Code_Aster ®
Version
3
Titre :
HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau homogène
Date :
21/05/96
Auteur(s) :
I. EYMARD, F. VOLDOIRE
Clé :
V7.03.101-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MNN
Manuel de Validation
Fascicule V7.03 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes volumiques
Document V7.03.101
HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau
homogène
Résumé :
Ce test éprouve, dans une situation triviale où le matériau est homogène, la résolution des problèmes thermique
et mécanique stationnaires, avec des chargements correspondants à un gradient de température et à une
déformation imposée, voisins de ceux correspondant aux problèmes élémentaires de la méthode
d'homogénéisation périodique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
N4
N5
N6
N3
x y z
N7
N4
0 0 16.410
N2
y
N8
N8 1. 1. 16.410
N3 0.5 0 16.410
0
N1
C
16.410
1
x
A
B
1
1.2
Propriétés de matériaux
E = 1.0 MPa
= 0.3
k = 1.0 W/(m.°C)
Cp = 0 J/(°C.m3)
1.3
Conditions aux limites et chargements
· Mécanique 3D :
Plan z = 0 :
dz = 0
pour le chargement membranaire ;
dx = 0, dy = 0
pour le chargement de flexion
Plans y = 0, y = 1 :
dy = 0
Plans x = 0, x = 1 :
dx = 0
Noeud : O
dz = 0
(pour le seul chargement de flexion)
1 0
0
déformation membranaire :
E = 0
0
0
Chargement :
0 0
0
z 0
0
flexion uniforme imposée :
E = 0 0
0
0 0 0
· Mécanique 2D, contraintes planes :
Axe : x = 0
dx = 0
(ces conditions ne correspondent pas à l'application de la
Noeud : O
dy = 0
méthode d'homogénéisation).
1 0
0
Chargement : déformation E = 0
0
0 uniforme imposée
0 0 0
· Thermique 3D et 2D :
Plan x = 0
temp = 0
(cette condition ne correspond pas à l'application de la
méthode d'homogénéisation).
Chargement : gradient G = ( ,
1 ,
0 )
0 uniforme imposé.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
· En thermique : on résout le problème thermique stationnaire :
1
T.K. =
.
G K. , V , avec G
=
0
0
Remarque :
Les conditions aux limites choisies ici ne sont pas celles nécessaires à la méthode
d'homogénéisation : on trouverait en effet T = 0 partout.
La solution est alors (vérifiant les conditions définies en [§1.3]) : T(x, y, z) = x
1
1
L'énergie potentielle est alors à l'équilibre : W th =
T
.K. T
=
ici
2
2
· En mécanique : on résout le problème d'élastostatique :
(u).A. (v) = E.A. (v) , v
W
,
pour les cas :
chargement 3D
chargement 3D
chargement 2D
membranaire
de flexion
contraintes planes
1 0
0
z 0
0
1 0
0
E = 0
0
0
E = 0 0
0
E = 0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Les solutions sont :
z
· en 3D, chargement membranaire : u (x, y, z) = ,
0 ,
0
(
;
1 )
l'énergie potentielle à l'équilibre est :
1
2
W pot =
(u).A.(u) =
.
( 2µ)
2
1
+
2
+ z2
· en 3D, chargement de flexion : u (x, y, z) = ,
0 ,
0
;
2 (1 )
2
h3
W pot =
.
( 2µ)
.
1
+
2
3
· en 2D, chargement plan : u (x, y) = ( x, )
0 ;
W pot = 2(1 2)
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
y
N6
C
B
GRNM14
O
A
x
Conditions aux limites et chargement :
Thermique :
GROUP_NO : GRNM14 : TEMP : 0.0
GRAD_TEMP_INIT : FLUX_X : 1.0
Mécanique :
GROUP_NO : GRNM14 : DX : 0.0
(contraintes planes)
NOEUD : O DY : 0.0
EPSI_INIT : EPXX : 1.0
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 QUAD8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
TOUT
'OUI'
[U4.25.02]
FLUX_X
AFFE_CHAR_MECA
EPSI_INIT
TOUT
'OUI'
[U4.25.01]
EPXX
POST_ELEM
ENER_POT
TOUT
'OUI'
[U4.61.04]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Point
Grandeur
Référence
Aster
% différence
Tolérance %
CMP
A
TEMP
1.0000
1.00000
0.000
106
A
DX
1.0000
1.00000
0.000
106
N6
DX
0.5000
0.50000
0.000
106
Maille
Energie
Référence
Aster
% différence
potentielle
à l'équilibre
M1
Thermique
0.500000000
0.500000
108
M1
Mécanique
0.549450550
+0.549451
108
4.2 Remarques
Le Code_Aster fournit la valeur de l'énergie de déformation, égale à l'opposé de l'énergie potentielle à
l'équilibre (cas élastique).
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.18
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
3.7 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
z
N4
N6
N3
N2
N8
O
C
y
A
B
x
Nom des mailles des faces :
ZEGAL0
YEGAL0
YEGAL1
XEGAL0
XEGAL1
Sommets :
B C O A
O A N2 N4 B C N6 N8
C O N4 N6 A B N8 N2
Conditions aux limites :
ZERO : DEFI_CONSTANTE (VALE : 0.0) ;
FCT1:DEFI_FONCTION(Nom_para:'Z',VALE: (0.0 0.0 1.0 1.0));
Thermique :
GROUP_NO : XEGAL0 : TEMP : 0.0
GRAD_TEMP_INIT : FLUX_X : -1.0
Mécanique :
GROUP_NO : YEGALO : DY = 0.0
XEGAL1 : DX = 0.0
YEGAL1 : DY = 0.0
XEGALO : DZ = 0.0
Cas membranaire :
GROUP_NO : ZEGALO : DZ = 0.0
EPSI_INIT : EPXX : -1.0
Cas flexion :
GROUP_NO : ZEGALO : DX = ZERO, DY = ZERO
NOEUD : 0 DZ = ZERO
EPSI_INIT : EPXX : FCT1
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et types : 1 HEXA20
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
TOUT
[U4.25.02]
FLUX_X
AFFE_CHAR_MECA
EPSI_INIT
EPXX
[U4.25.01]
AFFE_CHAR_MECA_F
EPSI_INIT
EPXX
[U4.25.01]
POST_ELEM
ENER_POT
TOUT
'OUI'
[U4.61.04]
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Cas
Grandeur
Point
Référence
Aster
% différence
Thermique
temp
N8
1.000000
1.000000
1010
temp
N3
0.500000
0.5000000
1010
Mécanique
dz
N4
7.03285714
7.03285714
1010
membrane
dz
N8
7.03285714
7.03285714
1010
Mécanique
dz
N4
57.70459285
57.70459285
1010
flexion
dz
N8
57.70459285
57.70459285
1010
Maille
Energie
Référence
Aster
% différence
potentielle
à l'équilibre
M1
Thermique
8.20500
8.20500
107
M1
Mécanique
Membrane
2.0287088
2.02871
107
Flexion
1.8210238 102
1.82102 102
107
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.30
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
16.51 secondes
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7
Synthèse des résultats
Les résultats sont exacts à des erreurs d'arrondi près, puisque les solutions cherchées font partie de
l'espace des éléments finis choisis pour la modélisation.
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