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SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
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C. CHAVANT
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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SSNL112 - Barre soumise a un chargement
thermique cyclique




Résumé :

Ce cas test entre dans le cadre de la validation des relations de comportement en élastoplasticité des éléments
barre pour la mécanique quasi-statique des structures.
Une barre encastrée a ces deux extrémités subit un chargement thermique cyclique induisant des efforts de
traction-compression.

Chaque modélisation permet de valider une des relations de comportement non-linéaire introduite :
Ecrouissage isotrope linéaire avec critère de Von Mises (modélisation A), écrouissage cinématique linéaire
avec critère de Von Mises (modélisation B), ainsi qu'un modèle dit de Pinto-Menegotto, représentant le
comportement cyclique des armatures en acier dans le béton armé (modélisations C et D).

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

N1
y
x
N2
z




Longueur de la barre : 1 m
Section de la barre
: 5 cm2


1.2
Propriétés des matériaux

1.2.1 Ecrouissages isotrope et cinématique linéaires


E

t
y
E



Module d'Young :
E = 2. 1011 Pa
Pente d`écrouissage :
Et = 2.109 Pa
Limite d'élasticité :
= 2.108 Pa
Coefficient de Poisson :
= 0,3
Coefficient de dilatation thermique :
= 1.10-5 K-1
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1.2.2 Modèle de Pinto-Menegotto

u
0y
E

0y
h
u


Module d'Young :
E
=
2. 1011 Pa
Limite d'élasticité :
0
=
2.108 Pa
y
Coefficient de Poisson :

=
0,3
Coefficient de dilatation thermique :

=
1.10-5 K-1
Déformation d'écrouissage :
h
=
2.3 10-3
Contrainte ultime :
u
=
2.58 108 Pa
Déformation ultime :
u
=
3.10-2
Coefficient définissant la courbe :
R0
=
20
Coefficient définissant la courbe :
A1
=
18.5
Coefficient définissant la courbe :
A2
=
0.15
Coefficient de flambage :
C
=
0.5
Coefficient de flambage :
A
=
0.008

1.3
Conditions aux limites et chargement

Conditions aux limites :

La barre est encastrée. Les déplacements sont donc bloqués dans les trois directions.
En N1 et N2 : DX = DY = DZ = 0
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Chargement :

Le trajet de chargement est décrit par l'évolution de la température, uniforme dans la barre :



t 0
1 2 3 4 5 6 7
T(°C)
50
­50
­300
­100 50 ­150 ­350 ­200



Températures



0
1
2
3
4
5
6
7

50

0
-50

C) -100

-150

-200

-250

T (degrés -300

-350
-400


Temps



La température de référence est prise à 0oC
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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence

2.1.1 Ecrouissages
linéaires

Ecrouissage isotrope

Pour une traction uniaxiale, le critère de plasticité s'écrit :

L - R( p) 0

où p est la déformation plastique cumulée
E E
R p
R p
y
( ) = + et R =
t

E - Et
Le critère s'écrit alors :
- R p
- y
L
0

Le tenseur des contraintes s'obtient par :
= A.((u) - p) - 3 ( - ref
K T T )Id

On en déduit donc l'expression de :
L
= E( - T) - E p
ref
L
(T = )0

Dans notre cas, = 0 donc :
= E - E p
avec =
L
L
L
- T

Donc :

·
Si L - R( p) < 0 :

p=0 et = E
L
L

·
Si L - R( p) = 0 :
y
-
p =


R

= - p
E
E

L
L
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Application au trajet de chargement

Instant 1 :
= E = 200MPa et R p
R p
y
( ) = + = 100MPa car p=0.
el
On a bien - R( p) 0 .
L
Le critère n'est pas franchi, l'évolution est élastique : = 100 MPa et N = 100kN
L

Instant 2 :
Le critère est atteint :
11

E
2
=
(
10
R
+ y =
2 0
. 2 109 × 35
. -
10 3 + 2 108 = 205MPa
L
L
)
11
9 (
)
E + R
2 10 + 2 02
. 10

N = 102 5
. kN
et p =
-
2 475 10 3
.


Instant 3 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11
-3 -
-
2 10 15 10
2 475 10 3
( .
.
) = -195MPa
L
L

N = -97. k
5 N

Instant 4 :
On plastifie à nouveau :
Le critère s'écrit : - Rp - y = 0 avec p = p + p p
-3
= 2 475
.
10
1
2
1
On obtient donc :

y
-
p =
- p
2
R
1

= -E p
= -E ( p - p

1
2 )
R
E y


=
2 E p
= -207 9
. MPa

R + E
1

-
-

R

Et donc N = -103
k
95
.
N

Instant 5 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11 -3 -
-
2 10 2 10
10395 10 3
(
.
) = 192 1
. MPa
L
L

N = 96. k
05 N

Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique
On trouve :
N
=
.
10587kN
(inst.6)

N
= - .
44
k
13 N
(inst.7)
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Ecrouissage cinématique

La méthode de calcul est identique, mais dans ce cas, le critère de plasticité s'écrit :

( - X) - y 0
eq
3
p
p
E E
avec X
C( )
C
t
p
=
=
=

eq
eq
2
E - Et
Avec les notations précédentes, le critère s'écrit :
- p

- y
R
0
L
Et = p ± y
R
(suivant le sens de l'écoulement).
L

Application au trajet de chargement

Instant 1 :
Le critère n'est pas franchi, l'évolution est élastique : = 100 MPa et N = 100kN
L

Instant 2 :
Le critère est atteint : - p - y
R
= 0
L
= p + y
R
=
9 ×
-
2 02 10
2 475 10 3 + 2 108
.
.
= 205MPa
L

Instant 3 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11
-3 -
-
2 10 15 10
2 475 10 3
( .
.
) = -195MPa
L
L

N = -97. k
5 N

Instant 4 :
On a :
- R
p - y = 0 avec
p
-3
= 2 475
.
10

1
p = p - p
1
2
y
+
p = p -
2
1
R
= -E p
= -E ( p - p
1
2 )

y
+
= -E

198MPa

R


= -
N = 99
- kN

Instant 5 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11 -3 -
-
2 10 2 10
9 9 10 4
(
.
) = 202 MPa
L
L

N =
k
101 N

Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique
On trouve :
N
=
k
103 N
(inst.6)

N
= -47kN
(inst.7)
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2.1.2 Modèle de Pinto-Menegotto

Ce modèle est décrit dans le Manuel de Référence du Code_Aster [R5.03.09] [bib1]. La loi constitutive
des aciers est composée de deux parties distinctes : le chargement monotone composé de trois zones
successives (élasticité linéaire, palier plastique et écrouissage) et le chargement cyclique où le trajet
entre deux points d'inversion (demi-cycle) est décrit par une courbe d'expression analytique du type
= f () .
Comme précédemment les déformations imposées sont des déformations thermiques : =
- T

2.1.2.1 Cas sans flambage

Premier chargement

·
Elasticité linéaire : = E

Instant 1 :
N = E S = 11 × -3 × -

2 10
1 10
5 10 4 = 100kN

·
Palier plastique : = y
- 4
·
Polynôme de degré 4 : = -
(
- 0 ) u

u
su

y -
u
h
Instant 2 :
=
-3
> =
-
3510
2 310 3
.
.
, on utilise le polynôme de degré 4 :
h
= 209 416
.
MPa
et N = 104 708
.
kN

Cycles

Demi-cycle 1 :

On détermine 0 :
p
0 = 0 - 0
-3
-3
-3
= 351
. 0 - 1.10 = 2 51
. 0 car 0 =
.
p
r
y
r
(inst.2)

Puis 0 :
0 = E 0
9
-3
= 210 × 2 5
. 10 = 5MPa
h
p

D'où 1 = 0 sign ( 0
- ) + 0

= -200 + 5 = -195MPa
y
y
p
·
On calcule ensuite 1 :
y
1 - 0
6

-
(-195 - 209 416
.
)10
1 = 0
y
r
3
-3
+
= 351
. 0 +
= 1477
.
10
y
r
E
11
2 0
. 10

On détermine ainsi

= f ( ) , définie par :




1 - b
E
b

=
+
h

,
1 R
avec b =

(

1 + ( R
) )
E
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- 0
=
r
1 - 0
y
r

- 0
=
r

1 - 0
y
r

0
A
0


p
0
1
p
1
p =
et R = R -

1 - 0
0
A
0
+
y
r
2
p

On obtient 0 = -12
. 3 et R1 = 35
. 1
p

On peut alors calculer la valeur de aux instants 3 et 4 :

Instant 3 :

- 0
-3
-3
(inst. )
3
r
.
1510
- .
3510
=
=
= .
0 988
1 - 0
-3
-
.
1477 10
- .
35
3
y
r
10



1 - b

1 - 0 0
. 1

b

=
+
0 0
. 1 0 988
.
0 8
. 2
1 R
=
×
+
=
3 51
.
1/3 51
.
(

1 + ( R
) )
1
( + (0 988
.
)
)


et =
( 1 - 0 ) + 0 = .
0 82 × (-195 -
.
209
)
416 +
.
209 416 = -
y
r
r
122 MPa

d'où N = - k
61 N

Instant 4 :

On utilise la même méthode, avec = 0 .
= 17
. 3
= 05
. 6

= -20MPa
N = -10kN

Demi-cycle 2 :

Instant 5 et 6 :
La méthode de calcul est identique, on détermine :
1 , 2 , 2 , 1 , R2 , puis
f (
=
) et
f (
=
)
p
y
y
p
(inst. )
5
(inst. )
5
(inst.6)
(inst.6)
et finalement (inst. )
5 et (inst.6) .

Demi-cycle 3 :

Instant 7 : Idem
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2.1.2.2 Cas avec flambage

Premier chargement

Identique au cas précédent.

Cycles

Demi-cycle 1 (compression) :

La méthode de calcul est identique, mais la valeur de la pente de l'asymptote est modifiée :
On calcule un nouveau coefficient bc :

11
E


210

-3
b

.
0 01 .
1 477 10

8
8

b
a ( .
5 0 L / D) e
y
=
-


-
×

= .
0 006 × ( .
5 0 - .
5 9) e

2 10 - .
1

36 10
c
= - .
0 0057
Il faut ensuite, comme dans le modèle sans flambage, déterminer n . La raisonnement est identique,
y
mais on ajoute une contrainte complémentaire afin de positionner correctement la courbe par
s
rapport à l'asymptote.
b - b
0 0
. 1 +

0 0057
.
=
c
11
s
sb E
= 0 028
.
× 0 0
. 1× 2 10 ×
= 0 8
. 7 MPa
1 - c
b
1 + 0 0057
.
110
. - L / D
où est donné par : =
= 0 028
.

s
s
10( c(L/D
e
) - 1. )
0

Demi-cycle 2 (traction) :

·
En traction, on adopte un module d'Young réduit :


(-a 2
6
6
)
11
(-620×1.47 -
3 10 )
E = E a + ( . - a ) e
( .
(
. ) e
11
10
2 10
0 88
1 0 88
) 19
. 9 10 MPa
r



5
5

=
×
+ -
=

avec a = 10
. + 5
( 0
. - L / D) / 7 5
. = 0 8
. 8
5

Le reste de la méthode est identique.

2.2
Résultats de référence

Effort normal N constant sur la barre

2.3
Incertitude sur la solution

Aucune, la solution est analytique

2.4 Références
bibliographiques

[1]
Manuel de référence du Code_Aster [R5.03.09].
[2]
S. ANDRIEUX : TD 1 Trois barres thermoélastoplastiques Von Mises parfait. In « Initiation à
la thermoplasticité dans le Code_Aster », HI-74/96/013 novembre 1996 (manuel de référence
du cours).
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé d`un élément de barre (BARRE).

Loi de comportement : élastoplasticité avec écrouissage isotrope linéaire - Critère de Von Mises

3.2
Caractéristiques du maillage

2 noeuds.
1 maille SEG2

3.3
Fonctionnalités testées

Commandes


DEFI_MATERIAU ECRO_LINE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_ISOT_LINE


OPTION
SIEF_ELNO_ELGA




4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0250 105
1.0250 105 0
effort normal N
3
­9.7500 104
­9.7500 104 0
effort normal N
4
­1.0395 105
­1.0395 105 0
effort normal N
5
9.6050 104
9.6050 104 0
effort normal N
6
1.0587 105
1.0587 105 0
effort normal N
7
­4.4129 104
­4.4129 104 0

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé d`un élément de barre (BARRE).

Loi de comportement : élastoplasticité avec écrouissage cinématique linéaire - Critère de Von Mises

5.2
Caractéristiques du maillage

2 noeuds.
1 maille SEG2

5.3
Fonctionnalités testées

Commandes


DEFI_MATERIAU ECRO_LINE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_CINE_LINE


OPTION
SIEF_ELNO_ELGA




6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0250 105
1.0250 105 0
effort normal N
3
­9.7500 104
­9.7500 104 0
effort normal N
4
­9.9000 104
­9.9000 104 0
effort normal N
5
1.0100 105
1.0100 105 0
effort normal N
6
1.0300 105
1.0300 105 0
effort normal N
7
­4.7000 104
­4.7000 104 0

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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé d`un élément de barre (BARRE).

Loi de comportement : modèle de Pinto-Menegotto sans flambage (valeur de ELAN inférieure à 5).

7.2
Caractéristiques du maillage

2 noeuds.
1 maille SEG2

7.3
Fonctionnalités testées

Commandes


DEFI_MATERIAU PINTO_MENEGOTTO
ELAN
:
4.9

STAT_NON_LINE COMP_INCR
PINTO_MENEGOTTO


OPTION
SIEF_ELNO_ELGA




8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0470 105
1.0470 105 0
effort normal N
3
­6.0777 104
­6.0777 104 0
effort normal N
4
­9.1430 104
­9.1430 104 0
effort normal N
5
7.6082 104
7.6082 104 0
effort normal N
6
1.0125 105
1.0125 105 0
effort normal N
7
­3.7965 104
­3.7965 104 0

Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT
Clé : V6.02.112-A Page : 14/14


9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé d`1 élément de barre (BARRE).

Loi de comportement : modèle de Pinto-Menegotto avec flambage (valeur de ELAN supérieure à 5).

9.2
Caractéristiques du maillage

2 noeuds.
1 maille SEG2

9.3
Fonctionnalités testées

Commandes


DEFI_MATERIAU PINTO_MENEGOTTO
ELAN
:
5.9

STAT_NON_LINE COMP_INCR
PINTO_MENEGOTTO

OPTION
SIEF_ELNO_ELGA




10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0470 105
1.0470 105 0
effort normal N
3
­6.0556 104
­6.0556 104 0
effort normal N
4
­8.9078 105
­8.9078 105 0
effort normal N
5
7.6905 105
7.6905 105 0
effort normal N
6
1.0125 105
1.0125 105 0
effort normal N
7
­3.8119 104
­3.8119 104 0



11 Synthèse des résultats

Les résultats calculés par le Code_Aster sont en excellent accord avec les solutions analytiques.
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A

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