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7.0
Titre :
SDLD21 - Système masse-ressort à 8 ddl avec amortisseur visqueux
Date :
23/06/03
Auteur(s) :
O. NICOLAS
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.021
SDLD21 - Système masse-ressort à 8 ddl
avec amortisseur visqueux
Résumé :
Ce problème unidirectionnel consiste à effectuer une analyse harmonique d'une structure mécanique
composée d'un ensemble de masses-ressorts avec amortisseurs visqueux et soumise à une excitation
sinusoïdale. Ce test de mécanique des structures correspond à une analyse dynamique d'un modèle discret
ayant un comportement linéaire. Il comprend trois modélisations.
Par l'intermédiaire de ce problème, on teste les éléments discrets en translation (masse, ressort, amortisseur),
la définition d'une force d'excitation ponctuelle harmonique, l'opérateur de calcul modale (MODE_ITER_SIMULT
[U4.52.03]) en quadratique et l'opérateur de calcul de réponse harmonique (DYNA_LINE_HARM [U4.54.02]).
Par ailleurs, on teste plusieurs opérateurs de post-traitement : RECU_FONCTION [U4.62.03], TEST_FONCTION
[U4.72.02], RECU_CHAMP [U4.62.01].
Les résultats obtenus (champ de déplacement, vitesse et accélération pour différentes fréquences d'excitation)
sont en bon accord avec les résultats du guide VPCS.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
U1
U2
U3
U8
k
k
k
k
A
m
m
m
m
B
x,u
P1
P2
P3
P8
c
c
c
c
Masses ponctuelles :
mP = m = m = ...... = m = m
1
P2
P3
P8
Raideurs de liaison :
kAP1 = kP1P2 = kP2P3 = ...... = kP8B = k
Amortissement visqueux :
cAP1 = cP1P2 = cP2P3 = ...... = cP8B = c
1.2
Propriétés de matériaux
Ressort de translation élastique linéaire
k =
105 N/m
Masse ponctuelle
m =
10 Kg
Amortissement visqueux unidirectionnel
c =
50 N/(m/s)
1.3
Conditions aux limites et chargements
Conditions aux limites :
Points A et B : encastrés (u = 0).
Chargement : Force concentrée sinusoïdale de fréquence variable au point P4
Point P
=
4
Fx
F
4
0 sin t
= 2 f 5 Hz f 40 Hz
F0 = constante = 1 N
Autres points P
F = 0
i
xi
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour l'étude du régime harmonique permanent.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Le système d'équations différentielles du second ordre couplées est de la forme :
M u&+ C u& + K u = F
2 - 1
10
- 1 2
- 1
10
-
avec M
1
2
.
=
.
C = 50
.
.
.
10
10
.
.
- 1
- 1 2
2 - 1
- 1 2
- 1
5
-
+
1
2
.
K = 10
.
.
.
.
.
- 1
- 1 2
La solution à une excitation harmonique F = F0 e j t j2 = -1
(
) est de la forme u =u0 ejt, ce
qui conduit à : K - M 2 + j C
(
)u0 =F0
Ce système peut être résolu pour tout , soit directement, soit en utilisant la transformation modale à
partir des modes propres réels obtenus par le système conservatif associé K - M 2
(
) =0.
Il admet n solutions propres (8 dans ce cas) 2i et vecteurs associés i regroupés dans la
2
matrice spectrale =
[ ]
[ ]
i et la matrice modale = i .
La transformation modale consiste à écrire : u0 = q ce qui conduit à :
[ -2 I+ j ]q = t F0
I est l'identité,
ici est diagonale =
[ ]
(
)
ii car l'amortissement est proportionnel C = K .
n
t
La réponse s'écrit : u
i
i
0 =
F
2
0
i=1 i - 2 + j ii
On obtient la solution exacte en prenant tous les modes propres.
On en déduit : &u = j u
et
&u
2
= - u
0
0
0
0
2.2
Résultats de référence
Déplacement selon x du point P4 pour certaines fréquences.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution semi-analytique.
2.4 Référence
bibliographique
[1]
J. PIRANDA : Notice d'utilisation du logiciel d'analyse modale MODAN - Version 0.2 (1990).
Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche Comté - Besançon (France).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Elément discret de rigidité en translation
y
A
P
P
B
x
1
2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N
et matrices de rigidité
K_T_D_L
et matrices d'amortissement
A_T_D_L
Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
aux noeuds extrémités
( GROUP_NO: AB DX: 0. )
Noms des noeuds :
Point A = N1
P1 = N2
Point B = N10
P2 = N3
.............
P8 = N9
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'
GROUP_MA
`A_T_D_L'
GROUP_MA
`M_T_D_N'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'
GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
FORCE_NODALE
NOEUD
DYNA_LINE_HARM MATR_AMOR
DEFI_LIST_REEL DEBUT
INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ
TEST_FONCTION
TEST_RESU
IMPR_RESU
LIRE_RESU
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3.4
Résultats de la modélisation A
Parties réelle et imaginaire de la composante DX du déplacement du point P4.
Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
1.0237 E4
1.02369 E4
0.0004
8.5187 E6
8.51874 E6
5.50
4.5066 E4
4.50662 E4
0.0004
7.7914 E4
7.79143 E4
6.00
9.4101 E5
9.41096 E5
0.0002
1.0585 E5
1.05851 E5
10.00
8.4143 E7
8.41427 E7
0.0024
1.0335 E6
1.03346 E6
15.00
1.2656 E5
1.26556 E5
0.0032
5.6652 E6
5.66517 E6
20.00
2.9784 E6
2.97844 E6
0.0003
6.6970 E6
6.69700 E6
25.00
1.2536 E6
1.25362 E6
0.0008
5.2703 E6
5.27033 E6
30.00
2.0904 E6
2.09042 E6
0.0009
5.4821 E6
5.48215 E6
35.00
4.5447 E6
4.54473 E6
0.0011
1.1190 E6
1.11903 E6
39.50
2.6895 E6
2.68949 E6
0.0003
3.0505 E7
3.05048 E7
Parties réelle et imaginaire de la composante DX de la vitesse du point P4.
Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
2.6762 E4
2.6762 E4
0.000
3.2160 E3
3.21603 E3
5.50
2.6925 E2
2.69252 E2
0.001
1.5574 E2
1.55737 E2
6.00
3.9904 E4
3.99052 E4
0.000
3.5475 E3
3.54752 E3
10.00
6.4937 E5
6.49347 E5
0.002
5.2869 E5
5.28685 E5
15.00
5.3393 E4
5.33929 E4
0.003
1.1928 E3
1.19276 E3
20.00
8.4157 E4
8.41570 E4
0.001
3.7428 E4
3.74282 E4
25.00
8.2786 E4
8.27862 E4
0.001
1.9691 E4
1.96919 E4
30.00
1.0333 E3
1.03334 E3
0.001
3.9403 E4
3.94035 E4
35.00
2.4608 E4
2.46089 E4
0.001
9.9943 E4
9.99439 E4
39.50
7.5709 E5
7.57086 E5
0.000
6.6749 E4
6.67494 E4
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Parties réelle et imaginaire de la composante DX de l'accélération du point P4.
Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
1.0103 E1
1.01035 E1
0.000
8.4076 E3
8.40766 E3
5.50
5.3819 E1
5.38190 E1
0.000
9.3047 E1
9.30470 E1
6.00
1.3374 E1
1.33738 E1
0.000
1.5044 E2
1.50439 E2
10.00
3.3218 E3
3.32182 E3
0.002
4.0801 E3
4.07996 E3
15.00
1.1242 E1
1.12415 E1
0.003
5.0322 E2
5.03217 E2
20.00
4.7033 E2
4.70337 E2
0.001
1.0575 E1
1.05755 E1
25.00
3.0931 E2
3.09320 E2
0.001
1.3004 E1
1.30040 E1
30.00
7.4273 E2
7.42739 E2
0.001
1.9478 E1
1.94780 E1
35.00
2.1979 E1
2.19788 E1
0.001
5.4116 E2
5.41178 E2
39.50
1.6566 E1
1.65662 E1
0.000
1.8789 E2
1.87898 E2
3.5 Remarques
Contenu du fichier résultats :
Les valeurs du déplacement de la composante DX du point P4 pour toutes les fréquences de 5 à 40 Hz
par pas de 0.5 (Cas test initial de VPCS).
Les valeurs de la vitesse et de l'accélération de la composante DX du point P4 pour quelques
fréquences de vibration.
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4 Modélisation
B
4.1
Caractéristiques de la modélisation
Elément discret de rigidité en translation
y
A
P
P
B
x
1
2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N
et matrices de rigidité
K_T_D_L
et matrices d'amortissement
A_T_D_L
Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
aux noeuds extrémités
( GROUP_NO: AB DX: 0. )
Noms des noeuds :
Point A = N1
P1 = N2
Point B = N10
P2 = N3
.............
P8 = N9
4.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2
4.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'
GROUP_MA
`A_T_D_L'
GROUP_MA
`M_T_D_N'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'
GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
FORCE_NODALE
NOEUD
MODE_ITER_SIMULT
MACRO_PROJ_BASE
DYNA_LINE_HARM MATR_AMOR
REST_BASE_PHY
DEFI_LIST_REEL DEBUT
INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ
TEST_FONCTION
TEST_RESU
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4.4
Résultats de la modélisation B
Parties réelle et imaginaire de la composante DX du déplacement du point P4.
Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
1.0237 E4
1.02369 E4
0.0004
8.5187 E6
8.51874 E6
5.50
4.5066 E4
4.50662 E4
0.0004
7.7914 E4
7.79143 E4
6.00
9.4101 E5
9.41096 E5
0.0002
1.0585 E5
1.05851 E5
10.00
8.4143 E7
8.41427 E7
0.0024
1.0335 E6
1.03346 E6
15.00
1.2656 E5
1.26556 E5
0.0032
5.6652 E6
5.66517 E6
20.00
2.9784 E6
2.97844 E6
0.0003
6.6970 E6
6.69700 E6
25.00
1.2536 E6
1.25362 E6
0.0008
5.2703 E6
5.27033 E6
30.00
2.0904 E6
2.09042 E6
0.0009
5.4821 E6
5.48215 E6
35.00
4.5447 E6
4.54473 E6
0.0011
1.1190 E6
1.11903 E6
39.50
2.6895 E6
2.68949 E6
0.0003
3.0505 E7
3.05048 E7
4.5 Remarques
Contenu du fichier résultats :
Les valeurs du déplacement de la composante DX du point P4 pour toutes les fréquences de 5 à 40 Hz
par pas de 0.5 (Cas test initial de VPCS).
Les valeurs de la vitesse et de l'accélération de la composante DX du point P4 pour quelques
fréquences de vibration.
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5 Modélisation
C
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Elément discret de rigidité en translation
y
A
P
P
B
x
1
2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N
et matrices de rigidité
K_T_D_L
et matrices d'amortissement
A_T_D_L
Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
aux noeuds extrémités
( GROUP_NO: AB DX: 0. )
Noms des noeuds :
Point A = N1
P1 = N2
Point B = N10
P2 = N3
.............
P8 = N9
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'
GROUP_MA
`A_T_D_L'
GROUP_MA
`M_T_D_N'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'
GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
FORCE_NODALE
NOEUD
MODE_ITER_SIMULT MATR_AMOR
DYNA_LINE_HARM AMOR_REDUIT
DEFI_LIST_REEL DEBUT
INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ
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5.4
Résultats de la modélisation C
Fréquences propres de la structure pour les numéros d'ordre de 1 à 5.
Numéro d'ordre
Référence
Aster %
Différence
1
5.5271 5.5271848238694
0.002
2
10.8868 1.088524727521
0.014
3
15.9155 1.5910519939851
0.031
4
20.4606 20.449995091940
0.052
5
24.384 24.366059022201
0.074
Amortissement réduis de la structure pour les numéros d'ordre de 1 à 5.
Numéro d'ordre
Référence
Aster %
Différence
1
0.00868241 8.6824088833463D-03
1.29E-05
2
0.017101 1.7101007166284D-02
4.19E-05
3
0.025 2.5000000000002D-02
9.19E-12
4
0.0321394 3.2139380484326D-02
6.07E-05
5
0.0383022 3.8302222155950D-02
5.78E-05
6
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont excellents, ce qui est normal pour une intégration directe.
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