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SSNV166 ­ Cylindre fissuré sous chargements multiples
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.166




SSNV166 ­ Cylindre fissuré sous chargements
multiples





Résumé

Ce test a pour but le calcul des facteurs d'intensité de contraintes le long du fond de fissure pour un cylindre
comportant une fissure axisymétrique.

L'influence du degré des éléments et du type de la méthode est étudiée à travers diverses modélisations.

· La modélisation A teste K1 et K3 avec un maillage linéaire 3D et une méthode aux éléments finis
classique (FEM).
· La modélisation B teste K1 et K3 avec un maillage quadratique 3D (éléments de Barsoum) autour du
fond de fissure et une FEM.
· La modélisation C teste K1 et K3 avec un maillage linéaire 3D avec une résolution classique mais une
extraction des facteurs d'intensité basée sur un calcul énergétique.

De plus, pour chaque modélisation, divers cas de chargements sont étudiés :
- traction (sollicitation en mode I) ;
- torsion (sollicitation en mode III) ;
- flexion (ouverture d'un coté, fermeture de l'autre) avec et sans prise en compte du contact.

Les cas de traction et torsion ne mettent pas en jeu le contact.

Bien que des symétries existent dans certains cas (axisymétrie pour le cas 1, symétrie plane pour le 2ème) la
représentation est faite en 3D pour rendre le test généralisable sous chargement multiple.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

La fissure est une couronne circulaire dans un plan orthogonal à l'axe du cylindre [Figure 1.1-a]. Les
paramètres a et b déterminent le rayon du cylindre et la profondeur de la fissure. La [Figure 1.1-b] est
une coupe du cylindre dans le plan de fissure (plan Oyz). Pour que le milieu soit considéré comme
infini, la hauteur du cylindre est h = 10 b.

Figure 1.1-a : Géométrie du cylindre fissuré


2b
2a
PFON_FIN
·
NOEUD A
y
z
·
z one
fissurée

Figure 1.1-b : Plan de fissuration
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1.2
Propriétés de matériaux

Module d'Young : E= 205000 MPa

Coefficient de Poisson : = 0.3


1.3
Conditions aux limites et chargements

Trois chargements seront appliqués afin de calculer les facteurs d'intensité de contraintes K1 et K3 en
3D en utilisant l'opérateur POST_K1_K2_K3.

Le chargement 1 teste K1, et K3.
Le chargement 2 teste K2 sans prise en compte du contact.
Le chargement 3 teste K2 avec prise en compte du contact.

On s'attend à ce que K1 et K3 soient constants le long du fond de fissure et à ce que K2 varie.

Remarque : les cas de traction et de torsion peuvent être traités indifféremment avec ou sans contact
(ici, sans contact) car il n'y a jamais de fermeture de la fissure.


Cas 1 : traction et
Cas 2 : flexion sans
Cas 3 : flexion avec
torsion
contact
contact
Face supérieure
Nx = 6 MN
My = 1.5 MN
My = 1.5 MN
Tx = 3 MN
Tableau 1.3-1 : Cas de chargements


Les efforts précédents sont appliqués à la structure par l'intermédiaire d'éléments 3D discrets situés au
centre de la face supérieure. On note que le point d'ouverture maximale due à la flexion imposée
(moment suivant Oy) sera le noeud A (voir [Figure 1.1-b].

Les mouvements de corps rigides sont bloqués par le même procédé avec encastrement du centre de
la face inférieure.

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour une fissure axisymétrique dans un cylindre de longueur infinie, la méthode des Équations
Intégrales Singulières et des Développements Asymptotiques [bib1] permet de calculer les valeurs des
facteurs d'intensité de contraintes.

· Cas 1 : Traction et Torsion

La traction induit une ouverture en mode 1. K1 est donné par la formule suivante :
P
K =
a F

I
2
1 (a b)
a
où P est l'effort appliquée sur les face supérieure et inférieure et F1 une fonction donnée [Figure 2.1-a].

La torsion induit une ouverture en mode 3. K3 est donné par la formule suivante :
T
2
K =
a
F

III
3
3 (a b)
a

où T est le moment appliqué sur les face supérieure et inférieure et F3 une fonction donnée
[Figure 2.1-a].

· Cas 2 : Flexion sans contact

La flexion induit une ouverture en mode 1. La valeur de K1 au point d'ouverture maximale A est donné
par la formule suivante :
4M
K =
a
F

I
3
2 (a b)
A
a

où M est le moment appliqué sur les face supérieure et inférieure et F2 une fonction donnée
[Figure 2.1-a].

· Cas 3 : Flexion avec contact

Il n'existe pas de solution analytique à ce problème. On s'attend d'une part à ce que K1 soit proche du
cas sans contact sur la partie de la fissure en ouverture, et d'autre part que K1 soit nul sur la partie de
la fissure en fermeture.
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Figure 2.1-a : Fonctions F1, F2 et F3

Ces trois fonctions proviennent de [bib1].

2.2
Résultats de référence

Application Numérique :

Sauf mention contraire, dans la suite de ce document, les paramètres retenus pour a et b sont :

a = 0.4 m
b = 0.5 m


Cas 1 : Traction et torsion
Cas 2 : Flexion
K1 = 5.35 MPa.m1/2
K1
K3 = 11.22 MPa.m1/2
A = 11.71 MPa.m1/2
Tableau 2.2-1 : Valeurs de référence

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3
Modélisation A : Maillage linéaire, formulation classique

3.1
Caractéristiques de la modélisation


Figure 3.1-a : Coupe du maillage dans le plan de la fissure

Les éléments sont tous d'ordre 1.

L'intérêt de cette modélisation est de servir de base pour les formulations plus évoluées, et ainsi, de
pouvoir constater l'apport et les améliorations des autres méthodes.

3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 11310
Nombre de mailles : 14453

Type de mailles
Nombre de mailles
POI1 4
SEG2 39
TRIA3 360
QUAD4 930
PENTA6 5440
HEXA8 7680
Tableau 3.2-1 : Caractéristiques des mailles
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3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_FOND_FISS



POST_K1_K2_K3



CALC_G_LOCAL_T






3.4 Remarque

Le calcul des facteurs d'intensité de contraintes se fait à l'aide de POST_K1_K2_K3 (méthode
d'extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure) [bib2].
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

La procédure POST_K1_K2_K3 permet d'identifier les valeurs des facteurs d'intensité de contraintes à
un coefficient près, par deux méthodes. Nous limiterons le test aux résultats issus de la méthode 1, qui
semble plus stable. On rappelle que cette méthode calcule, pour chaque couple de noeuds en vis-à-vis
autour du point du fond de fissure considéré, le saut du champ de déplacement au carré et le divise
par r [bib2]. On se limite à 3 ou 4 couples de noeuds, et on prendra la valeur maximale comme valeur
du résultat (valeur la plus contraignante).


4.1.1 Résultats dans le cas d'un chargement en traction (K1) et torsion (K3)


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud PFON_FIN
5.35 106 4.98
106
6.92
K3 au noeud PFON_FIN
-11.22 106 -10.12
106 9.80

Les valeurs de K1 et K3 doivent être identiques [Figure 4.2-a] pour tous les noeuds du fond de fissure
car on a une configuration axisymétrique. Ici, nous testons seulement les valeurs au noeud PFON_FIN.


4.1.2 Résultats dans le cas d'un chargement en flexion (K1) sans contact


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud A
11.71 106 10.17
106
13.15

On compare la valeur de K1 à la solution de référence seulement au point d'ouverture maximale
(noeud A) car c'est la seule valeur analytique disponible dans la littérature.


4.1.3 Résultats dans le cas d'un chargement en flexion (K1) avec contact


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud A
10.17 106 9.29
106
8.66

On compare le résultat obtenu à celui obtenu par le Code_Aster sans prise en compte du contact (non-
régression). Cette prise en compte s'effectue par la méthode des contraintes actives.
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4.2
Évolutions de K1, K2, K3 le long du fond de fissure


Figure 4.2-a : K1, K2 et K3 le long du fond de fissure (en MPa.m1/2)

Figure 4.2-b : K1 le long du fond de fissure (en MPa.m1/2)
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Commentaires sur les résultats :

La [Figure 4.2-a] montre l'évolution des facteurs d'intensité des contraintes le long du fond de fissure
de la fissure axisymétrique de profondeur 100 mm soumise à de la traction et de la torsion. On observe
bien des résultats axisymétriques (aux erreurs de calculs près). De plus, on note que la fissure n'est
pas sollicitée en mode II.
Sur la [Figure 4.2-b], on met en évidence la prise en compte du contact. Sur la moitié de fissure en
ouverture, K1 a des valeurs plus faibles avec prise en compte du contact, car le contact rigidifie la
structure. Sur la moitié en fermeture, K1 est nul.
En fait, le contact n'a pas lieu sur toute la moitié supérieure de la fissure [Figure 4.2-c] mais sur une
surface un peu plus petite. Sur la [Figure 4.2-c] la zone en rouge représente la zone de contact et la
zone en bleu celle de non contact.


Figure 4.2-c : Contact
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5 Modélisation B : Maillage quadratique, formulation
classique

5.1
Caractéristiques de la modélisation



Figure 5.1-a : Maillage et tore

Un tore est créé autour de la fissure. Les éléments du tore sont des éléments quadratiques. Les
éléments en dehors du tore sont linéaires. De plus, on utilise des éléments de BARSOUM (noeuds
milieux déplacés au quart) pour les mailles ayant un bord appartenant au fond de fissure [bib3].

L'intérêt de l'utilisation d'un maillage de type BARSOUM est l'obtention de résultats plus précis.


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 20030
Nombre de mailles : 16449

Type de mailles
Nombre de mailles
POI1 2000
SEG3 39
TRIA3 360
QUAD4 610
QUAD8 320
PENTA6 4800
PENTA15 640
HEXA8 5760
HEXA20 1920
Tableau 5.2-1 : Caractéristiques des mailles
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Les noeuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces
arêtes, pour obtenir une meilleure précision.

5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

DEFI_FOND_FISS

CALC_G_LOCAL_T

POST_K1_K2_K3



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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

6.1.1 Résultats dans le cas d'un chargement en traction (K1) et torsion (K3)


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud PFON_FIN
5.35 106 5.19
106
2.93
K3 au noeud PFON_FIN
-11.22 106 -11.08
106 1.25

Les valeurs de K1 et K3 doivent être identiques [Figure 6.2-a] pour tous les noeuds du fond de fissure
car on a une configuration axisymétrique. Ici, nous testons seulement les valeurs au dernier noeud de
la fissure (PFON_FIN).


6.1.2 Résultats dans le cas d'un chargement en flexion (K1) sans contact


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud A
11.71 106 10.59
106
9.54

On compare la valeur de K1 à la solution de référence seulement au point d'ouverture maximale
(Noeud A) car c'est la seule valeur analytique disponible dans la littérature.


6.1.3 Résultats dans le cas d'un chargement en flexion (K1) avec contact


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud A
10.59 106 9.82
106
7.30

On compare le résultat obtenu à celui obtenu par le calcul Aster sans prise en compte du contact
(non-régression). La méthode de résolution du contact est celle des contraintes actives.

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6.2
Évolutions de K1, K2, K3 le long du fond de fissure


Figure 6.2-a : K1, K2 et K3 le long du fond de fissure (en MPa.m1/2)

Figure 6.2-b : K1 le long du fond de fissure (en MPa.m1/2)
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Remarque :

Lorsque l'on calcule les sauts de déplacements le long du fond de fissure (POST_K1_K2_K3), le
premier point rencontré en partant du noeud sur le fond est le noeud déplacé au quart de l'élément
de Barsoum adjacent. Or pour ce noeud au quart, la gestion du contact classique n'est pas valide.
En effet, la méthode des contraintes actives avec linéarisation aux noeuds milieux implique que le
déplacement des noeuds milieux vaut la moyenne de déplacements des noeuds adjacents. Or ici,
le noeud milieu étant déplacé au quart, cette approximation n'est pas licite.
Comme le contact n'est pas pris en compte correctement pour ces noeuds au quart, il paraît
judicieux de ne pas y estimer K1, surtout lorsqu'il y a contact. Sur les noeuds suivants, le saut de
déplacement est bien correct et K1 vaut zéro (voir [Figure 6.2-b]).



·
·


Fond de fissure
·
·
·
Noeuds au quart
·
·
·
Noeud du fond de
· ·
fissure considéré
·
·
·
K1 faux si contact
K1 correct
Figure 6.2-c : Configuration de calcul près du fond de fissure

Ceci n'est pas bien grave en pratique car lorsqu'il y a contact, on sait que K1 doit être nul.

En outre, une solution consiste à tracer K1_MAX lorsque la fissure s'ouvre, et K1_MIN lorsqu'elle se
ferme (c'est ce qui est fait sur la [Figure 6.2-b]. Dans le cas de fermeture, K1_MIN est bien nul puisqu'il
est basé sur les valeurs de K1 données par les sauts de déplacements des noeuds classiques suivants
les noeuds au quart, qui sont correctement traités en ce qui concerne le contact.


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7
Modélisation C : Maillage linéaire, formulation classique et
méthode énergétique


7.1
Caractéristiques de la modélisation

La modélisation du problème est la même que celle utilisée en A. Tous les éléments sont d'ordre 1.

7.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage est similaire à celui utilisé en A.

Nombre de noeuds : 13630
Nombre de mailles : 17013

Type de mailles
Nombre de mailles
POI1 4
SEG2 39
TRIA3 360
QUAD4 1090
PENTA6 5760
HEXA8 9760
Tableau 7.2-1 : Caractéristiques des mailles

7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_FISS_XFEM



CALC_G_LOCAL_T
OPTION CALC_K_G



L'option CALC_K_G a été introduite dans la commande CALC_G_LOCAL_T. Cette option permet de
calculer les facteurs d'intensités de contraintes par une méthode énergétique. Cette méthode est plus
générale que la méthode d'extrapolation des déplacements (POST_K1_K2_K3) car elle peut s'utiliser
dans le cas d'une fissure quelconque (fissure non-plane, à fond non-droit). Cette méthode s'affranchit
donc des commandes DEFI_FOND_FISS [U4.82.01] et POST_K1_K2_K3 [U4.82.05] mais nécessite la
commande DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08] qui définit deux fonctions de niveaux (level sets) pour
caractériser la fissure.


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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

L`option CALC_K_G de la commande CALC_G_LOCAL_T permet d'extraire les valeurs des facteurs
d'intensité de contraintes par la méthode G-théta en utilisant la forme bilinéaire de G (généralisation au
3D du cas 2D déjà existant dans le Code_Aster). Comme pour la méthode G-théta classique, il faut
donner une valeur pour Rinf et Rsup (rayons inférieur et supérieur du tore servant de support au
champ théta).


8.1.1 Résultats dans le cas d'un chargement en traction (K1) et torsion (K3)


Identification Référence
Aster
% différence
Max (K1)
5.35 106 5.11
106 4.47
Max (K3)
11.22 106 10.52
106 6.24

Les valeurs de K1 et K3 doivent être identiques [Figure 8.2-a] pour tous les noeuds du fond de fissure
car on a une configuration axisymétrique. Ici, nous testons le maximum de K1 et K3 pour tous les
points du fond de fissure.

8.1.2 Résultats dans le cas d'un chargement en flexion (K1) sans contact


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud A
11.71 106 10.32
106 11.88

On compare la valeur de K1 à la solution de référence seulement au point d'ouverture maximale car
c'est la seule valeur analytique disponible dans la littérature. Ce point n'est plus un « noeud » mais un
« point » du fond de fissure, il faut alors le repérer par son numéro dans la liste des points du fond de
fissure. C'est le point repéré par NUM_PT=11.


8.1.3 Résultats dans le cas d'un chargement en flexion (K1) avec contact


Identification Référence
Aster
% différence
K1 au noeud A
10.32 106 9.43
106 8.57

On compare le résultat obtenu à celui obtenu par le Code_Aster sans prise en compte du contact
(non-régression). Cette prise en compte s'effectue par la méthode des contraintes actives.
La [Figure 8.2-b] compare les valeurs de K1 le long du fond de fissure pour les cas de flexion avec et
sans contact.

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8.2
Évolutions de K1 et K3 le long du fond de fissure


Figure 8.2-a : K1 et K3 le long du fond de fissure (en MPa.m1/2)
Flexion
1,50E+07
sans contact
avec contact
1,00E+07
5,00E+06
0,00E+00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-5,00E+06
-1,00E+07
-1,50E+07
Abscisse curviligne norm ée

Figure 8.2-b : K1 le long de la fissure (en MPa.m1/2)
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Remarque :

On note que dans le cas où le contact est pris en compte (voir [Figure 8.2-b]), K1 n'est pas
vraiment nul sur les segments du fond de fissure où il y a fermeture. Cela provient du fait que la
méthode énergétique de calcul des K projette le champ de déplacement solution sur les champs
auxiliaires singuliers de déplacement d'une fissure infiniment longue en ouverture. Or ces champs
auxiliaires ne sont pas compatibles avec le mode de fermeture présent.






9
Synthèses des résultats

Les objectifs de ce test sont atteints :

·
Il s'agit de valider la prise en compte du contact sur les lèvres de la fissure avec des éléments
quadratiques (et des éléments de Barsoum). Les résultats sont meilleurs, comparés à ceux
obtenus avec un maillage linéaire.
·
Ce test montre l'intérêt de la méthode « G-theta » pour le calcul des facteurs d'intensité de
contrainte. Cette méthode énergétique présente l'avantage d'être plus générale que celle
utilisant le saut de déplacements (POST_K1_K2_K3) car elle peut s'appliquer à des fissures
de géométrie quelconque, alors que POST_K1_K2_K3 est restreint aux fissures planes. De
plus, la méthode « G-theta » donne de meilleurs résultats (comparés à la solution analytique)
que POST_K1_K2_K3 pour un même maillage linéaire.
·
D'autre part, ce test constitue une référence et permettra la validation de l'introduction de la
méthode X-FEM dans le Code_Aster appliquée aux calculs des facteurs d'intensité de
contraintes.


Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-62/06/005/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

SSNV166 ­ Cylindre fissuré sous chargements multiples
Date
:

15/02/06
Auteur(s) :
P. MASSIN, S. GENIAUT Clé
:
V6.04.166-A Page :
20/20


10 Bibliographie

[1]
TADA, PARIS, IRWIN : The Stress Analysis Of Cracks Handbook, Del Research Corporation,
Hellertoxn, Pennsylvania (1973).
[2]
PROIX : Calcul des facteurs d'intensité des contraintes par extrapolation du champ de
déplacements, Manuel de référence du Code_Aster, R7.02.08
[3]
CORNELIU : Quarter-point elements for curved crack fronts, Computers & Structures Vol. 17,
No. 2, pp. 227-231, 1983

Manuel de Validation
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HT-62/06/005/A

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