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5.0

Titre :

SSNV137 - Câble de précontrainte dans une poutre droite en béton
Date :
09/04/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT, M. LAINET Clé
:
V6.04.137-A Page :
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Organisme(s) : EDF/AMA, CS SI
















Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.137




SSNV137 - Câble de précontrainte dans une poutre
droite en béton




Résumé

On considère une poutre droite en béton, de section carrée, traversée sur sa longueur par un câble de
précontrainte en acier. A l'état de repos, le câble est parallèle à la fibre moyenne de la poutre et excentré par
rapport aux deux plans principaux. La poutre et le câble sont encastrés-libres. Le câble est mis en traction à
son extrémité libre, afin de précontraindre la poutre en flexion-compression. Les pertes de tension le long du
câble sont négligées.

Le but de ce cas-test est de valider la méthode de calcul de l'état d'équilibre d'une structure en béton
précontraint, lorsque cette structure est modélisée par des éléments 3D, associés aux éléments de base
représentant le câble de précontrainte.

Les fonctionnalités particulières à tester sont les suivantes :

·
opérateur DEFI_CABLE_BP : détermination des relations cinématiques entre les DDL des noeuds d'un
câble et les DDL des noeuds «voisins» d'une structure en béton modélisée par des éléments 3D ;
·
opérateur STAT_NON_LINE, option COMP_INCR : calcul de l'état d'équilibre.

Les résultats obtenus sont validés par comparaison à une solution analytique de référence.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

La poutre en béton est droite, de section carrée.
Ses dimensions sont L × a × a = 3 m × 0,4 m × 0,4 m.
Le câble traverse la poutre parallèle à la fibre moyenne et il est excentré par rapport aux deux plans
principaux. Les excentricités suivant les directions y et z valent respectivement
ey = -0,12 m et ez = -0,16 m.
L'aire de la section droite du câble vaut Sa = 2,5.10­3 m2.

z


y



a


x


a




L


z





ey
y


a

ez




a



1.2
Propriétés des matériaux

Matériau béton constituant la poutre : Module d'Young Eb = 4,5.1010 Pa
Matériau acier constituant le câble : Module d'Young Ea = 1,85.1011 Pa
Le coefficient de Poisson est pris égal à 0 pour les deux matériaux. On annule donc les effets de
Poisson dans les directions y et z .
Les pertes de tension dans le câble étant négligées, les divers paramètres servant à leur estimation
sont fixés à 0.
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1.3
Conditions aux limites et chargements

Les noeuds de la poutre situés sur la face x=0 sont bloqués en translation suivant les trois directions.
Parmi ces noeuds se trouvent les «voisins» du noeud extrémité gauche du câble, qui se trouve donc
bloqué en translation par les relations cinématiques. Il ne faut donc pas imposer de conditions aux
limites supplémentaires en ce noeud, qui seraient redondantes avec les relations cinématiques et
rendraient impossible la résolution en déplacements (matrice singulière).

On applique au noeud extrémité droite du câble un effort normal de traction (F0 ; 0 ; 0), avec F0 = 106
N.
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2
Solution de référence

La solution analytique de référence est déterminée par la théorie des poutres. On considère une
poutre encastrée-libre. Les caractéristiques géométriques sont celles définies en paragraphe [§2.1].
On applique à l'extrémité libre un effort normal de compression (­F ; 0 ; 0) et un moment fléchissant
(0 ; ez.F ; ­ey.F).

La solution de ce problème est la suivante :

Tenseur des contraintes :





xx 0
0
F
12e
12


e
=
y
0
0
0
z
avec xx = -
1+
y +
z
2
2
2







éq 2-1


a
a
a

0
0
0

Déplacements : en négligeant les effets de Poisson on obtient


12
12
(
F
ey
e
u x, y, z) = -
1 +
y
z
+
z x
E

2
2
2
b a
a
a


6Fey
v
(x, y, z) =
x2










éq 2-2
E

4
b a

6
(
Fe
w x, y, z)
z
=
x2
E

4
b a
u
= v = w = 0

avec les conditions aux limites v
w

en x = 0
=
= 0

x x

Dans les expressions ci-dessus, F désigne l'effort normal résiduel dans le câble après
raccourcissement élastique de la poutre, qui peut être explicité en fonction de la tension initiale F0.

Le taux de déformation axial du béton au niveau du câble s'écrit



12e2
2
béton
xx
F
y
12ez
1

xx
=
= -
+
+

E
2
2
2
b
Eb a
a
a

L'effort normal résiduel dans le câble se déduit de la tension initiale F
béton
acier
=
0 par la relation

xx
xx

F - F0
et acier
xx
=
; d'où :
Ea Sa
F
F = F
0
0 + E a Sa xx F =






éq 2-3
E

2
2
12

a S
e
a
y
12ez
1 +
1+
+

E
2
2
2
b a
a
a

Les valeurs numériques de référence sont calculées à l'aide des formules [éq 2-1], [éq 2-2] et [éq 2-3].
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

La poutre en béton est représentée par 60 éléments MECA_HEXA20, supportés par autant de mailles
hexaèdres à 20 noeuds. La figure ci-dessous donne une représentation simplifiée du maillage de la
poutre.













Un matériau béton est affecté aux éléments, pour lequel sont définis les comportements ELAS
(module d'Young Eb = 4,5.1010 Pa) et BPEL_BETON : les paramètres caractéristiques de cette relation
sont fixés à 0 car on néglige les pertes de tension le long du câble de précontrainte.

Les DDL DX, DY, et DZ des noeuds de la face x=0 sont bloqués.


Le câble est représenté par 30 éléments MECA_BARRE, supportés par autant de mailles segments à 2
noeuds. Les extrémités gauche et droite sont respectivement les noeuds NC000001 et NC000031.

Une aire de section droite Sa = 2,5.10­3 m2 est affectée aux éléments, ainsi qu'un matériau acier pour
lequel sont définis les comportements ELAS (module d'Young Ea = 1,85.1011 Pa) et BPEL_ACIER : les
paramètres caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 (pertes de tension négligées), à l'exception
de la contrainte limite élastique pour laquelle une valeur nulle est illicite (fprg = 1,77.109 Pa).

Pour éviter toute redondance avec les relations cinématiques, aucun blocage n'est imposé au noeud
NC000001 (cf remarque du paragraphe [§2.3]).

La tension F0 = 106 N est appliquée au noeud NC000031. Cette valeur de tension est cohérente avec
les valeurs de section et de limite élastique, pour un câble de précontrainte de type toron.


Le calcul de l'état d'équilibre de l'ensemble poutre et câble est effectué en un seul pas, le
comportement étant élastique. On réalise ensuite un calcul complémentaire permettant de déterminer
les contraintes aux noeuds des éléments de la poutre.
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3.2
Etapes de calcul et fonctionnalités testées

Les principales étapes de calcul correspondent aux fonctionnalités que l'on souhaite valider :

·
opérateur DEFI_MATERIAU : définition des relations de comportement BPEL_BETON et
BPEL_ACIER, dans le cas particulier où les pertes de tension le long du câble de
précontrainte sont négligées (valeurs par défaut des paramètres) ;
·
opérateur DEFI_CABLE_BP : détermination d'un profil de tension constant le long du câble
de précontrainte, les pertes étant négligées
; calcul des coefficients des relations
cinématiques entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins» de la
poutre en béton, dans le cas d'une poutre modélisée par des éléments 3D ;
·
opérateur AFFE_CHAR_MECA : définition d'un chargement de type RELA_CINE_BP ;
·
opérateur STAT_NON_LINE, option COMP_INCR : calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type RELA_CINE_BP, dans le cas d'une poutre modélisée par des
éléments 3D.

On utilise enfin l'opérateur CALC_ELEM option SIGM_ELNO_DEPL afin de calculer les contraintes aux
noeuds des éléments de la poutre.
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

4.1.1 Déplacements des noeuds de la poutre

On compare les valeurs extraites du champ DEPL issu de STAT_NON_LINE aux valeurs théoriques de
référence. La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut :

·
3 % pour le noeud NB010527 ;
·
1 % pour les noeuds NB030127, NB050127 et NB050527 ;
·
0,1 % pour les autres noeuds.

Noeud
Composante
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB010105 DX ­2,298342.10­4 m
­2,298342.10­4 m
+2,35.10­7 %
NB010305 DX ­1,237569.10­4 m
­1,237569.10­4 m
+4,91.10­8 %
NB010505 DX ­1,767956.10­5 m
­1,767956.10­5 m
­1,13.10­7 %
NB030105 DX ­1,502762.10­4 m
­1,502762.10­4 m
+2,87.10­7 %
NB030305 DX ­4,419890.10­5 m
­4,419890.10­5 m
­1,12.10­7 %
NB030305 DY ­7,955801.10­5 m
­7,955801.10­5 m
+1,31.10­8 %
NB030305 DZ ­1,060773.10­4 m
­1,060773.10­4 m
+4,53.10­7 %
NB030505 DX +6,187845.10­5 m
+6,187845.10­5 m
+4,91.10­8 %
NB050105 DX ­7,071823.10­5 m
­7,071823.10­5 m
+2,84.10­8 %
NB050305 DX +3,535912.10­5 m
+3,535912.10­5 m
­1,13.10­7 %
NB050505 DX +1,414365.10­4 m
+1,414365.10­4 m
­2,54.10­7 %





NB010116 DX ­8,618785.10­4 m
­8,618783.10­4 m
­1,87.10­7 %
NB010316 DX ­4,640884.10­4 m
­4,640884.10­4 m
+5,86.10­8 %
NB010516 DX ­6,629834.10­5 m
­6,629837.10­5 m
+4,12.10­7 %
NB030116 DX ­5,635359.10­4 m
­5,635360.10­4 m
+1,15.10­7 %
NB030316 DX ­1,657459.10­4 m
­1,657459.10­4 m
­8,23.10­8 %
NB030316 DY ­1,118785.10­3 m
­1,118785.10­3 m
­4,18.10­7 %
NB030316 DZ ­1,491713.10­3 m
­1,491713.10­3 m
­1,95.10­7 %
NB030516 DX +2,320442.10­4 m
+2,320442.10­4 m
+5,66.10­8 %
NB050116 DX ­2,651934.10­4 m
­2,651934.10­4 m
­5,31.10­8 %
NB050316 DX +1,325967.10­4 m
+1,325967.10­4 m
+3,21.10­8 %
NB050516 DX +5,303867.10­4 m
+5,303869.10­4 m
+2,95.10­7 %





NB010127 DX ­1,493923.10­3 m
­1,494742.10­3 m
+0,055 %
NB010327 DX ­8,044199.10­4 m
­8,039511.10­4 m
­0,058 %
NB010527 DX ­1,149171.10­4 m
­1,123172.10­4 m
­2,262 %
NB030127 DX ­9,767956.10­4 m
­9,755085.10­4 m
­0,132 %
NB030327 DX ­2,872928.10­4 m
­2,870992.10­4 m
­0,067 %
NB030327 DY ­3,361326.10­3 m
­3,361041.10­3 m
­0,008 %
NB030327 DZ ­4,481768.10­3 m
­4,481603.10­3 m
­0,004 %
NB030527 DX +4,022099.10­4 m
+4,021519.10­4 m
­0,014 %
NB050127 DX ­4,596685.10­4 m
­4,599190.10­4 m
­0,598 %
NB050327 DX +2,298343.10­4 m
+2,296287.10­4 m
­0,089 %
NB050527 DX +9,193370.10­4 m
+9,167311.10­4 m
­0,283 %
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4.1.2 Contrainte normale dans la poutre

On compare les valeurs extraites du champ SIGM_ELNO_DEPL issu de CALC_ELEM aux valeurs
théoriques de référence.
La composante sur laquelle portent les tests est SIXX.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.

Noeud
Maille
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB010116 HX010115 ­2,585635.107 Pa
­2,585622.107 Pa
­4,97.10­6 %
NB010316 HX010115 ­1,392265.107 Pa
­1,392266.107 Pa
+9,60.10­7 %
NB010516 HX010315 ­1,988950.106 Pa
­1,989086.106 Pa
+0,007 %
NB030116 HX010115 ­1,690608.107 Pa
­1,690605.107 Pa
­1,66.10­6 %
NB030316 HX010115 ­4,972376.106 Pa
­4,972387.106 Pa
+2,39.10­6 %
NB030516 HX010315 +6,961326.106 Pa
+6,961321.106 Pa
­6,61.10­7 %
NB050116 HX030115 ­7,955801.106 Pa
­7,955959.106 Pa
+0,002 %
NB050316 HX030115 +3,977901.106 Pa
+3,977883.106 Pa
­4,46.10­6 %
NB050516 HX030315 +1,591160.107 Pa
+1,591176.107 Pa
+0,001 %


4.1.3 Déplacements des noeuds du câble de précontrainte

On compare les valeurs extraites du champ DEPL issu de STAT_NON_LINE aux valeurs théoriques de
référence. La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut :

·
1 % pour le noeud NC000031, composante DZ ;
·
0,1 % pour les autres noeuds.

Noeud
Composante
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NC000006 DY ­1,243094.10­4 m
­1,243094.10­4 m
­6,24.10­8 %
NC000006 DZ ­1,657459.10­4 m
­1,657459.10­4 m
­2,64.10­7 %
NC000011 DY ­4,972376.10­4 m
­4,972376.10­4 m
­5,90.10­8 %
NC000011 DZ ­6,629834.10­4 m
­6,629834.10­4 m
+3,99.10­8 %
NC000016 DY ­1,118785.10­3 m
­1,118785.10­3 m
­3,13.10­7 %
NC000016 DZ ­1,491713.10­3 m
­1,491713.10­3 m
­7,49.10­8 %
NC000021 DY ­1,988950.10­3 m
­1,988946.10­3 m
­1,96.10­6 %
NC000021 DZ ­2,651934.10­3 m
­2,651929.10­3 m
­1,74.10­6 %
NC000026 DY ­3,107735.10­3 m
­3,107026.10­3 m
­0,023 %
NC000026 DZ ­4,143646.10­3 m
­4,142654.10­3 m
­0,024 %
NC000031 DY ­4,475138.10­3 m
­4,475186.10­3 m
+0,001 %
NC000031 DZ ­5,966851.10­3 m
­6,010387.10­3 m
+0,730 %


4.1.4 Effort normal dans le câble de précontrainte

On compare la valeur extraite du champ SIEF_ELNO_ELGA issu de STAT_NON_LINE à la valeur
théorique de référence.
La composante sur laquelle porte le test est N.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.


Noeud
Maille
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NC000016 SG000015
+7,955801.105 N
+7,955805.105 N
+5,42.10­7 %
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5
Synthèse des résultats

Les valeurs calculées correspondent effectivement à celles théoriquement attendues. On obtient bien
un état de flexion-compression pour la poutre en béton.
Les écarts plus importants observés en certains noeuds plus proches de l'extrémité libre peuvent
s'expliquer par l'adéquation plus ou moins bonne d'une modélisation 3D pour une structure de type
poutre. Ainsi le maillage reste assez grossier pour ne pas accroître le coût du calcul. On rappelle enfin
que la solution de référence est établie sous les hypothèses de la théorie des poutres.
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