Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL100 Réponse dynamique transitoire d'une poutre
Date :
01/12/98
Auteur(s) :
A.C. LEGER
Clé :
V2.02.100-D Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/EP/AMV
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document: V2.02.100

SDLL100 - Réponse dynamique transitoire
d'une poutre en traction simple

Résumé :
Ce problème-test correspond à une analyse transitoire directe d'un système linéaire amorti ou non, constitué
d'une poutre en traction simple, soumis à un chargement de type Heaviside appliqué à partir de l'instant initial.
Le problème discrétisé avec 1 unique élément de poutre possède une solution de référence analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y, v
A
B
F(t) = (t) . Fx
x, u

1
R
x
t
R = 0.05 m I = 1. m
y
N01
N02
x
1.2
Propriétés de matériaux
E = 98 696.044 MPa
= 0.
= 3. 106 kg/m3
Sans amortissement
: C = 0. ou avec amortissement proportionnel de Rayleigh
:
C = K + µ M
-4
, = 5.10 , µ = 5.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Force appliquée au noeud N02 en B : Fx = 1. 106 N
Fonction (t) évolution du chargement : (t) = 1., t 0.
1.4 Conditions
initiales
Déplacement initial nul.
Vitesse initiale nulle.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
· Sans amortissement : la solution analytique du problème à 1 élément est :
F
x
x
=
1 - cos
B (t )
2 (
( t
0
)
m 0

1
3 E
2

2
m
=
S
I , 0 =
, T
=
o
3
I 2
0
S est l'aire de la section ( R2 ).
· Avec amortissement : la solution analytique du problème à 1 élément est :
F

µ + 2
2
0
µ +

x (t)
x
=
1- exp-
t
0 sin
cos
2



( t1)+ ( t
B
1
)
m
2
2
0


1




, µ coefficient de l'amortissement proportionnel C = µ M + K

( - µ)2 2 2 4
4
2
-
-
0
µ


0
=
1
2
2.2
Résultats de référence
Déplacement xB à t = i T0 i = 1, ..., 10.

10
avec :
T
= 2
0


0
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
Remarque :
La solution de référence correspond à la solution obtenue avec la discrétisation à un élément
et en gardant une matrice masse pleine. Cela permet de valider l'algorithme mais ce n'est pas
la solution du problème physique.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
POU_D_T
y
N01
N02
x
Découpage :
N01
N02
1 maille SEG2
Conditions limites : DDL_IMPO au noeud N01 :
DX:0., DY:0., DZ:0., DRX:0, DRY:0, DRZ:0
Pas de temps :
10­5 s.
Intégration NEWMARK
= 0.25, = 0.5
Intégration WILSON
= 1.4
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et types : 1 maille SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
COMB_MATR_ASSE
[U4.53.01]
DYNA_LINE_TRAN
NEWMARK
[U4.54.01]
WILSON
MATR_AMOR
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Sans amortissement :
Instant en sec.
Référence
Aster
% diff.
Aster WILSON
% diff.
NEWMARK
2.E­3
2.4638E­04
2.4519E­04
0.5
2.4424E­04
0.86
4.E­3
8.9141E­04
8.8948E­04
1.93
8.8794E­04
0.38
6.E­3
1.6887E­03
1.6868E­03
0.11
1.6852E­03
0.20
8.E­3
2.3337E­03
2.3325E­03
0.05
2.3316E­03
0.09
1.E­2
2.5801E­03
2.5801E­03
0.03
2.5801E­03
0
1.2E­2
2.3337E­03
2.3349E­03
0.05
2.3359E­03
0.09
1.4E­2
1.6887E­3
1.6906E­03
0.43
1.6922E­03
0.21
1.6E­2
8.9141E­04
8.9334E­04
0.21
8.9489E­04
0.4
1.8E­2
2.4638E­04
2.4758E­04
0.48
2.4854E­04
0.87
2.E­2
0.0000
3.1989E­09
-
9.3188E­09
-
Avec amortissement :
Instant en sec.
Référence
Aster
% diff.
Aster WILSON
% diff.
NEWMARK
2.E­3
2.3775E­04
2.3662E0­4
0.47
2.3572E­04
0.85
4.E­3
8.3189E­04
8.3015E­04
0.21
8.2877E­04
0.37
6.E­3
1.5307E­03
1.5290E­03
0.11
1.5277E­03
0.2
8.E­3
2.0704E­03
2.0694E­03
0.04
2.0686E­03
0.09
1.E­2
2.2721E­03
2.2721E­03
0.
2.2720E­03
0.004
1.2E­2
2.0976E­03
2.0984E­03
0.04
2.0991E­03
0.07
1.4E­2
1.6488E­03
1.6501E­03
0.08
1.6511E­03
0.14
1.6E­2
1.1164E­03
1.1176E­03
0.11
1.1186E­03
0.2
1.8E­2
7.0165E­04
7.0241E­04
0.11
7.0302E­04
0.19
2.E­2
5.4263E­04
5.4266E­04
0.005
5.4269E­04
0.01
4.2 Remarques
Après les deux premiers pas de temps, la solution avec amortissement est obtenue avec une erreur
inférieure à 0.2%.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.19
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
150 secondes
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Synthèse des résultats
Les deux algorithmes donnent une solution avec une erreur inférieure à 0.2% de la solution de
référence après les deux premiers pas de temps.
Ce problème nécessite un pas de temps d'intégration de 10­5 s.
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