Code_Aster ®
Version
7.0

Titre :

SDLD313 - Système masse-ressort à 2 ddl (amortissement hystérétique)
Date :
23/06/03
Auteur(s) :
O. NICOLAS Clé
:
V2.01.313-A Page :
1/10

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document : V2.01.313





SDLD313 - Système masse ressort à 2 DDL avec
amortissement hystérétique





Résumé :

Ce problème unidirectionnel consiste à effectuer une analyse harmonique d'une structure mécanique
composée d'un ensemble de masses-ressorts avec amortissement hystérétique et soumise à une excitation
sinusoïdale. Ce test de mécanique des structures correspond à une analyse dynamique d'un modèle discret
ayant un comportement linéaire. Il comprend trois modélisations.

Par l'intermédiaire de la modélisation A, on teste les éléments discrets en translation (masse, ressort), les
options AMOR_HYST de AFFE_CARA_ELEM.
Par l'intermédiaire de la modélisation B, on teste les éléments de poutre (POU_D_T), les options AMOR_HYST de
DEFI_MATERIAU,
Par l'intermédiaire de la modélisation C, on teste le calcul modale (MODE_ITER_SIMULT) complexe.

Sur les deux premières modélisations, on teste la définition d'une force d'excitation ponctuelle harmonique et
l'opérateur de calcul de réponse harmonique (DYNA_LINE_HARM [U4.54.02]). Par ailleurs, on teste plusieurs
opérateurs de post-traitement : RECU_FONCTION [U4.62.03], TEST_FONCTION [U4.72.02], RECU_CHAMP
[U4.62.01].

Les résultats obtenus pour les deux premières modélisations (champ de déplacement pour différentes
fréquences d'excitation) sont en bon accord avec les résultats du guide VPCS. Les résultats obtenus pour la
troisième modélisation sont en bon accord avec les résultats semi-analytiques.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
Nous considérons le système représenté par le schéma ci-dessous :



k1(1+j*1)
k2(1+j*2)

m
m2

1


X1
X2
A B C


Masses ponctuelles :
m & m
1
2

Raideurs de liaison :
k1 & k2

Amortissement hystérétique :
1 & 2



1.2
Propriétés du matériau

Ressort de translation élastique linéaire
K1 = 28000
N/m

K2 =
28000 N/m
Masse ponctuelle
M1 =
10 Kg

M2 =
5 Kg
Amortissement hystérétique
1 =
0.1

2 =
0.0


1.3
Conditions aux limites et chargements

Conditions aux limites :
Points A, B, C encastrés en DY et DZ
Points A: encastré (DX = 0).

Chargement : Force concentrée sinusoïdale de fréquence variable au point C

Point C

Fx = 0
F sint = 2 f 0 Hz

f
Hz

21.0543
4

0
F = constante =
N

100


1.4 Conditions
initiales

Sans objet pour l'étude du régime harmonique permanent.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul

Le système d'équations différentielles du second ordre couplées est de la forme :

M u&+ Ku = F
0 0 0
1+ .
0 1 j
-1- 0 1
. j
0




avec M = 0 10 0
et
K = 28000-1- .
0 1 j
2 + 0 1
. j
-
1




0 0 5

0
-1
1



La solution à une excitation harmonique F = F0 e j t j2 = -1
(
) est de la forme u =u0 ejt, ce
qui conduit à : (
2
K - M )u = F
0
0

Ce système est résolu pour tout .


2.2
Grandeurs et résultats de référence

Déplacement selon x du point C pour certaines fréquences.
Fréquences propres et amortissement réduits.


2.3
Incertitudes sur la solution

Solution semi-analytique.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
J. PIRANDA : Notice d'utilisation du logiciel d'analyse modale MODAN - Version 0.2 (1990).
Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche Comté - Besançon (France).
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément discret de rigidité en translation

y
x
A B
C




Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N

et matrices de rigidité
K_T_D_L

Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
au noeud extrémité A

( GROUP_NO: A DX: 0. )

Noms des noeuds :
Point A = N1
A = N1
Point B = N2
B = N2
Point C = N3
C = N3


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2


3.3 Fonctionnalités
testées


Commandes

AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'

GROUP_MA
AMOR_HYST
`A_T_D_L'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'

GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO


FORCE_NODALE
NOEUD
DEFI_LIST_REEL DEBUT



INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ



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3.4
Grandeurs testées et résultats

Parties réelle et imaginaire de la composante DX du déplacement du point C.

Fréquence Référence
Aster %
Différence
0.00
7.1075E-03
7.1074964639321E-03
1.08E-04
­3.5360E-04
­3.5360678925035E-04
3.36870E+00 9.388216E-03
9.3882649899583E-03
5.31E-04
­7.31196E-04
­7.3120610001073E-04
6.48480E+00 ­5.0269E-03
­5.0349198344062E-03
0.012
­7.07103E-02
­7.0708581052416E-02
8.00060E+00 ­9.54931E-03
­9.5490053525137E-03
0.003
­2.2154E-03
­2.2153458282190E-03
1.18746E+01 ­4.23259E-05
­4.2266734408325E-05
0.016
­3.57193E-04
­3.5719325443817E-04
1.34747E+01 2.35524E-03
2.3552527130123E-03
5.34E-04
­5.01765E-04
­5.0176685846530E-04
1.55802E+01 ­1.6395374E-02
­1.6420641488151E-02
0.039
­6.871471E-02
­6.8704047854161E-02
2.10543E+01 ­1.88977E-03
­1.8897660707219E-03
2.08E-04
­5.53314E-06
­5.5328629109043E-06


3.5 Remarques

Contenu du fichier résultats :

Les valeurs du déplacement de la composante DX du point C pour toutes les fréquences de 0 à
2.10543E+01Hz par pas de 3.3687.


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4 Modélisation
B

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément continu de type poutre en traction

y
x
A B
C




Caractéristiques des éléments
DISCRET : masses
nodales
M_T_D_N
POUTRE :
matrices de rigidité
POU_D_T

Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
au noeud extrémité A

( GROUP_NO: A DX: 0. )

Noms des noeuds :
Point A = N1
A = N1
Point B = N2
B = N2
Point C = N3
C = N3


4.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2


4.3 Fonctionnalités
testées


Commandes



AFFE_CARA_ELEM DISCRET
GROUP_MA `M_T_D_L'

DEFI_MATERIEU ELAS

AMOR_HYST

AFFE_MODELE TOUT
`MECANIQUE' `POU_D_T'
GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO


FORCE_NODALE
NOEUD
CALC_MATR_ELEM RIGI_MECA_HYST


DEFI_LIST_REEL DEBUT



INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ

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4.4
Grandeurs testées et résultats

Parties réelle et imaginaire de la composante DX du déplacement du point C.

Fréquence Référence
Aster %
Différence
0.00
7.1075E-03
7.1074964639321E-03
1.08E-04
­3.5360E-04
­3.5360678925035E-04
3.36870E+00 9.388216E-03
9.3882649899583E-03
5.31E-04
­7.31196E-04
­7.3120610001073E-04
6.48480E+00 ­5.0269E-03
­5.0349198344064E-03
0.012
­7.07103E-02
­7.0708581052416E-02
8.00060E+00 ­9.54931E-03
­9.5490053525137E-03
0.003
­2.2154E-03
­2.2153458282190E-03
1.18746E+01 ­4.23259E-05
­4.2266734408325E-05
0.016
­3.57193E-04
­3.5719325443817E-04
1.34747E+01 2.35524E-03
2.3552527130123E-03
5.34E-04
­5.01765E-04
­5.0176685846530E-04
1.55802E+01 ­1.6395374E-02
­1.6420641488152E-02
0.039
­6.871471E-02
­6.8704047854161E-02
2.10543E+01 ­1.88977E-03
­1.8897660707219E-03
2.08E-04
­5.53314E-06
­5.5328629109043E-06


4.5 Remarques

Contenu du fichier résultats :

Les valeurs du déplacement de la composante DX du point C pour toutes les fréquences de 0 à
2.10543E+01Hz par pas de 3.3687.

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5 Modélisation
C

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément discret de rigidité en translation

y
x
A B
C




Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N

et matrices de rigidité
K_T_D_L

Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
au noeud extrémité A

( GROUP_NO: A DX: 0. )

Noms des noeuds :
Point A = N1
A = N1
Point B = N2
B = N2
Point C = N3
C = N3


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2


5.3 Fonctionnalités
testées


Commandes

AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'

GROUP_MA
AMOR_HYST
`A_T_D_L'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'

GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO


FORCE_NODALE
NOEUD
MODE_ITER_SIMULT SORENSEN
`COMPLEXE'

DEFI_LIST_REEL DEBUT



INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ



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5.4
Grandeurs testées et résultats

Fréquences propres et amortissements réduits.


Fréquences propres :


Numéro d'ordre
Référence
Aster %
Différence
1
6.4537 6.44568
­0.124
2 15.5806 1.55612
­0.124


Amortissements réduits :


Numéro d'ordre
Référence
Aster %
Différence
1
0.05 0.05
­1.39E-14
2 0.05 0.05
2.78E-14


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6
Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont excellents.


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