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Version
5.0

Titre :

SDND100 Lâcher d'un patin frottant avec frottement de type Coulomb
Date :
14/09/01
Auteur(s) :
Fe WAECKEL, G. DEVESA Clé
:
V5.01.100-C Page :
1/10

Organisme(s) : EDF/RNE/AMV















Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
Document V5.01.100





SDND100 - Lâcher d'un patin frottant
avec frottement de type Coulomb





Résumé

On considère le système unidirectionnel à un degré de liberté constitué d'une masse en contact frottant de type
Coulomb sur un plan rigide, et d'un ressort l'attachant à un point fixe. La masse est lâchée dans une position
initiale hors équilibre. Elle oscille jusqu'à l'arrêt complet au bout d'un temps fini.
Les deux premières modélisations correspondent à la réponse transitoire par recombinaison modale du patin
frottant, la troisième correspond à sa réponse transitoire directe. Les trois calculs sont comparés à la solution
analytique.

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HT-62/01/012/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

k
m
Uo
Z
Y
g
m
n
k
=45°
X



Direction de déplacement : = 45° dans le plan XY


1.2
Propriétés de matériaux

Raideur du ressort :
k = 10 000 N/m
Masse ponctuelle :
m = 1 kg
Pesanteur :
g = 10 m/s2
Coefficient de Coulomb :
µ = 0,1


1.3
Conditions aux limites et chargements

Le système repose sur le plan Z = 0 sur lequel il peut glisser avec un coefficient de frottement de
Coulomb de µ = 0 1
, .


1.4 Conditions
initiales

Déplacement initial de la masse : r0 = 0,85 mm selon la direction .

Vitesse initiale nulle.

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour un système sans amortissement, l'équation différentielle à résoudre s'écrit :

m
r& + k r = µ F avec F = -mgsign(r
n
n
&)
r
(t = )
0 = r 0
0

r

&(t = )
0 = 0

On montre [bib1] que la solution de l'équation différentielle s'écrit :

µ F
µ F
r t
n
=
+ r
n
( )
( -
) cos t
k
0
k
0

n
L'amplitude des extrema, qui proviennent tous les tn+ =
1
, obéit à la loi de récurrence suivante :
0



µ F
r
(t
n
) = (- )
1
1 r
n
-
0
cos t
n+

k
0







r(t
)
µ F
avec n = ,
1 2,..., N
n+1
n
tel que
<

r
k r

0
0

r(t
)
µ F
+
Le mouvement s'arrête quand
n 1
n
<
à la position r(t
)
r
k r
n+1 .
0
0


2.2
Résultats de référence

Valeurs des déplacements dans la direction pour les instants de changement de signe de la vitesse
( r(t ), r(t ), ..., r(t
1
2
5 ) établis ci-dessus).


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
F. AXISA - Méthodes d'analyse en dynamique non linéaire des structures : non-linéarités de
contact - Cours IPSI du 28 au 30 mai 1991
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Un élément de type DIS_T sur une maille POI1 est utilisé pour modéliser le système.
Des conditions de relations entre degrés de liberté sont employées pour imposer au mouvement d'être
unidirectionnel dans la direction :

LIAISON_DDL : ( NOEUD: NO1

DDL
:
('DX'
'DY')

COEF_MULT
:
(0.707
-0.707)

COEF_IMPO
:
0.)

Un obstacle de type PLAN_Z (deux plans parallèles séparés par un jeu) est utilisé pour simuler le plan
de glissement. On choisit de prendre pour génératrice de ce plan l'axe Oy, soit NORM_OBST: (0.,
1., 0.). L'origine de l'obstacle est ORIG_OBST: (0.,0.,1.). Il reste à définir son jeu qui donne le
demi-écartement entre les plans.

Pour qu'il existe une force de réaction du plan sur le système il faut que ce dernier soit légèrement
enfoncé dans l'obstacle plan d'une distance n telle que : F = K n
n
n .
Comme F
mg
n =
, on a alors n = mg / Kn .
On a considéré une raideur de choc normale de 20 N/m (raideur fictive qui n'a de sens que pour
générer une force de réaction du plan sur le système), on a donc n = 0,5. L'obstacle PLAN_Z ayant
pour origine Z = 1 et le solide étant en Z = 0 ; un jeu de 0,5m créera un enfoncement n = 0,5 m d'où
JEU : 0.5

Raideur de choc tangentielle : KT = 400 000 N/m : elle est grande devant la raideur de l'oscillateur
pour que la phase d'arrêt soit modélisée correctement.

Pas de temps utilisé pour l'intégration temporelle : 5.10­4s.


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1
Nombre de mailles et types : 1 POI1


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_CHAM_NO GRANDEUR
'DEPL_R'
PROJ_VECT_BASE VECT_ASSE

PROJ_MATR_BASE MATR_ASSE

DEFI_OBSTACLE TYPE
'PLAN_Y'
'PLAN_Z'
DYNA_TRAN_MODAL DEPL_INIT_GENE

METHODE
'EULER'
REST_BASE_PHYS CHOC

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Valeurs des déplacements (en mètres) dans la direction pour les instants de changement de signe
de la vitesse sur la période de temps (0 ; 0.3 s).

Identification instant
(s) Référence Déplacement différence %
Aster
DY = r2 cos45
x 10­2 ­4.596E­4 ­4.595E­4 ­0.02
DY = r3 cos45
2 x 10­2 3.182E­4 3.181E­4 ­0.045
DY = r4 cos45
3 x 10­2 ­1.768E­4 ­1.767E­4 ­0.07
DY = r5 cos45
4 x 10­2 3.536E­5 3.550E­5 0.41

On présente ci dessous l'évolution du déplacement et de la vitesse au point NO1




Déplacement du point NO1
Vitesse du point NO1



4.2 Paramètres
d'exécution

Version :
STA 5.02


Machine :
SGI ORIGIN2000

Temps CPU User :
2.21 secondes



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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Dans la modélisation B, on considère le patin et le plan comme deux structures mobiles. Chaque
structure est alors modélisée par un noeud et un élément de type POI1. Le noeud NO2 est supposé
bloqué, il matérialise le plan de frottement. On impose des conditions de relations entre degrés de
liberté au noeud NO1 (qui modélise le patin) pour que le mouvement soit unidirectionnel dans la
direction .

LIAISON_DDL : ( NOEUD: NO1

DDL
:
('DX'
'DY')

COEF_MULT
:
(0.707
-0.707)

COEF_IMPO
:
0.)

Un obstacle de type BI_PLAN_Z (deux plans parallèles mobiles séparés par un jeu) est utilisé pour
simuler le plan de glissement. On choisit de prendre pour génératrice de ce plan l'axe Oy, soit
NORM_OBST: (0., 1., 0.). Par défaut, l'origine de l'obstacle est située à mi distance des noeuds
NO1 et NO2. Il reste à définir les paramètres DIST_1 et DIST_2 qui représentent l'épaisseur de
matière autour des noeuds de choc.

Pour qu'il existe une force de réaction du plan sur le système il faut que ce dernier soit légèrement
enfoncé dans l'obstacle plan d'une distance n telle que : F = K n
n
n .
Comme F
mg
n =
, on a alors n = mg / Kn .
On a considéré une raideur de choc normale de 20 N/m (raideur fictive qui n'a de sens que pour
générer une force de réaction du plan sur le système), on a donc n = 0,5 m. Sachant que les deux
noeuds NO1 et NO2 sont géométriquement confondus, on choisit par exemple DIST_1 = DIST_2 =
n /2.

Raideur de choc tangentielle : KT = 400 000 N/m : elle est grande devant la raideur de l'oscillateur
pour que la phase d'arrêt soit modélisée correctement.

Pas de temps utilisé pour l'intégration temporelle : 5.10­4 s.


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et types : 2 POI1


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_CHAM_NO GRANDEUR
'DEPL_R'
PROJ_VECT_BASE VECT_ASSE

PROJ_MATR_BASE MATR_ASSE

DEFI_OBSTACLE TYPE
'BI_PLAN_Z'
DYNA_TRAN_MODAL DEPL_INIT_GENE
METHODE
'EULER'
CHOC
NOEUD_1
NOEUD_2
REST_BASE_PHYS

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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Valeurs des déplacements (en mètres) dans la direction de l'oscillateur pour les instants de
changement de signe de la vitesse sur la période de temps (0 ; 0.3 s).

Identification instant
(s) Référence Déplacement
différence %
Aster
DY = r2 cos45
x 10­2 ­4.596E­4 ­4.595E­4 ­0.02
DY = r3 cos45
2 x 10­2 3.182E­4 3.181E­4
­0.029
DY = r4 cos45
3 x 10­2 ­1.768E­4 ­1.767E­4 ­0.018
DY = r5 cos45
4 x 10­2 3.536E­5 3.543E­5 0.205


6.2 Paramètres
d'exécution

Version :
STA 5.02


Machine :
SGI ORIGIN2000

Temps CPU User :
2.3 secondes



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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Cette modélisation correspond à la réponse transitoire directe du patin frottant.

La direction normale de contact est l'axe local X qui correspond dans le cas test à l'axe global Z. Le
plan de glissement est le plan local (Y, Z) soit le plan (X, Y) dans le repère global. On oriente donc
l'élément de choc à un noeud, avec le mot clé ORIENTATION de l'opérateur AFFE_CARA_ELEM de la
façon suivante :

ORIENTATION:( MAILLE:EL1 CARA: 'VECT_X_Y'
VALE: ( 0. 0. -1. 0. 1. 0. ) )

Pour pouvoir obtenir une force de réaction du plan sur le système il faut que ce dernier soit légèrement
enfoncé dans l'obstacle plan d'une distance n telle que : F = K n
n
n .
La réaction équilibre le poids du patin, on a donc : F
mg
n =
c'est-à-dire n = mg / Kn .
On a considéré une raideur de choc normale de 20 N/m (raideur fictive qui n'a de sens que pour
générer une force de réaction du plan sur le système), on a donc n = 0,5 d'où DIST_1 = 0.5.

La raideur de choc tangentielle considérée est KT = 400 000 N/m, le coefficient de Coulomb vaut 0,1.

La loi de comportement de choc est donc définie de la façon suivante dans DEFI_MATERIAU :

DIS_CONTACT: ( RIGI_NOR: 20.
DIST_1: 0.5
RIGI_TAN: 400000.
COULOMB: 0.1)

On utilise un pas de temps de 5.10­4 s pour l'intégration temporelle.


7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1
Nombre de mailles et types : 1 POI1


7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


DEFI_MATERIAU DIS_CONTACT


AFFE_CARA_ELEM ORIENTATION VECT_X_Y
AFFE_CHAR_MECA LIAISON_DDL

AFFE_CHAM_NO


DYNA_NON_LINE ETAT_INIT DEPL_INIT

COMP_INCR
RELATION
DIS_CHOC
HHT


RECU_FONCTION


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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Valeurs des déplacements dans la direction de l'oscillateur pour les instants approchés de
changement de signe de la vitesse sur la période de temps (0 ; 0.2 s).

Identification instants
(s) Référence
déplacement
différence %
Aster
DY = r2 cos45
x 10­2 ­4,585E­04
­4,58552E­04 0,011
DY = r3 cos45
2 x 10­2 3,173E­04
3,17331E­04 0,01
DY = r4 cos45
3 x 10­2 ­1,754E­04
­1,75481E­04 0,046
DY = r5 cos45
4 x 10­2 3,550E­05
3,54945E­05 ­0,016


8.2 Paramètres
d'exécution

Version :
STA 5.02


Machine :
SGI ORIGIN2000

Temps CPU User :
94 secondes




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9
Synthèse des résultats

La solution analytique du problème avec frottement est reproduite avec une très bonne précision
(<0.5%). Cela demande néanmoins l'utilisation d'un paramètre de raideur tangente assez élevé par
rapport à la rigidité du système ainsi qu'un pas de temps d'intégration relativement réduit.
Sur cet exemple, le calcul non linéaire direct est beaucoup plus coûteux en temps de calcul, facteur
20, que celui sur base modale.


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