Code_Aster ®
Version
6.1

Titre :

SSNV152 - Traction élastique. Calcul des contraintes de Cauchy Date
:

19/08/02
Auteur(s) :
P. MASSIN, G. BERTRAND Clé
:
V6.04.152-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF/AMA, CS SI
















Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des éléments volumiques
Document : V6.04.152




SSNV152- Traction élastique. Calcul des contraintes
de Cauchy





Résumé

Le but de ce test est de valider le calcul des contraintes de Cauchy dans la commande CALC_ELEM par l'option
SIGM_ELNO_COQUE.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

La géométrie de ce test est une plaque carrée dans le plan (x,y) tournée de 30° par rapport à x autour
de z.




l
= 1000 .
0

No1

No4


M1

No5
No7
z


No3
y
No2
x


local



x
x

global

On appelle l la longueur de la plaque déformée, on notera x, y, z, les coordonnées de la configuration
déformée et X,Y,Z, les coordonnées de la configuration initiale


1.2
Propriétés des matériaux

On prend E = 200
.
000 MPa et = 0


1.3
Conditions aux limites et chargements mécaniques

On bloque les noeuds No1, No5 et No2 de sorte que DX=DY=DZ=DRX=DRY=DRZ=0,
et on impose un déplacement local Dx=100. sur les noeuds No3, No4 et No7.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est analytique.

Passage de l'état initial à l'état déformé :

1
a
b
x =
X , y =
Y , z =
Z
l
a
b
0
0
0


a est la longueur de la déformée de la plaque suivant Y,
a0 est la longueur initiale de la plaque,
b est l'épaisseur de la plaque déformée,
b0 est l'épaisseur initiale de la plaque.

Du fait que = 0 et des hypothèses de coque, on a a = a , b = b
0
0

Tenseur Green-Lagrange :
1 u
u
u
u
i
j



k

k


Par définition du tenseur de Green-Lagrange, on a E

ij =

+
+







2


X
X
X
X
j
i i j



l - l
1 l - l
l l
l l
1 l
l
0
- 0 ( - )2
0


2 - 2
Avec u = x - X
0
=
X , on a donc E

11 =

+
+
2
=
0
l


2


2 l
l
l
2
l
0

0



0

1 11002 -10002
En remplaçant , on a E =
= 0.105
11
2
10002




Gradient de déformation :

Par définition :
dx
dx
dx l



dX
dY
dZ

0 0


dy
dy
dy
l0

F =
= 0 1 0
dX
dY
dZ
dz
dz
dz
0
0 1






dX
dY
dZ

l
Soit J = det F =

l0
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Contraintes de Piola-Kirchhoff de seconde espèce :

Soit S la contrainte de PK2, dans notre cas, S = E.E = 200000 × 0.105 = 21000
11
11

Contrainte de Cauchy

1
Soit s le tenseur de contraintes de Cauchy, on a la relation s =
(
T
F S
. F
.
), on en déduit alors
det F




1 l
l
l
1100
que s

xx =
.S .
= .S =
21000
.
= 23100
11
11
l l
l
l
1000
0
0
0


l0



2.2
Résultats de référence

On calcule des déplacements DX et DY au noeud NO3, les contraintes de PK2 et les contraintes de
Cauchy sur la maille M1.


2.3
Incertitude sur la solution

Résultat analytique.


2.4 Références
bibliographiques

Néant.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

On utilise des éléments COQUE_3D


3.2
Caractéristiques du maillage


No1

No4






No2
No3


Les coordonnées des principaux noeuds :

Noeud Coor_x
Coor_y
Coor_z
N01 ­500
866.025
0.
N02
0 0 0.
N03 866.025
500
0.
N04 366.025
1366.025
0.

Les mailles utilisées sont :
1 maille QUAD9
2 mailles TRIA7


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes
Option



CALC_ELEM
SIGM_ELNO_COQUE

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster
Différence
DX(No4) 8.66025
E+01
8.66025 E+01
4.66 E-05%
DY(No4) 50.0
50.0
0%
PK2-SIXX(M1) 21000.
21000.
2.04
E-08%
Cauchy-SIXX(M1) 23100.
23100.
2.14
E-08%



5
Synthèse des résultats

Les résultats trouvés sont en accord avec la solution analytique.



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