Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
SSLP304 - Plaque carrée orthotrope en traction
Date :
12/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.F. BILLAUD Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, CETIM
Manuel de Validation
Fascicule V3.02 : Statique linéaire des systèmes plans
Document V3.02.304
SSLP304 - Plaque carrée orthotrope en traction
uniaxiale hors des axes d'orthotropie
Résumé :
Ce test représente le calcul statique d'une plaque carrée, en matériau élastique orthotrope, dont les axes
d'othotropie sont inclinés de 30 degrés par rapport à l'arête de base, soumise à une traction uniaxiale. Il permet
de valider la bonne prise en compte des matériaux élastiques orthotropes et du changement de repère associé.
4 modélisations sont utilisées : C_PLAN avec des mailles QUAD8 et TRIA6, dans un premier repère, C_PLAN
dans un second repère, COQUE_3D avec des mailles QUAD9 et TRIA7, en petits déplacements et COQUE_3D en
grands déplacements. Les déplacements et les contraintes obtenus sont comparés à une solution de référence
analytique.
Les deux premières modélisations de ce test sont issues de la validation indépendante de la version 3 du
Code_Aster (lot statique linéaire).
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Une plaque carrée, constituée d'un matériau orthotrope incliné de 30 degrés par rapport à l'arête AB.
y
D
C
b
y
L
A
B
x
b
Avec b = 1 m, épaisseur quelconque (contraintes planes), angle d'orthotropie : = 30 degrés.
1.2
Propriétés des matériaux
Les propriétés des matériaux constituant la plaque sont :
élastique orthotrope :
E_L = 4.E10 Pa
E_T = 1.E10 Pa
G_LT = 0.45E10 Pa
G_TN = 0.35E10 Pa
NU_LT = 0.075
L'axe L est incliné de 30 degrés par rapport à AB.
1.3
Conditions aux limites et chargements
· Au point A : DX = 0, DY = 0
· Au point B : DX = 0,
· Chargement linéique réparti : Fx = 104 Pa sur BC
· Chargement linéique réparti : Fx = -104 Pa sur DA
1.4 Conditions
initiales
Sans objet.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Solution analytique, obtenue avec l'hypothèse d'uniaxialité des contraintes :
(x, y)
xx
= F
(x, y)
x
xy
=
(x, y)
yy
=
(x, y)
zz
= 0
soit dans le repère (A,L,T) :
(x, y) = c2F , (x, y) = s2F
(x, y) = -csF
LL
x
TT
x
LT
x
Par la loi de comportement élastique orthotrope, en utilisant les conventions du Code_Aster en ce qui
concerne NU_LT, (cf. document d'utilisation de la commande DEFI_MATERIAU [§3.5.2]), on obtient
directement (voir par exemple [bib1]) :
(x, y) Fx
=
xy
, (x, y) = -
F , 2
x
(x, y) =
F
xx
E
yy
x
E
xy
x
E
x
x
x
avec :
1
4
4
c
s
1
1
1
1
xy
4
4
2 2
=
+
+ c s
- 2 LT
LT
= (c + s )
- c2s2
+
-
E ()
E
E
G
E
E ( )
E
E
E
G
x
x
L
T
LT
T
T
L
T
LT
2
2
y
c
s
= - cs
-
+
(
2
2
c - s )
1
2
LT -
Ex
( )
E
E
E
2
L
T
G
T
LT
avec
c = cos
s = sin
Comme les déformations sont uniformes dans la plaque on obtient, par intégration, les déplacements
dans le repères (A, x, y) :
u (x, y) = . x
x
xx
u (x, y) = . y + 2 . x
y
yy
xy
2.2
Résultats de référence
Déplacements dans le repère (A, x, y) (en m) :
Point B
C
D
u
0.
5.917 107 5.917
107
x
u
2.292 107 5.028
107 7.319
107
x
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Contraintes dans le repère lié à l'orthotropie :
(x, y) = 7500Pa, (x, y) = 2500Pa, (x, y) = 4330.127Pa
LL
TT
LT
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
GAY D : « Matériaux composites » ; 3ème édition, Hermès
3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation C_PLAN. La plaque est tournée de -30 degrés autour de Z, c'est-à-dire que l'axe X global
est colinéaire à l'axe d'orthotropie L. Les conditions aux limites et chargements, à appliquer dans le
repère (A, x, y) lié à la plaque, sont donc projetées sur le repère global (A,X,Y) (utilisation de
LIAISON_DDL en B).
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3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 391
Nombre de mailles et types : 50 QUAD8, 100 TRIA6
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE-MODELE
`AFFE'
MODELISATION = `C_PLAN'
AFFE_CARA_ELEM
MASSIF
ANGL_REP = 0
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_CONTOUR FX,
FY
AFFE_CHAR_MECA_F LIAISON_DDL
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
MODI_REPERE
DEFI_REPERE
REPERE = `UTILISATEUR'
3.4 Valeurs
testées
Valeur Identification Référence
Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 107 5.9167
107
0.007
Uy(B) DY
(B)
2.292 107 2.2916
107
0.01
Uy(C) DY
(C)
5.028 107 5.0279
107
0.001
Uy (D)
DY (D)
7.319 107 7.3196
107
0.008
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7500.4
0.006
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2500.3
0.01
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
433.06
0.01
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4 Modélisation
B
4.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation C_PLAN. La plaque est parallèle aux axes globaux, c'est-à-dire que l'axe X global est
colinéaire à l'axe x. C'est donc l'axe d'orthotropie L qui est à orienter (à l'aide du mot-clé MASSIF de
AFFE_CARA_ELEM).
4.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 391
Nombre de mailles et types : 50 QUAD8, 100 TRIA6
4.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `C_PLAN'
AFFE_CARA_ELEM
MASSIF
ANGL_REP = 30
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_CONTOUR
FX,
FY
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
MODI_REPERE
DEFI_REPERE
REPERE = `UTILISATEUR'
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4.4 Valeurs
testées
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 107 5.9167
107
0.006
Uy(B) DY
(B)
2.292 107 2.29166
107
0.015
Uy(C) DY
(C)
5.028 107 5.0277
107
0.005
Uy (D)
DY (D)
7.319 107 7.3194
107
0.006
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7500
0.
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2500
0.
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
4330.127
0.
4.5 Remarques
Allure de la déformée : non symétrique à cause de l'orthotropie.
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5 Modélisation
C
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D. La plaque est parallèle aux axes globaux, c'est-à-dire que l'axe X global est
colinéaire à l'axe x. C'est donc l'axe d'orthotropie L qui est à orienter (à l'aide du mot-clé MASSIF de
AFFE_CARA_ELEM). Le maillage est identique à celui de la modélisation B.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 541
Nombre de mailles et types : 50 QUAD9, 100 TRIA7
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
ANGL_REP = 30
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 1
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_ARETE
FX,
FY
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
5.4 Valeurs
testées
Valeur Identification
Référence Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 107 5.9167
107
0.006
Uy(B) DY
(B)
2.292 107 2.29166
107
0.015
Uy(C) DY
(C)
5.028 107 5.0277
107
0.005
Uy (D)
DY (D)
7.319 107 7.3194
107
0.006
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7500
0.
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2500
0.
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
4330.127
0.
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6 Modélisation
D
6.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D en grands déplacements. La plaque est parallèle aux axes globaux,
c'est-à-dire que l'axe X global est colinéaire à l'axe x. C'est donc l'axe d'orthotropie L qui est à orienter
(à l'aide du mot-clé MASSIF de AFFE_CARA_ELEM). Le maillage est identique à celui de la
modélisation B.
6.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 541
Nombre de mailles et types : 50 QUAD9, 100 TRIA7
6.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
ANGL_REP = 30
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 1
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_ARETE
FX,
FY
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
STAT_NON_LINE COMP_ELAS
DEFORMATION='GRENN_GR'
6.4 Valeurs
testées
Valeur Identification
Référence Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 107 5.9167
107
0.006
Uy(B) DY
(B)
2.292 107 2.29166
107
0.015
Uy(C) DY
(C)
5.028 107 5.0277
107
0.005
Uy (D)
DY (D)
7.319 107 7.3194
107
0.006
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7499.99
0.001
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2499.93
0.003
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
4329.99
0.007
Manuel de Validation
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7
Synthèse des résultats
Les résultats des quatre modélisations sont très proches de la solution analytique : au maximum 0.015
% d'écart pour les 4 modélisations.
Ce test valide donc la prise en compte de l'élasticité orthotrope.
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