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Version
7.2

Titre :

SSNV112 - Cylindre creux en incompressible


Date :
23/09/03
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V6.04.112-A Page :
1/14

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA















Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non-linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.112





SSNV112 - Cylindre creux en incompressible
(grandes déformations)





Résumé :

Ce test permet de valider les éléments quasi-incompressibles en grandes déformations, en statique pour un
problème tridimensionnel, axisymétrique ou bidimensionnel (déformations planes). On considère un cylindre
creux soumis à un déplacement radial interne. Le matériau a un coefficient de POISSON égal à 0.4999 et on
utilise les éléments quasi-incompressibles (modélisation INCO) avec les déformations de SIMO_MIEHE.
Quatre modélisations sont effectuées pour ce problème. Les modélisations A et B permettent de tester la
modélisation quasi-incompressible 3D (3D_INCO), d'une part avec des HEXA20 (A) et d'autre part avec des
TETRA10 (B). Les modélisations C et D sont des études 2D s'appuyant sur des maillages mixtes QUAD8 et
TRIA6. La modélisation C est l'étude en déformations planes (D_PLAN_INCO), la modélisation D est une étude
axisymétrique (AXIS_INCO).
Ce test est similaire au test SSLV130, qui teste les éléments quasi-incompressibles sous l'hypothèse des
petites déformations.
Les résultats numériques sont satisfaisants pour toutes les modélisations.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
y
r
E
F

C
45°
D
P
Ur
A
B
z
x
Rayon interne
a = 0.1 m
Rayon externe
b = 0.2 m



Coordonnées des points :

A B
E
F
C
D
x 0.1 0.2 0.1*cos(45) 0.2*cos(45) 0.1*cos(22.5) 0.2*cos(22.5)
y
0 0 0.1*sin(45)
0.1*sin(45)
0.1*sin(22.5) 0.1*sin(22.5)
z
0 0
0
0
0
0


1.2
Propriétés du matériau

E = 2.105 MPa
= 0.4999


1.3
Conditions aux limites et chargements

Déplacement radial U
5 m
0
10
.
6
-
=
(expansion)
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul

Pour le problème étudié, le déplacement u est radial et donc de la forme
u =
0]

0,

[u,

.
On en déduit la forme générale du tenseur des déformations en grandes déformations :

2

1
( + u')
0
0


b =
t
FF =
u
0
1
( + )2 0

r


0
0
1


ainsi que l'expression du tenseur des contraintes, qui s'écrit simplement si on prend en compte le fait
que J = det F = 1 pour un problème incompressible :
d
= - pId + µ b , soit :

2
2
1
u 2 1

= - p +
rr
µ 1(+ u') - 1(+ ) -
3
3



r
3

1
2
2
u 2 1

= - p +

µ- 1(+ u') + 1(+ ) -
3
3



r
3


1
2
1
u 2 2
= - p + µ - 1
( + u') - 1
( + ) +
zz
3
3


r
3


=
=
= 0
r
rz
z

L'écriture des équations d'équilibre conduit à la vérification d'une seule équation :
-
' + rr
= 0
rr

r
qui permet de déterminer la pression p connaissant le champ de déplacement radial u :


u 2

1
4
2
u
u'
u (1+ u')2
( + )
r

p'= µ 1(+ u' u
) ' -
'
1+
-
+
-

3
3


2



r
r
r
r
r





2.2
Particularisation de la solution
1+ u'
0
0

u

La condition d'incompressibilité s'écrit det F = 1 avec F = 0
1+
0 . Le déplacement u

r

0
0
1
vérifie donc l'équation différentielle suivante :
ru'+u + u'u = 0








éq 2.2-1
Le chargement imposé est le suivant u = U 0 en r = a.
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La solution en déplacement est donc :


u = -r + 2
r + U (U + 2a)
r
0
0


u = u = 0

z


Le tenseur des déformations a donc pour expression :

2
r
b =
rr

2
r + U (U + 2a)
0
0


2

r + U (U + 2a)
b
=
0
0


2
r

b = 1
zz

b
= b
= b = 0
r
z
z


Et les contraintes valent :



2
2

2
r
1 r + U (U +

2a)

= - p +
0
0
1
rr
µ
-
-

3 2
r + U (U + 2a) 3
2
r
3


0
0



2
2

1
r
2 r + U (U + 2a)
0
0
1

= - p +

µ-
+
-

3 2
r + U (U + 2a)
3
2
r
3


0
0




2
2

1
r
1 r + U (U + 2a)
0
0
2
= - p +
zz
µ-
-
+

3 2
r + U (U + 2a) 3
2
r
3

0
0



=
= = 0
r
z
z


avec p obtenu par intégration de [éq 2.2-1] qui vaut :

U U
(
+ 2a

)
2
(
+ 2 )
p = µ 0
0
-
0
0
-
( ) + 1
(
+ 2 ) + 2
0
0
+

6r

2
( U U a
3U U
(
+ 2a) + r 2
0
0
) Log r Log[U U a r ] C
2



C est une constante

On obtient finalement les valeurs numériques suivantes :

en r = 0.1
u = 6. 10 5
-
en r = 0.2
= 3.00067 10 5
-
r
ur
= 59
- .9955
= 0.
rr
rr


= 99.9566


= 40.006

= 19.9326
= 20.
zz
zz
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Le passage dans le système cartésien se fait à l'aide des relations suivantes :

= cos2 +
2
xx
rr
sin - 2 sin cos
r

= sin2 +
2
yy
rr
cos + 2 sin cos
r

= sin cos -
2
2
xy
rr
sin cos - 2
r (cos - sin )


2.3
Grandeurs et résultats de référence

On compare aux valeurs de référence :

·
les déplacements (u,v) aux points A et F,
·
les contraintes (xx, yy, zz ,xy) aux points A et F,
·
les contraintes de Von Mises et Tresca ainsi que les valeurs propres du tenseur des
contraintes au point A.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Maillage avec des éléments 3D incompressibles de type HEXA20 uniquement


y
B
Face bloquée en dx
F
A
Face bloquée normalement
E
Face avec pression imposée
Face avec déplacement radial imposé
45°
x



Suivant l'axe z :
·
épaisseur totale e = 0.01
·
2 couches d'éléments

Conditions limites :

DDL_IMPO =
GROUP_NO ='FACSUP' DZ =
0.




GROUP_NO ='FACINF' DZ =
0.

faces AEFD (z=0 et z = 0.01)




GROUP_NO ='FACEAB' DX =
0.

face AB
FACE_IMPO = GROUP_MA ='FACEEF'
DNOR =
0.

face EF
GROUP_MA ='FACEAE' DNOR =
-6.10-5
face AE


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1501 noeuds
Nombre de mailles : 240 HEXA20
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3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_MODELE MODELISATION `3D_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA

PRES_REP
GROUP_MA

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION ELAS
DEFORMATION SIMO_MIEHE
NEWTON
REAC_ITER
1


3.4
Grandeurs testées et résultats

Les déplacements et les contraintes sont évalués aux points A et F. Les composantes du champ
EQUI_NOEU_SIGM sont testées au point A uniquement.

Identification Référence
Aster
% différence
A
u 0. 6.6703
10-21 -

v
6. 10­5
6.0046 10-5 ­0.077

xx
99.9566 99.3400
­0.617

yy
­59.9955 ­60.9543

1.598

zz
19.9326 19.2770
-3.289

xy
0. -1.1617
-
VMIS 138.5226 138.6161
0.067
TRESCA 159.9521 160.0601
0.068
PRIN_1 -59.9955 -60.8372
1.403
PRIN_2 19.9326 19.2770
-3.289
PRIN_3 99.9566 99.2229
-0.734
VMIS_SG
138.5226 1.8.6161 -0.067


Identification Référence
Aster
% différence
F
u
­2.1218 10­5 -2.1219
10-5
0.007

v
+2.1218 10­5 2.1219
10-5
0.007

xx
20.003 20.029
0.129

yy
20.003 19.980
-0.115

zz
20.003 20.001
-0.011

xy
20.003 20.026
0.111


3.5 Remarques

On obtient de très bons résultats puisque pour toutes les grandeurs examinées, la différence entre la
solution obtenue avec le code et la solution analytique est inférieure à 0.1% pour les déplacements et
inférieurs à 1.6 % pour les contraintes.
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4 Modélisation
B

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Maillage avec des éléments 3D incompressibles de type TETRA10 uniquement


F
Face bloquée normalement
y
D
E
C

45°
A
B
x
Face avec pression imposée
Face bloquée en dy
Face avec déplacement radial imposé Face bloquée en dy



AB est sur l'axe OX (contrairement à la modélisation A).
Le maillage a été obtenu avec GMSH pour une densité de 0,01.

Conditions limites :

DDL_IMPO =
GROUP_NO ='FACSUP' DZ =
0.
GROUP_NO
='FACINF'
DZ
=


0.


faces AEFD (z=0 et z = 0.01)
GROUP_NO
='FACEAB'

DY
=


0.


face AB
FACE_IMPO = GROUP_MA ='FACEEF' DNOR =
0.

face EF


= GROUP_MA ='FACEAE' DNOR =
-6.10-5
face AE


4.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2064
Nombre de mailles : 1121 TETRA10
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4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_MODELE MODELISATION `3D_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO

FACE_IMPO
GROUP_MA

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
DEFORMATION
SIMO_MIEHE
NEWTON
REAC_ITER
1


4.4
Grandeurs testées et résultats

On note les résultats obtenus pour les points A et F.

Identification Référence
Aster
% différence
A
u
6. 10­5 6.009
10-5 0.158

v
0. 2.65
10­23
-

xx
­59.9955 -60.90
1.512

yy
99.9566
98.63
-1.323

zz
19.9326
19.39
-2.707

xy
0. -2.765
-
VMIS 138.5226


TRESCA 159.9521


PRIN_1 -59.9955


PRIN_2 19.9326


PRIN_3 99.9566


VMIS_SG
138.5226




Identification Référence
Aster
% différence
F
u
2.1218 10­5 2.1198
10-5
­0.096

v
2.1218 10­5 2.1198
10-5
­0.096

xx
20.003
19.94
-0.302

yy
20.003 19.90
-0.496

zz
20.003 20.025
0.110

xy
­20.003 -19.90
-0.535


4.5 Remarques

Les résultats obtenus sont tout à fait corrects puisque les contraintes sont obtenues avec une
précision inférieure à 3 % voire 0.5 % au point F. L'écart est ici un peu plus important que pour les
HEXA20, mais peut s'expliquer par le fait que le chargement est imposé ici de manière un peu moins
précise puisque le déplacement u au point A, n'est défini qu'à une précision de 0.158% contre 0.077%
(soir le facteur 2, qu'on retrouve sur les contraintes).
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5 Modélisation
C

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Maillage avec des éléments 2D incompressibles de type QUAD8 et TRIA6

y
B
Face bloquée en dx
F
A
Face bloquée normalement
E
Face avec pression imposée
Face avec déplacement radial imposé
45°
x



Conditions limites :

DDL_IMPO =
GROUP_NO ='GRNM11'
DX =
0.

côté AB
FACE_IMPO = GROUP_MA ='GRMA12'
DNOR =
0.
coté
EF
= GROUP_MA ='GRMA13'
DNOR =
-6. 10-5
face AE

Nom des noeuds :

A = N2, B = N361, C = N121, D = N584, E = N155, F = N503


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 591
Nombre de mailles : 200 TRIA6, 50 QUAD8.


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_MODELE MODELISATION
`D_PLAN_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION ELAS

DEFORMATION
SIMO_MIEHE
NEWTON
REAC_ITER
1

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5.4
Grandeurs testées et résultats

On note les résultat obtenus pour les points A et F .

Identification Référence
Aster
% différence
A
u 0. -5.93
10-21
-

v
6. 10­5
6.0046 10-5
0.077

xx
99.9566 99.7104 -0.246

yy
­59.9955 -61.0467 1.752

zz
19.9326 19.5237 -2.052

xy
0. 1.9020
-
VMIS 138.5226 19.1945 0.485
TRESCA 159.9521 160.7273
0.485
PRIN_1 -59.9955 -61.0318
1.727
PRIN_2 19.9326 19.5237 -2.052
PRIN_3 99.9566 99.6955 -0.261
VMIS_SG
138.5226 139.1945
0.485


Identification Référence
Aster
% différence
F
u
­2.1218 10­5 -2.1212
10-5
-0.029

v
+2.1218 10­5 2.1212
10-5
-0.029

xx
20.003 20.0456 0.213

yy
20.003 19.9883 -0.073

zz
20.003 20.0048 0.009

xy
20.003 20.0252 0.111


5.5 Remarques

Comme pour la modélisation 3D, les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants.
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6 Modélisation
D

6.1
Caractéristiques de la modélisation

Eléments axi incompressibles (TRIA6 + QUAD8)

Axe du cylindre
Noeud bloqué en dy
y
E
F
0.01m
C
D
A
B
x
Face avec pression imposée
Face avec déplacement imposé



Conditions limites :

DDL_IMPO =
GROUP_NO ='FACSUP'
DY =
0.
y=0.1
GROUP_NO
='FACINF'




DY =
0.
y=0
FACE_IMPO = GROUP_MA ='FACEAE'
DX = 6. 10-5
face AE


6.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 175.
Nombre de mailles et types : 20 QUAD8, 40 TRIA6.


6.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_MODELE MODELISATION
`AXIS_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS


AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO

FACE_IMPO
GROUP_MA

STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
NEWTON
REAC_ITER
1

DEFORMATION
SIMO_MIEHE

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6.4
Grandeurs testées et résultats

On note les résultats obtenus pour A et F.

Identification Référence
Aster
% différence
A
u
6. 10­5
6.0000 10-5 0.00

v 0. 5.71 10­21
-

xx
­59.9955 -59.8619
-0.223

yy
19.9326 19.9708
0.192

zz
99.9566 99.9171
-0.039

xy
0. -3.03
10-7
-
VMIS 138.5226 138.3727
-0.108
TRESCA 159.9521 159.7790
-0.108
PRIN_1 -59.9955 -59.8619
-0.223
PRIN_2 19.9326 19.9708
0.192
PRIN_3 99.9566 99.9171
-0.0039
VMIS_SG
138.5226 138.3727
-0.108


Identification Référence
Aster
% différence
F
u
3.0007 10­5 3.0011
10-5
0.038

v
0. 4.90
10-22
­

xx
0. 2.59
10-2
-

yy
20. 19.9975 -0.013

zz
40.006 39.9965
-0.024

xy
0. -4.87
10-3
-


6.5 Remarques

La précision obtenue est très bonne puisque toutes les contraintes sont obtenues avec une précision
inférieure à 0.5%.
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non-linéaire des structures volumiques
HT-66/03/008/A

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Version
7.2

Titre :

SSNV112 - Cylindre creux en incompressible


Date :
23/09/03
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V6.04.112-A Page :
14/14


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Synthèse des résultats

Avec un coefficient de Poisson très proche de 0.5, on retrouve les résultats de la solution
analytique incompressible en grandes déformations, avec une précision tout à fait correcte.

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Fascicule V6.04 : Statique non-linéaire des structures volumiques
HT-66/03/008/A

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