Code_Aster ®
Version
8.1

Titre :

SHLS200 - Modèle probabiliste non paramétrique en harmonique
Date :
04/05/06
Auteur(s) :
S. CAMBIER, A. BATOU Clé
:
V2.06.200-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA















Manuel de Validation
Fascicule V2.06: Réponse harmonique d'un système linéique
Document : V2.06.200





SHLS200 - Modèle probabiliste non paramétrique :
Réponse harmonique d'une plaque sous-structurée





Résumé :

Ce cas-test traite de la prise en compte d'incertitudes aléatoires pour le calcul d'une réponse harmonique par
sous-structuration de type Craig Bampton. Nous reprenons ici un exemple de la littérature constitué d'une
plaque appuyé à ses extrémités.
Est testée la fonctionnalité de l'opérateur GENE_MATR_ALEA consistant à prendre pour concept entrant un
concept macr_elem_dyna d'une sous-structure donnée et à produire un macr_elem_dyna aléatoire (masse,
raideur et amortissement). Les concepts macr_elem_dyna aléatoires produits permettent ensuite de calculer
par exemple le domaine de confiance de la réponse harmonique de la plaque.


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Fascicule V2.06 : Réponse harmonique d'un système linéique
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie



Ressorts



charge


1
2


0.5m
z
y


Masses ponctuelles
x


0.6m
0.4m



Le modèle est une plaque mince d'épaisseur 0.4 10-3 m rectangulaire séparée en deux sous-structures
comprenant chacune une masse concentrée.

1.2
Propriétés de matériaux

Le matériaux est homogène et isotrope.

Densité massique : 7800 kg/m3,
11
Module d'Young : 2.1 10 N/m2

Raideur concentrée : 2.388 107 N/m,
Coordonnées des raideurs concentres : (0.28, 0.22),(0.54, 0.33) et (0.83, 0.44),

Masse concentrée : 3 kg pour la sous-structure 1 et 4 kg pour la sous-structure 2,
Coordonnées des masses concentres : (0.4, 0.2) et (0.75, 0.35).

Amortissement
La matrice d'amortissement [D] est définie comme étant une combinaison linéaire des matrices
moyennes de masse [M] et de raideur [K] :
2maxmin
2
[D]=a [M] + b [K] avec a =
et
b =
,
max + min
max + min

où =0.04, min=5.2 rad/s et max=212.8 rad/s.

1.3
Conditions aux limites et chargements

La plaque en flexion est en appui simple sur ses quatre bords.

La sous-structure 1 est soumise à un effort extérieur au point (0.24, 0.24) égale à 1N sur la bande
d'analyse [0, 2 .100] rad/s suivant la direction z et nulle sur les autres DDLs et pour les autres
fréquences.

1.4 Conditions
initiales

Le système dynamique est initialement au repos.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La méthode utilisée est la méthode publiée notamment dans [bib1] (cf. [§2.3]). Les incertitudes
aléatoires du système dynamique sont modélisées en utilisant le modèle probabiliste dit non
paramétrique des incertitudes dû à Soize (cf. [bib1]). Les statistiques sur la réponse harmonique du
système dynamique linéaire sont obtenues par la méthode de Monte-Carlo. La procédure est identique
à celle présentée au [§ 3.3], mais développée sous Matlab.
Dans l'article de référence, 500 tirages sont effectués et les enveloppes inférieure et supérieures de
ces 500 tirages sont présentées.


2.2
Résultats de référence

Les ddls d'observation correspondent à la direction DZ du noeud de coordonnées (0.39, 0.31) pour la
première sous-structure et du noeud de coordonnées (0.79, 0.24) pour la seconde sous-structure.
Les résultats de référence sont donnés sous forme des graphes ci-dessous tirés de [bib1].

Noeud (0.39, 0.31), DZ
Noeud (0.79, 0.24), DZ






Domaines inter-quantiles (traits maigres) des déplacements aux ddls d'observation
Résultats de référence
(les traits gras en sont des approximations, non utilisés ici pour la comparaison)


2.3 Référence
bibliographique

[1]
C. SOIZE and H. CHEBLI : "Random Uncertainties Model in Dynamic Substructuring Using a
Nonparametric Probabilistic Model, ASCE Journal of Engineering Mechanics,
0733-9399(2003)129:4(449).
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation : DKT

Le modèle moyen aux éléments finis de la plaque est constitué d'un maillage rectangulaire régulier
dont le pas est constant et vaut 0.01m dans les directions X1 et X2. Par conséquent, tous les éléments
finis sont identiques et chacun est un élément plaque à 4 noeuds.

Modélisation : DIS_T

Les masses concentrées et la raideur concentrée sont modélisées par des éléments DIST_T.


3.2
Caractéristiques du maillage

Le modèle éléments finis moyen comporte 14849 degrés de liberté actifs, dont 8840 pour la
sous-structure, 1, 5860 pour la sous-structure 2 et 149 pour l'interface.

Nombre de degrés de liberté : 8840+5860+149
Nombre d'éléments finis : 6000 QUA4 et3 DIS_T


3.3
Méthode de calcul

Modèle réduit

Comme pour la référence, nous prenons pour chaque sous-structure 20 modes afin d'avoir une bonne
convergence de la réponse calculée vis-à-vis du nombre de modes.

Réalisations des matrices aléatoires du modèle probabiliste non paramétrique par sous
structure


Pour chaque sous structures, les matrices réduites de masses, de raideurs et de dissipation du
modèle moyens sont remplacées par des réalisations des matrices aléatoires de masse, de raideurs et
de dissipation suivant le modèle probabiliste non paramétrique. Pour cela, nous utilisons le générateur
de matrices aléatoires GENE_MATR_ALEA qui génère un concept macr_elem_dyna à partir d'un
macr_elem_dyna moyen.

On peut ainsi attribuer à chaque sous-structure un niveau d'incertitude en fixant les paramètres de
dispersion pour chaque sous-structure. Nous les avons fixés à 0.1 pour chacune des matrices de
masses, de raideurs et d'amortissement généralisé et pour chaque sous-structure.

Résolution du système dynamique linéaire probabiliste.

L'opérateur DYNA_LINE_HARM est utilisé pour construire la réponse harmonique de la plaque pour
chaque réalisation des matrices aléatoire de masse, de raideur et de dissipation.

L'intervalle fréquentiel de l'étude est B=[0,100] Hz, avec un pas de 0.5 Hz.

Construction des estimations statistiques.

Après chaque appel à DYNA_LINE_HARM, nous disposons d'une réalisation du champs de
déplacement. A chaque tirage (itération de Monte Carlo) nous construisons les estimations statistiques
à l'aide uniquement de l'opérateur CALC_FONCTION et des mots clé ENVELOPPE, PUISSANCE et
COMB.
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3.4 Fonctionnalités
testées

Commandes



GENE_MATR_ALEA




La fonctionnalité testée de GENE_MATR_ALEA est la possibilité de produire un concept de type
macr_elem_dyna à partir d'un autre concept de type macr_elem_dyna.



3.5
Grandeurs testées et résultats

La validité initiale du cas test a été établie par comparaison graphique à la référence bibliographique
donnée en [§2.2]. Les réponses sont calculées en 1 point pour chaque sous-structure ; ces points ont
pour coordonnées : (0.39, 0.31) et (0.79, 0.24).

Comme pour la référence, les enveloppes inférieure et supérieure de 500 tirages sont calculées. Pour
chaque fréquence, le domaine inter-quantile correspondant correspond, par exemple avec un niveau de
confiance de 0.95, à une probabilité de 0.994 pour la valeur maximale et 0.006 pour la valeur
minimale.

Les résultats obtenu avec Code_Aster sont représentés sur les courbes ci-dessous :

Noeud (0.39, 0.31), DZ
Noeud (0.79, 0.24), DZ


Traits gras : domaines inter-quantiles des déplacements aux ddls d'observation
(traits maigres : moyennes)
Résultats Code_Aster
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On teste les valeurs suivantes en non régression (cf. commentaires) :

Statistiques sur les valeurs en déplacement à 30Hz au ddl d'observation de la première sous-structure
Paramètres Références Aster %
Différence
Enveloppe supérieure
6.7338296870618D-05
6.7338296870618D-05
0
Enveloppe inférieure
5.1116761251425D-05
5.1116761251425D-05
0
Estimation de la moyenne
6.0802671417375D-05
6.0802671417375D-05
0
Estimation du moment
3.7457833680156D-09 3.7457833680156D-09
0
d'ordre 2


Statistiques sur les valeurs en déplacement à 30Hz au ddl d'observation de la deuxième sous-structure
Paramètres Références Aster %
Différence
Enveloppe supérieure
4.3459496115461D-04
4.3459496115461D-04
0
Enveloppe inférieure
2.8511128677169D-04
2.8511128677169D-04
0
Estimation de la moyenne
3.5186242151806D-04
3.5186242151806D-04
0
Estimation du moment
1.2765909447885D-07 1.2765909447885D-07
0
d'ordre 2


3.6 Commentaires

Les différentes estimations statistiques ne sont ici pas convergées. Seules 3 simulations de
Monte-Carlo ont été faites pour réduire drastiquement le temps CPU du cas test. Les convergences
ayant été validées sur l'étude complète (après convergence, les estimations statistiques calculées à
partir de Code_Aster correspondent aux résultats donnés par l'article en référence, cf. graphes), le cas
test se contente de la non régression.





4
Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont tout à fait conformes à ceux de la référence bibliographique [§2.2] obtenus
entièrement dans Matlab.

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