètres
d'exécution
Version : 4.00.02
Machine : C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8.0 secondes
8.3 Remarques
Ce test avec cette modélisation n'a pour but que de tester la matrice de masse. Un écart satisfaisant
étant observé sur les six premières fréquences, on a choisi de ne pas calculer les suivantes.
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
Coques 3D MEC3QU9H
z
2,5
(3 plans de symétrie)
0
2,5
2,5
x
y
Les conditions aux limites appliquées sur les trois frontières correspondent aux conditions de symétrie
(déplacements et rotations bloquées).
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 331
Nombre de mailles et types : 75 QUAD9
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : 'COQUE_3D'
[U4.22.01]
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS : 0.10
[U4.24.01]
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.41.01]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ:(230.,530.)
[U4.52.02]
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10
Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
(Fréquences en Hertz)
Identification
Référence
Aster
% différence
n° mode
237.25
237.25
0
237.26
0.004
2
3
282.85
non obtenu [§10.2]
4
305.24
305.18
0.019
305.19
0.017
305.20
0.011
5
324.17
non obtenu [§10.2]
6
346.76
346.17
0.169
346.19
0.165
346.25
0.147
346.36
0.114
7
376.68
non obtenu [§10.2]
8
416.00
413.81
0.525
413.84
0.520
413.84
0.518
414.02
0.476
414.09
0.46
9
465.75
non obtenu [§10.2]
10
526.20
520.57
1.071
520.62
1.06
520.64
1.056
521.28
0.935
521.29
0.933
521.31
0.929
10.2 Remarques
Les modes 3, 5, 7, 9 ne sont pas obtenus à cause des conditions aux limites choisies pour ce modèle,
avec les trois plans de symétrie.
10.3 Paramètres
d'exécution
Version : 4.00.14
Machine : C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
41.3 secondes
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
Coques 3D MEC3TR7H
z
2,5
(3 plans de symétrie)
0
2,5
2,5
x
y
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 925
Nombre de mailles et types : 294 TRIA7
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : 'COQUE_3D'
[U4.22.01]
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS : 0.10
[U4.24.01]
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_MECA'
[U4.41.01]
'MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ:(230.,530.)
[U4.52.02]
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12
Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
(Fréquences en Hertz)
Identification
Référence
Aster
% différence
n° mode
237.25
237.25
0.001
237.25
0.001
2
3
282.85
non obtenu [§12.2]
4
305.24
305.20
0.011
305.22
0.008
305.22
0.005
5
324.17
non obtenu [§12.2]
6
346.76
346.32
0.126
346.43
0.095
346.46
0.086
346.58
0.051
7
376.68
non obtenu [§12.2]
8
416.00
413.91
0.502
414.33
0.402
414.36
0.394
414.99
0.241
415.14
0.206
9
465.75
non obtenu [§12.2]
10
526.20
520.
1.176
521.02
0.985
521.43
0.907
522.32
0.738
523.03
0.602
523.77
0.461
12.2 Remarques
Les modes 3, 5, 7, 9 ne sont pas obtenus à cause des conditions aux limites choisies pour ce modèle,
avec les trois plans de symétrie.
12.3 Paramètres
d'exécution
Version : 4.00.14
Machine : C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
98.64 secondes
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13
Synthèse des résultats
· La modélisation coque DKT, restreinte ici aux modes présentant les 3 symétries par rapport aux
plans x = 0, y = 0, z = 0, fournit les fréquences propres avec une erreur inférieure à 0.4% sur les 20
premiers modes.
· La modélisation milieu continu 2D axisymétrique fournit les fréquences propres avec une erreur
inférieure à 2%.
· La modélisation COQUE_AXIS (éléments isoparamétriques quadratiques) fournit les fréquences
propres avec une erreur inférieure à 0.2% sur les 5 premiers modes (discrétisation spatiale
identique à la trace du maillage 2D axisymétrique).
· La modélisation COQUE_3D dégénérée (éléments de coque épaisse MEC3QU9H, MEC3TR7H)
fournir les fréquences propres avec une erreur inférieure à 1.2% sur les 10 premiers modes.
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