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Version
3
Titre :
HSNV100 - Elasto-plasticité sous charge thermique
Date :
15/03/96
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
Clé :
V7.90.02-A
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Organisme(s) : EDF/IMA/MNN
Manuel de Validation
Fascicule V7.90 : Références théoriques de tests en thermo-mécanique
Document V7.90.02
HSNV100 - Elasto-plasticité sous charge thermique
Résumé :
Construire la solution de référence pour tester le traitement de la relation de comportement sur une situation 0D
(champ uniforme), en élasto-plasticité sous charge thermique, à déplacement imposé et température
croissante. La limite d'élasticité dépend de la température. La modélisation de la géométrie peut être :
· 2D axisymétrique ou contraintes planes,
· 3D.
Cette solution correspond au test HSNV100 [V7.22.100].
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Table des matières
1 Présentation ........................................................................................................................................... 3
2 Cinématique, équilibre ........................................................................................................................... 4
2.1 Cas axisymétrique (2D) ................................................................................................................... 4
2.2 Cas parallélépipédique .................................................................................................................... 4
3 Relation de comportement..................................................................................................................... 5
4 Chargement thermique .......................................................................................................................... 6
5 Solution .................................................................................................................................................. 7
5.1 Phase élastique ............................................................................................................................... 8
5.2 Phase élastoplastique ..................................................................................................................... 9
6 Application numérique.......................................................................................................................... 10
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1 Présentation
Le problème modèle étudié est tel que la solution soit uniforme en espace, sans aucun effort extérieur
donné, de manière à ne tester que le traitement de la relation de comportement.
On considère ainsi le solide suivant :
· hauteur
H ,
· axisymétrique (de rayons a et b ),
· ou parallélépipédique (épaisseur b - a ).
z
H
0
r
a
b
Il est placé entre deux plateaux rigides lubrifiés.
Le matériau est thermoélastoplastique homogène (voir ci-après) à écrouissage isotrope et critère de
Von Mises.
On suppose la température uniforme en espace, et croissante.
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2 Cinématique,
équilibre
2.1
Cas axisymétrique (2D)
Champs de déplacement :
u = ur(r) er
(blocage en z)
u ' 0
0
r
r
Champs de déforamation : (u) = 0
0
0
selon z
ur
0 0
r
0 0
0
r
Champs de contraintes :
= 0 1 0 (cf. conditions aux limites)
L
selon
z
0 0 0
2.2 Cas
parallélépipédique
Champs de déplacement :
u = ux(x) ex + uy(y) ey
(blocage en z)
u ' 0 0
x
x
Champs de déforamation : (u) = 0
0
0
selon z
0 0 uy '
y
0 0
0
x
Champs de contraintes :
= 0 1 0 (cf. conditions aux limites)
L
selon
z
0 0 0
y
Le cas pourra être étudié en contraintes planes et en 3D.
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Relation de comportement
Ecrouissage isotrope, linéaire (module tangent ET constant).
Critère de Von Mises.
Les coefficients élastiques, E et , ainsi que le module tangent ET sont invariants suivant la
température.
La limite d'élasticité y varie selon la température T :
o
o
y (T )
= y (1- (sT - T )
(pour le domaine de température étudié, y est positif !).
Le coefficient de dilatation thermique est constant.
ET
y
2µ =
E
1 +
E
3K =
E
1- 2
La loi de comportement s'écrit (variable interne scalaire p ) :
1
1
=
tr Id +
D + p +
o
(T -T )Id
9K
2µ
1
avec : D
= - tr Id
(déviateur des contraintes)
3
3
D
P
3
!
=
p!
, avec
=
D D
2
éq
2
éq
p! =
0 si f( , p) =
-
éq
R (p) < 0
p!
0 si f( , p) = 0
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R (p) désigne la fonction d'écrouissage :
E ET
R (p) = +
p
y
E - ET
Le taux !p peut être exprimé, lorsque f( , p) = 0. En effet, de !p f identiquement nul, on tire :
!p !f+ !p f = 0. Ainsi, quand on est sur le critère (f = )
0 , nécessairement !f = 0 . C'est-à-dire :
3 D !
D
- R T !
,
T - R ,p !p = 0
2
éq
3 D !
D
E E
+ o s !
T
y
T -
!p = 0
2
E - E
éq
T
D'où :
E - E
D
D
T
3 !
!p
o
=
+ s !T
y
si !p 0 ,
pour
R
2
=
éq
(p)
E ET
éq
(critère atteint, en "charge")
4 Chargement
thermique
Température uniforme en espace
T(t) = t + To , > 0
1
t [
,
0 t fin] ; avec tfin < s
T
To
t
Etat initial vierge : L = 0 ; p = 0
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5 Solution
Le champ de contraintes étant uniaxial, on a :
-1 0 0
D
L
=
0 2 0
3 0 0 - 1
Ainsi :
=
éq
L
et :
-1 0 0
P
!p
!
=
sgn (L) 0 2 0
2
0 0 - 1
La relation de comportement conduit à :
!p
!rr = ! = -
!
- sgn
L
(L)+ !T = =
pour le cas du parallélépipède
E
2
( !xx !yy
)
1
!zz = 0 =
!
L +
!p sgn (L)+ !T
E
D'où :
3
1 -
2
!rr = ! = !T +
!L
2
2E
!p = sgn (
L
L ) - !
!
T -
0
si
L R (p)
E =
<
D
D
E - E
T
3 !
= Max 0 ;
+ o !
y sT
sinon
E E
2
T
éq
C'est-à-dire, dans le cas L = R ( p) (critère atteint) :
E - E
!p
Max 0 ;
T
o
=
+ s T
E E
(sgn( L) !
!
L
y
)
T
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5.1 Phase
élastique
Au début du chargement thermique, L étant inférieur à y , !p est nul.
D'où :
!
L = - E !T ; !rr = ! = !T(1+).
Ainsi :
L = - E t
(compressionL < )0
rr = = (1+) t
Validité de la solution élastique
Le critère est :
o
L (t) - Y (t)
= E = t -y (1- s t) 0
Le critère n'est pas franchi pour t = [0, ty], avec :
o
t
y
y
= (E o
+ s
y
)
y - L
oy
t
t y
A l'instant ty :
E o
y
L (ty ) = - E + oy s
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5.2 Phase
élastoplastique
t ty . On est sur le critère. Alors :
E - E
!p
Max 0 ;
T
o
=
+ s T
E E
( ! sgn
L
( L)
!
y
)
T
En admettant que l'on soit "en charge" ( !p > )
0 , alors on élimine !p pour avoir :
E - E
!
= - E !
T
o
L
T T + sgn ( L )
s y
E ET
puis :
E - E
s o
y
!p
T
=
!T- sgn
(L)+
E
E
A t = ty , L = -E ty < 0 ; on intègre alors ces expressions pour t t (T
y ! = ) :
E - E
T
o
L(t) = - ET (t - ty)
-
s y -L t
E E
( y)
T
(
E - E
p t)
T
=
2
[E+soy](t-ty)
E
Soit, après réarrangement, (t ty) :
E
t
o
T
1
1
L (t )
= y s t - +
-
E
t
y
o
y (E - ET )
t
p(t) =
-
1
E2
t
y
Validité de cette solution élastoplastique
Il faut s'assurer que L(t) reste négatif. Sachant que s t < 1 , et que t > ty , le résultat précédent
confirme que L(t) < 0 .
Enfin, on remarque que :
1-
2
sgn (L)
!p + !rr = (1+) !T
2
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d'où :
1-
2
rr(t) = (t)
= (1+)t +
(
p t) ,
t
,
2
[ty tfin]
(puisque L(t) < 0 ).
6 Application
numérique
E = 200 000 MPa ; = 0 3, ; = -
10 5 °C-1 ; = 10
. s-1
o
= 400 MPa ; To = 0 °C ; s = -
10 2 °C-1 ; t
< 100s
y
fin
E
= 50 000 MPa
T
D'où :
t
= 66 6666
.
s
y
133 333
.
L
(ty) = -
MPa
phase élastique
-
rr
(ty) = (ty) = 0866666
.
10 3
.
Puis, phase élastoplastique :
à t =
s
80 :
L( )
80
= - 100 0
. MPa
(
p
)
80
=
-
0 3000
.
10 3
.
3
rr (
)
80
= ( )
80
=
-
1100
.
10
.
à t =
s
90 :
L( )
90
= - 7500
.
MPa
(
p
)
90
=
-
0 5250
.
10 3
.
3
rr (
)
90
= ( )
90
= 1275
.
10
.
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