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SSNL125 ­ Traction d'un barreau fragile : endommagement à gradient Date
:

06/10/03
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E. LORENTZ Clé
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Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document : V6.02.125




SSNL125 - Traction d'un barreau fragile :
endommagement à gradient





Résumé :

Ce test permet la validation de la loi d'endommagement fragile à gradient dans une situation unidimensionnelle
non homogène. De par son caractère 1D, ce problème admet une solution analytique qui exhibe deux régimes
de couches limites : l'une de longueur finie (existence d'une frontière libre entre la zone endommagée et la zone
saine) et l'autre de longueur infinie (elle s'étend jusqu'à la frontière de la pièce).
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


= 0
= e
0
x e x
e
x
x
L = 5 mm
x = 0
L
10 mm
0
-
1 =


La structure étudiée est une barre de 15 mm de long. Le problème étant purement 1D, sa section est
sans influence.


1.2
Propriétés du matériau

Le matériau obéit à une loi de comportement élastique fragile (ENDO_FRAGILE) à gradient
d'endommagement (modélisation *_GRAD_VARI).

ELAS ECRO_LINE
NON_LOCAL
E = 20 000 Mpa
SY = 2 Mpa
NU = 0
D_SIGM_EPSI = - 20 000 MPa
LONG_CARA = 5.099 mm


1.3
Conditions de chargement

On impose à la partie gauche de la barre (5 mm de long) de rester rigide (blocage des degrés de
liberté de déplacement). Quant à la partie droite de la barre, elle est soumise à une déformation axiale
uniforme 0 , c'est-à-dire à un déplacement imposé dont la distribution spatiale est linéaire. Un seul
paramètre contrôle donc l'intensité du chargement : le niveau de déformation imposée 0 .
Dans les directions perpendiculaires à l'axe de la barre, les déplacements sont bloqués : le problème
est purement 1D. En outre, comme le coefficient de Poisson est nul, aucune contrainte de bridage ne
se développe dans ces directions.
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2
Solution de référence

Dans le cas de la loi de comportement à gradients d'endommagement [R5.03.18], deux équations aux
dérivées partielles doivent être résolues : l'équation d'équilibre et l'équation de comportement. Obtenir
une solution analytique s'avère généralement délicat, même pour des structures unidimensionnelles.
Pour valider néanmoins ce modèle, on s'attache à un problème plus simple pour lequel l'équation
d'équilibre n'a pas besoin d'être résolue, c'est-à-dire que le champ de déplacement est fixé partout.
L'équation de comportement est alors pilotée par l'énergie de déformation élastique w connue en tout
point de l'espace.

2.1
Caractérisation de la solution

Plus précisément, on considère une barre dont une partie est astreinte à demeurer sans déformation
tandis que l'autre est soumise à une déformation homogène. On étudie alors la couche limite
d'endommagement qui se développe à l'interface de ces deux zones. L'équation différentielle de
comportement est la suivante dans les zones où le critère est atteint, c'est-à-dire là où
l'endommagement évolue :

2
2
d
y
1+
w = k(d) - c

k(d) = w

éq
2.1-1
2




^x
1+ - d


y
w , et c sont des paramètres du matériau, voir à nouveau [R5.03.18] pour la correspondance
avec les grandeurs fournies dans DEFI_MATERIAU, tandis que x^ désigne la variable d'espace. On
normalise dorénavant les variables du problème en introduisant :

w
y
2
e =
x = x^ (1+ )
w
= 1+ - éq
2.1-2
w y (1+ )
a
d
2
c

Moyennant ces changements de variables, l'équation de comportement s'écrit :

2
1
d a
e(x) =
+ 2









éq 2.1-3
2
2
a
dx
On reconnaît là une équation de mouvement dans un champ gravitationnel sous une force imposée.
Elle admet une intégrale première dans chacune des deux zones de la barre (indicée par i ) :

da 2
1

- - e a = C
i
i
i
{ ,
0 }
1
e0 = 0 e1 = e
éq
2.1-4
dx
a

A ces deux constantes d'intégration Ci viennent s'ajouter deux autres constantes résultant de
l'intégration de [éq 2.1-4]. Ces quatre constantes sont fixées par les deux conditions de bord et les
conditions de saut à l'interface :

da
da
da
da
(L ) =
(L ) = 0
+
-
+
-
0
1
a(0 )- a(0 )= 0
(0 )- (0 )= 0 éq
2.1-5
dx
dx
dx
dx
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On substitue dès maintenant aux deux constantes d'intégration C les deux valeurs extrêmes du
i
champ d'endommagement a = a(L ) et a = a(L ) en évaluant l'intégrale première [éq 2.1-4] en
0
0
1
1
L et L :
0
1
1
1
C0 = -
1
C = -
- e 1
a
éq
2.1-6
a0
1
a

2.2
Résolution du problème dans la zone déchargée

Dans la zone à déformation nulle ( i = 0 ), l'intégrale première [éq 2.1-4] apparaît comme une équation
différentielle à variable séparable. Compte-tenu de [éq 2.1-6] et de la définition de a0 , son intégration
conduit dans un premier temps à l'équation implicite suivante :

a(x)
1
1 -1 2
x = L0 - - d éq
2.2-1

a0
0
a
En particulier, en x = 0 , on obtient :

a(0)
1
1 -1 2
L0 = - d éq
2.2-2

a0
a0

Comme il s'agit d'une intégrale propre en a0 , le second membre a une valeur finie. De plus,
l'intégrande étant positive et a( )
0 minorée par , la valeur ultime du champ a (qui correspond à un
endommagement total d = 1), on observe que 0
L est borné par :
1 1 -12
0
L - d éq
2.2-3

a0
0
a

Par conséquent, si la longueur de la zone non chargée est plus grande que cette borne, la solution
[éq 2.2-1] n'est plus valide. Cela provient du fait qu'on a supposé que le critère était atteint partout pour
écrire l'équation [éq 2.1-1].
Dorénavant, on suppose que la longueur 0
L est supérieure à la borne [éq 2.2-3]. La couche limite se
développe sur une distance finie b totalement incluse dans cette zone. Il s'agit d'une nouvelle
0
inconnue, mais la valeur extrême de l'endommagement a est maintenant connue : en effet, par
0
continuité avec la zone non endommagée qui s'étale de 0
L à 0
b , on a :

a = 1

éq
2.2-4
0
+
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Finalement, l'équation [éq 2.2-1] doit être corrigée ; elle s'écrit :

a(x)
1
1 -1 2
x = 0
b - -


d
éq
2.2-5
1 +
+
1

En exprimant à nouveau cette équation en x = 0 , on exprime 0
b en fonction de a( )
0 :

a(0)
1
1 -1 2
0
b = -


d
éq
2.2-6
1 +
+
1

Finalement, en substituant [éq 2.2-6] dans [éq 2.2-5], on obtient l'équation implicite suivante :

a(x)
a(
1
- 2
x
1
1
+ -

+ -
x = -
-
d =




(1+ )3
(1
)
)
1
2
- arccos

éq
2.2-7
1 +
1 +
1



+ a(0)
a(0)

Ainsi, il apparaît que le profil d'endommagement est totalement piloté par sa valeur en 0, c'est-à-dire,
compte-tenu de la condition de continuité [éq 2.1-5], par ce qui se passe dans la zone chargée.


2.3
Résolution du problème dans la zone chargée

Dans la zone à déformation nulle ( i = 1 ), l'intégrale première [éq 2.1-4] apparaît également comme
une équation différentielle à variable séparable. Compte-tenu de [éq 2.1-6] et de la définition de 1
a ,
son intégration conduit dans un premier temps à l'équation implicite suivante (moyennant le
changement de variable u = a - 1
a ) :
a(x)-a1

1 2
a1 (a1 + u)

x = L1 -


éq
2.3-1
e a u2
2
1
+ (ea1 - )
du
1 u
0

A nouveau, il s'agit d'une intégrale propre, excepté dans le cas
2
e a
1
1 = , c'est-à-dire
l'endommagement correspondant à la sollicitation e dans un problème homogène. Cela signifie que
l'endommagement extrême 1
a est d'autant plus proche de la solution homogène que la barre est
longue : la couche limite dans la zone chargée est non bornée et s'étend asymptotiquement vers la
réponse homogène.
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En exprimant l'équation [éq 2.3-1] en x = 0 , on obtient une équation permettant de déterminer 1
a en
fonction de a( )
0 :
a(0)-a1

1 2
a1 (a1 + u)

L1 =


éq
2.3-2
e a u2
2
1
+ (ea1 - )
du
1 u
0

Toutefois, pour simplifier la résolution analytique de ce problème, on suppose dorénavant que la barre
est suffisamment longue, de sorte qu'une solution approchée de [éq 2.3-2] est donnée par :

2
1 2
e 1
a
= 1
-

1
a = e

éq
2.3-3

Quant au profil d'endommagement dans la zone chargée, il est lui aussi totalement paramétré par
a( )
0 , puisqu'en combinant [éq 2.3-1], [éq 2.3-2] et [éq 2.3-3] on obtient :
a(0)
a(0)
1 2




1
a
1
a
x =
d

= 2 1
a -
1
a arg tanh

éq
2.3-4
- 1
a


a(x)
a(x)

2.4
Détermination de l'endommagement à l'interface

Revenons sur la démarche d'intégration. Initialement, nous attendions quatre constantes d'intégration :
C0 , 1
C et les deux résultant de l'intégration des intégrales premières [éq 2.1-4]. Puis, aux deux
constantes C et C ont été substituées les deux valeurs extrêmes de l'endommagent a et
0
1
0
1
a , elles
aussi inconnues. En exploitant les conditions aux limites de Neumann dans [éq 2.1-6], on a
implicitement déterminé les deux constantes d'intégration complémentaires pour n'exprimer les profils
d'endommagement qu'en fonction des seules valeurs a0 et 1
a , voir les équations [éq 2.2-1] et
[éq 2.3-1]. Finalement, on a substitué aux constantes a0 et 1
a la valeur de l'endommagement à
l'interface a( )
0 , égale à gauche et à droite puisque le saut de a y est nul. Cette substitution s'est
opérée en remarquant que la zone endommagée est de taille finie dans la zone déchargée,
contrairement à la zone chargée où nous avons privilégié une solution approchée, plus simple sur le
plan analytique.
Par conséquent, il ne reste plus qu'une constante d'intégration à déterminer, l'endommagement à
l'interface a( )
0 grâce à la dernière condition inutilisée, la nullité du saut des dérivées à l'interface.
Ainsi, en évaluant les deux intégrales premières en x = 0 et en calculant leur différence, on obtient :

1
1
e a( )
0 = e a +
-

éq
2.4-1
1
a
a
1
0
En tenant compte des expressions [éq 2.2-4] et [éq 2.3-3], on en déduit l'expression de
l'endommagement à l'interface :
a( = 2
)
0
-
1
éq
2.4-2
e
e (1+ )
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2.5 Application
numérique

Pour l'élasticité, l'écrouissage et la longueur interne, on adopte les caractéristiques suivantes :

E = 2.104 MPa
y
= 2 MPa
b
L = 26 mm éq 2.5-1
= 0
T
E = 2
- .104 MPa

Ces choix conduisent aux paramètres suivants dans l'équation différentielle [éq 2.1-1] :

w y = 10-4 MPa
= 1
c = 8.10-4 N éq
2.5-2
Quant à la normalisation, elle devient :

x = x^
a = 2 - d
w
-4
= 4.10
e
éq
2.5-3

La charge évolue entre la valeur d'initiation de l'endommagement et celle pour laquelle
l'endommagement atteindrait sa valeur maximale d = 1 dans un contexte homogène. Cela se traduit
pour la déformation imposée :

1
-4
-4
e 1

10
10
.
2

éq
2.5-4
4

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2.6
Résultats de référence

La solution de référence est obtenue en prenant une barre de longueur L = 5
0
- et L
10
1 =
. On
examine la valeur du champ d'endommagement d pour trois niveaux de chargement et en deux
endroits, l'un dans la zone déchargée, l'autre dans la zone chargée.



E
d(x = )
1
-
d(x = )
1
1.414 10-4 0.50 0.0251 0.3437
1.732 10-4 0.75 0.1106 0.6045
2.000 10-4 1.00 0.1877 0.7897
Table 2.6-1 - Résultats de référence

1
e = 0.50
e = 0.75
0,8
e = 1.00
0,6
0,4
Endommagement d
0,2
0-5
0
5
10
position x (mm)

Figure 2.6-a : Profil d'endommagement pour la solution de référence
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation et du maillage

Il s'agit d'une modélisation axisymétrique (AXIS_GRAD_VARI). La géométrie
correspondante est un rectangle, c'est-à-dire que le barreau est disposé de manière
verticale et sa section (sans influence) est circulaire.

Le maillage est constitué d'un seul élément selon le rayon. Selon l'axe, les plus petits
éléments ont une taille de 0.1 mm le long de l'interface et croissent en progression
géométrique de raison 1.05 en s'éloignant de l'interface. Le maillage ainsi engendré
est finalement constitué de 59 éléments quadrangulaires à 8 noeuds.



4
Résultats de la modélisation A

4.1
Grandeurs testées et résultats

On valide la modélisation et l'algorithme d'intégration de lois non locales en examinant le niveau
d'endommagement (variable interne V1) aux différents niveaux de chargement et aux différents lieux
géométriques listés dans la [Table 2.6-1]. Les résultats sont réunis dans l'extrait du fichier de résultat
ci-dessous.

Identification Instant
Référence
Aster
Différence
V (
1 x = - )
1 1.414.10­4 2.5100000000000E-02 2.5300980013184E-02
0.801 %
V (
1 x = - )
1 1.414.10­4 3.4370000000000E-01 3.4334039567418E-01
-0.105 %
V (
1 x = - )
1 1.732.10­4 1.1060000000000E-01 1.1070787251591E-01 0.098
%
V (
1 x = - )
1 1.732.10­4 6.0450000000000E-01 6.0422953501431E-01 -0.045
%
V (
1 x = - )
1 2. 10­4 1.8770000000000E-01
1.8805237130425E-01
0.188
%
V (
1 x = - )
1 2. 10­4 7.8970000000000E-01
7.8950184194123E-01
-0.025
%

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5
Synthèse des résultats

On note un très bon accord entre la modélisation et la solution analytique.
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