Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLV111 Homogénéisation d'un réseau de poutres
Date :
08/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, H. HADDAR
Clé :
V2.04.111-A Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.04 : Dynamique linéaire des structures volumiques
Document V2.04.111

SDLV111 - Homogénéisation d'un réseau
de poutres dans un fluide incompressible

Résumé :
Test en analyse modale, servant à valider les éléments de la modélisation 3D_FAISCEAU : héxaèdre à 8 noeuds
ou héxaèdre à 20 noeuds. Ces éléments représentent le milieu homogénéisé d'un réseau de poutres baignant
dans un fluide incompressible, initialement au repos.
On teste les fréquences propres des poutres du milieu homogénéisé sans ou avec fluide.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On considère un réseau périodique de 4 x 4 poutres [fig 1.1-a]. La période du domaine est Y. La
figure [fig 1.1-b] représente un agrandissement de 1/ de la période. Chaque poutre est droite de
section carrée.
Surface du haut : Sh
L
z
y
Surface du bas : Sb
x
Figure 1.1-a : Géométrie du milieu hétérogène - Poutres sans fluide
e
Y2
Y1
a
1
Figure 1.1-b : Cellule de référence Y - Agrandissement de = 10
· Caractéristiques de la période :
- Dimensions
:
Y = (0.21 m, 0.21 m)
a = 1.5 m
e = 0.3 m
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· Caractéristiques de chaque poutre :
- Section
:
A = ( x a)2 = (0.1 x 1.5)2 = 0.0225 m2
- Longueur
:
L = 4.1 m
-
Moment d'inertie de flexion :
Ix = Iy = ( x a)4 / 12 m4
1.2
Propriétés de matériaux
Matériau élastique linéaire isotrope :
E = 109 Pa
NU = 0.3
Masses volumiques :
Poutre :
Rho = 7641 kg/m3
Fluide :
Rho = 0 kg/m3 ( cas sans fluide )
Rho = 1000 kg/m3 ( cas avec fluide )
1.3 Termes
correcteurs
Les termes correcteurs sont calculés sur la cellule de référence Y [fig 1.1-b].
B_T
=
0.79 m2
B_N
=
0.79 m2
B_TN
=
0 m2
A_FLUI
=
2.16 m2
A_CELL
=
2.25 m2
COEF_ECHELLE
=
10
1.4
Conditions aux limites et chargements
Cas sans fluide :
Surface du bas Sb : encastrement
Tous les DDL sont bloqués.
Surface du haut Sh : encastrement
Tous les DDL sont bloqués.
Cas avec fluide :
Surface du bas Sb : encastrement
Tous les DDL sont bloqués.
Surface du haut Sh : appui plan (liaison bilatérale)
Toutes les rotations sont bloquées.
Le déplacement longitudinal DZ est bloqué.
Tous les noeuds de Sh ont le même déplacement transverse DX et le même déplacement normal
DY.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Cas sans fluide :

Considérons le domaine hétérogène décrit au [§1] en absence du fluide. On suppose que les poutres
respectent les hypothèses de modélisation d'une poutre droite d'Euler Bernoulli. Puisque les conditions
aux limites appliquées à l'ensemble des poutres sont les mêmes que pour chacune d'entre elles, on
peut ramener la recherche des fréquences propres de l'ensemble à celle d'une seule poutre.
On étudie donc le problème suivant :
Soit une poutre bi encastrée [fig 2.1-a] de même caractéristiques géométriques et matérielles que les
poutres du milieu hétérogène. On note A l'aire de la section, L sa longueur, et I le moment d'inertie de
flexion.
Par la méthode de rigidité dynamique on montre qu'une telle poutre admet des fréquences doubles de
la forme :
1
2 EI 2
f =
i

i
2 L2
A
=
i
(2i + 1) / 2 i = 1, 2,... pour le deuxième cas de conditions aux limites : [fig 2.1-a].
Encastrement
Z
L
X
Encastrement
Figure 2.1-a
Le domaine contient N poutres indépendantes entre elles (pas de conditions aux limites qui couplent
les déplacements de deux poutres différentes), Il en résulte que la multiplicité des fréquences est égale
à 2N (2 modes de flexions par poutres).
Pour le milieu homogénéisé discrétisé par les éléments finis héxaèdre à 8 noeuds ou héxaèdre à 20
noeuds, le nombre N doit être remplacé par le nombre de droites parallèles à l'axe des poutres.
Cas avec fluide :
Le cas avec fluide est plus difficile à résoudre analytiquement : aucun résultat analytique n'a été trouvé
jusqu'à la rédaction de ce cas test. Les résultats de référence qu'on a établis proviennent donc d'une
résolution numérique par éléments finis du problème hétérogène complet. On a utilisé pour ce fait la
version 3.6.2 du Code_Aster.
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Chaque poutre est représentée dans le maillage par sa fibre moyenne modélisée par POU_D_E (poutre
droite d'Euler). Pour toutes les poutres, on lie chaque noeud de la fibre moyenne aux noeuds de la
surface latérale, situés dans la même section transverse que le noeud en question, par
LIAISON_SOLIDE. L'interface fluide poutre est modélisé par FLUI_STRU qui traduit la continuité des
vitesses normales aux parois. Le fluide, devait être parfait incompressible, on a déduit sa modélisation
de celle du fluide parfait compressible 3D_FLUIDE en enlevant la contribution de la pression.
Les conditions aux limites imposées aux domaines [§1.3], et surtout la relation qui couple le
déplacement de toutes les poutres au niveau de Sh, font apparaître deux sortes de modes propres de
la structure :
Des modes d'ensembles : toutes les poutres se déforment de la même façon et la surface du haut
admet un déplacement non nul.
Des modes locaux : ils correspondent à des modes de poutres encastrées-encastrées. La
surfaces du haut admet donc un déplacement nul. Aucun de ces modes ne peut correspondre à
un mode d'ensemble.
L'action du fluide se traduit par un effet de masse ajoutée et donc un abaissement des fréquences par
rapport au cas sans fluide. Il a pour effet aussi, dans le cas des modes locaux, d'étaler le spectre de
fréquences associées. Dans le cas sans fluide on a vu que ce spectre était concentré en une seule
fréquence de vibration.
2.2
Résultats de référence
Valeur des fréquences propres.
2.3 Références
bibliographiques
[1]
Walter D. Pilkey : "Formulas for Stress, Strain and Structural Matrices", A Wiley-Interscience
Publication JOHN WILEY & SONS, INC. Edition 1994.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 3D_FAISCEAU
Conditions aux limites :
Cas sans fluide :
DDL_IMPO:(
GROUP_MA : Sb DX: 0
DY: 0
DZ: 0
DRX: 0 DRY: 0 DRZ: 0
GROUP_MA : Sh DX: 0
DY: 0
DZ: 0
DRX: 0 DRY: 0 DRZ: 0
NOEUD N1 : PHI: 0
)
Cas avec fluide :
DDL_IMPO: (
GROUP_MA : Sb DX: 0
DY: 0
DZ: 0
DRX: 0 DRY: 0 DRZ: 0
GROUP_MA : Sh DZ: 0
DRX: 0 DRY: 0 DRZ: 0
NOEUD N1 : PHI: 0
)
LIAISON_UNIF : ( GROUP_MA : Sh
DDL : `DX' )
LIAISON_UNIF : ( GROUP_MA : Sh
DDL : `DY' )
3.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage du milieu homogénéisé utilisé, pour les deux cas de figure : avec ou sans fluide, est
représenté par [fig 3.2-a].
Il comporte 48 mailles HEXA8.
Le maillage contient 9 droites parallèles à la fibre moyenne de chaque poutre.
4 mailles en section transversale
Sh
12
mailles
en
hauteur
Sb
Figure 3.2-a : maillage
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3.3 Fonctionnalités
testées
Cas sans fluide :
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
3D_FAISCEAU
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
[U4.25.05]
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION:
'RECTANGLE'
[U4.24.01]
ORIENTATION
ANGL_NAUT
POUTRE_FLUI
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
`TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION:
`BANDE'
Cas avec fluide :
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
3D_FAISCEAU
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
[U4.25.01]
LIAISON_UNIF
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION:
'RECTANGLE'
[U4.24.01]
ORIENTATION
ANGL_NAUT
POUTRE_FLUI
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
`TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION:
`BANDE'
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Cas sans fluide :
Numéro
Grandeur et
Référence
Aster
% différence
d'ordre
unité
1, 2 et 6
fréquence (Hz)
3.3333
3.3183
­0.45%
19 et 20
fréquence (Hz)
9.2584
9.1480
­1.19%
Cas avec fluide :
Numéro
Grandeur et
Référence
Aster
% différence
d'ordre
unité
1 et 2
fréquence (Hz)
0.6908
0.6932
0.35%
19 et 20
fréquence (Hz)
3.7871
3.7984
0.30%
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.6.2
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
16 MW
Temps CPU User :
100 s
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 3D_FAISCEAU
Conditions aux limites :
Cas avec fluide :
DDL_IMPO: (
GROUP_MA : Sb DX: 0
DY: 0
DZ: 0
DRX: 0 DRY: 0 DRZ: 0
GROUP_MA : Sh DZ: 0
DRX: 0 DRY: 0 DRZ: 0
NOEUD N1 : PHI: 0
)
LIAISON_UNIF : ( GROUP_MA : Sh
DDL : `DX' )
LIAISON_UNIF : ( GROUP_MA : Sh
DDL : `DY' )
5.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage du milieu homogénéisé utilisé, pour les deux cas de figures : avec ou sans fluide, est
représenté par [fig 5.2-a].
Il comporte 48 mailles HEXA20.
Le maillage contient 9 droites parallèles à la fibre moyenne de chaque poutre.
4 mailles en section
Sh
12
mailles
en
hauteur
Sb
Figure 5.2-a : maillage
5.3 Fonctionnalités
testées
Cas avec fluide :
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
3D_FAISCEAU
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
[U4.25.01]
LIAISON_UNIF
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION:
'RECTANGLE'
[U4.24.01]
ORIENTATION
ANGL_NAUT
POUTRE_FLUI
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
`TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION:
`BANDE'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Cas avec fluide :
Numéro
Grandeur et
Référence
Aster
% différence
d'ordre
unité
1 et 2
fréquence (Hz)
0.6908
0.6932
0.35%
19 et 20
fréquence (Hz)
3.7871
3.7984
0.23%
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.6.2
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
16 MW
Temps CPU User :
100 s
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7
Synthèse des résultats
Les résultats montrent le bon comportement modal des éléments de la modélisation 3D_FAISCEAU
en flexion, en absence du fluide. Il montrent aussi un très bon accord des fréquences des modes
d'ensemble avec le calcul Aster en hétérogène, lorsqu'il y a du fluide.
Pour les fréquences des modes d'ensemble, on n'observe pas de différences entre un maillage HEXA8
et HEXA20 (ceci n'est pas vrai pour les autres modes).
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