Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
1/12

Organisme(s) : EDF/MTI/MMN, DeltaCAD
















Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
Document : V2.03.503





SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre
sandwich





Résumé :

Ce test représente un calcul en analyse modale d'une poutre sandwich simplement supportée. Ce test permet
de valider :

·
la modélisation éléments finis DKT avec des mailles QUAD4 et TRIA3,
·
la modélisation éléments finis DST avec des mailles QUAD4 et TRIA3,
·
la prise en compte de la rigidité en cisaillement transverse,
·
la prise en compte de matériau composite.

Les fréquences et les modes obtenus sont comparés à une solution de référence analytique.
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
2/12


1
Problème de référence

1.1 Géométrie

z, w
y,v
L
d
x, u
C
B
Coeur
h1
h2
L = 1.0 m
d = 0.1m
A
h = 0.1m
1
D
h = 0.05m
2



1.2
Propriétés du matériau

Revêtements :
E = 4. 1010 Pa
G = 4. 109 Pa
= 0.3
= 2000 kg/m3
x
xz
xz
1
Coeur :
E = 4. 107 Pa
G = 1.5. 107 Pa
= 0.3
= 50 kg/m3
x
xz
xz
2
Coefficient de cisaillement K : 1/K=110.8

Les coefficients de poisson sont identiques : = =
xz
xy
yz


1.3
Conditions aux limites et chargements

C.L. : la poutre repose simplement sur les cotés AB et CD.


1.4 Conditions
initiales

Sans objet
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
3/12


2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le calcul s'effectue à partir des relations d'équilibre dynamique et de comportement [bib2] rappelées
ci-après :
M
2
T
2
x

y
v
+ T =
=

I
S

X
y
t 2 X
t 2

v
M
EI
z
=
=
-
z
T
K GS
X
y
X
z

Ces relations permettent d'écrire l'équation du mouvement de flexion dynamique transverse v(x,t). On
obtient l'équation aux fréquences propres après avoir associé les conditions aux limites.
L'équation aux fréquences propres s'écrit :
1


( + a)

1- a 2
2
1

1
sin( X ) = 0 avec X
2
2
2
=
+

2
2
2

2 + r2






et
I 2 2l
I
S EI
2 =
; r 2 =
; a =

EI
S l2
K I GS
Les solutions de l'équation aux fréquences propres s'écrivent alors : X = n (n=1,2,3,...)
2

2.2
Résultats de référence

5 premières fréquences et modes propres de flexion associés.

·
Fréquence mode 1 :
64.476 Hz

·
Fréquence mode 2 :
131.918 Hz

·
Fréquence mode 3 :
198.734 Hz

·
Fréquence mode 4 :
265.383 Hz

·
Fréquence mode 5 :
331.963 Hz


2.3
Incertitudes sur la solution

La solution de référence est calculée dans le cadre des hypothèses de la théorie des poutres [bib2] :
= = 0 .
y
z

2.4 Références
bibliographiques

[1]
VPCS : Progiciel de calcul de structures composites ; Exemples de validation. Revue des
composites et des matériaux avancés, Volume 5 - numéro hors série/ 1995 - Edition Hermes.
[2]
CIEAUX J.M. : Flexion dynamique des poutres composites à phases orthotropes ; Validité du
domaine quasi-statique, thèse de l'université Paul Sabatier Toulouse III, 1988.
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
4/12


3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

z,w
Modélisation DKT (TRIA3)
C
B
D
y,v
A
9.48°
x, u
- Plaque située dans le plan x= 0.33
- Conditions aux limites : Cotés AB et CD : u=0


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 22
Nombre de mailles et type : 20 TRIA3


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : `DKT'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
E_L E_T G_LT G_LN
NU_LT NU_LN RHO
CALC_MATR_ELEM OPTION

`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_INV CALC_FREQ
OPTION
:`AJUSTE'
FREQ : (5. 8500.)

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
5/12


4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence Aster %
différence
Fréquence mode 1
64.476
277.449
330.
Fréquence mode 2
131.918
1105.83
738.
Fréquence mode 3
198.734
2473.80
1.14E3
Fréquence mode 4
265.383
4363.97
1.54E3
Fréquence mode 5
331.963
6753.904
1.93E3


4.2 Remarques

Dans le tableau de résultats, nous avons reporté les fréquences dont les modes sont identiques aux
modes de référence.

·
les effets du cisaillement transverse sont négligés dans la modélisation `DKT',
·
les résultats Aster sont très supérieurs aux résultats de référence,
·
apparition d'un mode de membrane entre les modes 2 et 3 et entre les modes 5 et 6 de
référence.


4.3 Paramètres
d'exécution

Version :
NEW 5.04.17

Machine :
SGI-Origin2000 R12000

Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 3.37 secondes

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
6/12


5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation
z,w
Modélisation DKT (QUAD4)
C
B
D
y,v
A
9.48°
x, u
- Plaque située dans le plan x= 0.33
- Conditions aux limites : Cotés AB et CD : u=0


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 22
Nombre de mailles et type : 10 QUAD4


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : `DKT'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
E_L E_T G_LT G_LN
NU_LT NU_LN RHO
CALC_MATR_ELEM OPTION

`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_INV CALC_FREQ OPTION
:`AJUSTE'
FREQ : (5. 8500.)
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
7/12


6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
Fréquence mode 1
64.476
277.788
331
Fréquence mode 2
131.918
1111.225
742.
Fréquence mode 3
198.734
2500.930
1.16E3
Fréquence mode 4
265.383
4449.073
1.52E3
Fréquence mode 5
331.963
6960.324
2.00E3


6.2 Remarques

Dans le tableau de résultats, nous avons reporté les fréquences dont les modes sont identiques aux
modes de référence.

·
les effets du cisaillement transverse sont négligés dans la modélisation `DKT',
·
les résultats Aster sont très supérieurs aux résultats de référence,
·
apparition d'un mode de membrane entre les modes 2 et 3 et entre les modes 5 et 6 de
référence.


6.3 Paramètres
d'exécution

Version :
NEW 5.04.17

Machine :
SGI-Origin2000 R12000

Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 3.53 secondes

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
8/12


7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation DST (TRIA3)
z,w
C
B
D
y,v
A
9.48°
x, u
- Plaque située dans le plan x= 0.33
- Conditions aux limites : Cotés AB et CD : u=0


7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 22
Nombre de mailles et type : 20 TRIA3


7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : `DST'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
E_L E_T
G_LT G_LN
NU_LT NU_LN
RHO
CALC_MATR_ELEM OPTION

`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_INV CALC_FREQ OPTION
:`AJUSTE'
FREQ : (5. 500.)

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
9/12


8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
Fréquence mode 1
64.476
64.573
0.150
Fréquence mode 2
131.918
133.987
1.568
Fréquence mode 3
198.734
206.046
3.679
Fréquence mode 4
265.383
282.875
6.591
Fréquence mode 5
331.963
365.919
10.229


8.2 Paramètres
d'exécution

Version :
NEW 5.04.17

Machine :
SGI-Origin2000 R12000

Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 2.84 secondes

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
10/12


9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation DST (QUAD4)
z,w
C
B
D
y,v
A
9.48°
x, u
- Plaque située dans le plan x= 0.33
- Conditions aux limites : Cotés AB et CD : u=0


9.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 22
Nombre de mailles et type : 10 QUAD4


9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION : `DST'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
E_L E_T
G_LT G_LN
NU_LT NU_LN
RHO
CALC_MATR_ELEM OPTION

`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_INV CALC_FREQ
OPTION
:`AJUSTE'
FREQ : (5. 500.)
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
11/12


10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
Fréquence mode 1
64.476
64.595
0.184
Fréquence mode 2
131.918
131.495
-0.320
Fréquence mode 3
198.734
196.861
-0.942
Fréquence mode 4
265.383
260.247
-1.935
Fréquence mode 5
331.963
320.409
-3.480


10.2 Paramètres
d'exécution

Version :
NEW 5.04.17

Machine :
SGI-Origin2000 R12000

Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 3.21 secondes

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLS503 - Vibrations de flexion d'une poutre sandwich

Date :
01/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER Clé
:
V2.03.503-A Page :
12/12


11 Synthèse des résultats

La modélisation DKT n'est pas adaptée pour modéliser ce cas-test, les erreurs sont très importantes.
La formulation DKT ne prend pas en compte le cisaillement transverse contrairement à la modélisation
DST. Pour ce type d'exemple, où la structure est constituée d'un matériau composite et relativement
épaisse (h/L =0.1), il est préférable d'utiliser la modélisation DST.

Les résultats obtenus avec DST sont :

·
satisfaisants pour les 3 premières fréquences avec la maille TRIA3 et pour les 5 premières
fréquences pour la maille QUAD4 avec une meilleure précision pour la maille QUAD4,
·
l'erreur de 10% pour la 4ième et 5ième fréquence avec la maille TRIA3 est significative. Un
maillage plus fin devrait permettre d'améliorer les résultats en ayant une meilleure
représentation des derniers modes.
Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HI-75/01/010/A

Document Outline