Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

HPLP101 - Plaque fissurée en thermoélasticité (contraintes planes)
Date :
11/05/04
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
V7.02.101-B Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V7.02 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes plans
Document : V7.02.101





HPLP101 - Plaque fissurée en thermoélasticité
(contraintes planes)





Résumé :

Ce test est issu de la validation indépendante du Code_Aster en mécanique de la rupture (référence issue du
Murakami : Mura11-17). Il permet de valider les opérateurs de mécanique de la rupture pour un problème
bidimensionnel (hypothèse des contraintes planes) en thermoélasticité linéaire isotrope.

Ce test comprend une première modélisation en contraintes planes dans laquelle sont calculés :

·
le taux de restitution d'énergie G (calcul classique par la méthode théta),
·
les coefficients d'intensité de contraintes KI et KII .

Ces deux calculs sont réalisés sur 6 couronnes d'intégration différentes.

L'intérêt du test est de comparer les valeurs de G et KII par rapport à la solution de référence et de tester
l'invariance des calculs par rapport aux différentes couronnes d'intégration.

Une deuxième modélisation permet de calculer les dérivées de G par rapport au module d'Young et à un
chargement en forces volumiques et de les comparer à une solution analytique.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie



Largeur de la plaque:
W = 0.6 m
Longueur de la plaque:
L = 0.3 m
Longueur de la fissure:
2a = 0.3 m


1.2
Propriétés du matériau

Notation pour propriétés thermoélastiques :

S
S
0
x
11
12
x



11
= S
S
12
22
0 +
y


y
22 ·(T - re
T f )


0
0
S




66
xy
xy 0
S = 1 E
11
x
S = 1 E
22
y
S = - E = -
12
x
x
y E y

S = 1 G
66
xy
=
11
x
=
22
y

On se limite au matériau isotrope, tant du point de vue thermique que mécanique :

E = E
x
y = 2. 105 MPa
=
x
y = 0.3
=
x
y = 1.2 10­5 °C­1
=
x
y = 54. W/m °C
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1.3
Conditions aux limites et chargement

On considère deux modèles:

·
le demi-modèle x = 0
·
le modèle complet

Conditions aux limites mécaniques :

·
demi-modèle

UX = 0 le long de l'axe de symétrie X = 0
UY = 0 au point (W/2.)

·
modèle complet

UX = 0 au point (0,L/2.)
UY = 0 aux points (-L/2.) et (L/2.)

Conditions aux limites thermiques :

·
demi-modèle

T = 100°C sur le bord supérieur Y = L/2.
T = -100°C sur le bord inférieur Y = -L/2.
flux nul sur l'axe de symétrie, sur le bord libre X = W/2. et sur le bord de la fissure

·
modèle complet

T = 100°C sur le bord supérieur Y = L/2.
T = -100°C sur le bord inférieur Y = -L/2.
flux nul sur les bords libres X = ± W/2. et sur le bord de la fissure

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Potentiel complexe [bib1].

2.2
Résultats de référence

2a
= W
L
=

W
T
W
K = 11 0 ·
· F
II
S
2
II
11

où le facteur de correction géométrique FII est donné en fonction de pour chaque matériau, dans le
cas particulier = 0.5 sur les courbes ci-dessous.

Le matériau isotrope étant représenté par la courbe I



2.3
Incertitude sur la solution

Précision non définie.

2.4 Références
bibliographiques

[1]
Y. MURAKAMI : Stress Intensity Factors Handbook, case 11.17, pages 1045-1047. The
Society of Materials Science, Japan, Pergamon Press, 1987.
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2.5
Solution de référence pour les dérivées de G (modélisation B)

En faisant varier le module d'Young et le chargement Fy, on constate que :


2
G
G = F
avec
3

310
.
5
-
=
soit
=
F

2

Y
Y
F
Y


G

G
G =
avec
3

310
.
5
-
=
soit
= -
E
E

E


3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Pour cette modélisation, les 3 paramètres topologiques du bloc fissure sont :

·
NS : nombre de secteurs sur 90°
·
NC : nombre de couronnes
·
rt : le rayon de la plus grande couronne (avec a : demi longueur de la fissure)

NS = 8
NC = 4
rt = 0,001*a

Les valeurs des rayons supérieurs et inférieurs, à préciser dans la commande CALC_THETA sont :


Couronne 1
Couronne 2
Couronne 3
Couronne 4
Couronne 5
Couronne
6
Rinf
3,75E­5
7,500E­5
1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4
Rsup 7,50E­5 1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4 3,000E­4


3.2
Caractéristiques du maillage

Demi-maillage ; maillage rayonnant à l'extrémité droite de la fissure.

3831 noeuds,
1516 éléments,
884 TRI6,
632 QUA8.


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_MODELE THERMIQUE
PLAN
TOUT

AFFE_MODELE MECANIQUE
C_PLAN TOUT

THER_LINEAIRE



MECA_STATIQUE



CALC_THETA THETA_2D



CALC_G_THETA_T OPTION
CALC_G


CALC_G_THETA_T OPTION
CALC_K_G

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées


Identification Référence
Aster %
différence
KII , couronne n°1
2,2347E+7 2,2814E+7
2,09
KII , couronne n°2
2,2347E+7 2,2813E+7
2,08
KII , couronne n°3
2,2347E+7 2,2814E+7
2,09
KII , couronne n°4
2,2347E+7 2,2814E+7
2,09
KII , couronne n°5
2,2347E+7 2,2817E+7
2,10
KII , couronne n°6
2,2347E+7 2,2818E+7
2,11




G , couronne n°1
2,4969E+3 2,5984E+3
4,07
G , couronne n°2
2,4969E+3 2,5990E+3
4,09
G , couronne n°3
2,4969E+3 2,5992E+3
4,10
G , couronne n°4
2,4969E+3 2,5993E+3
4,10
G , couronne n°5
2,4969E+3 2,6013E+3
4,18
G , couronne n°6
2,4969E+3 2,5985E+3
4,07


4.2 Remarques

Dans la référence, l'auteur suppose que KI = 0, mais il ne le vérifie pas a posteriori. Aux vues des
déformées issues d'ASTER, le coefficient KI est différent de zéro, mais il reste très faible par rapport
à KII (la fissure glisse plus qu'elle ne s'ouvre).

En ce qui concerne le taux de restitution d'énergie G , si nous supposons que KI = 0, nous tirons la
valeur de référence à partir de la formule d'IRWIN en contraintes planes :

G

ref = (1/ E )
2
* K II


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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Mêmes caractéristiques que pour la modélisation A :

·
NS : nombre de secteurs sur 90°
·
NC : nombre de couronnes
·
rt : le rayon de la plus grande couronne (avec a : demi longueur de la fissure)

NS = 8
NC = 4
rt = 0,001*a

Les valeurs des rayons supérieurs et inférieurs, à préciser dans la commande CALC_THETA sont :


Couronne 1
Couronne 2
Couronne 3
Couronne 4
Couronne 5
Couronne 6
Rinf
3,75E­5
7,500E­5
1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4
Rsup 7,50E­5 1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4 3,000E­4

5.2
Caractéristiques du maillage

Même maillage que pour la modélisation A :

Demi-maillage ; maillage rayonnant à l'extrémité droite de la fissure.

3831 noeuds,
1516 éléments,
884 TRI6,
632 QUA8.

5.3
Paramètres matériaux et chargement

Pour cette modélisation on a pris E=1Pa.
Le chargement est une force volumique Fy=1N sur toute la structure. Il n'y a pas de chargement
thermique.

5.4
Fonctionnalités testées

Commandes



AFFE_MODELE MECANIQUE
C_PLAN TOUT

MECA_STATIQUE



CALC_THETA THETA_2D



CALC_G_THETA_T SENSIBILITE





6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
dg/dE , couronne n°1
-5.3E-3
-5.299E-3
-7.6E-4
dg/dE , couronne n°2
-5.3E-3
-5.301E-3
0.02
dg/dFy , couronne n°1
1.06E-2
1.0599E-2
-7.6E-4
dg/dFy , couronne n°2
1.06E-2
1.0602E-2
0.02
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7
Synthèse des résultats

Les écarts entre la solution de référence et les résultats du Code_Aster ne dépassent pas 2% sur les
coefficients d'intensité de contraintes et 4 % pour le taux de restitution d'énergie. On vérifie
l'invariance des résultats par rapport aux différentes couronnes d'intégration.

Les résultats sur les dérivées de G sont inférieurs à 1% (mais sans chargement thermique).


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