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Version
4.0
Titre :
SDLL101 Vibration d'une poutre avec pré-contrainte
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
Clé :
V2.02.101-B Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.101
SDLL101 - Vibration d'une poutre avec
pré-contrainte
Résumé :
Ce problème plan consiste à chercher les fréquences de vibration d'une structure mécanique composée d'une
poutre élancée, de section circulaire, sous tension encastrée-glissière. Ce test de Mécanique des Structures
correspond à une analyse dynamique d'un modèle linéique ayant un comportement linéaire. Ce test comporte
deux modélisations.
Dans la première modélisation, on teste l'élément de poutre de Timoshenko soumis à une précontrainte, le
calcul de la rigidité géométrique et le calcul des fréquences propres par la méthode de Lanczos. Dans la
deuxième modélisation, on teste l'élément de poutre d'Euler-Bernouilli soumis à une précontrainte, le calcul de
la rigidité géométrique et le calcul des fréquences propres par la méthode de Bathe et Wilson.
Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats du guide VPCS. On remarque un décalage vers le
haut des fréquences de vibration quand la précontrainte dans la poutre augmente.
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Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
A
B
P
P
Section circulaire pleine
diamètre d : 0.01 m
Longueur de la poutre
L : 2 m
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2 1011 N/m2
= 0.3
= 7 800. kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargements
· Poutre posée-posée,
· 4 chargements sont étudiés P = 0., P = 10., P = 100., P = 1 000. N
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
L'équation de vibration d'une poutre précontrainte est :
4y
2y
2y
EI
+ P
= -S
z x4
x2
x2
précontrainte de traction si P > 0, de compression si P< 0, et conduit aux fréquences propres de flexion
(hypothèse d'Euler-Bernoulli)
1/ 2
1/ 2
EI
f = i2
z
i =
i
1 +
PL2
1,2,3,. ..
2 L2
EI i2 2 S
z
2.2
Résultats de référence
5 premières fréquences propres.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique (hypothèse des poutres d'Euler-Bernouilli).
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Robert D. BLEVINS Formulas for natural frequency and mode shape - 1979 p.144 (formule
8.20 rectifiée).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments de poutre POU_D_T (Poutre droite de Timoshenko)
y
A
B
x
Découpage : 10 éléments de poutre
noeud A : translations en x et y bloqués
noeud B : translation en y bloqué.
Remarque :
La force P appliquée en B engendre une réaction - P en A.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
21
Nombre de mailles et types :
20 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'CERCLE'
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE
NOEUD
[U4.25.01]
DDL_IMPO
AFFE_MATERIAU
TOUT
[U4.23.02]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'POU_D_T'
'TOUT'
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_GEOM'
[U4.41.01]
SIEF_ELGA
CALC_VECT_ELEM
OPTION
CHAR_MECA
[U4.41.02]
CALC_CHAM_ELEM
DEPL
[U4.61.01]
OPTION
SIEF_ELGA_DEPL
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION
NMAX_FREQ
'PLUS_PETITE'
COMB_MATR_ASSE
[U4.53.01]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Pré contrainte / ordre du mode
Référence
Aster
% différence
propre
P = 0 1
4.97137
4.9711
0.01
2
19.8851
19.8829
0.01
3
44.7414
44.7320
0.02
4
79.5403
79.5203
0.02
5
124.2818
124.2706
0.01
P = 10 1
5.0728
5.0727
0.0
2
19.9874
19.9852
0.01
3
44.8439
44.8345
0.02
4
79.6429
79.6229
0.03
5
124.3844
124.3732
0.01
P = 100 1
5.9090
5.9088
0.00
2
20.8860
20.8839
0.01
3
45.7561
45.7467
0.02
4
80.5600
80.5400
0.03
5
125.3037
125.2923
0.01
P = 1 000 1
11.2577
11.2576
0.00
2
28.3462
28.3442
0.01
3
54.0370
54.0281
0.02
4
89.2134
89.1935
0.02
5
134.1511
134.1379
0.01
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.21
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
10 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments de poutre POU_D_E (Poutre d'Euler-Bernouilli)
y
A
B
x
Découpage : 19 éléments de poutre
noeud A : translations en x et y bloqués
noeud B : translation en y bloqué.
Remarque :
La force P appliquée en B engendre une réaction - P en A.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
21
Nombre de mailles et types :
20 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'CERCLE'
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE
NOEUD
[U4.25.01]
DDL_IMPO
AFFE_MATERIAU
TOUT
[U4.23.02]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'POU_D_T'
'TOUT'
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'RIGI_GEOM'
[U4.41.01]
SIEF_ELGA
CALC_VECT_ELEM
OPTION
CHAR_MECA
[U4.41.02]
CALC_CHAM_ELEM
DEPL
[U4.61.01]
OPTION
SIEF_ELGA_DEPL
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'JACOBI'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION
'PLUS_PETITE'
NMAX_FREQ
COMB_MATR_ASSE
[U4.53.01]
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Pré contrainte / ordre du mode
Référence
Aster
% différence
propre
P = 0 1
4.97137
4.9713
0.00
2
19.8851
19.8853
0.00
3
44.7414
44.7439
0.01
4
79.5403
79.5574
0.02
5
124.2818
124.3594
0.06
P = 10 1
5.0728
5.0728
0.00
2
19.9874
19.9876
0.00
3
44.8439
44.8464
0.01
4
79.6429
79.6599
0.02
5
124.3844
124.4619
0.06
P = 100 1
5.9090
5.9090
0.00
2
20.8860
20.8862
0.00
3
45.7561
45.7585
0.01
4
80.5600
80.5768
0.02
5
125.3037
125.3807
0.06
P = 1 000 1
11.2577
11.2577
0.00
2
28.3462
28.3463
0.00
3
54.0370
54.0391
0.00
4
89.2134
89.2287
0.02
5
134.1511
134.2234
0.05
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.21
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
11 secondes
Manuel de Validation
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Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL101 Vibration d'une poutre avec pré-contrainte
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
Clé :
V2.02.101-B Page :
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7
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats de référence. On remarque bien que les
fréquences de vibration augmentent quand la précontrainte augmente.
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/051 - Ind A