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6.4

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FORMA03 - TP2 formation statique non linéaire


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16/07/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX Clé
:
V6.03.114-B Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
Document V6.03.114





FORMA03 - Travaux Pratiques de la formation
statique non linéaire : charge limite d'une plaque
trouée





Résumé :

Ce test 2D en contraintes planes quasi-statique permet d'illustrer sur un cas simple les questions relatives à la
modélisation élastoplastique ; il met en évidence les effets de structure, de concentration de contraintes, de
charge limite.

Il s'agit d'une plaque rectangulaire homogène, trouée en son centre, constituée d'un matériau élastoplastique
avec écrouissage isotrope, dont l'état initial est non contraint, qui est soumise à une traction à ses extrémités.
On s'intéresse à la solution élastoplastique en charge. Plus précisément, les méthodes analytiques permettent
de connaître une borne inférieure de la charge limite. Par un calcul élastoplastique, on aimerait trouver une
borne supérieure.

L'objectif du test est de montrer les possibilités de modélisation et le post-traitement avec STAT_NON_LINE.

La modélisation A correspond à la première mise en charge, et comporte les commandes de dépouillement
utiles pour le TP

La modélisation B explicite le mode opératoire pour effectuer le calcul jusqu'à la charge limite, et pour
modéliser la décharge.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

On modélise seulement un quart de la plaque à cause des symétries.





P
G
F


G
F



H=150

A

a=10

A

B
D


B
D

L=100


1.2
Propriétés de matériaux

Comportement élastoplastique à écrouissage isotrope donné par la courbe de traction.

Module d'Young E = 1000 Mpa
Coefficient de Poisson NU = 0.3
Courbe de traction (prolongement droit constant)


Epsilon 0.004 0.006 0.009
0.02
Sigma 4.
5. 5.5 6.


1.3
Conditions aux limites et chargements

Conditions de symétrie
La plaque est bloquée suivant Ox le long du côté AG et suivant Oy le long du côté BD.

Chargement en contrainte imposée
Elle est soumise à une traction P suivant Oy répartie sur le côté FG.

Trajet de chargement
On considère un trajet de chargement monotone, tel que la traction P croisse depuis 1 MPa (la
solution est alors élastique) et jusqu'à plastification complète de la structure.

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2
Solution de référence

2.1 Solution
élastique

En élasticité, pour une plaque infinie, comportant un trou de diamètre a, soumise à un chargement P
selon y à l'infini, la solution analytique en contraintes planes et coordonnées polaires (r, ) est [bib1] :


P
2
a

2
4
a
a




rr =


1



1 4
3

- - - + cos
2
2



r
r
r




2
4


P
a
a
=



1+
+ 1+
3
cos
2
2
r

r










2
4


P
a
a
r =



1+
2
-
3
sin
2
2
r
r








En particulier, au bord du trou (r = a) : = P ([1+ 2cos
2 )]


2
4
P
a
a
Et le long de l'axe x : = yy =



1+
+ 1+
3

2
r

r







Numériquement, pour P = 1 Mpa, et pour une plaque infinie

Point CMP
MPa
A SIGXX
­1
B SIGYY
3

Pour une plaque de dimension finie, les abaques [bib3] permettent d'obtenir le coefficients de
concentration de contraintes, et on trouve que SIGYY vaut environ 3.03 MPa.

2.2
Solution élastoplastique (charge limite)

En élastoplasticité, par une approche statique en contraintes planes, on peut obtenir une borne
inférieure de la charge limite [bib2] pour une bande de largeur 2L finie et de longueur infinie,
comportant un trou de largeur 2a et soumise à une contrainte imposée à l'infini P :

P-
lim = y [L - a]/ L
Ici on obtient comme borne inférieure de la charge limite : -
lim
P = 5.4 MPa.
(On prend = 6 MPa, car la charge limite est identique entre un matériau élastoplastique parfait et
y
un matériau, dont la courbe de traction présente une asymptote horizontale à 6 MPa).

2.3 Références
bibliographiques

[1]
Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structures SFM. Afnor technique.
[2]
Analyse limite des structures fissurées et critères de résistance.
[3]
F. VOLDOIRE : Note EDF/DER/HI/74/95/26 1995
[4]
Stress concentration factors. R.E. PETERSON Ed. J. WILEY p150
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation C_PLAN. Un quart de la plaque est modélisé.

3.2
Caractéristiques du maillage

G
F
A
B
D

On utilise un maillage en QUAD8 (maillage GIBI : forma03a.mgib). Il comporte 186 QUAD8 et 617
noeuds. Le fichier forma03a.datg contient les données GIBI pour construire ce maillage et aussi (en fin
de fichier) les commandes GIBI pour le dépouillement des résultats.

Remarque :

Ce maillage est suffisamment fin pour avoir une bonne approximation de la solution en
élasticité : par exemple si on compare
sur le bord du trou par rapport à la solution
analytique, on obtient :


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3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_CHAR_MECA FACE_IMPO


AFFE_CHAR_MECA FORCE_CONTOUR


DEFI_MATERIAU TRACTION


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'VMIS_ISOT_TRAC'
STAT_NON_LINE NEWTON
REAC_ITER
1
STAT_NON_LINE INCREMENT
SUBD_PAS
4
CALC_ELEM
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
VARI_ELNO_ELGA
EQUI_ELGA_SIGM
RECU_FONCTION
NOM_CHAM
DEPL,
SIEF_ELNO_ELGA
IMPR_COURBE COURBE
FONCTION

IMPR_RESU RESU
FORMAT
CASTEM,
GMSH
IMPR_RESU RESU
VALE_MAX
OUI
POST_RELEVE_T ACTION
REPERE
POLAIRE
INTE_MAIL_2D


FORMULE


CALC_FONC_INTERP




3.4
Déroulement du TP

Cette modélisation (fichiers de commandes forma03a.comm) correspond à un calcul en
élasto-plasticité pour P allant jusqu'à 5.4 MPa. Elle contient également (dans le fichier de commandes
forma03a.com1, à utiliser en poursuite) les commandes nécessaires au dépouillement (tracés de
courbes et post-traitement graphiques).


3.4.1 Résultats du calcul

Avant le lancer le calcul proprement dit, il est nécessaire de définir une base, sur la machine
d'exécution, qui contiendra tous les résultats. On peut lancer le calcul fourni, jusqu'à P = 5.4 MPa dans
le but de le post-traiter. Dans le ficher résultat, on peut observer comment évolue le maximum (sur
tous les éléments) de la composante VMIS du champ EQUI_ELGA_SIGM, ainsi que le maximum des
variables internes.

On pourra constater à ce niveau sur les variables internes que :

· aux instants 1 et 1.2, il n'y a pas de plastification,
· jusqu'à l'instant 5.4, on est constamment en charge.

et sur les contraintes :

· la valeur maximum du critère de Von Mises aux points de Gauss est toujours limités à 6 Mpa,
ce qui montre que la solution vérifie bien la loi de comportement.
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3.4.2 Utilisation des outils de dépouillement

On pourra utiliser en poursuite le fichier de commandes forma03a.com1, sur la base précédemment
créée.
Il faut définir les fichiers résultats suivants :

· un fichier de type « cast » si on veut effecteur un dépouillement graphique avec GIBI,
· un fichier de type « pos » si on veut effecteur un dépouillement graphique à l'aide de GMSH,
· d'autres fichiers spécifiques au tracés de courbes, (extension .dat pour tracé avec xmgrace).

Les commandes nécessaires au tracé de courbes sont définies dans le fichier forma03a.com1.
On y trouve :

· l'évolution de la composante Sigma-Theta à l'instant 1 au bord du trou, et la courbe définies
par la solution analytique = P ([1+ 2cos
2 )],
· l'évolution de la composante Syy au point G en fonction du déplacement au même point, pour
tous les instants calculés,
· l'évolution de la résultante des forces nodales sur le bord FG, en fonction du déplacement au
point G.

Ces trois appels à IMPR_COURBE permettent de générer trois fichiers, qui peuvent être tracés via un
tableur, ou un logiciel de tracé de courbe comme xmgrace.

Pour tracer une courbe à l'aide de xmgrace, il faut lancer « grace », puis « data/import/ascii » et
sélectionner le fichier à tracer. Pour le moment, le fichier produit par Aster n'est pas directement
lisible : il faut commenter les lignes de texte (caractère #) avant la lecture par xmgrace.

On peut visualiser avec GIBI, ou GMSH la déformée, les isovaleurs de contraintes SYY et de la
déformation plastique équivalente cumulée p. On pourra constater à l'instant 1. (elasticité) la
concentration de contraintes au point B. A l'instant 5.4, on peut remarquer sur les isovaleurs de
déformation plastique cumulée, la localisation des déformations au voisinage de B.

On pourra enfin utiliser le post-traitement interactif Stanley pour visualiser des champs ou des
courbes. Il suffit pour cela d'oter le caractère commentaire (# devant la commande de lancement de
Stanley.

3.4.3 Suite du TP

Ensuite, pour poursuivre le calcul, il faut modifier la façon d'appliquer le chargement. Ceci fait l'objet de
la modélisation B.



4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Valeur du chargement limite. La valeur de référence correspond à la borne inférieure. Des difficultés
de convergence surviennent dès que l'on cherche à augmenter le chargement au delà de 5.4Mpa.


Instant
GROUP_NO
Identification Référence
Aster Différence
(%)
1. B
Contrainte
SIYY
3.
3.023 0.8
1. A
Contrainte
SIXX
­1. ­1.02 2.1
5.4 G
Contrainte
SIYY
5.4
5.4026 0.5
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Cette modélisation permet, dans le cadre des Travaux Pratiques, de mener à bien le calcul jusqu'à la
charge limite de la structure, grâce au pilotage du chargement et la décharge. Le comportement est
élastoplastique avec écrouissage isotrope donné par une courbe de traction telle que la contrainte
uniaxiale tend vers une valeur constante (6 MPa). Il existe donc une charge limite pour cette structure
dont une borne inférieure est connue : Plim > 5.4 MPa [bib2].

La plaque est soumise à une traction P suivant Oy sur le côté FG . Donc, si P dépasse largement 5.4
MPa, il n'y a plus de solution. Numériquement, on a donc des soucis ! C'est ce qui est observé : pour
P=5.4 Mpa, la convergence est très lente. Si on poursuivait le calcul, il n'y aurait plus convergence au
delà de 5.41 Mpa.

La meilleure solution si on souhaite calculer la charge limite (par la résolution d'un problème
élastoplastique incrémental - d'autres méthodes existent comme l'utilisation de matériau
incompressible avec des méthodes directes d'analyse limite) est d'utiliser le pilotage de la contrainte
imposée par le déplacement d'un point.

5.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage est identique à celui de la modélisation A.


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_CHAR_MECA FACE_IMPO


AFFE_CHAR_MECA FORCE_CONTOUR


DEFI_MATERIAU TRACTION


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'VMIS_ISOT_TRAC'
STAT_NON_LINE NEWTON
REAC_ITER
1
STAT_NON_LINE INCREMENT
SUBD_PAS
4
STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE
DDL_IMPO
CALC_ELEM
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
VARI_ELNO_ELGA
EQUI_ELGA_SIGM
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_NO
OPTION
SIEF_NOEU_ELGA
RECU_FONCTION
NOM_CHAM
DEPL
IMPR_COURBE COURBE
FONCTION

IMPR_RESU RESU
FORMAT
CASTEM
IMPR_RESU RESU
VALE_MAX
OUI
STAT_NON_LINE NEWTON
PREDICTION
ELASTIQUE
CREA_MAILLAGE ECLA_PG


CREA_RESU ECLA_PG


RECU_FONCTION
NOM_PARA_RESU
ETA_PILOTAGE
CALC_NO
OPTION
FORC_NODA
POST_RELEVE_T ACTION
RESULTANTE
DY

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5.4
Calcul jusqu'à la charge limite

5.4.1 Essai d'augmentation du chargement jusqu'à P = 5.4 MPa

On souhaite poursuivre le calcul dans le but d'estimer une borne supérieure de la charge limite, en
tentant d'aller au-delà de 5.4 MPa (borne inférieure analytique), sans modification du chargement. On
constate alors que :

· le calcul est possible jusqu'à 5.41 Mpa, au delà, il ne converge plus, même en subdivisant le
pas de temps,
· la convergence est de plus en plus lente.

La cause de la convergence difficile est bien la proximité de la charge limite. C'est pourquoi il faut
subdiviser le pas de temps. On peut s'en rendre compte par la valeur du chargement (5.4 Mpa =
valeur théorique de la borne inférieure) et par la courbe contrainte-déplacement en haut de la structure
: on peut constater que pour P=5.4 MPa la charge limite n'est pas complètement atteinte (pas
d'asymptote horizontale) mais que l'on s'en rapproche.

Les isovaleurs de p montrent une zone de concentration de déformation plastique (assimilable à une
ligne de glissement) inclinée de 53° environ par rapport à la verticale, allant du point B au bord droit
Ceci correspond assez bien à la théorie qui dit que les lignes de glissement sont inclinées de
54,44°[bib2]. On a ici bien sûr une approximation de la ligne de glissement qui est en théorie
d'épaisseur nulle.

5.4.2 Calcul à chargement piloté par un déplacement

Une bonne façon de mener ce type de calcul est d'utiliser le pilotage du chargement imposé par la
valeur d'un déplacement. Il est donc proposé de modifier le fichier de commandes pour utiliser le
pilotage. On pourra utiliser par exemple le déplacement UY du point A pour piloter la contrainte YY
imposée sur FG.
On l'augmentera jusqu'à 2 mm par exemple. On prendra un coefficient égal à 1. On utilisera donc un
temps fictif t tel que t= UY (A)*1. Donc le temps varie ici entre 0 et 2s (pour représenter un
déplacement entre 0 et 2mm).

On traite toute la montée en charge dans un nouveau STAT_NON_LINE. On peut découper l'intervalle
(0. 2.) en 10 ou 20 incrément par exemple.

La syntaxe du mot-clé facteur PILOTAGE est :

PILOTAGE : _F(GROUP_NO = A, TYPE = 'DDL_IMPO', NOM_CMP = 'DY',
COEF_MULT = 1.) )
Attention au type du chargement CH2 (force répartie) : utiliser « FIXE_PILO ».

Remarque :

On aurait pu piloter par le déplacement d'autres points, par ex. Uy du point G ou UX du point
D.

Observer dans le fichier « message » la valeur du paramètre : `ETA_PILOTAGE'.
On obtient en principe une bonne approximation de la charge limite (par valeur supérieure) que l'on
pourra comparer à la borne inférieure analytique (5.4).

On pourra tracer, en poursuite, la courbe force résultante-déplacement en G en fonction du temps. (les
commandes nécessaires sont dans le fichier forma03a.com1). On devrait retrouver sur cette courbe la
valeur de la charge limite donnée par `ETA_PILOTAGE'.
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On peut visualiser avec GIBI, ou GMSH la déformée, les isovaleurs de contraintes SYY et de la
déformation plastique équivalente cumulée p. A l'instant 2, on peut remarquer sur les isovaleurs de
déformation plastique cumulée, la localisation des déformations au voisinage de B.

On pourra enfin utiliser le post-traitement interactif Stanley pour visualiser des champs ou des
courbes. Il suffit pour cela d'ôter le caractère commentaire (# devant la commande de lancerment de
Stanley.

5.4.3 Décharge : utilisation de la prédiction élastique et de la matrice élastique

On utilisera le calcul initial sans pilotage, en poursuite depuis P = 5.4 MPa. Plusieurs solutions sont
possibles :

· Essayer de décharger avec matrice tangente. Conclusion ?
· Essayer la prédiction élastique pour la phase de décharge.
· Essayer MATRICE = `ELASTIQUE' (en augmentant le nombre d'itérations globales de
Newton permises).

Analyser l'état résiduel : déformée, isovaleurs de contraintes et variables internes.


5.4.4 Utilisation de la recherche linéaire

Si on veut calculer tout le trajet de chargement (P croissant jusqu'à 5.4 MPa, puis décroissant
jusqu'à 0) dans la même commande STAT_NON_LINE, (sans pilotage), c'est possible, avec recherche
linéaire et subdivision du pas de temps (et matrice tangente réactualisée).

On pourra mettre 10 itérations de recherche linéaire, et pour faciliter la phase de décharge, on pourra
mettre PREDICTION = `ELASTIQUE'.

On pourra comparer la solution obtenue à celle obtenue précédemment (elles doivent être
identiques !) et comparer le temps CPU et le nombre d'itérations de chaque solution.


6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Valeur du chargement limite. La valeur de référence correspond à la borne inférieure. On obtient grâce
au pilotage une valeur supérieure à cette valeur de référence.


Instant Identification Référence Aster Différence
(%)
0.1 ETA_PILOTAGE 3.11
3.11
0
0.4 ETA_PILOTAGE 5.05
5.05
0
1. ETA_PILOTAGE 5.39
5.39
0
1.5 ETA_PILOTAGE 5.401
5.401
0
2. ETA_PILOTAGE 5.405
5.405
0
5.4 SIYY 5.4 5.4026 0.5


Dépouillement : on constate dans le fichier RESULTAT que la charge limite est presque atteinte : le
paramètre ETA_PILOTAGE tend vers une valeur constante : 5.405, ce qui est très proche de la borne
inférieure théorique (5.4) : Ce mode de chargement permet donc de traiter correctement ce cas qui ne
pouvait être traité par un chargement en force classique.
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Decharge :

Le trajet de chargement va jusqu'à 5.4 MPa puis revient à 0. On discrétise en 27 pas pour aller jusqu'à
P = 5.4 MPa, et 6 pas pour revenir à 0. La matrice tangente consistante (FULL_MECA) ne permet pas
de converger au moment de la décharge. Pour traiter la décharge, deux méthodes peuvent être
utilisées :

1) calculer la décharge avec prédiction élastique (mais réactualisation de la matrice tangente au
cours des itérations). On peut constater que cela permet de franchir la phase de début de
décharge. Mais cela ne permet pas de calculer toute la décharge (jusqu'à un chargement
nul).
2) utiliser la matrice élastique. Cette méthode fonctionne mais la convergence est lente. Il faut
simplement penser à augmenter le nombre d'itérations maximum (ITER_GLOB_MAXI).

Courbe force résultante - déplacement : on a un état de contraintes résiduel nul partout sauf en
quelques régions (autour du point B en particulier), mais des déformations résiduelles non nulles.



6.1.1 Utilisation de la recherche linéaire

Avec 10 itérations de recherche linéaire, et PREDICTION = `ELASTIQUE', on traite effectivement
tout le calcul en 100s environ (au lieu de 85s sans recherche linéaire, en cumulant toutes les étapes
précédentes, hors pilotage). On peut en particulier noter que durant la phase de décharge, le nombre
d'itérations est nettement plus faible avec pilotage.
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7
Synthèse des résultats

Ce test permet de monter comment mener le calcul d'un structure élasto-plastique et son
dépouillement, et en particulier de mettre en évidence le bénéfice à utiliser le pilotage pour un
problème de charge limite.

On peut retenir de ce test quelques idées :

· même en dehors d'un comportement élasto-plastique parfait, il peut exister une charge limite :
c'est le cas avec toutes les courbes de traction réelles. Il faut alors adapter la méthode de
résolution à la solution mécanique et par exemple utiliser le pilotage,
· le découpage en petits incréments de charge est souvent nécessaire pour intégrer
correctement la relation de comportement. Cela peut aider aussi à la convergence, il est donc
conseillé d'utiliser le redécoupage automatique du pas de temps,
· la recherche linéaire peut être utilisée pour aider à la convergence, ainsi que la subdivision
automatique des pas de temps.

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