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Version
5.0
Titre :
SDLD04 Réponse transitoire d'un système masses-ressorts
Date :
30/08/01
Auteur(s) :
Fe WAECKEL, L. VIVAN Clé
:
V2.01.004-C Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/RNE/AMV, CS SI
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document : V2.01.004
SDLD04 - Réponse transitoire d'un système
masses-ressorts soumis à une accélération
imposée
Résumé
Ce test consiste à calculer la réponse transitoire non amortie d'un système masses-ressorts linéaire encastré-
libre soumis à une accélération imposée.
On teste l'élément discret en traction-compression, le calcul des modes propres, des modes statiques et le
calcul de la réponse transitoire d'un système soumis à une accélération imposée. On compare le calcul direct
de la réponse à son calcul par recombinaison modale.
Ce cas test est issu du guide VPCS. La solution de référence est un calcul analytique. Les erreurs sur les
résultats obtenus sont normales compte tenu du pas de temps choisi pour l'intégration numérique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On calcule la réponse d'un système linéaire composé de trois masses et de trois ressorts à une
accélération imposée au niveau de son point d'ancrage (A) :
y
k1
k2
k3
x
(t)
m1
m
m
1
2
m3
A
B
C
D
1.2
Propriétés des matériaux
·
raideurs de liaison : k = k1 = k2 = k3 = 1000 N/m ;
·
masses ponctuelles : m = m1 = m2 = m3 = 1 kg.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Conditions aux limites
Les seuls déplacements autorisés sont les translations selon l'axe x.
Le point A est encastré : dx = dy = dz = drx = dry = drz = 0.
Chargement
Le point d'ancrage A est soumis à une accélération, fonction croissante du temps, selon la
direction x : (t) = 2.105.t2 (t varie de 0 à 0,1 s).
1.4 Conditions
initiales
Le système est initialement au repos : à t = 0, dx(0) =0 et dx/dt(0) = 0 en tout point.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
On calcule dans un premier temps les fréquences propres fi et les vecteurs propres Ni associés
normalisés par rapport à la matrice de masse. On calcule ensuite la réponse généralisée du système
mono-excité en résolvant analytiquement l'intégrale de Duhamel [bib1]. Enfin, on restitue sur la base
physique le déplacement relatif au point D.
Calcul des fréquences propres
Les matrices de masse et de raideur sont les suivantes :
m 0 0
2 - 1
0
M = 0 m 0 , K
= k - 1
2 -
1
0 0
m
0 -
1
1
Les fréquences propres sont solution de l'équation
[
det K - 2M] = 0 , soit
3
k
- 2
5
+
6 - 1 = 0 où = et =
.
m
0
Calcul de la réponse généralisée du système mono-excité
(t) = a.t2 avec a = 2.105.
Dans le repère absolu, l'équation fondamentale de la dynamique du système masses-ressorts non
amorti s'écrit : M X
& + K X
a
a = 0 .
Le déplacement absolu Xa se décompose en un déplacement d'entraînement uniforme en translation
X et en un déplacement relatif X
e
r : X
X
X
a =
+
r
e .
L'équation du mouvement dans le repère relatif s'écrit alors : M X
& + K X = -M X
r
r
& = Q
s
1
1
2
avec &X
(t) a.
s =
= t 2 et =
1 et donc Q = a.t m
1 .
1
1
L'équation du mouvement projetée sur la base des modes dynamiques normalisés par rapport à la
matrice de masse s'écrit :
T
.M.
& (t) + 2 (t)
i
=
(t) = - p (t) (t)
i
i
i
T
.
.M.
i
i
i
La réponse de ce système linéaire, à un instant t est donnée par l'intégrale de Duhamel :
t
1
p (t) t
& (t) =
- p (t) (t).sin (t - )
i
d = -
a.t 2 sin (t -
)
i
i
i
i
d .
i
i
0
0
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t
Or, d'après [bib1], a.t 2 sin (t - ) d =
t 2
2
+
(cos t
i
i - )
1
.
i
i
0
a. p (t).
Donc X
i
i
= . = -
2
2
1
2
t +
(cos t
r
i
i
i - ) .
i
i
i
2.2
Résultats de référence
On prend pour résultats de référence les trois fréquences propres du système et le déplacement relatif
xr au point D, pour différents instants compris entre 0 et 0,1 s.
2.3
Incertitude sur la solution
Aucune si l'on calcule l'intégrale de Duhamel analytiquement [bib1], [bib2].
2.4 Références
bibliographiques
[1]
J.S. PRZEMIENIECKI : Theorie of matrix structural analysis. New York, Mac Graw-Hill, 1968,
p. 351-357
[2]
S.P. TIMOSHENKO, D.H. YOUNG et W. WEAVER : Vibrations problems in engineering
4ème édition, New York, Wiley & Sons, 1974, p. 284-321
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Les ressorts et masses ponctuelles sont modélisés par des éléments discrets à 3 degrés de liberté
"DIS_T" :
Y
k
k
k
1
2
3
X
NO1
NO2
NO3
NO4
Le noeud NO1 est encastré et soumis à une accélération imposée (t). On calcule le déplacement
relatif du noeud NO4.
Calculs par synthèse modale
On considère la base complète des modes propres. L'intégration temporelle est réalisée avec les
algorithmes de Newmark, d'Euler et de Devogelaere avec un pas de temps de 0,001 s. Les calculs
sont archivés tous les pas de temps.
On considère un amortissement réduit nul pour l'ensemble des modes calculés.
i
Le chargement est pris en compte sous forme de vecteur projeté sur la base modale
EXCIT :(VECT_GENE) ou sous forme de composante modale EXCIT :(NUME_MODE) ou les deux à
la fois.
Calculs directs
L'intégration temporelle est réalisée soit avec l'algorithme de Newmark soit avec l'algorithme explicite
des différences centrées avec un pas de temps de 0,001 s. Les calculs sont archivés tous les dix pas
de temps.
Remarque :
Comme le schéma des différences centrées ne peut être utilisé qu'avec une matrice de masse
diagonale, on calcule les matrices élémentaires avec l'option MASS_MECA_DIAG dans l'opérateur
CALC_MATR_ELEM.
Prise en compte d'un état initial
Dans les deux types de calcul, on vérifie que le déplacement relatif obtenu d'un calcul réalisé en une
fois est identique à celui obtenu en plusieurs fois, c'est-à-dire en considérant comme état initial, le
résultat du dernier pas de temps calculé :
ETAT_INIT : (RESU_GENE : ...) pour un calcul par synthèse modale ;
ETAT_INIT : (DYNA_TRAN) ou
ETAT_INIT : (DEPL_INIT : ...
VITE_INIT : ..) pour un calcul direct.
Prise en compte des modes négligés par correction statique :
On considère une base modale constituée des deux premiers modes propres et on l'a complète par
un mode correspondant à la réponse statique du système étudié à un chargement unitaire de type
force imposée dans la direction x (mots clés MODE_CORR et CORR_STAT dans l`opérateur
DYNA_TRAN_MODAL).
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 3 DIS_T
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3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés doc V5
AFFE_MODELE GROUP_MA
`MECANIQUE'
`DIS_T'
[U4.41.01]
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
NOEUD
M_T_D_N [U4.42.01]
GROUP_MA
K_T_D_L
CALC_MATR_ELEM OPTION
MASS_MECA_DIAG
[U4.61.01]
MODE_ITER_SIMULT PLUS_PETITE
MAX_FREQ
[U4.52.03]
CALC_CHAR_SEISME MONO_APPUI
[U4.63.01]
MACRO_PROJ_BASE
[U4.63.11]
AFFE_CHAR_MECA FORCE_NODALE
[U4.44.01]
MACRO_ELAS_MULT CHAR_MECA_GLOBAL
[U4.51.02]
CAS_CHARGE
CHAR_MECA
DYNA_TRAN_MODAL METHODE
NEWMARK
[U4.53.21]
DEVOGE
EULER
ETAT_INIT
RESU_GENE
MODE_CORR
EXCIT
CORR_STAT
DYNA_LINE_TRAN METHODE
NEWMARK
[U4.53.02]
DIFF_CENTRE
ETAT_INIT
DEPL_INIT
VITE_INIT
DYNA_TRANS
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4
Résultats de la modélisation A
4.1
Valeurs testées de la modélisation A
Fréquences propres (en Hz) du système :
Numéro du mode
Analytique
Code_Aster
erreur relative %
1 2,239
2,240
0,038
2 6,275
6,276
0,015
3 9,069
9,069
0
Valeurs du déplacement relatif du noeud NO4 pour différents instants :
Calcul transitoire par synthèse modale
On teste la prise en compte d'un chargement sous forme de vecteur projeté sur la base modale, sous
forme de composante modale, sous forme de vecteur projeté et de composante modale
simultanément ainsi que la prise en compte des modes négligés.
Code_Aster
Code_Aster
Temps (s)
Référence
Chargement de type
Erreur
Chargement de type
Erreur
vecteur généralisé
relative % composante modale
relative
Algorithme de
Algorithme d'Euler
%
Newmark
0,02 2,700E03 2,680E03
0,741 2,660E03
1,481
0,04 4,260E02 4,272E02
0,279 4,264E02 0,091
0,05 1,041E01 1,042E01
0,134 1,041E01 0,015
0,06 2,158E01 2,161E01
0,121 2,159E01 0,038
0,08 6,813E01 6,819E01
0,094 6,816E01 0,049
0,10 1,658E+00 1,659E+00 0,082
1,659E+00
0,055
Type de chargement
Temps (s)
Référence
Code_Aster
erreur relative %
0,02
5,400E03
5,320E03
1,482
Vecteur généralisé
0,04
8,520E02
8,528E02
0,091
et 0,05
2,082E01
2,082E01
0,015
composante modale
0,06 4,316E01
4,318E01
0,038
simultanéement 0,08
1,363E+00 1,363E+00
0,049
(Euler) 0,10
3,316E+00 3,318E+00
0,055
0,02
4,000E03
3,985E03
0,373
Vecteur généralisé
0,04
4,640E02
4,640E02
0,01
Devogelaere 0,05
1,085E01 1,086E01
0,084
(plus correction
0,06 2,203E01
2,204E01
0,039
statique) 0,08
6,842E01 6,843E01
0,021
0,10
1,659E+00
1,659E+00
0,026
Les résultats avec base modale incomplète sans correction statique ne sont pas testés. On illustre
ci-dessous l'intérêt de la correction statique :
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Déplacement du noeud NO4 (en mètres) en fonction du temps
Base complète
Base incomplète
Base incomplète avec
sans correction
correction statique
statique
Calcul transitoire direct
On compare les déplacements calculés au noeud N04 en fonction de différents schémas
d'intégration :
Temps (s)
Référence
Code_Aster
Erreur
Code_Aster
Erreur
Schéma de
relative %
Schéma des
relative %
Newmark
différences centrées
0,02 2,700E03 2,680E03 0,741 2,660E03 1,482
0,04 4,260E02 4,272E02
0,279 4,264E02 0,091
0,05 1,041E01 1,042E01
0,134 1,041E01 0,015
0,06 2,158E01 2,161E01
0,121 2,159E01 0,038
0,08 6,813E01 6,819E01
0,094 6,745E01
1,004
0,10 1,658E+00 1,659E+00 0,082 1,645E+00 0,803
Prise en compte d'un état initial :
Comme attendu, les déplacements relatifs calculés en une fois sont strictement identiques à ceux
obtenus en considérant comme état initial le résultat du dernier pas de temps calculé.
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : STA 5.02
Machine : SGI Origin 2000
Temps CPU user : 5,9 secondes
5
Synthèse des résultats
La solution de référence est un calcul analytique. Les erreurs sur les résultats obtenus sont normales
compte tenu du pas de temps choisi pour l'intégration numérique.
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