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Version
6.4
Titre :
SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d'un oscillateur harmonique
Date :
17/02/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, IRCN
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Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.321
SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d'un
oscillateur harmonique avec amortissement
variable
Résumé :
Le système considéré est un oscillateur harmonique à 1 d.d.l. sous excitation harmonique à la résonance.
Différents amortissements seront considérés :
·
amortissement critique,
·
amortissement moyen,
·
amortissement très faible.
Par l'intermédiaire de ce problème, on teste les différents algorithmes de la commande DYNA_TRAN_MODAL
[U4.54.03] et leurs capacités à traiter des problèmes à amortissement extrême. Les résultats sont comparés
aux solutions analytiques exactes.
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6.4
Titre :
SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d'un oscillateur harmonique
Date :
17/02/04
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E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Le système est composé d'une masse, d'un ressort et d'un amortisseur. Il admet un unique degré de
liberté en translation.
y,v
A
k
B
x,u
m
F0 sin (t)
c
: pulsation d'excitation correspondant
à la résonance du système non amorti
= km
1.2
Propriétés de matériaux
Raideur de liaison : k = 25.103 N.m-1
Masse ponctuelle : m = 10 kg
Amortissement visqueux :
c = ccritique ; c = 0,01 ccritique ; c = 10-5 ccritique
avec ccritique = 1 000 kg.s-1
1.3
Conditions aux limites et chargements
Extrémité A encastrée.
Force harmonique suivant x à la fréquence de résonance au point B :
F(t) = F0 sin (t) pour t 0 avec F0 = 5 N et =
k = 50 rad.s-1.
m
1.4 Conditions
initiales
du
Le système est au repos à t = 0 : (
u 0) = 0 et
( )
0 = 0 .
dt
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
L'oscillateur simple vérifie l'équation suivante :
m u& + c u& + k u = F sin
0
( t
)
avec u(0) = 0 et u&(0) = 0
: pulsation propre de l'oscillateur =
k
m
L'amortissement critique est ccritique = 2m.
La solution pour c = ccritique est :
(
F
u t)
0 [e-t
=
(1+ t
) - cos( t
)]
2k
c
La solution pour un amortissement sous-critique tel que
= est :
ccritique
(
- t
F
F
F
u t) = e
0
(
cos
t
0
0
D ) +
sin( t
D ) -
(
cos t
)
2 k
2k
2 k
D
avec
1 2
D =
-
2.2
Résultats de référence
Déplacement et vitesse du point B.
Déplacement pour l'amortissement critique
1,50E-04
1,00E-04
5,00E-05
)
(m 0,00E+00
u B
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-5,00E-05
-1,00E-04
-1,50E-04
temps (s)
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Déplacement pour l'amortissement de 1%
1,00E-02
5,00E-03
(m) 0,00E+00
u B
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-5,00E-03
-1,00E-02
temps (s)
Déplacement pour l'amortissement de 0,001%
2,50E-02
2,00E-02
1,50E-02
1,00E-02
5,00E-03
(m) 0,00E+00
u B
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-5,00E-03
-1,00E-02
-1,50E-02
-2,00E-02
-2,50E-02
temps (s)
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique exacte.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
.B
A.
x
N1
N2
Caractéristiques des éléments :
DISCRET : masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire
K_T_D_L
amortissement
linéaire
A_T_D_L (c=ccritique)
Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2.
Méthodes de calcul :
·
Intégration sur la base modale avec Newmark ( = 0,25, = 0,5)
Pas de temps t = 10-3 s
·
Intégration sur la base modale avec Euler
Pas de temps t = 10-3 s
Durée d'observation : 0,5 s.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2
3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE 'K_T_D_L'
MAILLE
'A_T_D_L'
NOEUD
'M_T_D_N'
MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'
!FORMULE REEL
CALC_FONC_INTERP FONCTION
DYNA_TRAN_MODAL NEWMARK
AMOR_GENE
EULER
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
·
Déplacement du point B
Déplacement Déplacement
Déplacement
Temps
Référence
NEWMARK
Différence
EULER
Différence
(s)
(m)
Aster (m)
(%)
Aster (m)
(%)
0,06
1,18914 E4
1,18886 E4 0,023 1,18886
E4
0,024
0,12
9,42819 E5
9,42574 E5 0,026 9,47822
E5 0,531
0,19
9,97958 E5
9,97765 E5 0,019 9,96206
E5
0,176
0,25
9,97748 E5
9,97526 E5 0,022 9,99152
E5
0,141
0,31
9,78457 E5
9,78210 E5 0,025 9,83436
E5
0,509
0,38
9,88705 E5
9,88530 E5 0,018 9,84730
E5
0,402
0,44
9,99961 E5
9,99754 E5 0,021 9,99525
E5
0,044
·
Vitesse du point B
Vitesse Vitesse
Vitesse
Temps
Référence NEWMARK
Différence
EULER
Différence
(s)
(m.s-1)
Aster (m.s-1)
(%)
Aster (m.s-1)
(%)
0,03
3,31400 E3
3,31363 E3 0,011 3,32568
E3
0,353
0,09
5,13760 E3
5,13729 E3 0,006 5,13627
E3
0,026
0,16
4,93337 E3
4,93354 E3 0,003
4,93088
E3
0,050
0,22
5,00087 E3
5,00087 E3 0,000
5,00133
E3
0,009
0,28
4,95298 E3
4,95284 E3 0,003 4,95297
E3
0,000
0,35
4,87813 E3
4,87836 E3 0,005
4,87801
E3
0,002
0,41
4,98415 E3
4,98423 E3 0,002
4,98409
E3
0,001
0,47
4,99041 E3
4,99035 E3 0,001 4,99043
E3 0,000
4.2 Remarques
Les résultats sont testés au niveau des pics pour le grain d'observation retenu (10-2s) où les valeurs
sont les plus significatives.
Le régime devient quasi-permanent après la première période, c'est ce que l'on doit observer en
menant une analyse transitoire.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
.B
A.
x
N1
N2
Caractéristiques des éléments :
DISCRET : masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire K_T_D_L
amortissement
linéaire
A_T_D_L (c = 0,01 ccritique)
Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2.
Méthodes de calcul :
·
Intégration sur la base modale avec Fu-Devogelaere
Pas de temps t = 10-3s
·
Intégration sur la base modale avec t adaptatif
Pas de temps initial t = 10-3s
Durée d'observation : 5 s.
5.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2
5.3
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE
'K_T_D_L'
MAILLE
'A_T_D_L'
NOEUD
'M_T_D_N'
MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'
!FORMULE REEL
CALC_FONC_INTERP FONCTION
DYNA_TRAN_MODAL DEVOGE
AMOR_REDUIT
ADAPT
AMOR_GENE
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
·
Déplacement du point B
Déplacement Déplacement
Déplacement
Temps
Référence DEVOG Différence
ADAPT
Différence
(s)
(m)
Aster (m)
(%)
Aster (m)
(%)
0,06
3,06503 E4
3,06503 E4 0,000 3,06481
E4
0,007
0,13
5,93807 E4
5,93807 E4 0,000 5,93696
E4
0,019
0,25
1,17872 E3
1,17872 E3 0,000 1,17862
E3
0,009
0,69
2,91788 E3
2,91788 E3 0,000 2,91748
E3
0,014
1,01
3,83901 E3
3,83901 E3 0,000 3,83548
E3
0,092
2,32
6,68206 E3
6,68206 E3 0,000 6,68614
E3 0,061
3,64
8,19821 E3
8,19821 E3 0,000 8,20355
E3 0,065
4,96
9,00847 E3
9,00847 E3 0,000 9,01348
E3 0,056
·
Vitesse du point B
Vitesse Vitesse
Vitesse
Temps
Référence DEVOG Différence
ADAPT
Différence
(s)
(m.s-1)
Aster (m.s-1)
(%)
Aster (m.s-1)
(%)
0,04
8,95997 E3
8,95997 E3 0,000
8,97145
E3 0,128
0,10
2,33271 E2
2,33271 E2
0,000 2,33492
E2
0,095
0,22
5,20590 E2
5,20590 E2
0,000 5,21002
E2
0,079
0,66
1,40500 E1
1,40500 E1 0,000
1,40593
E1 0,066
1,04
1,99889 E1
1,99889 E1 0,000
1,99923
E1 0,017
2,36
3,39933 E1
3,39933 E1
0,000 3,39703
E1
0,068
3,68
4,10585 E1
4,10585 E1 0,000
4,09991
E1
0,145
5,00
4,45309 E1
4,45309 E1
0,000 4,42239
E1
0,689
6.2 Remarques
Les résultats sont testés au niveau des pics où les valeurs sont les plus significatives.
La durée d'observation choisie permet de voir l'effet de l'amortissement. Cependant, dans cet
intervalle, la réponse du point B reste toujours transitoire mais on est proche du régime permanent
dont l'amplitude en déplacement est 10-2m.
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
.B
A.
x
N1
N2
Caractéristiques des éléments :
DISCRET :
masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire K_T_D_L
amortissement
linéaire
A_T_D_L (c = 10-5 ccritique)
Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2.
Méthodes de calcul :
·
Intégration sur la base modale avec Newmark ( = 0,25, = 0,5)
Pas de temps t = 10-3s
·
Intégration sur la base modale avec Euler
Pas de temps t = 10-3s
Durée d'observation : 5 s.
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2
7.3
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE 'K_T_D_L'
MAILLE
'A_T_D_L'
NOEUD
'M_T_D_N'
MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'
!FORMULE REEL
CALC_FONC_INTERP FONCTION
DYNA_TRAN_MODAL NEWMARK
AMOR_GENE
EULER
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
·
Déplacement du point B
Déplacement Déplacement
Déplacement
Temps
Référence NEWMARK Différence
EULER
Différence
(s)
(m)
Aster (m)
(%)
Aster (m)
(%)
0,06
3,11105 E4
3,10936 E4 0,054 3,11181
E4
0,024
0,13
6,13250 E4
6,13016 E4 0,038 6,13380
E4
0,021
0,25
1,25380 E3
1,25304 E3 0,060 1,25418
E3
0,030
0,69
3,44945 E3
3,44691 E3 0,074 3,45069
E3
0,036
1,01
4,88729 E3
4,89081 E3 0,072 4,88547
E3
0,037
2,32
1,12876 E2
1,12475 E2 0,355 1,13069
E2
0,171
3,64
1,77960 E2
1,77100 E2 0,484 1,78360
E2
0,225
4,96
2,43613 E2
2,42198 E2 0,581 2,44242
E2
0,258
·
Vitesse du point B
Vitesse Vitesse
Vitesse
Temps
Référence NEWMARK Différence
EULER
Différence
(s)
(m.s-1)
Aster (m.s-1)
(%)
Aster (m.s-1)
(%)
0,04
9,09284 E3
9,08897 E3 0,043 9,08230
E3
0,116
0,10
2,39724 E2
2,39637 E2 0,036 2,40269
E2 0,227
0,22
5,49964 E2
5,49680 E2 0,052 5,48752
E2
0,220
0,66
1,64958 E1
1,64879 E1 0,048 1,64882
E1
0,046
1,04
2,56456 E1
2,56547 E1 0,035
2,57280
E1
0,321
2,36
5,79010 E1
5,80019 E1 0,174
5,81033
E1
0,349
3,68
8,97631 E1
9,00729 E1 0,345
9,00668
E1
0,338
5,00 1,21164 1,21829
0,549 1,21531
0,303
8.2 Remarques
Les résultats sont testés au niveau des pics où les valeurs sont les plus significatives.
Dans l'intervalle d'observation, on reste très en dessous du régime permanent en résonance dont
l'amplitude de déplacement est 10 m.
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9
Synthèse des résultats
Pour la modélisation A, les résultats obtenus aussi bien en déplacement qu'en vitesse ont une erreur
absolue largement inférieure à 1 % par rapport à la solution analytique.
Le schéma d'intégration de Newmark se montre plus précis que le schéma d'Euler.
A 1 % de l'amortissement critique (modélisation B), le schéma d'intégration Fu-Devogelaere est d'une
redoutable précision (pas d'erreur par rapport à la solution de référence).
Le schéma à pas de temps adaptatif donne également des résultats à très faible pourcentage d'erreur.
Pour les très faibles amortissements (modélisation C), on notera une meilleure précision pour le
schéma d'intégration de type Euler que pour un schéma de type Newmark. Pour ce dernier, l'erreur
augmente en fonction du temps mais reste tout de même inférieure à 1 %.
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