Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

FDLV110 - Calcul de masse ajoutée sur modes obtenus

Date :
01/03/04
Auteur(s) :
N. GREFFET, G. ROUSSEAU Clé
:
V8.01.110-A Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, EDF-DPN/UTO















Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide
Document : V8.01.110





FDLV110 - Calcul de masse ajoutée sur modes
obtenus par sous-structuration





Résumé :

Ce test du domaine de l'analyse modale et de l'interaction fluide-structure met en oeuvre le calcul de masse
ajoutée sur une structure constituée de trois cylindres concentriques séparés par deux anneaux de fluide (eau)
dont on suppose le comportement régi par la théorie potentielle (fluide parfait, incompressible au repos). Le
modèle est tridimensionnel pour l'eau. La structure est représentée par des éléments de type coque mince
dans la modélisation A (la structure est rigide dans la solution de référence). Celle-ci est caractérisée par deux
modes propres évalués par sous-structuration dynamique, avec interface de type CRAIG-BAMPTON.
L'intérêt du test réside dans l'utilisation de la fonctionnalité `NOEUD_DOUBLE` de l'opérateur `CALC_MATR_AJOU`.
Cette fonctionnalité permet de calculer les effets de masse ajoutée d'une structure représentée par un maillage
surfacique (sans épaisseur) qui se trouve baignée dans un fluide. Les fluides choisis dans ce cas-test sont de
densités différentes de part et d'autre du cylindre intermédiaire (eau à températures différentes).
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


L
surface fluide
k2
z
Ri
R
y
f
x
Re
ressorts
fluide
k1
cylindre milieu
cylindre externe


5
L=50m ; Rf=1m ; Ri= m ; R
3
e=3m ; k1=109 N.m­1 ; k2=0.5 107 N.m­1 ; fluide=1000 kg.m­3 ;
s=7800 kg.m­3 ; épaisseur de la coque : 50 cm.



1.2
Propriétés des matériaux

Fluide : masse volumique 1 = 1000 kg.m­3 ; 2 = 750 kg.m­3.

Structure : = 7800 kg/m3 ; E = 2.1 1011 Pa ; = 0.3 (acier).
s



1.3
Conditions aux limites et chargements

Le cylindre extérieur est d'une part relié à un bâti fixe via les quatre ressorts de raideur unitaire k1,
relié d'autre part au cylindre milieu par quatre ressorts de raideur unitaire k2. Les deux structures sont
rigides dans cette solution de référence.

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2
Solution de référence

On calcule les modes propres du système après avoir vérifié ceux de chaque sous-structure. On
évalue ensuite la masse ajoutée sur les modes en air.

2.1
Décomposition en sous-structures

Première sous-structure : cylindre intermédiaire

La première sous-structure est constituée du cylindre intermédiaire et de quatre ressorts de raideur
k2 = 107 N.m­1. Ces ressorts sont encastrés à l'interface avec le cylindre externe qui constitue la
deuxième sous-structure (interface de type CRAIG-BAMPTON).

Ri
k2


Masse du cylindre 1 : m1 = 2.041 106 kg

Le cylindre étant rigide, son mouvement peut être modélisé par un système masse-ressort à un degré
de liberté :

m1


Achacune de ses extrémités, le cylindre est relié à deux ressorts en parallèle : la raideur équivalente
de chacun est k' = 2k2

1
2k
1
4k
La fréquence propre vaut alors :
2
f =
=
, soit : f = 0 705
.
Hz
2
1
m
2
1
m

Deuxième sous-structure : cylindre extérieur

La deuxième sous-structure est le cylindre externe relié d'une part à l'interface par les mêmes
ressorts, d'autre part à un bâti fixe :

Re
k1
k


Masse du cylindre 2 : m2=3,674 106 kg
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La raideur équivalente d'une attache de ce cylindre par le système de ressorts en série k1 et k2 valant
9,9 106 N.m­1 (quatre attaches du même type relient en parallèle le cylindre à un encastrement), la
fréquence propre est donnée par :

1
4k2 1
k (k2 + 1
k )
f =
, soit : f = .
0 522Hz
2
1
m

N.B. : le troisième cylindre (cylindre intérieur) n'a pas été modélisé dans notre cas car il s'agint d'un
cylindre fixe. Il constitue donc une paroi fixe du domaine fluide.

Modes en air de la structure complète (cylindre intermédiaire et cylindre externe)

C'est un système à deux degrés de liberté :


m2
m1
k3=4k1
k4=4k2


Les fréquences propres de ce système sont données par la formule exacte [bib2] :

1
k
k
k
k
k
k 2
k k
f =
3 + 4 + 4 ± 3 + 4 + 4 - 4 3 4
,
i
32
m
m
m

2
2
1
m
m
m
2
2
1
m m
2
1
2

soit

f = 0.497

et

Hz
f = 5.
Hz
263
1
2
.

Les deux modes propres admettent, pour valeur numérique :

X


X
3
1

-
.

1
1
- 9 10

=
et
=


.
X
-3

5. 10
X
2

1

1
2 2


2.2
Calcul de la matrice de masse ajoutée

Potentiels fluides

Reprenant [bib1], on établit que :


2
R + 2
2
2
R

2
2
( )
1
2 i
f
R +
e
i
R
= R
+
i
R
e
R
1
;
i
( -3
5.e )
2
+


×

R
2
2
2
2
e
2
2

R - R
R - R
R -
i
f
e
i
e
i
R
et


2
R + 2
2
2
R

2
2
(2)

=
i
f
e
R
i
R
i
R
e
R
1
(- -3
9.e )
2
+
2
+




× i
R
+
;R
2
2
2
2 e
2
2

R - R
R - R
R -
i
f
e
i
e
i
R
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La forme de la matrice de masse ajoutée, dans cette configuration, est :

11
12
M
M
M =
a
a
a

21
22
M a
M a

Avec :


2
2

2
2
R + R

11
2 i
f
R +
i
e
R
M
=
a
L
R
+
i
= 753
,
1
.106 kg,
2
2
2
2


R - R
R -
i
f
e
i
R



2
2
R + R
22
2
i
e

M
=
a
L
R

e
= ,
2 676 10
. 6 kg,


2
2


R -
e
i
R



2
2

2
2
R + R

2
2
-
i
f
R + R

i
e
-
R + R
12



i
e

M
=
a
L
5
( 10
.
3 )
2
× R
+
- 9
( 10
.
3 )
2
× R

i
e
= 15318
-
kg.
2
2
2
2
2
2


R - R
R -
i
f
e
i
R
R -
e
i
R




Le coefficient de couplage inertiel
12
M a est considéré comme négligeable devant les coefficients
d'auto-masse ajoutée
11
M a et 22
M a . Les fréquences propres du système ne dépendent, en première
approximation, que de ces deux dernièrs coefficients.


2.3
Résultats de référence

Résultat analytique.


2.4 Références
bibliographique

[1]
ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure
vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le
Code_Aster - HP-61/95/064
[2]
BLEVINS R.D. : Formulas for Natural frequency and mode shape, Ed. Krieger
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Pour le système 3D sur lequel on calcule les coefficients ajoutés :


Cylindre :
2400 mailles QUAD4
éléments de coques MEDKQU4

12 mailles SEG2
éléments ressorts MECA_DIS_T_L


Fluide :
3600 mailles QUAD4

éléments thermiques THER_FACE4

sur les surfaces cylindriques



7200 mailles HEXA8

éléments thermiques THER_HEXA8

dans le volume annulaire fluide


3.2 Fonctionnalités
testées

Commandes


CALC_MATR_AJOU OPTION
`NOEUD_DOUBLE'


`MASS_AJOU'



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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées



Fréquences analytique
Fréquences calculées
Ecart (%)
en air (Hz)
en air par Aster (Hz)





Premier mode en air
0.497 0.496
0.2
Deuxième mode en air
5.263 5.147
0.2





Masse ajoutée théorique Masse ajoutée calculée
Ecart (%)
(kg)
(kg)



M11
1.753 106 1.741
106 0.6
M22
2.675 106 2.567
106 4.0





Fréquences analytique
Fréquences en eau
Ecart (%)
des modes en eau (Hz) calculées par Aster (Hz)



Premier mode en eau
0.365
0.364
0.2
Deuxième mode en eau
4.004 4.061
1.0


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5
Synthèse des résultats

Le calcul de masse ajoutée sur des modes estimés par sous-structuration est satisfaisant. Ceci a
permis de valider l'option `NOEUD_DOUBLE' de la commande `CALC_MATR_AJOU'. L'écart observé sur
le deuxième coefficient de masse ajoutée s'explique par la discrétisation du deuxième cylindre. Le
nombre d'éléments est un peu insuffisant pour calculer de manière exacte l'intégrale du champ de
pression sur la structure.

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