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Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A Page :
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V7.22 :Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
Document : V7.22.122
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie
en grandes déformations en traction simple
Résumé :
On traite la détermination de l'évolution mécanique d'un barreau cylindrique soumis à des évolutions thermiques
et métallurgiques connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type bainitique) et à un
chargement mécanique de traction.
La relation de comportement est un modèle de plasticité en grandes déformations (commande
STAT_NON_LINE, motclé DEFORMATION : 'SIMO_MIEHE') avec écrouissage isotrope linéaire et plasticité
de transformation (commande STAT_NON_LINE, motclé RELATION : 'META_EP_PT').
La limite élastique et la pente de la courbe de traction dépendent de la température et de la composition
métallurgique. Le coefficient de dilatation dépend de la composition métallurgique.
Le barreau est modélisé par des éléments axisymétriques.
Le chargement mécanique appliqué est une pression suiveuse.
Ce cas test est identique au cas test HSNV101 (modélisation B, [V7.22.101]) dans le sens où il s'agit du même
matériau, du même chargement et des mêmes évolutions thermiques et métallurgiques mais dans une version
en grandes déformations.
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
Rayon : a = 0.05 m
Hauteur : h = 0.2 m
P
C
D
h
r
A
B
a
1.2
Propriétés du matériau
Le matériau obéit à une loi de comportement en grandes déformations avec écrouissage isotrope
linéaire et plasticité de transformation. Pour chaque phase métallurgique, la pente d'écrouissage est
donnée dans le plan déformation logarithmique - contrainte rationnelle.
F
F
l
=
=
.
S
So lo
E phase
T
phase
y
E
ln( l / lo )
lo et l sont, respectivement, la longueur initiale et la longueur actuelle de la partie utile de
l'éprouvette.
So et S sont, respectivement, les surfaces initiale et actuelle.
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C
3
- ! -1
1
- ! -1
p = 2000000. J m
C = 9999 9
. W m
C
E
6
aust
= 200000. 10 Pa
= 400. 106Pa + 0.
5 (T - T o
6
y
) 10 Pa
= .
fbm
0
3
= 530. 106Pa + 0.
5 (T - T o
6
y
) 10 Pa
= 15. -
10 6 !C-1
h
= 1250. 106Pa - 5. (T - T o
6
fbm
aust
) 10 Pa
-6 ! -1
6
o
6
aust = 23 5
. 1
0 C h
fbm = -50. 1
0 Pa - 5. (T - T ) 10
Pa
ref
-3
-1
fbm = 2 5
. 2 1
0 K f = 0. Pa
ref
T
= 900! C
K
-10
-
b = KM = 10 Pa 1
F
fbm = 2. (1- Z fbm)
avec
C
=
capacité calorifique
p
=
conductivité thermique
E
=
module d'YOUNG
=
coefficient de Poisson
*aust
=
caractéristiques relatives à la phase austénitique
*fbm
=
caractéristiques relatives aux phases ferritique, bainitique et
martensitique
=
coefficient de dilatation thermique
ref
=
déformation des phases ferritique, bainitique et martensitique
fbm
à la température de référence, l'austénite étant considérée comme
non déformée à cette température
=
limite élastique
y
EE
h
=
T
E - ET
K
=
coefficient relatif à la plasticité de transformation
F
=
fonction relative à la plasticité de transformation
Le TRC utilisé permet de modéliser une évolution métallurgique de type bainitique, sur toute la
structure, de la forme :
0.
si t 1
1 =
60s
t -
Z
1
si 1 t
fbm
=
< 2 2 =
112 s
2 -
1
.
1
si t
2
1.3
Conditions aux limites et chargements
·
uZ = 0 sur la face AB (condition de symétrie).
· traction imposée (pression suiveuse) sur la face CD :
p t
o
pour t
1 p = 6 106
Pa
(
p t)
o
=
6
pour t
1 1 =
360 10 Pa
60s
Remarque :
En grandes déformations, il est indispensable d'utiliser la pression suiveuse pour tenir
compte de la surface actuelle et non de la surface initiale (avant déformation).
·
T
T o
=
+ µt , µ = 5°C.s1 sur toute la structure.
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1.4 Conditions
initiales
T o
900 C T ref
=
° =
2
Solution de référence
2.1
Calcul de la solution de référence (cf. bib [1] et [3])
Pour un essai de traction suivant la direction x, les tenseurs de Kirchhoff et de Cauchy sont de la
forme :
0 0
0
0
= 0 0 0 et = 0 0
0 avec = J
0 0 0
0 0 0
La variation de volume J est donnée par la résolution de
2
J 3
th
- ( +
) J 2
3
- J
th
- 3 = 0
3K
où th est la déformation thermique. Celleci vaut pour une transformation austénitique bainitique :
th
ref
ref
ref
= Zaust aust(T - T )+ b
Z [ fbm(T - T )+ fbm]
Remarque :
Le coefficient K est le module de compression (à ne pas confondre avec les coefficients
Kphase relatifs à la loi de plasticité de transformation)
En charge plastique, pour un écrouissage isotrope R linéaire, tel que :
R = ( Z
h
+ Z h
)p
aust aust
b
fbm
la déformation plastique cumulée p vaut
J -
p
y
= Z h + Z h
aust aust
b fbm
avec
aust
fbm
y = Zaust y
+ b
Z y
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Les tenseurs gradients de la transformation F et F et le tenseur de déformations plastiques G p
sont de la forme :
F
0
0
F = 0 F
0 et J= det F
2
yy
= FF
yy
Fyy = J / F
0
0
Fyy
F
0
0
-1/ 3
-1/ 3
F = J
F
F = J
F = 0 F
0 et det F
yy
=
1
-
F
1/2
yy = F
0
0
Fyy
G p
0
0
G p = 0
G p
p
p
p -
yy
0 et det G =
1 Gyy = (G ) /12
p
0
0
Gyy
La loi d'évolution de la déformation plastique G P s'écrit :
"G p / G p = -2 "p - 4 K
(1- Z ) "Z
b
b
b
· Pour
0s t 60s , on a "Zb = 0. Il n'y a pas de plasticité de transformation. On obtient
alors :
G p
e p
= -2
· Pour
60s t 176s , on a = constante .
Pour intégrer la loi d'évolution de la déformation plastique, il faut supposer que la contrainte de
Kirchhoff varie très peu, c'estàdire que la variation de volume J est très petite. Sous cette
hypothèse, on obtient
2
p
-2 p -4
K (Z -Z
b
b
b /2)
G = e
e
La composante F du gradient de la transformation est donnée par la résolution de :
1
F 3 -
F -
= 0
µ G p
( G p 3 2
) /
Enfin, le champ de déplacement u (dans la configuration initiale) est de la forme
u = u X +u Y + u Z
x
y
z
. Les composantes sont données par :
u = (F - )
1 X
x
uy = ( J / F - )
1 Y
uz = ( J / F - )
1 Z
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2.2 Remarque
Dans le cas test HSNV101 (modélisation B), les coefficients du matériau ont été choisis de telle
manière à ne pas avoir de plasticité classique "p = 0 pendant la transformation métallurgique qui a lieu
entre les instants 60 et 122s. En effet si on écrit le critère de chargedécharge dans cet intervalle de
temps, on obtient
f = - 2750 p
- 250 avec =
360 MPa
qui ne s'annule que pour une seule valeur de la déformation plastique cumulée p .
Pour la loi de comportement écrite en grandes déformations, le critère de chargedécharge s'écrit
entre ces deux instants
f = J( t ) - 2750 p
- 250 avec =
360 MPa
Dans ce cas, tant que la variable J reste inférieure à la valeur obtenue au temps t = 60s, on aura
"p = 0 . Or la valeur de J est fonction uniquement de la valeur de la déformation thermique (la
contrainte est constante et le coefficient K est indépendant des phases métallurgiques et de la
température).
Dans cet intervalle de temps, la déformation thermique th est donnée par l'équation suivante :
th =
-7
t 2
-
-4
t -
-
8173 10
11807 10
2 90763 10 3
.
.
.
On trace cidessous la déformation thermique ainsi que la variation de volume J , solution de
l'équation du 3ème degré, en fonction du temps.
EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
Evolution de la déformation thermique entre les instants 60 et 112s
de France
x
-3
10
-6.0
-6.2
-6.4
-6.6
Déformation thermique
-6.8
-7.0
60
70
80
90
100
110
Temps (s)
agraf 08/11/1999 (c) EDF/DER 1992-1999
Déformation thermique en fonction du temps
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EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
Variation de J entre les instants 60 et 112s
de France
x
-1
10
9.825
9.820
9.815
J 9.810
9.805
9.800
9.795
9.790
60
70
80
90
100
110
Temps (s)
agraf 08/11/1999 (c) EDF/DER 1992-1999
Variation du volume J en fonction du temps
On constate que la variable J diminue et augmente de la même manière que la déformation
thermique. Dans ce cas, pour connaître l'instant à partir duquel la variable J est supérieure à la valeur
obtenue au temps 60s, il suffit de connaître l'instant pour lequel la déformation thermique est identique
à celle obtenue au temps t = 60s. On trouve par la résolution de l'équation cidessus t = 84.46s.
2.3
Incertitude sur la solution
La solution est analytique. Deux erreurs sont commises sur cette solution. La première porte sur le
calcul de la proportion de phase bainitique créée. Le calcul métallurgique préalable ne restitue pas
exactement l'équation du [§1.2] donnant Z fbm en fonction du temps, c'est pourquoi les résultats de
référence présentés cidessous sont calculés avec la proportion de phase bainitique calculée par le
Code_Aster.
La seconde erreur est l'hypothèse faite sur la contrainte de Kirchhoff qui n'est pas constante sur
l'intervalle de temps compris entre 60 et 176s. Ceci impactera le calcul du déplacement ux et de la
déformation plastique G P .
2.4
Résultats de référence
On adoptera comme résultats de référence le déplacement dans la direction du chargement de
traction, la contrainte de Cauchy , l'indicateur booléen de plasticité et la déformation plastique
cumulée p . Les différents instants de calculs sont t = 47, 48, 60, 83, 84, 85 et 176s. Pour le calcul du
déplacement, la longueur initiale du barreau dans la direction de chargement est de 0.2m.
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Dans tous les cas, on a
·
3K = 500 000 MPa (module de compression) µ = 76923.077 MPa
Au temps t = 47s , on a Zb = 0 , T =
°
665 C , = 282 MPa
th = -
-
55225
.
10 3
J = 0 983855
.
= 277 45
. MPa
y = 282 5. MPa
p = 0
= 0
p
G = 1
F = 10012
.
u = -
-
8 4347
.
10 4
m
Au temps t = 48s, on a Zb = 0 , T =
°
660 C , = 288 MPa
th = -
-
5 6
. 4 1
0 3 J = 0 983508
.
= 28325
. MPa
-3
y = 280. MPa
p = 1327
.
10
= 1
p
G = 0 997
.
F = 100256
.
u = -
-
5 9639
.
10 4
m
Au temps t = 60s, on a Zb = 0 , T =
°
600 C , = 360 MPa
th = -
-
7 0
. 5 1
0 3 J = 0 979337
.
= 352 56
. MPa
-2
y = 250. MPa
p = 3 7295
.
10
= 1
p
G = 0 9281
.
F = 103959
.
u =
-
6 47595
.
10 3
m
Au temps t = 83s, on a Zb = 0 442138
.
, T =
°
485 C , = 360 MPa
th = -
-
7
07867
.
10 3
J = .
0 979249
= 352.53 MPa
-2
y = 249 978
.
MPa
p = .
3
7295 10
= 0
p
-
G = 0 8841277
.
F = .
106514
u = .
1
15441 10 2 m
Au temps t = 84s, on a Zb = 0 461361
.
, T =
°
480 C , = 360 MPa
th = - .
-
7 06031 10 3
J = .
0 979305
= 352.55 MPa
-2
y = 249 977
.
MPa
p = .
3 7296 10
= 1
p
-
G = 0 8828104
.
F = .
106593
u = .
1
17051 10 2
Au temps t = 85s, on a Zb = 0 480584
.
, T =
°
475 C , = 360 MPa
th = -
-
7
04032
.
10 3
J = .
0 979367
= 352.57 MPa
-2
y = 249 976
.
MPa
p = .
3 73044 10
= 1
p
-
G = 0 8815276
.
F = .
106671
u = .
118644 10 2
Au temps t = 176s, on a Zb = 1, T =
°
20 C , = 360 MPa
th = -
-
1068
.
10 2
J = 0 968132
.
= 348527
.
MPa
-2
y = 90. MPa
p = 5 9432
.
10
= 1
p
G = 0 82814
.
F = 110053
.
u =
-
17743
.
10 2
m
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2.5 Références
bibliographiques
On pourra se référer à :
[1]
V. CANO, E. LORENTZ : Introduction dans le Code_Aster d'un modèle de comportement en
grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope Note interne EDF DER
HI-74/98/006/0
[2]
A.M. DONORE, F. WAECKEL : Influence des transformations structurales dans les lois de
comportement élastoplastiques Note HI74/93/024
[3]
F. WAECKEL, V. CANO : Loi de comportement grandes déformations élasto(visco)plastique
avec transformations métallurgiques [R4.04.03]
3 Modélisation
3.1
Caractéristiques de la modélisation
y
C
D
N13
N11
N12
N9
N10
N7
N6
N8
N1
N3
N4
N2
N5
A
B
A = N4, B = N5, C = N13, D = N12.
Charge : le nombre total d'incréments est de 102 (4 incréments de 0 à 46s, 2 incréments de 46 à 48s,
6 incréments de 48 à 60s, 26 de 60 à 112s, 4 de 112 à 116s et 60 incréments jusqu'à 176s). La
convergence est réalisée si le résidu (resi_glob_rela) est inférieur ou égal à 106.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 13
Nombre de mailles et types : 2 mailles QUAD8, 6 mailles SEG3
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
DEFI_MATERIAU
META_MECA_FO
[U4.23.01]
META_PT
AFFE_CHAR_MECA
PRES_REP
[U4.25.01]
STAT_NON_LINE
EXCIT
TYPE_CHARGE
SUIV
[U4.32.01]
COMP_INCR
RELATION
META_EP_PT
DEFORMATION
SIMO_MIEHE
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4
Résultats de la modélisation
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
t = 47 Déplacement DY (N13)
8.4347 104 m
8.4303 104 m
0.052
t = 47 Variable p VARI (M1,PG1)
0.
0.
0.
t = 47 VARI (M1,PG1)
0
0
0
t = 47 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
282. 106 Pa
282. 106 Pa
1.47 107
t = 48 Déplacement DY (N13)
5.9639 104 m
5.9755 104 m
0.194
t = 48 Variable p VARI (M1,PG1)
1.3260 103
1.3263 103
0.024
t = 48 VARI (M1,PG1)
1
1
0.
t = 48 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
288. 106 Pa
288. 106 Pa
6.80 107
t = 60 Déplacement DY (N13)
6.476 103 m
6.4553 103 m
0.319
t = 60 Variable p VARI (M1,PG1)
3.7295 102
3.7294 103
0.002
t = 60 VARI (M1,PG1)
1
1
0
t = 60 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 106 Pa
360. 106 Pa
3.36 106
t = 83 Déplacement DY (N13)
1.1544 102 m
1.1449 102 m
0.826
t = 83 Variable p VARI (M1,PG1)
3.7295 102
3.7294 102
0.002
t = 83 VARI (M1,PG1)
0
0
0
t = 83 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 106 Pa
360. 106 Pa
2.05 106
t = 84 Déplacement DY (N13)
1.1705 102 m
1.1607 102 m
0.833
t = 84 Variable p VARI (M1,PG1)
3.7296 102
3.7294 102
0.005
t = 84 VARI (M1,PG1)
1
1
0
t = 84 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 106 Pa
360. 106 Pa
7.51 106
t = 85 Déplacement DY (N13)
1.1864 102 m
1.1762 102 m
0.859
t = 85 Variable p VARI (M1,PG1)
3.7304 102
3.7305 102
0.002
t = 85 VARI (M1,PG1)
1
1
0
t = 85 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 106 Pa
360. 106 Pa
7.64 106
t = 176 Déplacement DY (N13)
1.7743 102 m
1.7615 102 m
0.719
t = 176 Variable p VARI (M1,PG1)
5.943 102
5.9219 102
0.354
t = 176 VARI (M1,PG1)
1
1
0
t = 176 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 106 Pa
359.93 106 Pa
0.003
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 5.02.10
Machine : claster
Encombrement mémoire :
128 Mo
Temps CPU User :
146.5 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A Page :
11/12
5
Synthèse des résultats
Les résultats trouvés avec le Code_Aster sont très satisfaisants avec des pourcentages d'erreur
inférieurs à 0.9%, sachant que la solution analytique de référence fait l'impasse sur certains aspects
que prend en compte justement la solution du Code_Aster. Ceci peut expliquer les différences
observées.
Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A
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