Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

SSNA105 - Cylindre creux soumis à une pression, viscoélasticité linéaire
Date :
19/08/02
Auteur(s) :
Ph. De BONNIERES, D. NUNEZ Clé
:
V6.01.105-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF/AMA, CS SI















Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document V6.01.105





SSNA105 - Cylindre creux soumis à une pression,
viscoélasticité linéaire, contact




Résumé :

Ce cas-test permet de valider la loi de LEMAITRE implantée dans le Code_Aster dans le cas de comportement
viscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
Ce test reprend la même modélisation que le cas-test SSNA104A auquel on rajoute un cylindre (pastille) et on
traite le contact.
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HT-66/02/001/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Le schéma n'est pas à l'échelle, l'écart entre les deux cylindres a été amplifié pour une meilleure
visibilité.



R1
0.82
R2
0.92
R3
1.
R4
2.


1.2
Propriétés des matériaux

La pastille est composée d'un matériau élastique, la gaine est constituée d'un matériau viscoélastique.
Les données élastiques coïncident pour les deux matériaux.
Module d'Young : E= 1 MPa
Coefficient de Poisson : =0.3

Loi de LEMAITRE :
n


1
1
1
g( ,,T ) =
avec
= ,
1
= ,
0 n = 1

K 1
K
m
m


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1.3
Conditions aux limites et chargement

Conditions aux limites :
Le cylindre est bloqué en DY sur les côtés [AP,BP], [AG,BG] et [CP,PD] [CG,PG].


Chargement :
Le cylindre est soumis à une pression interne sur [DP,AP], cette pression est calculée de telle sorte
qu'à l'instant t=0, la gaine a le même comportement que le cylindre modélisé dans le test ssna104a.

r
E r
r
3
( 22 - 21)

-1
si -1 t 0
p (t)
r
r


1
=


2
2 21 (1- )

[
A B(r r C D Ge Ekt Ht
K
si
t
3 - 2 +
( + - + ) + ]
0 < 5

avec
2
r
r
E
3
P r
2 -
2
A =
1
, B =
,
0 3
C =
avec P
2 2
r
r 1
( + )
2
2
r - r
0 =1.E-3 MPa, pression du test ssna104a.
1 (1 - )
2
4
3

1
2
(1- 2 )2

2
3 r
2
P r

2
r
D =
( + )r4 + 3
1
, G = -
,
4
H = k
, K =
0 2
1- 2 + 1
2
(1-
2 )


E
2
2
2

r
2
2E
2
2 r
r
r
r
2 -
3

3
1
2

On traite le contact entre les deux cylindres.
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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence

L'ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].

Phase sans contact

On veut trouver la valeur de p (t) à appliquer sur la paroi interne de la pastille pour laquelle le contact
1
a lieu.
Pour la pastille, on trouve :

2
r

1- 2
0
0

2
r




2

2


r
p (t)r
0
1
2
0
=
+

1
1
=




2
r



2
2
r - r


2
1

0
0

2




(1+ )
r 2
w
=
1- + 2
2
= .
E


r 2
r


(21+ )
La condition de contact s'écrivant : (
w r ) - (
w r ) = 0 ,on a r
r
r

3 - 2 = 2
(1- )
3
2
E
r

E
D'où
3
=
-1





r
(
2 1- )2
2
r
E r - r
3
( 2 2
2
1 )
p lim =
-1
.
1




2
r
r
-
2
2
1
1 (
)2

Phase avec contact

On veut qu'à partir de l'instant t=0, la gaine a le même comportement que dans le test ssna104a.
Lorsqu'il y a contact, on a :
w (r ) = w (r ) + r - r ,
P
2
G
3
3
2
donc en récupérant la valeur des déplacements dans le test ssna104, on doit obtenir :
p r 3
1
1 2
3
0 3


r 24
-

2
w (r
4
)
1
3 1 2
.
P
2
= r3 - r2 +
Ekt
r
2
2
( + )
-


+
2
( -( - )e )


+ k
t
2

r
2
2
4 - r3


E
r3

r3


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Le champ de contrainte de la pastille est donné par

r 2

r 2

1- 2
1
- 1
2
0
- 2
0
0





2
r
r






2
2



r

r
0
1
2
1
2
0
=


1
+
-
2
0
+







2
r
r








0
0
Z




2
p r
2
p r
avec
1 1
=
et
0 1
=
.
1
2
2
r - r
0
2
2
r - r
2
1
2
1
1+

Comme




, on trouve : Z = 2 (
-
1
0 ) .
Z =
Z -
( (2 - + Z =
1
0 )
) 0
E
E

1+

1+
r 2
r 2
w
On a donc =
- ( + + =
1- 2




1 -
0 +
2
1
-
1
2
0
2 =
r
Z )
(
)(
)
E
E
E
r
r
r


1+

2
r
w (r )
r 2 1
1 2
, on trouve p (t) donné par la formule un peu plus
P
2
=
2 ( -
)

1 -
-
+ 1
0
2

E





1


r2
haut.


2.2
Résultats de référence

Déplacement DX sur le noeud B


2.3
Incertitude sur la solution

0% : solution analytique


2.4 Références
bibliographiques

[1]
Ph. De BONNIERES, deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en
viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le problème est modélisé en axisymétrie


3.2
Caractéristiques du maillage

750 mailles QUAD4


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes

DEFI_MATERIAU
ELAS
LEMAITRE
AFFE_CHAR_MECA
CONTACT
STAT_NON_LINE
COMP_INCR
LEMAITRE
COMP_ELAS
ELAS



4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Instants
Référence
Aster
Ecart (%)
DX(B)
0.9
2.14 E­3
2.14 E­3
­0.953
SIXX(B)
0.9
0.0
­4.8168 E­6
­4.8168 E­6
SIYY(B)
0.9
2.7912 E­4
2.759 E­4
1.5
SIZZ(B) 0.9 6.66 E­4 6.635
E­4
0.5



5
Synthèse des résultats

Les résultats calculés par le Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais dépendent
très fortement du raffinement du maillage.


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