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Titre :
SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
Date :
19/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN, DeltaCAD
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document : V6.02.501
SSNL501 - Poutre encastrée aux deux extrémités
soumise à une pression uniforme
Résumé :
Ce test représente un calcul quasi-statique d'une poutre encastrée soumise à une pression uniforme,
constituée d'un matériau élastique parfaitement plastique. Ce test permet de valider les modélisations éléments
finis suivantes :
·
COQUE_C_PLAN (SEG3),
·
DKT (TRIA3 et QUAD4),
·
COQUE_3D (TRIA7 et QUAD9),
·
POU_D_T (SEG2).
La pression limite est comparée à une solution de référence analytique.
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SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
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19/10/01
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
z
p
B
F
,y
C
,z
h
b
x
L = 1.5 m
A
E
D
b = 0.15m
,x
L
h = 0.025 m
1.2
Propriétés du matériau
Les propriétés du matériau constituant la poutre sont :
E = 2. 1011 Pa
Module d'Young
= 0.3
Coefficient de poisson
Le matériau suit une loi de comportement élastique parfaitement plastique :
= 2.35 108 Pa
Limite élastique
e
= 1.175 10-3
Déformation élastique limite
e
1.3
Conditions aux limites et chargements
-
C.L. : Cotés AB et CD encastrés
-
Déplacement imposé suivant Z en E (x=L/2) :
q L4
DZ
e
=
e = 6.60910-3 m ( DZ
)
e
384EI
DZ(E) varie de 0 à 30 DZe
1.4 Conditions
initiales
Sans objet
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
q = p b
E
A
D
L
(a)
q
E
A
D
M
A
E
M
p
p
L/2
(b)
(c)
La ruine de la poutre apparaît lorsqu'il y a des rotules plastiques aux points A, D et E (figure b).
L'équilibre statique de la moitié gauche de la poutre, permet de déterminer la pression limite (figure c)
L L
16M
M = 2 M - q ( )( ) = 0
p
=> q =
A
p
L
2 4
L
L2
où :
qL représente la pression limite
bh2
M
=
p
représente le moment plastique ( M p
e
4 )
L'apparition du premier point plastique sur la fibre extérieure de la poutre a lieu aux points A et D, les
bh2
autres fibres étant en régime élastique. La pression limite élastique est de q = 2
e
e
.
L2
2.2
Résultats de référence
Pression limite qL= 39 166.67 N/m
2.3
Incertitudes sur la solution
Solution analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
WILLIAM A. NASH : Theory and problems of Strength of material, Schaum's outline series,
2/ed, McGRAW-HILL
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
E
y
Modélisation COQUE_C_PLAN
Point A (2.1 ; 0.7) (noeud n1)
78.5°
A
Conditions aux limites : Point A : u = v = z= 0
Conditions de symétrie : Point E : z= 0
z
x
la poutre étant inclinée à 78.5°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DXe=6.609 10-3 m . sin(78.5°)
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 21
Nombre de mailles et type : 10 SEG3
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='COQUE_C_PLAN'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS =0.833333
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
PILOTAGE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
DX (E) DX Identification Instants Référence
Aster %
différence
e
10
ETA_PILOTAGE
10 1.0 1.0699
6.9
12
ETA_PILOTAGE
12 1.0 1.0699
6.9
4.2 Remarques
La largeur pour la modélisation COQUE_C_PLAN est imposée à 1 dans le Code_Aster. En
conséquence, nous avons multiplié par 1/b le chargement pour tenir compte de la largeur réelle de la
poutre.
Dans cette analyse on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
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4.3
Influence du raffinement du maillage
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA SOLUTION COQUE1D
COMPARAISON AVEC
1.0
LA SOLUTION POUTRE
0.8
AGE
0.6
OT
I
L
P
_
A
T
COQUE1D mail 20
E
COQUE1D mail 10
POUTRE mail 20
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10x10-2
déplacement (m)
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 20 éléments, on observe une
amélioration des résultats COQUE_C_PLAN lorsque l'on raffine le maillage.
4.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 16.26 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
z
zl
Modélisation DKT (TRIA3)
yl
F
OE = OA = L / 2 2
xl
AB // EF // axe Z
O
Conditions aux limites (repère gobal)
y
E
- côté AB: u = v =w =
B
x= y= z= 0
Conditions de symétrie
- côté EF: u = 0 (repère local x1 y1 z1)
- côté EF:
x
z= 0 (repère global)
A
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DXe=6.609 10-3 m . sin(45°)
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 43
Nombre de mailles et type : 20 TRIA3
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='DKT'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
PILOTAGE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
DX (E) DX Identification Instants Référence
Aster %
différence
e
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.11133 11.11
25
ETA_PILOTAGE
15 1.0
1.142 11.42
6.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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6.3
Influence du raffinement du maillage
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
1.2
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
DKT TRIA3
COMPARAISON AVEC
1.0
LA SOLUTION POUTRE
0.8
AGE
OT
I
L
P
0.6
_
A
T
DKT 10
E
DKT 20
DKT 50
DKT 100
POU_D_T 50
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
déplacement (m)
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats DKT TRIA3 lorsque l'on raffine le maillage.
6.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 20.48 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
z
Modélisation DKT (QUAD4)
zl
yl
OE = OA = L / 2 2
F
AB // EF // axe Z
xl
Conditions aux limites (repère gobal)
O
- côté AB: u = v =w =
y
x= y= z= 0
E
B
Conditions de symétrie
- côté EF: u = 0 (repère local x1 y1 z1)
- côté EF: z= 0 (repère global)
x
A
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DXe=6.609 10-3 m . sin(45°)
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 43
Nombre de mailles et type : 10 QUAD4
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='DKT'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
PILOTAGE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
DX (E) DX Identification Instants Référence
Aster %
différence
e
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.0837 8.37
25
ETA_PILOTAGE
25 1.0 1.0998 9.98
8.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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8.3
Influence du raffinement du maillage
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
1.2
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
DKT (QUAD4)
COMPARAISON AVEC
1.0
LA SOLUTION POUTRE
0.8
AGE
OT
I
L
P
0.6
_
A
T
DKT 10 QUAD4
E
DKT 20 QUAD4
DKT 50 QUAD4
DKT 100 QUAD4
POUTRE POU_D_T 50
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats DKT QUAD4 lorsque l'on raffine le maillage.
8.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 27.55 secondes
Manuel de Validation
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
z
Modélisation COQUE_3D (TRIA7)
zl
yl
OE = OA = L / 2 2
F
AB // EF // axe Z
xl
Conditions aux limites (repère gobal)
O
- côté AB: u = v =w =
y
x= y= z= 0
E
B
Conditions de symétrie
- côté EF: u = 0 (repère local x1 y1z1)
- côté EF: z= 0 (repère global)
x
A
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DXe=6.609 10-3 m . sin(45°)
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 83
Nombre de mailles et type : 20 TRIA7
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='COQUE_3D'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS =0
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
PILOTAGE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
DX (E) DX Identification Instants Référence
Aster %
différence
e
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.1143 11.43
15
ETA_PILOTAGE
15 1.0 1.1682 16.82
10.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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10.3 Influence du raffinement du maillage
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
1.2
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
COQUE_3D TRIA7
COMPARAISON AVEC
1.0
LA SOLUTION POUTRE
0.8
AGE
OT
I
L
P
0.6
_
A
T
10 COQUE_3D TRIA7
E
20 COQUE_3D TRIA7
50 COQUE_3D TRIA7
100 COQUE_3D TRIA7
POUTRE POU_D_T 50
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
déplacement (m)
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats coques 3D TRIA7 lorsque l'on raffine le maillage.
10.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 72.54 secondes
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
z
zl
Modélisation COQUE_3D (QUAD9)
yl
F
OE = OA = L / 2 2
xl
AB // EF // axe Z
O
Conditions aux limites (repère gobal)
y
E
- côté AB: u = v =w =
B
x= y= z= 0
Conditions de symétrie
- côté EF: u = 0 (repère local x1 y1 z1)
- côté EF:
x
z= 0 (repère global)
A
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DXe=6.609 10-3 m . sin(45°)
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 54
Nombre de mailles et type : 10 QUAD9
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='COQUE_3D'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS = 105
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
PILOTAGE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
DX (E) DX Identification Instants Référence
Aster %
différence
e
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.0978 9.78
25
ETA_PILOTAGE
25 1.0 1.1085 10.85
12.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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13/16
12.3 Influence du raffinement du maillage
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
1.2
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
COQUE_3D (QUAD 9)
1.0
COMPARAISON AVEC LA
SOLUTION POUTRE
0.8
AGE
OT
I
L
P
0.6
_
A
T
COQUE_3D 10 QUAD9
E
COQUE_3D 20 QUAD9
COQUE_3D 50 QUAD9
POUTRE POU_D_T 50
COQUE_3D 100 QUAD9
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
déplacement (m)
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats coques 3D QUAD9 lorsque l'on raffine le maillage.
12.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 74.93 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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13 Modélisation
F
13.1 caractéristiques de la modélisation
Modélisation POU_D_T
E
y
A= 2.1 0.7
0.
AE =0.75 m
78.5°
A
O
Conditions aux limites (repère gobal)
x
- noeud A: u = v =w = qx= qy= qz= 0
Conditions de symétrie
- noeud E: u = 0 , q
z
z= 0
la poutre étant inclinée à 78.5°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DXe=6.609 10-3 m . sin(78.5°)
13.2 caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 21
Nombre de mailles et type : 10 SEG2
13.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='POU-D_T'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
D_SIGM_EPSI
SY
VMIS_POUTRE
AFFE_CARA_ELEM POUTRE
SECTION
CARA
AFFE_CHAR_MECA FORCE_POUTRE
FY
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_POU_LINE
PILOTAGE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
14 Résultats de la modélisation F
14.1 Valeurs
testées
DX (E) DX Identification Instants Référence
Aster %
différence
e
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.1083 10.83
25
ETA_PILOTAGE
25 1.0 1.1107 11.07
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HI-75/01/010/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
Date :
19/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V6.02.501-A Page :
15/16
14.2 Influence du raffinement du maillage
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
1.2
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
POUTRE POU_D_T
1.0
0.8
AGE
OT
I
L
P
0.6
_
A
T
POU_D_T 10
E
POU_D_T 20
POU_D_T 100
POU_D_T 50
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10x10-2
déplacement (m)
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
la solution poutre s'améliore sensiblement lorsque l'on raffine le maillage.
14.3 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 74.93 secondes
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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Version
5.0
Titre :
SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
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19/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
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V6.02.501-A Page :
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15 Synthèse des résultats
Sur la figure ci-dessous, nous présentons l'évolution du déplacement normal au centre de la plaque en
fonction du paramètre de pilotage.
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
Eta en fonction du déplacement
de France
1.2
COMPARAISON DES SOLUTIONS
1.0
0.8
E ETA
ETR
M
0.6
A
R
Modélisation A
A
P
Modélisation B
Modélisation C
Modélisation D
Modélisation E
0.4
Modélisation F
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16x10-2
déplacement (m)
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
On observe que :
·
les modélisations comportant des quadrangles donnent de meilleurs résultats, par rapport
aux mailles triangles.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée, ou
lorsque le calcul n'était plus possible. Compte tenu des maillages utilisés, les résultats obtenus sont
satisfaisants. Les erreurs observées sont pour les modélisations :
·
COQUE_C_PLAN : 6.9% ( A ),
·
DKT :11.4% pour la maille TRIA3 ( B) et 9.9% pour la maille QUAD4 ( C),
·
COQUE_3D : 16% pour la maille TRIA7 ( D) et 10.8% pour la maille QUAD9 ( E),
·
POUT_D_T :11% ( F).
Mais on constate qu'avec un maillage plus fin aux extrémités et au centre de la plaque, lieu ou la
plastification apparaît, il est possible de minimiser l'erreur par rapport à la solution de référence.
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HI-75/01/010/A
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