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8.2

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SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné Date :
02/11/05
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J. ANGLES Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
Document V3.04.135





SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous
chargement bi-axial alterné





Résumé :

On présente ici un test ayant une référence analytique [bib1]. La géométrie traitée ici est un cube sans défaut
avec lequel on réalise un calcul mécanique élastique linéaire suivi du calcul du plan de cisaillement critique en
chaque point de Gauss et en chaque noeud.

Chacune des quatre modélisations teste un critère :

·
modélisation A : critère MATAKE ;
·
modélisation B : critère DANG_VAN_MODI_AC ;
·
modélisation C : critère DOMM_MAXI ;
·
modélisation D : critère DANG_VAN_MODI_AV,
·
modélisation E : critère FATEMI_SOCIE.

Les deux premiers critères sont dits « à plan de cisaillement critique », ils sont adaptés aux chargements
périodiques. Les deux derniers critères peuvent être qualifiés de critères « à plan de dommage critique », ils
peuvent être utilisés lorsque le chargement est non périodique.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
a
Face 1
a = 10
a =
m
10 m
Face 1
(dessus)
P1
P2
P
P5
P6
Face 4
(côté droit)
Face 5
F
(derrière)
Face 3
F
(côté ga
g uche)
P3
P4
Face 6
F
(devant)
(dev
Y
X
P7
P8
Fa
F ce 2
(dessous)
Z


Le cube a 10 mm de côté.

1.2
Propriétés de matériaux

Module d'Young : E = 200000 MPa

Coefficient de Poisson : = 0.3
Contrainte ultime : =
0
.
850 MPa
u
Courbe de Wöhler (traction-compression alternée contrôlée en contrainte) :

Demi amplitude de contrainte 138.0 152.0 165.0 180.0 200.0 250.0 295.0
(MPa)
Nombre de cycles
1.0E+6 0.5E+
0.2E+
0.1E+
0.05E+
0.02E+
12.0E+
6
6
6
6
6
4
Demi amplitude de contrainte 305.0 340.0 430.0 540.0 690.0 930.0 1210.0
(MPa)
Nombre de cycles
10.0E+
5.0E+
2.0E+
1.0E+
5.0E+2 2.0E+2 1.0E+2
4
3
3
3
Demi amplitude de contrainte 1590.0 2210.0 2900.0
(MPa)
Nombre de cycles
50.0
20.0
10.0
Tableau 1.2-1 : Courbe de Wöhler
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1.3
Conditions aux limites et chargements

·
Les déplacements selon l'axe X de la face 3 sont bloqués (DX=0.0).
·
Les déplacements selon l'axe Y de la face 2 sont bloqués (DY=0.0).
·
Les déplacements du point P3 sont bloqués selon l'axe Z (DZ=0.0).
·
Nous appliquons un chargement bi-axial alterné (traction-compression) selon les axes X et Y.
Fx(t) représente les efforts alternés appliqués sur la face 4 selon l'axe X et Fy(t) représente les
efforts alternés appliqués sur la face 1 selon l'axe Y.

Chargement pour les modélisations A et B :
200N
20
Fx(
Fx t)
100N
10
t
0
1s
2s
-100N
-200N
Fy(t)


Chargement pour les modélisations C et D :



1.4 Conditions
initiales

Sans objet pour une analyse statique.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Dans le cas d'un chargement bi-axial alterné où les contraintes appliquées sont tels que : = ,
x
y
avec > 1 et < 0 , on montre [bib1] que la demi amplitude de cisaillement maximal

2 = (

+

, où

2 et

2 représentent les demi amplitudes de contraintes
x
y ) 4
x
y
appliquées selon les axes x et y . De plus, il y a deux plans critiques dans lesquels le cisaillement
est maximal :

Y
n1
n1
n22
X
Z
Le
L s deux pl
s deux p ans de cis
ans
a
de cis illement
men maxi
max mal


2.2
Résultats de référence pour les modélisations A et B

Voir les références [bib2] et [R7.04.01].

Demi amplitude de cisaillement maximal :



2 (MPa)


2 (MPa)

2 (MPa)
x
y
100 200 150

Remarque :

La demi amplitude de cisaillement maximal est identique pour les deux plans critiques.

Vecteurs normaux aux deux plans critiques :


n1
n2
Composante x
-1 2
1 2
Composante y
1 2
1 2
Composante z 0
0

Contraintes maximales normales sur les plans des normales n1 et n2 :
N
(n ) = 50 MPa
max
1
et N
(n ) = 50 MPa
max
2
.
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Pression hydrostatique maximale, indépendante vis à vis des plans de normales n1 et n2 :
P =
33333
,
33
MPa .

Contraintes moyennes normales sur les plans des normales n1 et n2 :
N (n )
MPa
m
0
1 =
et N (n )
MPa
m
0
2 =
.

Déformations maximales normales sur les plans des normales n1 et n2 :
4
max (
-
n1) = 75
,
1
10 et
4
max (
-
n2 ) = 75
,
1
10

Déformations moyennes normales sur les plans des normales n1 et n2 :
(n ) 0
m
1 =
et (n )
0
m
2 =
.

Critère de MATAKE

(n )
i
+ a N
(n ) b, i = ,
1 2
2
max
i
a = 1 et b = 2 .

Contraintes équivalentes au sens de MATAKE sur les plans des normales n1 et n2 :

(n )
i
f
(n ) =
n

eq
i

+ a N
( )
i
, i = ,
1 2

2
max
t
f et t représentent, respectivement, la limite d'endurance en flexion alternée et la limite
d'endurance en torsion alternée. Ici f t est égal à 5
,
1 . Par conséquent nous avons :
(n )
MPa
eq
300
1 =
et
(n )
MPa
eq
300
2 =
.

Nombres de cycles à la rupture sur les plans des normales n1 et n2 :

A partir de la courbe de Wöhler, cf. [Tableau 1.2-1], et des contraintes équivalentes au sens de
MATAKE, nous obtenons :
Nb (n ) = Nb (n ) = 10946
cr
1
cr
2
cycles.

Endommagement sur les plans des normales n1 et n2 :
5
ENDO(
-
n1) = ENDO(n2 ) = 913565
,
10 .

Critère de Dang Van adapté aux chargements périodiques :
DANG_VAN_MODI_AC


(n )
i
+ a P b, i = ,
1 2
2
a = 1 et b = 2 .
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Contraintes équivalentes au sens de DANG VAN sur les plans des normales n1 et n2 :

(n )
i
c
(n ) =

eq
i

+ a P , i = ,
1 2

2
t

c et t représentent, respectivement, la limite d'endurance en cisaillement alterné et la limite
d'endurance en traction-compression alternée. Ici c t est égal à 5
,
1 . Par conséquent nous avons :

(n ) = 275 MPa et (n ) = 275 MPa .
eq
1
eq
2

Nombres de cycles à la rupture sur les plans des normales n1 et n2
A partir de la courbe de Wöhler, cf. [Tableau 1.2-1], et des contraintes équivalentes au sens de DANG
VAN, nous obtenons :
Nb (n ) = Nb (n ) = 14903cycles.
cr
1
cr
2

Endommagement sur les plans des normales n1 et n2 :
-5
ENDO(n ) = ENDO(n ) = 709959
,
6
10 .
1
2


2.3
Résultats de référence pour les modélisations C et D

Voir les références [bib2] et [R7.04.01].

Demi amplitude de contrainte :



2 (MPa)


2 (MPa)
x
y
100 200

Critère de MATAKE adapté aux chargements non périodiques : DOMM_MAXI

Pour ce critère il n'y a pas de résultats analytiques.

Critère de Dang Van adapté aux chargements non périodiques :
DANG_VAN_MODI_AV


Pour ce critère il n'y a pas de résultats analytiques.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation 3D : 125 éléments de volume quadratiques :HEXA8.

Maillage du cube fait avec GIBI 2000

Figure du maillage du cube

Teste du critère MATAKE.


3.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage du cube a été obtenu à partir de la version 2000 du mailleur GIBI.

Nombre de noeuds : 216
Nombre de mailles : 465
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3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Options
LIRE_MAILLAGE

DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO

CREA_GROUP_MA
DEFI_FONCTION NOM_PARA
'SIGM'
INTERPOL
'LOG'
DEFI_FONCTION NOM_PARA
'INST'
DEFI_MATERIAU ELAS

FATIGUE
CISA_PLAN_CRIT
DEFI_LIST_REEL

AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
'3D'
AFFE_MATERIAU TOUT

AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA
FORCE_FACE
GROUP_MA
STAT_NON_LINE

MECA_STATIQUE

CALC_FATIGUE TYPE_CALCUL
'FATIGUE_MULTI'
OPTION
'DOMA_ELGA'

'DOMA_NOEUD'
TYPE_CHARGE
'PERIODIQUE'
RESULTAT
SOL
CHAM_MATER
MAT
GROUP_MA
'FACE1', 'FACE2', 'FACE3'

'FACE4', 'FACE5', 'FACE6'
GROUP_NO
'FACE4', 'FACE5', 'FACE6'
MAILLAGE
CUBE
CRITERE
'MATAKE'
METHODE
'CERCLE_EXACT'


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
xx
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
,,
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
yy
,,

(n ) 2
1.500000E+02
1.500000E+02
0.0
1
,,
composante x de n1 ­7.071068E­01 ­7.071068E­01
0.0
,,
composante y de n1
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante z de n1
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
N
( )
max n1
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
N (n )
m
1
0.0 4.235754E­14
0.0
,,

( )
max n1
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
(n )
m
1
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
(n )
eq
1
3.000000E+02 3.000000E+02
0.0
,,
(n )
cr
Nb
1
1.094600E+04 1.094600E+04
0.0
,,
ENDO(n )
1
9.135647E­05 9.135647E­05
0.0
,,

(n ) 2
1.500000E+02 1.500000E+02 0.0
2
,,
composante x de n2 7.071068E­01 7.071068E­01 0.0
,,
composante y de n2 7.071068E­01 7.071068E­01 0.0
,,
composante z de n2
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
N
(
)
max n 2
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
N (n )
m
2
0.0 4.235754E­14
0.0
,,

(
)
max n 2
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
(n )
m
2
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
(n )
eq
2
3.000000E+02 3.000000E+02
0.0
Noeuds :N1 ;N206 ;
(n )
cr
Nb
2
1.094600E+04 1.094600E+04
0.0
Maille : M60,
Point de Gauss : 7
,,
ENDO(n )
2
9.135647E­05 9.135647E­05
0.0

Les écarts étant inférieurs à 1.0E-08 nous avons mis zéro dans le tableau ci-dessus.

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Hormis le critère de fatigue testé, la modélisation B est identique à la modélisation A.
Teste du critère DANG_VAN_MODI_AC.


5.2
Caractéristiques du maillage

Identique à la modélisation A.


5.3 Fonctionnalités
testées

Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A. seul l'option CRITERE de la
commande CALC_FATIGUE est différent :

Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
'DANG_VAN_MODI_AC'

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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
xx
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
,,
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
yy
,,

(n )
1
1.500000E+02
1.500000E+02
0.0
,,
composante x de n1
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante y de n1
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante z de n1
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
N
( )
max n1
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
N (n )
m
1
0.0 4.235754E­14
0.0
,,

( )
max n1
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
(n )
m
1
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
(n )
eq
1
2.750000E+02 2.750000E+02
0.0
,,
(n )
cr
Nb
1
1.490300E+04 1.490300E+04
0.0
,,
ENDO(n )
1
6.709959E­05 6.709959E­05
0.0
,,

(n )
2
1.500000E+02 1.500000E+02 0.0
,,
composante x de n2 ­7.071068E­01 ­7.071068E­01
0.0
,,
composante y de n2 7.071068E­01 7.071068E­01 0.0
,,
composante z de n2
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
N
(
)
max n 2
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
N (n )
m
2
0.0 4.235754E­14
0.0
,,

(
)
max n 2
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
(n )
m
2
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
(n )
eq
2
2.750000E+02 2.750000E+02
0.0
Noeuds :N1 ;N206 ;
(n )
cr
Nb
2
1.490300E+04 1.490300E+04
0.0
Maille : M60,
Point de Gauss : 7
,,
ENDO(n )
2
6.709959E­05 6.709959E­05
0.0

Les écarts étant inférieurs à 1.0E-08 nous avons mis zéro dans le tableau ci-dessus.
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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Hormis le critère de fatigue testé et le chargement, cf. [§ 1.3], la modélisation C est identique à la
modélisation A.
Teste du critère DOMM_MAXI.


7.2
Caractéristiques du maillage

Identique à la modélisation A.


7.3 Fonctionnalités
testées

Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A hormis les options suivantes : CRITERE
est modifiée, METHODE n'est plus utilisée et PROJECTION est ajoutée :

Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
'DOMM_MAXI'
POJECTION
'UN_AXE'

'DEUX_AXES'



8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
xx
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
,,
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
yy
,,
composante x de n
__
1
__ ­3.746066E­01
3.907311E­01
,,
composante y de n
__
1
__ 9.271839E­01
9.205049E­01
,,
composante z de n1
__ 6.123234E­17
__
,,
ENDO(n )
1
__ 7.049845E­05
__

Dans le tableau ci-dessus, les composantes x et y de n1 ont deux valeurs parce qu'il existe deux
vecteurs qui correspondent à la même valeur d'endommagement ENDO(n )
1 .

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8.2

Titre :

SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné Date :
02/11/05
Auteur(s) :
J. ANGLES Clé
:
V3.04.135-B Page :
13/14


9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

Hormis le critère de fatigue testé et le chargement, cf. [§ 1.3], la modélisation D est identique à la
modélisation A.
Teste du critère DANG_VAN_MODI_AV.


9.2
Caractéristiques du maillage

Identique à la modélisation A.


9.3 Fonctionnalités
testées

Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A hormis les options suivantes : CRITERE
est modifiée, METHODE n'est plus utilisée et PROJECTION est ajoutée :

Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
'DANG_VAN_MODI_AV'
POJECTION
'UN_AXE'

'DEUX_AXES'



10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
xx
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
,,
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
yy
,,
composante x de n1
__ 7.071068E­01
__
,,
composante y de n1
__ 7.071068E­01
__
,,
composante z de n1
__ 6.123234E­17
__
,,
ENDO(n )
1
__ 1.341992E­04
__

Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
HT-66/05/005/A

Code_Aster ®
Version
8.2

Titre :

SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné Date :
02/11/05
Auteur(s) :
J. ANGLES Clé
:
V3.04.135-B Page :
14/14


11 Modélisation
E

11.1 Caractéristiques de la modélisation

Hormis le critère de fatigue testé et le chargement, cf. [§ 1.3], la modélisation E est identique à la
modélisation A.
Teste du critère FATEMI_SOCIE.

11.2 Caractéristiques du maillage

Identique à la modélisation A.

11.3 Fonctionnalités
testées

Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A hormis les options suivantes : CRITERE
est modifiée, METHODE et MECA_STATIQUE ne sont plus utilisées et PROJECTION est ajoutée :

Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
'FATEMI_SOCIE'
POJECTION
'UN_AXE'

'DEUX_AXES'



12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées

Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
xx
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
,,
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
yy
,,

-8.00000E-04
-8.00000E-04
0.0
xx (Instant : 3)
,,

1.15000E-03
1.15000E-03
0.0
yy (Instant : 3)
,,

-1.50000E-04
-1.50000E-04
0.0
zz (Instant : 3)
,,
composante x de n1
__ ±4.383711E­01
__
,,
composante y de n1
__ 8.987940E­01
__
,,
composante z de n1
__ 6.123234E­17
__
,,
ENDO(n )
1
__ 1.682346E­01
__



13 Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont en parfait accord avec la solution de référence pour les modélisations A
et B. Les modélisation C, D et E n'ont pas de solutions de référence associées aux critères.
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
HT-66/05/005/A

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