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5.0

Titre :

TPLV100 Cylindre soumis à des conditions aux limites

Date :
22/12/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
V4.04.100-C Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
















Manuel de Validation
Fascicule V4.04 : Thermique stationnaire des structures volumiques
Document : V4.04.100





TPLV100 - Cylindre soumis à des conditions
aux limites non axisymétriques





Résumé :

Il s'agit d'un test en thermique stationnaire avec modélisation de Fourier.

Ce test valide tous les éléments de Fourier en thermique (5 modélisations différentes) avec différents types de
conditions aux limites : température imposée, échange, flux imposé, source de chaleur.

L'intérêt du test, outre la validation de la thermique Fourier, réside dans les points suivants :

· comparaison des résultats avec une solution analytique sur différentes harmoniques de Fourier (1, 2 et
3),
· homogénéité des éléments entre eux.


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Fascicule V4.04 : Thermique stationnaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

z
z
E
G
D
C
r
r
A
B
F


Rayon du cylindre R = 1 m.



1.2 Propriétés
de
matériaux

= 1 W/m °C



1.3
Conditions aux limites et chargements

[EA] : température imposée
T = To = 0.°C
[BC] : flux imposé
= o = 2. W/m2 °C
[CD] : échange
h= 2. W/m2 °C

Text = 2. °C

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

T(r,z,) = r2 cos l

avec l numéro de l'harmonique de Fourier

- T = (l2 - 4) cos l = S
- 2r cos l
r

= -


T = 0.+(lrsinl)
[
sur AB] et [ ED]
r r
0
= n = 0.

[
sur BC]
0
= 2R = 2.
[
sur CD]
2
nr = 2R =
(2R2 - R2) = (hText -T)
R
2
d' où h

=
= 2.
R
T
2
ext
= 2R
= 2.

Seul le terme source varie suivant l'harmonique (Sl(r, z) = l2 - 4).

Dans les modélisations suivantes, on résoudra le problème sur les harmoniques 1, 2 et 3.


2.2
Résultats de référence

Températures et flux aux points B, C, D, F, G.

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

AXIS-FOURIER (TRIA6)

y (z)
r z noeud
A 0. 0. N1
G
B 1. 0. N7
E
D
C 1. 0.5
N8
D 1. 1. N9
C
E 0. 1. N3
F 0.5
0. N4
x (r)
A
G 0.5
1. N6
F
B


Les axes de description du maillage sont x(r) et y(z).

Mode - Fourier : 1 T(A) = 0.

S = -3.
sur tout le domaine
[BC] :
= 2.
[CD] :
h = 2. Text = 2.

3.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 25.
Nombre de mailles et types : 8 TRIA6

3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

Clés
AFFE_MODELE THERMIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_THER TEMP_IMPO
NOEUD

[U4.25.02]
FLUX_REP
GROUP_MA


ECHANGE
GROUP_MA


SOURCE
TOUT


CALC_MATR_ELEM 'RIGI_THER'
MODE_FOURIER
[U4.41.01]
CALC_VECT_ELEM 'CHAR_THER'


[U4.41.02]
ASSE_MATRICE


[U4.42.02]
ASSE_VECTEUR


[U4.42.03]
FACT_LDLT

[U4.51.01]
RESO_LDLT

[U4.51.02]
CALC_CHAM_ELEM 'FLUX_ELNO_TEMP'
MODE_FOURIER
[U4.61.01]
COMB_CHAM_NO COMB_FOURIER

[U4.53.02]
COMB_CHAM_ELEM COMB_FOURIER


[U4.53.03]
POST_RELEVE CHAM_GD
'EXTRACTION'

[U4.74.03]

3.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.

L'utilisation des commandes COMB_CHAM_NO et COMB_CHAM_ELEM mot clé COMB_R n'est pas une
recombinaison de Fourier mais une simple validation de ce mot clé.
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification
Référence
Aster %
différence
= 0
T (B)
1.
0.9981
­0.19
T
(F)
0.25
0.2484
­0.66

r (B)
­2 ­1.993
­0.36

r (F)
­1. ­0.9924
­0.76

(B)
1. 0.9996
­0.04

(F)
0.5 0.4982
­0.37

Z (B)
0. ­5.
10­3 -

Z (F)
0. 7.
10­4 -





= 45
T (B)
0.7071
0.7057
­0.192
T
(F)
0.177
0.1756
­0.65

r (B)
­1.414 ­1.4018
­0.87

r (F)
­0.7071 ­0.6848 3.15

(B)
­0.707 ­0.7069 0.027

(F)
­0.3535 ­0.3512 ­0.65

Z (B)
0. 0.36
10­3 -

Z (F)
0. 0.12
10­2 -





= 135
T (B)
­0.707
­0.7057
0.19
T
(F)
­0.177
­0.1756
0.65

r (B)
1.414 1.4018
­0.87

r (F)
0.707 0.685
­3.15

(B)
­0.707 ­0.7069 0.027

(F)
­0.3535 ­0.3533 0.06

Z (B)
0. ­0.36
10­3 -

Z (F)
0. ­0.12
10­2 -


4.2 Remarques

Les valeurs des flux aux noeuds sont moyennées sur les éléments contenant ce noeud.

On remarque que la solution exacte n'est pas trouvée. Ceci est du au fait que l'intégration numérique
de la matrice de rigidité thermique est approchée (formule à 3 points de GAUSS). Si on utilisait une
formule à 6 points, on trouverait la solution exactement.


4.3 Paramètres
d'exécution

Version : 4.00.02



Machine : CRAY C90

Système UNICOS :
8.04
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
7.0 secondes
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

AXIS-FOURIER (QUAD8)

y (z)
r z noeud
A 0. 0. N1
G
B 1. 0. N4
E
D
C 1. 0.5
N5
D 1. 1. N6
C
E 0. 1. N3
F 0.5
0. N7
x (r)
A
G 0.5
1. N12
F
B


Les axes de description du maillage sont x(r) et y(z).

Mode - Fourier : 2 T(A) = 0.
Pas de terme source car S l (r, z)

= .
0 pour l = 2

[BC] : = 2.
[CD] : h = 2. Text = 2.


5.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 13.
Nombre de mailles et types : 2 QUAD8


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

Clés
AFFE_MODELE 'THERMIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_THER TEMP_IMPO
NOEUD

[U4.25.02]
FLUX_REP
GROUP_MA


ECHANGE
GROUP_MA


CALC_MATR_ELEM 'RIGI_THER'
MODE_FOURIER
[U4.41.01]
CALC_VECT_ELEM 'CHAR_THER'


[U4.41.02]
ASSE_MATRICE


[U4.42.02]
ASSE_VECTEUR


[U4.42.03]
FACT_LDLT

[U4.51.01]
RESO_LDLT

[U4.51.02]
CALC_CHAM_ELEM 'FLUX_ELNO_TEMP'
MODE_FOURIER
[U4.61.01]


5.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
T(B) 1. 1.
0.
T(C) 1. 1.
0.
T(D) 1. 1.
0.
T(F) 0.25 0.25
0.
T(G) 0.25 0.25
0.
r (B)
­2. ­2.
0.
r (C)
­2. ­2.
0.
r (D)
­2. ­2.
0.
r (F)
­1. ­1.
0.
r (G)
­1. ­1.
0.
(B)
2. 2.
0.
(C)
2. 2.
0.
(D)
2. 2.
0.
(F)
1. 1.
0.
(G)
1. 1.
0.
Z (B)
0.
2.10­15
0.
Z (C)
0.
­1.2 10­14
0.
Z (D)
0.
­1.2 10­13
0.
Z (F)
0.
­1.4 10­14
0.
Z (G)
0.
­3.7 10­15
0.


6.2 Remarques

La solution analytique est trouvée exactement.


6.3 Paramètres
d'exécution

Version : 4.00.02



Machine : CRAY C90

Système UNICOS :
8.04
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
3.8 secondes

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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

AXIS-FOURIER (QUAD9)

y (z)
r z noeud
A 0. 0. N1
G
B 1. 0. N4
E
D
C 1. 0.5
N5
D 1. 1. N6
C
E 0. 1. N3
F 0.5
0. N7
x (r)
A
G 0.5
1. N12
F
B


Les axes de description du maillage sont x(r) et y(z).

Mode - Fourier : 3 T(A) = 0.

S = 5.
sur tout le domaine
[BC] :
= 2.
[CD] :
h = 2. Text = 2.

7.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 15.
Nombre de mailles et types : 2 QUAD9

7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

Clés
AFFE_MODELE 'THERMIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_THER TEMP_IMPO
NOEUD

[U4.25.02]
FLUX_REP
GROUP_MA


ECHANGE
GROUP_MA


SOURCE
TOUT


CALC_MATR_ELEM 'RIGI_THER'
MODE_FOURIER
[U4.41.01]
CALC_VECT_ELEM 'CHAR_THER'


[U4.41.02]
ASSE_MATRICE


[U4.42.02]
ASSE_VECTEUR


[U4.42.03]
FACT_LDLT

[U4.51.01]
RESO_LDLT

[U4.51.02]
CALC_CHAM_ELEM 'FLUX_ELNO_TEMP'
MODE_FOURIER
[U4.61.01]

7.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
T(B) 1. 1.
0.
T(C) 1. 1.
0.
T(D) 1. 1.
0.
T(F) 0.25 0.25 0.
T(G) 0.25 0.25
0.
r (B)
­2. ­2.
0.
r (C)
­2. ­2.
0.
r (D)
­2. ­2.
0.
r (F)
­1. ­1.
0.
r (G)
­1. ­1.
0.
(B)
3. 3.
0.
(C)
3. 3.
0.
(D)
3. 3.
0.
(F)
1.5 1.5
0.
(G)
1.5 1.5
0.
Z (B)
0.
1.2 10­14
0.
Z (C)
0.
5.5 10­14
0.
Z (D)
0.
4.6 10­15
0.
Z (F)
0.
­1.1 10­15
0.
Z (G)
0.
1.8 10­14
0.


8.2 Remarques

La solution analytique est trouvée exactement.


8.3 Paramètres
d'exécution

Version : 4.00.02



Machine : CRAY C90

Système UNICOS :
8.04
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
3.9 secondes
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9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

AXIS-FOURIER (QUAD4)

y (z)
50 subdivisions en r
r z noeud
A 0. 0. N1
G
D
B 1. 0. N151
E
C 1. 0.5
N152
D 1. 1. N153
C
E 0. 1. N3
F 0.5
0. N76
x (r)
G 0.5
1. N78
A
F
B


Les axes de description du maillage sont x(r) et y(z).

Mode - Fourier : 2 T(A) = 0.

S = 0.
sur tout le domaine
[BC] :
= 2.
[CD] :
h = 2. Text = 2.

9.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 153
Nombre de mailles et types : 100 QUAD4

9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

Clés
AFFE_MODELE 'THERMIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_THER TEMP_IMPO
NOEUD

[U4.25.02]
FLUX_REP
GROUP_MA


ECHANGE
GROUP_MA


SOURCE
TOUT


CALC_MATR_ELEM 'RIGI_THER'
MODE_FOURIER
[U4.41.01]
CALC_VECT_ELEM 'CHAR_THER'


[U4.41.02]
ASSE_MATRICE


[U4.42.02]
ASSE_VECTEUR


[U4.42.03]
FACT_LDLT

[U4.51.01]
RESO_LDLT

[U4.51.02]
CALC_CHAM_ELEM 'FLUX_ELNO_TEMP'
MODE_FOURIER
[U4.61.01]

9.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
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10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
T(B) 1. 0.9998
­2.10­3
T(C) 1. 0.9998
­2.10­3
T(D) 1. 0.9998
­2.10­3
T(F) 0.25
0.2498
­0.02
T(G) 0.25
0.2498
­0.02
r (B)
­2. ­1.9800 1.
r (C)
­2. ­1.9800 1.
r (D)
­2. ­1.9801 1.
r (F)
­1. ­1.0000 4. 10­3
r (G)
­1. ­1.0000 4. 10­3
(B)
2. 2.0000 4. 10­3
(C)
2. 2.0000 4. 10­3
(D)
2. 2.0001 5. 10­3
(F)
1. 1.0000 4. 10­3
(G)
1. 1.0000 4. 10­3
Z (B)
0.
­2.10­5
-
Z (C)
0.
­2.10­5
-
Z (D)
0.
­2.10­5
-
Z (F)
0.
­2.10­8
-
Z (G)
0.
­2.10­8
-


10.2 Remarques

La mauvaise précision enregistrée sur r (B), r (C), r (D) s'explique par le fait que B, C et D sont
des noeuds du bord, donc les flux ne sont pas moyennés sur des éléments adjacents dans la direction
du gradient de température (direction r).

Ce phénomène ne se retrouve pas sur , car est pondéré par 1/r.


10.3 Paramètres
d'exécution

Version : 4.00.02



Machine : CRAY C90

Système UNICOS :
8.04
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
5.8 secondes
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11 Modélisation
E

11.1 Caractéristiques de la modélisation

AXIS-FOURIER (TRIA3)

y (z)
50 subdivisions en r
r z noeud
A 0. 0. N1
G
D
B 1. 0. N151
E
C 1. 0.5
N152
D 1. 1. N153
C
E 0. 1. N3
F 0.5
0. N76
x (r)
G 0.5
1. N78
A
F
B


Les axes de description du maillage sont x(r) et y(z).

Mode - Fourier : 2 T(A) = 0.

S = 0.
sur tout le domaine
[BC] :
= 2.
[CD] :
h = 2. Text = 2.

11.2 Caractéristiques
du
maillage

Nombre de noeuds : 153
Nombre de mailles et types : 200 TRIA3

11.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

Clés
AFFE_MODELE 'THERMIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
[U4.22.01]
AFFE_CHAR_THER TEMP_IMPO
NOEUD

[U4.25.02]
FLUX_REP
GROUP_MA


ECHANGE
GROUP_MA


SOURCE
TOUT


CALC_MATR_ELEM 'RIGI_THER'
MODE_FOURIER
[U4.41.01]
CALC_VECT_ELEM 'CHAR_THER'


[U4.41.02]
ASSE_MATRICE


[U4.42.02]
ASSE_VECTEUR


[U4.42.03]
FACT_LDLT

[U4.51.01]
RESO_LDLT

[U4.51.02]
CALC_CHAM_ELEM 'FLUX_ELNO_TEMP'
MODE_FOURIER
[U4.61.01]

11.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
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5.0

Titre :

TPLV100 Cylindre soumis à des conditions aux limites

Date :
22/12/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
V4.04.100-C Page :
13/14


12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
T(B) 1. 0.9995 ­0.049
T(C) 1. 0.9999 ­7.10­3
T(D) 1. 1.0003 0.033
T(F) 0.25
0.2500 9.10­3
T(G) 0.25
0.2498 ­0.077
r (B)
­2. ­1.977
­1.14
r (C)
­2. ­1.9819
0.90
r (D)
­2. ­1.9856
0.72
r (F)
­1. ­0.993
0.68
r (G)
­1. ­1.007
0.68
(B)
2. 1.9992 ­0.04
(C)
2. 2.0000 -
(D)
2. 2.0008 0.04
(F)
1. 1.0004 0.04
(G)
1. 0.9995 ­0.05
Z (B)
0.
­4.10­3

Z (C)
0.
­4.10­3

Z (D)
0.
­4.10­3

Z (F)
0.
1.10­3

Z (G)
0.
1.10­3



12.2 Remarques

La mauvaise précision enregistrée sur r (B), r (C), r (D) s'explique par le fait que B, C et D sont
des noeuds du bord, donc les flux ne sont pas moyennés sur des éléments adjacents dans la direction
du gradient de température (direction r).

Ce phénomène ne se retrouve pas sur , car est pondéré par 1/r.

12.3 Paramètres
d'exécution

Version : 4.00.02



Machine : CRAY C90

Système UNICOS :
8.04
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
6.1 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V4.04 : Thermique stationnaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

TPLV100 Cylindre soumis à des conditions aux limites

Date :
22/12/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
V4.04.100-C Page :
14/14


13 Synthèse des résultats

Ce problème est correctement résolu :

· quel que soit le numéro d'harmonique de Fourier,
· par les différents types d'éléments (degré 1 ou 2).

Manuel de Validation
Fascicule V4.04 : Thermique stationnaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A

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