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Version
4.0
Titre :
SDLD102 Sous structuration transitoire
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU, C. VARE
Clé :
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Organisme(s) : EDF/EP/AMV
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document : V2.01.102
SDLD102 - Sous structuration transitoire :
Système 3 masses-4 ressorts
Résumé :
Le domaine d'application de ce test concerne la dynamique des structures. Il permet de valider la schéma
d'intégration à pas de temps adaptatif de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL [U4.54.03] ainsi que le calcul de
réponse transitoire linéaire sur une base modale calculée par sous-structuration (pour les 4 schémas
d'intégration de DYNA_TRAN_MODAL : 'EULER', 'DEVOGE', 'NEWMARK' et 'ADAPT'). En particulier, le cas de
l'application d'un amortissement réduit aux modes dynamiques des bases de projection des sous-structures est
traité.
Il s'agit de déterminer la réponse transitoire d'un système composé de 3 masses et 4 ressorts, encastré à ses
extrémités et soumis à une force constante à partir de l'instant initial. Les ressorts sont modélisés par des
éléments de type 'DIS_TR' et les masses par des éléments de type 'DIS_T'.
Trois modélisations sont proposées. Dans les 2 premières, la structure est non amortie. Les méthodes de calcul
transitoire par sous-structuration avec interfaces de type Craig-Bampton ('CRAIGB') et Mac Neal ('MNEAL') sont
testées. Les résultats de référence qui leur sont associés sont issus d'un calcul analytique. Dans la troisième,
on impose un amortissement réduit de 1% aux modes dynamiques des bases de projection des
sous-structures. L'équation transitoire vérifiée par la structure complète a été obtenue analytiquement. Sa
résolution, qui fait office de référence, a été réalisée par le logiciel Maple.
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Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Le système étudié est composé de 3 masses (m) et 4 ressorts (k). L'ensemble est encastré à ses
extrémités.
A
B
x3
x2
x1
1.2
Propriétés de matériaux
Raideur des ressorts : k = 1 N/m.
Masses ponctuelles : m = 1 kg.
1.3
Conditions aux limites et chargements
F
t
Points A et B encastrés.
Application au point x1 d'une force constante F = 1 N, à partir de l'instant t = 0 s.
1.4 Conditions
initiales
Structure initialement au repos.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
2.1.1 Structure non amortie
Dans ce cas, la solution de référence peut être obtenue analytiquement :
1 0 0 x
2 - 1 0 x
1
1
1
m 0 1 0 x + k - 1
2
- 1 x = 0
2
2
0
0
1 x
0 - 1 2 x
0
3
3
Les pulsations propres du système masse-ressort valent :
k
k
k
2
2
2
=
-
=
=
+
1
(2 2)
2
2
3
(2 2)
m
m
m
de déformées modales respectives :
2
1
- 2
=
=
=
1
2
2
0
3
2
2
- 1
- 2
Projetée sur la base des modes propres, l'équation transitoire devient avec comme coordonnées
i
généralisées :
8 0 0
4 - 2 2 0
0
+ 2
1
1
m 0 2 0 + 4k
0
1
0
= 2
2
2
0
0
8
0
0
4 + 2 2
- 2
3
3
Le système peut être résolu analytiquement. On obtient :
2
cos
2 (1 -
t1)
4
1
{ (
1
1
t)} =
cos
2 (1 -
t
2 )
2m 2
2
cos
2 (
t
3
- )
1
4 3
La solution sur base physique est obtenue en utilisant la transformation de Ritz :
x
1
2
1
- 2
1
x(t)
= x
2
=
= 2
0
2 2
x
3
2 - 1
2 3
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2.1.2 Structure
amortie
L'amortissement est appliqué aux modes propres des bases de projection des sous-structures
encastrées (amortissement réduit). Dans ce cas, on aboutit à l'équation transitoire en coordonnées
généralisées suivante (bib [1]) :
8 0 0
3 - 2 2 0
- 1
1
1
m 0 2 0 + 4 2km
0
1
0
2
2
0
0
8
- 1
0
3 + 2 2
3
3
4 - 2 2 0
0
2
1
+ 4k
0
1
0
= 1
2
0
0
4 + 2 2
- 2
3
Ce système n'étant pas découplé, il a été résolu à l'aide du logiciel Maple. On a obtenu
( = 0.01) :
t
-
2
1 -
1
e
cos t
1
4 2
1
t
-
{(
1 1
2
t)}
1 - e
cos t
2m 2
2
2
t
-
2 3
e
cos t
3 -
1
4 2
3
avec :
3
1
1 =
1
100
1 6
. 5 10 s 2 =
=
et 3 =
4 8
. 5 10 s
2
2
On obtient donc une formulation proche du cas non amorti, mais dans laquelle interviennent des
termes exponentiels qui caractérisent l'amortissement.
La solution sur base physique est obtenue en utilisant la transformation de Ritz :
x
1
2
1
- 2
1
x(t)
= x
2
=
= 2
0
2 2
x
3
2 - 1
2 3
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2.2
Résultats de référence
Structure non amortie :
Déplacement, vitesse et accélération du noeud x2 à l'instant t = 80 s :
-
x (
)
1
80
= 41700
.
10
m
2
-
-
x (
)
1
80
= 4 3011
.
10
m.s 1
2
-
-
x
( )
1
80
= 33749
.
10
m.s 2
2
Structure amortie :
Déplacement du noeud x2 à l'instant t = 80 s :
-
x
1 m
2 80
( ) = 4.9867 10
2.3
Incertitude sur la solution
Cas non amorti : solution analytique.
Cas amorti : solution semi-analytique.
2.4 Référence
bibliographique
[1]
C. VARE - Rapport HP 61/95/025/A - "Mise en oeuvre du calcul transitoire non linéaire par
sous-structuration dans le Code_Aster".
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le système est divisé en 2 sous-structures :
m
m
m
Sous-structure 1 :
blocage
Sous-structure 2 :
blocage
k
k
NO1
NO3
k
k
NO1
NO3
En situation, les deux sous-structures sont reliées au niveau de la 2ème masse. L'interface dynamique
de la 1ère sous-structure est constituée d'une masse m au niveau du noeud NO3 du maillage et
coïncide avec l'interface dynamique de la 2ème sous-structure qui ne comporte aucune masse et est
simplement bloquée au niveau du noeud NO1.
NO1
NO3 NO1
NO3
m
m
Sous-structure 1
Sous-structure 2
Les modes propres du système complet sont calculés en utilisant la méthode de calcul modal par
sous-structuration avec interfaces de type 'Craig-Bampton' (interfaces bloquées). Les bases de chaque
sous-structure sont composées d'un mode dynamique et d'un mode contraint.
La réponse transitoire du système est calculée sur la base modale calculée par sous-structuration.
Les pas de temps utilisés sont égaux à : 102 s en 'EULER', 102 s en 'NEWMARK', 102 s en
'DEVOGE', 10-1 s en 'ADAPT' (pour ce dernier, il s'agit du pas de temps initial de l'algorithme et du
pas de temps maximal d'intégration).
3.2
Caractéristiques du maillage de la sous-structure
Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
NUME_DDL_GENE
BASE
[U4.55.07]
STOCKAGE
'DIAG'
PROJ_MATR_BASE
BASE
[U4.55.01]
NUME_DDL_GENE
MATR_ASSE_GENE
PROJ_VECT_BASE
BASE
[U4.55.02]
NUME_DDL_GENE
VECT_ASSE_GENE
DYNA_TRAN_MODAL
METHODE
'ADAPT'
[U4.54.03]
'EULER
'NEWMARK'
'DEVOGE'
REST_BASE_PHYS
MODE_MECA
[U4.64.01]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Calcul par recombinaison modale sans sous-structuration : Méthode 'ADAPT'
Identification
Référence
Aster
% différence
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1695 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.2972 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3741 101
Calcul par sous-structuration
Méthode : 'EULER'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1480 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.2972 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3823 101
Méthode : 'DEVOGE'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1700 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.3011 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
4.3749 101
Méthode : 'NEWMARK'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1711 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.3090 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3763 101
Méthode : 'ADAPT'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1695 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.2972 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3741 101
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.4.6
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
39.1 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Cette modélisation est identique à la précédent si ce n'est que les modes propres du système complet
sont calculés en utilisant la méthode de calcul modal par sous-structuration avec interfaces de type
'Mac Neal' (interfaces libres). Les bases de chaque sous-structure sont composées d'un mode
dynamique et d'un mode d'attache.
La réponse transitoire du système est calculée sur la base modale calculée par sous-structuration.
Plus précisément, les sous-structures étudiées ont leurs interfaces libres :
Sous-structure 1 :
NO1 bloqué
NO3 libre
Sous-structure 2 :
NO1 libre
NO3 bloqué
Les pas de temps utilisés valent : 102 s en 'EULER', 102 s en 'NEWMARK', 102 s en 'DEVOGE',
10-2 s en 'ADAPT'.
5.2
Caractéristiques du maillage de la sous-structure
Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
NUME_DDL_GENE
BASE
[U4.55.07]
STOCKAGE
'DIAG'
PROJ_MATR_BASE
BASE
[U4.55.01]
NUME_DDL_GENE
MATR_ASSE_GENE
PROJ_VECT_BASE
BASE
[U4.55.02]
NUME_DDL_GENE
VECT_ASSE_
REST_BASE_PHYS
MODE_MECA
[U4.64.01]
DYNA_TRAN_MODAL
METHODE
'ADAPT'
[U4.54.03]
'EULER'
'NEWMARK'
'DEVOGE'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
Méthode : 'EULER'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1480 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.2972 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3823 101
Méthode : 'NEWMARK'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1711 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.3090 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3763 101
Méthode : 'DEVOGE'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1700 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.3011 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
4.3749 101
Méthode : 'ADAPT'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.1700 101
4.1695 101
Noeud x2 , vitesse (m.s1)
4.3011 101
4.2973 101
< 1%
Noeud x2 , accélération (m.s2)
3.3749 101
3.3742 101
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.4.6
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
14.8 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Les modes propres du système complet sont calculés en utilisant la méthode de calcul modal par
sous-structuration avec interfaces de type 'Craig-Bampton' (interfaces bloquées). Les bases de chaque
sous-structure sont composées d'un mode dynamique et d'un mode contraint.
Au mode dynamique de chaque sous-structure est associé un amortissement réduit de 1%.
La réponse transitoire du système amorti est calculée sur la base modale calculée par
sous-structuration.
Les pas de temps pris sont égaux à : 102 s en 'ADAPT', 102 s en 'EULER', 102 s en 'NEWMARK'.
7.2
Caractéristiques du maillage de la sous-structure
Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MACR_ELEM_DYNA
AMOR_REDUIT
[U4.55.05]
NUME_DDL_GENE
BASE
[U4.55.07]
STOCKAGE
'PLEIN'
PROJ_MATR_BASE
BASE
[U4.55.01]
NUME_DDL_GENE
MATR_ASSE_GENE
PROJ_VECT_BASE
BASE
[U4.55.02]
NUME_DDL_GENE
VECT_ASSE_GENE
REST_BASE_PHYS
MODE_MECA
[U4.64.01]
DYNA_TRAN_MODAL
METHODE
'ADAPT'
[U4.54.03]
'EULER'
'NEWMARK'
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
Méthode : 'EULER'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.9867 101
4.9637 101
< 1%
Méthode : 'NEWMARK'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.9867 101
4.9883 101
< 1%
Méthode : 'ADAPT'
Noeud x2 , déplacement (m)
4.9867 101
4.9863 101
< 1%
8.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.4.6
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
11.0 secondes
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9
Synthèse des résultats
La précision sur le déplacement, la vitesse et l'accélération du noeud x2 à l'instant t = 80 s est
excellente (erreur relative < 1%).
Ce test valide donc les opérateurs de calcul de réponse transitoire linéaire sur base modale calculée
par sous-structuration dynamique (avec et sans amortissement), ainsi que le schéma d'intégration à
pas de temps adaptatif de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL.
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