Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

SDND104 - Calcul de la puissance d'usure d'un patin frottant
Date :
16/05/03
Auteur(s) :
S. LAMARCHE Clé
:
V5.01.104-A Page :
1/12

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
Document V5.01.104





SDND104 - Calcul de la puissance d'usure d'une
masse frottante sous excitation sismique
harmonique





Résumé :

On considère une masse en contact frottant avec un plan rigide auquel on impose un mouvement vibratoire de
type harmonique. Le frottement est modélisé par la loi de Coulomb. Le calcul de la réponse de la masse est de
type transitoire non linéaire. On calcule la puissance d'usure résultant des phases de glissement entre la
masse et le plan rigide. Le calcul de la puissance d'usure n'étant développé dans Aster que pour les calculs
modaux, l'analyse est menée sur la base modale (triviale) du système. Afin d'éviter les problèmes numériques
résultant de la nullité de l'unique mode de corps rigide de la masse, un ressort très peu raide est introduit, liant
la masse à un point solidaire du plan rigide vibrant.

La solution de référence est un calcul quasi analytique de la réponse transitoire, dont les estimations
numériques sont programmées avec Maple.

L'unique modélisation Aster retenue teste les algorithmes d'intégration explicites à pas constant d'Euler
(ordre 1) et Devogeleare (ordre 4), ainsi que l'algorithme à pas variable ADAPT (ordre 2) développés dans la
commande DYNA_TRAN_MODAL, pour différentes amplitudes de l'accélération harmonique d'excitation
sismique du plan de support rigide. Selon cette amplitude, le régime de la réponse de la masse est du type
adhérent pour tout temps (stick), successivement adhérent et glissant (stick-slip), ou toujours glissant avec
inversion du sens de glissement (slip-slip).

On rend compte du fait que dans le cas d'une amplitude d'excitation suffisamment faible (premier régime,
adhérence permanente), la puissance d'usure est strictement nulle.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Le système considéré est constitué d'une simple masse pesante posée sur un support rigide soumis à
une vibration imposée de type sismique, sinusoïdale. Le contact, ainsi que le frottement sec sont
modélisés par pénalisation. Le système a donc deux degrés de liberté de translation (horizontale et
verticale).

RZ
RY
M
RX
F



Un ressort de raideur très faible relie la masse au support dans les trois directions. Ce ressort est un
artifice de calcul, destiné à éviter la nullité de la fréquence associée au mode rigide de translation
horizontale de la masse. Les résultats Aster prenant en compte la présence de ce ressort sont peu
différents des résultats que l'on obtiendrait sans ressort.


1.2
Propriétés du modèle

Raideur du ressort (selon les trois directions) :
k = 3.10-5 N/m,
masse :
m = 1 kg,
pesanteur :
g = 10 m/s2
coefficient de Coulomb :
µ = 0,1.


1.3
Conditions aux limites, conditions initiales et chargements

La masse repose sur le plan rigide à la cote z = 0 .

L'accélération harmonique imposée à la base a pour équation a = a sin( t
) . En particulier, elle est
0
nulle à l'instant initial. Le déplacement du support satisfait l'équation X (t) = -(a / 2
)sin( t
) , et
0
donc commence son mouvement vers la gauche, avec la vitesse initiale non nulle &
X ( )
0 = -a / .
0

Le déplacement initial (à t = 0 ) de la masse est pris nul. La masse est considérée comme en état
d'adhérence à l'instant initial. Elle a donc la même vitesse non nulle que le support à t = 0 .

Les calculs sont effectués pour différentes valeurs de l'accélération maximale :

a = 15 m/s 2 , a = 15
, m/s 2 , a = 1 0
, 1 m/s 2 et a = 0 9
, 9 m/s 2
0
0
0
0

et une valeur de pulsation : = 2.

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2
Solution de référence

La solution de référence, qui est analytique, est calculée de la manière suivante.
Soit x(t) l'abscisse de la masse dans le repère fixe et X (t) l'abscisse du support vibrant dans ce
même repère.

Initialement, on suppose que la masse est adhérente sur son support. Elle le reste alors un certain
temps après l'instant initial t = 0 . Elle subit de ce fait l'accélération imposée par le support rigide, soit
&
x(t) = &X (t) = a sin t
. La force tangentielle exercée par la masse sur le support est alors
0
F = -mx&(t) = -ma sin t
(nulle à l'instant initiale, ce qui justifie l'hypothèse de départ
T
0
qu'initialement, la masse est adhérente sur son support). La masse reste adhérente tant que
F = ma sin t

µ
µ
. Si a g
µ , la masse reste donc indéfiniment adhérente sur son
0
F = mg
T
N
0
support, et son mouvement est exactement le même que celui-ci. En introduisant le coefficient
µg
adimensionnel =
, la condition d'adhérence permanente s'écrit 1. La courbe d'accélération
a0
de la masse, comme du support, a alors l'allure suivante en fonction du temps :


4
2
0.2
0.4
0.6
0.8
-2
-4



Quant à la vitesse, elle a l'allure suivante (unique primitive de moyenne nulle) :


0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.2
-0.4

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Si a0 > g
µ , il existe un plus petit temps t = t tel que F = ma sin t

µ
. Ce plus petit
0
1 =
mg
1
T
temps est nécessairement tel que sint > 0 , ce qui permet de supprimer la valeur absolue dans
0
1
g
µ
1
l'expression précédente, et d'obtenir de l'expression explicite t =
arcsin
= arcsin . En
1

a


0
T
2

particulier, t
=
=
1
4
4
2 .

Après cet instant, la masse glisse vers la gauche par rapport au support, donc elle vérifie l'équation
dynamique &x(t) = g
µ , soit &x(t) = g
µ (t - t )
. Sa vitesse augmente donc linéairement avec
1
+ &x(t )1
a
a
le temps, en partant à t de la valeur négative x t
0
= -
t
0
2
= -
1 - (en effet,
1
&( )
cos
1
1


sint = ).
1


X''
mu g
x''
t
- mu g
X'
x'
t1
t2 t3
t4
t


Mouvement pour > * , régime de « stick-slip », succession d'adhérence et de glissement


Nécessairement, pour une certaine valeur de temps t satisfaisant /
2 t
, la vitesse
2

2 /
2
de la masse redevient égale à la vitesse du support. A cet instant, le mouvement redevient adhérent si
et seulement si
l'accélération que subit la masse au début de l'adhérence est inférieure en valeur
absolue à µg . On examine la traduction de cette condition dans la suite. On exprime pour
commencer la valeur de t .
2
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a
a
Le temps t satisfait l'équation x t
= X t , soit µg(t - t )
0
-
cos t
0
= -
cos t , ou
2
&( )
2
& ( )
2
2
1

1

2
encore (t - t ) - cost + cost = 0 .
2
1
1
2

Cette équation, transcendante, permet la détermination de t en fonction de t et , soit finalement,
2
1
compte tenu de l'expression de t , la détermination de t en fonction des paramètres physiques du
1
2
système et . Si l'accélération du support en t est inférieure en valeur absolue à µg , le
2
mouvement reste alors adhérent jusqu'à un instant t pour lequel l'accélération du support et de la
3
masse atteignent la valeur - µg , instant qui pour des raisons de symétries claires sur les graphes ci-
dessus, satisfait exactement t = t + / . La masse entame alors une phase de glissement
3
1
jusqu'à un instant t , après lequel le mouvement se reproduit périodiquement.
4

On comprend que pour des valeurs suffisamment petites de , le mouvement ne pourra pas devenir
adhérent à partir du temps t , car l'accélération de la masse dépasserait le seuil µg . Il existe donc
2
une valeur critique * telle que pour > * , le mouvement de la masse passe sans phase
d'adhérence d'un glissement à un glissement de sens opposé. Une réflexion sur la continuité de la
fonction réponse en vitesse de la masse par rapport au paramètre montre que pour * , le
mouvement ultérieur est toujours glissant (régime de « slip-slip », de sens alternés). Pour < * , le
mouvement alterne périodiquement des phases d'adhérence et de glissement.

La valeur critique * admet une expression analytique simple. En effet, pour = * , les instants t
2
et
t sont confondus. Donc t - t = t - t = / et l'équation
3
2
1
3
1
(t - t ) - cost + cost = 0
2
devient * = 2
t = 2 1
. En passant au carré, on
1
- *
cos
2
1
1
2
2
obtient 2*2
4

4 *2
= -
, soit * =
,
0 537 .
2 + 4

Pour * , le mouvement n'est qu'asymptotiquement périodique. La suite (t ) des instants de
n
changement de sens de glissement vérifie t
/ quand n tend vers l'infini. La figure
1 - t

n+
n
ci-dessous montre l'allure typique (ligne brisée) de la vitesse de la masse dans la situation de slip-slip.


Mouvement pour * : régime de « slip-slip », aucune adhérence
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Résumons les conclusions :
µg
2
On a le coefficient adimensionnel =
et sa valeur critique * telle que * =
,
0 537 .
a
2
0
+ 4


Si * < < 1 le régime établi est de type « stick-slip » : alternance de phases d'adhérence et de
glissement ;

Si < * ,
le régime établi est de type « slip-slip » : glissement permanent alterné ;
Si > 1,

le régime établi est de type « stick » : adhérence permanente avec la base.

Dans les résultats de comparaison calcul analytique/Aster qui suivent, les choix de l'amplitude a
0
sont tels que ces trois situations sont visitées. On prend en effet m = 1 kg, g = 10 m/s 2 , µ = 0 1
, ,

a = 15 m/s 2 , a = 15
, m/s 2 , a = 1 0
, 1 m/s 2 et a = 0 9
, 9 m/s 2 .
0
0
0
0

La puissance d'usure est physiquement nulle lors des phases d'adhérence.
Dans Aster, avec l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL utilisé ici, l'adhérence n'est pas détectée car
l'intégration du mouvement est fait par régularisation de la loi de frottement. Le respect du résultat nul
de la puissance d'usure pendant des phases d'adhérence a nécessité l'introduction d'un critère sur la
vitesse de glissement, pour qu'en dessous d'une certaine valeur, elle doit considérée comme nulle, et
le mouvement adhérent. On peut consulter la documentation de référence Opérateur de calcul de
l'usure/Modèle d'Archard [R7.04.10].

Pendant les phases de glissement, la puissance d'usure suit la loi P (t) = m
µ gV (t) , où
u
R
V (t) = x&(t) - X& (t) est la vitesse relative de glissement de la masse sur le support. Dans la situation
R
du régime de stick-slip, pour laquelle le mouvement devient strictement périodique au bout d'une
temps fini, l'énergie d'usure au cours d'une demi-période est exactement

t
t
t
2
2
2
a
a
E =
mgV (t) dt

= mg
X& (t

) - x&(t) dt = mg (- 0 cos t
- ( g
µ (t - t )
0


1
-
cos t ))dt
u
R
t
t
t
1
1
1
1



a0
1
g
µ

=
2
mg ((t2 - 1t)cos 1t - (sin t
2 -)) -
(t2 - 1t) .


2


La formulation transcendante de t ne permet pas apparemment de simplifier l'expression de cette
2
énergie d'usure. La puissance d'usure moyenne P est simplement l'énergie d'usure E ci-dessus
u
u
divisée par la demi-période de la réponse T / 2 = / .

Dans le cas d'un mouvement toujours glissant ( * ), l'intervalle d'intégration à prendre est de la
forme [t ,t
avec n suffisamment grand, de sorte que t
soit suffisamment proche de la
1 - t
n
n+1 ]
n+
n
valeur limite / . On peut éviter le calcul numérique par récurrence de cette suite, sachant que la
moyenne de la vitesse asymptotique est nulle. En effet, la suite t - n / a une limite finie . Les
n
propriétés satisfaites par sont illustrées sur la figure suivante :
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Le segment de droite a pour équation
a
v = g
µ (t - ) - w = g
µ (t - ) - 0
cos
(
) ,

a
et pour t = + / , la vitesse v soit prendre la valeur opposée w = 0


cos(
) , ce qui donne
l'équation
a
a
µ
g / - 0
0
cos
(
) = cos
(
) ,
soit
µ
g = 2a cos(
) ;
0

dont la solution est
1
µg
1



=

arccos


= arccos
.
2a0

2
Notons que l'on retrouve bien que pour = * , l'accélération du support calculée au temps t =
donne la valeur limite µg . En effet

a sin(
) = a sin(arccos( * / 2)) = a
*2
2
1 -
/ 4 = a 1- 1
(
*2
-
) = a *




= g
µ .
0
0
0
0
0

Dans le cas du mouvement toujours glissant, l'énergie d'usure au cours d'une période asymptotique
est exactement donnée par la formule
+ /
E =
mgV t dt

( )

u
R

que l'on peut expliciter selon le calcul précédent, en prenant t = et t = + / , ce qui donne
1
2

a
1
g
/
2
2
2
µ
2

µ
0
2 +
a
g

E = mg
(t cos -
sin t
) -
(t - )
mg 0 (
1
)
,
u



2


=
+
-
-
2


2

4
2
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soit

mga
mg
E =
0
2
2
2
2
2
2
4
4
µ
.
2
-
=
a
2
0 -
g
u



La puissance d'usure moyenne (sur une période) asymptotique est alors

E
mga
mga
4
P
u
0
2
2
0
2
u =
=
4 - =
.
2 -
/




Le programme Maple suivant permet le calcul de la puissance d'usure exacte dans un intervalle de
temps spécifié, ainsi que le tracé du graphe montrant la convergence de la fonction vitesse de la
masse vers une fonction périodique limite, pour toute valeur des paramètres physiques et d'excitation
telles que le régime soit de type slip-slip ( * ), et la valeur exacte de la puissance moyenne
d'usure sur une période (la seule utile pour ce qui nous intéresse) dans le cas du stick-slip.


# Ce programme fait le calcul, sur la partie transitoire
# du debut du signal, de la puissance d'usure exacte,
# jusqu'a un temps specifie en debut de programme.
Digits := 20 :
pi := evalf(Pi) :
T := 1 : # periode du mouvement du support
omega := 2*pi/T :
tmin := 4 :
tmax := 12 : # duree du transitoire considere
ncycle := floor(tmax/T)+2 : # nombre d'iteration de calcul de ti[i] et tf[i]
Nmax := 100*ncycle : # pour remplacer la fonction sin par une ligne brisee
m := 1 :
g := 10 :
mu := 0.1 :
a0 := 1.5 :
eta := mu*g/a0 :
omega := 2*pi/T :
etaetoile := 2/sqrt(pi^2+4) :
ti[1] := 1/omega*arcsin(eta) :
dX := t -> -a0/omega*cos(omega*t) :
dxmoins[0] := dX(t) :
lignedx := [ti[1],dX(ti[1])] :
Eusure := 0 : # l'usure est nulle sur la phase d'adherence [0, ti[1]]
#
# Noter que ti[i+1] est necessairement dans l'intervalle [i*T-T/4,i*T+T/2]
# et que tf[i] est necessairement dans l'intervalle [i*T-3*T/4, i*T].
# Ces deux intervalles se recouvrent, mais on a toujours tf[i]<ti[i+1].
#
if eta<etaetoile then # regime de slip-slip
for i from 1 to ncycle do
dxplus[i] := mu*g*(t-ti[i]) + subs(t=ti[i],dxmoins[i-1]) :
tf[i] := fsolve(dX(t)=dxplus[i], t=(i*T-3*T/4)..(i*T)) :
lignedx := lignedx, [tf[i], dX(tf[i])] :
tinf := max(ti[i], tmin) :
tsup := min(tf[i], tmax) :
if tinf<tsup then
Eusure := Eusure + int(m*g*(dX(t)-dxplus[i]), t=tinf..tsup) :
fi :
dxmoins[i] := -mu*g*(t-tf[i]) + subs(t=tf[i],dxplus[i]) :
ti[i+1] := fsolve(dX(t)=dxmoins[i], t=(i*T-T/4)..(T/2+i*T)) :
lignedx := lignedx, [ti[i+1], dX(ti[i+1])] :
tinf := max(tf[i], tmin) :
tsup := min(ti[i+1], tmax) :
if tinf<tsup then
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Eusure := Eusure + int(m*g*(dxmoins[i]-dX(t)), t=tinf..tsup) :
fi :
od :
# courbedX := plot([seq([j*tmax/Nmax,dX(j*tmax/Nmax)], j=0..Nmax)]) :
# courbedx := plot([lignedx]) :
# with(plots) :
# display([courbedX, courbedx]) ;
theta := arccos(pi*eta/2)/omega :
dxinfini := t -> mu*g*(t-theta)+dX(theta) :
Vginfini := dxinfini - dX :
Eumoyana := - int(m*g*Vginfini(t), t=theta..(theta+pi/omega)) :
Eumoyanaana := m*g*a0/omega^2*sqrt(4-eta^2*pi^2) :
Pumoyana := 2*Eumoyana/T :
Pumoyanaana := 2*Eumoyanaana/T :
Pusure := Eusure/(tmax-tmin) ;
elif (eta>etaetoile and eta<1) then # regime de stick-slip
lignedx := [ti[1],dX(ti[1])] :
dxplus[1] := mu*g*(t-ti[1]) + subs(t=ti[1],dxmoins[0]) :
tf[1] := fsolve(dX(t)=dxplus[1], t=(T-3*T/4)..T) :
dxplus := unapply(dxplus[1], t) :
Vg := dxplus - dX :
Eu := -int(m*g*Vg(t),t=ti[1]..tf[1]) :
Pusuremoy := 2*Eu/T ;
else # regime d'adherence permanente
Eu := 0 ;
fi :

La solution Aster considérée est le calcul de la puissance d'usure moyenne pendant une phase
transitoire allant de 4 à 11,99 secondes (de 8/ à 24/). L'énergie d'usure pendant cette durée
transitoire diffère quelque peu de l'énergie d'usure moyenne (asymptotique) sur cette durée (tant en
situation de stick-slip que de slip-slip). Il convient donc, pour la comparer précisément aux résultats
Aster, de faire un calcul exact de cette énergie dans l'intervalle de temps [4s, 11,99s].

Pour a = 15 m/s 2 , la puissance d'usure moyenne asymptotique est de 15,1146144886 Watt alors
0
que la puissance d'usure moyenne sur l'intervalle temporel [4s, 11,99s] est de 15,257521794 Watt.
C'est cette dernière valeur qui constitue le résultat de référence.

Remarque :

En tant que calcul de puissance moyenne, la puissance d'usure calculée sur un intervalle
n'est pas obligatoirement croissante avec la durée de l'intervalle. Si on ajoute à l'intervalle
une durée sur laquelle il y a adhérence, la puissance d'usure moyenne sera plus faible.

2.1
Résultats de référence

Valeur de l'accélération max. a0 (ms-2)
Valeur de la puissance moyenne d'usure
Sur l'intervalle [4s, 11,99s], en Watt
15 (slip-slip)
15,26709959
1,5 (stick-slip)
0,40906245
1,01 (stick-slip)
2,261641E-4
0,99 (stick)
0

2.2
Incertitude sur la solution

Solution quasi-analytique (présence d'équations transcendantes résolues numériquement avec une
précision arbitraire).

2.3 Références
bibliographiques

[1]
B. WESTERMO, F. UDWADIA : Periodic Response of a sliding oscillator system to harmonic
excitation. Earthquake Engineeering and structural dynamics Vol 14 135-146 (1983)
[2] Documentation
du
Code_Aster [R7.04.10]
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Un élément de type DIS_T sur une maille POI1 est utilisé pour modéliser le système.
Le calcul se fait sur base modale. On bloque les déplacements en Y et en Z, la base modale ne
contient donc qu'un mode.
On utilise l'opérateur de calcul dynamique sur base modale DYNA_TRAN_MODAL, avec le mot clef
CHOC pour modéliser la non linéarité locale.
Un obstacle de type PLAN_Z (deux plans parallèles séparés par un jeu ) est utilisé pour simuler le plan
de glissement. On choisit de prendre pour génératrice de ce plan Oy soit NORM_OBST : (0., 1., 0.).
L'origine de l'obstacle est ORIG_OBST : (0.,0.,1.), son jeu qui donne le demi-écartement entre les
plans est de 0.5.
On se place dans le repère relatif (chargement mono-appui) et on applique un chargement en
accélération avec CALC_CHAR_SEISME.
On utilise un pas de temps de 3.10­5 s pour l'intégration temporelle pour limiter le temps de calcul. Ce
pas de temps est bien inférieur à min(2 / K / M ,2 / K / M
4
)
10
.
7
-
=
s
N
.
La raideur tangentielle de frottement est prise aussi grande que possible pour assurer la stabilité du
schéma, soit KT = 900000 N/m. La valeur KT = 1000000 N/m conduit à une instabilité numérique.
La raideur normale KN doit être prise égale à 20 N/m pour compenser exactement le poids de la
masse. (la valeur du jeu est de 0,50m). Toute autre valeur conduit à des résultats aberrants.


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1
Nombre de mailles et types : 1 POI1


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


DEFI_OBSTACLE TYPE
'PLAN_Z'

DYNA_TRAN_MODAL CHOC


'ADAPT'
'DEVOGE'
'EULER'
POST_DYNA_MODA_T USURE





4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster
Aster DEVOGE Aster
EULER % différence max
ADAPT
a0 = 15
15,2671
15,2660
15,2665
15,2668
0,007%
a0 = 1,5
0,409062
0,409077
0,409077
0,409077
0,004%
a0 = 1,01
2,26164E-4
2,26164E-4
2,26164E-4 2,26316E-4 0,072%
a0 = 0,99
0
0
0
0
0%
Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
HT-66/03/008/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

SDND104 - Calcul de la puissance d'usure d'un patin frottant
Date :
16/05/03
Auteur(s) :
S. LAMARCHE Clé
:
V5.01.104-A Page :
11/12


5
Synthèse des résultats

Le cas-test valide le calcul de la puissance d'usure avec POST_DYNA_MODA_T après un calcul sur
DYNA_TRAN_MODAL, aussi bien sur un schéma à pas variables (ADAPT) que sur des schémas à pas
constants (Euler et Devoggeleare). En particulier les micro-vitesses tangentielles induites par le
modèle de contact par pénalisation, lors des phases d'adhérence, sont correctement annulées.

L'influence du ressort ajouté reste en deçà des précisions obtenues.

La raideur tangentielle du contact est l'élément limitant pour une précision supérieure. La convergence
des résultats vers la solution de référence a été vérifiée. La raideur tangentielle a été prise aussi
grande que possible pour assurer la stabilité du schéma avec dt =10­4 s.

Les tolérances dans les tests-resu sont prises juste au-dessus des différences trouvées.
Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
HT-66/03/008/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

SDND104 - Calcul de la puissance d'usure d'un patin frottant
Date :
16/05/03
Auteur(s) :
S. LAMARCHE Clé
:
V5.01.104-A Page :
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Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
HT-66/03/008/A

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