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5.0

Titre :

SSLS503 - Plaque stratifiée en flexion empilement antisymétrique
Date :
17/06/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
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Organisme(s) : EDF/AMA, DeltaCAD
















Manuel de Validation
Fascicule V3.03 : Statique linéaire des plaques et coques
Document : V3.03.503





SSLS503 - Plaque stratifiée en flexion empilement
antisymétrique simplement appuyée





Résumé :

Ce test représente un calcul quasi-statique d'une plaque stratifiée, en flexion empilement antisymétrique,
simplement appuyée, soumise à une pression uniformément répartie.

Les 4 modélisations permettent de valider :

· les modélisations éléments finis DKT (QUAD4, TRIA3) et DST (QUAD4, TRIA3) dans le cas d'un
matériau composite (3 couches d'orientation différentes),
· les contraintes de cisaillement transverse.

Les déplacements et les contraintes obtenues sont comparés à une solution de référence analytique.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

z, w
y, v
B
C
a = 1.2 m
h = 0.012 m
p
Empilement
A
t
D
x, u
z

90°
a


l


1.2
Propriétés du matériau

Les propriétés du matériau constituant la plaque sont les suivantes:

Unidirectionnel (U) :
E = 4. 1010 Pa
E = 0.16 1010 Pa
(l x ; t y)
l
t
G = G = 8. 108 Pa
G = 3.2 108 Pa

lt
lz
tz
= 0.25


lt
Empilement :
· orientation :
[ 0 / 90 / 0 ]
· nature :
[ U / U / U ]
· épaisseur :
[ h/3 / h/3 / h/3 ]

1.3
Conditions aux limites et chargements

· CL : la plaque est simplement appuyée sur son contour

· Pression uniformément répartie : p = 3000 Pa

1.4 Conditions
initiales

Sans objet
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Déplacement : solution analytique obtenue par décomposition en série de la forme :
i x
jy
w = w sin
sin

ij








i
j
a
b
Contraintes : solution numérique [bib1], [bib2]

2.2
Résultats de référence
y
z
Plan moyen
B
C
h/2
3
a/2
x
h/6
A
2
D
1
-h/2
a/2


Les résultats de référence sont les suivants :

w (0, 0, 0)
0.01507 m
Déplacement w au centre de la plaque (point A),
SIXX (0, 0, h/2)
2.4216 107 Pa Contrainte xx sur la peau supérieure de la couche
3 (z=h/2) au centre de la plaque (point A),
SIYY (0, 0, h/6) couche 5.7810 106 Pa Contrainte yy sur la peau supérieure de la couche
à 90°
2 (z=h/6) au centre de la plaque (point A),
SIXY (a/2, a/2, h/2)
1.2825 106 Pa Contrainte xy au point C sur la peau supérieure de
la couche 3,
SIXZ(a/2, 0, 0)
2.3526 105 Pa Contrainte xz au point D sur la peau moyenne de la
couche 2 (z=0),
SIYZ(0, a/2, 0)
8.8950 104 Pa Contrainte yz au point B sur la peau moyenne de la
couche 2 (z=0),
2.3
Incertitudes sur la solution

· La solution de référence est donnée pour un nombre de termes dans la série égal à 25.
· Le facteur de correction du cisaillement transverse utilisé est de 5/6.
· Avec un élancement important (a/h=100) , le niveau de cisaillement transverse est faible et
donc difficile à obtenir avec précision. Il existe alors une incertitude sur les valeurs de
contrainte ij calculées lors de la validation du test VPCS, les différences obtenues par les
logiciels sur les composantes du cisaillement sont de l'ordre de 10%.

2.4 Références
bibliographiques

[1]
VPCS : Progiciel de calcul de structures composites ; Exemples de validation. Revue des
composites et des matériaux avancés, Volume 5 - numéro hors série/ 1995. Edition Hermes.
[2]
PUTCHA, N.S. and REDDY, J.N. : A mixed shear flexible finite element for the analysis of
laminated plates, computer meth. in applied mech. Eng. 44 (1984).
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation


Z
C
Modélisation DKT (TRIA3)
- La plaque est située dans le plan Y =0.5
y
- Point A (0.4 ;0.5 ;0.25)
x
- Conditions aux limites:
B
D
. Coté BC : v = 0
. Coté CD : v = 0
Y
- Conditions de symétrie : (repère local)
48°5
. Coté AB : u = = 0
y
A
X
. Coté AD : v = = 0
x



3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 49
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3

3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
`DKT'
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
DEFI_COQU_MULT
COUCHE
EPAIS
MATER
ORIENTATION
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_COQUE
PRES
CALC_CHAM_ELEM
NUME_COUCHE
NIVE_COUCHE
`SUP' `MOY'
OPTION
`SIGM_ELNO_DEPL'

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence Aster %
différence
v (0, 0, 0)
0.01507
0.01500
­0.492
SIXX (0, 0, h/2)
2.4216 107
2.4307 107 0.376
SIYY (0, 0, h/6) couche à
5.7810 107
5.7438 107 ­0.644
90°
SIXY (a/2, a/2, h/2)
1.2825 106
1.2838 106 0.102
SIXZ(a/2, 0, 0)
­2.3526 105
­3.1855 105
35

SIYZ(0, a/2, 0)
8.8950 104
8.6968 104 2.2


4.2 Remarques

Les contraintes sont exprimées dans le repère d'orthotropie défini par ANGL_REP (AFFE_CARA_ELEM),
et par la normale de l'élément.

Les composantes SIXX, SIYY et SIYZ sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux
points A et C.

L'écart obtenu sur SIXZ est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse : dans la
référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans le Code_Aster,
on calcule la répartition des cisaillements dans l'épaisseur, supposée parabolique dans chaque
couche.
Le signe de SIXZ est opposé à celui de la solution de référence.

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation


Z
Modélisation DKT (QUAD4)
C
- La plaque est située dans le plan Y =0.5
- Point A (0.4 ;0.5 ;0.25)
y
x
- Conditions aux limites:
B
D
. Coté BC : v = 0
. Coté CD : v = 0
Y
- Conditions de symétrie : (repère local)
48°5
. Coté AB : u = = 0
y
A
X
. Coté AD : v = = 0
x



5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 49
Nombre de mailles et types : 36 QUAD4


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
`DKT'
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
DEFI_COQU_MULT
COUCHE
EPAIS
MATER
ORIENTATION
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_COQUE
PRES
CALC_CHAM_ELEM
NUME_COUCHE
NIVE_COUCHE
`SUP' `MOY'
OPTION
`SIGM_ELNO_DEPL'
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Référence Aster %
différence
v (0, 0, 0)
0.01507
0.01500
­0.431
SIXX (0, 0, h/2)
2.4216 107
2.4397 107 0.745
SIYY (0, 0, h/6) couche à
5.7810 106
5.7321 106 ­0.845
90°
SIXY (a/2, a/2, h/2)
1.2825 106
1.2184 106 ­4.995
SIXZ(a/2, 0, 0)
­2.3526 105
­2.0112 105 14.5
SIYZ(0, a/2, 0)
8.8950 104
8.6060 104 3.2


6.2 Remarques

Les composantes SIXX, SIYY et SIYZ sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux
points A et C.

L'écart obtenu sur SIXZ est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse : dans la
référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans le Code_Aster,
on calcule la répartition des cisaillements dans l'épaisseur, supposée parabolique dans chaque
couche.

Le signe de SIXZ est opposé à celui de la solution de référence.


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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation


Z
Modélisation DST (TRIA3)
C
- La plaque est située dans le plan Y =0.5
- Point A (0.4 ;0.5 ;0.25)
y
x
- Conditions aux limites:
B
D
. Coté BC : v = 0
. Coté CD : v = 0
Y
- Conditions de symétrie : (repère local)
48°5
. Coté AB : u = = 0
y
A
X
. Coté AD : v = = 0
x



7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 49
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3


7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
`DST'
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
DEFI_COQU_MULT
COUCHE
EPAIS
MATER
ORIENTATION
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_COQUE
PRES
CALC_CHAM_ELEM
NUME_COUCHE
NIVE_COUCHE
`SUP' `MOY'
OPTION
`SIGM_ELNO_DEPL'

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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
v (0, 0, 0)
0.01507
0.01517
0.655
SIXX (0, 0, h/2)
2.4216 107
2.132 107 12
SIYY (0, 0, h/6) couche à 90°
5.7810 106
6.96 106
20.
SIXY (a/2, a/2, h/2)
1.2825 106
1.284 106
0.1
SIXZ(a/2, 0, 0)
­2.3526 105
­1.5474103
34
SIYZ(0, a/2, 0)
8.8950 104
11.099 104 24


8.2 Remarques

Les composantes SIXX, SIYY et SIYZ sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux
points A et C.

L'écart obtenu sur SIXZ est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse : dans la
référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans le Code_Aster,
on calcule la répartition des cisaillements dans l'épaisseur, supposée parabolique dans chaque
couche.
Le signe de SIXZ est opposé à celui de la solution de référence.

Les autres écarts sont probablement dus à l'anisotropie du maillage triangulaire.

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9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation


Z
Modélisation DST (QUAD4)
C
- La plaque est située dans le plan Y =0.5
- Point A (0.4 ;0.5 ;0.25)
y
x
- Conditions aux limites:
B
D
. Coté BC : v = 0
. Coté CD : v = 0
Y
- Conditions de symétrie : (repère local)
48°5
. Coté AB : u = = 0
y
A
X
. Coté AD : v = = 0
x



9.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 49
Nombre de mailles et types : 36 QUAD4


9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
`DST'
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
DEFI_COQU_MULT
COUCHE
EPAIS
MATER
ORIENTATION
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_COQUE
PRES
CALC_CHAM_ELEM
NUME_COUCHE
NIVE_COUCHE
`SUP' `MOY'
OPTION
`SIGM_ELNO_DEPL'

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10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées


Identification Référence Aster %
différence
v (0, 0, 0)
0.01507
0.01513
0.4
SIXX (0, 0, h/2)
2.4216 107
2.439 107 0.7
SIYY (0, 0, h/6) couche à 90°
5.7810 106
5.79 106 0.2
SIXY (a/2, a/2, h/2)
1.2825 106
1.1953 106 ­6.8
SIXZ(a/2, 0, 0)
­2.3526 105
­2.0264 105 14
SIYZ(0, a/2, 0)
8.8950 104
8.7485104 2


10.2 Remarques


Les composantes SIXX, SIYY et SIYZ sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux
points A et C.

L'écart obtenu sur SIXZ est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse : dans la
référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans le Code_Aster,
on calcule la répartition des cisaillements dans l'épaisseur, supposée parabolique dans chaque
couche.
Le signe de SIXZ est opposé à celui de la solution de référence.

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11 Synthèse des résultats

· Déplacements : quelque soit la modélisation utilisée (DKT ou DST) les résultats sont
satisfaisants, l'erreur maximum est inférieure à 0.7%.

· Contraintes planes : les résultats sont plus précis avec la modélisation DKT, l'erreur est
inférieure à 1% sauf pour SIXY (QUAD4) où l'erreur est de 5%. Pour la modélisation DST l'erreur
est plus élevée (<8%) avec un écart important sur SIXX (28%) pour la maille TRIA3.

· Cisaillement transverse : quelque soit la modélisation utilisée (DKT ou DST) les résultats
obtenus avec les maillages quadrangulaires sont plus proches de la solution de référence que
ceux obtenus avec des maillages triangulaires. Dans le premier cas l'erreur sur la composante
SIXZ est inférieure à 15%, et l'erreur sur SIYZ est inférieure à 3%, tandis que dans le deuxième
cas, l'erreur sur SIXZ est de 35% et celle sur SIYZ est comprise entre 2% et 24%. Hormis la
moins bonne précision des maillages triangulaires à cause de leur anisotropie, l'écart qui subsiste
avec des maillages quadrangulaires est dû à la différence de modélisation du cisaillement
transverse : dans la référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de
5/6. Dans le Code_Aster, on calcule la répartition des cisaillements dans l'épaisseur, supposée
parabolique dans chaque couche.
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