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Version
5.2
Titre :
SSNV143 - Traction biaxiale avec la loi BETON_DOUBLE_DP
Date
:
23/09/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT, B. CIREE Clé
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Organisme(s) : EDF/AMA, CS SI
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document V6.04.143
SSNV143 - Traction biaxiale avec la loi de
comportement BETON_DOUBLE_DP
Résumé :
Ce cas de validation est destiné à vérifier le modèle de comportement 3D BETON_DOUBLE_DP formulé dans le
cadre de la thermo-plasticité, pour la description du comportement non linéaire du béton, en traction, et en
compression, avec la prise en compte des variations irréversibles des caractéristiques thermiques et
mécaniques du béton, particulièrement sensibles à haute température.
La description de la fissuration est traitée dans le cadre de la plasticité, à l'aide d'une équivalence énergétique,
en identifiant la densité d'énergie de fissuration en mode I, avec le travail plastique d'un milieu homogène
équivalent, où la déformation plastique est uniformément répartie, dans une zone "élémentaire". Cette approche
préserve la continuité de la formulation du modèle, sur l'ensemble de son comportement, et contribue à éviter
les difficultés numériques possibles lors du changement d'état du matériau.
La sensibilité pathologique de la solution numérique à la discrétisation spatiale (maillage), engendrée par
l'introduction d'un comportement adoucissant du béton en traction et en compression, est partiellement résolue
en introduisant une énergie de fissuration ou de rupture, dépendant d'une longueur caractéristique lc, liée à la
taille des éléments.
Le cas test comprend deux modélisations 3D, le chargement consiste en une charge suivie d'une décharge.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Il s'agit d'un cube à 8 noeuds, dont deux faces ont un déplacement normal nul, et les deux faces
opposées ont un déplacement normal imposé, différent l'un de l'autre d'un coefficient 2.
Le cube fait 1 mm de côté. Les cas tests sont composés d'une charge, suivie d'une décharge. Dans la
modélisation A, le cube est orienté suivant le repère Oxyz. Dans la modélisation B, il est tourné de 30°
par autour de l'axe Oy.
U2
Face1xy
Modélisation A
Face1yz
U1
Faceyz
Ux = 0
z
y Uz = 0
N1
x
N2
Facexy
Modélisation B
U2
Face1yz
U1
Face1xy
Un = 0
Faceyz
Facexy
z
N
y
Un = 0
2
x
N
1
U2 = 2.U1
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1.2
Propriétés de matériaux
Pour tester l'évolution des caractéristiques mécaniques de façon irréversible avec la température, on
applique un champ de température décroissant. Certaines variables dépendent de la température,
d'autres du séchage. Enfin, on applique un coefficient de retrait de dessiccation non nul, égal au
coefficient de dilatation thermique, pour tester le fonctionnement "informatique". Les déformations
thermiques seront ainsi égales et opposées aux déformations de retrait de dessiccation. Ces
dépendances n'interviennent que pour des vérifications purement informatique, les caractéristiques
mécaniques peuvent être considérées comme constantes.
Pour les caractéristiques mécaniques linéaires usuelles :
Module d'Young :
E = 32 000 MPa
de
0°C à 20°C
E = 15 000 MPa
à
400°C (décroissance linéaire)
E = 5 000 MPa
à
800°C (décroissance linéaire)
Coefficient de Poisson :
= 0.18
Coefficient de dilatation thermique :
= 10-5
Coefficient de retrait de dessiccation : = 10-5
Pour les caractéristiques mécaniques non linéaires du modèle BETON_DOUBLE_DP:
Résistance en compression uniaxiale :
f'c = 40 N/mm²
de 0°C à 400°C
f'c = 15 N/mm²
à
800°C (décroissance linéaire)
Résistance en traction uniaxiale :
f't = 4 N/mm²
de 0°C à 400°C
f't = 1.5 N/mm²
à
800°C (décroissance linéaire)
Rapport des résistances en compression = 1.16
biaxiale/compression uniaxiale :
Énergie de rupture en compression :
Gc =10 Nmm/mm²
Énergie de rupture en traction :
Gt =0.1 Nmm/mm²
Rapport de la limite d'élasticité à la résistance 30%
en compression uniaxiale :
1.3
Conditions aux limites et chargements mécaniques
Champ de température décroissant de 20°C à 0°C.
Face inférieure du cube (facexy) :
bloquée suivant oz.
Face supérieure du cube (face1xy) :
déplacement 0.30 mm imposé suivi d'une décharge de
0.1 mm
Face gauche du cube (faceyz) :
bloquée suivant ox.
Face droite du cube (face1yz) :
déplacement 0.15 mm imposé suivi d'une décharge de
0.05 mm
Noeuds inférieurs face avant (N1,N2) :
bloqué suivant oy (Suppression des mouvements de
corps solide).
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est calculée de façon semi-analytique, sachant qu'en traction, seul le critère
de traction est activé. Il faut donc résoudre un système d'une équation à une inconnue, qui permet
d'obtenir par dichotomie par exemple, la déformation plastique cumulée en traction. Celle-ci permet de
calculer ensuite déformations et contraintes. Ceci est possible, connaissant le déplacement, et donc la
déformation dans les deux directions imposées. Le déplacement dans la troisième direction est alors
une inconnue du problème.
La solution de référence est calculée uniquement en traction. La solution est déterminée par un
programme de résolution par dichotomie en fortran indépendant. En compression, en décharge, la
solution exacte n'a pas été recalculée, et constitue une solution de non régression du code, liée à la
version 5.02.14.
Pour la modélisation B, les résultats se déduisent par rotation du tenseur de contrainte de la
modélisation A, du repère intrinsèque du cube au repère utilisateur, le champ de contrainte des deux
configurations étant identique dans le repère intrinsèque du cube.
2.2
Calcul de la solution de référence de référence
Pour plus de détails sur les notations et la mise en équation, on se reportera au document de
référence. Seules, les principales équations sont rappelées ici.
On note "a", le déplacement imposé suivant la direction x, et "2.a" le déplacement imposé suivant la
direction z. Le tenseur de déformation est de la forme (a, y, 2.a, 0., 0., 0.) en prenant les notations
usuelles du Code_Aster (trois composantes principales, trois composantes de cisaillement).
Le tenseur de contrainte est de la forme (x, 0., z, 0., 0., 0.), dans la modélisation A.
Le critère de traction s'exprime sous la forme :
+ c.
2
c
f
oct
oct
=
- f
eq
=
+ -
t ( t )
f
trac
H
t ( t )
d
d
3
d
Les équations constitutives sont écrites en distinguant la partie isotrope de la partie déviatorique des
tenseurs de contraintes et de déformations.
1
1
1
1
=
= -
=
~
= - tr
H
tr
H
tr( ) s
tr( )I
( )
( )I
3
3
3
3
= s + I
H
= ~ + H I
3
La contrainte équivalente s'écrit alors : eq =
tr( )
s
2
Dans le cas d'une formulation incrémentale, et d'une loi de comportement variable, en notant avec un
exposant "e" les composantes élastiques de la contrainte et de la déformation, on obtient :
+
µ
K +
se =
s- +
+
2µ
e
-
+
-
~
=
+ 3K
µ
et H
-
H
H
K
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Les critères en compression et en traction s'expriment de la manière suivante :
+ a.
2
a
f
oct
oct
=
- f
eq
=
+ -
c ( c )
f
comp
H
c ( c )
b
b
3
b
+ c.
2
c
f
oct
oct
=
- f
eq
=
+ -
t ( t )
f
trac
H
t ( t )
d
d
3
d
Les déformations plastiques en traction et en compression s'expriment :
s
a
p
~
c
p
c =
H =
c
2 eq
b
c
b
3
s
c
p
~
t
p
t =
H =
t
2 eq
d
t
d
3
On obtient pour la contrainte :
s = se -
+
2µ ( ~ p
~ p
e
+
p
p
c +
t )
=
- 3
+
H
H
K ( H c
H t )
1
+
a
c
s
+
c
t
1 2µ
se
= -
+
e
=
- 3
+
H
H
K
c
t
b
2
2d eeq
b
3
d
3
eq
e eq
+
c
pour la contrainte équivalente :
=
- 2µ
t
+
b
2
2d
Les deux critères conduisent alors à un système de deux équations à deux inconnues c et t à
résoudre :
2
a
2 +
+ 2
µ
K a
2µ+ K+ac
e eq
e
+
-
+
-
+
- f - +
=
H
c
2
2
t
c ( c
c )
0
3b
b
3b
b
3bd
bd
2
c
2
µ+ K +ac
2 +
+ 2
µ
K c
e eq
e
+
-
+
-
+
- f - +
=
H
c
t
2
2
t
( t
t )
0
3d
d
3bd
bd
3d
d
De façon analogue, dans le cas du seul critère de traction activé, configuration du cas test, on
obtient un système d'une équation à une inconnue t à résoudre :
2
c
2 +
+ 2
µ
K c
e eq
e
+
-
+
- f -
+
=
H
t
2
2
t ( t
t )
0
3d
d
3d
d
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On cherche donc à résoudre ce système, en utilisant la forme particulière des tenseurs de contraintes
et de déformations, uniformes sur la structure.
En partant de = (a, , .
2 a
y
).0
.,
0
.,
0
,
et de = (x .,
0
, z
).
0
.,
0
.,
0
,
. on obtient :
x = a( + 2µ)+ y + 2 a
.
Le tenseur de contrainte élastique
y = a
. + y ( + 2µ )+ 2a
.
z = a
. + y + 2a (. + 2µ )
2
s = -
µ
x
. . y
3
4
Le déviateur de contrainte élastique s = -2.µ.a +
µ
y
. . y
3
2
s = 2.µ.a -
µ
z
. . y
3
1
La contrainte hydrostatique élastique e H = (
3 + 2µ) a + .y
3
La contrainte équivalente élastique e
2
2
eq = µ 4
- 12. . +
y
a y 12.a
Dans le cas d'une courbe d'écrouissage post-pic linéaire en traction, l'expression du paramètre
d'écrouissage est le suivant :
p
2.G f ()
f (
p
, ) = (,) = f
t
1-
=
u
t
t
t ( )
avec ( )
u ( )
lc. ft ()
On cherche donc à résoudre l'équation :
2
c
2 +
+ 2
µ
K c
l . f
e eq
e
+
-
+
- f 1
c
t
-
= 0
éq
2.2-1
3
d H
t 3 2
2
d
d
d
t
t
2.G
t
Sachant que la contrainte dans la direction y est nulle, on obtient une seconde équation :
+
1
t
e
e
=
+
= 0 = 1- 2
+
y
sy H
µ
s y H
d eeq
1
+
.
t
4
c
e
t
= 0 = 1- 2
-
y
µ
µ
2.µ.a
K
d eeq
y
H
3
+
-
d
4 µ
e
-
y
2.µ.a
H
3
+
D'où : =
t
que l'on peut substituer dans l'expression du critère
2µ 4 µ
- 2.µ
c
.a
K
d. eeq
y
3
+ d
[éq 2.2-1].
Connaissant a, le déplacement imposé, on obtient une équation non linéaire à une inconnue, que l'on
peut résoudre simplement par dichotomie, et qui permet de calculer la déformation y, puis l'ensemble
des inconnues du système.
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2.3
Incertitude sur la solution
Elle est négligeable, de l'ordre de la précision machine.
2.4 Références
bibliographiques
Le modèle a été défini à partir des théses suivantes :
[1]
J. F. GEORGIN, lors de sa thèse "Contribution à la modélisation numérique du comportement
du béton et des structures en béton armé sous sollicitations thermo-mécaniques à haute
température",
[2]
G. HEINFLING, lors de sa thèse "Contribution à la modélisation du béton sous sollicitation de
dynamique rapide. La prise en compte de l'effet de vitesse par la viscoplasticité", et est décrit
dans le rapport de spécification :
[3]
SCSA/128IQ1/RAP/00.034 Version 1.2, Développement d'un modèle de comportement 3D
béton avec double critère de plasticité dans le Code_Aster - Spécifications ".
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
3D (HEXA8)
1 élément, champ de contrainte et déformation uniforme.
U2
U1
Ux = 0
z
y
Uz = 0
x
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et type : 1 HEXA8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Options
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'3D'
DEFI_MATERIAU
'BETON_DOUBLE_DP'
DEFI_MATERIAU
'ELAS_FO'
'K_DESSIC'
AFFE_CHAR_MECA
'SECH_CALCULEE'
STAT_NON_LINE
'BETON_DOUBLE_DP'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Ont été testées les composantes non nulles du champ de contraintes SIEF_ELNO_ELGA (composante
xx et zz), la composante yy du champ de déformation EPSI_ELNO_DEPL, qui constitue une inconnue
du système (les déformations dans les deux autres directions étant imposées), la déformation
plastique cumulée en traction (deuxième variable interne, deuxième composante du champ
VARI_ELNO_ELGA), et enfin, uniquement pour le quatrième cas de chargement (décharge), la
déformation plastique cumulée en compression, (première variable interne, première composante du
champ VARI_ELNO_ELGA).
Les trois premiers chargements correspondent à la charge, et possèdent des résultats de référence.
Le quatrième chargement correspond à la décharge, et constitue un résultat de non régression du
code.
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIXX
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
0.1235611 0.1235380 0.019
charge U1=0.1 et U2= 0.05
Pour un déplacement imposé en
6.882374.102 6.878218.102 0.060
charge U1=0.2 et U2= 0.10
Pour un déplacement imposé en
1.408764.102 1.402639.102 0.435
charge U1=0.3 et U2= 0.15
Pour un déplacement imposé en
(*) 4.195092.105 -
décharge U1=0.1 et U2= 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIZZ
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
0.239212 0.239174 0.016
charge U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé en
0.133243 0.133165 0.059
charge U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé en
2.727403.102 2.725569.102 0.434
charge U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé en
(*) 4.959258.105 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
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Champ EPSI_ELNO_DEPL composante EPYY
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
3.419463.103 3.419464.103 2.107
charge U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé en
6.835813.103 6.835815.103 2.107
charge U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé en
1.025216.102 1.025216.102 2.107
charge U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé en
(*) 4.357498.101 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Champ VARI_ELNO_ELGA composante VARI_2 (déformation plastique cumulée en traction)
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé
1.085728.102 1.085728.102 5.109
U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé
2.171556.102 2.171556.102 5.109
U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé
3.257385.102 3.257385.102 4.109
U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé
3.257385.102 3.257385.102 4.109
U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Champ VARI_ELNO_ELGA composante VARI_1 (déformation plastique cumulée en
compression)
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
(*) 3.528401.101 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
3D (HEXA8)
1 élément, champ de contrainte et déformation uniforme.
U2
U
1
Un = 0
z
Un = 0
y
x
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et type : 1 HEXA8
5.3
Fonctionnalités testées
Commandes Options
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'3D'
DEFI_MATERIAU
'BETON_DOUBLE_DP'
DEFI_MATERIAU
'ELAS_FO'
'K_DESSIC'
AFFE_CHAR_MECA
'SECH_CALCULEE'
STAT_NON_LINE
'BETON_DOUBLE_DP'
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6
Résultats de la modélisation B
Ont été testées les composantes non nulles du champ de contraintes SIEF_ELNO_ELGA (composante
xx, zz et xz), la déformation plastique cumulée en traction (deuxième variable interne, deuxième
composante du champ VARI_ELNO_ELGA), et enfin, uniquement pour le quatrième cas de chargement
(décharge), la déformation plastique cumulée en compression, (première variable interne, première
composante du champ VARI_ELNO_ELGA).
Les trois premiers chargements correspondent à la charge, et possèdent des résultats de référence.
Le quatrième chargement correspond à la décharge, et constitue un résultat de non régression du
code.
6.1 Valeurs
testées
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIXX
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
0.152474 0.1524472 0.018
charge U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé en
8.492877.102 8.487797.102 0.060
charge U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé en
1.732484.102 1.730871.102 0.434
charge U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé en
(*) 4.386134.105 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIZZ
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
0.210300 0.210265 0.016
charge U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé en
0.117138 0.117069 0.059
charge U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé en
2.397743.102 2.387336.102 0.434
charge U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé en
(*) 4.768217.105 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-66/02/001/A
Code_Aster ®
Version
5.2
Titre :
SSNV143 - Traction biaxiale avec la loi BETON_DOUBLE_DP
Date
:
23/09/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT, B. CIREE Clé
:
V6.04.143-A Page :
13/14
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIXZ
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
5.007871.102 5.007226.102 0.013
charge U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé en
2.789472.102 2.787871.102 0.057
charge U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé en
5.709873.103 5.685155.103 0.433
charge U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé en
(*) 3.308936.106 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique.
Champ VARI_ELNO_ELGA composante VARI_2 (déformation plastique cumulée en traction)
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
1.085728.102 1.085728.102 5.109
charge U1=0.1 et U2 = 0.05
Pour un déplacement imposé en
2.171556.102 2.171556.102 5.109
charge U1=0.2 et U2 = 0.10
Pour un déplacement imposé en
3.257385.102 3.257385.102 4.109
charge U1=0.3 et U2 = 0.15
Pour un déplacement imposé en
3.257385.102 3.257385.102 4.109
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Champ VARI_ELNO_ELGA composante VARI_1 (déformation plastique cumulée en
compression)
Identification Référence
Aster
% différence
Pour un déplacement imposé en
(*) 3.528401.101 -
décharge U1=0.1 et U2 = 0.05
(*) en décharge, on effectue un test de non régression. Il n'y a pas de solution analytique calculée.
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-66/02/001/A
Code_Aster ®
Version
5.2
Titre :
SSNV143 - Traction biaxiale avec la loi BETON_DOUBLE_DP
Date
:
23/09/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT, B. CIREE Clé
:
V6.04.143-A Page :
14/14
7
Synthèse des résultats
Ce cas test offre des résultats satisfaisants par rapport aux résultats de référence, inférieurs à 0.06%
pour les deux premiers cas de chargement, plus important pour le troisième, ce qui s'explique par un
niveau de contrainte relativement faible (on atteint la fin de la courbe d'écrouissage en traction).
Le test en décharge (quatrième chargement) permet de vérifier la non régression du code.
Le nombre d'itérations est relativement important au premier pas de calcul, de l'ordre de 13, puis
baisse à 7, 4 et 1, ce qui s'explique par le passage du seuil plastique au premier pas de calcul, pour
atteindre un comportement quasi linéaire par la suite (courbes post-pic linéaires).
On obtient aussi un nombre plus important d'itérations au pas 31 (début du quatrième cas de
chargement), puis un nombre d'itérations baissant jusqu'à 1, du fait du passage en décharge, avec un
changement de comportement, suivi d'un comportement quasi linéaire par la suite (courbes post-pic
linéaires).
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-66/02/001/A
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