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SSLL400 - Poutre de section variable, soumise à des efforts ponctuels
Date :
03/05/02
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J.M. PROIX, M.T. BOURDEIX, P. HEMON, O. WILK
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Organisme(s) : EDF/AMA, IAT St CYR, CNAM















Manuel de Validation
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SSLL400 - Poutre de section variable, soumise
à des efforts ponctuels ou répartis




Résumé :

Ce test es issu de la validation indépendante de la version 4 des modèles de portes.

Ce test permet la vérification des calculs de poutre droites dans le domaine statique linéaire.(une modélisation
avec des éléments de poutres POU_D_E, poutre droite d'EULER).

On calcule simultanément 3 poutres des sections différentes : section cercle, rectangle, et générale. Ces
poutres sont soumises à des efforts ponctuels ou répartis.

Les valeurs testées sont les déplacements et rotations, les efforts généralisés, et les contraintes.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

1.1.1 Poutre droite de section circulaire variable

z
y
x
Figure 1.1.1-A

Longueur
: 1 m
Rayon à l'encastrement : 0,1 m
Rayon à l'extrémité
: 0,05 m
libre

1.1.2 Poutre droite de section rectangulaire variable

y
x
z

S1
S
1
Figure 1.1.2-A

Longueur
: 1 m

à l'encastrement : Hy = 0,05 m
Hz = 0,10 m
à l'extrémité libre : Hy = 0,05 m
Hz = 0,05 m

1.1.3 Poutre droite de section générale variable

z
y
S1
S2
x

Figure 1.1.3-A

Longueur
: 1 m

à l'encastrement : A = 10-2 m ²
Iy = 8,3333 10-6 m4
à l'extrémité libre : A = 2,510-3 m ²
Iy = 5,20833 10-7 m4
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1.2
Propriétés des matériaux

Module d'Young :
E = 2. 1011 Pa
Coefficient de Poisson : = 0,3
Masse volumique :
= 7800 Kg.m-3


1.3
Conditions aux limites et chargement

Condition aux limites :

Extrémité encastrée : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0

Chargement :

Sur la poutre droite de section circulaire variable et sur la poutre droite de section rectangulaire
variable, on applique successivement :

Cas de charge
Nature
1
un effort ponctuel suivant X à l'extrémité libre, Fx = 100 N
2
un effort ponctuel suivant Y à l'extrémité libre, Fy = 100 N
3
un moment ponctuel autour de l'axe X à l'extrémité libre, Mx = 100 m.N
4
un moment ponctuel autour de l'axe Z à l'extrémité libre, Mz = 100 m.N
5
une charge répartie sur l'ensemble de la poutre, fx = 100 N.m-1
6
une charge répartie sur l'ensemble de la poutre, fy = 100 N.m-1


Sur la poutre droite de section générale variable, on applique :

Cas de charge
Nature
7
un effort de pesanteur suivant z avec g = 9,81m.s­2

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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence

2.1.1 Section
circulaire

2.1.1.1 Poutre soumise à un effort de traction ponctuel Fx

L'équation d'équilibre est :

( u

x
EA x)
0 avec
(
A x)

A 1 c
x
x =
=
+
1
L
A

et c =
2 - 1,
A1
N( L) = Fx

En intégrant deux fois [R3.08.01], nous obtenons les déplacements en fonction de la force appliquée,
soit :

L F
x

u (x) =
x
E A L + c x ,
1

et donc à l'extrémité L de la poutre :

L
u (L) =
F
E A
A x
1
2

Les efforts internes sont donnés par :

u
N (x) = EA (x)
(x) = F


x
x

et les contraintes par :

N (x)
xx =

A (x)

2.1.1.2 Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel Fy

L'équation d'équilibre, sous l'hypothèse d'Euler, est donnée par l'équation :

2
2
4
v

x
EI

(x)
= 0 avec I (x) = I 1+ c
2
x
z


2
z
1
x
z



L



1

I 4
2
z
et c =

1,

I -
1
z
V ( L) = F
y
y .

Nous résolvons l'équation par intégration en tenant compte de la loi de comportement modifiée
2v
MF
MF = EI
z
z
z
+ V = 0
x2 et l'équation d'équilibre x
y
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Les quatre intégrations successives, en tenant compte pour le calcul des constantes d'intégration que :


2v
EI

(x)
(L) = V
- ( L) = -

F
x
z


x2
y
y



2v
EI (L)
( L)
z
= 0

x2

v ( ) =
0
0
x
v( )
0 = 0

mènent à l'expression de v(x) :

F L2
2
y
x ( L
3
- x + 2 cx)
v(x) = +


E I
2
6
z
(L + cx)
1

et à l'expression de z(x)

2
2
2
2
2
-
+
-
+
y
F L
x (6 L Lx
3
6 L cx cx 2 c x )
z(x) = +

.
E I
3
6
z
(L
+ cx)
1

Les efforts internes sont donnés par :

V (x) = F
y
y
MF ( x) = F ( L -

x)
z
y
et les contraintes par :

R(x)
xx (x) = M z
F (x) Iz (x)

V ( x)

y
xy =
(
(pas de coefficient de correction dcisaillement en hypothèse d'Euler)
A x)

2.1.1.3 Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel Mx

Le mouvement est donné par l'équation :




x 4
G I (x
x
)
0 avec I ( x)

I
1 c
x
p


x
p
p

=
=
+
1
L
1
I p 4
et c =
2
,
1


I -
p1
M ( L) = M
x
x
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Après intégration, et en tenant compte du fait que :


G I ( L
x
)
(L) = M
p

,
x
x
et ( )

x 0 = 0

nous obtenons l'expression de x (x) :

2
2
2
L M
x 3 L + 3 L cx + c x
x
(
)

.
x ( x) = 3G I
3
p1
(L+cx)

Nous devons également avoir pour les efforts internes et les contraintes :

M (x) = M
x
x
M ( x)
(x)
x
=
R x
xy
I ( x)
( )
T
p
M ( x)
( x)
x
=
R x
xz
I ( x)
( )
T
p

2.1.1.4 Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel My

Le raisonnement pour trouver la solution analytique est le même que précédemment. Nous utilisons la
2w
MFy
loi de comportement M (x) = - EI (x
y
y
)
- V = 0. Le calcul
x2 et l'équation d'équilibre x
z
des constantes d'intégration diffère : on a V
L
z ( ) = 0 et M
( L) = M
F
y .
y

On obtient l'expression de w (x) :

L M
2
y
x ( 3 L + 2cx)
w (x) =

,
6 E I
2
y
( L + cx)
1

et l'expression de y (x) :
L M
x
2
2 2
y
(3 L + 3Lcx + c x )
y (x) =

3 E I
3
.
y1
(L + cx)

On doit également avoir pour les efforts internes et les contraintes :

V (x
z
) = 0
MF ( x) = My
y

R( x)
( x) = MF (x)
xx
y
I ( x)
y
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2.1.1.5 Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante fx

L'équilibre est décrit par l'équation


u

x 2
EA(x)
=
f
avec
(
A x)

A 1 c
x
x
x


-
=
+
1
L
1

A 2
et c = 2
- 1.
A1


En intégrant une première fois cette équation, nous obtenons:

u
E A(x)
= - f x + c
x
x
1 .

La condition limite N ( L) = 0 implique c
f L
1 =
x
. Nous avons donc :

u
(L-x)
= -

f
x
x E A(x)

soit :

(L- x)
u (x) = f
dx + c
x E A (x)
2

c2 est déterminé pour que u( )
0 = .
0

Tout calcul fait, nous avons :

L
2
2
c x + c x + (L + c x) Log
L f
L + c x
u x
x
( ) =
.
E A c2
L + c x
1

u
Les efforts internes sont déduits de la loi de comportement N (x) = E A(x) :
x
N (x) = f ( L - x
x
),

et les contraintes sont données par :

( )
f ( L - x)

N x
x
xx ( x) =
=
A(x)

x 2
A +
1
( A - A
2
1 )


L
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2.1.1.6 Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante fy

Partant de l'équation d'équilibre :

2
2
4
v

x
E I (x)
= - f
avec I ( x) = I
1+ c
2
x
z

2
y
z
1
x
z



L




1

I 4
2
z
et c=

1,

I -
1
z

nous effectuons quatre intégrations successives. La détermination des constantes d'intégration est
faite à partir des conditions limites suivantes :

V ( L
y
) = 0
M ( L
z
) = 0
v ( )

0 = 0
x
v( )
0 = 0

L'expression analytique pour v( x) et ( z) en présence d'un chargement réparti est, tout calcul fait :

- f L3
v (x) =
y
[-6L2 cx + x2
2
4
3
3
4
5
9
3
2
2
2
4
2
(- Lc - Lc ) + x (- c + c - c ) +
12 EI c ( L + cx)
z1

x

Log 1 + c
(6L3 12L2cx 6Lc2x2)


L
+
+



+ 3
(
L f x
x)
y
2
2
2
z
=
3
3
3
1
3 [ L - Lx + Lcx + x ( - c + c )]
6EI ( L + cx)
z1

Les efforts internes sont donnés par :

V (x) = f ( L - x
y
y
)
1
et
Mf ( x) =
f ( L - x)2
z
y
2

les contraintes par :

V (x)

y
xy ( x) = A(x)

R (x)
(x) = Mf (x)
xx
z
Iz (x)
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2.1.2 Section
rectangulaire

2.1.2.1 Poutre soumise à un effort de traction ponctuel Fx

L'équation d'équilibre est :


u
x
EA(x)
= 0 avec
(
A x)
A1 ( A
A
2
1)
x
x
=
+
-
L
N( L) = F

x

En intégrant deux fois, et en tenant compte du fait que :

u
E A( L)
( L) = F ,
x
x
(
u )
0 = ,
0

pour la détermination des constantes d'intégration, nous obtenons l'expression analytique de u(x), soit
:

F L

x
u x
x
( ) =
Log 1 + c
.
A E c


L
1

Pour les efforts internes et contraintes, nous avons :

N (x) = Fx
N( x)


xx =
(
A x)

2.1.2.2 Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel Fy

Le mouvement est donné par l'équation :

2
2
3
v

x
E I (x)
= 0 avec I ( x) = I 1+ c
2
x
z


2
z
1
x
z



L



1
I 3
2
z
et c =

1,

I -

1
z
V ( L) = F
y
y .

Le même raisonnement que pour la section circulaire mène au résultat suivant :


L
2
2
3 2
2
2 L cx + c x - c x + 2 L(L + cx) Log

F L
L + cx
y



v(x) = - 2E I c3
z
(L + cx)
1

F L2
y
x(2L - x + cx)
( x)
z
=
.
2EI
2
z
( L + cx)
1
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Nous devons avoir pour les efforts internes et les contraintes :

V (x) = F
y
y
M ( x) = F ( L - x)
F
y
z
H ( x) M ( x)
( x)
y
Fz

xx
=
2I ( x)
z
V ( x)
( x)
y
xy
= (Ax)

2.1.2.3 Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel Mx

Le mouvement est donné par l'équation :




x 3
G I (x
x
)
0 avec I ( x)

I
1 c
x
p


x
p
p

=
=
+
1
L
1
I
p
3

et c=
2
,
1

I -
p1
M ( L) = M
x
x .

Par le même raisonnement que la poutre à section circulaire, nous obtenons l'expression analytique
de ( )
x x :
L M x x (2 L + cx)
(x)
.
x
= 2 I
2
p G ( L + cx)
1

I
p et I
sont calculés selon les formules données dans la documentation de référence [R3.08.01].
1
p2

Les efforts internes et les contraintes sont donnés par :

M (x) = M
x
x
M ( x)
(x)
x
=
R x
xy
=
I ( x)
( )
T
xz
p

2.1.2.4 Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel My

On reprend le même raisonnement que précédemment, on obtient les expressions analytiques
suivantes pour w (x) et ( x)

y
:

L M x2
y
w (x) = - 2E Iy (L + cx)
1

L M x(2L + cx)
(
y
x)
y
=
,
2
2 E I y (L + cx)
1
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pour les efforts :

V (x
z
) = 0

MF ( x) = M
y
y

et pour les contraintes :

H (x) MF (x)

z
y
xx ( x) =

2 I y (x)

2.1.2.5 Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante fx

L'équation d'équilibre est :


u

x
EA(x)
f
avec A(x)

A 1 c
x
x
x

= -
=
+
1
L
A

et c= 2 - .
1
A1

Après deux intégrations et en tenant compte du fait que :

N ( L) = 0 pour déterminer la première constante d'intégration,

et u ( )
0 = 0 pour déterminer la deuxième,

nous obtenons l'expression analytique de u (x) :

- L f

L

u x
x
( ) =
c x +
2
(L+ Lc) Log

E A c
L + c x
1



Les efforts internes sont connus par l'expression suivante :

N (x) = f ( L - x
x
)

et les contraintes par :
f ( L - x)

x
xx ( x) =

A (x)

2.1.2.6 Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante fy

L'équation d'équilibre est :

2
2
3
v

x
EI (x)
= - f
avec I ( x) = I
1 + c
2
x
z


2
y
z
z1
x


L



1

I 3
z 2
et c=

1.

I -
z1
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Nous intégrons successivement quatre fois cette équation. Les constantes d'intégration sont calculées
en tenant compte du fait que :

V ( L
y
) = 0
MF ( L
z
) = 0
v
( )

0 = 0
x

v( )
0 = 0

Le résultat analytique pour la flèche et la rotation en L est le suivant :

L3 f
v
y
(x) =
x 6 L c + 4 L c2 + x2 5c2 + 2 c3 - c4
4 E I c4
z
(L + cx) [ (
)
(
)
1
+ (
L
6L2 + 4L2c + 8Lcx + 4Lc2 x + 2c2 x2 ) Log L + cx

3
(
L f
x)
y
3
2
2
3
4
z
=
2
+ 2
+
3
+ 2 -
3
2 [x( Lc
Lc ) x ( c
c
c )]
4EI c ( L + cx)
z1
+ (
L
2L2 + 4Lcx + 2c2 x2 ) Log
.
L + cx

Les efforts internes sont donnés par les expressions suivantes :

V (x) = f ( L - x
y
y
)
1
Mf (x) =
f ( L - x)2
z
y
,
2

les contraintes par :

V (x)

y
xy ( x) = A(x)

Mf z (x)h

y
xx ( x) =
Iz (x) 2
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2.1.3 Section
générale

2.1.3.1 Poutre soumise aux forces de pesanteur

Les efforts de pesanteur sont appliqués suivant l'axe z. Le mouvement de la poutre induit par ces
efforts est donc un mouvement de flexion dans le plan (x o z).

L'équation d'équilibre est donnée par l'expression :

2
2w
E I (x)
= A(x) g
2
x
y

2
x
1 2
4 3
4
poids linéique
2
avec
(

x
A x) = 1
A 1 + c


L
1


2
A
2
c=
- 1

1
A
4

x
et I (x) = I
y
y1 1 + d


L
1
I
y2 4
d =

1.

I -
y1

En intégrant une première fois, nous obtenons l'effort tranchant interne :

V x = -
A x g dx + C
z ( )
( )

1

C1 est déterminé de façon à ce que V ( L)
z
= 0 .

Nous obtenons :
L A g
3
1

x

3
V
x =
- 1 + c
(1 c
z ( )
) .
c
3



L +
+




En intégrant une deuxième fois, nous obtenons le moment de flexion interne :

M (x) = V (x) dx + C
y
z
.
2

C2 est calculé afin que M ( L)
y
= 0 .

Nous obtenons :

A g

2
2
2 L c x
M
x
1
2
2
2 2
6
8
3
4
2

y ( ) =
(L- x) L + L c + L c + Lcx + Lcx +
.
2

2
2
12 L

+ c x
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Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A

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Version
5.0

Titre :

SSLL400 - Poutre de section variable, soumise à des efforts ponctuels
Date :
03/05/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, M.T. BOURDEIX, P. HEMON, O. WILK
Clé : V3.01.400-A Page : 14/18


y
Nous calculons ensuite la rotation à partir de la loi de comportement = E I (x
y
) .
x

M (x
y
)
Nous avons donc (x) =
dx + C
E I (x
y
)
3


avec telle que (0) = 0.

w
La flèche w (x) est déterminée à partir de la relation d'Euler : y = - .
x

Nous calculons w (x) par intégration de y (x) :

w (x) = -
(x) + C
y
4


avec C4 telle que w ( )
0 = 0.

Les expressions analytiques de y (x) et w (x) ne sont pas retranscrites ici car elles sont beaucoup
trop lourdes. Elles ont été calculées, comme les précédentes, par le logiciel de calcul formel
MATHEMATICA.


2.2
Résultats de référence

· Déplacements et rotations à l'extrémité libre
· Efforts intérieurs aux deux extrémités
· Contraintes aux deux extrémités


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
Rapport n° 2314/A de l'Institut Aérotechnique « Proposition et réalisation de nouveaux cas
tests manquant à la validation des poutres ASTER »

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d'Euler.

Section S1 : section circulaire variable

à l'encastrement,
R1 = 0.1 m (section pleine)
à l'extrémité libre, R2 = 0.05 m (section pleine)

Section S2 : section rectangulaire variable

à l'encastrement,
Hy1 = 0.05 m
Hz1 = 0.10 m
à l'extrémité libre, Hy2 = 0.05 m
Hz2 = 0.05 m

Section S3 : section générale variable

à l'encastrement,
A1 = 102 m²
Iy1 = 8.3333 106 m4
à l'extrémité libre,
A2 = 2.5 103 m²
Iy2 = 5.20833 107 m4


3.2
Caractéristiques du maillage

3 sections x 10 éléments POU_D_E


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes


AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION
CERCLE



RECTANGLE



GENERALE

MECA_STATIQUE
OPTION
EFGE_ELNO_DEPL



SIGM_ELNO_DEPL

AFFE_CHAR_MECA FORCE_NODALE
FX



FY


MX


MY

FORCE_POUTRE
FX


FY

PESANTEUR



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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Cas de charge
Section
Identification
Référence
Aster Ecart
%
1 S1
u(l)
3.1831E­08
3.1831E­08
0.00E+00

n(0)
1.0000E+02
1.0000E+02
0.00E+00

n(l)
1.0000E+02
1.0000E+02
0.00E+00


xx(0)
3.1831E+03 3.1831E+03
0.00E+00


xx(l)
1.2732E+04 1.2732E+04
0.00E+00
2 S1
v(l)
4.2441E­06
4.2441E­06
0.00E+00


z(l)
8.4882E­06 8.4882E­06
0.00E+00


vy(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


vy(l) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00

mfz(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00

mfz(l) 0.0000E+00
2.0008E­11 0.00E+00


xx(0)
1.2732E+05 1.2732E+05
0.00E+00


xx(l)
0.0000E+00 2.0380E­07
0.00E+00


xy(0)
3.1831E+03 3.1831E+03
0.00E+00


xy(l)
1.2732E+04 1.2732E+04
0.00E+00
3 S1
x(l)
3.8621E­05 3.8621E­05
0.00E+00


mx(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


mx(l) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


xy(0)
6.3661E+04 6.3661E+04
0.00E+00


xy(l)
5.0929E+05 5.0929E+05
0.00E+00


xz(0)
6.3661E+04 6.3661E+04
0.00E+00


xz(l)
5.0929E+05 5.0929E+05
0.00E+00
4 S1
w(l)
­8.4882E­06
­8.4882E­06
0.00E+00


y(l)
2.9708E­05 2.9708E­05
0.00E+00


vz(0) 0.0000E+00
­2.9103E­10 0.00E+00


vz(l) 0.0000E+00
0.0000E+00 0.00E+00

mfy(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00

mfy(l) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


xx(0)
1.2732E+05 1.2732E+05
0.00E+00


xx(l)
1.0185E+06 1.0185E+06
0.00E+00
5 S1
u(l)
1.2296E­08
1.2335E­08
0.323

n(0)
1.0000E+02
1.0000E+02
0.00E+00

n(l)
0.0000E+00
­9.6633E­13
0.00E+00


xx(0)
3.1831E+03 3.1831E+03
0.00E+00


xx(l)
0.0000E+00 ­1.2303E­10
0.00E+00
6 S1
v(l)
1.3486E­06
1.3486E­06
0.001


z(l)
2.1220E­06 2.1220E­06 ­0.003


vy(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


vy(l) 0.0000E+00
­1.8195E­10 0.00E+00

mfz(0) 5.0000E+01
5.0000E+01 0.00E+00

mfz(l) 0.0000E+00
2.1245E­12 0.00E+00


xx(0)
6.3662E+04 6.3662E+04
0.00E+00


xy(0)
3.1831E+03 3.1830E+03
0.

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Cas de charge
Section
Identification
Référence
Aster Ecart
%
1 S2
u(l)
1.3862E­07
1.3865E­07
0.022

n(0)
1.0000E+02
1.0000E+02
0.00E+00

n(l)
1.0000E+02
1.0000E+02
0.00E+00


xx(0)
2.0000E+04 2.0000E+04
0.00E+00


xx(l)
4.0000E+04 4.0000E+04
0.00E+00
2 S2
v(l)
1.8969E­04
1.8546E­04
­2.232


z(l)
3.0238E­04 2.9465E­04 ­2.556


vy(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


vy(l) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00

mfz(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00

mfz(l) 0.0000E+00
8.0035E­11 0.00E+00


xx(0)
2.4000E+06 2.4000E+06
0.00E+00


xx(l)
0.0000E+00 3.8417E­06
0.00E+00


xy(0)
2.0000E+04 2.0000E+04
0.00E+00


xy(l)
4.0000E+04 4.0000E+04
0.00E+00
3 S2
x(l)
8.3506E­04 7.8827E­04 ­5.603


mx(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


mx(l) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


xy(0)
1.5600E+06 1.5600E+06
0.00E+00


xy(l)
4.0371E+06 3.8400E+06 ­4.882


xz(0)
1.5600E+06 1.5600E+06
0.00E+00


xz(l)
4.0371E+06 3.8400E+06 ­4.882
4 S2
w(l)
­1.2000E­04
­1.2001E­04
0.014


y(l)
3.600E­04 3.6012E­04 0.034


vz(0) 0.0000E+00
­3.2014E­10 0.00E+00


vz(l) 0.0000E+00
0.0000E+00 0.00E+00

mfy(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00

mfy(l) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


xx(0)
1.2000E+06 1.2000E+06
0.00E+00


xx(l)
4.8000E+06 4.8000E+06
0.00E+00
5 S2
u(l)
6.1370E­08
6.1463E­08
0.151

n(0)
1.0000E+02
1.0000E+02
0.00E+00

n(l)
0.0000E+00
­1.8758E­12
0.00E+00


xx(0)
2.0000E+04 2.0000E+04
0.00E+00


xx(l/2)
1.3333E+04 1.3333E+04
0.00E+00


xx(l)
0.0000E+00 ­7.5033E­10
0.00E+00
6 S2
v(l)
6.8626E­05
6.7302E­05
­1.929


z(l)
9.4847E­05 9.2730E­05 ­2.232


vy(0) 1.0000E+02
1.0000E+02 0.00E+00


vy(l) 0.0000E+00
­4.3661E­10 0.00E+00

mfz(0) 5.0000E+01
5.0000E+01 0.00E+00

mfz(l) 0.0000E+00
2.3042E­11 0.00E+00


xx(0)
1.2000E+06 1.2000E+06
0.00E+00


xx(l)
0.0000E+00 1.1060E­06
0.00E+00


xy(0)
2.0000E+04 2.0000E+04
0.00E+00


xy(l)
0.0000E+00 ­1.7464E­07
0.00E+00
7 S3
w(l)
­3.8259E­05
­3.8259E­05
0.00E+00


y(l)
5.7388E­05 5.7387E­05 ­0.003


vz(0) ­4.4633E+02
­4.4635E+02 0.004

mfy(0) 1.7535E+02
1.7535E+02 0.00E+00

4.2 Remarques

La modélisation étant faite en poutres d'Euler, les coefficients de cisaillement ky = kz = 1.
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Date :
03/05/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, M.T. BOURDEIX, P. HEMON, O. WILK
Clé : V3.01.400-A Page : 18/18


5
Synthèse des résultats

Les résultats obtenus confirment que les éléments POU_D_E avec section variable présentent un bon
degré de fiabilité.

Pour la section circulaire, les résultats sont tous exacts aux noeuds (on retrouve les propriétés de
l'élément à section constante) sauf pour les efforts répartis où l'effet de la finesse de discrétisation se
fait sentir.

Pour une section rectangulaire et une section générale, il faut discrétiser finement pour avoir une
solution correcte.
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