Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDNL100 Pendule simple en grande oscillation
Date :
01/12/98
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MASSIN
Clé :
V5.02.100-B Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V5.02 : Dynamique non linéaire des structures linéiques
Document : V5.02.100
SDNL100 - Pendule simple en grande oscillation
Résumé :
L'objet de ce test est de calculer le mouvement d'une barre pesante articulée à un point fixe par l'une de ses
extrémités, libre ailleurs et oscillant avec grande amplitude dans un plan vertical.
Intérêt : tester l'élément de câble à deux noeuds - qui est en fait un élément de barre - en dynamique et son
fonctionnement dans l'opérateur DYNA_NON_LINE [U4.32.02].
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Fascicule V5.02 : Dynamique non linéaire des structures linéiques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
x
P
O
·
·
G
1
()
Un pendule OP rigide de longueur 1 et de centre de gravité G oscille autour du point O.
La position angulaire du pendule est repérée par : = -
1.2
Propriétés de matériaux
Masse linéique du pendule : 1. kg/m
Rigidité axiale (produit du module d'Young par l'aire de la section droite) : 1.108 N
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le pendule est articulé au point fixe O. Sous l'action de la pesanteur, son extrémité P oscille sur le
demi-cercle () de centre O et de rayon 1. Il n'y a pas de frottement.
1.4 Conditions
initiales
Le pendule est lâché sans vitesse de la position horizontale OP.
= +
= 0
2
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La période T d'un pendule mobile sans frottement autour du point fixe O, dont la masse est
concentrée au centre de gravité G (OG = l) et dont l'amplitude angulaire maximale est 0 est donnée
par la série [bib1] :
2n
l
T = 2
1+
2
a
0
sin
g
n
2
n=1
avec
2 n - 1
a =
n
2 n
2.2
Résultats de référence
Pour l = 0.5 m, g = 9.81 m/s2 et 0 = /2, on trouve : T = 1.6744 s
2.3
Incertitude sur la solution
On a sommé les termes de la série jusqu'à n = 12 inclusivement, le dernier terme pris en compte étant
inférieur à 10-5 fois la somme calculée.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
J. HAAG, "Les mouvements vibratoires", P.U.F. (1952).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le pendule est modélisé par un élément de câble à 2 noeuds, identique à un élément de barre de
section constante.
Discrétisations :
· spatiale : un élément de câble MECABL2
· temporelle : analyse du mouvement sur une période complète T par pas de temps égaux à
T/40.
3.2 Fonctionnalités
testées
Commande
DYNA_NON_LINE pour les grands déplacements.
3.3
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
2
Nombre de mailles et types :
1 maille SEG2
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Instant
Grandeur
Référence
Aster
% différence
Tolérance
T/4 0.4186
DXp
1.
0.97518
2.48
rel 2.5
DZ
1.
0.99969
0.03
rel 0.05
p
T/2 0.8372
DXp
2.
2.00000
0.0
rel 0.01
DZ
0.
6.29E4
-
abs 0.0007
p
3T/4 1.2558
DXp
1.
1.07453
7.45
rel 7.5
DZ
1.
0.99722
0.28
rel 0.3
p
T 1.6744
DXp
0.
6.50E7
-
abs 1.E-6
DZ
0.
1.40E3
-
abs 1.5E-3
p
4.2 Remarques
· L'intégration temporelle se fait par la méthode de NEWMARK (règle du trapèze),
· A chaque pas de temps, la convergence est atteinte en moins de 8 itérations.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.06.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
55.6 secondes
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Synthèse des résultats
On voit sur ce cas-test que l'intégration temporelle par la "règle du trapèze" de Newmark ne modifie
que très légèrement la fréquence et n'apporte pas d'amortissement parasite, puisqu'au bout d'une
période on revient à très peu près à la position initiale.
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