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SSNV138 - Plaque Cantilever en grandes rotations soumise à un moment Date
:
17/06/03
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P. MASSIN, M. AL MIKDAD, J.M.PROIX Clé
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.138
SSNV138 - Plaque Cantilever en grandes rotations
soumise à un moment
Résumé :
Calcul quasi-statique d'une plaque élastique encastrée sur un côté et soumise à un moment de flexion à l'autre
côté, conduisant à de grandes rotations de la plaque.
Intérêt :
Tester les éléments finis non linéaires géométriques COQUE_3D (modélisations A et C) et POU_D_T_GD
(modélisation B) utilisant l'algorithme de mise à jour des grandes rotations 3D GREEN_GR dans
STAT_NON_LINE.
Remarque :
Ce test est la version plaque du cas test de poutre SSNL103. Les caractéristiques mécaniques ont été
modifiées de façon à supporter une modélisation surfacique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
z
L=10 m
4
P
3
P
b = 1 m
x
m
1
P
h = 0.1 m
2
P
Plaque rectangulaire encastrée en 1
P 4
P et soumise en 2
P 3
P à un couple linéique :
m = -me
; m
y
> 0
1.2
Propriétés de matériaux et caractéristiques de section
Comportement élastique :
E = 12 ×106 Pa ; = 0
Le fait que le coefficient de Poisson soit nul rend la solution de plaque identique à celle de poutre.
I y est l'inertie de la section avec un modèle de poutre :
3
b
1
-3
I y = h =
×10
12
12
1.3
Conditions aux limites et chargement
Encastrement en 1
P 4
P . On cherche les états successifs d'équilibre sous le chargement constitué du
couple linéique en 2
P 3
P :
m(t) = 100 t ; t pseudo-temps.
On s'intéresse particulièrement aux déplacements horizontal et vertical et à la rotation de la ligne
2
P 3
P .
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Avec une cinématique de poutre et un modèle en efforts résultants, la courbure (en grandes rotations)
du cantilever soumis au moment de flexion M = mb est, avec les données numériques précédentes :
d
mb
t
=
=
dx
EI
L
y
C'est la solution d'Euler.
2.2
Résultats de référence
L
R =
Rsin
R 1
( - cos )
L
Suivant la solution d'Euler, la déformée est un arc de cercle. A la section 2
P 3
P (x = L) , la rotation
vaut :
(x = L) = t.
En l'absence d'effort normal, la surface moyenne reste inextensible et le rayon de courbure est donné
par :
d -1
L
R =
=
dx
t
Le déplacement horizontal est alors
sin
u =
t
R sin - L = L(
- )
1
t
et le déplacement vertical est
L
v = R 1
( - cos ) =
1
( - cost)
t
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2.3 Références
bibliographiques
[1]
M. AL MIKDAD : Statique et Dynamique des Poutres en Grandes Rotations et Résolution des
Problèmes d'Instabilité Non Linéaire. Thèse de Doctorat, Université de Technologie de
Compiègne (1998).
[2]
J.C. SIMO and L. VU QUOC : A Three-dimensional Finite Strain Rod Model. Part II :
Computational Aspects. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 58, 79-116 (1986).
[3]
J.C. SIMO, D.D. FOX and M.S. RIFAI : On a Stress Resultant Geometrically Exact Shell
Model. Part III : Computational Aspects of the Nonlinear Theory. Comput. Meth. Appl. Mech.
Engrg. 79, 21-70 (1990).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D
3.2
Caractéristiques du maillage
1 élément
10 éléments
Nombre de noeuds : 54
Nombre de mailles et type : 10 QUAD9 et 1 SEG3
3.3 Fonctionnalités
testées
· La modélisation COQUE_3D en non linéaire géométrique.
· L'algorithme statique de mise à jour des grandes rotations GREEN_GR de STAT_NON_LINE.
Commandes
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
RELATION : 'ELAS'
COQUE_NCOU : 1
DEFORMATION : 'GREEN_GR'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
L'analyse incrémentale est réalisée dans l'intervalle de pseudo-temps [0 : 2.4] en quatorze pas de
charge.
4.1.1 Histoire de la rotation horizontale DRY aux noeuds chargés
Instant
Couple m
Aster
Référence
% différence
DRY (radians)
DRY (radians)
0.6 60.
0.6000E+00
0.6000E+00
+0.000
1.2 120
1.20003E+00
1.2000E+00
+0.003
1.8 180
1.80011E+00
1.8000E+00
+0.006
2.4 240
2.40021E+00
2.4000E+00
+0.009
4.1.2 Histoire du déplacement horizontal DX aux noeuds chargés
Instant
Couple m
Aster
Référence
% différence
0.6 60.
5.89343E-01
5.8929E-01
+0.009
1.2 120
2.23316E+00
2.23300E+00
+0.012
1.8 180
4.59041E+00
4.58973E+00
+0.015
2.4 240
7.1866E+00
7.18557E+00
+0.015
4.1.3 Histoire du déplacement vertical DZ aux noeuds chargés
Instant
Couple m
Aster
Référence
% différence
0.6 60.
2.91108E+00
2.91107E+00
+0.000
1.2 120
5.31370E+00
5.31368E+00
+0.000
1.8 180
6.817704E+00
6.81778E+00
0.001
2.4 240
7.2386
E+00
7.23914E+00
0.007
Nous présentons ci-après une visualisation de la déformée au cours des 14 pas de charge :
4.2 Remarques
On utilise COEF_RIGI_DRZ = 0.001. La valeur de l'angle de rotation atteinte est de 135 degrés.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
POU_D_T_GD (poutre 3D en grandes rotations).
modélisation POU_D_T_GD.
5.2
Caractéristiques du maillage
10 éléments
Nombre de noeuds : 11
Nombre de mailles et type : 10 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
· L'élément non linéaire géométrique POU_D_T_GD.
· L'algorithme statique de mise à jour des grandes rotations ELAS_POUTRE_GD de
STAT_NON_LINE.
Commandes
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
RELATION : 'ELAS_POUTRE_GD'
DEFORMATION : 'GREEN_GR'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
L'analyse incrémentale est réalisée dans l'intervalle de pseudo-temps [0 : 6] en 60 pas de charge.
6.1.1 Histoire de la rotation horizontale DRY (radians) aux noeuds chargés
Instant
Moment m
Aster
Référence
% différence
0.3 30.
0.3000E+00
0.3000E+00
+0.000
0.6 60.
0.6000E+00
0.6000E+00
+0.000
3.0 300.
3.0000E+00
3.0000E+00
+0.000
6 600 -6
-6 0
6.1.2 Histoire du déplacement horizontal DX (m) aux noeuds chargés
Instant
Moment m
Aster
Référence
% différence
0.3 30.
1.4895E-01
1.4932E-01
0.247
0.6 60.
5.8788E+01
5.8934E+01
0.240
3.0 300. 9.5278 9.5296
0.02
6 600
10.4729
10.4657
0.07
6.1.3 Histoire du déplacement vertical DZ (m) aux noeuds chargés
Instant
Moment m
Aster
Référence
% différence
0.3 30.
1.4888E+01
1.4887E+01
+0.004
0.6 60.
2.9115E+00
2.9110E+00
+0.015
3.0 300.
6.6582 6.6333 0.38
6 600
6.74377
6.638286
1.6
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D
7.2
Caractéristiques du maillage
1 élément
10 éléments
Nombre de noeuds : 64
Nombre de mailles et type : 20 TRIA7 et 1 SEG3
7.3 Fonctionnalités
testées
· La modélisation COQUE_3D en non linéaire géométrique.
· L'algorithme statique de mise à jour des grandes rotations GREEN_GR de STAT_NON_LINE.
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
L'analyse incrémentale est réalisée dans l'intervalle de pseudo-temps [0 : 2.2] en huit pas de charge.
8.1.1 Histoire de la rotation horizontale DRY aux noeuds chargés
Instant
Couple m
Aster
Référence
% différence
0.6 60
0.5993E+00
0.6000E+00
0.107
1.2 120
1.1950E+00
1.2000E+00
0.411
1.8 180
1.7843E+00
1.8000E+00
0.868
2.2 220
2.2000E+00
2.1728E+00
1.235
8.1.2 Histoire du déplacement horizontal DX aux noeuds chargés
Instant
Couple m
Aster
Référence
% différence
0.6 60
5.88149E-01
5.8929E-01
0.194
1.2 120
2.21699E+00
2.23300E+00
0.717
1.8 180
4.52666E+00
4.58973E+00
1.374
2.2 220
6.21278E+00
6,3250163463
1.774
8.1.3 Histoire du déplacement vertical DZ aux noeuds chargés
Instant
Couple m
Aster
Référence
% différence
0.6 60
2.90827E+00
2.91107E+00
0.096
1.2 120
5.29785
E+00
5.31368E+00
0.298
1.8 180
6.79264E+00
6.81778E+00
0.369
2.2 220
7.207771E+00
7,22046E+00
0.176
Nous présentons ci-après une visualisation de la déformée au cours des 8 pas de charge :
8.2 Remarques
On utilise COEF_RIGI_DRZ = 0.001. La valeur de l'angle de rotation atteinte est de 125 degrés.
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9
Synthèse des résultats
On remarque des difficultés de convergence qui disparaissent en multipliant l'épaisseur par 3 ou 4.
Il est nécessaire d'augmenter la valeur du COEF_RIGI_DRZ qui attribue une rigidité autour de la
normale des éléments de coque qui vaut par défaut 105 (la plus petite rigidité de flexion autour des
directions dans le plan de la coque) de façon à pouvoir augmenter la valeur de l'angle de rotation que
l'on peut atteindre. Des valeurs de ce coefficient jusqu'à 103 restent licites.
Durant les itérations de Newton, des déformations de membrane apparaissent et s'annulent à
convergence.
Les vitesses de convergence des algorithmes de NEWTON sont comparables pour les modélisations
POU_D_T_GD et COQUE_3D.
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17/06/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, M. AL MIKDAD, J.M.PROIX Clé
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V6.04.138-C Page :
12/12
Page laissée intentionnellement blanche.
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